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如何求解非线性网络是最突出的难题(2): Fangjinqin 2016-12-13 15:10; 如何求解非线性网络是最突出的难题(2) 从 20 世纪七八十年代开始，复杂系统与非线性 - 复杂性问题的研究引起了国内外的广泛关注，它都是与非线性／混沌动力学的复杂性研究交错在一起，在国际上掀起了非线性 - 复杂性问题的研究热潮，但是一直面对一个突出共同难题是非线性动力学求解问题。正如最伟大的理论物理学家A·爱因斯坦因，早在20世纪就强调指出：“由于物理学的基本方程都是非线性的，所有的数学物理方程都必须从头研究。”全世界科学界都面对前所未有的挑战，研究任务极其艰巨。实际上，在自然界和人类社会中广泛存在着非线性、非平衡、确定性和随机性，科学家已从自然科学和社会科学分门别类进行着探索。鉴于世间万物多种因素之间的错综复杂的相互作用，各国科学家一直进行不懈的探索，千方百计尽可能把诸多因素考虑进去，以便真实的反映和揭开世界的庐山真面目。最关键的科学问题是，考虑了多种因素之后，必然导出迄今难以求解，甚至无法求解的各种各样非线性-非平衡方程、确定性、随机性及其混合方程（组），这就迫切需要从数理方法上不断开拓创新，进行根本的变革。长期以来，各国学者们往往不得不乞求于各种简化的理论模型，以近似描述自然界和人类社会的概貌，其中必然要提出一些假设条件，省略去一些使问题难解的地方，在理论上不得不作近似处理，例如，采取线性化近似、封闭截断、绝热消去、白噪声代替有色噪声等，以此得到数学物理上比较容易求解的各种各样方程（组）．因此，近似求解方法应运而生，诸如，小参数（摄动）法、平均法、绝热消去法、共振法等。这些近似求解方法在一定条件下使某些具体问题取得较好的近似结果。但是，实际上对于大多数非线性问题的近似方法，特别是处理强非线性和强随机性问题及其混合问题时，往往会引起发散（所谓小分母）、拓扑不等价等实质性困难，从而达不到逼真精确的结果。虽然，迄今非线性科学在各领域广泛展开探索之路，能够得到精确解的问题麟毛凰角，大多数限于定性研究，或者求助于超高级电子计算机进行（随机）数值模拟计算，即使如此，诸如庞大的数以万计节点的复杂网络的邻阶矩阵也很难求解。值得指出的是，计算机随机模拟方法，加上云计算，确实是现代科学的一大进步，是解决大科学计算难题的一种有效方法和途径，特别是借助于现代（超）高速计算机，像世界上排名第一的天河1号，能够完成大数据的科学计算任务。但是，也需要看到，即使如此，有几个学者能够分享这个机会，况且花费了极其大量的机时，有时计算结果并非令人十分满意。因而，人们对于各种各样的非线性数学物理方程，不论从求解方法，还是从分析方程内涵，都是必须创新，甚至从头仔细研究。 1。解决非线性问题的一种思路为此，多少年来，在科学家们想方设法创新解决上述难题的基础上，大家一直在苦苦思索和探索，作者也一样，提出的问题是：期望在严格分析解、逼近解析解和数值方法之间的结合上能否闯出一条新路？概括起来，设想的核心意图、基本思想和做法有如下几点。第一步，对强非线性方程，包括确定论和随机性两种情形，首先找到一种新方法，能够进行有效的逼近解析求解，目的是获得这类方程的高精度的逼近解析表达式，以便从解析关系上窥见、理解和寻求非线性问题的定性与定量规律。第二步，为了推导所需的高阶逼近解析，不仅理论方法上创新，具有简明有效，而且能够实现求解过程的数学机械化求解，即能够适合于进行机器自动推导，以代替烦锁和费时的人工推导，能够在微机(计算机)上进行自动推导工作，以达到所需（任意）高阶逼近解析。第三步，在上述基础上，对于任意高阶，通常只需有限阶逼近解析解，对人们感兴趣的和重要的一些物理量（特性）进行定量和深入的研究，这时不必依赖于超高级计算机，只需进行有限的科学计算。简言之，首先，提出和确定新原理和新方法，以求解获得非线性问题所需的逼近求解析解；其次，需要设计计算机求解的非线性软件包，实现数学机械化，以进行计算机自动推导；最后，完成数值定量计算的科学任务，这也是“三步曲”的研究线路图，把整个求解和研究的全过程有机而紧密地结合起来，以适用于统一研究各类强非线性及随机性数学物理问题究。这里指出的是，国际上有一种称为“逆算符理论方法”，简称“分解法”，提供了解决上述非线性、随机性和确定性混合问题的一种统一的理论框架。这个分解法，首先是美国科学家阿杜美因(G. Adomian)在70、80年代之交提出和发展起来的。开始从线性问题提出了分解法，成功地解决了线性随机问题。1983年后，他及其合作者又把分解法推广到非线性随机系统。其主要成果是，提出和解决了上述“第一步”任务，接着我国学者（包括我们课题组及中科院数学机械化中心）分别在其基础上，一方面对分解法进行了一定的改进，另一方面实现了分解法的数学机械化求解，使得它成为一种实用有效的先进方法。我国完成了后面“第二步”做法，这样分解法可以成为统一求解多种非线与非线性、确定性与随机性问题的一种普适的理论方法，克服了现有近似性的根本弊端，并应用于研究许多非线性-随机性系统，具有应用前景。国际上一些著名的科学家对分解法给予了高度评价，例如，在20世纪80年代末，美国著名科学家贝尔曼(R.Bellman)指出：“阿杜美因的整个工作给数学、物理、工程、经济、生物以及医学等都将产生深刻的影响，它可能被看作为本（20）世纪科学的重大贡献，他的成果是科学的突破性进展，其重要性迄今尚难以估量．”阿杜美因正是由于这方面的杰出贡献，于1989年他荣获美国著名的理查德·贝尔曼金奖。 2。分解法的基本原理和方法简介现在的问题是：能否把分解法及其数学机械化进一步推广到复杂网络的研究中？这是一个值得尝试和重视的问题之一。这里，有必要扼要介绍分解法的基本精神、原理和整个理论方法与技术框架。我们知道，最普遍的数学物理方程，应当包括线性的和非线性的、确定论的和随机性的，方程的形式可以多种多样，如：代数的、常微分的、偏微分的、积分的和离散的方程，等等。这些方程基本上都可采用分解法求解。其实，分解法的思想已屡见不鲜，广泛应用于自然科学、工程技术及经济等领域的复杂性问题的研究中，包括应用于研究大范围高强方面的问题及系统工程等。“分解法”顾名思义，就是要对整个问题或方程（组）适当分解成几部分，然后分别研究各个部分的解分量的特点和性态，设法采用一些特殊技巧来发现或找出各部分解之间的关系，最后综合给出整体性及所需的解析解，概括地说，分解法的基本精神有三层含义：一是，把所研究的非线性方程的真解（最终解）的求解过程分解为求解无限多个（实际上只是有限个）的解分量，设法求出这些解分量，使所有的解分量之和能够尽可能以任意高精度逼近真解。二是，把整个非线性方程恰当地分解成若干部分，至少分为线性部分和非线性部分，难点在非线性项，如何巧妙地选取易于求出的解分量，把那部分先予以解决，然后通过它与其余部分的关系，以及问题中的已知条件，诸如初始条件、边界条件及自然条件等，来确定其余各部分的解分量，其特点是，做到高阶解分量只取决于前面已求出的低阶解分量，这样依此类推，最后求出任意高阶的解分量。三是，对方程中最困难的非线性部分（函数）必须采取特殊方法和技巧，要求能够产生一个与非线性函数完全等价的特殊多项式，这需要建立一套理论方法．若能获得或产生这类特殊多项式，如，阿杜美因多项式，则分解法的关键问题即被解决，问题便可迎刃而解。阿杜美因多项式的特点就是，它不仅由方程中的非线性函数按特定方式产生，而且高阶多项式只取决于低阶多项式及低阶解分量，这样高阶多项式和高阶解分量均可由低阶多项式和低阶解分量所确定，这样有规可循，实现有效的递推下去，达到求解过程能够按部就班地一步步导出所需精度的解析解．四、方法具有“有规可循”的突出优点，正好符合我们实现分解法的数学机械化方法的要求，因此就能够研制非线性软件包，应用计算机来完成整个求解析解与计算等任务。从理论和应用两方面实践已经证明，分解法所得的逼近解析解不但是收敛的，而且收敛速度相当快，一般情况下只需n取3至6阶逼近分析解即可达到精确度要求。其重要一环是我们不仅对分解法有所改进，而且研制了非线性软件包，实现了数学机械化。多年来，分解法在理论研究上不断取得新进展，不仅从求解常微分非线性方程拓广到偏微分非线性方程组，而且在从单变量到多变量、从低维到高维、从连续到分段连续、从单方程到方程组等各个方面，均取得了进展，获得满意结果。业已证明，对偏微分方程选用任一个线性偏微分算符所求得的解彼此都是等价的，因此只要求出最高阶偏微分线性算符所对应的解就是问题的实际解，即从最易求解的偏微分算符及已知条件入手求解，都是可以获得偏微分方程所需的逼近解。特别是，对于非线性偏微分方程的初值－边值问题，阿杜美因等人进一步提出了更加有效的“双重分解法”．所有这些方法与技巧为解决许多前沿课题及高技术中的非线性数理方程（组）提供了一种有效的求解方法，不论对非线性确定论系统，还是对非线性随机性系统，分解法求解任何方程都达到了异曲同工之妙．分解法中最核心技术问题是产生阿杜美因多项式的方法。那么，如何产生与方程中非线性函数等价的特殊多项式？阿杜美因首先提出了一种产生的方法，通称为阿杜美因多项式。随着研究的发展，已提出多种产生和计算的方法。它们的共同点是： A 0 只取决于由已知初值条件或边界条件确定零阶解 Y 0 ， A 1 只取决于 Y 0 和 Y 1 ， A 2 只取决于。如此类推，每阶解分量（多项式）只由前面低阶的解分量所决定，因此，所有的多项式都能按一定规则顺序推导出来．迄今已经提出几种计算杜美因多项式 A n 的方法，包括： (1)隐式微分算法；(2)显式微分算法；(3)对称规则；(4)雷切（Rach）规则；(5)加速收敛的 A n 算法；（6）欧拉变换方法；（7）方姚改进方法；(8)朱高新算法等，后两种是我国学者提出的改进方法.分解法及其阿杜美因多项式的研究仍在继续研究之中，发展潜力很大。由于我国对分解法有所改进，并在计算机上实现了分解法的数学机械化求解，已可以在微机上研制了分解法推导的非线性软件包，成功地实现了因分解法的数学机械化求解，已经求解了多种多样的非线性问题的。特别是，应用解法求解了很多非线性混沌动力学系统，例如，著名的洛伦茨( Lorentz)方程、广义杜芬(Duffing)方程、广义双耦合杜芬方程、范得波非线性振荡方程，以及非线性多元激光双稳系统和等离子体鞘层方程等。数学机械化方法完全适用于非线性复杂网络问题求解。中国著名数学家吴文俊在国际上开创了数学机械化方法，被誉为“吴方法”，他们不仅在几何定理的机器证明方面取得了国际领先水平，而且数学机械化中心已经推进到代数方程组、微分方程及微分几何问题的求解中去。一般说来，应用求解一个非线性方程组的计算机算法步骤如下： (1) 产生所需的高阶阿杜美因多项式； (2) 用初值条件或边值条件确定零阶解分量； (3) 应用计算机进行符号运算，推导出各阶解分量，达到所需的阶数为止； (4) 计算各阶解分量的相应系数； (5) 化简整理各阶解分量，以得到紧凑的解析式； (6) 返回到第(3)步，一直到获得所需精度的解析解； (7) 定量研究解析解的特性及其变化规律，完成科学计算任务。分解法是一种统一研究非线性系统的逆算符理论方法，它不仅应用于非线性确定论的各种系统，而且同样适用于非线性随机系统，用于研究系统的解过程的统计测度．我们已经应用于多介质非线性环形激光系统研究中，取得好结果。因此，有理由把分解法进一步推广到更多节点的非线性复杂网络的研究中。; 个人分类: 杂谈评论|2430 次阅读|0 个评论

一篇被改了题目的文章——略谈完成重点项目的感悟和建议: Fangjinqin 2009-6-20 08:58; 按语：这篇略谈完成重点项目的感悟和建议稿子投给中国科学基金杂志后，很快被编辑部接受发表，并把题目改为《国家自然科学基金重点项目非线性网络的动力学复杂性研究的突出进展和创新成果》，而且有关内容也有所修改，该文将在 7 月第 4 期中国科学基金杂志的《学科进展与展望》栏目里即将刊出，这里公开的是原稿，保留有关经验与教训等被删除的部分，反映我的感悟与体会。方锦清 2009 、 6 、 20 本文以非线性网络的动力学复杂性研究为主线，简要评论和介绍复杂网络的定性特征与定量规律，项目的突出研究进展和创新成果，研究展望与建议。非线性网络，动力学，复杂性引言为了确保我国国民经济持续健康发展和全面提升国家自主创新能力，我国制定了第二个《国家中长期科学和技术发展规划纲要（ 2006-2020 年）》和《十一五规划》。这两大计划中，把复杂系统、下一代信息网络、信息安全理论等明确定为重大（点）项目和科学前沿的研究课题。 1998 1999 年，国际上科学家冲破了长期的传统图论、特别是随机图论的束缚，在复杂网络的研究中取得了突破性进展，其主要里程碑的标志是二项重要的发现：小世界网络和无标度网络，掀起了国内外复杂网络的研究热潮，并由此诞生了一门崭新的交叉科学：网络科学，无疑，它与自然科学（数学、物理科学、复杂性科学、非线性科学、计算机与信息科学、生物科学、系统科学等）和社会经济科学等众多学科产生广泛交叉，引起了国内外不同学科对网络科学的高度重视和普遍参与，它不仅将为人们提供认识真实世界的复杂性的全新的科学知识和视角，而且将成为改造客观世界的新的方法论和有力武器。我们知道，自然界和人类社会中广泛存在着复杂系统，而复杂系统正好可通过各种各样的复杂网络来描述。事实上，复杂网络的研究极大地促进和深化了对复杂系统的研究和发展，它已经成为现今复杂系统和复杂性科学研究中最受关注和最具挑战性的科学前沿课题之一。网络科学正是与众多领域广泛交叉的一门新兴科学，它的诞生既适应了现代网络信息时代的需要，又符合 21 世纪复杂科学研究的大趋势。目前，网络科学正在国内外迅猛发展，复杂网络的复杂性及其应用研究越来越吸引着不同领域、学科和工程等众多人员的高度重视和空前参与，无形地结成了最广泛交叉的科学合作网络，以前所未有的广度和深度向前发展。网络科学不仅将为人们提供认识真实世界的复杂性的全新的科学知识和视角，而且将成为改造客观世界的新的方法论和有力武器。网络科学的一系列新发现及其应用正引发一场世界性网络革命，它与 20 世纪 60 年代非线性科学，特别是混沌科学引起的第三次物理学革命 , 相互交融在一起，提供了一种新的科学发展观和方法论，使简单性与复杂性、确定性与随机性、有序性与无序性再次达到了自然和谐的统一，人类的认识产生了一次新的飞跃。网络科学的诞生，既适应了现代网络信息时代和复杂科学研究的需要，符合 21 世纪的发展趋势，验证了 20 世纪伟大的思想家、理论物理学家史蒂芬 . 霍金的预言：二十一世纪将是复杂性的世纪。 21 世纪八年多来世界科学的发展越来越证实了这个科学预言。正是在上述国内外背景下，从 2005 年 1 月至 2008 年 12 月，我们一院两校（中国原子能科学研究院 (CIAE) 与上海交通大学 (SJTU) 、北京师范大学 (BNU) ）共同组成了国家自然科学基金复杂网络重点项目联合研究组，开展了国家自然科学基金网络重点项目非线性网络的动力学复杂性研究（简称非线性网络）的研究工作，这是国家自然科学基金委员会批准的第一项复杂网络科学的交叉科学研究重点基金资助项目。 4 年来，我们一院二校团队密切合作，共同努力，现已圆满完成全部研究计划，实现了预定的研究目标 . 。本文就以非线性网络的动力学复杂性研究为主线，简要评论和介绍复杂网络的定性特征与定量规律，以及有关应用研究进展和成果；总结我们在完成重点基金项目过程中的一些感悟、经验与教训，并向领导部门提出自己的建议。 1 ．项目完成概况无论在网络科学的理论方面，还是在网络实证和应用研究方面，我们的项目都取得了创新性和富有特色的丰硕成果。据目前统计 , 迄今整组出版了三部专著：方锦清编著的驾驭强流束晕与探索网络科学（ 2008 ）；汪小帆、李翔与陈关荣编著的复杂网络理论及其应用（ 2006 ），李翔编著的从复杂到有序神经网络智能控制理论新进展（ 2006 ）；。我组负责主编了第二、三、四届全国复杂动态网络学术论坛论文集。此外，我组主要成员担任了二部全国复杂网络会议文集的副主编，即狄增如是复杂网络的副主编（郭雷 , 许晓铭为主编， 2006 ），汪小帆是复杂网络理论和应用的副主编（陈关荣和许晓明为主编， 2008 ）。迄今初步统计，全组已发表 SCI 论文约 120 多篇（不含已经接受发表的文章）， EI 论文 15 篇， ISTP 论文 13 篇，专题综述文章 28 篇，国内外学术会议大会邀请报告约 40 多次，占总会议报告的 40% ；分会邀请报告共约 10 多人次，占总会议报告的 10% ；会议口头报告 50 多个，占总会议报告的 50% 。初步查新显示，全组论文被国内外他引总次数已超过 188 次。图 1.1-1.4 分别示出联合组发表的国际刊物各类论文和会议报告论文发表数量的统计图。从图 1.1-1.6 的统计数据可见：我们的论文主要发表在 20 多种国际期刊上： Phys Rev. E, Phys. A, Phys. Lett. A, Eur phys. Lett., Advance in Complex Systems, Int. J. Moder. Phys. B, Chin. Sci., Chin. Phys. Lett., Commn. Theor. Phys., Chin. Phys. IEEE Trans.Circus System 等。值得一提的是 2007 年应《物理学进展》主编冯端院士的邀约，团队合作撰写了二篇长篇论著（约 20 万字）：一门崭新的交叉科学网络科学 ( 上 ) 和（下）（物理学进展， 2007 ， 27(3):239-343 ； 27(4)361-448 ）），涉及网络科学领域 12 个重要专题， 2008 年应《力学进展》的复杂网络专刊主编陈关荣等邀请撰写了五篇专题综述文，占专刊 1/3 。同时，我组为国内外英文杂志撰写了英文专题综述文，这些国内外刊物的专题综述反映了相关课题的新进展和发展方向，具有比一般论文更重要的学术价值。论文发表遍及国内许多著名核心刊物：中国科学、物理学报、物理学进展、自然科学进展，科技导报 , 复杂系统与复杂性科学，计算机工程与应用，系统工程理论与实践，系统工程学报 , 等。同时，我组中国原子能科学研究院与香港城市大学及黑龙江大学联合主办了第 4 届亚太地区混沌控制与同步会议暨全国混沌应用研讨会（哈尔滨， 2007 、 8 、 24-26 ）；。我组合作者汪小帆和李翔参与组织在 2009 年第一国际复杂科学会议：理论与应用（ 2009 、 2. 23-25, 上海）上组织了专题复杂工程网络研讨会。我组还参与了 10 多个国内外学术会议及其交流活动，产生了比较深刻的影响；迄今 , 全组培养约 50 名硕、博士研究生， 1 名博士后出站， 13 名博士生和 24 名硕士生完成学位论文毕业，走上工作岗位。图 1.1 项目联合组英文刊物发表的论文统计图图 1.2 项目联合组英文刊物发表的 SCI 论文统计图图 1.3 项目联合组中文刊物发表的论文统计图图 1.4 项目联合组各类论文与各类会议报告统计比较图。 (以上4个图表不好上传,在此省略) 上述成果充分集中反映了本项目取得了丰硕成果，达到和超过了基金委重点项目管理办法中关于重点项目要体现有限目标、有限规模和重点突出的原则的要求和目的。 2 ．积极开展国内外学术交流，促进学术水平提高从 2004-2008 年我组在国内连续四年组织和成功举办了第一、第二和第三届全国科学网学术络论坛，参加人数从第一届 40 多人到后三届都超过 100 人，最多达到 200 人，总人数超过 400 人，并由中国高等科学技术中心出版了我组主编的三部论坛文集，在国内产生了深刻而广泛的影响，特别是年轻人反映收获丰硕，大大激励了他们对于网络科学的研究兴趣。整个项目组主要成员分别担任了四届全国复杂网络会议的组织要职（如正、副主席（组长）、程序委员会和学术委员会委员等），积极推动了我国网络科学的发展；全组有 6 个主要成员多次应邀出访七个国家（美国、德国、英国、澳大利亚、印度、韩国、新加坡）和三个地区（中国台湾、香港特区和澳门特区），参加了十多次国际学术会议，并在国内外会议上应邀作了 50 多次大会特邀报告和分会邀请报告，以及 50 多个会议口头报告（论文），本组参加国内外会议共计超过 200 多人次，积极而广泛地进行了国内外的学术交流和合作活动，从二促进和提升了项目的研究水平。另一方面，在 2005-1008 年期间我组也邀请一些国外著名专家来国内访问交流。例如， 2005 年邀请美国著名科学家 Ying-cheng Lai 教授和 Liu Jiaming 教授参加论坛和访问 ,2006 年 3 月邀请美国加州理工学院 Michael Cross 教授来访合作，邀请新加坡国立大学李保文教授来访合作 ,2008 年 5 月邀请美国乔治亚理工学院丁鄂江教授来访合作 , 2008.8 邀请美国加州理工学院 Michael Cross 教授来访合作， 2005-2008 期间还邀请了 Kapral,Jorgen Kurths, Peter Hanggi, Plaman Ivanov, Hong Qian, Changsong Zhou, Yoneyama, Bambi Hu, Leihan Tang, Jiansheng Wang 等一批国际专家来访，普遍反映与国外同行进行面对面的学术交流和合作，范围广，效果好，收获大。 2 009 年一些国际会议继续邀请我们作为会议主题报告人和会议国际程序委员会的委员等。例如，欧洲科学与工程协会 (WSEAS)2009 年由西班牙拉拉古纳（ la laguna ）大学主办 The 8th WSEAS International Conference on NON-LINEAR ANALYSIS, NON-LINEAR SYSTEMS AND CHAOS (NOLASC '09 ， La Laguna , Tenerife, Canary Islands, Spain, July 1-3, 2009 特邀本人作大会报告。另外，将在英国伦敦玛利皇后学院召开 The 2 nd IFAC Conference on Analysis and Control of Chaotic Systems Chaos09 ， 22 nd -24 th June 2009), 主办方伦敦大学邀请我作为会议程序 / 技术委员会的委员 ; 在美国召开的 T he 7th ICCCAS (International Conference on Communication, Circuits and Systems 主办方中国香港城市大学邀请我作为大会技术委员会的委员来函邀请，课题负责人和主要成员情况也类似的不少国内外邀请。总之，从各方面反映来看，联合组的主要成员在国内外学术界和学术会议中占有一席之地，产生了比较深刻的影响，促进了项目组以及国内该领域学术的交流和提高。 3 ．项目成果的创新性本重点项目作为网络科学研究的一个重要阶段，其计划任务已经圆满完成了，研究目标已经达到。整个项目的研究成果深刻地揭示了非线性网络的动力学复杂性的基本特征，不同类型网络拓扑结构特征与网络的动态特性之间关系的若干定量规律，动态网络的群聚、传输、同步、传播和博弈等一系列过程及其控制，以及相关应用问题。整个项目研究取得了突出进展和重要成果，其创新性和特色表现在十二方面： 1 ．提出和建立了网络科学的统一混合理论框架（体系），包括三部曲模型：统一混合择优模型、大统一混合模型和大统一混合变速增长模型；并构建、描述和总结了七大层次的复杂网络模型复杂性金字塔，深刻揭示了复杂网络中拓扑结构和动力学的复杂性 - 简单性与多样性 - 普适性之间的相互转变关系； 2 ．提出了一类复杂网络的新家族广义 Farey 树组织的一维和二维网络及三维金字塔，推导出拓扑特征量（度分布、平均路径距离或直径、相称性系数等）表达式，再次揭示复杂网络的若干共性和特殊性及其相互转变特点。 3 ．发现非局域连接导致规则网络的对称性破缺，不同的连接方式会导致不同的部分同步时空斑图，从理论上导出部分同步判据；研究了具有时间上开关闪烁的非局域链接对网络部分同步的影响和群结构的时空动力学网络，发现群同步现象并非在线性耦合的所有非线性时空网络上发生，用部分同步理论研究了社区网络与属性连接网络的不同的同步区域。 4 ．深入研究复杂网络的动力学同步与控制问题，提出了一些提高同步能力的模型、方法和途径，包括同步最优模型、同步优先连接模型、加权局域世界模型、各类权重的效应、叶子节点的影响、双择优连接方式、与网络特征量的关系等。 5 ．提出了适合于任何复杂混沌网络的多目标分区控制方法，即利用全局耦合与分区（子网络）误差反馈牵引控制相结合方法，现实不同子网络（社区）的不同目标（对象）的控制目的；同时，对于与核能系统相关的束流输运网络，提出了若干束晕混沌控制方法，从理论上开辟了具有小世界和无标度拓扑的束流输运网络的束晕 - 混沌和 Lorenz 混沌网络的同步与控制的新途径。 6 ．提出了有向网络的牵制控制策略，设计了具有领导者和切换拓扑结构的蜂拥控制算法；提出了能显著提高同步化能力的自适应群集模型。 7 ．分析不同网络结构上拥塞产生的原因及其控制策略；研究了网络拓扑性质与博弈行为之间的关系。发现在复杂网络上演化少数者博弈（ EMG ）模型中，不同参数配置下网络系统动态依赖于底层网络结构。当收益函数对称时，星型网络上的稳态概率分布由 EMG 模型中的自组织分离变为中庸人群的峰化，而 SW 网络和 SF 网络则不变，且取得了最优资源配置。在修正 EMG 的随机 Kauffman 网络中，当网络的平均连接度等于 2 时，整个系统取得了最佳的合作效果，比较其它 EMG 模型，整体性能有了显著的提高，对于多选择博弈模型中，同样增强了系统的协调性。 8 ．控制小世界网络上的病毒传播为例，分析了重连概率、线性和非线性反馈控制增益、以及反馈时延对网络传播动力学的影响；揭示了震荡现象与小世界拓扑结构之间的内在联系。同时研究了无标度网络上的传播特性，在两种网络上都发现存在传播的临界值。 9 ．实证与理论研究相结合，揭示了加权网络及其演化特点和若干规律，结合经济科学家合作网，深刻揭示了权重的多种作用和非凡意义。提出了调整权重和边匹配关系的方法，打乱边与权重的匹配关系后网络的平均最短距离和群聚系数均会显著降低。在拓扑结构不变下，仅仅通过权重随机化可以获得小世界效应等。 10 ．对比研究了 WGN 、 Potts 和 WEO 算法划分社团结构的精确性和准确性；利用 WEO 算法对实际网络划分，发现加权网络、无权网络以及反权网络之间社团结构有显著差别，权重与边的匹配方式对社团结构划分有重要的影响。 11 ．发现高科技企业网的四个层次及其特性，不仅具有小世界效应，而且累积度分布可以在幂律分布与广延指数分布之间转变；同时，实证研究了大规模在线社交网络、电子邮件网络和科研合作网络等社会网络的若干特点。 12 ．探索和提出了复杂网络的一种非平衡统计方法，把宏观网络推进到微观网络，研究了三个网络模型：量子信息网络、纳米相干网络和量子强关联网络。这些研究成果独具创新性和特色，具有很高的理论价值和重要的实际意义。以上统一混合理论体系和其他课题的研究成果得到了肯定评价。例如，刘作仪在复杂网络理论及相关管理复杂性研究的资助进展（中国科学基金杂志， 2008 ， 1 ： 13-17 ）一文中指出：在复杂网络模型构建与网络演化机制方面，我国学者针对现有复杂网络的生成与演化主要是基于随机性连接而发生，而对确定性连接缺乏考虑的现象，提出了能够更好地描述从规则到随机之间转变的和谐统一的混合择优模型 , 并在此基础上进一步扩展提出大统一的混合网络模型 , 由于模型能反映更普遍的实际网络连接的多样性与复杂性，从而具有重要的学术价值。。同时，对我国网络科学的多个课题研究，诸如：交通流驱动模型、复杂网络的广义同步模型（包括集团同步、部分同步、社区网络的同步）及其同步化能力、群集系统中的同步和属性连接的网络同步、混沌连接网络以及具有小世界和无标度的束流传输网络中的多目标控制与同步等也都作了好评。在加权网络方面的工作得到广泛关注，如一篇综述文章（ Using Graph Concepts to Understand the Organization of Complex Systems, International Journal of Bifurcation and Chaos, Vol. 17, No. 7 (2007) 2201. ）引用了对我组关于集团划分结果作为网络结构的例证。另一篇综述文（ Luciano da Fontoura Costa et al, Analyzing and Modeling Real-World Phenomena with Complex Networks: A Survey of Applications, arXiv:0711.3199 ）对复杂网络在实际问题中的应用进行了全面总结，其中也对我组两篇文章进行了较为详细的介绍和评述，作为实例详述了研究方法和结论。可见，我组网络科学领域的有些科研成果在国内外产生一定的影响。与此同时，有些成果开始获得了若干国内的重要科技奖励，例如， 2008 年复杂动态网络同步与控制问题研究课题获得 l 1 上海市自然科学一等奖， 2008 年获得中央办公厅国家密码科技进步二等奖，《一门崭新的交叉科学：网络科学》 2008 年获得第六届中国科协期刊优秀学术论文二等奖。另外， 2006 年获得国防科学工业委员会颁发的国防科技报告优秀论文奖，等等。这些成果初步显示：网络科学及其应用方面的上述突出进展和重要成果已经得到了国内的肯定和好评，这些成果不仅具有重要的理论价值，而且具有实际意义和应用潜力，在国内外产生了良好的影响，这必将进一步激励我国网络科学工作者更上一层楼，勇于攀登新高峰，在国际范围继续取得更高更好更出色的研究成果。 4 ．经验与教训我们一院二校整个网络科学研究团队体现了四个特点：第一，老中青相结合，队伍结构合理，以中青年为主力，发挥了骨干作用，整个团队具有创新意识和战斗力。第二，整个团队的研究课题选择具有基础性、前沿性和应用性，所取得的成果具有自己鲜明的特色和创新性，与国际上该领域的研究同步进展，并驾齐驱，在国内外产生了良好而深刻的影响。第三，项目各课题负责人在国内外学术会议组织中占有一席之地，对我国网络科学的发展发挥了积极的组织和推动作用。第四，团队发扬拼搏、开拓和攀登的精神，取得了若干高水平的成果，圆满完成了整个项目的研究计划，实现了总的研究目标。在项目实践过程中，我们逐步认识到，考察一个团队（包括课题组）是否是创新群体或达到高水平团队的标准主要五看有没有：一看在国内外学术会议和专业委员会等组织中有没有担任重要职务，是否在会议上占有一席之地，具有相当的学术地位，能够积极推动该领域的学术活动和发展；二看在国内外学术会议有没有大会（或分会）的邀请报告，特别是有没有大会主题报告和大会特邀报告；三是在国内外相同领域的著名刊物上有没有发表论文和邀请综述文章，尤其是后者能够引导和反映该领域的学科发展方向和重要进展，影响更大；四是在国内外权威期刊或会议文集上有没有担任主（副）编或编委，能够对该领域的发展产生比较深刻而广泛的影响。五看团队有没有中青年学术带头人，充分发挥他们的带头人作用，学术后继有人，发展潜力大。按照五看标准对照，我们一院二校重点项目联合组和合作单位符合具备上述创新群体或团队的基本条件，我们在圆满完成重点项目的研究中，不仅取得了极其丰硕的科研成果，并且将具有持续发展的势头和潜力。果然不出所料， 2009 年 1 月 25 日教育部公示 2008 年度教育部候选创新团队项目中，我们合作单位上海交通大学网络小组关于复杂网络动态系统的性能分析与控制项目榜上有名，进入教育部创新群体行列。同时，我们也清醒地看到，整个项目组仍然存在着一些不足和问题：首先，与国际上比较，我们团队的高原创新性或开创性的成果有差距，主要表现在顶级国际杂志上发表论文比较少，这反映出团队冲击顶级杂志和勇攀高峰存在四不够：源头创新能力不够强，投入力度不够大，合作程度不够密切，因此与国际最高水平存在着一定的差距。其次，团队内三个单位对该领域的重大课题缺乏深入的分析，影响了整体研究力量的充分发挥，没有集中集体智力优势打 1-2 个攻坚战，这是导致上述情况的一个最重要原因；这一方面与我主持能力和引导不力有关，另一方面也与各课题组长一直承担过重的行政事务有一定的关联和影响。第三，缺乏统一的经费管理。以上不论是经验，还是不足（教训），都是我们一院二校重点项目联合组共同的财富，可以提供我们自己今后研究和其他兄弟单位参考和借鉴。我们坚信：只有今后项目组各单位继续发扬优点，克服缺点，再接再厉，就一定能够乘胜前进。 5 ．挑战性课题展望未来，我们充满信心。网络科学的理论及其应用的研究仍然面临着许多挑战性的课题和任务，这正是网络科学这一广泛交叉的科学领域深入开展研究的迫切需求和继续发展的强大推动力 . 我们认为，今后网络科学值得进一步研究的重大课题将涉及以下三大方面。首先，国家及国防所急需的相关课题的理论基础和应用基础的研究课题。网络科学的研究具有基础性、前瞻性、交叉性和应用性，不仅对国家有着极为现实的迫切意义，而且具有长远的重大的国防战略利益。 21 世纪是互联网和信息时代 , 下一代的互联网的发展必然进一步带动整个国家国民经济和国防事业各个领域的飞速发展 , 这已经成为 21 世纪全球经济和军事的主要推动力之一。我国下一代互联网虽然获得重大进展，但是仍然有许多重要课题需要继续加大研究力度，其研究内容宜包括：非线性动态网络的自适应信息传输及其控制理论，多维可扩展的互联网体系结构模型及其新特性，互联网安全体系结构、安全监控和检测理论与方法，互联网的交通流突发行为的基础理论，互联网服务模型及其管理理论，互联网综合实验和验证理论等。另外，还需要关注新类型的光互联网和量子互联网探索。我国只有攻克更高更新的网络科学的高峰，才能在 21 世纪激烈的国际竞争和国家安全事务中中立于不败之地，才能加快我国国防和国民经济的现代化进程。其次，密切关注军民两用的复杂网络安全课题的研究。提出的主要问题包括：如何应对复杂网络上的灾变发生及其级联效应问题？怎么确保网络的可靠安全运行？计算机病毒如何在互联网和万维网等复杂网络上传播和流行或它们发生的机制是什么？如何有效地监控并消除包括传染病在内病毒在社会网络等中的传播和流行？面对黑客的攻击应该采取哪些有效的监控措施和对策？怎样来设计出具有高抗攻击力和强鲁棒性的一些重要的网络系统（包括军事网络、能源网络和社会经济网络等）？等等。这些关系军民两用的一系列课题都直接密切关系到国家和社会的迫切利益，关系到大量实际网络的工程设计、防护和开发应用。国内外虽然都在开展相关研究工作，但是目前还远远不能适应和解决实际遇到的问题，因此，这些课题的深入研究任重而道远。我们建议国家继续加大投入资金和人力，切实抓紧开展这些课题的研究，以便尽快地和更好地服务于国家和社会。第三，开展若干大型的重大网络的实证和应用研究工作。这方面涉及的大规模复杂网络系统有基于网络作战中心（ NCW ）的复杂军事网络、核网络、能源网络、国民经济网络、通信网、高科技网络等，并且这些网络都涉及复杂网络上信息传输、安全通讯及网络上动力学特性的控制和利用。 6 ．建议为了大力推动和加快网络科学在我国重大科研、国防和国民经济中的研究与实际应用，希望国家有关部门给于高度重视，特别是建议：（1）国家自然科学基金委和科技部等有关部门不失时机地组织该领域国家重大项目和 973 项目的研究；（2）项目和各课题负责人应当尽量减少行政负担，确保课题负责人和主要骨干能够集中精力和时间科研一线的工作，真正专注于课题的源创性研究，并带领课题组，特别是指导年轻人，勇攀科学高峰。（3）网络科学作为最广泛交叉的新兴科学，需要有关部门进一步加强组织引导，与国内各领域学者一道，结成最广泛的科学家合作网络，继续发扬拼搏精神，开拓创新，乘胜前进，竭尽全力推进我国网络科学与技术研究向纵深发展，赶超国际先进水平。我们坚信：我国网络科学已有的良好开端，目前已有扎实的研究基础，只要加强领导，政策好，方向对，发挥广大科研的创新精神，我国就一定能够在 21 世纪对网络科学与技术的重大发展作出较大的贡献。致谢：我们十分感谢国家自然科学基金委员会给于我们的重点项目的资助和支持。同时，诚挚感谢国内许多同行专家和朋友们，他们以各种不同方式给于我们的支持、协助和交流。参考文献 Watts D J, Strogatz S H. Nature, 1998, 393: 440 ～ 442. Watts D J. Six Degrees: The Science of a Connected Age, New York : W. W. Norton Company, 2003. Barab si A L, Albert R. Science , 1999, 286: 509 ～ 512. Barab si A L. The new Science of Networks ． Cambridge : Prerseus, 2002. 方锦清编著，驾驭强流束晕与探索网络科学，北京：原子能出版社， 2008 。方锦清 , 汪小帆 , 郑志刚 , 等 . 一门崭新的交叉科学网络科学 ( 上 ). 物理学进展 , 2007, 27(3):239-343. 方锦清 , 汪小帆 , 郑志刚 , 等 . 一门崭新的交叉科学网络科学 ( 下 ). 物理学进展 , 2007, 27(4):361-448. 方锦清 , 汪小帆 , 郑志刚，非线性网络的动力学复杂性研究，物理学进展 , 2008 将发表。方锦清主编 . 第二届全国复杂动态网络学术论坛论文集 . CCAST-WL Workshop Series: Vol. 170, 北京 : 中国高等科学技术中心 , 2005. 10. 16-19. 郑志刚主编 . 第三届全国复杂动态网络学术论坛论文集 . CCAST-WL Workshop Series: Vol. 180, 北京 : 中国高等科学技术中心 , 2006. 12. 11-13. 方锦清主编 . 第四届全国网络科学学术论坛论文集 . CCAST-WL Workshop Series: Vol. 191, 北京 : 中国高等科学技术中心 , 2008. 7. 28-30( 青岛 ). 中国科学基金杂志发表的文章; 个人分类: 信息交流|6268 次阅读|1 个评论

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