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开卷有益(附：愚公移山): 热度 5 youmingqing 2019-4-23 09:32; 应《力学与实践》编辑部邀请，4月20日到北京参加刊物出版40周年纪念会。会间休息谈及朱老师的文章“ 牛顿《原理》三百年祭，力学与实践， 1987 , 9(5):1-2 ” 。 2008 年武老师在科学网博客作了详细介绍，并附录朱老师的原文及补充说明“一点后话”。下面两段话摘自朱老师的文章。《原理》给出的运动定律和万有引力定律，不可能在中国固有的科学技术传统中得出。中国的历史文献中 , 始终没有加速度这种概念。中国的传统数学，也还没有为产生加速度和万有引力概念提供必要的工具 —— 圆锥曲线理论。伽利略 (Galileo Galilei 1564-1642) 从自由落体运动规律中归纳出加速度概念时，用到了抛物线的性质。牛顿从行星运动规律导出万有引力定律，需要用椭圆的性质。在欧洲，圆锥曲线理论这一工具是现成的，早在古希腊，阿波罗尼 (Apollonius 约公元前 260 - 190 ) 在他的《圆锥曲线》专著中列出了 40 0 个命题。在中国，椭圆的“椭”字(古文是提手旁) 只是“拉长”的意思(如见《史记·平准书》)。“椭圆”一词最早可能见于《测量全义》 ( 1 63 1 年 ) 和爱新觉罗 · 玄烨 ( 康熙 1662 -1722 ) 主编《数理精蕴》中《几何原本》的节译本, 而“抛物线”一词则在李善兰时期才有。我国科学传统方法中整体的观点、系统的观点远比西方多些 , 但我们也不会忽视固有传统中的弱点。不然的话 , 为什么连椭圆也得从西方引进呢 ? 我们还是采取分析批判的态度 , 扬弃 ( Aufheben) 的态度。因圆锥曲线而想到三角函数，知道是徐光启 (1562-1633)在 1631年从西方全面引进；读论文姚芳，刘晓婷．历史上最早构造的三角函数表: 弦表．数学通报，2008，47(11): 23-26 ，看到Ptolemy C. (约100-170)《天文学大成》的弦表。文中脚注计算时所用的 “ Ptolemy 定理：圆内接四边形的对角线乘积与对边乘积之和相等 ”。知道了41年前初中的几何题竟源于构造正弦函数表的实际需要，真是高兴呢。我将相关内容写在下面以向先贤致敬。徐光启1606年方与利玛窦合译《几何原本》，1602年问世的《坤舆万国全图》中弦表想来是从西方著作引用。如表右文字所说，南北向的经度圆每度的弧长均为 250 里(明朝)，而除赤道外东西向纬度圆每度弧长小于此数；各纬度圆每度的弧长折算为相同长度的赤道圆的角度。这个表格相当于用 60 进制给出了纬度圆半径与赤道圆半径的比值即纬度的余弦。现在有 Excel 的 COS 和 INT 函数，计算也就 1 分钟的时间，容易得很；两千年前的手工计算呢？上面的表格来自日本转抄的彩绘本，与下面的原雕版墨印本有两个数字不同：纬度即“ 直圆上度数”为七时墨印本 “ 五十九分三十三秒 ”正确，彩绘本“ 五十九分二十三秒 ”有误；度数为 “ 六十六 ”时彩绘本“ 二十四分二十四秒 ”正确，墨印本数字不清，似为 “ 二十四分二十七秒 ”而有误。另有两本相同的错误 5 处，均是秒数：直圆上度数为三、三十三、三十八、四十四和五十三时，相应的分数正确，秒数的excel 计算值为 55.1 、 19.2 、 16.8 、 9.6 和 6.5 ，修整后不是表中的 52 、 29 、 27 、 20 和 1 。中间 3 个或许只是将十位数的“ 一 ”误写为“ 二 ”，而第 1 个错误看一下表中前后数据就该发现而可避免。最后要说明的是，《坤舆万国全图》所说经度圆和赤道圆每度 250 里 ( 明朝 ) ，周长则是 9 万里；现在所说地球周长 4 万公里源自长度单位米的定义：“ The metre was originally defined in 1793 as one ten-millionth of the distance from the equator to the North Pole ”。 18 世纪最后十年法国经过实际的大地测量制作了 1 米长度的标准试样。显然，今天的 3 市尺等于 1 米、 2 华里等于 1 千米 ( 公里 ) ，是我们调整长度单位以协调国际单位的结果；因而今天的 1 华里绝不是明朝的 1 里，明朝的 90000 里也绝不能换算为 45000 公里。附录：有益性和必要性及可行性 4月30日晨乘汽车两小时到“ 王屋山愚公精神教育基地 ”学习。次日劳动节读了《列子·汤问》，其第二节为“愚公移山”,第三节为“夸父逐日”。　　太行、王屋二山，方七百里，高万仞。本在冀州之南，河阳之北。　　北山愚公者，年且九十，面山而居。惩山北之塞，出入之迂也。聚室而谋曰：“吾与汝毕力平险，指通豫南，达于汉阴，可乎？” 杂然相许。其妻献疑曰：“以君之力，曾不能损魁父之丘，如太行、王屋何？且焉置土石？” 杂曰：“投诸渤海之尾，隐土之北。”遂率子孙荷担者三夫，叩石垦壤，箕畚运于渤海之尾。邻人京城氏之孀妻有遗男，始龀，跳往助之。寒暑易节，始一反焉。　　河曲智叟笑而止之曰：“甚矣，汝之不惠。以残年余力，曾不能毁山之一毛，其如土石何？”北山愚公长息曰：“汝心之固，固不可彻，曾不若孀妻弱子。虽我之死，有子存焉；子又生孙，孙又生子；子又有子，子又有孙；子子孙孙无穷匮也，而山不加增，何苦而不平？”河曲智叟亡以应。　　操蛇之神闻之，惧其不已也，告之于帝。帝感其诚，命夸娥氏二子负二山，一厝朔东，一厝雍南。自此，冀之南，汉之阴，无陇断焉。夸父不量力，欲追日影，逐之于隅谷之际。渴欲得饮，赴饮河、渭。河、渭不足，将走北饮大泽。未至，道渴而死。弃其杖，尸膏肉所浸，生邓林。邓林弥广数千里焉。我不能理解列子作文的目的——夸父的盲目行动归于失败 (?) ，愚公移山最后成功了 (?)。不过，开工之前的论证似乎并不完善，且仅有 “ 其妻献疑 ”；对“ 寒暑易节，始一反焉 ”的实施过程也没有进行反思。移山并非必要，至少有迁居的比选方案啊。时至今日，论证更是常见，如 “大学教师为什么要做科学研究？”、“ 导师要不要跟学生谈人生？ ”、“科研评价要突出原创性标准”以及“科学思维为什么要和人文素养有机结合起来？”。这些都是有益性论证呢，而有益性似乎并不需要论证。 “愚公村”的底砾岩标志着那里曾经历山-海-山的变迁：山沟及其中块石因地质构造运动而沉入水底，被河流输送入海的沉积物而胶结，深埋到地壳而受压成岩；再从海底长出成山，因风化而破碎滚到山下。; 个人分类: 文史闲谈|4694 次阅读|19 个评论

几何作图法解三角函数: mdymww 2018-12-2 10:24; 几何作图法解三角函数 20181201 翻开过去的东西，有一些很有趣，与大家共享。 1. 首先作一个单位圆； 2. 在一个直径上作两个三角形，在其中有两个角分别为 A 与 B ； 3. 图 1 中黑色部分线段表示 cosB ； 4. 图 1 中 Cyan 部分表示 cosA ； 5. 图 1 中是黄色部分线段是 cos ； 6. 图 1 中蓝色部分线段就是结论。图 1 7. 再作一个单位圆； 8. 同样作两个三角形，其中有两个角分别是 A 与 B 如图 2 ； 9. 图 2 中黑色部分线段表示 sinA ； 10. 图 2 中 Cyan 部分表示 sinB ； 11. 图 2 中是黄色部分线段是 sin ； 12. 图 2 中蓝色部分线段就是结论。图 2 这是用直角三角形解释的。; 个人分类: 生活点滴|3535 次阅读|1 个评论

[转载]傅里叶变换，拉普拉斯变换和Z变换的意义: zwli 2011-11-2 17:34; 傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率论、统计学、密码学、声学、光学、海洋学、结构动力学等领域都有着广泛的应用（例如在信号处理中，傅里叶变换的典型用途是将信号分解成幅值分量和频率分量）。傅里叶变换能将满足一定条件的某个函数表示成三角函数（正弦和/或余弦函数）或者它们的积分的线性组合。在不同的研究领域，傅里叶变换具有多种不同的变体形式，如连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。傅里叶变换是一种解决问题的方法，一种工具，一种看待问题的角度。理解的关键是：一个连续的信号可以看作是一个个小信号的叠加，从时域叠加与从频域叠加都可以组成原来的信号，将信号这么分解后有助于处理。我们原来对一个信号其实是从时间的角度去理解的，不知不觉中，其实是按照时间把信号进行分割，每一部分只是一个时间点对应一个信号值，一个信号是一组这样的分量的叠加。傅里叶变换后，其实还是个叠加问题，只不过是从频率的角度去叠加，只不过每个小信号是一个时间域上覆盖整个区间的信号，但他确有固定的周期，或者说，给了一个周期，我们就能画出一个整个区间上的分信号，那么给定一组周期值（或频率值），我们就可以画出其对应的曲线，就像给出时域上每一点的信号值一样，不过如果信号是周期的话，频域的更简单，只需要几个甚至一个就可以了，时域则需要整个时间轴上每一点都映射出一个函数值。傅里叶变换就是将一个信号的时域表示形式映射到一个频域表示形式；逆傅里叶变换恰好相反。这都是一个信号的不同表示形式。它的公式会用就可以，当然把证明看懂了更好。对一个信号做傅里叶变换，可以得到其频域特性，包括幅度和相位两个方面。幅度是表示这个频率分量的大小，那么相位呢，它有什么物理意义？频域的相位与时域的相位有关系吗？信号前一段的相位（频域）与后一段的相位的变化是否与信号的频率成正比关系。傅里叶变换就是把一个信号，分解成无数的正弦波（或者余弦波）信号。也就是说，用无数的正弦波，可以合成任何你所需要的信号。想一想这个问题：给你很多正弦信号，你怎样才能合成你需要的信号呢？答案是要两个条件，一个是每个正弦波的幅度，另一个就是每个正弦波之间的相位差。所以现在应该明白了吧，频域上的相位，就是每个正弦波之间的相位。　　傅里叶变换用于信号的频率域分析，一般我们把电信号描述成时间域的数学模型，而数字信号处理对信号的频率特性更感兴趣，而通过傅立叶变换很容易得到信号的频率域特性。傅里叶变换简单通俗理解就是把看似杂乱无章的信号考虑成由一定振幅、相位、频率的基本正弦（余弦）信号组合而成，傅里叶变换的目的就是找出这些基本正弦（余弦）信号中振幅较大（能量较高）信号对应的频率，从而找出杂乱无章的信号中的主要振动频率特点。如减速机故障时，通过傅里叶变换做频谱分析，根据各级齿轮转速、齿数与杂音频谱中振幅大的对比，可以快速判断哪级齿轮损伤。拉普拉斯变换，是工程数学中常用的一种积分变换。它是为简化计算而建立的实变量函数和复变量函数间的一种函数变换。对一个实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往往比直接在实数域中求出同样的结果在计算上容易得多。拉普拉斯变换的这种运算步骤对于求解线性微分方程尤为有效，它可把微分方程化为容易求解的代数方程来处理，从而使计算简化。在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。引入拉普拉斯变换的一个主要优点，是可采用传递函数代替微分方程来描述系统的特性。这就为采用直观和简便的图解方法来确定控制系统的整个特性（见信号流程图、动态结构图）、分析控制系统的运动过程（见奈奎斯特稳定判据、根轨迹法），以及综合控制系统的校正装置（见控制系统校正方法）提供了可能性。拉普拉斯变换在工程学上的应用：应用拉普拉斯变换解常变量齐次微分方程，可以将微分方程化为代数方程，使问题得以解决。在工程学上，拉普拉斯变换的重大意义在于：将一个信号从时域上，转换为复频域（s域）上来表示；在线性系统，控制自动化上都有广泛的应用。在数字信号处理中， Z变换是一种非常重要的分析工具。但在通常的应用中，我们往往只需要分析信号或系统的频率响应，也即是说通常只需要进行傅里叶变换即可。那么，为什么还要引进Z变换呢？ Z变换和傅里叶变换之间有存在什么样的关系呢？傅里叶变换的物理意义非常清晰：将通常在时域表示的信号，分解为多个正弦信号的叠加。每个正弦信号用幅度、频率、相位就可以完全表征。傅里叶变换之后的信号通常称为频谱，频谱包括幅度谱和相位谱，分别表示幅度随频率的分布及相位随频率的分布。在自然界，频率是有明确的物理意义的，比如说声音信号，男同胞声音低沉雄浑，这主要是因为男声中低频分量更多；女同胞多高亢清脆，这主要是因为女声中高频分量更多。对一个信号来说，就包含的信息量来讲，时域信号及其相应的傅里叶变换之后的信号是完全一样的。那傅里叶变换有什么作用呢？因为有的信号主要在时域表现其特性，如电容充放电的过程；而有的信号则主要在频域表现其特性，如机械的振动，人类的语音等。若信号的特征主要在频域表示的话，则相应的时域信号看起来可能杂乱无章，但在频域则解读非常方便。在实际中，当我们采集到一段信号之后，在没有任何先验信息的情况下，直觉是试图在时域能发现一些特征，如果在时域无所发现的话，很自然地将信号转换到频域再看看能有什么特征。信号的时域描述与频域描述，就像一枚硬币的两面，看起来虽然有所不同，但实际上都是同一个东西。正因为如此，在通常的信号与系统的分析过程中，我们非常关心傅里叶变换。既然人们只关心信号的频域表示，那么Z变换又是怎么回事呢？要说到Z变换，可能还要先追溯到拉普拉斯变换。拉普拉斯变换是以法国数学家拉普拉斯命名的一种变换方法，主要是针对连续信号的分析。拉普拉斯和傅里叶都是同时代的人，他们所处的时代在法国是处于拿破仑时代，国力鼎盛。在科学上也取代英国成为当时世界的中心，在当时众多的科学大师中，拉普拉斯、拉格朗日、傅里叶就是他们中间最为璀璨的三颗星。傅里叶关于信号可以分解为正弦信号叠加的论文，其评审人即包括拉普拉斯和拉格朗日。回到正题，傅里叶变换虽然好用，而且物理意义明确，但有一个最大的问题是其存在的条件比较苛刻，比如时域内绝对可积的信号才可能存在傅里叶变换。拉普拉斯变换可以说是推广了这以概念。在自然界，指数信号exp(-x)是衰减最快的信号之一，对信号乘上指数信号之后，很容易满足绝对可积的条件。因此将原始信号乘上指数信号之后一般都能满足傅里叶变换的条件，这种变换就是拉普拉斯变换。这种变换能将微分方程转化为代数方程，在18世纪计算机还远未发明的时候，意义非常重大。从上面的分析可以看出，傅里叶变换可以看做是拉普拉斯的一种特殊形式，即所乘的指数信号为exp(0)。也即是说拉普拉斯变换是傅里叶变换的推广，是一种更普遍的表达形式。在进行信号与系统的分析过程中，可以先得到拉普拉斯变换这种更普遍的结果，然后再得到傅里叶变换这种特殊的结果。这种由普遍到特殊的解决办法，已经证明在连续信号与系统的分析中能够带来很大的方便。 Z变换可以说是针对离散信号和系统的拉普拉斯变换，由此我们就很容易理解Z变换的重要性，也很容易理解Z变换和傅里叶变换之间的关系。Z变换中的Z平面与拉普拉斯中的S平面存在映射的关系，z=exp(Ts)。在Z变换中，单位圆上的结果即对应离散时间傅里叶变换的结果。; 个人分类: 学术参考|1 次阅读|0 个评论

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