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热度 1 readnet 2011-5-9 14:59

负数与负数相乘，为什么得到的是正数呢？其实，虚数就是由这个规则产生出来的。如果两个负数相乘得到的也是负数的话，那么“负数的平方根”就是负数，也就不会出现虚数了。实际上，负数相乘也不一定非是正数不可。数学规则，归根到底，毕竟是一种“约定”。同“正负相乘得负”一样，“负负相乘得正”也不过是一种约定。现在，我们按照“负数与负数相乘得到正数”的规则来考察复平面，验证一下是否不仅负数的乘法运算，而且虚数的乘法运算，都能毫无矛盾地得到一致的说明。在复平面上，用-1乘+1，只需将代表+1的那一点围绕原点逆时针旋转180°，得到-1。再用-1乘+1，继续旋转180°就回到+1。在复平面上，我们直观地看到两次用-1乘+1，结果回到了+1（负负相乘得正）。那么，用“虚数i”相乘，要乘多少次才回到+1呢？ i是一个“平方等于-1的数”。如前所述，用-1相乘两次回到+1，那么用i相乘，则需要乘4次才能够回到+1（i^4=1）。这就是说，用i相乘，在复平面上，每乘一次，对应的是作360°的4分之1的旋转，即作90°旋转。这个结论，可以在复平面上得到验证。用i乘+1，将代表+1的那一点围绕原点逆时针旋转90°，得到i。二次用i乘+1，共旋转了180°，得到-1。第三此用i相乘，三次旋转了270°，得到-i。第四次用i相乘，总共旋转360°一周，回到了+1。虚数 i 的乘法运算相当于作“反时针方向旋转操作” 小结在复平面上如何“负×负＝正”？ 1. 用+1两次乘以-1，回到+1。 2. 用+1四次乘以i，回到+1。复数的乘法运算，在复平面上“旋转、放大或缩小” 1. 乘实数的乘法运算实数轴上的箭矢长度被放大。乘数为负数时，箭矢反转180 °。如，（+2） ×（-3）＝（-6） 2. 乘i的乘法运算复平面上的对应点被逆时针旋转90 °。如，（3+2i） ×i ＝（-2+3i） 3. 乘复数的乘法运算在复平面上作“旋转、放大或缩小”的操作。如，乘复数 3+2i 的乘法运算 1 × （ 3+2i ）＝（3+2i） i × （ 3+2i ）＝（-2+3i）（1+i） × （ 3+2i ）＝（1+5i）北斗七星被复数3+2i相乘后？由多个复数对应点所构成的图形在与一个复数相乘后，变为一个经过旋转和放大（或缩小）的相似图形。图形旋转的角度等于作为乘数的复数的对应点与原点的连线同实数轴之间的夹角（这个角叫做复数的“ 偏角θ ” ）。图形被放大的倍数等于复数乘数的对应点到原点的距离。（这个距离叫做复数的“ 绝对值r ” ）。 r大于1，图形放大；r小于1，图形缩小。扩展阅读虚数 —— 一种“并不存在的数” 把“除不尽的除法的答案”也当作一种数 —— “分数”的发明发现“无理数”，最终形成“实数”概念存在着没有实数解的“二次方程” —— “实数”的欠缺虚数的诞生 —— 最早揭示出虚数威力的数学家卡尔达诺虚数单位i的诞生虚数在数轴之外 —— 虚数的可视化和“复数”

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复数与复空间大小的讨论

可变系时空多线矢主人 2009-6-2 19:15

复数与复空间大小的讨论有人认为：不能定义复数与复空间的大小。但没能说出：为什么不能？有人认为：给复数定义大小可能是有点问题，说成定义一种序，即字典序好点。但也没说出：可能是有点什么问题？说成序即字典序，为什么会好点？怎么样的好？有人解释说：复数如果看作矢量，其点乘是 AC+BD ，如果做叉乘，就跑到复平面外面去了。序结构与复数通常的乘法运算（即复空间的那种运算）不能兼容。如果按字典序定义序结构， i 与自身乘一下就会出问题，通俗点说，实数中诸如 AB,C0 可以推出 ACBC 等性质不再成立。因此在复平面内定义序结构没有多大意义。为此，须作如下讨论： 1．所谓序、字典序是什么？序是按某种原则，排列的事物的顺次。对于不同的事物，分别有不同的恰当的排序原则，而会得到不同的顺序。例如：人们排队，可按到达的先后、身材的高低（还有高先与低先的不同）；人名的排序可按姓名顺序的笔画数或拼音首字母的顺序，等不同的原则排序，就都分别有不同的结果顺序。字典序就是一般序的一种特例。是按各字笔画的某种顺序规定，或各拼音字母的顺序等等的原则，对所有的字进行的排序。可见：它们都是必须有明确的排序原则才能进行。如果没有明确的排序原则，又怎能，和如何，进行排序或字典序？！ 2．所谓大小的含义。通常所用大小是表达了广泛而确定的含义：包括：数量的多少，线度的长短，面积的广狭，体积的肥瘦，时间的久暂，乃至年龄的老幼，职位的高低，等等，对于数来说，就应是明确表示：其所代表的数量的多少。用数轴表达数的大小，就明确地应是：用数轴上的相应长度表示各该数所代表的数量的多少。可见，对于所有的数，只能以其大小作为排序的原则才能排出其序。否则，是没法排序的。如果不能定义复数与复空间的大小，又能按什么原则，来给它们排序或字典序呢？！ 3 ．如何确定复数与复空间大小和序？对于实数，其数值的大小是确定的，完全可按其数值的大小，排定其序，也能排定其在实数轴上的序。虚数是各相应的实数乘以 i ，也完全可按其相应的实数数值的大小，排定其序，也能排定其在虚数轴上的序。而复数与各种复空间，就可分别如下排序：（ 1 ）实、虚两正交数轴组成的 2 维复平面在此复平面上 4 个相限内的具体表达，例如： A+iB;-A+iB,-A-iB,A-iB ，它们就相当于复平面上 4 个相限内的 4 个矢量。它们的模长就分别是它们的自乘积开平方。与矢量运算一样，同一矢量的叉乘 =0 ，它们的自点乘积就是它们的自乘积，即：它们的模长均为： (A^2-B^2)^(1/2), A+iB 与 -A+iB 的点乘： -A^2-B^2, 叉乘： 2iAB A+iB 与 C+iD 的点乘： AC-BD, 叉乘： i(AD-BC), 它们的大小都与相应的矢量的大小相类似地确定，只是还需注意虚数因子 i 的运算。在此，它们的模长 (A^2-B^2)^(1/2) 与实数矢量的模长 (A^2+B^2)^(1/2) ，当然应该不同，因为有虚数因子 i 的平方存在。这正反映出这种类复空间应有的特点，怎能反而，以此，认为：叉乘就跑到复平面外面去了。、与复数通常的乘法运算（即复空间的那种运算）不能兼容。、在复平面内定义序结构没有多大意义。呢？！（ 2 ）闵可夫斯基 4 维复时空矢量对此复时空矢量，时轴分量的模长为虚数的 1 维： ict ，空间分量的模长为实数的 3 维： r1 ， r2 ， r3 ，此矢量的模长为它的自乘积即自点乘积开平方： (-(ct)^2+(r1)^2+(r2)^2+(r3)^2)^(1/2) ，由于 4 维的矢量已能形成各种多线矢，它们的矢量表达与矢算就已与通常 3 维空间的显著不同，需创建相应的矢量表达与矢算。而通常 3 维空间的是它的低维特例。但是，都能确定各种多线矢的相应大小（模长）详见本博客有关博文。（ 3 ）通常 1 维空间的复数通常的复数可看作在 1 维空间既有实数部；又有虚数部的数。那么，是否就不能确定其大小呢？！例如：复数 A+iB 与 C+iD ，对其实数部：可由 A 与 C 的大小确定其大小。对其虚数部：可由 B 与 D 的大小确定其大小。它们各自模长的大小可分别如下表达： (A^2-B^2)^(1/2) ， (C^2-D^2)^(1/2) 复数 A+iB 与 C+iD 的乘积可表达为既有实数部；又有虚数部的： AC-BD+i(AD+BC) ，当然，复数的运算结果会与实数或纯虚数的运算结果不同。但是，也都完全能确定其大小。（ 4 ）多维复数的空间矢量的大小只是各维的模长都是相应的复数。其各多线矢的矢算和大小（模长）都与相应实空间的类似，只是也须注意其中虚数因子 i 的作用。

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复数与复空间的一些讨论

可变系时空多线矢主人 2009-6-1 21:13

复数与复空间的一些讨论 1．实、虚两正交数轴组成的2维复平面在此复平面上4个相限内的具体表达，例如： A+iB;-A+iB,-A-iB,A-iB，它们就相当于复平面上4个相限内的4个矢量。它们的模长就分别是它们的自乘积开平方。与矢量运算一样，同一矢量的叉乘=0，它们的自点乘积就是它们的自乘积，即：它们的模长均为：(A^2-B^2)^(1/2), A+iB与-A+iB的点乘：-A^2-B^2, 叉乘：2iAB A+iB与C+iD的点乘：AC-BD, 叉乘：i(AD-BC), 它们都与相应的矢算相类似，只是还需注意虚数因子i的运算。 2．闵可夫斯基4维复时空矢量对此复时空矢量，时轴分量的模长为虚数的1维：ict，空间分量的模长为实数的3维：r1，r2，r3，此矢量的模长为它的自乘积即自点乘积开平方： (-(ct)^2+(r1)^2+(r2)^2+(r3)^2)^(1/2)，由于4维的矢量已能形成各种多线矢，它们的矢量表达与矢算就已与通常3维空间的显著不同，需创建相应的矢量表达与矢算。而通常3维空间的是它的低维特例。详见本博客有关博文。 3．通常1维空间的复数通常的复数可看作在1维空间既有实数部；又有虚数部的数。那么，是否就不能确定其大小呢？！例如：复数A+iB与C+iD，对其实数部：可由A与C的大小确定其大小。对其虚数部：可由B与D的大小确定其大小。它们各自模长的大小可分别如下表达： (A^2-B^2)^(1/2)，(C^2-D^2)^(1/2) 复数A+iB与C+iD的乘积可表达为既有实数部；又有虚数部的： AC-BD+i(AD+BC)，也都完全能确定其大小。

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