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n维空间和几何对象的推广: 热度 1 yanzhiyuanyz 2011-5-14 18:16; 几何研究物质存在空间的科学，所以说空间概念的推广也导致几何概念的推广，下面将从几个方面进行阐述： 1 空间概念的推广先从笛卡尔引进直角坐标说起，直角坐标的引进使数可以和坐标上的点进行用一一对应。而将坐标空间里的点连接就得到相应的几何图形，所以代数问题可以反映到几何图形上去，变量概念的引入使这种关系得到了进一步的发展，导致解析几何的产生。人们为什么要去发展代数与几何之间的这种关系呢？几何有非常好的直观性，正是几何的这一特点也加快了数学的发展步伐。但是随着代数的进一步发展，也有的坐标（欧氏空间）好像有点无能为力，比如三元线性代数可以很好的在欧式空间里表达（用向量表达），那么思维甚至五维线性代数又怎么表达呢？所以说空间概念的推广实在是自然不过的事。多维空间其中的每一个维影响某结果的一个条件，比如三维相图中的某一合金成分。又如在三维空间中的一个球是由三个坐标和一个半径来决定的，如果要在四维坐标中来表达就表示一个点了，其中三维为圆心三个坐标值，其中一维为半径值。在多维空间里边的点、线、面、体、距离等很多概念都可以类比三维空间中相应的概念。 2 几何对象的推广很多人认为几何研究的对象就是具有一定形状的物体间的关系问题，随着空间概念的推广，几何研究的概念也得到了进一步的扩大。例如对各种颜色的研究，可以借助于颜色空间进行；对合金相得研究，也可以借助于各合金成分和温度、压强等形成的空间进行研究；对生长状况的研究，可以借助于各种养分、水、温度等形成的空间进行研究。。。。。。。。。几何是有力的研究工具，希望能用好它。参考：《数学它的内容，方法和意义》; 3479 次阅读|1 个评论

虚数在数轴之外 —— 虚数的可视化和“复数”: 热度 1 readnet 2011-5-6 16:44; 在欧拉向人们揭示了虚数的重要性之后，仍然有许多人不承认虚数的存在。正数，可以想象为“个数”或“线段的长度”，而虚数却不能。尽管重要，没有视觉形象，人们还是难以接受。当初，欧洲人也曾以同样的理由不承认“负数”的存在。 “ -2 个苹果”或“ -1.3 米长的棍棒”，那简直无法想象。负数的可视化方法是由法国的一位数学家阿贝尔•吉拉尔（ 1595-1632 ）发明的。吉拉尔设置一个代表零的原点，用从原点向右方画出的箭矢表示正数，而用反方向画出箭矢表示负数。这样就有了一根表示全部实数的直线——“数轴”。有了这种直观的数轴，欧洲人才逐渐接受了负数的概念。那么，虚数又该用怎样的图形来表示呢？实数中是没有“负数的平方根”的，因此，数轴上不可能有代表虚数的位置。对于这个难题，当时还是一名不知名的测量员的丹麦人卡斯帕•维塞尔（ 1745-1818 ）是这样考虑的： “既然数轴上没有虚数的位置，那么，也许可以在数轴之外，利用从原点向上画出箭矢来表示虚数”。结果，赛维尔的想法大获成功。在数轴上添加一根向上延伸的直线以后，得到了一个有两根坐标轴的平面。此平面上的水平轴代表实数，另一根通过原点的垂直轴代表虚数。用这种方法作图，使得包含有虚数的计算也可以通过作图来进行了。虚数终于“被看见了”！与赛维尔同时，法国的一位会计师让•罗贝尔•阿冈（ 1768-1822 ）和德国数学家卡尔•弗里德里克•高斯（ 1777-1855 ）各自也都独立想到了这种用图形来表示虚数的方法。他们使虚数能够被直观看到，终于使虚数获得“数”王国公民的身份。发明了虚数的作图方法，虚数终于成为“数”王国的合法公民高斯给这种作图平面上每一点所代表的数取了一个专门的名称，叫做“复数”（德文 Komplex Zahl ）。复数（英文 complex number ）把实数和虚数都包括在内，实际上是数的一个新概念，其中包含了“多种”（复数个）数的成分。高斯所发明的这种作图平面因而就叫做 “复平面”（或“复数平面”）。小结通过作图来表示虚数 1. 正实数，“向右的箭矢” 向右画一支具有适当长度的箭矢，将此箭矢定义为“ +1 ”，作为正数的单位。这样就可以用它作标准，作图画出各种正数。 2. 负实数，“向左的箭矢” 设置好代表零的一点，以它作为“原点”，从原点画一支同 +1 箭矢方向相反的箭矢，将此箭矢定义为“ -1 ”，作为负数的单位。这样就可以用它作标准，作图画出各种负数。这根水平直线叫做“数轴”，可以用来表示一切实数。 3. 虚数，在数轴之“外” 从原点垂直向上画一支同 +1 或 -1 箭矢具有相同长度的箭矢，将此箭矢定义为“ -1 的平方根”，作为虚数的单位（ i ），这样就可以用它作标准，通过作图来表示各种虚数（如 2 i , \sqrt{3} i 等）。 4. 表示复数的“复平面” 实数4和虚数5 i 相加，答案是“4+5 i ”。这个和数无法在实数轴上作图表示，需要有一个实数轴为横轴，以虚数轴为纵轴的平面。在此平面上，“4+5 i ”这个数可以用实数坐标为4，虚数坐标为5 i 的平面上的一点来表示。这个平面叫做“复平面”（或者“复数平面”），可以用此复平面上的一个点表示的数就叫做“复数”。复平面又称“高斯平面”（在法国叫做“阿冈图”）。复数的加法和减法运算 1. 实数的加法运算实数加法，只需对数轴上的两支箭矢进行求矢量和的操作。例如，加法（+2）+（-4），将“表示-4的箭矢”连接在“表示+2的箭矢”终端，矢量相加，得到-2。 2. 复数的加法运算复数加法，同实数一样，也是“在复平面上对两支箭矢进行求矢量和的操作”。例如，加法（5+2i）+（1+4i），是将“表示（1+4i）的箭矢”接在“表示（5+2i）的箭矢的终端，矢量相加，得到6+6i 3. 复数的减法运算在复平面上进行从复数C(如，6+6i)减去复数A（如，5+2i）的运算，只需从A的终端到C的终端画一支箭矢，然后将此箭矢平行移动，使其始点位于原点。它的终点就是减法运算的答案（复数B，1+4i）。扩展阅读虚数 —— 一种“并不存在的数” 把“除不尽的除法的答案”也当作一种数 —— “分数”的发明发现“无理数”，最终形成“实数”概念存在着没有实数解的“二次方程” —— “实数”的欠缺虚数的诞生 —— 最早揭示出虚数威力的数学家卡尔达诺虚数单位i的诞生杨华磊：实数集有优良的品质邱嘉文：对“数轴”的抽象改进; 个人分类: 科学八卦|12447 次阅读|2 个评论

相变、历史与几何: 热度 12 yonglie 2011-4-15 08:44; 1909年， Henry Adams 写了一篇有趣的文章：“ 用于历史的相律 ”—— 把热力学中的 Gibbs相律用到人类历史。他认为，历史是向平衡演化的过程，而军国主义国家却要逆转它，它们就像 Maxwell小妖。在给弟弟的信中，他也拿人比原子，而把总统比小妖。 Gibbs相律说，任何平衡系统中，不同的相数（P，如液相、固相）、组元数（C，如化合物的数目）和自由度（F，能变化的参量数）满足简单的数字规律： F = C – P + 2 例如，在水的三相点，F= 1 – 3 + 2 = 0，没有自由变量，参量（温度与压力）都是固定的。如果写成 P – C + F = 2 ，我们自然想起 Euler公式（三个字母分别代表凸多面体的点、边和面的数目）。类似的联想， Hawking 找到一个。他的黑洞热力学，其实就是从几何关系里发现了第二定律的类比。用热力学解释历史的好像还多，而其中最普通的就是用第二定律来描述历史演进的趋势。可是，当我们考虑引力系统以致更一般的相互作用系统时，有序也能从无序生出来，用这个热力学来研究历史，要有趣得多。假如把相变看成流形之间的映射，那么相律似乎意味着相变构成一个映射的 “同伦类”，即映射的模2度（ degree of modulo 2 ）。令人疑惑的是，相变发生在临界点，而同伦类的构成在正则点。相变问题大概关联着相空间流形的拓扑性质。辛稼轩有句词：“千古兴亡多少事”，其实已经包含了三个学科：历史、代数、几何，也就是预言了历史与代数几何的渊源，只是文史家们不懂“多少”的意思！; 个人分类: 物理|5756 次阅读|21 个评论

中国结: math611 2011-4-8 12:24; 看了几种中国结的编法，希望能够模拟一下。所以选了一个简单的模拟了一下，只是不时按照编法过程来写的程序。为了突出不同，所以才这样写。动态视频(很遗憾被放在了动画欣赏，本人觉得应该放在教育或其它的相关分类更为妥当): http://v.youku.com/v_show/id_XMjU2NzAxMDA4.html http://v.youku.com/v_show/id_XMjU3MTM0Nzc2.html 参考参考。; 2164 次阅读|0 个评论

小学几何题公布答案了: 热度 1 suxiaolu 2011-3-7 21:06; 如图，得出小六边形面积为大六边形的七分之四，约等于1148，剩下的不必说了吧; 4431 次阅读|1 个评论

难住了几个硕士博士的小学几何题: suxiaolu 2011-3-6 11:44; 一定要用小学生的方法解出来才算，另外，题目的说法有点不严谨，应当是正六边形，不是等边六边形; 个人分类: 杂七杂八|4799 次阅读|0 个评论

几何的直观有时也需要借助代数的推理: liwei999 2011-1-15 05:40; 几何的直观有时也需要借助代数的推理。 (510 bytes) Posted by: mirror Date: January 12, 2011 08:40AM 平面内两条直线相交在一点，三维空间里的两个平面相交得一条直线。这个结论可以通过几何的直观得到，也可以通过代数的方法来证明。问题是在直观不能起作用的时候怎么办？比如说4维空间里的两个平面的交点是个什么情况？能够理解到两个平面相交是一个点么？大学基础课程里面线性代数的重要性怎么强调也不过分。当人们对高维空间没有直观能力的时候，线性代数的表达方式对人的思维就有帮助了。近的到电磁学，远了可以到相对论。其实人也是在4维空间里生存。因此讨论天堂地狱也没有什么不可以，问题在于如何与那些空间相连接。就是论事儿，就事儿论是，就事儿论事儿。 http://www.starlakeporch.net/bbs/read.php?1,75229; 个人分类: 镜子大全|3303 次阅读|0 个评论

物理学的几何情结: 热度 1 yanghualei 2011-1-10 10:09; 昨读庞玮翻译的一篇文章万物几何论，看到古希腊文化在今自然科学人士身上已深入骨髓，并且在其他领域开始蔓延：譬如世界内蕴于几何之中，万物皆数以及哲学和美学驱动的行为机制，近代每一次的创新好像都源于对这种同一、数形构造以及美的偏好。近代系统物理学以Newton把支配天上的行星运动和地上的苹果落地用同一的数学模型描述发端，二百年后Maxwell基于同样的信仰把电和磁同一于Maxwell方程组中，又过一个世纪人们发现用一简单的electroweaktheory可以把放射性的弱力和电磁力同一起来，对这种的偏好的追求，源于正如文章中所说：物理学家好像有这样一种共识：在最基本的的层次上，所有物理现象应该都对应某种优美的数学构造，并在这个层次上其是同源，同基以及同法则的。如今对基本力和粒子统一理论最出色的要数温伯格等人创建于70年代的描述电磁力、弱力以及强力的数学模型：其把不包括引力的基本力和所有玻色子和费米子以及其变种都看作李群及纤维丛等微型的几何构造在时空中运动的结果更优美的大统一理论的尝试还在继续，而对能解释一切万物理论：弦论和圈量子引力等：前者用多时空维度中振动的弦和膜描述所有基本力和粒子，后者把所有基本力和物质都用单一几何构型的扭转来描述，即E8统一场理论。这些试探性理论谁对谁错，如今还不知道，将来抑或它们都错了。; 个人分类: 科学史|4537 次阅读|6 个评论

体制的几何化: yanghualei 2011-1-7 09:16; 1.具备什么结构和成分的材料才能吸收所需要的净水进而过滤掉不需要的污垢，推演下那具体什么样的社会体制才能更容易的吸收譬如科技成果，但对那些文化垃圾起隔离作用，如果在研究体制以及设计体制过程中能把体制结构化，进而几何化和材料化，那就可采用几何知识，结合材料性质去探讨体制问题。 2 . 达尔文的进化论好像只适合真核生物，其强调自然环境在选择中，地理隔离在基因突变的重要性以及由此决定的生物性状基因传递的纵向性，但对于古细菌以及部分多细胞生物性状的基因更多是通过横向模仿或者交流获取，从社会学上可以这样理解，把基因类比成资本，一般资本的获得可通过继承有血缘关系亲戚（即纵向）或者接受友人的馈赠，或在市场等价的互利交换和对别人进行掠夺和剥削获得（横向）。 3.实际上满意和不满意是对存量特别是对趋势的感触，一般说来你知识越渊博则会越幸福，对于一个非常渊博的人，过一段时间后知识减少了则其就会感觉到不满意，即使现在其很渊博；但相反另一人以前就懂一点，如今学了点即使其现在不是太渊博，但其会很满意，说明趋势会影响满意；用0阶导数，1阶以及高阶分析人对某一方面的满意度，有些情况下即使不满意但还去做了，这是因为其在其他方面是满意的，一般满意不满意涉及着利益得失，同时在对满意测度问题上尽量把满意转化成可以观测的量，譬如市场上对交易行为的满意程度，就把满意转化为是否满足广义的交换条件。; 个人分类: 社会观察|2641 次阅读|1 个评论

一个老外眼里的世博会 - 构造几何: harveyho 2010-12-11 02:25; 朋友Alex很喜欢中国文化，这次去上海三周，除了在小班学汉语之外，流连在博物馆，寺庙，当然也不忘去金茂，开瓶器顶层酒吧撮几口。世博会他去了四次，拍了很多稀奇古怪的玩意儿。这是他的世博图片里颇有几何味道的几张，贴出来分享。第一张为西班牙馆：开瓶器：; 个人分类: 人在旅途|3157 次阅读|0 个评论

意大利数学—曾经辉煌: frickeliu 2010-6-8 17:53; 提起意大利，我们会想到什么？文艺复兴?足球？被她围起来的教皇？我们今天来说说她的数学。 17世纪的亚平宁半岛，诞生了伟大的科学家Galilei(1564-1642)。但真正的辉煌时期是在19世纪。第一代分析学家：代表人物有：Betti(1823-1892) Galois理论的引进，Riemann拓扑思想(代数拓扑中的Betti数），弹性理论 Brioschi(1824-1897) 椭圆模函数与群的关系 Casorati(1835-1890) 独立于Weierstrass获得一系列解析函数的定理第二代分析学家：代表人物有：Volterra(1860-1940) ,Pincherle(1853-1936),Dini(1845-1918),Ascoli(1843-1896),Arzela(1847-1912), Morera(1856-1909),Cesaro(1859-1906),Peano(1858-1932),他们在积分方程，泛函分析等分析邻域做出了很大的贡献，念过本科数学的人就学过他们的定理，成就最大的Volterra在国际数学家大会上作过四次大会报告，困怕是后无来者了。第三代分析学家：代表人物有：Vitali(1875-1932),Fubini(1879-1943),Tornelli(1885-1885-1946),他们的成就虽不及上一代，但以他们名字命名的定理也已见诸于初等分析教材。第一代几何学家： Cromona(1830-1603),Beltrami(1835-1903),Battaglini(1826-1894),他们是代数几何，微分几何的先驱第二代几何学家：代表人物：Ricci(1853-1925),绝对微分学的创始人，他的学生Levi-Civita(1873-1941),建立了平行移动的概念，预示了联络概念的诞生，Bianchi(1856-1928),著名的Bianchi恒等式就是以其名字命名的第三代几何学家：代表人物：代数几何三杰：Castelnovo(1865-1952),Enriques(1871-1946),Severi(1879-1961),他们的成就不用介绍，每一个懂点代数几何的都了解。当代：物理学大家Fermi(1901-1954)(杨振宁的导师），数学也是绝好； De Giorgi(1928-1996),1990年Wolf数学奖获得者，研究偏微分方程，变分法，几何测度论等邻域 Bombieri(1940-),1874年Fields奖获得者，研究邻域极广，从数论到变分法，偏微分方程等，目前在高等研究院工作，仍有优秀工作问世。代数几何大家Zariski(1899-1986),1981年Wolf数学奖获得者，虽不是意大利人，但其曾在意大利留学，是意大利代数几何学派的传人。 Gallavetti,还比较年轻，研究动力系统（Arnold扩散），1998年国际数学家大会报告人（据说他的证明是错的），不过水平还是不错的当代著名几何学家Galabi(1923-)(就是Yau前面的那个），也生长在意大利，16岁后去了美国求学，工作 1964年，在靠近克罗地亚的海滨小城Trieste成立的的国际理论物理中心（ICTP),是世界著名的数学中心之一。其他著名的学术中心有：比萨高师，罗马大学等现在，在代数几何，微分几何，多复变函数，泛函分析等研究邻域，意大利学派仍在展示着她的辉煌。; 个人分类: 数学史|9829 次阅读|2 个评论

mirror - 说明、证明的难点——如何教授孩子图形的证明？: liwei999 2010-3-7 08:47; 说明、证明的难点如何教授孩子图形的证明？ (1911 bytes) Posted by: mirror Date: March 06, 2010 08:17AM 正方形沿对角线对折，两个角重叠。这个事实孩子可以通过折纸体会，但是如何证明呢？最典型的就是用几何证明的方法了。当然还有解析几何的方法。问题是十三、四的孩子是如何思考的呢？这是个有趣的现象。几乎是同一个时间里，科学网上有个问题热力学系统为什么只有两个独立参量？（）。说实在的，网上讨论问题的主力就是蒋科学们，而不应该是很严肃地、正经八百地探讨专业。虽然人们幻想去讨论科学，但是不客气地说，门槛相当高。有多么高呢？北大学物理的人可以算是佼佼者了吧？能以物理为职业的人恐怕不过10％。因此，科学网不会成为讨论专（职）业问题的地方，而只能是谈论科学的地方。打个低俗的比方，不是妓院＝嫖娼＝解决性问题的地方，而是大男学生的集体宿舍＝谈论性的地方。之所以要这样说，是因为不这样说很多人就不明白。回到那个几何证明题上，不用三角形全等的概念如何证明对折后角的顶点重叠呢？用了一天的时间，孩子终于理解了用尺子量（＝坐标计算）也是个证明办法。说白了，一张纸可以折叠，一块钢材就折叠不了了。这时候如何办？就是个问题了。起源的问题在东方文化中不象在西方的那样深刻。人们认识起源的问题不过就是个没有共产党就没有新中国的档次。以前在网上出过一个思考题，如何作一个直角尺？这个问题看起来很简单。但是应该说可以是个奥数题的档次了。另一个类似的题目是如何作出一个正方体来？大约国人的大学生们就知道一个买来的办法。什么叫学问？有人提过教授是否要拼刺刀的问题。镜某认为没有必要在老花了眼年纪去拼刺刀。要紧的问题是能给出一个合理的加工顺序、手续。工程师与工人的区别就是能设计出来这个手续来。科学的事情还是拜托给蒋科学们为好。热力学的问题，如果是有教学生的任务，镜某可以助一臂之力。如果就是个爱好，镜某以为还是放弃了为好。还是思考一下如何加工立方体吧。之所以要抛出这样无聊的问题，是因为恶魔都藏在细节当中。先考虑以下这样貌似简单的课题，就可以想像各位博主喜欢讨论的大课（问）题有多么难了。 http://www.starlakeporch.net/bbs/read.php?1,62120; 个人分类: 镜子大全|3213 次阅读|1 个评论

讨论班（有讲稿）：Berry相与几何（杨大宝）09.12.10.: GrandFT 2009-12-6 09:43; 周四讨论班：Berry相与几何 (Berry phase and geometry) 时间：2009.12.10. 下午 4：306：10 地点：18教学楼405室主讲：杨大宝推荐文献（你也可以自己找其他相关文献）： 0) 倪光炯,高等量子力学（第二版），高等教育出版社，或随便找一本量子力学书，熟悉一下Berry相位 1) Dariusz Chruscinski and Andrzej Jamiolkowski，Geometric phases in classical and quantum mechanics，Birkhauser （Boston）(2004) 2) A. Bohm, A. Mostafazadeh, H. Koizumi, Q. Niu, and J. Zwanziger, The Geometric Phase in Quantum Systems: Foundations, Mathematical Concepts, and Applications in Molecular and Condensed Matter Physics，Springer (2003) 3) 孙昌璞，量子绝热近似理论与Berry相因子：推广与应用(附录部分)，量子力学新进展（第二辑）杨大宝的讲稿; 个人分类: 周四讨论班|3360 次阅读|3 个评论

几何大自然: liangjin 2009-4-19 08:24; 塔势如涌出，孤高耸天宫。　　登临出世界，磴道盘虚空。　　突兀压神州，峥嵘如鬼工。　　四角碍白日，七层摩苍穹。　　下窥指高鸟，俯听闻惊风。　　连山若波涛，奔走似朝东。　　青槐夹驰道，宫观何玲珑。　　秋色从西来，苍然满关中。　　五陵北原上，万古青蒙蒙。　　净理了可悟，胜因夙所宗。誓将挂冠去，觉道资无穷。 -- 摘自岑参与高适薛据登慈恩寺浮图大自然鬼斧神工，有柔美繁茂，也有简洁几何：直线天际图片摄于西班牙海岸圆彩虹：佛光（图片摘自 www.hb.xinhuanet.com ）圆形的彩虹有时被称为佛光，即一个七彩光环。在佛光中可以看到人影。而且人影随着人而动，变幻奇妙。这种圆彩虹，我在飞机上也见过，当时的情景是云海上面镶嵌了一个彩虹环，环中映着飞机，美极了。可惜相机没电了，没有拍下来，遗憾地当时就想从飞机上跳下去。圆形水洞：洪都拉斯蓝洞。距洪都拉斯伯利兹市60英里的海域有一处叫做蓝洞的水下坑洞，这个大洞直径为1000多英尺，洞内水深480英尺，是冰河时代末期形成的一个石灰石坑洞。（图片摘自http://blog.gmw.cn/u/llxxddww7171/archives/2009/53234.html）圆形沙眼 - 毛里塔尼亚的撒哈拉眼。撒哈拉眼位于撒哈拉大沙漠西南部毛里塔尼亚境内，直径为30英里。最初人们以为是陨石落下地面形成的，后来有地质学家认为这是地面隆起并受到侵蚀的产物。（图片摘自http://blog.gmw.cn/u/llxxddww7171/archives/2009/53234.html）方形山顶 - Square Top Mountain，美国Wyoming（图片摘自 http://encarta.msn.com/media_461536535_761575281_-1_1/square_top_mountain.html）圆柱悬崖图片摄于北爱尔兰巨人之路（causeway in North Irland）。巨人之路位于北爱尔兰东北海岸，看起来就象巨型石阶。它是一座古老火山喷发的产物。这些玄武岩柱大部分都是六角形，也有其它多边形。最高约为12米。悬崖上部分凝固熔岩达28米厚。7年前造访，至今历历在目，忘不了那令人叹为观止的精巧。六角型岩石 - 图片摄于北爱尔兰巨人之路（Hexagon shaped rocks at the causeway in North Irland）球石这些大的球形石里还包含有小的球形石（图片摘自 http://www.travelblog.org/Photos/2206859.html ）圆锥山丘 - 菲律宾巧克力山，1268个面积相同、几近完美的圆锥形山丘组成，占地达50平方公里。（图片摘自http://blog.gmw.cn/u/llxxddww7171/archives/2009/53234.html）四面体岛屿四面体型英语中叫金字塔型，金字塔岛位于美国内华达州（图片摘自 http://www.dramainnature.com/photograph_of_pyramid_island_man_poster.htm ）梯形岛屿图片摄于英国爱丁堡东海岸三角百慕大 - 亦称魔鬼三角区，这是一个隐藏在海中的三角区域，以神秘莫测著名。（图片摘自 popul.jqcq.com/extend/2005-12/1133918003.html ）; 个人分类: 生活点滴|7362 次阅读|1 个评论

学习平面几何抑制创造性思维: liuxiaod 2009-1-11 10:26; 对大部分中学生来说，学习平面几何（也包括立体几何）不是一段愉快的历程，特别是证明部分，必须严格遵守欧几里德的定理，很令人乏味。我们的传统观念认为，几何学可以培养学生逻辑思维能力，特别是几何证明过程中，必须严格遵从欧几里德定理，不能越雷池半步，这与中国的教育传统有暗合之处，所以倍受推崇。几何原理是一个封闭的知识体系，对欧几里德来说，是他个人的巨大成功，只要遵从他给的定理，就可以解决所有的平面几何学问题，欧几里德躺在地下也会笑出声来。其实我们仔细考察一下几何证明的逻辑，就会发现其证明逻辑有很大的漏洞，甚至可以说是伪逻辑。因为真正的证明部分都由欧几里德完成了，并被写成了定理，我们现在要做的就是把定理当成模子去套，看看找到的已知条件是否符合定理，符合就可以从这个模子里得到需要的结果。这样我们实际上根本没有去做任何实实在在的证明工作，我们只是在用定理的模子去套结果。欧几里德的定律保证了符合模子的就是正确的，不符合模子的就是不正确的，所以我们可以安心理得的用这套（伪）逻辑学习几何证明。如果一个学生从中学开始就接受这样的思维定式，就很难有发散性思维和创造性思维，越是在高考中以高分考入名牌大学的学生，他们的思维被禁锢的越坚固。即使偶尔出现一两个新颖的想法，我们也会问有根据吗？有文献吗？根据某项定理如何如何，根据常识如何如何等，不愿越雷池半步，殊不知创新是不可能从封闭的知识体系中得到的。我认为如果从培养学生逻辑思维能力方面看，完全可以采用其他的方式和方法，不必一定要学习几何证明。另一方面，除了升学考试，在实际工作和生活中几乎不用几何证明，用的最多的是几何数值计算。在美国，中学生也要学习几何，但是从来不学习几何证明。考过ＧＲＥ的人都知道，美国研究生考试的数学部分出奇地简单，只相当于中国初中生水平，几何知识仅限于三角形，平行四边形的周长和面积之类的计算。我们常常嘲笑美国学生数学基础差，但是无法否认美国学生的创造力很强，这里面有很多原因，其中不学习几何证明就是一个很重要，又几乎被我们忽略的原因。为什么中国的学生学者没有创造性？在我国，几乎所有的科技从业人员所受到的逻辑训练都是从几何证明开始的，并被牢牢地强化，变成天经地义，把科学研究过程看成在以有的理论框架下套结果，这就是我国科技习惯于跟着别人不能超越的原因。; 个人分类: 生活点滴|2567 次阅读|0 个评论

徐家汇—徐光启—几何原本: 热度 1 rqyang 2008-12-1 07:58; 图 /Google 文 / 青水洋不是上海人大概也有许多人知道徐家汇，但是徐家汇名字从何而来，许多上海人，包括身居徐家汇的人也不大清楚。徐家汇原名徐家厍，是徐光启家族居住的地方。因徐家厍在法华泾和肇嘉浜两条河流汇合处，因此后来人们就把它说成了徐家汇。徐光启（ 1562 年－ 1633 年），松江府上海县人，是明末著名的科学家、农学家、天文家和中西文化交流的先驱，同时他也是著名的三大天主教徒之一。我国的近代科学、历法、农业、水利、军事等的发展，都跟徐光启有密切的关系。中国使用了几百年的《大统历》到了明朝误差累积，差错频发。徐光启吸取了欧洲先进方法，准确预报，因而名声大振。此后他参与和负责了艰苦的改历工作，编译成 46 种 137 卷的《崇祯历书》，为我国天文学作出了重大贡献。徐光启出身农家，对农事极为关心。他重视救灾救荒，讲究水利建设，亲自进行各种农业技术实验。他的《农政全书》成了农业方面的经典之作。他把生命力强、产量高的福建番薯引到了长江中下游，把水稻引进天津等北方，为力图解决中国人温饱问题作出了重要贡献，在饥荒年代救过无数人的命。有人说，他在这方面的贡献不亚于今天的水稻专家袁隆平。更多人知道徐光启是因为他与利玛窦合作翻译了《几何原本》，为中国人的思维方式开辟了一条新路。现在以《几何原本》为主要内容的初等几何早就成为我国中学的必修课，实现了他 300 年前无一人不当学的预言。 1606 年，徐光启从利玛窦那里学习了公元前三世纪希腊数学家欧几里得的著作《欧几里得原本》，他深深地为它的基本理论和逻辑推理所折服，于是开始了紧张的翻译工作。由于原著是拉丁文，中文里都没有相应的数学专业名词，因此要译得准确而通俗易懂，是一件非常困难的事情。如书名，如果直译成《欧几里得原本》不能反映专著真貌。徐光启通过深入理解，知其核心内容是形学，而形学英文叫作 Geo ，有土地测量的意思。于是徐光启反复思考、对比，最后选择了音近意切的几何一词，于是对我国近代数学产生巨大影响的中译本《几何原本》产生了。另外，现在大家都熟悉的平行线、三角形、直角、对角、锐角、钝角、相似等等的数学术语，都是他呕心沥血、反复推敲的结果。现在这些术语都成了我们常用的基本的知识。徐光启有一个儿子，他的后代著名的有原科技部长徐冠华等；他有不少女儿，其中一个外孙女叫倪桂珍的，她就是名震中国现代史的宋庆龄、宋美龄和宋蔼龄宋氏三姐妹的母亲。 1983 年徐光启逝世 350 周年时，安有徐光启墓地的南丹公园改名为光启公园。徐光启墓占地 300 平方米，高 2.2 米。墓前立有石碑、十字架，石人、石马、华表和石牌坊。墓碑为数学家苏步青手书明徐光启之墓。墓前新建了徐光启半胸一品官服花岗石雕像。左右植有龙柏及常青树。墓东侧建有徐氏手迹碑廊和《几何原本序》等手迹。碑廊背面刻有查继佐所撰《徐光启传》及现代著名画家程十发临摹的徐光启画像。如今，徐家汇已经成为与南京路、淮海路、豫园等齐名的上海最著名的商业中心，光启公园也成为了全国重点文物保护单位和上海市爱国主义教育基地。当然与繁华的商业圈相比，光启公园显得有些冷清或宁静。我去过几次，也都只是遇到一些稀稀落落的人群。有人因此就说这是被遗忘的角落，但我却不然，这宁静可能就是古人的追求。他不是为热闹而来，却是为寂静而去，屈指代数，人生几何，静与闹平行，何必三角相斗！就让徐光启老先生在此好好安息吧，心中的不忘已使他心满意够。; 个人分类: 日记随想|15352 次阅读|18 个评论

四维盒子的展开图: songshuhui 2008-9-2 15:24; 安婆婆发表于2008-06-16 星期一 16:31 分类: 数学 | | 思考有时候是很有乐趣的，特别是你发现解开一个问题的同时，同样的思路能把其他一连串问题也解决了。从特殊的情况推广出一个通用的原则，可是不小的本事，也是相当不容易的一件事。它需要一些洞察力，想象力和把看起来不相关的东西扯到一起的本领。尤其在抽象的问题上，当直觉开始显得吃力的时候，这种推而广之的方式可能会打开从显见通往深奥的道路。柯赫同学诡异的雪花曲线，它怎么会和芝诺的乌龟拉上关系，它俩又如何都能用极限的定义来认识？洞察这一切联系带来的乐趣，大概就像长期忍受便秘之苦终于畅通无阻的快感吧。这样的乐趣可不能让老书虫们给垄断了，精彩的思想不等于复杂艰涩哈。凭着常识和逻辑，也能解开反常识的问题。比如，这个四维盒子的展开图。四维盒子？长啥样啊？呵呵，我也没见过估计地球人都没见过。我想问的是，它拆开来以后是个啥样。大家都见过被拆开压平的纸箱，从一个三维的立方体变成了一串连在一起的二维正方形。那么，四维的盒子拆开以后，我们就能在三维的空间中看到它。你有兴趣来告诉我，你会看见什么吗？想一分钟，再往下看，好不好？让我们来做个推而广之的思想实验，从日常生活中人人都看得见的三维盒子开始。要得到一个立方体，需要六个面。这六个面是什么关系呢？我们观察一个正方形，把它叫做 A 。 A 是一个二维的物体，让它沿着第三维平移到 A 处，它所经过的就是一个三维的空间。把这个空间封闭起来，就成了一个盒子。那么封闭需要几个面呢？观察上面左图，因为 A 和 A 两条相互平行的边之间要一个面来封（叫做 B ）， A 有四条边，所以一共需要四个 B 。哇哈，一个起始面，一个截止面，四个封闭面，这就是一个立方体。把标注过的三维盒子拆开，我们可以见到这样的平面图：起始的 A 各条边都和一个 B 相连，截止的 A 挂在这个对称图形的任意一个 B 上。好了，可以开始联想了。三维物体是用二维物体封闭起一段空间，那么四维物体就是用三维物体来封闭四维空间。所以四维盒子的各个面应该是立方体。剩下的问题是我们需要几个立方体，怎样组合？如果在假想的第四维上平移，我们需要一个起始立方体 A ，一个截止立方体 A ，以及若干用于封闭的立方体 B 。在 A 和 A 两个相互平行的面之间需要一个 B ， A 有六个面，所以总共要六个 B 。看看上面的盒子展开图，四维盒子就不难拆开了：一个 A 在中央，各面粘上一个 B ，在这个对称物体的任意一个 B 上粘个 A ，就成了！怎么样，和你想的一样吗？整个思路并不复杂。就像三维盒子可以有不同形式的展开图，这个答案不是唯一的。其它的情况对想象力的挑战更大，你有兴趣做个不同的展开图不？下次你去高维度大集合星球旅游，别忘了带上这个纸箱皮，帮我验证一下是不是可以折成个四维的盒子。多谢多谢:D 标签：几何 , 数学; 个人分类: 数学|2085 次阅读|0 个评论

维度：让人眩晕的旅程（剧透慎入）: songshuhui 2008-9-2 15:02; 安婆婆发表于2008-07-7 星期一 0:45 分类: 数学 | | ~~~ 热烈庆祝松鼠会回来 ~~~ 写完那个四维盒子的展开图，很多人都跟我说没有看懂。我头皮抓了很久，还是想不出什么样的文字叙述能传递出维度旅行的奇特感觉。灰心中，不小心在网上找到一个免费的电影，居然就叫《维度》（点进来看啊）。结果看 high 了，眼珠子都没舍得转两下。原来是近日才刚刚放到网上公映的，两个数学家和一个电脑工程师的惊人之作。他们的简介是，包你尝到眩晕的数学滋味。果然，不需要多强的数学背景，我这个半吊子爱好者也晕得直呼过瘾。全片两小时左右，分成九个章节。我很开心地在这里做个肆无忌惮的剧透，因为我知道不管说了什么，都丝毫不会影响你看电影时张开下巴的心情。也许最好的准备活动，就是先问自己一个问题：维度是什么？然后看完数一数，答案出乎了你几个意料。关于维度，我们大多数人也就是拿线、面、体来联系一维、二维、和三维。对笛卡尔坐标系有印象的铜子们，就会说维数乃是用来描述物体位置的坐标轴的个数。影片就从这个大众的视角拉开了序幕。不过章节的讲述者并不急于回答这个问题，而是做了个有点奇怪的举动：把地球的表面投影到一个无限大的平面上。在这个平面上，经线都成了向外发散的射线，纬线仍然是一个个圆圈，七大洲的比例变得一塌糊涂，形状却仍然可辨。这是在玩什么呢？呵呵，让我们的眼睛习惯习惯，这是把高维物体向低维空间投影的好办法。你很快会在第二章中发现立体投影（ stereoprojection ）的妙处。把一个正多面体从里面吹气充成一个圆球，它的各个顶点贴在了球的表面，各条边都成了球面上的一段弧线，各个面也都成了球面的一部分。这个球形多面体只是样子变得奇怪了点，它的点、线、面之间的关系都没有变化。那么，就可以照着第一章的投影方法，把球面投影到一个平面上。阿哈！住在那个二维平面上的生物们，就可以通过投影所展现的几何关系，来判断这个三维物体是什么啦。比如正四面体有 4 个顶点 6 条边，正方体有 8 个顶点 12 条边，正八面体有 6 个顶点 12 条边。。。都可以在投影平面中数得清清楚楚。一个正方体横穿二维世界可以留下各种各样的截面，让二维的小居民难以判断；但如果有一张球面投影照片，就很快辨认出来啦。好了，小热身结束，准备观看三、四章，四维多面体们在我们的世界中的投影吧。注意哦，将会有一个只能存在于四维空间的物体出现哦 ~ 欧几里德老先生早在几千年前就证明了，三维空间里只能存在 5 种正多面体。睁大眼睛，看看这个四维的第六者会不会给你带来一点第六感。接下来的两章，我觉得有点松散。网上一个数学专业人士在博客评论说，引入复数变换还不如介绍一下莫比乌斯变换，后者才是立体投影的顶峰。而曼德布罗特集和空间维度的关系更显得牵强了，这玩意儿单独拉出来都能做个两小时的片儿。呵呵，他说得挺对，如果你有点云里雾里了，别对自己的理解力产生怀疑。不过第六章末尾那个漂亮的旅途可别错过了：把一个图案不停地放大、放大，你是不是觉得最后看到的细节，应该是一堆无聊的直线或者一块纯色呢？一起来看看分形图案那美妙的无穷的细节吧。接下来两章我们遇到了四维空间中的球形。球形是没有顶点和边界的，把它投影到平面上和没投一样，先前的办法不管用了。天才的霍普夫想出了一个办法：切开它！三维球面切开来，边缘是个圆圈；那四维球面用一个二维平面去截，出来的边缘是什么呢？看上去满有食欲的一个形状， hoho 。第九章忽然从眼花缭乱的拓扑图形中跳出来，一板一眼的做起了数学证明。初觉有些突兀，一想，不禁暗赞作者的良苦用心。数学这座大厦的根基，是深深埋在这华丽的表象之下的逻辑。我们所看到的任何一个小细节，都是用逻辑推理牢固地支撑起来，其中层层叠叠的繁复，最终又化为简洁或美艳的直观几何图。这些图形也许让人觉得神秘，也许唤起人的美感，也许勾起无限遐想。但只有那些不近人情的铁板证明，才能分辨直觉与幻觉，打消模糊不清的争论，铺起一条超越我们生活的维度之路。踩着人类智慧的坚硬路石，我们可以充满信心地迈向感官局限以外的新世界。影片中的讲述方式很有爱，让人感觉到向这个世界迈进的机会就在自己脚下，只要有一颗开放的渴求知识的大脑。那个世界有多奇妙？本部片子似乎只是个开始。九章结束紧跟着一小段预告，作者们还将推出《维度 II 》，里面连那个洛伦兹吸引子都有（我为什么也写过，惊了），用来说明拓扑学和物理学的紧密关系。啥时候出来呢？不晓得，我们一起沙发，等吧。向这些免费为公众传播智慧的学人们致敬。尾注一下：片子有多种语言，可惜没有中文。目前的英文版语速不快，只是有些数学词汇大家可能不熟悉，影响理解。他们的网站上有每一章节的注释，和影片内容是一致的，可以帮助理解。标签：几何 , 维度; 个人分类: 数学|1541 次阅读|0 个评论

在祖冲之以前: songshuhui 2008-9-2 14:24; 安婆婆发表于2008-07-20 星期日 21:37 分类: 学科 , 数学 | | 下面一大一小两个圆，光凭肉眼看，你能说出哪一个的周长 / 直径之比更大吗？许多年前，小学数学老师说所有的圆周长和直径的比值是一样的。我信了，可是很长时间都不明白为什么。而且，即使明白了，又该如何去计算这个值是多少呢？在我想出一个方法之前，很不幸地被历史老师提前告知了正确答案：咱老祖宗早就研究过这个了。怎么样，这个老头很眼熟吧，教室的墙上经常可以见到他。这是世界上第一个把圆周率精确到小数点后第 6 位的祖冲之，这纪录保持了上千年，才被欧洲人打破。哇，那他是怎么算的呢？历史老师好像对这个不太感兴趣。后来才知道，祖冲之的算法仍然是个未决的悬案。古书的记载只有《隋书律历志》中一段文字：宋末，南徐州从事史祖冲之，更开密法，以圆径一亿为一丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈朒二限之间。密率，圆径一百一十三，圆周三百五十五。约率，圆径七，周二十二。也就是说，人们只知道祖冲之给出了圆周率介于 3.1415926 和 3.1415927 之间这个答案，以及两个的近似数 355/113 和 22/7 。其他就没有线索了。咦，这个祖先生是南北朝年间的人物，在他之前的人类文明史已有三千多年，在他之后又有一千几百年了。可为什么一提到圆周率人们想起的就是他呢？只是凭着这么简略的一小段，既没说为什么又没说怎么算的记载？合书四顾心茫然，看来得动手动脚找东西。从哪里入手呢？嗯，一个人用什么办法解决问题可以从他的知识背景看出些端倪。他读过哪些书，在朝廷里当什么官，或者做过什么工作，都能给我们一些提示。祖冲之家学渊源深厚，祖父是南朝主管皇家土木营建的大匠卿，而冲之本人精通历法和音律。这些技术全都需要算学的功底，可现在已经很难考证当时的学界推崇哪些算学书籍。不过，晚些时候的唐代国子监里把一套《算经十书》作为标准教材，包括《九章算术》、《周髀算经》、《海岛算经》、《孙子算经》、《夏侯阳算经》、《张丘建算经》、《缀术》、《五经算术》、《五曹算经》、和《缉古算经》，用于教习和考试。其中《缀术》是祖冲之所撰，前面六部的成书要早于他的时代。既然被后来的朝廷选为官方教材，说明这些著作的权威性是比较大的，祖冲之很可能熟习了前几部古书中的计算技巧。那么其中有没有人提到过计算圆周率呢？有。而且看这个人留下的文字，闪烁的智慧丝毫不逊于后人。很可能就是这些思想，把祖冲之引向了辉煌的 6 位小数。这个人叫刘徽，生于三国时期，为《九章算术》作了很详细的注解。《九章算术》在现代的名声远远盖过算经十书里其他几部，大部分功劳得归于刘先生。其余枝节且按下不表，单看他如何拆解圆周的玄机。在刘徽之前的古代文字记载中，圆周率是径一而周三，也就是整 3 倍。从中国人的文化传统看，这个值很可能是匠人们（尤其是木匠）在劳动中的经验总结。想象一下，许许多多的匠人砍下大树为房屋搭柱子，他们要比较长度、面积、体积这些最基本的几何关系。在无数次测量中，柱子横截面的周长和直径之比总是在 3 左右，有时多点有时少些。搭房子不需要计较差的那一点零头，于是业界就把这值取为三，用起来也十分顺当。《九章算术》里有许多关于圆的问题，原作者给出的答案都是基于这个比值 3 算的。好，我们在这里停一停。咳咳，你是一个生活在 21 世纪的新好青年，你知道圆周率至少是 3.14 。如果有一天寻秦记不幸在你身上上演，被派到赵国去说服他们的木匠，说柱子周长比直径的三倍还要略大，该怎么完成任务呢？备上一条量衣皮尺去量给他们看么？你有比这更好的建议吗？刘徽敏锐地察觉到了这个 3 的谬误，批注在《九章》相应的题目下（方田术三十二）。他的理由聪明又简洁：在圆内画一个内接正六边形，如果圆直径是 1 的话，这个六边形的周长就是 3 。而六边形的周长显然比圆小，那么圆周和直径之比肯定大于三了。更进一步地，从比较正六边形和圆的思路出发，刘徽找到了一个计算圆周长的方法割圆术，即不断增加圆内接多边形的边数。他说，割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。边数越多，周长和圆周越接近；无限地割下去，就可以无限趋近于圆周。这样，算出多边形的周长作为圆周长的近似值，除以直径，就得到圆周率的近似值了。边数越多，就越精确。这个思路并不复杂，落实起来却有个问题需要解决：怎么实现割之弥细这个过程呢？在地上画一个大大的圆，然后在圆里画一个很多很多边的多边形，然后计算多边形的周长？你能告诉我 96 边形的周长有多少吗？有点难。直接算很多边的形状有点无从下手。刘徽迂回了一下，使用递推的办法，从边数少的形状开始往上增加。观察下图：对于一个圆内接正多边形，把每条边对应的圆弧平分，就能得到一个边数是原来两倍的正多边形。如果我们从原来的边长 AB 能推出新多边形的边长 AC ，问题就解决了。因为 C 是个平分点，整个图形是对称的，那么 OC 就垂直平分 AB ，也就是说 ADC 是一个直角三角形。其中 AD 的长度是 AB 的一半，很好算；只要求出 CD 就能用勾股定理得到 AC 。而 CD 又恰好在半径 OC 上，那么 CD 等于半径减去 OD 。 OD 是多少？哈， ODA 也是个直角三角形呀，而且 OA 就是半径， AD 又已知， OD 不就用勾股定理算出来了吗？跨过这道坎，通往圆周率的路上就只剩下计算了。刘徽选择了正六边形作为递推的起点，因为它的边长很容易算，就等于半径的长度，在图中就是 OA=AB 。把半径设为 1 尺，他一直算到了 96 边形的周长。他由 96 边形求出来的圆周率是 3.14 。哦，原来祖冲之还没生下来的时候，算圆周率的方法就已经出来了！而且只要努力地割之又割，总能算到更精确的值。虽然祖冲之的结果比 3.14 多了四位小数，可开创性的工作是来自刘徽嘛！即使祖先生有更好的算法，也已经遗失无记载，而刘先生的评注清清楚楚地写在《九章算术》里面。为什么前者的知名度比后者高那么多呢？挂在墙上的应该是刘先生的画像才对啊！冷静，冷静。如果数一下从六边形到 96 边形，不过是 6 、 12 、 24 、 48 、 96 ，迭代了四次而已，可是计算量已经非常惊人了。那时连算盘都还没发明（我们引以为豪的算盘是宋朝以后才出现的），人们的工具是算筹。计算规则和我们今天用阿拉伯数字进行笔算的方法大同小异，只不过每个数字都用相同数目的小棍儿来代替。想象一下这会产生什么麻烦吧：你写在纸上的 3 决不会自己变成了 12 ，可是如果摆在个位的三根小棍，有一根不小心被碰到了十位上，接下来的计算就差得十万八千里了。最麻烦的是，在使用勾股定理求边长的时候得开平方。想一想，用一堆小棍子手动开平方啊！从六边形到 96 边形，这平方一开起来可是昏天暗地，如果边长还带着小数点。。。所以，虽然祖冲之很可能直接采纳了刘徽的思路，他可不是吃干饭捡便宜的闲人。你可以作个弊，用计算器来试试，看祖先生精确到第六位需要一个几边形，算出它的边长需要给哪些数开几次平方。当然，还不过瘾的话可以自己手动开一个看。更有趣的，祖冲之不仅算得准确无误，他给出的还是上限（盈）和下限（朒），正数在盈朒二限之间。这显然是一个考虑更周详的提法。不禁让人猜想，祖先生是不是用外切多边形和内接多边形分别逼近，来求出一大一小两个边界的呢？还有那两个作为近似圆周率的 355/113 和 22/7 ，是怎么来的呢？尤其这个 22/7 ，和地球另一边一个遥远希腊国度里的数学家，阿基米德，在公元前 2 世纪得到的结果一模一样。他们的思想会不会有巧合？不得而知，不得而知。我很庆幸读过了刘徽对《九章算术》的注解，很庆幸知道了祖冲之并不是唯一对圆周率做出大贡献的中国人，还有个牛人能站出来和他 PK 。这些为我解开了不少长久的疑惑。不过，最无聊的人大概还是我，拿两个不同朝代的人出来说三道四。他们本来哪有什么 PK 关系，明明是前辈开垦，后辈传承的一个好例子。我想祖先生一个人待在墙上，看小学生们呆滞地背诵他的世界第一，也许会倍感寂寞吧。他会不会更想和那些伟大的不该被忽略的先辈们站在一起，看这悠远的学术血脉重获新生？推荐阅读: 关于刘徽对圆周率的注解,这里有一篇文很靠谱,但愿大家打得开: http://www.nsc.gov.tw/_newfiles/popular_science.asp?add_year=2004popsc_aid=142 标签：几何 , 数学史; 个人分类: 数学|1511 次阅读|0 个评论

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