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理解“同调”——计算共形几何学习笔记7
Babituo 2020-7-15 07:22
连听了 2节老顾的网课,这两节网课的核心概念就是同调的概念。 听完课的直觉就是,同调的概念和电磁场和电路中的很多知识总有那么一点似曾相识,却又说不出具体关系来。暂时能得到的理解只是:同调和同伦是类似级别的概念。 就以这个理解为基础拓展开来吧,看到底能不能想起来 “同调”是哪个“老友”。 前面理解同伦的概念是:两个子空间按【相同的规则】在不同位置取自同一个父空间。所谓【相同的规则】,其实是指:曲线之间经过 “扫描”或“平移”,而更一般地说,应该是经过“拓扑变换”,这些曲线可以完全重合,相互之间就是同伦的,同属一个同伦类。 说同调和同伦是类似级别的概念,意思就是只是将【相同的规则】换成另一个规则来对曲面上任意的圈来分类。理了解这个新的规则,就能理解同调概念。 新的规则就是:只考察曲面所有可能圈中的那些沿圈切开曲面后,会把曲面切出一个疤口的圈,而且把这些圈叫做边。那些沿孔洞内侧环表面的圈,切完只是条缝,没有疤口,仍叫圈。考察同调分类时,应忽略圈,只考察边。事实上,在考察同伦类时,也忽略了一种圈,就是曲面上能缩成一点的圈。 所以,同调的意思就很清晰了,所谓同调,就是指曲面上同类的边同调。考察曲面有哪些同调类,其实就是看这个曲面能割出多少种边来。问题就转换为边是按什么来分类的了。 在理解边怎么分类前,先对比理解【同伦的圈】和【同调的边】的几何意义。 同伦的圈,是向曲面内部看,看曲面能缩成一种什么样的 “骨骨架”拓扑图; 同调的边,是向曲面外部看,看曲面能割出几种不同的对外的 “接口”。 现在理解边是怎么分类的就很容易了:看割出来的边是否可互换,能互换,则同调,不能互换,则不同调,啥叫能互换,就是两个边,我随意割掉一个,从曲面的剩下的拓扑结构来看,你并不能区分我割的是哪一个,这也叫对称。 同调的这层窗户纸终于被我捅破。 也让我想起了两位老友,电场和电路的理论。 闭合曲线的电场的积分,得到的电势差为0,为啥?因为他们同调 0 。 闭合电路的电势差积分也为0,说明电路是个电场的拓扑。 如果有了“空间立体电路”,那么,也可以得到 闭合曲线的电场的积分不为0的同调群。 呵呵,结识新朋友,仿佛见到老朋友,真高兴。
个人分类: 计算共形几何笔记|5849 次阅读|0 个评论
同伦(Homotopy):统一场的一个下流解!
热度 4 zlyang 2018-8-30 12:32
求教心切。以下内容,词不达意。敬请指教!敬请批评! 同伦(Homotopy):统一场的一个下流解! 孙冰老师:您把俺吓尿了! 真傻昨天的博文《反思麦克斯韦经典电磁理论宣言》贴出之后,真的达到了“求教”目的! 孙冰老师 http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=spaceuid=3388899 2018-8-30 08:04 写到: 今天俺看到时,顿时惊呆了!三观尽毁!! 什么是物理学家要的“统一”? 什么是“统一”? wiki 百科里给出的圆锥曲线的一般形式: 矩阵形式: 可是,常见二次曲线的标准形式为: 困惑: 什么是“统一”? 此外,还有胡新平老师 2016 年的统一《一、二次曲线的轨迹统一及性质》。 同伦(Homotopy):统一场的一个下流解! https://en.wikipedia.org/wiki/Homotopy 百度百科对“函数的同伦”的解释: 苏联《数学百科全书》扩展版( wiki 版)里说: https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Homotopy A formalization of the intuitive idea of deformability of one mapping into another. More exactly, two mappings f and g are called homotopic (denoted by f ~ g ) ifthere exists a family of continuous mappings …… 把电磁理论作为一端,把引力理论作为另一端,用一个同伦( Homotopy )之后,引力-电磁居然被这样下流地统一了! 二次曲线,或多或少就是被这样“下流”地写出了一般的形式!! 统一:小心毁三观! 奥卡姆剃刀(简约法则, Occam's razor,Ockham's razor,Ocham's razor,law of parsimony ),到底该怎么理解? 简洁与美,美与真, ……,诸多观念,到底该怎么理解? 像二元二次曲线的一般形式一样,统一引力和电磁,算是统一吗?什么是我们想要的统一? 【用“泄露”的电磁相互作用,来表示“引力相互作用”:类似气体分子的瞬时偶极( instantaneous dipole )。】是真傻几年前给出的“物理”统一。 【或许在别的拟合函数形式下,引力-电磁的统一会变得容易?】是真傻 2018-01-15 之前给出的“数学”统一。 最后,真诚地感谢并祝福《科学网》!祝《科学网》越办越好! 《科学网》,就是我们的“奥林匹亚科学院( Akademie Olympia,Olympia Academy )”! 比 Conrad Habicht,Maurice Solovine 和 Albert Einstein 更好的奥林匹亚科学院! 相关链接: 圆锥曲线,百度百科 https://baike.baidu.com/item/%E5%9C%86%E9%94%A5%E6%9B%B2%E7%BA%BF Conic section, From Wikipedia, the free encyclopedia https://en.wikipedia.org/wiki/Conic_section 同伦,百度百科 https://baike.baidu.com/item/%E5%90%8C%E4%BC%A6 Homotopy. Encyclopedia of Mathematics https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Homotopy Homotopy, mathematics, Britannica.com https://www.britannica.com/science/homotopy Homotopy, From Wikipedia, the free encyclopedia https://en.wikipedia.org/wiki/Homotopy Homotopy, from Wolfram MathWorld http://mathworld.wolfram.com/Homotopy.html 胡新平. 一、二次曲线的轨迹统一及性质 . 数学通报, 2016, 55(12): 47-51, 54. 奥卡姆剃刀原理,百度百科 https://baike.baidu.com/item/%E5%A5%A5%E5%8D%A1%E5%A7%86%E5%89%83%E5%88%80%E5%8E%9F%E7%90%86 Occam's razor, From Wikipedia, the free encyclopedia https://en.wikipedia.org/wiki/Occam%27s_razor Occam's razor, philosophy, Britannica.com https://www.britannica.com/topic/Occams-razor 2018-08-29, 反思麦克斯韦经典电磁理论宣言 http://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1131694.html 2018-01-15(2012-04-12), SI 基本单位中安培定义的两种可能缺陷----中科院科学智慧火花 http://idea.cas.cn/viewdoc.action?docid=4681 Olympia Academy, From Wikipedia, the free encyclopedia https://en.wikipedia.org/wiki/Olympia_Academy 感谢您的指教! 感谢您指正以上任何错误! 感谢您提供更多的相关资料!
个人分类: 基础数学-逻辑-物理|5489 次阅读|9 个评论

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