物理学笔记（5）：信动量，得中子 一、从“牛二”到动量守恒 上回说到：玻尔的定态跃迁理论通过初末定态的差量与辐射建立联系，从而规避了过于复杂的内部细节。这种“技巧”（还有类似的诸多数学手段）并不独属于量子力学，在经典力学中也常“出没”——其中有一些在经典力学中业已成熟（比如微分方程的本征值问题），另一些则是现代物理方法确立后引入的修正（比如狄拉克函数）。 早期量子论的定态跃迁和经典力学中的功能关系针对的都是能量或具有能量量纲的物理量。在力学中，除能量外，动量也是一个十分重要的状态量（本文只讨论线动量 Linear Momentum ）。我们对动量的处理仍然可以用初末态差量反映过程量，就规避复杂的动力学细节（比如某个作用过程的平均作用力）这一点而言，好处是明显的。 在牛顿理论体系中，“动量”或者说“运动的量”（ quantity of motion ）是一个基本物理量，甚至可以说牛顿理论是围绕动量展开的。“力”的基本物理量“地位”是在分析力学的静力学体系中得到强化的。在成熟的分析力学体系（拉格朗日力学与哈密顿力学）中，能量以及具有能量量纲的拉格朗日函数和哈密度函数（作为动力学方程的首次积分）成为了基本物理量。 今天绝大部分力学（高中物理、普通物理、理论力学）教材在引入“动量”的时候，一般都是直接用标量m（质量或惯性质量）和矢量v（速度）做内积： p=m·v —— 牛顿本人在《原理》（《自然哲学的数学原理》）中也是这么干的 。 按今天的视角： 这种表述形式基于对惯性质量的处理，即确定物体的惯性质量与运动无关，其值不随时间变化。当然这种表述也不适用于非相对论性变质量（其实是“物质的量”发生改变）物体的动力学问题，比如齐奥科夫斯基讨论的火箭方程。 在更普遍意义上理解动量，需要回溯到原始版的“牛二”—— 在他本人的“牛顿第二定律”表述中（见《原理》的英译版： Newton, Isaac, Newton's Principia : the mathematical principles of natural philosophy , New York: Daniel Adee. 1846 ）： The alteration of motion is ever proportional to the motive force impressed; and is made in the direction of the right line in which that force is impressed.（ 运动的变化正比于外部所施加的力，变化方向沿外力作用线方向。 ） 用数学公式可以表达为 ： dp=F·dt ， 整理得： 即：外 力是动量随时间的变化率。我们今天广泛使用的“牛二”形式（ F=m·a 或 ， 可以称为“欧拉形式 ” ）是欧拉于1750年给出的——在惯性质量不随运动时间变化的前提下，将 p=m·v 代入“牛顿形式”。 “牛二”的“欧拉形式”是经典动力学的基本方程，而“牛顿形式”则具有更普遍的适用性。 后者的“奇妙”在于：它完全符合后来狭义相对论的要求，也就是说“欧拉形式”只适用于经典力学，而原始的“牛顿形式”既满足经典力学，又满足狭义相对论 ——费曼在他的《讲义》中把 、洛伦兹力公式、牛顿万有引力公式与麦克斯韦方程组并列为“经典（非统计性）物理学基本规律”。 以动量为态函数处理具体问题时，规避复杂动力学细节的办法主要是使用“动量守恒定律”：根据“牛二”的原始形式，当外力F=0时，物体动量随时间的变化率为0，即物体动量在个过程中为常量——在仅有两个质点相互作用的简单模型中，费曼用“牛二”和“牛三”给出了一个十分简单的构造方法（见《讲义》）： 推广到质点组模型中，即普遍的动量守恒定律。 在分析力学中，根据诺特定理（ Noether’s theorem ）：每一种对称操作对应于一个物理量的守恒，动量守恒实质是“机械能对空间平移具有对称性”——在稳恒场中的简单机械运动情况下，机械能 E=E(x,v x )， 重力势能 V=V(x) ， 则 正如机械能守恒有其适用条件，动量守恒亦然。许多教材把动量守恒的条件记为：质点或质点组不受外力或所受合外力为零。应当说，这个条件在理论上是准确的，但在实际应用中往往达不到： 我们知道加速度作为速度随时间的变化率（速度关于时间的一阶导数，即速度变化快慢），在某个时刻（不是一段“时间间隔”）并不能反映速度的变化。类似地， 合外力作为动量关于时间的一阶导数，不能直接导致动量的改变 。合外力必须在一段时间上做积分（即力在时间上的累积）才能改变态函数动量，这个积分被定义为一个过程量——冲量 ，对同一个物体或研究对象有： 即所谓的“动量定理”。 在实际问题中使用动量守恒时，合外力为零的情况极其罕见。动量守恒成立的条件应“弱化”为：合外力产生的冲量为零——它的“操作性”定义为：质点间相互作用的时间间隔足够小，以至于合外力产生的冲量近似为零（这种境况下一般意味着内部相互作用力远远大于合外力） 。例如碰撞、爆炸、反冲等物理过程中，在整个时间间隔内，合外力一般不为零（特别是重力存在的情况下），如果时间间隔足够小（口语表达的“瞬间”，意味着物理变化过程十分剧烈），我们可以认为合外力的冲量近似为零，故在这个“瞬间”使用动量守恒。 使用动量守恒或冲量定理都可以从初末态函数入手，尽量避免讨论质点间复杂的动力学过程。这个优势在两个质点相互作用情况下倒还不十分明显，但如果你面对的是质点组，即多个物体间的相互作用过程，它可以帮你尽量避免陷入“万劫不复”的“N体运动 ”——如果简单的方法能达到效果，千万不要“舍近求远”。比如一道很经典的运动学问题：两个人分别匀速相向而行，一只苍蝇以匀速率在他们中间做往复运动，要求苍蝇运动的总路程。“传说”（只是传说！），冯·诺依曼被问到的时候是用“级数求和”的办法快速“心算”出结果的 （这也不是常人能达到功力，甚至极有可能是诺依曼本人的“调侃” ） ，而实际上，只要抓住三者整个运动时间相同，用最基本的运动学公式就能快速求解——现在，这个题估计小学生就会遇到。 二、查德威克：信动量，得中子！ 上帝总是不断地抛出“苹果”，但不是所有人都接得到 ！ 1920年，玻尔的“大师兄”卢瑟福在确定质子存在后，预言了一种来自原子核的电中性“辐射”。 1931年到1932年，普朗克的高足瓦尔特·博特（W.Bothe）与其弟子赫伯特·贝克（H.Becker），出身显赫的“小居里夫妇”（约里奥—居里夫妇，the Joliot-Curies ）的关注焦点都集中在了氦核轰击铍原子的反应： 他们分析的结果表明：观测到的中性辐射n是一种 辐射—— 他们已经“看见”了中子，但并没有“抓住”它 ！——最终便宜了“英国佬”！ 阅读了小居里夫妇发表的论文后，卢瑟福的高足查德威克（ Ja mes Chad wick ）在不到一个月的时间内完成了一系列实验( 不能忽视卢瑟福打下的基础 ！)，并于《自然》上发表了一篇简短的文章《中子可能存在》（ Possible Existence of a Neutron，Nature, p.312 ，Feb. 27, 1932 ）。更系统的工作发表在当年的《皇家学会通报》（ Proceedings of the Royal Society A — Mathematical, Physical Engineering Sciences ），题目去掉了possible（底气十足！），改为《中子的存在》（the Existence of a Neutron，Proc. R. Soc. Lond. A，vol. 136, p.692~708, 1932 ）——这两篇文章今天被视为“中子”的“准生证”！ 其实“英国人”并不比“德国人”或“法国人”高明多少。 十九世纪末到二十世纪初，同志们见识了太多令人眼花缭乱的实验结果和理论推导——连玻尔都一度认为，被大家奉为“铁律”的能量或动量守恒只有在统计平均的意义上才是守恒的 —— 宗师也有“跑偏”的时候啊 ！ 查德威克同志（算是玻尔的师弟）的工作表明： 眼花缭乱的时候，不要急于构造“新理论” 。他在两篇文章中明确地阐述了自己的基本思路： Up to the present, all the evidence is in favour of the neutron, while the quantum hypothesis can only be upheld if the conservation of energy and momentum be relinquished at some point.（ Possible Existence of a Neutron ） 直到目前, 所有的现象都有利于中子假设, 而量子 假设（即 辐射的 光量子）只有在废除能量与动量守恒才成立。 It is evident that we must either relinquish the application of the conservation of energy and momentum in these collisions or adopt another hypothesis about the nature of the radiation. If we suppose that the radiation is not a quantum radiation, but consists of particles of mass very nearly equal to that of the proton, all the difficulties connected with the collisions disappear,.......( the Existence of a Neutron ) 实验表明：在这些碰撞过程中，我们要么放弃应用能量与动量守恒，要么采用另一个关于辐射本质的假设。如果我们假定这一辐射并非量子辐射，而是质量与质子几乎相等的粒子组成的，那么所有关于碰撞的困难都会消失...... 所谓查德威克的“基本思路”，其实就是继续相信动量守恒（包括能量守恒）——而博特和约里奥—居里夫妇很可能根本没有意识到这个问题，这导致他们缺乏查德威克那样更精细地分析，对送到眼前的中子“视而不见” 。在实验的意义上，他们的工作都相当精彩，倒是查德威克对动量守恒的坚持显得技高一筹——在更广泛的意义上验证了列昂·库珀 （Leon Cooper） 的说法（也是物理学的共识之一）： 动量守恒定律是一个极为深刻的规律，甚至当牛顿力学已经不再适用时，它仍然成立。......假定动量守恒定律是原始公设之一，就可以把整个物理学建立起来 。（见《物理学的意义与结构导论》 An Introduction of the Meaning and Structure of Physics ） 其实对理论家而言，现成的实验或观测事实总是不够的。当上帝把“苹果”送到你面前时，问题的关键在于你信什么或者不信什么。 问：你怎么知道你选择的相信的不会将你引入歧途？ 答：赌一把呗......
最近我一直在研究量子力学中薛定谔方程的推导。物理学家一般不太关心这件事，只管应用方程做计算就行了。但对于做物理学基础研究的我来说，这是一个十分具有挑战性的重要问题。其中涉及到了能量（E）与动量（p）之间关系的来源问题。尽管能量-动量关系被广泛用于相对论和量子理论中，但似乎没有一个令人满意的基本推导。十多年前我就就意识到这个问题，并曾做过尝试。最近，我写了一篇文章，利用时空平移不变性和相对论不变性进一步完善了以前的推导。文章的另一个推论是，爱因斯坦的著名方程E=mc 2 实际上只是一个定义，而质量原则上可以从物理学中消失。 Momentum and energy are two of the most important concepts of modern physics. Their relation has been widely used in Newtonian mechanics and quantum mechanics in an approximate form, as well as in relativistic mechanics and quantum field theory in an exact form. Yet, as far as we know, a fundamental derivation of this pivotal relation seems still missing in the literature. Most ``derivations" are based on the somewhat complex analysis of an elastic collision process. Moreover, they resort to either some Newtonian limit (e.g. $p=mv$) or some less fundamental relation (e.g. $p=Eu/c^2$) or even some mathematical intuition (e.g. four-vectors) . As we think, the logic of these ``derivations" seems a little upside-down, and they are only heuristic demonstrations of the energy-momentum relation. So simple and fundamental relation the energy-momentum relation is, and thus its derivation should be simpler, based on more fundamental postulates. In this short note, we will present such a derivation, based only on spacetime translation invariance and relativistic invariance. Derivation of the energy-momentum relation
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