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一门看上去最无用恰恰最有用的课程: 热度 17 fdc1947 2019-8-25 07:50; 一门看上去最无用恰恰最有用的课程最近，想到了平面几何。平面几何是初中的课程，是所有中学课程中最令人兴奋的课程之一。平面几何的许多知识，看上去对于大多数人真的没有什么用处。几个人会在自己的生活或者工作中遇到“三角形三个角的平分线相交于一点”？在生活和工作中用到圆规的人恐怕就不会很多。更少有人会被要求仅仅用圆规和直尺去作一个什么图形。既然如此，我们为什么还要费那么大的功夫去学这个平面几何？我以为，学习平面几何的最大用处之一是学会逻辑思维。即通过学习“运用演绎推理的方法，依据公理体系证明一些平面图形的性质”的过程，养成合乎正确逻辑的思维习惯。而几何证明的过程，是锻炼人们的演绎推理能力的最好的途径之一。因而，几何证明，这个看起来日后用处最少的所谓最没有用处的东西，正是学习几何学的最大好处。老子曰：“三十辐共一毂，当其无，有车之用。埏埴以为器，当其无，有器之用。凿户牖以为室，当其无，有室之用。故有之以为利，无之以为用。” 看上去最无用之物，恰恰正是最有用的，恰恰是它的精华。人的逻辑思维能力，不是一朝一夕形成的，需要在长期反复练习的过程中逐步提高。而十几岁时正是培养这种能力的最佳时期，人一生中的许多能力和习惯都是在那个时候形成并终生难改。少年人学习数学特别是平面几何（主要是证明题）是培养人的逻辑思维能力的最佳途径之一。大家可以看到，我们媒体上的许多文章看上去洋洋洒洒，读起来也似乎娓娓动听，可是或者前言不搭后语，说了半天不知所云，或者后面的话，否定了前面的话，说理的文章总缺乏说服力。这里往往有一个逻辑思维的能力问题。学习平面几何的另一个好处是学会独立思考，不人云亦云。能不能独立思考是人的素质高低的一个重要方面。一个由不能独立思考的低素质的人组成的民族，很难成为优秀的民族。学习平面几何的过程，并不只是由别人告诉学习者此事的结果如何如何，而是让学习者自己去证明结果应当如何，而且证明的过程往往多种多样。在这种反复独立思考的学习中，潜移默化的培养了学习者的独立思考的习惯。我的学生有学习化学出身的，也有物理出身的，也有学计算机的。而一般地说，学化学出身的研究生最喜欢问老师 “我这样做行不行”，也就是说，他们的独立思考的习惯最差。其原因之一就是化学书上总只是罗列事实，权威地告诉学生，此事是这样的。而较少的让学生去思考，此事为什么是这样。长期的训练使学生养成了只需要记住许多事实而忽略了自己的思考。当然，这与我们的教学方法、教学习惯也有很大的关系。我是做教师的人，我知道，如果要判题阅卷，最难判的题是证明题。考试出证明题是给自己找麻烦。如果要讲课，要讨学生喜欢的最方便的方法，就是对学生们说，此定理的证明不要求掌握，知道结论就可以了。因而，我们的各种考试，包括平时的考试、研究生考试等等，基本上没有证明题，也较少的有问为什么的题目。如果长期这样，学生就当然不会思考了。尤其是有些高校毕业的学生，很用功，很会背书，但就是不会思考，特别是主动、独立的思考。这一方面可能与天资有关，更重要的是他们的训练从来就是应付考试（很多需要证明的东西，他们学校对他们的要求就是记住结论就行），而我们的考试往往只是看学生记住了哪些，是不需要独立思考的。当然，大多数人并不从事科学研究，但是独立思考是每个人都需要有的。而我们现在缺乏的正是这种素质。温 jb曾经对青年提出 “ 要自立。青年要善于独立思考，从年轻时就培养独立思考的习惯和能力，学会判断事物的真伪。靠思考了解事情真相，做出正确判断；还要勇于创新，不墨守成规。 ”这是很正确的。请看看我们的左右，人们常常是人云亦云。生活上，一会儿奖励小孩子吃洋快餐，一会儿只吃自然食品，恐惧一切食品添加剂。到医院做 CT、X光检查不厌其烦，但听说哪里有一丁点核辐射就赶紧去抢购碘盐，如此等等。人活在世上，就要会独立地正确思维，学习平面几何正是帮助人们学会独立地正确思维，岂不是最有用处？中国的传统文化就是讲究实用，学以致用是过去读书人的信条。学了要用大致是不差的，但是不能走极端。走极端就会走向反面，过去的人在这个问题上就往往走极端，所以传统文化中极少有抽象的纯科学的东西。即使是研究天文学，也是因为要与上帝沟通，这是天子的专利。中国的哲学主要只是伦理学，要服务于君君臣臣父父子子的政治。读书的最崇高的目的是修身齐家治国平天下。因而，即使是逻辑学那样的研究都被认为是枉费心机，浪费生命。根据这个传统，我们的教育也都是 “学以致用”，甚至“急用先学，立竿见影”。这也难怪，因为我们过去贫穷、落后，首先要解决物质的问题，富起来成了人们的第一位的诉求。但是这也导致一部分人的错误思想，以为只要有钱就有了一切。科学思想（不是技术，技术可是能够换钱的宝贝）和文化都是不能当饭吃东西，这在一些人心目里就是一些没有用的东西。他们需要的的能换成物的、算成钱的。在他们看来，几何证明就是典型的没有用处的东西。; 个人分类: 教育|11202 次阅读|36 个评论

题目：平面几何（二）（陈宇杰）: GrandFT 2018-8-17 01:38; 题目：平面几何（二）主讲：陈宇杰时间：2018年8月17日星期五10：00点地点：天津大学新校区32教学楼302室提纲：三角形中的心圆幂和根轴平面几何不等式; 个人分类: 专题讨论班|1330 次阅读|0 个评论

题目：平面几何（一）（陈宇杰）: GrandFT 2018-8-15 21:08; 题目：平面几何（一）主讲：陈宇杰时间：2018年8月16日星期四 10：00点地点：天津大学新校区32教学楼302室提纲：历史介绍平面几何中的一些定理以及应用平面几何不等式; 个人分类: 专题讨论班|1463 次阅读|0 个评论

精英教育级别的中学数学应该学到什么范围？: 热度 7 arithwsun 2017-4-9 02:43; 精英教育级别的中学数学应该学到什么范围？王永晖李克正教授：“下放”和“上调”，同样都是瞎折腾！这篇文章写的非常好，比喻也很有色彩。我本人目前对中学数学的了解很有限，陪着孩子们刚把小学内容了解了个大概，对于中学数学，主要是靠自己的中学印象，以及对大学数学教学的了解，说一下自己的想法，肯定是很不成熟，这里仅作记录，或也可供同好参详。（虽然，同好非常少）。中学数学，在传统来说，主要是两条线，代数和几何，初中代数，高中代数和三角函数，初中平面几何，立体几何，高中解析几何。另外，还有初等组合学。作为精英教育级别的中学数学，需要容纳一些大学数学知识，比如说微积分，线性代数，这是比较流行的观点，还有统计，这里，我从自己的想法上，说些观点。国内大学数学系的解析几何，在国外数学系是没有这门课程的，我自己的印象也记得，上大学的时候，感觉解析几何课程，跟中学差不多，没学到多少新东西，从这些信息出发，我们似乎可以把现在大学的解析几何，几乎主体部分的内容，或一种变形，“下放”到高中阶段，也就是，中学数学的几何这条线的最终端，是把解析几何学到足够多的程度，乃至于接近甚至超过于目前的大学普通教材。这个视角，目前好像还没有人重视到，一般人首先看的是微积分，线性代数，没有意识到解析几何。其实，解析几何是最应该（几乎）完全下放到中学的，至少对于优秀学生来讲，这样子，国内大学数学系也就不用开解析几何课程了，跟国外数学系一样。我自己不是几何学专家，但也知道大学的几何学，是另外一套路数，现代几何学，已经非常深奥，跟平面几何，解析几何感觉差别很大，解析几何，还是更偏于古典，放到中学，接轨于平面几何，立体几何，中学生理解是没有什么问题的。另外，大学解析几何下放到中学数学，可以在课程中融入三角函数。三角函数，目前在国内、国外的教材中，都是放在代数里面的，但实际上，很明显嘛，三角函数具有几何意义，放在平面解析几何里面顺便讲了，是非常方便且富于启示的，此处可以把复数一块儿解决了。解析几何，还包含相当的线性代数知识，这既是优点，也是难点，这也可能是过去不敢下放到中学教材里面的一个理由。线性代数，其实可以有两个学法，一种是从线性方程组去学，另外一种，则是从解析几何入手去学，后者的书虽然少，但还是有的。线性代数，在大学一年级的教学目的有两个，一、求解任意的线性方程组，二、真正知道什么叫做维数。现在，连小孩子都知道维数/维度这个词了，但其实他们不可能真正知道其意思，除非真学了线性代数课程。从第二个任务的角度来说，将之融合到解析几何课程中是非常自然的。所以说，高中数学阶段，应该强调解析几何（到当前大学程度），这个观点，似乎目前搞数学教育提出的还比较少。并且，解析几何的用处是相当大的，随着机器人时代的到来，3D打印时代的到来，解析几何这门学科，也许将会得到重新的重视。朋友曾经转过一篇机器人的文章给我看，里面用的都是解析几何。初中的平面几何，实际上在整个中学数学阶段都是最难的，但是，现实中估计是没多大用处，三S平面几何学这本书三百多页，可能机器人领域最多能用到一页纸，而解析几何则不然，估计用到的比例是非常大。平面几何，在中学数学教改中被弱化，国内国外亦然，也许是有这个原因在里面。但是，我们还是应该相信诸多顶级数学家的认识，即，平面几何在数学教育中，是不可或缺的，目前还很难找到其替代品。或者可以这么说吧，如果没有古希腊人当年发明出平面几何学，可能就没有我们今天的现代文明。最开始的几何学，正如小学生们所熟悉的那样，是算面积，算周长之类，小学生们会很惊讶地发现，平面几何学，并不从面积和周长入手，研究的完全是他们意想不到的问题。这个意想不到，其实不仅仅指的是小学生，整个人类都是如此，古希腊人的这个发明，其他民族都没有想到，包括我们汉人。人类文明，从此进入新篇章。要说一句的是，不仅仅科学家受益于此项学问，据林肯传记，这位美国总统在年青当律师的时候，业余爱好是读《几何原本》。现在，让我们再说说微积分，微积分的教学改革，目前版本挺多，但我看到的都不是太好，比如美国大名鼎鼎的AP课程微积分，我看过一本教材，实在是没什么意思，学还不如不学，美国也一样搞死记硬背，瞎套公式的教育方式。微积分如果下放到中学，应该跟物理学结合在一起，如果不讲物理学的微积分，实在是没办法让学生们理解和认识其意义，这本来也是微积分发明出来的原因。但目前，我还没有看到相关的书籍，知者请告知。也就是说，高中生的微积分，其实应该当作物理学主线，这样也必然牵扯到了中学物理的教材改革，没必要像现在这样，因为没有微积分，从而把物理学在高中砍的太弱智，牛顿推出那些公式，本来就是用到微积分的，现在光教公式，就把最精华的部分反而砍掉了，历史已经过去几百年，而且这是现代文明的发起阶段，高中生们完全可以学了吧。另外一个当前教改中试图下放的，肯定是统计学了，又是一门AP课程，也是当今时代的特色，大数据使得统计学成为显学，在美国，统计系是从数学系中独立出来的，而又有紧密合作关系，比如Stanford大学的数学系和统计系的毕业典礼是合在一起弄的。不过，我对此内容比较陌生，而且，中学生的时间就那么多，毕竟不是大学数学系学生，课时需要被各科分担的，其下放的意义和范围，从精深角度讲，估计是远远不如解析几何的。最后，是代数这条线，内容应该是比较明确的，此处就不多谈，不过，我这里想指出的是，中学的代数学训练，培养的不仅仅是代数能力，它对大学数学的其他各科，都有强大的影响能力。其原因，就在于我前面分析的数觉，算术与代数的“数觉”：怎样重视？跟我目前看到的心理学界的“数觉”定义，还不完全一样。也就是说，中学代数，并不是为让学生们会解方程，线性方程与一元二次方程，那样理解就片面了。中小学的算术和代数，连成一条线，主题是非常明确的，那就是培养我们大脑的数学符号处理能力，根据目前心理学界/脑科学的进展，我有理由相信，虽然都是一个教室的同学，表面上看做的都是同样的题，但有些同学的大脑的数学功能区是激活的，有些同学只是死记硬背，也就是说，表面上看他也把题做出来了，但是，大脑数学功能区并没有变热发亮。为什么，这就是算术和代数学训练的功效，让阿拉伯数字，跟数数建立联接，让英文或希腊字母，又跟阿拉伯数字（或更深入的数学思维）做联接，从而，那些训练有素的数学优等生，看见英文字母的时候，其大脑数学功能区是激活发亮的。从这个角度来理解，代数学训练，可以一以贯之，孩子们需要相当长的时间才能真正的掌握，做与不做，区别肯定是非常大的。最后只能再次表示，思考很不成熟，本文仅为记录和日后讨论所用。; 个人分类: Book-W|10922 次阅读|7 个评论

平面几何课程的重要性: 热度 1 arithwsun 2017-3-30 21:08; 平面几何课程的重要性王永晖我们的《三S平面几何学》课程，已经上了四次，现在是6位同学，感觉他们应该都能学下来。小学六年级，5位是12岁，其中还有一位是10岁多一点的，这位10岁的，反应还很不错，属于这几个中靠前的。平面几何，锻炼的是孩子们的推理能力，借助的是平面上的几何图形，我们这学期主要就是三角形了。从孩子们的反应来看，他们很喜欢这种锻炼方式，这对他们的大脑发育，应该是有很大好处。 12岁，是大脑发育的一个分水岭，这个时候上平面几何课程，而不是拖几年到中学，中学新课标下面再拖拖拉拉的、三瓜俩枣的上，我想，意义还是很大的。配套的代数学讲座，也已经有4次，孩子们大概知道了为什么要使用公理到定理的证明方式．不过，他们掌握的还不够好，上次讲过的，下次其实还是忘了，需要我来提醒，不是不聪明，还是没有从思路上去理解，没有真正很好地理会，我们要干什么。我们学习数学，就是要搞清楚来龙去脉，从孩子们的反应上来看，不是所有的同学，都能够非常好地理解并执行这一原则的。讨论班上表现最好的一个孩子，能够回答出我提出的问题，但是，他自己尚不能主动想到提出这些问题，从这个角度去思考，至于其他孩子，就相对更慢一些。我今晚问的问题非常重要－－－同学们，你们从66号看到81号，请问，在66号到81号之间，除了做题之外，你们还需要注意什么，还需要琢磨去思考什么？孩子们刚开始一脸茫然，不知道，读书跟做题，还是有细微的区别的，不知道，琢磨书本是需要把它搞透，有三位同学，可以迅速领会我的意思，自己开始在纸上画路线图，找到公理推定理，定理推定理之间的逻辑线条． 66号，跟69号什么关系，其实是没关系，但是有同学为了硬凑，以为它俩有关系，说明这位同学，虽然知道要找逻辑线条，很聪明很不错了，但是真正去找的时候，他还不能做到实事求是地去找。我们今晚又相当于把这些定理重新缕了一遍，因为是一周多之前弄的，有些定理，孩子们已经忘了，这时候就显示出数学天赋的高低了，有些同学，可以更容易地重新想出来，那是因为他理解了，或者说，底下可能多花功夫去琢磨了。定理，不能光是看会，看完了之后，忘了，仍然自己能把它证出来，要达到这个标准．这种方法，我对本科生叫做“忆筛”，华罗庚叫做“复盘”，一定要把“来龙去脉”复盘清楚。我们在教学过程中，还发现有些同学已经养成了不太好的习惯，喜欢凑，而不是在那儿推理，如果他们继续这么成长下去，就会像我在首师大数学系遇到的一些大学本科生那样，到了大学，就很难改过来。我在首师大数学系，遇到的有些北京市学生，学不下来数学，不是因为他们智商不高，其中一个，还刚刚给我们表演了魔方，在没有预热练习的情况下，33秒解决战斗。这位在初中就能够沉迷于魔方游戏的孩子，智商应该不低了，人看着也是一个很健康的大小伙子了，但是，他在数学上的问题很严重，表达不清楚，就思路不清楚，一直没有改过来，现在再改，跟如果当初小学高年级阶段或者初中阶段就改，意义是完全不一样的。从这个角度来说，讨论班上这几个孩子是非常幸运的，尤其是表现略差的同学，可以说，因为遇到了我，有可能改变了他的生命轨迹。否则再这么瞎凑数学下去，真就一辈子也学不了数学了。数学有天赋，也仍然需要知道，往哪里去使力．平面几何课程，是中学阶段锻炼逻辑能力最有力的课程。我们之所以本学期启动这个讨论班，一个原因是，正好我们小教室已经做了代数学方面的基础工作，见张亚杰论文和我们后继的代数学讲座的教学记录，另一个原因是，有李克正老师倡议的最佳弹药，《三S平面几何学》，他本人学问高，看得远，这就让我心里有底，敢做这件事情了。还不错，看来能够正常运行下来，孩子们完全有能力把这本书读下来，我稍加点拨，让他们走上正道即可．学生虽然被我限定的人数很少，但能够真正改变他们的命运，我的内心还是很喜悦的。数学之路，不光是比谁更聪明，有可能智商都差不多，但是，做法不一样，有些孩子光是刷刷刷做题了，而不知道，最重要的是书上的定理，能不能不看书，就自己把定理证出来，并且把定理和定理之间的关系，来龙去脉弄清楚，从而窥见其内在之义。我们博客上曾经说到过＂数觉＂，其实，这种功夫，最终也是为了培养＂数觉＂，级别更高一些的数觉．所以，有时候稍微笨一些的学生，反而可能学得更好，因为他的笨只是表面的，这种笨孩子，是因为把很多精力放在数学的直觉追求上了，光题做出来满足不了他们的内心，还需要有直觉，有直觉上的那种明白的感觉．今晚的课，就是想让他们明白这个，非常重要，这三周一直在感冒，稍有好转，夫人建议我暂停今晚的课，以更好地恢复过来．但是，考虑到这一关键点上，最好还是让孩子们能够尽快知晓，不要耽搁，身体感觉也挺舒服，并无过度疲劳之感，所以，还是坚持上了，看到孩子们的真实反映，从茫然到开始慢慢知道，觉得很值得．我们作为老师，需要告诉学生的，是标准，你们有没有达到这个标准，然后，孩子们就知道怎么样去做了（可能那种天才不需要别人告诉他，没见过）。小学六年级就知道，跟大学本科才知道，真的有很大的不同！延伸阅读：李克正教授：“下放”和“上调”，同样都是瞎折腾！附注. 有些家长想知道, 为什么有些孩子会容易逻辑混乱, 可能主要有两个原因: a. 家庭生活所影响, 如果家庭内家长的指令是矛盾的, 逻辑混乱的, 会影响到孩子的思维习惯, 所以, 我们专门提出, 孩子最早的逻辑课, 不是来源于数学, 而是来源于家教规则的实践, 获得了数学界不少前辈数学家们的赞同. b. 孩子可能会出现一个逻辑混乱的窗口期, 这可能也是大脑发育的一个正常现象, 大脑可能是在试探各种方式, 我们需要在这个窗口期非常注意, 及时提醒孩子. 很明显，平面几何课程，对此是非常有帮助的，有没有，是非常不同的，任何一个教育改革，如果以削弱平面几何课程为代价，其灾难对于所承受的学生来讲恐怕都是毁灭性的．　　高智商/高智识家长在教育孩子时候的心理学门槛教育如种树：爸爸们须知; 个人分类: Book-W|8194 次阅读|3 个评论

自由而无用的灵魂，阅读及写作的愉悦: 热度 15 youmingqing 2014-10-24 12:15; 0 学过平面几何的人都能出题目自己来做，学习也就具有了研究的性质。 1984 年我曾整理三角形作图问题，送给刚到农村初中任教的弟弟——学生问及好有个应对。前篇博文介绍了已知三高、三中线、三角平分线以及一边之高、中线和对角平分线的作图。此情可待成追忆：中学平面几何 http://blog.sciencenet.cn/blog-275648-837601.html 应行仁老师说“几何题，所用到的知识不多，妙在想对思路；一旦解出，清清楚楚无可辩驳”；李轻舟老师也说“ 探索性平面几何题(包括尺规作图 ) 的思维要求并不比一些‘科研’低 ”。因而再给出两组三角形作图，并说几句感想。 1 已知三角形边 a 和对角 A ，作线段 BC = a 和 ∠ BCQ= ∠ A ，作 BC 的垂直平分线和 CQ 的垂线交于点 O ；顶点 A 在以 O 为圆心、 OC 为半径的弦切圆上。 (1) 给定一边、一角以及中线 m a ，容易确定三角形。 (2) 给定高 h b ，则以 B 为心、以 h b 作圆；过 C 点作该圆之切线交圆 O 于点 A (3) 给定中线 m b ，则以 B 为心、 m b 为半径作圆，与直径 OC 的圆交于 E ，延长 CE 交圆 O 于 A (4) 给定角平分线 t b 不能（？）以规尺作出三角形（说明省略）。 (5) 给定 t a ， ATN 为角 A 平分线，记圆 O 半径为 R ， MN=δ ， AN=η ；基于三角形相似，有 δ / η= ( η – t a )/2 R ， ( η – t a /2) 2 =( t a /2) 2 +2 Rδ 。 2 Rδ 等于 BN 平方，取 BF=FA’= t a /2 ，有 η=NA’ 2 已知边 a 和高 h a ，线段 BC = a ，再给一个条件可在与 BC 相距 h a 的平行直线 L 上确定顶点 A 。 (1) 给定一边、一角以及中线 m a ，容易确定点 A 。 (2) 给定高 h b ，则以 B 为心、半径 h b 作圆；过 C 点作该圆之切线交直线 L 于点 A (3) 给定中线 m b ，则以 B 为心、以 2 m b 在直线 L 上截取 A ’ ；而 AA’ = a ( 两解 ) (4) 给定角平分线 t b 不能（？）以规尺作出三角形 (5) 给定 t a ，可如图作 Rt Δ ADT ，记 ∠ T AD=γ，有 h a = a ，即 sin A/ (cos A +cos2 γ )= a/ 2 h a ，记为 tan φ ，有 sin( A – φ )=sin φ cos2 γ ，可求得 ∠ A （似乎不够简明直接，敬请高人出手）。 3 30 年前进行三角形作图时内心充满愉悦——复习过去所学并能有所收获；写作前述博文同样充满愉悦。看到应老师的评论“ 我初二时 ( 1961年 ) 自问自答一道尺规作图题：平面上任给一条直线和在直线同一边的两个点，要求画一个园过这两点与这直线相切 ”，随即想到“连接两点、延长与直线相交，交点至两点距离乘积为切线平方，确定切点(两解)”；并说“我知道了。我在文中提及割线定理，应老师特地来'点化'。谢谢应老师啦”。内心之愉悦不说可知。 AP 为直径， DB ⊥ AP ，切线长 PC 1 =PD 后又见到应老师说“知道割线定理后，用尺规作图来实现，只需要一个小技巧”，也就会心一笑，没有说话：直角边平方等于其投影与斜边之乘积。随即就想到另一个题目：作圆过给定一点 P 并与两边相切——以图示相似变换即可实现。这些该是中学数学教师的功课。我曾就岩石强度准则做过类似功课，最终写成 Comparisonoftheaccuracyofsomeconventionaltriaxialstrengthcriteriaforintactrock.InterJRockMechMinSci ， 2011 ， 48 ： 852 – 863. 相关工作主要是增进自己的学术素养，尽管也提出单参数的正则抛物线准则和三参数的指数准则。 4 今年 6 月 27 日到复旦大学参加女儿的博士毕业典礼；听致词的一位同学说“复旦以自由和无用为灵魂”，颇有感触。我们确实过于功利——关心经费、关心项目、关心论文；许多人说研究的艰辛，说写作的困难，说发表的烦恼；而叙说读书、授课、写作之愉悦的却很少很少。也许业绩考核使部分教师受压变形。学校制定的政策并不合情合理，可大家只能被动应付。就我所知，为了完成学校规定的业绩，少数同仁不得以申报没有新意的专利、发表没有读者的论文，内心充满苦痛而难以排解。我曾多次说过，“我希望愉快地做一名正直的教师。因而，对于偏离正道的诱惑，抵御于内；对于偏离正道的逼迫，抗争于外”。当然，这并不容易，需要付出代价。 5 上周末回母校参加毕业 30 年聚会，大家叙说别后情形。我说，除了头发白了些，自己与 30 年前一样，没有什么变化呢。同学们竟认可我的说辞，有人说“社会变化啦，你不变怎行”。许多同学知道我与勾攀峰先生的争执，关切之情溢于言表。还好，事情恰巧了结。 ZWD 同学以兄长的口吻个别“教训”我有二十分钟之久，说“以后一定不允许这样”。不过， CW 同学在餐桌上所问“你这么干为什么？对你有什么好处”，使我略有些为难。我只得挺直腰、抬起头，说“不为什么。只是这样的事情总得有人去做啊。做成之后别有一种愉悦呢”。 6 我想，与 30 年前相比，现在的生活条件、工作环境已极大改善，需要的只是心态良好而已。也许，我们真该以“自由而无用的灵魂”，享受“阅读及写作的愉悦 ”。; 个人分类: 教学|12780 次阅读|57 个评论

此情可待成追忆：中学平面几何: 热度 12 youmingqing 2014-10-22 08:35; 平面几何看似简单，学生能够问出的题目可不少呢。教师可真得有些准备才行啊。尺规作图：被遗忘的思维体操 http://blog.sciencenet.cn/blog-217073-837265.html 1984 年下半年，我曾对三角形作图问题进行整理——Δ之边、角以及高、中线和角平分线之各种组合，寄给弟弟参考。他刚刚师专毕业到农村初中任教数学。 30 年过去了，相关内容还能清晰记得，略说几句供同好者回味中学时光。 (1) 已知三角平分线：不能以规尺作出Δ。 (2) 已知三高：作图基于Δ边长与高之乘积相等。以三高为边作Δ DEF ；再以该Δ之三高为边作Δ A’B’C’ ；最后对其相似变换至高为给定值即可。或从辅助圆 O 外一点 Q ，以三高为半径分别作圆与圆 O 相交；连接 Q 与交点之直线交圆 O 于另一点；以 3 个新交点与点 Q 间距离作Δ A’B’C’ ，其与所求Δ ABC 相似。 (3) 已知三中线：以 2/3 中线作 Δ MBD ，再如图延长其边长 DM 及中线 BE 即可( MC = BD )。 (4) 已知一边之高、中线及对角平分线: 作 Δ MDA 以及角平分线 AT ；延长 AT 与过 M 的 MD 垂线交于 N ；作 AN 之垂直平分线，与 NM 的延长线交于 O ，则 O 为所求Δ的外接圆之圆心；以 ON 为半径作圆交 MD 之延长线可得顶点 BC 。这是我自己想出来的。不过，我觉得此前肯定有人做过，将来还会有人再做。光线入射角与折射角之正弦比等于光速比，这是折射定律；其等价于光行最速即费马原理。我曾试图以几何方法证明而不得，见到张志军博主的介绍真是高兴。因其博文没有作图而赘语如下。张志军.光的反射和折射定律的初等证明思路 http://blog.sciencenet.cn/blog-1341067-794682.html 光线 AC 以角 α 入射， CB 以角 β 折射；入射介质和折射介质的光速为 V 1 和 V 2 ，有 sin α /sin β = V 1 / V 2 。 D 为界面上任一点，作 DE ⊥ AC 和 DF ⊥ CB ；有 ∠ EDC = α ， ∠ FDC = β 。因 DC = EC /sin α = FC /sin β ，有 EC / V 1 = FC / V 2 ；光线沿 ACB 用时为 AE / V 1 + FB / V 2 ，小于沿 ADB 用时。 D 点在 C 点另一侧证明过程相同. 我考虑过铅球最佳投掷角的初等求解，而见《力学与实践》介绍的方法似乎欠妥，也作文送到该刊而竟得采用。铅球最佳出手角的初等解法及讨论 http://blog.sciencenet.cn/blog-275648-764192.html 我想，若是中学教师能够掌握上述知识，并介绍给学生，该是多好啊。这不是什么研究，只是中学教师应该完成的功课。当然，大学教师同样有许多功课要做，与创新无关，与职称无关，与所谓的“业绩考核”无关。教师或许应以“ 称职、敬业而知耻 ”为努力目标；至于现在学校所要求的“项目、经费和获奖”，似乎并不是特别重要的东西。家中没有圆规，不能进行线段量取，因而不能显示作图过程；而扫描图片时挪动纸片，引起墨色脱落而影响整洁。昨晚所做的事情，也不想再改。此情可待成追忆，只是当时已惘然。已知三高的作图，也因没有圆规量取线段而不敢进行，只能以文字约略叙述。应行仁 2014-10-22 13:17 我初二时，自问自答出了一道尺规作图题，平面上任给一条直线和在直线同一边的两个点，要求画一个园过这两点与这直线相切。后来到了工厂，与一大帮青工闲聊，出了这道题说只需要初二的知识，结果无人能答，几个理科大学生想了三天，认为不可能，我与他们打赌赢了一碗红烧肉。几何题，所用到的知识不多，妙在想对思路，一但解出，清清楚楚无可辩驳。博主回复(2014-10-22 14:13) ：应老师好。我花一分钟时间。连接两点延长与直线相交，交点至两点距离乘积为切线平方，确定切点。切点位置可在交点两侧，因而应该有两解。我知道了。我在文中提及割线定理，应老师特地来“点化”。谢谢应老师啦。; 个人分类: 教学|10293 次阅读|33 个评论

诗赠叶中豪: hangmegn 2014-6-6 08:31; 诗赠叶中豪王方汉叶中知秋情自豪，点聚影射巧捉刀。辑文藏书乐未央，乾坤几何任君遨。注：叶中豪，上海人，原上海教育出版社副编审。曾评为上海市十大藏书家。对平面几何和射影几何有很深的功底，被称为“几何大王”。多次参入全国数学竞赛的几何命题。; 个人分类: 数学诗|2834 次阅读|0 个评论

经典数学问题：爱多士-蒙代尔不等式及其可视化证明: primeacademy 2013-8-1 22:46; 爱多士 - 蒙代尔不等式是一个关于三角形的非常优美的不等式,1935年由著名的传奇数学家爱多士提出: Claudi Alsina and Roger B. Nelsen 给出了爱多士 - 蒙代尔不等式的一个有趣的直观证明方法，作者称其为可视化证明（参见 A Visual Proof of the Erdos-Mordell Inequality ， Forum Geometricorum ， Volume 7 (2007) 99 – 102. ） .介绍如下:; 个人分类: 高中数学|6617 次阅读|0 个评论

有铰链剖分百年经典问题回顾: 热度 1 primeacademy 2013-7-17 23:27; Henry E. Dudeney 1902 年提出“将一个正方形通过有铰链剖分为一个正三角形”的问题，以下图示是对这个问题的解答：请根据图示，确定正方形中各剖分点的位置 .; 个人分类: 初中数学|3303 次阅读|1 个评论

平面几何的人工智能机器证明 -- 介绍丁孙荭的研究: 热度 3 guanky 2013-6-30 02:45; 最近在博客讨论中涉及到元数学、平面几何公理系统、多元多项式方程组的相容性判定与求根等问题。这些，使我联想到我的同学丁孙荭的相关研究。丁孙荭和我都是秦元勋教授文革后招收的首批研究生，开始的研究方向都是相对论，后来根据他的情况改为专攻微分方程定性理论。在读研（硕士）期间，他已获得出色的研究成果，发表在《中国科学》（丁孙荭，Liénard 方程在有限区间上极限环的唯n性定理，中国科学，A辑，9（1982），792-800）。在读研期间，秦元勋先生根据其在二机部九院工作的切身体会（参考《数学家秦元勋的传奇人生和主要学术成就》，《由自然与美谈起》），积极倡导在数学研究中使用计算机。1979年秦先生主导用计算机进行符号运算、实现了二次微分系统中心焦点判别公式的推导，发现前苏联科学院院士巴乌金的著名结果有一个关键性符号错误，首次得到正确的全部参数的二次微分方程系统的判据（ Qin Yuanxun and Liu Zunquan, Mechanical deductionsof formulas of differential equations, (III) Kexue Tongbao, Vol.26, No.5, 1981,385-389 ）。就我所知，这是我国第一个利用机器证明的方法解决重要数学问题的成果。秦先生的表率，对我们研究生影响深远。在拿到硕士学位后，由于丁的家在四川，尽管已获得很好的研究成果，那时也很难留在北京。所以，秦先生不舍地将他介绍到中科院成都分院数理科学研究室工作。在那之后，我们联系较少（上世纪八十年代的主要联系方式是通过平信）。但不断有些消息说成都分院要精简、改制，要求从事数学理论研究的转向从事应用研究。后来，大约在九十年代，又听说他被调离分院，到该院附属的从事计算机应用研究、开发公司工作，由科研编制变到企业编制。 2002 年年底，我们在北京相聚，了解到他在成都分院及后来的公司工作中，做了一项极有意义的研究工作：平面几何的人工智能机器证明。众所周知，平面几何问题的研究有两种方法：一种是经典的，通过公理体系，进行逻辑推理证明新的定理，做图，计算等。另一种方法是将平面几何问题化成解析几何问题，把几何问题转换成多元多项式方程组的相容性判定与求解问题。关于平面几何机器证明的研究大多基于后一种方法。多元多项式方程组的相容性判定与求解是一个很复杂的问题。代数学经典名著， Algebra I-II （ VanDer Waerden 著），对相关的消元法有系统介绍。但在实际应用时，特别是变元多、次数高时，计算量极大，即使用计算机往往也难完成。我国吴文俊院士较早就系统研究解决办法，创造出很有成效的著名吴消元法（简称吴方法），该方法已用到平面几何问题的研究上。后来，杨路教授，张景中院士等也给出了关于非线性代数方程组较好的算法（杨路,张景中,侯晓荣.非线性代数方程组与定理机器证明.上海:上海科技教育出版社，1996）。特别要提到，九十年代，张景中还在美国维奇塔大学进行合作研究，出版以消点法为主题的英文专著《几何中的机器证明》。他吸取美国优秀教学软件《几何画板》的长处，给原有软件增加了大量新功能。 2002 年，数学软件《 (Z+Z 智能教育平台 —— 超级画板》诞生了，取名 “Z+Z” 。值得一提的是，张景中、杨路也是在成都分院数理科学研究室工作，张景中还一度任该室主任，他们都比丁孙荭资格老。毫无疑问，他们的研究肯定会对丁孙荭的研究带来积极影响。果然，就在张景中等取得上述辉煌成果的同一时期，丁孙荭则另辟蹊径，不是将平面几何问题转化成解析几何问题，而是将经典、传统的平面几何证明的人类智能推理方式转化到计算机实现（即本文所提到的“平面几何的人工智能机器证明”），研制出了《嘉科平面几何》智能教育软件。该软件突破性地，应用人工智能推理数据库技术生成，在推理过程中能智能地添加辅助线、自动显示图形和相应的数值动态变化、能进行逆向推理等。那时，他已主持一个小公司“成都嘉科数码科技发展有限责任公司”。该软件在 2002 年 3 月通过了中国教育部中央电化教育馆组织的，以清华大学严蔚敏教授为首的（ 7 人）专家鉴定组的鉴定。图 1 ， 2 分别是鉴定证书与具体意见。图 1 图 2 由于丁孙荭的公司是企业，必须自谋生路。除做一些其它应用开发工作外，他将该软件制成光盘作为教育软件在市场上销售。好在，他的工作得到了一位慷慨的投资者的经费支持。了解丁孙荭的软件后，我和我爱人感到他做了件相当了不起的工作。特别，我们都从事过中学教学多年，我爱人还多年担任平面几何的教学工作，所以有兴趣检验他的软件。我们反复检验、使用该软件，并比较其它软件（包括“ Z+Z” ），发现其功能确如鉴定书所述“架构先进、技术含量高、功能齐全、实用性好”。比起其它软件，我们觉得该软件绝对不差，但它更容易使用，而且在智能上（例如做辅助线）更具独创性。我们也曾设法帮助销售该软件。但，那时中学已不把平面几何当作必修课，一些学校干脆取消了该课程，有的学校则消减了内容。普通人和学生家长都对平面几何失去兴趣，市场上几乎没什么人问津这类软件（可能也包括“ Z+Z” ）。经历这些困难，再加上已近退休年龄（他比我小一岁），丁孙荭将精力放在维持公司的生存，从事一些其它开发、应用工作。我们之间的联系变得越来越少。正如本文开始所述，由于近期的讨论使我联想到丁孙荭的研究。由于我不是从事人工智能研究的，无法判断他的工作的意义大小。但有一个强烈感觉，他的研究是有特色、并十分出色的，不应因为有其他人不同方法的光辉成果而被视而不见、被埋没。希望他能亲自介绍他的工作，并望有年轻人继承这一研究。; 11053 次阅读|17 个评论

一门似乎无用而实际上最有用的课程: 热度 15 fdc1947 2011-8-27 20:55; 最近，想到了平面几何。平面几何是初中的课程，是所有中学课程中最令人兴奋的课程之一。前几年，隐隐约约听说教育部有人认为，这门课程太难学，对于大多数人一辈子也用不着，因此要大量删减。我一直以为是哪一个蠢人个人的观点。近日在网上一查，感到我真是“桃花源中人，不知有汉，无论魏晋”哪。下面的这一段画线的文字引自网上的文章： “ 教育部 2001 年 7 月颁布的《全日制义务教育数学课程标准 ( 实验稿 ) 》将平面几何部分的内容做了大量的删减，对几何证明的要求也有所降低。 ” …… 表现在教学要求上，几何证明由 “全局性”的要求下降为“局部性”的要求；几何证明的数量大大减少了，几何证明的繁难程度大大减弱了。 ” 平面几何的许多知识，看上去对于大多数人真的没有什么用处。几个人会在自己的生活或者工作中遇到“三角形三个角的平分线相交于一点”？在生活和工作中用到圆规的人恐怕就不会很多。更少有人会被要求仅仅用圆规和直尺去作一个什么图形。哪我们为什么还要费那么大的功夫去学这个平面几何？我以为，学习平面几何的最大用处之一是学会逻辑思维。即通过学习“ 运用演绎推理的方法，依据公理体系证明一些平面图形的性质” 的过程，养成合乎正确逻辑的思维习惯。而几何证明的过程，是锻炼人们的演绎推理能力的最好的途径之一。因而，几何证明，这个看起来日后用处最少的所谓最没有用处的东西，正是学习几何学的最大好处。老子曰：“ 三十辐共一毂，当其无，有车之用。埏埴以为器，当其无，有器之用。凿户牖以为室，当其无，有室之用。故有之以为利，无之以为用。 ”看上去的无用之物，恰恰正是最有用的，恰恰是它的精华。人的逻辑思维能力，不是一朝一夕形成的，需要在长期反复练习的过程中逐步提高。而十几岁时正是培养这种能力的最佳时期，人一生中的许多能力和习惯都是在那个时候形成并终生难改。学习数学特别是平面几何（主要是证明题）是培养人的逻辑思维能力的最佳途径之一。大家可以看到，我们报纸上的许多文章看上去洋洋洒洒，读起来也似乎娓娓动听，可是或者前言不搭后语，说了半天不知所云，或者后面的话，否定了前面的话，说理的文章总缺乏说服力。这里往往有一个逻辑思维的能力问题。学习平面几何的另一个好处是学会独立思考，不人云亦云。能不能独立思考是人的素质高低的一个重要方面。一个由不能独立思考的低素质的人组成的民族，很难成为优秀的民族。学习平面几何的过程，并不是由别人告诉学习者此事的结果如何如何，而是让学习者自己去证明结果应当如何，而且证明的过程往往多种多样。在这种反复独立思考的学习中，潜移默化的培养了学习者的独立思考的习惯。我接触的学生有学习化学出身的，也有物理出身的，也有学计算机的。而一般地说，学化学出身的研究生最喜欢问老师“我这样做行不行”，也就是说，他们的独立思考的习惯最差。其原因之一就是化学书上总只是罗列事实，权威地告诉学生，此事是这样的。而较少的让学生去思考，此事为什么是这样。长期的训练使学生养成了只需要记住许多事实而忽略了自己的思考。当然，这与我们的教学方法、教学习惯也有很大的关系。我是做教师的人，我知道，如果要判题阅卷，最难判的题是证明题。考试出证明题是给自己找麻烦。如果要讲课，要讨学生喜欢的最方便的方法，就是对学生们说，此定理的证明不要求掌握，知道结论就可以了。因而，我们的各种考试，包括平时的考试、研究生考试等等，基本上没有证明题，也较少的有问为什么的题目。如果长期这样，学生就当然不会思考了。有些学生，很用功，很会背书，但就是不会思考，特别是主动、独立的思考。这一方面可能与天资有关，更重要的是他们的训练从来就是应付考试（很多需要证明的东西，他们学校对他们的要求就是记住结论就行，好学校与差学校的最主要的差别往往就在这里），而我们的考试特别是大学的考试，往往只是看学生记住了哪些，是不需要独立思考的。当然，大多数人并不从事科学研究，但是独立思考是每个人都需要有的。而我们现在缺乏的正是这种素质。温家宝总理对青年提出“要自立。青年要善于独立思考，从年轻时就培养独立思考的习惯和能力，学会判断事物的真伪。靠思考了解事情真相，做出正确判断；还要勇于创新，不墨守成规。”这是很正确的。请看看我们的左右，在政治上，过去是 XX 主义一切正确，现在是 XXX 主义一塌糊涂。人云亦云而已。生活上，一会儿奖励小孩子吃洋快餐，一会儿只吃自然食品，恐惧一切食品添加剂。做 CT 、 X 光检查不厌其烦，听说哪里有一丁点核辐射就赶紧去抢购碘盐，如此等等。中国的传统文化就是最讲究实用的，学以致用是过去读书人的信条。所以传统文化中极少有抽象的纯科学的东西。即使是研究天文学，也是因为要与上帝沟通。中国的哲学只是伦理学，要服务于君君臣臣父父子子的政治。读书的最崇高的目的是修身齐家治国平天下。因而，即使是逻辑学那样的研究都被认为是枉费心机，浪费生命。根据这个传统，解放以来的教育也都是“学以致用”，甚至“急用先学，立竿见影”。这也难怪，因为我们贫穷、落后，首先要解决物质的问题。特别是近二三十年来，富起来成了人们的第一位的诉求，有钱就有了一切。科学思想（不是技术，技术可是能够换钱的宝贝）和文化都是不能当饭吃东西，这在一些人心目里就是一些没有用的东西。他们需要的的能换成物的、算成钱的。在他们看来，几何证明就是典型的没有用处的东西。现在，“ 几何证明由 “全局性”的要求下降为“局部性”的要求；几何证明的数量大大减少了，几何证明的繁难程度大大减弱了。” 几何等课程的要求降低了，腾出时间做什么？还是多做一些复习题吧。于是，“皆大欢喜，信受奉行”。; 个人分类: 教育|5747 次阅读|14 个评论

多一点说理，少一点盲从: 武际可 2009-7-6 10:38; 多一点说理，少一点盲从武际可从历史上看，我们的教育一直是强调服从，更准确地说，是盲从，而不是强调说理。从小就教育孩子：天下没有不是的爹娘。入了学，则说：一日为师，终身为父。老百姓对待县太爷则称呼父母官。这意思是说，人一辈子，从小到大，无论大人、老师、长官对还是错，都要听话、作乖孩子，长大了要把老师和上级当作小时候对待父母那样盲从，要一呼百应、当顺民，而如果你竟敢对父母官顶嘴，那一定是顽民或刁民，称之为抗上、犯上或大不敬。以自己是家长、上级、父母官，自己说的话，不管有没有道理，都要孩子和子民服从，怎么说怎么有理，这就是以势压人。要是孩子和子民不服从，轻则训斥，重则罚跪、戒尺招呼，进而掌嘴、杀威棒。犯了对皇帝的大不敬罪，还会处死。1900年，北京大学总教习许景澄，就因为反对慈禧太后向十一国宣战的愚蠢举动，徐景澄因为曾经做过驻外使节，认识到中国实力不济，劝慈禧谨慎从事，当庭驳了慈禧的面子，被判大不敬，在菜市口杀头的。这样孩子和下民就得一直顺着大人和长官说话，一直被管得服服帖帖，没有个性，一点也没有创造力。说理是很不容易的。现实中，历史上长期形成的思维定式也是很难改的。文革中，当时占统治的哲学观点是，世上的一切事物，都必定是一分为二的，有人说了不同看法，立马被戴上反革命帽子，挨批、挨斗。支持一分为二观点的提一个问题：既然一切事物都是一分为二的，那么毛泽东思想是否也是一分为二的。这样提问题的人，又立马被戴上反革命的帽子。这真是两头都对，毫不讲理。文革时不讲理，在彻底否定文革后是否就完全改变了呢，也未必。在2008年汶川地震后，几位专家，在媒体上解释这次地震为什么没有预报出来，他们说：地震难预测有三方面因素。第一是地球的不可入性。人类对地下发生的变化，目前只能靠地表的观测进行推测，而这种推测很不唯一。第二是地震孕律的复杂性。在不同的地理构造环境、不同的时间阶段，不同震级的地震都显示出相当复杂的孕律过程。第三是地震发生的小概率性。对于一个地区来说，地震发生的重复性时间是很长的，几十年、几百年、上千年，而进行科学研究的话，都有统计样本。而这个样本的获取，在一个人的有生之年都非常困难。这些无疑都是对的，但并没有回答人们普遍的疑问，汶川地震为何没有预报出来。他们列举的理由，不仅掩盖了事实真相而且从逻辑上也是说不通的，给人一种印象，似乎所有的地震都是不可预测的，那么为什么营口地震就能够预报出来，相距不远的松潘1976年地震又为什么能够预报出来。事后就有的专家揭示，事前确实有不少异常，只是没有引起足够重视而已。虽然由这些异常很难准确推断何时何地有多大的地震，但为慎重起见，人们要求地震当局做一个中长期预报，要求政府根据中长期预报组织几次地震演习总不为过吧。这种回避事实、逻辑上又漏洞百出的专家解释，也居然没有任何异议地在主流媒体上向大众解说。究其出发点，还是要为减轻有关的主管长官的责任的一种说辞。要人们听话。更使人惊奇的是，有的知名人士，竟含泪向大众说：已经有好几位国际地震专家说，地震到了七点八级，理论上一切房屋都会倒塌，除非有特殊原因，而这次四川，是八级！这简直是一派胡言，连地震的震级和烈度分不清，就向人们说教，来堵人们追究一些豆腐渣工程的嘴。这些，无论是对地震研究、做学问，还是处理日常行政事务，都是不正确的。要避免盲从，除了在我们的教育中，培养人们尊重事实、尊重真理的精神外，还要使所有的人，都学会讲理，无论是孩子对大人，还是下民对长官，都不能提倡盲从，要服从真理。大人、老师和长官讲得对，当然要服从，讲得不对，要学会反驳，学会据理力争。大人对孩子、长官对老百姓，导师对研究生，也要讲道理而不能以势压人。只有我们人人学会独立思考了，人人学会讲道理，我们这个民族，才会充满朝气，充满活力，充满创造力，才会真正和谐相处。要讲理，就要掌握讲理的工具。即逻辑学。我们的民族，逻辑学自古就不发达。爱因斯坦、怀特海、顾准都曾经认为中国的科学不发达原因之一是逻辑学不发达。即使在逻辑学不发达的情况下，我们在20世纪50年代，还有过一阵批判形式逻辑的时髦。据说北京大学逻辑学教授金岳霖主持一个艾思奇批判形式逻辑的报告会，艾思奇说那是伪科学。讲完以后金先生带头鼓掌，艾思奇于是很得意。但金先生接着又说艾先生讲得好，因为他的话句句都符合形式逻辑。至于在教育上，对中小学生的逻辑学教育更是微不足道。据了解在西方有些国家，比如俄罗斯，逻辑学一直是中学生的必修课。而我们则没有。民国以后，我国的中小学生，得到的一点逻辑学的知识，主要是从初、高中开始的平面几何课程中，通过三段论证明学到的。社会上了解逻辑学的只是极少数专门研究逻辑学的，像金岳霖那样的学者，人们对他们也大多不了解。这就难怪，在我们出版的学术著作、新闻报道、政策法令等诸多方面，不符合逻辑、于理不通的地方太多太多。而我们也便习以为常了。反正我们的社会秩序有上面说了算这条传统来维系，天塌下来有大个子顶着，有多年教育出来习以为常的乖孩子和顺民来维持，不至于混乱。现在，据说，在我们的教育中就连仅仅能够获得那点可怜的逻辑知识的平面几何课，也要改革掉了。 2004年教育部在全国实行的新的《义务教育数学课程标准》将中学的几何教学中的证明取消，代之以图与形的认知。他们认为几何证明得到的事实，比证明的逻辑思维过程要重要。以为只要教给学生结论就可以了。例如要学生知道三角形的内角之和为180度就可以了，不必证明。我国物理学家吴大猷所说的我们的数学有应用性的代数，而无逻辑演绎的几何，不但古代没有几何，民国之后实行了近百年的在中学教授几何的逻辑证明的传统也要被革掉了，重新使我们的后代回到没有几何逻辑证明的状态。问题是，尽管有不少人大代表和政协委员反对，又有像姜伯驹院士那样的一群专家学者的反对。教育部仍然在全国推行，而且所有的学校，一无例外地推行。据说是有负责人发话：难道因为有几个专家反对，就不要改革了。啊！，这又是一宗无理要求、绝对服从的典型案例。说实在话，这样的改革，只能使我们的教育离培养奴才愈来愈近，而不能使之成为培养有独立思想的完整的人的教育。还是要强调的是，我们的教育，要多一点说理，少一点盲从。; 个人分类: 教育|4698 次阅读|5 个评论

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