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球面上的布朗运动2--更简单的模拟方法: 热度 1 zhongwei2284 2017-5-14 17:38; 之前博文介绍过一种通过切平面模拟球面上的布朗运动的办法（球面上的布朗运动 http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=spaceuid=739225do=blogid=1052159 ），除了这种方法之外，还有其他可以在球面上产生随机运动的方法吗？当然，其中有一种方法饶有趣味，我们都直到一维的圆可以通过一点与某固定点（圆心）组成的直线旋转 360 度得到，而二维球面可以利用某个圆旋转 180 度得到，那么球面也将是三维球体的赤道（三维的球到底会长成啥样？？），赤道周围环绕着薄带（宽度为 E ），因而可以通过在三维球面上产生布朗粒子（已经有比较有效的办法），让产生的布朗粒子与薄带上的点对应起来，当取极限 E--0, 则得到了二维球面上的布朗运动情况了。当然，这里需要介绍的并不是这个先跑到三维球面再跑回二维球面的办法。 Fig.1 球坐标系示意图我们都知道，二维的球面可以用球坐标系建立其角度与球面上的点的关系，即： x=rsinθcosφ y=rsinθsinφ z=rcosθ 对于单位球，半径为 1, 此时，只需要选择角度 theta 和 fai 随机变化，利用随机数，让 theta 和 fai 和平面上的 x ， y 一样。当考虑二维平面的随机行走时，粒子有四种选择，分别是向上（ 0,1 ），向下（ -0,-1 ），向左（ -1,0 ），向右（ 1,0 。此时的 theta 和 fai 同样可以有类似的组合，即考虑粒子的下一步是向东走一步，或者向西，或者向北，或向南。每次的结果位置做为新的起点位置重复此上面的操作。最终可以得到球面上的布朗运动的轨迹如 Fig.2 所示： Fig.2 球面上的布朗运动。图中， 1 为 t=4000 此的结果， 2 为 t=40000 此的结果， 3 为 t=200000 此的结果， t 为布朗粒子运动的步数（或称之为时间）对于二维平面上的布朗运动，我们都知道在无其他干扰的情况下，是属于正常扩散的，即布朗粒子的均方位移（ meansquare displacement ）随着时间 t 的关系为 r^2~ t 1 其中是求平均。通过计算，可以得到此时的球面上布朗粒子的运动的均方位移与时间的关系见 Fig.3, Fig.3 球面上的布朗粒子的均方位移与时间的关系啊哈，看来球面上的布朗粒子依然是正常扩散！那么问题来了，如果球面上的布朗运动可以通过这种方法产生，那切平面的办法还有必要吗？当然，切平面的方法可以对任意的曲面都适用呢！一般情况，曲面上的点总是可以得到切平面的，如果要考虑凹凸不平的曲面上的布朗粒子的运动，我们只能用类似于切平面方法的方法了。注1：本文只是对上篇博文（球面上的布朗运动 http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=spaceuid=739225do=blogid=1052159） ) 的一个补充。注2：Fig. 1 来自网络 Reference: T. Carlsson, T. Ekholm, and C. Elvingson, “Algorithm for generating a Brownian motion on a sphere,” J. Phys. A: Math. Theor. 43 , 505001-1–10 (2010).; 个人分类: 那些贝壳们|8857 次阅读|1 个评论

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