手工计算时代需要基于数据精度考虑具体的计算方式，放大、缩小和求平均，就是技巧之一。 (1)Basel问题 自然数平方的倒数之和是收敛的，欧拉得到其极限为π 2 /6 张江敏 . 疯狂的绝技——级数加速收敛的艺术 http://blog.sciencenet.cn/blog-100379-1075769.html 级数平方衰减，截断到 前 n 项的和 T n ，则误差在1/ n 量级。不过，若想结果精确到小数点后三位，并不需要计算到1000项——对没有计算的余项可进行估算呢。 若圆周率误差为 δ ，则 (π+ δ ) 2 /6=π 2 /6+π δ /3+ δ 2 /6 ，因而级数的误差和与π的误差 δ 相当。 由 前 10 项的和 T 10 确定的π为3.049362，修正1/(10+1)之后，则π为3.137525； 修正1/2(10+1)^2=0.004132后,得到π=3.141473 与真值3.141593，仅相差0.000120。 (2)割圆术 半径为1的圆，内接正6边形边长 b 6 =1 ， n 边形边长 b n ， b 2n =sqrt(2–sqrt(4– b n 2 )) ； n =6×2^ k 边形边长 A k =sqrt(2– B k ) , 式中 B k =sqrt(2+sqrt(2+…+sqrt(2+sqrt3)…)),k–1 次开方 正 2 n 边形面积 S 2n = nb n /2 ，极限是圆周率π。 这就是魏人刘徽公元263年创立的割圆术，其以6×2^4=96边形的边长确定圆周率3.14。 通常认为， 南朝祖冲之(429~500年)得到圆内接6×2^11=12288边形的边长，确定圆周率精确至小数点后7 位。 这是非常 困难的： 为了保证π的精度， B 11 =1.9999…… 需要 16~17 位有效数字。 祖冲之所著《缀术》失传，具体计算方法难以知道；但他肯定知道有效数字随着边数的增加不断减少，进而研究提高精度的途径。 刘徽割圆4次至96边形的结果可以写为 S 192 = S 12 +( S 24 – S 12 )+( S 48 – S 24 )+( S 96 – S 48 )+( S 192 – S 96 ) S 12 =3 ；而第一次割圆增加量即 S 24 – S 12 =0.1058285412 ； 第二次增加量减少，只是第一次的 0.253240 倍，第三次、四次增加量是其前次增加量的 0.250805和0.250201 倍。 割圆引起的面积增加比值 D 逐次减小而趋于0.25即1/4。 继续割圆的面积增加，若以1/4的比例计算，即弓形面积为 ( S 192 – S 96 )/3 是缩小的估算；而以 D 96 的比例计算，即弓形面积为 ( S 192 – S 96 )* D 96 /(1– D 96 ) 是放大的估算。于是有 3.14159 253π 3.14159 313 。 以上数据是Excel计算的，所列数字都是有效的。 如果以12位数字计算到192边形 ( k =5) ，即可得到 祖率3.1415926π3.1415927， 即比刘徽多割一次即可。 我想，当年祖冲之就是这样做的。 又，若注意到割圆引起的面积增加比值与1/4的差异也以1/4的比率减小，因而圆周率会接近于下限，即对上下限求平均并不能提高精度；不过，若依据 D 96 估计 D 192 =0.250050 进而计算 ( S 384 – S 192 ) ，即可得到祖率而不必具体计算192边形的边长。 1/8=0.125，1/6=0.166667，而1/7=0.142857…，那么3又1/7即22/7就是圆周率的偏大估计。将1/7修改为 P =1/(7+1/ n ) 即 n /(7 n +1) ，其在1/8~1/7之间；选择合适的 n 可以提高精度。计算5次即可得到祖率355/113 n =10 ， P =0.1408451; n =20 ， P =0.1418440 n =15 ， P =0.1415094; n = 17 ， P =0.1416667 最后可确定 n =16 ， P =0.1415929 (3)此情可待成追忆 1994年初搬入两室一厅的新居，有了独立的书房。过年无处可去而翻看旧书，觉得祖冲之似乎不会割圆11次计算圆周率；于是，用十位数字的计算器Casiofx-4500p略作演算，写出“割圆术确定圆周率方法的改进——祖冲之确定圆周率过程之猜测”。敝帚自珍，多次投稿后发表于《安阳师范学院学报》的2003年第2期；也曾在博客介绍 http://blog.sciencenet.cn/blog-275648-776036.html 。 书上铅笔所写的结果已经不清楚啦。24年也就要过去了。 照片中小册子“夏道行.π和e”1964年第1版，但是1978年重印的，3万6千字，定价0.15元；“张弛.不等式”，5万8千字，定价0.22元。也就是二、三两猪肉的钱——其时含骨统肉一斤0.73元。 1978年暑假后坐船6小时到县城上高中，自己手中也就有了一点零花钱，时常去学校对门的新华书店看看，偶尔也买本书。我觉得读书比做题要好，只是那时候书籍很少啊。 最后给出当年发现的一个结果，只要记得 sqrt(5)=2.236就行啊 附录：多次投稿也就是多次退稿啊。 下面所展示的投稿 也是被退啊。二十年已经过去了。 从写作到发表用了九年时间。也花了点功夫呢，只是博文里说得简单。 现在条件好啊，若做出题目，真不必再三再四投稿，完全可以在博客贴出来。有人看就行。 那时投稿还要到邮局寄纸质文本，有些刊物要审稿费，有些刊物说“ 6 个月未见录用通知可自行处理”，有些刊物因“人力所限来稿概不退还”。文章手工抄写不易，且害怕重抄出错，最初投稿时多说“随信寄上贴足邮票、写好地址的回程信封；若拙稿不能采用，烦请掷回”。当然，
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