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理解“万有覆盖空间”——计算共形几何学习笔记6: Babituo 2020-7-9 12:12; 理解完基本群，算是跨过了第一道门槛，老顾在同学群里给予了我理解肯定，很受鼓舞，老顾给我出了一道作业：接着理解 “万有覆盖空间”，并给予提示：如何理解万有覆盖空间=所有从基点出发的道路同伦类？理解基本群肯定是理解万有覆盖空间的基础。所以，还要先深入理解基本群。上篇笔记理解到：基本群是扫描整个曲面所需要的圈的基本类型圈，也就是用这些圈在满足圈之间的交点的约束条件下进行 “扫描”，就能得到整个曲面。但理解基本群的目的，并不是为了扫描复原曲面，而是为了把曲面剖开。基本群的所有圈在交点约束下，实际构成了一张 “图”，是曲面上以交点为结点，以圈线段为边的一个网络。怎么剖开曲面呢？先把网络图变成一个 “树”，去掉一些边，使得“图”里面所有的“回路”都被割开，但保持图上的每个结点都能直接或间接地连在一起。得到的是一个“结点树”。术语叫“割图”。顺着割图的边，就可以剖开曲面，使曲面可以摊开成为一张多边形的平面区域。书上叫这个区域为 “基本域”。这样，一个本是立体空间上的封闭曲面，就摊开为了一个平面图形。可以想象一下我们看到的世界地图，实际上是一个球面剖开后展开的样子。原来，把任意的空间曲面剖开为一个摊开的平面多边形（基本域），就是找基本群的目的。有了对 “基本域”的理解，理解“万有覆盖空间”就变得容易了” 基本域被展开后，会出现很多剪开的边，每个剪开的边都有对边。把基本域进行复制，用复制的基本域的对边和展开的对边进行粘合，这样，整个平面就可以不断无缝覆盖下去，像铺地砖一样，基本域当然先要变换为地砖的形状。这个铺地砖铺出来的平面空间，就是 “万有覆盖空间”。为什么要做出一个 “万有覆盖空间”出来呢？总的思路还是要想办法把高维的曲面，投影到低维的平面上来进行研究。比如：在曲面上的任意两个环，它们之间是否可以相互等价地变换呢（同伦）？，通过投影到万有覆盖空间，就比较容易判断。先让它们在曲面上做些小变换，使它们产生一个交点。然后找它们在万有覆盖空间上对投影，如果它俩同伦，投影必定是一个圈：它们在万有覆盖空间上会相互首位相接在那个交点的投影上。那么，如何理解万有覆盖空间=所有从基点出发的道路同伦类呢？因为基本群里的圈投影到万有覆盖空间就变成了道路。基本群的圈扫描的同伦圈得到原空间，对应在万有覆盖空间上的道路扫描得到的同伦道路就得到万有覆盖空间了。能这么对应，是因为这里采用的是一个“同胚映射”：如，对于有一个洞的拓扑，是环面，这里是把环面映射为矩形。两个洞的曲面，映射为双曲圆盘。不知道这么理解“同胚映射”对不对。; 个人分类: 计算共形几何笔记|6426 次阅读|0 个评论

理解“基本群”——计算共形几何学习笔记5: Babituo 2020-7-5 19:03; 今天听了老顾的第二节网课：基本群概念。算是正式进入了理论学习。第一个引起我理解障碍的描述，出现在老顾的教材P17页：三维的洞，是因为曲面”嵌入”三维欧氐空间中产生的吗？换言之，就是问：“洞”是曲面与三维空间的相对关系，还是曲面自身内蕴的特性？三维欧氏空间中画上一个曲面，如果曲面有闭合包围的圈，就会使三维空间出现孔洞。嵌入，按自然语言理解是镶嵌在其中的意思，在这里怎么理解呢？是上面的意思么？有没有专门的数学含义所指呢？因为对“换言之”里的“相对关系”和“内蕴”的确切含义也把握不准，所以，还得看能不能再换一种能理解的说法。自己根据能自己能找到的“理解”，再换言之一下：按正常理解，曲面是三维空间中的一群分布点的选择。是三维空间中的这些分布点组成了曲面。是不是说，决定由哪些点构成曲面时，是不是真需要建立一个三维空间坐标系呢？真需要，就是嵌入，不需要就是内蕴？曲面自己就“知道”自己由哪些点组成，不须要额外的一个三维的相对坐标来帮助决定？曲面在三维上围出一个“洞”，是可以通过曲面上自身的信息就能推断出来，而不用跳出曲面来观察的么？要跳出曲面观察才知道曲面围出了洞，就是嵌入，不用脱离曲面就能推断，就是内蕴。这么理解符合原意么？这和理解“基本群”概念有什么关系？继续寻求理解：在低维空间上，通过变换运动轨迹，就可感知其在高维空间上的性质。比如，在一个曲面上经过1个固定点，可以画任意多的闭合曲线；可以想象，一只蚂蚁从该点出发，沿任意画出的闭合曲线上运动，回到该点，每走一圈，除固定点外，向左偏移一点再走一圈，最后，会出现什么情况？某一个圈，可能会出现情况只有两种可能：最后会偏移收缩到这个固定点；不会收缩到这个点，总会是个圈。假设蚂蚁把所有可能的圈，都这么走一遍，那么，所有可能的圈走完，最终可能出现的情况可能是：所有可能的圈，最终都可以缩为一点。存在1个或多个，相互并不能替代的圈，不能缩为1点，而只是在这1点相交。假设出现的是情况1，那么曲面类似1个球面，没有洞。假设出现的是情况2，那么曲面是有洞的。把所有相互不能替代的圈集合起来，用这个集合里的圈，再反过来让蚂蚁围绕相交点，任意进行偏移走圈，蚂蚁就能走遍整个曲面。这说明，情况2中的几个圈的集合及其相互的相交关系，就反映了曲面的最基本的，可保持不变的性质。这个圈的集合，圈通过交点可进行对接的操作，就是曲面的“基本群”。那些蚂蚁经过一个固定点最初的圈，经任意扫描平移偏移可走出来的圈，就是同伦圈。同伦的意思，代数地说，应该是在连续的多元函数中，将某一个变量元在可变的范围内任意变化（扫描），会得到一个函数簇；这一簇函数拥有共同的“父函数”。所以说，这一簇函数是同伦的。在解析几何中，函数就是曲线，是几元函数就是几+1维空间内的“曲线”，曲线扫描，就会得到曲面。所以，通过分析一个曲面，最终可以由哪些基本的圈，通过哪些交点约束，动态扫描来覆盖。这个基本圈的集合，就能反映曲面可以维持不变的性质。不同的几何空间，只是它们解析出来的基本圈和扫描的方式不同。解析出来的基本圈和扫描的方式不同，得到的几何空间也就不同。基本圈和扫描的方式，就是基本群的概念。; 个人分类: 计算共形几何笔记|3923 次阅读|0 个评论

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