James Boswell 为 Samuel Johnson 博士写的传记，据说是世界上最伟大的传记，而且常常还不带“之一”。以前得过一个简写本的中译本，就很惊喜(何况还带插图呢)。没想到在中文的 amazon 还能买到 everyman’s library 版的全本 The Life of Samuel Johnson ！ Samuel Johnson 博士——他说不喜欢这个头衔，但自己偶尔也会用一下——凭一个人的力气编出第一部英文字典，一直是我好奇的模范。编字典当然是天下最枯燥乏味的事情，老 J 在给 Dull 下定义时也不忘自嘲一句： To make dictionaries is dull work. 朋友怀疑，法国需要 40 个人做 40 年的事情，他能独自在 3 年里完成吗？老 J 的回答很有趣： 3 个英国人抵得过 1600 个法国人（ as three to sixteen hundred, so is the proportion of an Englishman to a Frenchman ）。 以前读 Samuel Johnson 给 Chesterfield 爵爷的信，总感觉博士先生有点儿小家子气。我先找他编字典的故事看——他说，他把字典计划献给爵爷，是因为一时找不到合适的人，就根据朋友的建议，随便写了爵爷的名字，那只是偷懒而已（ it was only a casual excuse for laziness ）。后来，爵爷好像不再关心他的字典，没给赞助（有人揭发，老 J 承认收到过爵爷的 10 块大洋，只是嫌少了；他说，在那封信里找不到合适的地方写它）。当字典即将出版的时候，爵爷写了两篇文章将他大大夸奖了几番——在老 J看来 ，爵爷是想通过如此卑鄙的戏法赢得他的感恩，把字典题献给他。于是，老 J 愤怒了，写了那封流传四分之一千古 的信（网上肯定有好多关于那封信的材料，我就不说了）…… 看过那一段故事，还是感觉老 J 的愤怒有点儿小气。真有骨气的话，当初就不该把计划献给什么爵爷——其实，爵爷也是了不起的角色，他给儿子的信，可与大清帝国的曾文正公的家书媲美。对所谓赞助者、提携者，老 J 其实有很好的认识。他在字典里的定义是 ： Patron: Commonly a wretch who supports with insolence, and is paid with flattery . 既然如此，何必求他呢——如果爵爷真的大力提携他了，他还能高傲地说 I never had a Patron before 吗？ 这真是一本好读的传记，虽然两百多年了，读起来比今天的英文还容易，一不小心就读过十几页了——读新小说，得费好大气力去熟悉人名，想象场景，读到后面就忘了前面……可惜，下回再读此书，应该是很久以后了。新年堆了太多的新书等着我去看几页呢。
例 2 已知α、β的三角函数值，求 cos （α + β）。 思维指导（方法一）： 一、找到解决问题的方法 第一，本题需要解决的问题（做什么？） 求 cos （α + β）的值。 第二，本题题目给定的条件（有什么？） 已知α、β的三角函数值，即已知 sin α、 sin β等三角函数值； 第三，找到解决问题的方法。 问题一（即原问题）：求 cos （α + β）的值； 解决问题的方法： ( 找到求值问题（类问题）的解决方法 ) 找到关于 cos （α + β）的等式，然后用等量代换或解方程的方法求解。 根据已知条件，本题应该寻找关于 cos （α + β）、 sin α、 sin β等三角函数值的等式； 问题二：寻找关于 cos （α + β）、 sin α、 sin β等三角函数值的等式； 解决问题的方法： cos （α + β）、 sin α、 sin β等三角函数值仅仅是一些记号，先还原它们的意义，然后找到相关等式。 ①找到 cos （α + β）、 sin α、 sin β等三角函数值的意义。 根据三角函数的定义，为使三角函数值表示更为简单，常用方法是通过直角坐标系考虑正弦线、余弦线、正切线等。 本题涉及三个角α、β、α + β，找出三个角α、β、α + β的始边和终边。 在直角坐标系 XOY 内作单位圆 O ，与 X 轴非负半轴、角α、β、α + β的终边分别交 P 1 、 P 2 、 P 3 、 P 4 , 则 P 1 、 P 2 、 P 3 、 P 4 的坐标分别为： P 1 （ 1 ， 0 ）、 P 2 （ cos α， sin α）、 P 3 （ cos β， sin β）、 P 4 （ cos （α + β） ,sin （α + β））。（图略） 这样找到了 cos （α + β）、 sin α、 sin β等三角函数值的意义。 ②找出关于 cos （α + β）、 sin α、 sin β等三角函数值的等式 解决问题的方法：寻找题中给定关于 cos （α + β）、 sin α、 sin β等三角函数值的等式。 显然∠ P 2 OP 4 = ∠ P 1 OP 3 = α，则有 P 1 P 3 =P 2 P 4 是一个关于 cos （α + β）、 sin α、 sin β等三角函数值的等式，即： （ cos α -1 ） 2 + sin 2 α = （ cos （ α + β） - cos β） 2 + （ sin （ α + β） -sin β） 2 展开并整理得： 2-2 cos α = 2-2 即： cos α = cos （ α + β） cos β + sin （ α + β） sin β ③找到我们需要的等式 解决问题的方法：采用等量代换的方法。 我们注意到α、β、 α + β只是一些不同角的记号，改变上述记号，可设α =x+y, α + β =x, 则β =-y, 上式可以变为： cos （ x+y ） = cos x cos （ -y ） + sin x sin （ -y ） = cos x cos y - sin x sin y 由于 x 、 y 也可以为任何角 ，可 令 x = α , y= β ， 代入即可求得。 第四，找到问题的解决方案。 （对于我国理科题目（特指例题和习题），对于问题的每一个解决方法，其解决方案极少，一般来说，一个解决方法对应极少几种解决方案，大部分都是一个解决方法对应一种解决方案，这是极不科学的做法，也是不可取的） 解决方案只有一种，而不是我们日常生活中遇到的问题一样有很多种，因此不需要探讨最优解决方案，其解决过程与上述过程基本相同，因此略去。 二、问题解决方案的表达方法 解题过程 ( 略 ) 。
（欢迎评论和交流） 例 1. 函数的性质（单调性）教学 （思维指导： ①函数的性质（单调性）是学生从来没有遇到的问题，可以认为是未知问题，其问题的解决方案是通过探索找到问题的做什么、有什么，然后找到解决问题的方法和问题解决方案。 ②本例隐含一个类问题，性质就是特性。） 一、探索解决问题的方法 第一，探索解决问题需要具备的条件？（条件一） 问题一：在什么条件下研究函数的性质？ 解决问题的方法：探索法，从函数的概念探索。 本题的问题是研究函数的性质，一定是需要给定函数，问题是给定的是所有函数还是某些函数呢？ 给定的如果是所有函数，即要找所有函数具有的共同特性，由于函数非常广泛，所有函数具有的共同特性不明显，因此我们希望找到某些函数的共同特性。 结论：本题的条件应该是给定某些函数，即找到某些函数具有的共同特性。 （评论：这一问题很复杂，我们面对的只是学生，没有必要刨根问底，我们的重点是教会学生思考问题的方法。下同） 问题二：某些函数是指那些函数呢？（条件二） 显然，性质不同，找的函数也不会相同，到底找那些函数呢？我们还是先探索函数有哪些性质吧。 第二，探索需要解决的问题？（一） （说明：本节只找了一个性质，其它性质通过其它章节教学） 问题三：函数有哪些性质呢？ 解决问题的方法：探索法，从函数的概念探索。 要找到函数的特性，我们要确定函数有哪些方面可以研究。 从函数的概念我们知道，函数主要涉及三个方面的内容： A. 函数的定义域，即自变量的取值范围。给出函数，一般需要给定定义域，自变量在定义域内可以自由取值，无需研究； B. 对应关系，给出函数，一般需要给定对应关系，无需研究； C. 函数值和值域，值域是一个集合，研究的内容较少，因此函数的性质主要研究内容是函数值。 问题四：函数值有哪些内容可以研究呢？ 解决问题的方法：探索法，从函数值的概念探索。 函数值是一些随自变量变化而变化的实数，而实数是可以比较大小的，因此函数值的大小变化情况（本节研究，单调性）和函数值之间的相等关系（以后研究，奇偶性、周期性）就是需要研究的内容。 结论：本题的问题是找到某些函数函数值的大小变化情况。 （本问题使用了隐含条件：函数值是由一些实数组成（条件三），使用了简单结论：实数是可以比较大小的。） 第三，找到解决问题的方法 问题五：研究函数值的大小变化情况还需要什么条件吗？ 解决问题的方法：探索法，从函数值的概念探索。 函数值是一些随自变量变化而变化的实数，这些数本身很难找到其特点。 要研究函数值的变化情况，因此从考虑自变量的变化情况着手，自变量的变化有规律吗？ 自变量是在定义域内自由取值，一般来说无规律可言。但由于定义域是数集，我们很容易使自变量变得有规律，只要将自变量从小到大或者从大到小顺序排列即可。但人们一般习惯将自变量按从小到大的顺序研究函数。 （本问题有一个假设条件：将自变量从小到大顺序排列（条件四）） 思考一：如果定义域不是数集，自变量的变化规律可以找到吗？ 问题六：探索函数值的大小变化情况 解决问题的方法：探索法，根据已有条件逐步探索。 A. 找到一些函数以及该函数的函数值； 先找到一些函数。然后找到该函数的函数值，并把函数值按自变量从小到大的要求取值。 思考二：这些函数可以随意选取吗？ （显然是不能随意选取的，怎么选取呢？这也是我们需要找到的问题。） B. 如何找到这些函数值的变化情况呢？ 解决问题的方法：图象法。 （函数的图象是函数值按自变量从小到大顺序排列的直观表示，通过观察函数的图象更容易发现函数值之间的关系。因此一般作出函数的图象辅助解题，本题我们同样选择部分函数的图象作为解决问题的辅助方法（图象略，见教材））。 （思考三：如何从函数的图象观察函数值的变化情况？） 函数值变化有规律吗？ 从整个定义域看，函数值随自变量 x 的增大时而增大，时而减小，并没有太多规律可言。 为了便于找到函数值的变化规律，我们把函数的定义域分成一些区间，在部分区间函数值会随着自变量 x 的增大而增大，在部分区间函数值会随着自变量 x 的增大而减小，这样函数值的变化规律比较强。 （解决本问题需要一个条件：将函数的定义域分成若干区间（条件五）。 思考四：如何将函数的定义域划分成一些区间呢？） 第四，找到问题的解决方案 （思维指导：前面已经指出，解决方法一般很少，而解决方案很多，这里主要是从众多解决方案中找一个“最优”解决方案，由于教材中的解决方案都是采用的“最优”解决方案，因此教师一般都不关注这一问题，而学生实际解决问题时一定会遇到这些问题。） 本题中，遇到的问题（注意，这些问题只是主要问题，而不是全部问题）哪些需要找到“最优”解决方案呢？ A. 本题需要选取部分函数，函数选取不同，结论也不会相同，因此应该选取代表性较强的函数。 （思考五：你会得到哪些结论呢？哪些函数代表性较强呢？） B. 函数值本身很难有规律，因此从考虑自变量的变化规律着手，使函数值的排列具有规律性。 C. 从整个定义域看，函数值没有规律可言，因此选择定义域的某些区间，以便找到函数值的变化特点。 二、问题解决方案的表达方法 第一，需要解决的问题（做什么？） 研究函数值的变化特点。即对于某些函数，在函数的定义域内， 在部分区间函数值会随着自变量 x 的增大而增大，在部分区间函数值会随着自变量 x 的增大而减小。 第二，解决问题需要具备的条件（有什么？） ①给定的某些函数； ②将自变量从小到大顺序排列 ; ③找到 函数的定义域内的 部分区间。 简单结论：函数值是由一些实数组成，实数是可以比较大小的。 （至此，我们都没有给定“某些函数”是什么函数？而我们需要告诉人们“某些函数”是什么函数，因此需要 界定 “某些函数”是什么函数，即找到“某些函数”的特点，根据“某些函数”的特点，给“某些函数”命名，即提出“某些函数”的概念，这里“某些函数”就是单调增函数和单调减函数。） 设函数 y=f （ x ）的定义域为 I ．如果对于定义域 I 内的某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x 1 ， x 2 ，当 x 1 ＜ x 2 时，都有 f （ x 1 ）＜ f （ x 2 ），那么就说函数 y=f （ x ）在区间 D 上是单调增函数，简称增函数； 对于定义域 I 内的某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x 1 ， x 2 ，当 x 1 ＜ x 2 时，都有 f （ x 1 ）＞ f （ x 2 ），那么就说函数 y=f （ x ）在区间 D 上是单调减函数，简称减函数． （至此，我们找到了这类函数，并命名。） 思维指导（以单调增函数为例）： ①设函数 y=f （ x ）的定义域为 I ，即表达给定的函数； ②如果对于定义域 I 内的某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x 1 ， x 2 ，当 x 1 ＜ x 2 时，即表达将某个区间 D 上的自变量从小到大顺序排列 ; ③如果对于定义域 I 内的某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x 1 ， x 2 ，当 x 1 ＜ x 2 时，都有 f （ x 1 ）＜ f （ x 2 ），即表达在区间 D 上函数值随着自变量 x 的增大而增大的特点； ④本定义同时给定了找到区间 D 的方法（即找到给定函数相邻的极小值点和极大值点，即构成区间 D ），并且区间 D 内的任何区间都是单调区间。 第三，找到解决问题的方法 通过图象法找到函数的函数值变化的一些特性。“在某一区间上具有单调增或者单调减”。 （同样，我们需要告诉人们函数的这个特性，因此需要给函数的这个特性命名，即提出函数的这个特性的概念。） 第四，提出问题的解决方案 （本问题有很多解决方案，人们找到有较大应用价值的解决方案。） 函数在某一区间上具有单调增或者单调减的性质，我们称该函数在这一区间上具有单调性。 教学评论： 本题是教会学生如何探索未知问题的解决问题过程，严格按照解决问题科学思维方法，探索问题的做什么、有什么，探索问题的解决方法（本题的解决方法是前人已经找到的方法，我们仅应用），最后提出解决方案。 本题的解决方法只有一个（图象法），而解决方案有很多，我们仅选取了其中一个。 ①本题是未知问题，即关于这类问题目前还没有找到该“类问题”的解决方法和解决方案，需要通过探索确认问题的做什么、有什么，同时要通过探索该“类问题”的解决方法和解决方案。 ②对于未知问题，并不是由此转化的问题都是未知问题，可能有些是未知问题，有些是已知问题，甚至可能转化的所有问题都是已知问题。 ③由于通过一个问题转化的问题一定很多，我们很难把每一个问题一一列举，因此我们总假定学生具有一定思维，仅仅列举一些主要问题。 ④由于问题太多，我们很难把每一个问题的做什么、有什么一一列举，而仅仅找到与解决问题密切的条件和结论以及解决问题的方法。 ⑤本题为研究单调性，找到了一些函数，如何找到这些函数的呢？教学中省去了探索过程，如果不是应试教育，也可以花费更多的时间探索，从而得到很多解决方案，从中寻找“最优”的解决方案。
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