给研究生讲《岩石力学》,当然要先复习弹性力学。说到胡克定律,即力与变形成正比,比例系数是刚度; 又说, 不同的构件刚度不同;设想以不同长度、不同截面的杆件进行试验,容易知道“单位长度的变形与单位面积的受力成正比,比例系数是杨氏模量” 继而逐段显示 • Thomas Young described the characterization of elasticity that came to be known as Young's modulus, denoted as E , in 1807 , and further described it in his Course of Lectures on Natural Philosophy and the Mechanical Arts . • However, the first use of the concept of Young's modulus in experiments was by Giordano Riccati in 1782 – predating Young by 25 years. • Furthermore, the idea can be traced back to a paper by Leonhard Euler published in 1727 , some 80 years before Thomas Young. 略作解说后覆盖 Thomas Young ( 1773.06.13 ~ 1829.05.10 )的画像,在其下方切入文本框“ Hooke’s Law: 1676~1678 ”。我说, 从胡克的刚度到杨的模量花去了 120 年;利用杆件的假想试验,不是很容易知道吗?没有难度啊。假想试验,伽利略 (1564-1642) 就知道,说轻重物体下降速度相同。伽利略比我大 400 岁,他过世时胡克也就 7 、 8 岁。 伽利略没有在比萨斜塔做试验,做了也不会有可信的结果。如果你一手抓一个木球,一手抓一个铅球,从这窗口同时丢下去,或许木球先着地呢。真有人用许多大学生做试验摄像。铅球有木球的十倍重,抓着总是费劲,松开也就会有些迟钝。倘若慢了 0.05 秒,会有什么结果,算一下就知道了。 最后介绍有限元方法。 从最小作用原理说起,说明了光线折射定律等价于 Fermat 的光行最速原理。 又说, 最初认为光线的入射角与折射角的比值为常数 ,而不是正弦比为常数。 试验数据确实容易产生这样的误解。 具体计算一下就知道了。 因为时间有些紧张没有在课堂上计算,当然也是希望听者能够自己计算。现在把计算结果贴在下面,并在图中略作说明。 附1: 张老师 博文“ 野蛮计算 ” 介绍了 116 年前 F. N. Cole 用三年的星期天完成的整数分解;并给出了一个多小时完成的 2^67 的计算。上课前向研究生介绍了这篇博文,说“做事就得像 Cole 这样,不管到什么时候,都是自己的活儿”,也说了自己如何做这样的乘法。 张老师用时主要在“ 十位数的 2^32 自乘以得到 2^64 ”。我觉得如此相乘需要进行繁琐的加法,耗费时间且容易出错。 进行多次乘8 的运算似乎反而容易。 大数乘以71,只能进行如下的竖式计算;不过,若乘以72,则可分解为乘以8、再乘以9。 因 2^10=1,024 =10^3+A,而 (2^10)^2= 10^6+2A(10^3)+A^2= 1,048,576 =10^6+B ,那是一眼可以看出;于是 2^60= (10^6+B)^3=10^18+3B(10^12)+3B^2(10^6)+B^3 ; 注意到 B= 48*(10^3+12) 计算不难; 最后乘以 8 、乘以 8 、乘以 2 ,可得 2^67 。 附录2: 若试验条件与结果是离散的数据,通常需要寻找合适的公式表示两者之间的关系。例如,圆柱型岩石试样的轴向压缩强度 σ S 随侧向的围压 σ 2 = σ 3 增加,两者之间的关系称为强度准则。 笔者 2008 年提出含有 3 个待定参数的指数型公式 y = a – b exp(– cx ) 拟合试验数据;去年又从另一个角度解读了拟合公式,得到了有趣的结果。对于岩石力学性质的准确理解源于拟合方式的准确选用。下面以两组岩石的强度数据略作说明。 You M . True-triaxial strength criteria for rock. Inter J Rock Mech Min Sci,2009,46(1):115–127. 尤明庆 . 基于指数准则在莫尔空间对岩石剪切强度的研究 . 力学学报 , 2019, 51(2): 607-619 上图给出了以“ 偏差绝对值之和 ”及“ 偏差平方值之和 ”最小的两种拟合结果。通常都是用后者( 图中红线 ),有时也称为 最小二乘法 ;若用直线拟合则称为线性回归。 不过,影响试验结果的因素众多,有时可能出现奇异数据。如以“ 偏差平方值之和 ”最小拟合,拟合曲线( 图中红线 )就要迁就奇异数据,不使其产生过大偏差;而以 “偏差绝对值之和”最小拟合(图中黑线) ,那么拟合曲线会尽可能靠近多数数据,而使个别异常数据有较大偏差。 另一方面,若删除个别异常数据重新拟合,两种拟合所得结果几乎与图中黑线相同。这也表明以“ 偏差绝对值之和 ” 最小的拟合结果正确地展示了岩石的强度特性。 You M . Inter J Rock Mech Min Sci , 2012, 54: 114–124, and 2011, 48: 852–863 笔者觉得,不宜将公式变形之后进行线性回归,尽管某些书中称之为计算技巧。岩石强度的相关问题烦请参阅上列拙稿,下面仅以示例略作说明。 两次试验各得到8组数据,在图中标出。预测公式 y = sqrt( Q + mx ) 可以表示试验条件 x 与结果 y 之间的关系;因为数学上的困难,将公式转换为 y 2 = mx + Q 而进行线性回归,得到参数 m 和 Q 后,绘出图中红色和蓝色曲线。 不过,如直接以拟合偏差绝对值之和 最小为目标搜索参数,得到 m = 10和 Q = 1,拟合曲线通过7个点,仅 x = 1 处有约6% 偏差。 上面的数据固然是认为设定的,但将公式变形之后最小二乘法,所得拟合结果可能掩盖某些试验现象:单个数据的误差会对整体结论产生影响。 这显然不符合实际情况。