科学网 › 标签 › 无穷项级数

标签: 无穷项级数

相关帖子	版块	作者	回复/查看	最后发表

没有相关内容

相关日志

关于“数学”的对话（12）: 可变系时空多线矢主人 2009-6-3 23:53; 关于数学的对话（ 12 ）（接（ 11 ））甲：我们可以具体看看：无穷项级数与其极限值的相等，也是必须注意有这个无穷项条件的。乙：是啊！应该举几个实际的例子来说明。甲：这种实例很多，我们就看看利用泰勒公式把一些重要的函数展开成的无穷项级数吧！乙：泰勒公式就是： f(x)=f(a)+(x-a)f(a)/1! +(x-a)^ 2f (a)/2!+ ，吧？甲：是的！当 a=0. ，就得到麦克劳林公式： f(x)=f(0)+ xf(0)/1! +x^ 2f (0)/2!+ ，乙：啊！这就能把 f(x) 展开成的 x 的无穷项幂级数了。甲：例如，对于函数 e^x, 就有： f(x)= f(x)= f(x)= =e^x ， f(0)= f(0)= f(0)= =1 ，乙：啊！这就得到了函数 e^x 的无穷项幂级数： e^x=x^n/n!,n 由 0 到无穷求和。甲：当取 x=1, 这就得到了 e 值的无穷项级数表达式： e=1/n!,n 由 0 到无穷求和。乙：由此，已可看到当取 n=10 时， e 只能准确到 6 位小数： e~2 ． 7182819 （最后一位， 9 ，已不准确），只有 n 趋于无穷，才能得到 e 的精确值。甲：也只有 n 趋于无穷，才能得到函数 e^x 的精确值。否则，就只能是一定精确度的近似。乙：有个欧拉公式，将函数 e^(iA) 表达为实、虚两个 3 角函数表达： e^(iA)= cosA +isinA, e^(-iA)=cosA -isinA, 这个公式的两边就应是严格地相等吧？甲：是的！这个公式两边都是有限的项，无须相等的任何条件，就应是严格地相等的！乙：这个欧拉公式，联系起 e^(iA) 函数和 3 角函数，这两种重要的函数，确实很有用处。它是如何得到证明的呢？甲：这就还是要利用泰勒公式。乙：这个欧拉公式涉及复数，还能利用泰勒公式吗？甲：当然，利用泰勒公式已证明了多种涉及复数的函数。例如：由 e^x=x^n/n!,n 由 0 到无穷求和，当取 x=iA ，即得： e^(iA)=(iA)^n/n!,n 由 0 到无穷求和。又有3角函数与双曲线函数： siniA = iA -(iA)^3/3!+(iA)^5/5!- +(-1)^(k-1)(iA)^(2k-1)/(2k-1)!+ 。 cosiA =1-(iA)^2/2!+(iA)^4/4!- +(-1)^k(iA)^(2k)/(2k)!+ 。 sinh(iA)=(iA)+(iA)^3/3!+ (iA)^5/5!+ +(iA)^(2k-1)/(2k-1)!+ 。 cosh(iA)=1+(iA)^2/2!+ (iA)^4/4!+ (iA)^(2k)/(2k)!+ 。乙：啊！因有； sinh(iA)=isin A; cosh(iA)=cos A, 而有： e^(iA)=cosh(iA)+sinh(iA)=cosA +isinA, e^(-iA)=cosh(iA)-sinh(iA)=cosA -isinA, 这就证明得到了欧拉公式。甲：还应看到： e^(iA) ， cosh(iA) ， sinh(iA) ， cos(iA) ， sin(iA) ，各函数都是表达为无穷项幂级数的形式，因而都必需趋于无穷的项，才能趋于各相应的函数，否则，就只能是有一定精确度的近似。但是，由它们证明得到了欧拉公式，就因消去了必需趋于无穷项的条件，而成为严格地相等的！乙：这就更加表明：区分等号 = 两边趋于与等于的差别，弄清其差别及转变的条件，的重要性。甲：当 A= 派（ 180 度），由欧拉公式还可得到重要的关系式： e^(i 派 )=cos 派 +isin 派 =-1+0 ， e^(i 派 )+1=0 ， e^(-i 派 )=cos 派 -isin 派 =-1-0 ， e^(-i 派 )+1=0 ，以及： e^(i 派 )+e^(-i 派 )=-2 ， e^(i 派 )-e^(-i 派 )=0 ，（未完待续）; 个人分类: 数理|4064 次阅读|0 个评论

关于“数学”的对话（11）: 可变系时空多线矢主人 2009-6-1 16:56; 关于数学的对话（ 11 ）（接（ 10 ））乙：有位游客看到必须弄清：循环小数只是趋近于而非通常严格意义的等于等于相应的分数，责问：这话对吗？甲：已经具体说明，还须特别注意：无限循环小数与有限位小数的原则差别：有限位小数是与其相应的分数相等的。而循环小数和无限不循环的小数，虽然仍用 = 号表达与其相应的分数，但由于：它们都必须有无限的小数位，而只能是趋近于，而不是等于其相应的分数，或开方数，或圆面积等等。他认为这些论点 , 怎么不对 ?! 要怎样才对 ?! 乙：他给出了无限循环小数 0.999999 和 1 ，在严格意义上相等，的初等证明，即：设 x=0.999999 , 则 10x=9.99999=9+0.999999=9+x, 即 9x=9, 所以 x=1. 并说：如果小数点后只写有限个 9 ，那才叫逼近。批评作者对极限概念的理解太肤浅，希望不要传播错误的知识。甲：他这个所谓证明 , 也只在小数点后有无限多个 9, 才是成立的 , 否则 , 若非无限多个 9 ，例如 : 设只是 x=0.999999, 则 10x=9.99999 就 =9+0.999999 （小数点后就少了 1 个 9 ）就不 =9+x, 所以 x 就不 =1! 既然必须有无限多个 9, 就表明 :0.999999 只是趋近于 !, 而不同于绝对意义的等于 ! 这就，显然，与 0.5=1/2 ， 0.25=1/4, 等等有限位的小数是不同的，必须把它们严格区分 ! 否则，就会分不清如上的差别，而会像二傻那样遇到鬼的 ! 乙：而且 , 他所谓 : 如果小数点后只写有限个 9 ，那才叫逼近，也是弄错了概念。那只是近似，并未逼近 ! 甲：是的！只有小数点后有无限个 9 ，才趋近于 , 也叫逼近于 1! 这里所讲到的，正是要纠正他这种错误的观点啊 ! 乙：确实，小数点后有无限位的如上两种情况，虽然也都用 = 号表达，但由于：它们都需有无限的小数位，而只能是趋近于，而不是等于其相应的分数。但是，那位游客却仍然认为：这个观点是错误的！并说：关键在于对有限与无限过程的差别没有区分开来，是拿有限的观点考虑无限过程。甲：实际上，从他那个 x=1 的所谓证明，而要否定趋于与等于的差别，才说明 : 他自己对有限与无限过程的差别没有区分开来啊 ! 乙：看来，他确实没有弄清无限循环小数只能是趋近于相应的分数 ! 需要弄清楚：无限循环与趋近于的必然关系 ! 无限循环小数只能是趋近于相应的分数 ! 甲：其实，求无穷项级数的极限，虽也是用 = 号，表达与其极限值的关系，但是，其求和项 n 也是必需趋于无穷，因而，实际上，也只是趋于其极限值。也是有条件的相等。乙：看来，对于无穷项级数的极限，也确实必须弄清楚这个条件。（未完待续）; 个人分类: 数理|3295 次阅读|0 个评论

更多...

帐号		自动登录	找回密码
密码			注册

关闭 安全验证

标签: 无穷项级数

相关帖子

相关日志

关闭安全验证