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微积分小卡片: 热度 11 林群 2017-5-12 13:40; 个人分类: 微积分|20366 次阅读|29 个评论

微积分小卡片: 热度 1 林群 2017-5-10 15:38; 微积分小卡片 -- 务实不务虚林群（ linq@lsec.cc.ac.cn ）摘要有三种产品:小学版、初中版、高中版. 经过讲解小学高年级初中多数人高中多数人略有感觉大致理解完全明白与现有大学教材相比微积分大学教材：对大学生小卡片：对高中生课时 80课时 2课时效果多数人不知其所以然多数人完全明白小卡片（一页）比大学教材（百页），课时更少，效果更强. 神！注这个微积分的一些特点：1. 无论小学版、初中版、高中版，都是捆绑在一起的三兄弟，一个是另一个的加强，总的说是统一的一伙；2. 所有论证都不超四行，这应是写书的行规：超过四行的证明不进中学（理想之例：是无理数的证明），高中生多数能承受；3. 小卡片务实、不务虚，聚焦一处，不在于多，擒贼不如擒王. 我写的像研究报告，教师必须转换成中小学生喜欢的语言，因地制宜，耐心讲解，直至教会他们 . 本文后半为附录，先不看 . 少则明，多则惑 . 留着备案，不得已再查 . 引言数学是人类几千年沉淀下来的文化精华，人人必学首先，数学与其他科学一样，使世界（包括思维）更简单 . 数学中最基本的原则为两点之间以直线段为最短（从小狗到婴儿都会 . 据说几千年前罗马帝国开通横穿全国的直路工程，就是为了最快把军队从一头输送到另一头） . 现在百姓最爱过问住房平米，就是用两条直线段的长度来计算面积 . 如果客厅是曲线围成的，怎样算面积？古代方法：以直代曲，用长方形来覆盖，还是变成两条直线段的长度，但无论如何，永远达不到精准值，所以此法不可取；近代方法（微积分）：将这条曲线围成的面积变成另一条曲线中两条直线段的长度，便得到精准值（如乘电梯，直上直下），所以此法可取 . 所以数学（微积分）使世界更简单（以直代曲），人人必须学习这种思维方法 . 其次，各门科学中唯有数学这一门是严格的（马克思说，一门科学只有在成功地运用数学时，才算达到了真正完善的地步），为啥不学？不学白不学！但课本上的数学（微积分），知识点太多，证明太长（ 80 学时才能讲完），中学生无法承受，大学生学完便忘 . 我们的任务：将一本书嵌入一张卡，减少知识点（例如只剩下分子、分母、 0.9 ，像三字经），缩短证明（每个证明不超过四行，几分钟攻破） . 这样，效果更强，中学生可能完全明白 . 微积分不仅用于求面积这样基本的问题，学得好还可以证明电磁波的存在（有一种说法，物理学家麦克斯韦微积分学得非常好，运用微积分证明了电磁波的存在，之后赫兹验证了电磁波的存在），还有科学史家说，若阿基米德的失传遗稿（有关微积分吧）早牛顿100年被世人发现，那么人类科技进程可能就会提前100年，人类说不定都已经登上了火星. 小学版教师需要因地制宜，怎样将微积分思想渗透到小学教材中一微积分的语言：0.99... 公元前 369-286 年小学时听老师讲庄子故事，很吃惊，一辈子都有印象一尺之棰，日取其半，万世不竭项数和 4 0. 9 375 一九 7 0. 99 21875 二九 10 0. 999 0234375 三九 14 0. 9999 3896484375 四九 17 0. 99999 237060546875 五九 …… …… 34 0. 9999999999 4179233... 十九为什么右边会出现 0.99... ？因为中间是一个小于 1 又任意接近 1 的数，总能取到 0.99... （否则例如取 0.98... ，怎么能任意接近 1 呢）举一反三 1. 中学学到三角时，说又任意接近1（令θ缩小），那是什么意思呢？它总能取到0.99...（否则例如取0.98...，怎么能任意接近1呢）. 所以 2. 哲学家说，人类不到百分之百（=1）正确，只能做到百分之九十九，百分之九十九点九，...正确：商家也说，百分之九十九，百分之九十九点九，..., 所以尽可能用0.9...9说事. 再举一反三 3. 庄子故事中，1/n任意接近0（令n增大），那是什么意思呢？它总能取到0.0...01...（）（否则例如取0.0...02...，怎能任意接近0呢）. 即 4. 在前面1中令即柯西的语言切记柯西的教导：“ 摆脱直觉的危险与图解的诱惑，即使显而易见的事实也必须用无可争辩的推理过程来证明”（借Dunham的话）. 公式一多就烦了！简言之，以后只用到夹在0.9...9与之间（不必说成 1-ε 与 1+ε 之间）的量 . 此外，避长就短，今后常说成趋于 1 或（因两头，所以夹在中间的量也），其意思很明白，即夹在 0.9...9 （即 1-ε ）与（即 1+ε ）之间的量 . 常用就习以为常 . 下面言归正传二圆的学问达到的目标：了解圆的构成，以直代曲，且“直 / 曲 →1 ” （即夹在 0.9...9 与之间） . 为什么要讲圆？ 1. 圆是人类最古老的发明至今还在沿用：科学目的造福人类，并非无病呻吟 2. 圆大有学问：圆是曲线，人脑、电脑只会直线（两点以直线段为最短） . 看圆怎样构成圆井由直砖砌成电脑画圆放大看不是圆，只是多边形即以直（弦或切）代曲（弧） . 3. 进一步观察，它们（即直与曲）相除还能保持 → 1 （当弧 →0 ）：这称为高等数学第一题，将反复出现，但到中学才理解或弧弦/弧 0.50 0.9589... 0.10 0.9983... 0.05 0.9996... 参看第一节之1，前式为什么能以算术（0.9...9）代三角（cosθ）？因cos θ→ 1 （当 θ→0 ），那总能保持0.99...（例如取0.98...不能任意接近1. 但别忘了，在9后面一定有别的数，不可能永远取9，因为 cosθ是无理数，见上表）. 后式不证自明（这里为简单对圆作等分，所以每个弦、每个弧都相同）简言之，圆有一道算术题：当分子 = 弦或切，分母 = 弧，则由局部比：（刚从《微积分历程》看到：柯西在证明他的均值定理时也用到这个不等式 . 我们现在对圆（做等分）（ Dunham ）不证自明：每个分子、每个分母都相同）结论：弦（或切）相加 / 圆周 →1 ，或弦（或切）相加 → 圆周（定死了），又称：弦（或切）的积分 = 圆周 . （学生通过这些来反复理解什么叫作“ → ”）让我们守住圆：不懂圆（或 0.9...9 ）就不撤 . 许多人开始不明白： 0.9...9 等价于“ →1 ” ？其实小学生只要知道这些，暂停！但弦（或切）相加永远达不到圆周，即达不到精准的结果 . 就像庄子故事，永远分下去也达不到 0. 尽管如此，却把我们引到了微积分的彼岸下一场戏，就要看怎样由圆的算术钓出微积分初中版：圆变脸意外与微妙 . 微积分大手笔，也就是圆的一道算术题，只是分子与分母的取法有所不同（多潇洒） . 所以，从共性看，微积分藏身于圆，圆变脸便是微积分 . 事实上，我们先有预谋，对圆演习一遍然后偷梁换柱、点石成金便成了下页小卡片 . 数学所以有趣，就像变魔术、耍戏法微积分小卡片（左半为石、右半为金）安民告示像念三字经（三个知识点：分子，分母与 0.9 ）先背下，以后再做题来理解算术假设每个分数的分子与分母足够接近，相除能保持接近 1 ，必然取这里，分子们、分母们可不同微积分就藏身其中：取分子 = 小直角三角形的高 = 微分（命名），分母 = 相应曲边三角形的高（称小高），使之满足算术假设（局部）（也记：割线 → 切线），由算术定理得（整体） 9 的个数在增（随分点在增）也记：微分相加 → 全高（定死）或微分的积分 = 全高此乃微积分基本定理，微积分的五脏六腑都在于此设分母 0 且 9 的个数一样（均匀），则有算术定理由局部分数到整体分数，需要均匀只需验证 . 先验左边：同理，再验右边初中生作为三字经背下. 到了高中再做题来理解注释：卡右出现曲边三角形. 初中生学过直边三角形，所以先将曲边三角形分解为小的直边三角形（又称“微分三角形”见阴影部分）. 然后，用“微分三角形”的高（又称微分）相加起来，来接近原有曲边三角形的高. 所以，实际操作，曲边的高，通过微分的相加，又写成积分（它将是另一图形的面积）. 这也可看作登山的故事：登高与坡度的关系，详见（必读）文末的附件二. 微积分，一本书变一张卡，以少胜多，上演蛇吞象高中版：做题叫阵回访卡中登山图.科普避免公式，侧重故事，尽量采用文字解释，容易造成云雾山中、似懂非懂那么，什么是基本定理呢？到了高中，有了公式的训练与计算的能力，通过做题，取得完全明白下面摆擂台叫阵：曲线下的面积怎么算？ 1. 古代方法：以直代曲，用许多小细条的面积（即两条直线段相乘）相加起来，来接近曲线下的面积. 无论怎么细分，永远达不到精准值，所以不可取！ 2. 近代方法：一条曲线（例如cos）下的面积写成另一条曲线（例如sin）下的高度差（，即两条直线段相减） , 它就是精确值，所以可取！ . 怎么会有这么便宜的事？那我们做几道题，就完全明白了先将曲线的定义区间作等分（为简单），分点为（ θ 为分段的长，各段都相同）例1：cos下的面积先考虑两节点上的高度差（小高）再在所有节点上相加，便得全高右边第一个公因子→1（当θ→0），正是小学版讲圆时遇到的高等数学第一题；第二个求和项，，当 θ→0 正是曲线下的面积（见下图），也称cos x的积分. 结果达到精确值破阵了，其验证不超过四行，高中生完全明白，不难记住！不妨再做一个例2：sin下的面积. 一样有小高：全高：或破阵了，其验证不超过四行，高中生完全明白，不难记住！例3：用tan做一遍，一样有小高全高（有一点麻烦，先不理）或破阵了，其验证不超过四行！例 4 ：用多项式做一遍. 的小高：全高：破阵了，其验证不超过四行，高中生完全明白，不难记住！注：古代方法求抛物线下的面积，会出现平方和：，有公式但得之不易. 对三角题，如，将出现三角和：更难求了. 所以古代求面积的方法应该叫停. 以上例1-4，跟卡中基本定理有怎样的关系？它们既不用卡中算术定理，也不用卡中斜率的概念，那为什么预先（上一节）还要安排那张卡呢？且慢... 欲穷千里目，更上一层楼对三角、多项式做一遍了.能不能做到例5：一般函数f(x)？那么，遇到了函数的高度差有没有表达式？著名的中值定理说其中存在导数,f’,的中值.那么全高（所以承认中值定理等于承认基本定理）. 且慢：中值为什么存在？它动员了连续函数理论与实数理论，成本太高，高中生无法承受. 所以不可取！那么，如果只有导数(或切线斜率）f’(x)，没有中值，那还有基本定理吗？可以：由斜率的定义（用了卡左算术定理，还有上面的斜率概念...）这里积分，或，当 θ→0 即曲线f’(x)下的面积到此，基本定理已破阵，其完全验证也不超过四行，高中生多数能承受，所以可取！摆擂台叫阵告捷. 这时，也只有这时我们才尝到了微积分的鲜活味道！回头看，例1-4，醉翁之意不在酒，只为引出一般理论,例5. 现在也可以倒过来，用例5的一般方法，来统一前面的四个特例统一：基本定理的题解表 →1 →1 f(x) sinx tanx 总之，只要拿几道题，自己做一遍，基本定理就完全明白了.还有必要翻书或引经据典吗？所以数学理论归根结底要做题，做题才是检验真懂假懂理论的试金石，做题才能练出内功、比出高低，达到过硬功夫与真刀真枪质疑传统以上五题，赤裸裸的，只有少量知识点，不超过四行的证明（这是行规：超过四行的证明不进中学），几分钟就明白了. 闪电战速战速决台上十分钟台下十年功这里，用到了实数理论、连续函数理论、微分学理论（中值定理）、原函数、不定积分吗？？？没有！这些花架子务虚花了80学时，太累了.现在务实，只要拿几道题，自己做一遍，几分钟就明白了. 到此，吃了定心丸，公开了的真相，花架子还有什么存在的必要？所以，赤裸裸五题，赤手空拳，务实不务虚，才是微积分的过硬功夫，真刀真枪！总结：基本定理务虚80学时，务实五道题，几分钟. 该收摊了建议微积分一开始就布置这五题，作为打擂台供学生试身手、比功夫.直到他们交卷了，才能肯定微积分过关了. 原函数导数 ... ... 这五题真值得，包含了微积分的最初功能：求导数与积分. 加上四则运算求导，便可以制造导数表与相应的积分，如右表：以后仅仅是例行公事. 所有的教科书都有大量例题，下面仅举出决定性的一招利用上表求单位圆的周长与面积这就回答了小学版没有解出的难题. 小学版的方法达不到精准的结果，却把我们引到了微积分舞台的彼岸，然后过河拆桥，另谋出路（另取分子、分母）微积分大目标已经达到了，你已经非常成功了，一辈子学这么多（五道题）也就知足了. 这就是务实的微积分这五题，是微积分的五脏六腑，或五颗“真金”. 也好比清明上河图太紧张了，太累了微积分重头戏终于演成了！应该喘口气. 且慢，如果你有耐心，还有两场好戏好看附录一副产品（献给高中生）基本定理（即导数表与积分表），要落实到高中生做题上一. 单调判别法高中要解一批极大、极小值问题. 有很多特殊的解法，但机械可行的方法是先求导数，再利用单调判别法所以高中就要学会求导数，不学白不学，不学白丢题! 如果你要知道为什么有单调判别法，那么还要知道基本定理，因为后者直接推出单调判别法. 这样，你不仅知其然，也知其所以然. 二. 泰勒公式会求导数，会用基本定理，我们还能制造出泰勒公式.它是基本定理登峰造极的推论，通常也当做微积分的名片，向人们亮出，说它是初等函数计算的革命. 几个世纪前，人们编制三角函数表，成本极高.自从有了泰勒公式，变成了加、减、乘、除，在计算机上计算到任意精度都是举手之劳.这张名片虽是微积分的顶峰，不过，有了基本定理，推出它也是举手之劳：只用累次积分（不用多重积分），仍然每步不超四行：会求导数，会用基本定理，我们还能制造出泰勒公式.它是基本定理登峰造极的推论，通常也当做微积分的名片，向人们亮出，说它是初等函数计算的革命. 第一阶：第二阶：第三阶：第 n+1 阶：或最后的积分项常为小量，解不出便略去（绝对真理为未知或太复杂，便通过相对真理（多项式）简单化） . 所以，泰勒公式使初等函数变成多项式. 最简单的有特别有回顾古代割圆术，无论把圆分割多少次都是近似值，永远得不到最终值（即极限值）. 但泰勒公式却给出了极限值，不得不令人折服. π的故事（摘自李大潜、善平《十万个为什么（第六版）》）在牛顿和阿基米德发明微积分之前，数学家主要利用阿基米德的几何方法（即割圆术）来计算圆周率。但是，要用割圆术求出较高精度的值，需要计算很多边数正多边形的边长或面积，这不是一件容易的事，鲁道夫·范·科依伦花费了大半生的时间才将计算到小数点后 35 位。要求出更高精度的值，单用几何方法已经是力所不能及了。 17 世纪微积分的发明，使圆周率的计算进入了采用分析方法的时代。基于微积分和幂级数展开理论，人们发现了一系列用无穷级数表示的的计算公式，这些公式不依赖于割圆术。第一个例子由苏格兰人格里高利于 1671 年得到，他利用的积分表示得到了无穷级数展开式令，就得到上式右端称为莱布尼兹级数，它不含根号，具有十分简单的形式，但其收敛速度很慢，还不适用于实际计算，即使计算 300 多项也算不出小数点后 2 位的精确数字。 1706 年，数学家梅钦巧妙地改造了格里高利的公式，得到将格里高利公式带入，就得到收敛速度很快的级数表达式，这是的第一个快速算法。梅钦本人用此方法计算值到小数点后 100 位。以后，又陆续出现了计算速度更快的类似公式，统称为梅钦类公式。可见，微积分的发明开创了圆周率计算的新纪元。附录二扫尾：实数理论（献给初中生）测量需要实数. 利用无限位小数，逐句逐字，或改头换面，耍出一般实数按部就班依序试算联合成不等式最终等式唯一实数的整数部分 ↕ 阿基米德原理选出整数a 小数部分第一位 ↕ 区间分成十份小数部分第二位 ↕ 区间再分十份小数部分第三位 ↕ 区间再分十份找出规律归纳类推至所有位每为多找一个小数位，等号右边的小数点后就在加9，越来越接近1. 这就是华罗庚构造法（，R不能用有限位小数表达）古今总结古人认为：（整数及其四则运算，其中整数之比未必是整数，可能是有限或无限循环小数）任一长度对应华罗庚耍出推论：单调上升且有上界的数列必有极限（这话比较专业，先认下来）讲到三角测量，例如求，它不是有限循环小数. 一般它们都是无限不循环小数，也就是华罗庚说的实数，简单列成表格的故事 ( 抄自网页) 其实，看似简单的一个，却引发了第一次数学危机。著名的勾股定理在西方叫毕达哥拉斯定理，就是这个毕达哥拉斯在历史上提出过“万物源于数”的理论。这个理论听上去有些奇怪，但是如果你仔细了解毕达哥拉斯的学说的话，他的理论还是挺有道理的。毕达哥拉斯还成立了一个像宗教形式的学派，他本人和他的学生们都对数有着疯狂的迷恋。前580-500 前500-? 　　毕达哥拉斯认为宇宙间各种关系都可以用整数或整数之比来表达，并不存在无理数。可是他的一个学生希帕苏斯却证明出了√2是一个无理数，这让学派的其他成员惊恐不已，因而将他抛入了大海，以保守这个秘密。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　无理数的出现深深的困扰着古希腊的数学家，人们无法理解无理数的意义，陷入了逻辑上的困难。这就是第一次数学危机。思考题已被证明为是无理数，问题是怎么发明的？应该先去算它的头几位小数，总算不尽，才怀疑它不是有理数，见上一张表. 后面只是轻松的务虚，不动脑筋了... 附录三微积分还有什么（献给大学生）务实的微积分，除了以上三把斧基本定理、单调判别、泰勒公式还有什么利器？高三、大一必学的，做题应试所必须的，也就是这些. 其它知识点：级数呢？好处理：指数、对数函数呢？它们特别有意思：的导数还是，的导数是 .前者可用来预报人口，只用几分钟（以及前几年已有的数据），后者用来填补积分表.见张景中书《不用极限的微积分》第九讲. 附录四微积分教学法（献给教师）微积分的变与不变：微积分本身不变，还是原来的，只是教学法有变： 1. 使教学复杂度降到底：上演“圆变微积分”与“微积分变一张卡” 触及了微积分的天花板. 2. 微积分重心有变:由务虚的微积分，花哨的一般理论，转到务实的微积分，计算的功夫. 特别是，河里小鱼100条，大鱼只1条，我们只钓大鱼，即基本定理——重中之重！ 3. 微积分减肥：微积分为什么被写得这么厚重《微积分》本是证明基本定理与泰勒公式，但传统的证明要靠中值定理，后者又靠连续函数理论与实数理论，所以常被改名为《数学分析》，变得臃肿厚重，带来严重的副作用：把人误导到实数论与连续函数论，沉浸其中、玩物丧志、偏离主题、分散注意力. 多则惑：这就是为什么多数人学过就忘为从《数学分析》拉回《微积分》，我们躲开中值定理，直奔基本定理.所以瘦身了. 再者，微积分重头戏在于求出微分（即导数）求出积分，列成导数表、积分表. 它们只能拿每一个具体的函数，即一些初等函数（无限可微函数）作靶，并不对任意函数或连续函数唱空城计. 别贪多要舍得. 事实上，如果你能建立起无限可微的微积分（虽然我们只要一次可微）也就知足了.我们的方向：简单至上，不惜大砍大杀. 相反的方向是，把务实的《微积分》篡改为务虚的《数学分析》，把精力放在连续函数、微分中值定理上，造价太高、太奢侈、太累人，只适贵人、不宜草民现在先有了基本定理，中值定理对《微积分》已经没有存在的必要（有点夸张）过河拆桥不过，如果为了求职面试中值定理怎么证明不妨兵来将挡：可以只讲结果、不讲证明（知其然不知所以然），走马看花、应酬一番 4. 微积分倒放了.务虚的微积分有固定模式：实数 → 极限 → 连续函数理论 → 微分学（中值定理＋单调性判别＋泰勒公式） → 基本定理现在倒过来出牌：基本定理 → 单调性判别＋泰勒公式代替了中值定理，成本骤降. 这就是务实的微积分! 5. 必须承认留下一块心病：怎样证明中值定理？我们避开它，只因证明成本太高，但我们不能否认它的存在：北京珠市口天桥上就有它所以我们必须知道它.无可奈何，只能请出它的几何解释（这违背了柯西的教导） - 它可在任何一本教科书找到沈善普干脆把中值定理当做公理供起来，两小时讲完微积分当然，教学法备受争议. 我所以砍杀《数学分析》，只是觉得数学太累人了，适可而止 6. 科普与教材一体化，或教材也写成变魔术、耍戏法，带点夸张，才不使学生睡成一片！附录四华类广义函数（献给研究生）安慰：前面说微积分重在无限可微函数，但利用分部积分，可能将不可微函数变为无限可微.见华罗庚《由单位圆谈起》继续务虚：学微积分（包括圆）能得什么好处？ 1. 学了圆才恍然大悟：尽管圆存在（离中心距离相等的轨迹），人脑电脑却得不到圆，只能以直代曲，以多边形来接近圆：于是你才相信：尽管绝对真理存在，人类却得不到它（它比圆更复杂），只能以相对真理来接近绝对真理：于是你才有了辩证的世界观，不至滑到民间数学家的圈子，否定前人相对真理，一步登天.有这一点提高，就已值得. 其实，醉翁之意不在酒，我们学圆，动机是带出微积分 2. 托尔斯泰等由此观察人类历史《冯·卡门传》：历史只观察大多数人活动的平均效果，系统地目前状态包含着过去的历史. 看来不懂微积分，看高级小说，就知其然、不知其所以然 3. 微积分低成本高收益实例：2000年人口普查，全国挨家挨户访问5亿人花了一年. 若根据马尔萨斯定律，利用过去（1990）人口数据，再应用微积分，一个大学生只花五分钟，即推算出2000年的人口. 马尔萨斯（1766-1834）结果相差6.4%，但成本更要紧. 又例：材料科学基本靠微积分来算. 过去爱迪生为找灯丝的最优材料，做了几千次实验，因为他一点也不懂微积分（据说） 4. 微积分改变世界莉莉安·李伯说，麦克斯韦第一个想出了“电磁场里的波”这个概念，再运用微积分耍出电磁波存在（微积分有没有用，就看你会不会耍） . 之后赫兹验证了电磁波的存在，时代翻页（1831-1879）（1857-1894）克里斯·罗里斯说，若阿基米德“失传遗稿”（有关微积分吧）早牛顿100年被世人发现，那么人类科技进程可能就会提前100年，人类说不定都已经登上了火星（前287-212 ） 5. 吴文俊：微积分为 18 世纪军火制造扫清道路 http://v.baidu.com/watch/04241756129832559483.html 6. 丘成桐：数学改革最简单的做法是把微积分纳入高考，微积分在所有理科，包括经济、医学、物理、现代科技等领域都会用到，但我们现在的高考反而不考微积分，这是很大的错误. 7. 阿诺德：不懂数学的人就不能认识其他任何科学.不要相信所有物理概念，相信数学方案.本世纪初期的纯物理概念已被物理学所摒弃 8. 最后，对学生来说，微积分最实惠的就是帮你应试.不学白不学，不学白丢题！后言（致教师）小卡片的求高图来自《光明日报》《人民日报》（1997）我当然不满足于图解，微积分的成功在于“摆脱直觉的危险与图解的诱惑，即使显而易见的事实也必须用无可争辩的推理过程来证明”（借Dunham的话）. 不过，中学数学也应该有一个行规：每一证明不能超过四行（就像证明是无理数那样） . 所以，当我参加院士丛书（广西出版社1998年）的写作时，就把一个四行的证明写进《画中漫游微积分》 . 见过这证明的朋友，如加拿大陈掌星院士，立刻拍板说“这就是微积分教学的突破” . 之后，专家圈里也得到个别支持：美国 M. Livshits 几处演讲题目就是“由笛卡尔到 ... ”，中国张景中的书称之为“微积分基本定理的林群模型”，美国 Michael Range 的微积分新书称之为“ Ideas of Lin Qun ”，当他看到我的微积分小卡片，来邮件说“我开始的时候不得其解，觉得这怎么可能 . 我花了一段时间来理解，为什么您的“区间导数”或“区间微分”可以绕开技巧，原来估计的一致性已经隐藏在条件之中。我知道 Lax 认为连续应该定义在区间上（即一致连续）而非逐点定义，从而可以避免一些对大部分学生而言十分艰涩的分析结果 . 您对导数（微分）的类似处理有异曲同工之妙” . 网上 liyu 称“这个卡片太神奇了 , 图中间的不等式着实很强大 ( 上下界的选择 ), 高中生或者初中生都可以尝试证明 . 有很强的几何意义 . 之后的证明也非常简洁明快” . 它进入《高等数学研究》（主编张肇炽）的简讯：题目为并进入香港电视剧特别，进入中学生及家长的社会，被评为 “ 2016 中国科学年度新闻人物” 我爱别人赞成，只挑赞成的特例 . 笑话的、反对的多得很：如果你随便问一位教师，他都会摇头网上就有人预言：已经为实践所逐步证实，他们的方法不会成功，也就是不会成为微积分理论和教学主流 . 我还是硬着头皮做实验，例如见北京双榆树小学的网页： http://www.sysyx.com.cn/Item/2248.aspx 声明：所有插图均来自网络 . 附件 1 ：高等数学第一题，三角不等书的李瑜图解（通过比较面积可得）附件 2 《全民科学素质学习大纲》（科普研究所， 2017 ）第二章“数学与信息”， P. 66-67 ，游春光主笔：附件 3 张景中《不用极限的微积分》 P. 232-235 的证明与图解; 个人分类: 微积分|269 次阅读|1 个评论

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