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热度 2 readnet 2011-4-28 23:03

碰到“没有答案的问题”，人类就创造出新数人类创造新数并不是从虚数开始，人类历来都是在碰到“没有答案的问题”时便将数的概念扩展，想出新种类的数来。事实上，“ 2 分之 1 ”和“ 2 的平方根”（ \squr{2} ）这一类数，也都是求解“没有答案的问题”的产物。在所有的数中，起源最早的是“自然数”。所谓自然数（ natural number ），是指诸如 1 个苹果、 2 只羊、 3 棵树……，在清点事物个数时所使用的那种数。世界四大文明（美索不达米亚文明、埃及文明、印度文明和中国文明）各自很早就有了自己的代表自然数的文字。 “ 2 ”是自然数，这并不意味着“ 2 ”本身是自然界中实际存在的事物。自然界中实际存在的是“ 2 个苹果”、“ 2 只羊”……等等。古人看见诸如“ 2 个苹果”和“ 2 只羊”一类事物，发现了它们之间的共同点，于是在头脑中形成了“ 2 ”这个数的概念。两个自然数相加，必然是自然数，两个自然数相乘，也必然是自然数。但是，对两个自然数进行除法运算，有时候就会在自然数中找不到答案。例如，“ 6 ÷ 3 ”，答案“ 2 ”，这是个自然数，但是，同样是除法问题，“ 1 ÷ 3 ”，就没有自然数的答案。于是，古人针对“ 1 ÷ 3 ”这样的问题，给它的答案取名“ 3 分之 1 ”，把这种答案也当作数来处理。这就是“分数”（ fraction ）的发明。自然数、连同自然数派生出来的分数，合起来叫做（正）“有理数”（ rational number ） . 使用有理数，人类不仅可以几点物品的“个数”，也可以对长度、重量、体积等“量”用数来表示了。小结分数和有理数世界 1. 古埃及的分数古埃及已经有了代表“ 2 分之 1 ”、“ 3 分之 1 ”一类分子为 1 的分数（单位分数）的象形文字（圣书体）。例如，一个类似橄榄核的图形，下面放 2 个点代表“ 1/2 ”、放 3 个点代表“ 1/3 ”、放 4 个点代表“ 1/4 ”。分子不为 1 的分数（如 4 分之 3 ）则书写成单位分数之和的形式。而且，除了这类代表单位分数的圣书体字符，还有其他的圣书体字符也可以用来表示分数，如“霍鲁斯的眼睛”的字符组中的字符（“霍鲁斯”是古埃及的太阳神）。 2. 毕达哥拉斯和有理数公元前 6 世纪，在意大利南部城市克罗托内有一个以毕达哥拉斯为首的既是学派又是教派的群体，有数百人之多。毕达哥拉斯及其弟子们相信，自然数和自然数之比（分数）囊括了数的全部。毕达哥拉斯学派的一种徽标“四元体” 。毕达哥拉斯学派认为 10 是一个完美数，可以表示为 1 — 4 这四个连续自然数之和，而且，代表着四个自然数的那些点正好排列成一个正三角形：１　 ● ２　 ●　● ３　 ●　●　● ４　 ●　●　●　● 　　１＋２＋３＋４＝１０毕达哥拉斯音阶毕达哥拉斯认为，多根琴弦奏出和弦，各琴弦长度之间的关系必定恰好是自然数之比（毕达哥拉斯音阶）。这是他和他的学派特别重视自然数之比（有理数）的原因之一。琴弦长度比：　 4/3 ∶ 1 ∶ 3/4 ∶ 2/3 ∶ 1/2 ∶ 1/3 3. 循环小数轮盘把有理数 1/7 、 1/17 、 1/61 分别写为小数，得到的都是“循环小数”。 1/7 的循环部分有 6 位； 1/17 的循环部分有 16 位； 1/61 的循环部分有 60 位。分别把各自的循环部分按顺时针方向排列起来，形成一个轮盘的样子，作为例子给出的这 3 个循环小数轮盘两侧任何正对的两个数字相加，正好都等于 9 。有理数的条件能够被表示为“分母和分子都是自然数的分数”的数，叫做正有理数。如果分子不能被分母除尽，则分两种情况：“能够在小数点后某处终止的小数”（如， 1/4=0.25 ）和“在小数点后有一组数字无限循环的小数”（如 1/3=0.333333 …）。前者叫做有限小数，后者叫做循环小数。循环小数全都能够改写为分数的形式。例如 0.123123123 …，就是以循环部分“ 123 ”为分子，以相同位数并列的“ 9 ”（ 999 ）为分母的分数，即可以改写为 123/999 。扩展阅读虚数 —— 一种“并不存在的数”

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关于“数学”的对话（7）

可变系时空多线矢主人 2009-5-25 18:46

关于数学的对话（ 7 ）（接（ 6 ））乙： A/B 还形成各种不同的分数，由 A 大于或小于 B ，以及数值的不同，而分别有假分数、带分数和真分数。还形成各种不同的小数、循环小数等等。甲：还会产生又一种无理数，例如：对于特定的 A 的开 (j/k) 方， A^( k / j) ，例如： 2 的开平方， 2^(1/2) ，以及求圆周率得到的另一种无理数。乙：这样，整数、分数、小数、循环小数，等等就是有理数。甲：由减法， A-B ，当 A 小于 B 时，就得到相应的负数。乙：包括全部正、负有理数，和正、负无理数就通称为实数。甲：所有的正、负实数，都可相互穿插，按数值大小顺序地排列表达在一个实数轴上。

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关于 “数学”的对话（6）

可变系时空多线矢主人 2009-5-24 20:41

关于数学的对话（ 6 ）（接（ 5 ））乙：最基本的数，就是整数。 1 、 2 、 3 、，等等吧？！甲：是的！乙：各整数之间，有：加、减、乘、除的 4 则运算吧？！整数 A 和 B 有： A+B ， A-B ， AxB ， A/B ，甲：是的！而且，由此又产生：乘方、开方，指数、对数等运算。 A^j 是指数；即： A 的 j 次方， j 个 A 的联乘积。 j 是 A^j 以 A 为底的对数， A 是 A^j 的开 j 次方。乙：这就又产生出许多不同的数：分数、小数、无理数、虚数、等等。甲：而且，还有 0 和无穷大还都是特殊的数 ! （未完待续）

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一把神奇的小数刀

famingkuang 2009-5-18 15:10

小发发现在才六岁半，但理解起小学三年级的小数一点也不困难，为什么呢？因为他有一把神奇的小数刀。前天小发发的表哥（小学三年级学生）来玩，家里只剩下一个苹果了，于是两人分了吃。发发：一个苹果两人分每人分得多少？小发发和小表哥：每人得一半。发发：半个苹果用数字是怎么表示的？小发发和小表哥：？？？？发发：半个苹果用数字表示就是 0 。 5 个苹果发发： 3 个苹果 2 两个人去分每人分得多少？小发发： 1 。 5 个。小表哥：分不完。发发： 5 个苹果 2 人去分，每人可以分得多少？小发发： 2 。 5 个小表哥：。。。。。。如果从上面的片段中就认为小发发能理解了小数，那未免太夸张了点。因为那个是模仿的成分居多。今天发发决定跟小发发玩玩小数。按正常的理解，小数真的不是六岁小孩子容易理解的事，但发发突然想到了一个神奇的概念小数刀。所有的难题就此迎刃而解。发发：一刀能把苹果切成几片？小发发：两片。发发：我有一把神奇的小数刀，一刀能把苹果切成十片，你想不想要？小发发：想要。发发：一个苹果用神奇的小数刀切过后，两人去分，每人分得多少？小发发：每人分得 5 片。发发： 5 片不是 5 个所以要记做 0 。 5 ， 1 除以 2 等于多少？小发发：等于零点 5 。发发： 1 除以 2 为什么会等于零点 5 呢？小发发：因为我用神奇的小数刀把 1 切成十片，再拿两个人去分，所以就是零点 5 了。发发： 1 除以 3 等于多少？小发发：用小数刀先把 1 切成 10 片。发发：三个人去分，每个人可以分得几片？小发发： 3 片。（记下 0 。 3 ）发发：分完了吗？小发发：还有一片。发发：再用神奇的小数刀去分，又可以分得几片？小发发： 10 片。发发：三个人去分，每人得几片？小发发： 3 片。（在 0 。 3 后面再加一个 3 变成： 0 。 33 ）发发：分完了吗？小发发：还有一片。发发：再用神奇的小数刀去分，然后再分给三个人。。。。。。。。。。。。。依此小发发在纸上写下了这样的式子： 1 3=0 。 333333 。。。。。发发：能分得完吗？小发发：不能，一直可以分下去。发发：这个数就叫做无限循环小数。发发： 1 9 等于多少？小发发：用神奇的小刀去分，永远也分不完，（接着写下式子） 1 9=0 。 1111111 。。。。发发： 10 3 等于多少？小发发：每人得三个还剩下一个。发发：用小数表示。小发发：这还不容易， 10 3=3 。 333333 。。。。发发：是不是永远也写不完？我有一种简单的记法， 10 3=3 。 3` （头上戴个小帽帽）。请你把 1 3=0 。 333333 。。。。。 1 9=0 。 1111111 。。。。用同样的方法写好。小发发： 1 3=0 。 3` 1 9=0 。 1` 小数的产生是因为有了除法，而神奇小数刀能让孩子理解小数点的真正意义。

个人分类: 育儿圈|958 次阅读|4 个评论

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