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数学难题挂谷猜想的百年回眸及其川普解: 热度 26 kiwaho 2017-4-18 08:33; 1917 年，日本数学家挂谷宗一( かけやそういちSoichi Kakeya) 提出了数学界著名的挂谷问题，其数学表述为：长度为1 的线段在平面上做刚体移动，方式不限，转动也罢，平移也行，总之不惜采用任何手段，只求转过180 度调头，试问：扫过的最小面积是多少？他在提出此问题的同时，也给出了自己的猜测，也即至今未解的Kakeya 猜想：最小单连通域的面积可能趋于零！挂谷先生为何会提出这么一个烧脑的问题呢？原来他的祖国日本，人多地少，资源捉襟见肘，尤其体现在二战时闪转腾挪很憋屈，也难怪那时候提出了大东亚共荣圈的构想，不过在亚洲邻国眼里，这个共荣圈的本质就是侵略，远比不上中国如今的一带一路。言归正传看一看问题的原型：一位武士在上厕所时遭到敌人袭击，矢石如雨，而他只有一根短棒，为了挡住射击，需要将短棒旋转一周360 °（支点可以变化）。但厕所很小，应当使短棒扫过的面积尽可能小。面积可以小到多少？如梭光阴已是2017 年，算是该猜想等待证实或证伪的100 周年大“庆”，尽管尚无成果可庆。简略回顾求解历程：正如1+1=2 的哥德巴赫猜想一样，看似简单的数学证明，一定能吸引从文盲到大数学家的蜂拥而至。哎，想当年我也蠢蠢欲试。为方便比较，所有给出值都规整为转过360度，除以2便可得扫过180度时的值。先看没有技术含量的“文盲解”和“小学生的解”，前者以线段的任一端作为圆心旋转，后者以线段中心为圆点旋转，后者以节省75% 的回旋面积完胜前者，简单得再添一句描述都显得多余。如下图所示：数学家们肯定不会考虑上述这些几乎没有技术含量的东西。在挂谷宗一提出这个问题后，有数学家发现，若这个线段在正三角形（高为1 ，边长为2/ √3 ）中每一顶点处都旋转60 °，可以算出这种情况下，线段扫过面积为1/ √3= 0.58 ，比小学生的解0.78 略有进步。如下图：当然，若线段夹在两个圆之间，转过180 °的面积既小于整个圆环，又大于半个圆环，当内圆的半径无限增大时，面积趋近于π/8 ，但始终不等于π/8= 0.39 ，比前者0.78 又厉害了一倍多。如下图：能否让扫过的面积刚好为π/8 呢，挂谷宗一本人想到的是借助三尖内摆线，计算表明，这种情况下线段扫过的面积是 π/8 。挂谷本人及其他许多数学家都认为这就是最小面积了。 1928 年，前苏联数学家贝西科维奇（Besicovitch ，AbramSamoilovitch ，1891-1970 ）差那么一点就解决了这个问题，答案是可以任意小。精确描述并理解他的求解过程，得具有数学家的大脑，这显然也超出了本文的科普定位。有兴趣的朋友只好自行探究了。这里仅给出其中涉及到的佩龙树，如下图：显然上述解答几乎50% 地证明了挂谷猜想，唯一没能实现的是单连通域！也就是说调头过程中，线条难免有时要举高无限小高度再转一下，从一个连通域切换到另一个连通域。显然其意义大打折扣。 1971 年坎宁安F.Cunningham 终于在单位圆内作出面积可以非常小的单连通挂谷集，解决了单连通性和有界性两方面的问题。同时，他证明了如果限于星形（即图形内存在一点，连接它与图形中任一点的线段整个在图形中），则挂谷集的面积不小于π/108 = 0.029 。然而无限趋于零的单连通回旋面积仍然遥遥无期。与此同时，地球上智商最高, 甩了著名物理学家霍金一条街，IQ 可达230 的华裔数学家陶哲轩Terry Tao ，对这类世界难题岂能等闲视之。然而几十年辛勤的投入，相对百年的求证，还是不够用，我们只好衷心期待他能最终摘冠！其实是同一个数学问题：看看这个要求是不是太过分了？不给任何回旋余地，还想要“三点调头”？就像下图中的汽车就在平台上原地调头，恐怕只有世界上最牛B 的老司机才能办得到。或者容忍非连通域，那干脆叫2 个大力士抬起来掉头得了。这个数学问题的另一层含义是，如何运筹使得完成倒相行为消耗为零的空间资源。长期被这个问题困扰的肯定是那些蜗居的人们，这就是为何岛国日本人，以及阿拉上海人等的物件收纳水平，汽车驾驶水平世界最高，被逼的啊！遥想10多年前在国内开车，我一个新司机，不到一年的工夫，硬是把崭新的车刮蹭得遍体鳞伤惨不忍睹，每月还收到大把的违停罚款单，尽管自认为挂谷问题琢磨得很透也没卵用；自从来到地广人稀的加拿大，再也不为空间发愁，怎么方便怎么来，哪在乎浪费了多少没必要的空间，车身几年下来也没啥刮蹭。现在来闲扯美国总统川普如何求解挂谷问题在社会学领域的拓扑。曾经的商场成功人士，如今的美国大统领川普，也即特朗普先生，也曾对Kakeya 猜想着谜。从他与陶哲轩教授去年总统竞选时的过招，隐约可见川普先生可能也是一位业余数学家。陶教授当时直言不韪，用复杂的数学公式，证明了川普不适合干总统这个职位。川普也毫不示弱，当天就义正言辞地在twitter 帐号上驳斥陶教授，并揶揄折腾这么久的陶教授，连挂谷猜想也搞不掂，真让人失望！下图复制于他的推特：估计川普的数学演算，绝没有陈景润那样用掉几麻袋草稿纸，也许和我心血来潮那样花了一百多页A4纸，毕竟咱们都是业余爱好而已。其实我真正感兴趣的是他在开始总统生涯后，如何解决疑似挂谷猜想这类政治难题。目前的朝核问题，对他来讲其实就是个政治意义上的挂谷猜想的求解：已知朝鲜铁定要发展成有核国家，且美国铁定不能容忍朝鲜拥核，显然这两者之间绝对对立，无任何回旋余地，如果朝鲜最后服软了弃核，或美国服软了悉听尊便，也即最终和平解决，这本质上就是求解回旋余地=0 的挂谷猜想。其实，他执政100 天之内，发生很多政策180° 大转弯的事情，例如从上任前指责中国汇率操纵国，到今天笑容可掬地声称中国不是汇率操纵国，并拿出中国有很多天（月）没有操纵汇率来证明其最新论断正确无比。在北约等其它问题上，他的政策反相位计算，也只要一天即可完成。观察他的政策倒相运算可以发现，他都是被逼得无路可走，即回旋面积=0 的情况下，实现政策转向的。深挖川普商场打拚的一生，竟然发现他真的是求解人生挂谷问题的老手。在选举互揭伤疤期间，希拉里爆料川普一生有多达6次的破产经历，而川普只承认4次而已。这破产可不是好玩的，对绝大多数人来说，那可是万复不劫的。可是伟大的特朗普，竟能至少4次破产后咸鱼翻身，妻离子不散，妻越换越嫩越靓，子越攒越多越棒，柳暗花明又一村，最终成就今日之辉煌，这不正是求解挂谷猜想的精髓：置之死地而后生吗？呵呵，正能量满满又励志的心灵鸡汤！再加上他一介政坛新手的身份，却能大胜老牌政客希拉里，更是其人生几何学造诣的点睛之笔。客观地讲，除了自身的实力外，我认为他还应该感谢美国的破产保护制度和选举人团制度，否则，要在中国这样的大环境，想想最近因破产导致的辱母于欢杀人案就后怕。可见，特朗普的数学功底非常了得，日理万机中运筹帷幄达至愈战愈勇，赢多输少的局面，体现了川普品牌绝非平庸的地摊货，而是值得珍藏的高端品牌！还有一个小小心愿：陶教授去年伤了您的心，如今您总统大位也登基了，千祈不要给陶教授小鞋穿，大度地化干戈为玉帛吧(bury the hatchet),他还眼巴巴指望今年的科研经费不要砍，以便早日攻克挂谷猜想，为美国争光。无意置喙于其国内成绩单，那是美国人该关心的，世界人民只期待他能在当前美朝核危机的挂谷难题中求得真解，为地球70 亿人带来永久的和平，特朗普，加油，为和平加油！参考文献： 1、厕所里的武士刀，你挥得动吗？ http://www.guokr.com/article/68848/ 2、“kakeya set” https://en.wikipedia.org/wiki/Kakeya_set 3、挂谷问题 http://baike.baidu.com/item/%E6%8C%82%E8%B0%B7%E9%97%AE%E9%A2%98 4、华盛顿邮报关于川普破产历史的文章 5、陶哲轩的博客空间： terrytao.wordpress.com 6、科学网官方微博陶哲轩：不只是“最强大脑”; 21036 次阅读|65 个评论

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