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选麦穗的数值试验: 热度 2 youmingqing 2020-1-13 18:45; 0 在学院工作群看到教师选岗的条件，真是有趣呢；又想到选麦穗问题：从 100 个麦穗中选取一个，逐个观察而决定是否选取；选后不得更换！我曾在博文说了，“观察前 37 个确定极大值而选取其后出现的更大者 (37% 规则 ) ，有 37% 的可能会落空。 ……. 倘若看了 75 个都不能满意，看到第 76 个时知道已过了 3/4 、只剩下 1/4 的历程。您想，既然麦穗随机排列，最好的或许已不能取得；眼前的这个若能进入前三名，大约就是剩余的 25 个中最好的。在可选中选出可能的最好，才是切实可行的生活态度。怎能说不比前面的都好就不要呢，那是贪婪啊！” 改完两门课程的试卷，离放假还有几天，也就再说几句。 1 计算机可以模拟选择过程。利用 Qbasic 程序在 100 个（ 0, 1 ）之间的随机数进行相应试验。其中 B 表示前 37 个中最大， D 是选取， C 是 100 个中的最大； J 是在总计 100 个数中的大小排序， L 是出现的序号；0 表示未能选取。下表是前 30 次的试验结果。容易知道，只要排序第一不出现在前 37 个，则选择总能完成，但未必能选到最佳者；若前 37 个出现的极大值总排序第二，则一定能取得最佳者。从上表还可以看到，数据较少时并无统计规律可言，如排序第一出现在 99 和 100 位各两次，且各有一次被取到呢。 2 考察数 M 当然可以调整，下图是 M =15~45 时各进行 10000 次试验取得的排序 1~4 数量；排序 5 以上的次数较少，以实心圆点 ● 合并给出。蓝线是选取到最佳者的近似期望值 10000* ( M /100)*Ln (100/ M ) ；弃取的期望值 10000*( M /100) 。就取到最佳者的次数而言，考察数 M 在 25~45 之间差别不大，或者说概率函数 – x ln x 在 x = 1/e 达到极大值 1/e =0.3679，但极值点附近变化并不显著—— x = 0.25 和 0.5 时概率均为 0.3466 ，与极值 1/e 之差为 0.0213 ，即仅降低了 5.8% 。从上图看到，该差别与试验10000次的数据波动相当；另一方面，采用较小的 M 可以有更多的成功机会，且 M = 25 时取得前三的几率是 70% ，而 M = 37 时只有 62% 。据此可以做出判断：仅能选择一次且以最优者为目标，可以先考察 25% 而后选择出现的更好者。若以排序前三为目标可采取其他策略，如观察前 M 1 确定极大值 B 1 ，其后选择出现的更大者至 M 2 ；确定前 M 2 已出现的次大者 B 2 ，以后优于 B 2 即可选取。下图是 M 1=20~35 时的结果。 M 1=25~30 时的结果较好，考虑到弃选的数量， M 2 在 50 左右较好。最佳者在前 M 1 且次佳者在前 M 2，则上述过程将出现弃选，概率为( M 1/100)* ( M 2/100)。对于 M 1=25、 M 2=50 弃选的概率为12.5%，取得前三的概率约为68%；若考察25个后仅选更好者，则前三的概率约70%，但弃选则高达25%。 3 当然可以考察 M 1 个后分 3 个层次选取：选择优于已出现的第一、第二、第三者。下表是总计10000次试验的选取者在100个麦穗中的排序情况。表中给出观察 25或37后选取更大者的结果作为参考。 4 通常所说的 37% 规则并不是实际的最优策略：获得最优的期望确实达到最大的37% ，但也有37% 的可能一直等到最后而无可选择。概率极值点附近变化较小，而选择1万次的结果仍存在波动。就此而言，应该依据具体目标采取不同的策略，略述如下。 (1) 若目标是取得第一，则可提前至从第26个开始选择出现的最优者。 (2) 若目标为取得前三，则从第26个开始选择最优者，从51个开始选择最优或次优者，从76个开始选择进入前三者，但有3/32 的概率弃选，即10% 的可能到最后无可选择。 (3) 如果不准备弃选，则可以在第21个、41个和61个采取上条方案；而若至80个麦穗时尚未选择，则应以剩余数量中可能的最优者为目标进行选择，如第81个若优于已出现的前4名、第91个优于已出现的前9名即可选取。选择是权利，也需要珍惜呢，因为机会是稍纵即逝啊。此前在博文说过，若是看着第 99 个，也知道后面还有 1 个。您会怎么想呢？要是我，这个眼前的麦穗，只要在已展示的 99 个中排入前50 位就行，超过半数就行；除非这个真是不好，才将全部的希望寄予最后。; 个人分类: 教学|7221 次阅读|6 个评论

喝酒划拳中的数学(附：摇号和选麦穗）: 热度 7 youmingqing 2018-12-5 22:28; 冯老师的博文介绍了划拳的历史及相关知识，学习之后颇有收获。文中特别提及数学内容，称 “ 两人出拳数字相加所得之和的概率是不相同的，以得五的概率最大，得零和十的概率最小 ” 。不过，实际划拳或猜枚或许与此略有些不同。甲乙两人各出 0~5 之间的一个数字，其和为 0~10 ；若随机出数则结果是五的概率最大，为 6/36 ；而结果是零或十的概率最小，只有 1/36 。这是当然的。不过，划拳者所报数字与其所伸指头的数目相关，如伸两个指头，则通常会报数 2~7 ；不管报出其中的哪一个数，正确的概率都是 1/6—— 正确与否取决于对方所伸指头的数目；而旁观者猜二、三、四、五、六、七时正确的概率是 3/36 、 4/36 、 5/36 、 6/36 、 5/36 、 4/36 。其间存在差别。当局者在 6 个数字中猜测而旁观者在 11 个数字中猜测，掌握的信息不同，判断的准确性当然不同。仅举一个例子予以说明：旁观者预猜结果为三，因甲方有 4/6 的可能出零 ~ 三，基于乙方的所出指头数目，各有 1/6 的可能正确；而甲方有 2/6 的可能出四和五，则不管乙方所出都是不可能正确；于是，其猜对概率是 4/6 *1/6+2/6*0=4/36 。最后说句题外话。若酒席有目盲而耳聪者，其听到两位划拳者所报数目之后可以更准确地猜出结果，除非双方都叫“五魁首”而完全不透漏信息。科学网博客曾经基于医学检查讨论条件概率的问题，似乎有些复杂难解。划拳问题相对简单，或许有助于理解“信息”对判断准确性的重要作用。附录1：摇号有博文讨论“真随机数”，想到“经适房的六连号”。作为数学问题就是，从 M 个元素中随机选取 m 个出现 k 连号的概率（ k ≤ m ）。对于 LHK 市摇号，有 M = 1138, m = 514, k = 14 ，相应的概率为 0.01500 ，即 14 连号概率为 1.5% ；而 WH 市摇号， M = 5141, m = 124, k = 6, 相应的概率为 8.970*10^(–7) ，略小于百万之一。网上许多文章称：“这种结果出现的概率仅为千万亿分之一”，似乎有误。或许有人会说，现在只出现一次 k 连号，没有出现两次以上的 k 连号，没有出现 k –1 连号，也没有出现 k +1 连号，等等，实际概率比上面的计算值还要低；因而， …… 。随机发生的事情在发生之后就是确定的，通常不能再分析事件发生的概率。不过，摇号过程不够透明，有时结果比较奇特而引起民众的误解和猜疑；猜疑若不能平息则会损伤公信力。就此而言，摇号程序要简单、明确，结果随机但事后任何人都可以“复盘”确认。申请截止后迅速公布如下内容： (1) 合格申请数 M ，摇号数 m ，摇号日期等； (2) 中奖者序号 N 为 M * n +1 之整数部分， n 为 sqrt ( A + j π) + sqrt ( B + j π) + sqrt ( C + j π) 之小数部分； (3) 参数 A 、 B 和 C 由摇号前一日沪市收盘指数、某外汇牌价或摇号现场随机产生(产生方法也应公布) ，等等； j =1 to m 。如果出现重复结果，则参数 j 相应顺延。如此摇号就是一个确定 - 随机 - 确定的过程，公开 - 透明 - 公正的过程。当然，计算公式可以改变；参数 π 可以改为 e 或者根号 2 ；等等。相关内容只要预先公布就行。网上文章称：某地摇号 51 次，有近9 万人一次就中，而 14201 人参加 51 次未中。摇号是没有办法的办法，结果肯定不能公平；不过，只要摇号过程可以“复盘”就不会产生猜疑啊。附录2：从100个麦穗中选取一个，逐个观察而决定是否选取；选后不得更换！倘若已经到了最后而无可选择，当然得取了那最后一个，不能空手而归；不过，若是看着第 99 个，也知道后面还有 1 个。您会怎么想呢？要是我，这个眼前的麦穗，只要在已展示的 99 个中排入前50 位就行，超过半数就行；除非这个真是不好，才将全部的希望寄予最后。期望取得最好者不应成为设计策略的目标。如果已经看了 75 个，都不能满意；看到第 76 个的时候，知道已经过了 3/4 、只剩下 1/4 的历程。您想，既然麦穗是随机的排列，那么最好的或许已经出现了，或许已不可能取得了。眼前的这个若能进入前三名，大约就是剩余的 25 个中最好的。倘若恰巧是第一，那是机遇；若是第四乃至第五，也该赶紧握在手中。怎能说不比前面的都好就不要。那是贪婪啊！容易理解，在看到第 67 个、 51 个时若其能够达到第三名、第二名就可以选取。至于在 52~66 个之间的选择，那是生活态度而不是数学问题。当然，在看 37~50 个麦穗时，若不如已出现的最好者则放弃不取，即只是选取第一名；对最初的 36 个麦穗则只作观察。因 100/e=36.79 ，确定数字 36 而不是夏博士博文给出的 37 个，只是自己的生活态度啊。显然，最好者出现在前 36 个肯定不能取到；即使在 37 个之后出现也未必能够取到——其前面较优者可能被优先选取。倘若更好的已经失去了，略作伤感之后，得赶紧在可选中选出可能的最好，才是切实可行的生活态度。至于将来或许还有更好的，那也只是或许啊，当不得真的。我不准备进行数学论证或数值模拟，因为如何选择只是生活态度而已。第一好者出现在前 36 且第二好者出现在前 50 的概率是 0.18 ，在这样的情形要取得第三、第四好者也是不容易的。有时候我们并不能承受 20% 的风险，因而只得降低目标。就数学问题而言就是，采取何种策略使选取者为前 10 名、 20 名或者前 60 名的概率最大。当然，寻求的策略只是成功的概率最大而已，并不能确保绝对的成功。试想，若麦穗以从好到差或者从差到好的顺序出现，有何种策略能够应对呢？随机出现或者随机分布是常说的话语。可是，这个世界有真正的随机吗？面对已经出现的结果，相信尚待出现的未知结果依然按随机的方式出现，并依照既定的策略进行选择，我们能够吗？; 个人分类: 随笔|7476 次阅读|15 个评论

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