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最早传入我国的“几何学”中译本
rongqiaohe 2017-4-15 23:09
最早传入我国的“几何学”中译本 四百三十七年前（ 1580 年，明神宗万历八年），基督教 意大利 传教士 Matten Ricci 来到澳门，后来到肇庆从事传教。将《几何原本》等中译本传于我国，可谓第一部传入我国的数学教本。 1599 年， Matten Ricci 到北京，与朝臣有交流。 1607 年，他再次到北京，建造了天主教堂。四五年之后，其信徒达到两百余人，其中包括李之藻、杨廷筠、徐光启等，热心研究西洋科学的人，他们也是我国最早学习科学的学者。 参考文献 Lv S.M. History of China, in 1920.
个人分类: 浅谈|3165 次阅读|0 个评论
6.3.3.3. 欧几里德几何学与整数和有理数。
wenmiaosong 2016-6-2 17:35
6.3.3.3. 欧几里德几何学与整数和有理数。 我们要讨论欧氏几何与“数”的合理关系，讨论到现在还没有进入正题，这是因为整个现代数学实在太混乱了。这个混乱的根源就是现代数学家没有建立起在“有限论域”内讨论问题的观念，他们要得到的总是“全部”的概念。但是想得到“全部”的知识，也是不能完全“否定”，他们要扩大知识范围的愿望是必须肯定的。没有那种愿望也就不可能“否定”已经存在的理论体系、扩展有限论域和建立新的理论体系。由于在那个年代，还没有把在“有限论域”下一步一步地扩大论域，发展公理，看成是发展人类实践和思维之间的合理关系的“哲学道路”的基础。是20世纪的数学家首先提出了“有限论域”的观念，但是他们急于把“有限论域”下的公理变成普遍公理，而没有看到“有限论域”是人类思维和实践发展的哲学道路上不可逾越的台阶。 我们只能沿着那个台阶一步一步地前进，而不可能立即铺就一条永久的“哲学道路”。也就是说，铺设人类的“哲学道路”实在太不容易了，我们不可能像铺设人间的道路那样，一个台阶、一个台阶地向前进。“哲学道路”是一条人类知识发展的“逻辑的长链”，它需要一个环节、一个环节的“反复”的链接。不仅要向前修筑新的环节，还要回过头去一个环节、一个环节地重新“链接”。因为每前进一步，有限论域就扩大了一层，所以和所有的“已有公理”直到“最早公理”之间的链接，都要适应新的扩大了的“有限论域”，来进行重新的链接。这也就是“逻辑梳理”的根本意思。不梳理和前面的已有公理之间的链接，就经受不了新的扩大了的“有限论域”的承载。 不认识自己想要去建立的理论体系也只是有限论域下的科学体系，也只是把人类认识的范围稍稍扩大一点点而已，就容易走上形式主义的错误道路。看了看1979年由北京大学数学系编写、1987年修改再版的“高等代数”教材，一打开正文，第一章第一节就是“数域”，我们只能摘录其中一部分： 数是数学的一个最基本的概念……，在历史上，数的概念经历了一个长期发展的过程，由自然数到整数，然后是实数，再到复数，这个过程反映了人们对客观世界的不断深入。…… 这段话写得很好，那样一些概念只是历史上的一个发展过程。但是接着他们就引入了一个一般的概念： 定义1 设P是一些复数组成的集合，其中包括0与1,如果P中任意两个数(这两个数也可以相同)的和、差、积、商（除数不为0）仍然是P中的数，那么P就称为一个数域。 显然，全体有理数组成的集合，全体实数组成的集合、全体复数组成的集合都是数域。……全体整数的集合就不是数域，…… 最后我们指出数域的一个重要性质，所有的数域都包含有理数域作为它的一部分。 我们想说的是：现代数学家们认为，有理数、实数和复数的概念“只是一个历史上的发展过程”。但是，他们认为对于这个过程的认识的问题是不包括他们自己的，到今天他们已经得到了关于全体有理数、全体实数和全体复数的观念，可以不再需要发展了，放心地去开拓新的数学领域了。当然，这样说，作为一种探索，或者作为一定历史时期的教材，是可以理解的。人类只能那样地前进。但是如果认为这就是以后检验“科学”与“伪科学”的标准，那就完全错了。如果这样去做，有一天，他们自己就会成为阻碍科学发展的“伪科学”的捍卫者。因为对于数字和数字运算的观念，如自然数、正整数、整数、有理数、无理数、实数和复数的观念，不仅是历史发展的过程，而是我们今天仍然需要继续认真研究和继续不断发展的概念问题。 在所引的这段话中，把有理数作为数域的“起点”：“所有的数域都包含有理数域作为它的一部分”，而“所有整数的集合不是数域”。这里实际上是想违避哥德尔所证明的“公理体系的不完备性”定理而采用的方法，但是没有整数哪来的有理数。他们以为有理数以后的观念已经说得清楚了，实际上说不清楚有理数和整数的关系，有理数也是说不清楚的。不研究、不搞清楚有理数是怎样产生的，“实数数域”就更加说不清楚了。现代数学中的“实数数域”的概念，只是戴得金所给出的一个逻辑悖论的观念。整个现代数学的“公理化集合论”就是那个实数数域的逻辑悖论所演绎出来的逻辑悖论的体系。 谁都明白，“全体有理数”是说不清楚的，人们只能够说清楚“有限论域”下的“有理数”。这个有限论域下的有理数就是和一个整数的体系相联系的。而且这种联系有两个方面的联系：一方面，那个整数系列是产生有理数的“骨架”，另一方面，还要有一个整数系列来分隔前面的那个整数。前面的整数系列，在这样的产生有理数的过程中，自身成了有理数的不可分割的一部分。那个整数体系，我们可以把它称为“量数”。量数可以进行四则运算，四则运算以后就扩大成为有理数， 另一个用来进行分割的整数体系，本身是不能满足一般的四则运算的，数学家们把它叫做“序数”。“序数”应该是与逻辑相联系的数，而不是与“数域”和“数字运算”相联系的数。 有限论域下的有理数，也就有两个方面的有限论域：一是基本量数的有限论域，就是我们只在一定的整数范围内来建立一个有理数的数列；二是分割的有限论域，我们只能对于有限次的分割来建立一个有理数的数列。这个分割总是与一个正整数N，经过N次分割而得到的所有的“有理数”。当然这个“所有的有理数”还和分割的方法有关。 离开了“量数”的有限论域和分割的有限论域，没有一个计算机系统能够存得下“所有的有理数”，也没有任何人间的方法能够明确地表示出“所有的有理数”。但是我们又确实能够把在上面的两个有限论域下的“所有的有理数”明确地表示出来。从逻辑上说，我们需要的只是那个有限论域下的有理数的定义，我们不能给出“所有有理数”。 其实现代数学家也不是不知道这一点，他们也在寻找这一点，但是那时候还说不清楚这一问题。因为还没有足够的实践。那样的实践实际上是从计算机编程过程中产生的。所以他们要用“约定”来产生“所有的有理数”，现代数学家不理解牛顿的极限下相等的观念的逻辑基础，总是认为Lamdba的计算方法不够严谨，要去建立一个对于“无限”的“数域”之间来比较大小的“约定”，由这个约定来建立严谨的“相等”的观念。其实“无限”之间比较大小也不是不可以的，但是那个比较同样也必须来自“直觉性”的“实在”，亦即必须来自“有限论域”下的明确性的定义的比较。没有任何“约定”的东西是可以持久的。 那么数学家们的约定和“有限论域”下得到的“明确性”定义之间的差别在哪里呢？差别就在于“实践”，“有限论域”下确定一个明确的“所有有理数”的依据是那个时代的实践能力所能够得到的“可靠性”，即那是那个时代人人可以感受的“直觉性”的“公理”。虽然那个有限论域下的“公理”也是暂时的，也是需要被“否定”。但是对于那个“有限论域”下的·“相对公理”的“否定”，和“假设或约定”的“否定”是不一样的。那个有限论域下人人可以感受的“公理”中总是包含着无法否定的某些质朴的内涵，而人为“假定”和“约定”中所缺少的正是那种“内涵”。在一定的历史时期能够成为相对公理的“观察”，也有误差；造成这个“误差”的不是指某个人的个人的实验“技巧”，而是与一个时代的人类的实践能力的整体相联系的，也就是说所有的实验总是与一种理想化的条件相联系的。那个理想化条件总是与某一个大自然的带有“无限”的属性相联系的。而现代数学中的“约定”正是把那个于无限相联系的“属性”用简单化的“约定”来代替了。 20世纪数学家的工作的另一个功勋就是关于“无限”的属性的研究。但是现代数学中还没有把关于“无限”的属性的研究与关于数字体系和数字运算的“哲学道路”有机地联系在一起。这是因为关于无限的属性的深入研究实际上是在20世纪中后期才发展起来的，它的最重要的标志就是“广义函数”。“广义函数”虽然有很多概念都来自现代数学，但是他哪里融入了很多20世纪中期以后的信息科学技术发展的许多直觉性的“感性材料”。 数学本来就应该是包含“数字体系和数字运算”与“关于无限和有限”这样两个既相互独立又有联系的组成部分。它们是独立的，因为数字和运算的演绎推理是以人的思维为主的，而无限和有限之间关系的研究，说到底是取决于“大自然”的，而任何与大自然相联系的知识，个人的头脑是得不到的；只有人类的整体性的“实践”和“直觉”，才是关于“无限和有限”知识的来源。但是数学的任务就在于把那两部分有机地联系起来。 前面我们指出现代数学的主要的具体问题，就是“数理逻辑”和“逻辑代数”中把逻辑归入数学范畴、用数学的形式体系来表示逻辑的那部分内容，因为那些内容混淆了数字和数字运算与逻辑推理的本质的差别，否定了逻辑的独立存在性。 杨本洛的“有限论域”和“逻辑梳理”的观念，从数学上来说，就是一个必须把“无限”的观念和“哲学道路”有机地联系在一起的观念。用把人类实践中来自“无限的大自然的直觉”来梳理“数字和数字运算的数学演绎推理的逻辑体系”。把数学的“公理体系”置于来自大自然的“公理”的约束之下。这不仅是一个数学问题，不仅也是理论物理学的问题，而且更是一个人类思维和人类实践之建立合理关系的，不仅是自然界也是社会和人文学的“哲学道路”的问题。 我们不是说20世纪初，希尔拜特为首的数学家们寻找数学的“哲学道路”错了，当然没有错！没有他们所走过的路，也不可能有今天。但是，到今天，再不把“有限论域”和“逻辑梳理”，再不把来自大自然的公理，放入数学的“哲学道路”的“逻辑前提”的位置；再不用它来取代越来越多的、混乱到了无法容忍程度的约定的“逻辑前提”，那是实实在在的错了。罗素说“现代物理学家是比宗教裁判所更有力量的”。现在已经到了新的类似于布鲁诺和伽利略的时代了，他们的力量已经都用来阻挡“理性和逻辑”的前进了。再容忍他们就是对人类的“罪”。 现代社会离开了公理性，这是人人都可以感受到的：偏离公理的“虚拟逻辑”，“虚拟经济”正在把世界带向灾难，这是当今社会的所有问题的本质。我们要否定的不是“逻辑”，不是“形式逻辑”，而是“虚拟”；但也不是笼统地否定“虚拟”，而是要否定现代数学中的形式主义的“虚拟”。我们否定现代数学中的形式主义的“虚拟”，就是要把“虚拟”的基础从形式主义的道路转向“辩证发展”的道路。什么是辩证发展的道路呢？就是用“有限论域”下的“逻辑可靠性”来代替“人为约定”的“逻辑可靠性”。 有限论域下的“逻辑可靠性”虽然也是暂时的，但是它在那个“暂时的时代”里，代表的是来自那个时代的实践所产生的“感性材料”的“人人感受的直觉性”；而“人为约定”总是只能代表哪些参与“约定”的人群。来自“有限论域”下的可靠性，总是会随着实践的发展而逻辑地自然地变成“不可靠性”，因而它不会阻碍人类思维的发展，而一个人的“直觉”或部分人的“约定”的“可靠性”，总是会僵化为偶像崇拜而阻碍人类思维和实践的发展。 数学的“约定”一般说来还要满足“数学演绎推理的无矛盾性”，而现代物理的“假定”则来自更为狭窄的“天才人物”的个人“直觉”。它确实比现代数学的“约定”更为狭窄。所以现代数学和现代物理学有一个差别：现代数学的约定来自一个“精英集团”，不是来自一个人的头脑，而是很多人的头脑的“约定”，所以一般说来数学具有“自证伪性”：对于数学的“证伪”，最早都来自数学的精英集团的“自身”，它所证的“伪”就是它不具有“完备性”。数学家们力图去建立一个对于“全体”数学观念都适用的“公理体系”，最后证明的是：它不能对“全体”的数学观念得到“公理体系”。而理论物理缺少的是“逻辑的无矛盾性”，所以它的“公理性”只能依靠对于“个人”的迷信。它没有“自证伪性”。现代数学证明了“没有完备性”以后，还保留了“数学演绎推理的相容性”，而理论物理证明了其“矛盾性”以后，实际上是什么合理的逻辑规则都没有了。所以理论物理不可能靠物理学自身来纠正，而必须依靠数学的帮助才能够纠正。这就像社会学中的偶像崇拜的现象，很难靠自身的力量来改变。因为它依靠的不是“思维的逻辑”，而是对于偶像的“迷信”。偶像是一个客观的物质存在，再发展思维能力也无法打破那个偶像的“物质存在”。所以中国三千年的封建的思维体系，只能靠“枪杆子”的暴力来打破，但是打破的不是那个“思维的逻辑矛盾性”，因为新的思维本身也是矛盾的，它信的也就是矛盾思维。而那个矛盾思维只是统一于对于某个偶像的崇拜，不能统一于逻辑思维合理性的本身。所以枪杆子的暴力，打破的不是旧思维体系，而是那个思维体系所赖以存在的“偶像”，所以“枪杆子”里面不是出公理，而是出“政权”，打破了一个偶像，出一个“新的偶像”。从这一点来说，所以还是柏拉图说的好，“如果你对什么问题感到迷惑，来学习数学吧”。 数学要发展归根结底就要寻找它的合理的前提，来代替精英们“约定”的前提。具体来说就是发展现代数学家所说的“数域”、“运算”以及“数域与运算的一致性”那样一些观念。今天，这些观念的合理性，都需要用今天的人类实践的“感性材料”的“公理性”来重新认定。这就是笛卡儿所说的逻辑长链的“链接”，这个“链接”必须随着人类实践的发展而不断地进行。我们不能一次打造出整个的逻辑长链，只能随着人类实践的发展来一个环节、一个环节地链接：不但有向前的，向着新的公理的链接和前进；还要有向着“已知的公理”，直到“最早的公理的链接。“哲学的道路”就是科学和公理的道路，没有笔直的路。只有不断探索、不断更新的曲折的道路。如果说“革命”这两个汉字，不是与“一个阶级和一个阶级的暴力的、你死我活的争斗”，也不是与“全输全赢的赌博规则”，而是人类实践和思维发展过程中合理关系的不断的破环和重新建立，那我想“不断革命”倒是一个很好的名字。我们要革的不是那个或那部分人的“命”，而只是一种与人类实践不再适应的思维方式。如果我们能够那样来理解“不断革命”，那就再合适不过了。遗憾的是历史已经赋予了“革命”这两个中文字，以人群与人群之间的暴力斗争相联系的概念。那样的“革命”，在非到不得已的时候、不得不来的时候，才来一下，大家忍受一下，也许还可以；“不断革命”实在太可怕了。人类发展的根本还是不要依靠不断“革命”，而是不断更新我们的教育为好：人类的实践产生对于大自然的新的感性认识——人人可以感受的“直觉性”的认识，那种认识要经过人类思维的逻辑体系——数学演绎推理的体系，组成既有“相容性(无矛盾性)”又有“可靠性(公理性)”的“公理体系”，这个“公理体系”是有很多很多的“环节”链接起来的。不断地打造那样的链接的过程，就是不断更新教育的过程。以前的人提倡“博雅教育”，那个“博雅教育”的核心应该是：“追求理性和逻辑，远离金钱和权势”。我们需要的是那样的不断的发展“博雅教育”的过程，来代替人间斗争的不断“革命”的过程。 欧氏几何就是那样的一个“公理体系”，它既是“物理实在”又是“思维体系”，是在“物理实在”和“思维体系”之间的逻辑链接过程中，不断发展着“合理关系”的一个“公理体系”。欧氏几何中的“实在”不是任何特殊事物的“实在”，而是和数学演绎推理的形式逻辑体系“链接”起来了的物理实在；欧氏几何中的数学演绎的形式逻辑体系也不是纯数学的形式主义的逻辑体系，而是已经和“实在”“链接”在一起的数学演绎的形式逻辑体系。所以这个体系不是永恒不变的公理体系，而是还要随着人类社会的发展而不断的更新“链接”的公理体系。那个需要不断更新的不仅是那个“平面”概念，那个平面概念需要随着不断发展着的人类实践中的感性材料而发展；更重要的是那个人类思维的数学演绎的形式逻辑体系也要随着人类实践的发展而发展。重要的是保持人类思维的“逻辑合理性”与人类实践的人人感受的“直觉可靠性”之间的“合理关系”的“链接”，是那个不断地在继承基础上发展着的“链接”。也就是说现代数学中的“数域”、“运算”等等的概念都不应该是形式主义的，而也应该都是不断发展着的“有限论域”的概念，也就是说都是一些需要不断“梳理”的逻辑观念。这就是我们需要研究的未来的数学与现代数学的根本的区别。 那个最古老的欧氏几何原本，实际上是一个“平面”的“几何原本”。这个平面就是把地球上的“水平面”理想化而得到的“平面”，它就成了平面“几何原本”的“逻辑前提”。这个前提就是与“无限大”相联系的“理想化条件下”的公理体系的前提，他不是来自某个人的“直觉”或某部分人的“约定”，而是来自人类在一定历史条件下的共同的实践中的得来的“直觉性的感受”。 把地球的半径看作无限大，那个水平面的“平面”实际上不是“实在”的平面，只是那个时代的人类所能够感受的最精确和合理的“直觉”下的平面。把这个平面作为前提，自然地有了欧氏几何的第五公理。或者说欧几何的第五公理就和前面四个公理逻辑地联系在一起了。没有这个公理就没有“平面”，没有平面也就没有毕达哥拉斯定理(或沟股定理)。没有毕达哥拉斯定理也就没有数字和数字运算与欧氏几何之间的逻辑链接。也就没有了前面关于点和线以及从点到线从线到面的公理。没有欧氏几何与数字体系之间的合理联系，也就没有了笛卡儿坐标系。这些问题实际上就是费马定理中所讨论的问题的逻辑内涵。离开了逻辑讨论费马定理是讨论不出真正的结果和意义的。 现代数学发展到今天，它的最大问题恰恰出在对于数学严谨性的错误理解上。他们认为数学的严谨性是数学本身所具有的，那么数学本身是怎样会有不断发展的严谨性呢？那只能来源于那些数学家们的大脑的约定了。他们实际上否定了人类实践对于数学理念发展的根本作用，而所谓的数学严谨性只是对于不断发展的数学理念的一种合理表达。数字最早就是正整数，数字的理念是在人类实践的基础上发展起来的。原始人类认为有1，2，3的数字就够了，它是从更早的观念，“有”或是“没有”中产生出来的。它只是一个最简单的像结绳记事那样的数量和次序的关系，它的运算也只有加法运算，对于减法是有限制的，乘法只是加法运算的一种等价形式。除法只能整除和余数。四则运算则和几何概念的出现有直接的联系，实际上中国古代文明中，同样有几何的概念，只是没有以系统的逻辑推理作为几何学的基础。几何中所有的点、线、面和形以及相应的运算都是有的。 用摆石头或画线和图形来表示数量关系，是各个地区的原始人群所共有的。这就是说“几何”，用点、线、面的图形来表示数量关系，是人类发展中的共同的经历。几何学和算术学实际上一直就是人类在追求“直观感觉”和“数字规则”的合理关系中发展起来的。远在笛卡尔以前，东西方的几何学实际上就是与算术学一起发展起来的，数字的观念早就与小石头联系在一起，数字的运算早就和那些小石头的“摆弄”方法联系在一起。所以说，数学是数与形的科学，石子就代表“数”，排列的方法就代表“形”。石子和排列的“抽象化”就成了在平版上画点、线、面和图形的“几何学”。几何学的发展离不开“石子和排列”，离不开“点和空白”，离不开“数与形”，实际上就是离不开“数字”与“逻辑”。在数学的发展中，几何学是数学的公理体系中的最典型的一个环节。它只能和不断发展中人类实践的新“公理体系”，链接在一起，而不能不加改变地成为一个新的“公理体系”中的一个独立的“元素”。 现代数学中，“公理体系”是一个合理的观念，一个时代有代表那个时代特征的“公理体系”。“集合”也是一个很有用的概念，一类有共同属性的“元素”集合起来，组成一个“体系”，就可以对这个体系进行分析；如果那个“体系”是好的，能够满足逻辑推理的所有规则，这个体系，本身就具有“公理”的属性。这两个概念都是有用的，但是现代数学中的“公理化集合”的概念不是一个好概念，他会把人类思维引向不合理的方向和道路。我们说一个“体系”可以具有“公理”的性质，那个“公理性”一定是有限论域的。因为公理的“有限论域性”，不同的公理都具有各自特有的“有限论域”，我们无法再把“公理”集合起来。 实际上现代数学所讨论的仅仅只是如何把牛顿和莱布尼茨的微积分，特别是把那种运算所带来的极限下相等的“新观念”的“逻辑推理严谨性问题”，以及如何在极限下的“相等观念”下，如何把“证明”和“计算”那样的数学过程给出严谨的逻辑规范。“公理化集合”给人以很模糊的概念，是把“公理”都集合在一起？那当然是没有意义的，每个公理都有自己的“有限论域”，实际上是集合不起来的，或者说集合起来是什么意义也不会有的。笛卡尔实际上只是 “ 因将几何坐标体系公式化而被认为是 解析几何 之父” ，并不是有了他的几何坐标体系的公式化，才有了几何学和算数学的结合。整个几何学中，甚至欧几里德的几何原本出现以前，人类就在通过 欧氏几何中的点、线、面概念，通过点与线的关系，线与面的关系，来研究人类对于图形的直觉与数字规则的合理联系，欧几里的几何学的基本内容就是建立人类对于图形的直觉(那些直觉来自土地的丈量，房屋的建筑等)，和数字规则的合理联系。也就是我们前面说的“物理实在”的“数学模型化”。 这种合理联系，不仅是通过数字规则来更好地描述那些几何图形的性质，同样也是通过点、线、面的直觉观念来更加精确地建立数字和数字运算的规则。笛卡儿的几何坐标体系的数学公式化，仅仅只是那个几何图形的数学模型化中的一个极有意义的一步，但是那并不表示几何直觉的数学模型化的开始，更不表示那种数学模式化的终结。笛卡儿坐标系的数学形式化的建立，实际上标志着几何学和算数学在平面几何的“逻辑前提”下建立了合理关系。没有“平面几何”的概念，实际上也没有数字和数字运算的“直觉”的概念。数字的扩展(进制)和分割成有理数，数字的相加和序数的无限性，都是与平面几何的图形的直觉性直接地联系在一起的。只有那种“形”的直觉性和“数”运算的规则的合理关系，才是数学严谨性的内涵所在。 费马定理中，二次幂方程： a 2 + b 2 = c 2 的正数解的存在性，也只有在平面几何的面积的“直觉性”下，才有真正的实在意义。 费马定理的研究最大的意义就是建立了有理数与整数的逻辑链接。 在前面我们已经讨论了费马定理， 我们认为费马定理的初等数学的证明就是建立有理数的逻辑理念的最好的方法。任何用复数的定理证明的费马定理，实际上的意义不是证明费马定理，而应该是用费马定理来对于复数性质进行研究和讨论。因为在讨论正整数的平方运算的逻辑问题的时候，我们并没有建立对于复数和复数运算的逻辑合理性的观念。直到现在，对于复数的逻辑并没有搞清楚，所以，对于费马定理的讨论并没有结束，那样的讨论只有在“人人可以感受的直觉性”的基础上才能作出真正的结论。 那不是靠任何一个评奖委员会的评奖能够做出结论的。现代社会的最可悲的就是“金钱和权势”控制着的“精英们”越来越远离人类生产实践活动，越来越远离大自然所提供的各种真实的自然信息，“金钱和权势”使他们自以为强大到了可以把一切“理性和逻辑”、把来自“大自然的公理”都抛置脑后，把“愚昧和邪恶”随意地装扮成“天使”和“明星”。但是人类的历史总是在不断地证明着：“公理不可战胜”。 从我们前面对费马定理的讨论中，可以看到，二次方的费马方程可以找出无数个“整数解”。这无数个整数解所表示的三角形，大小都是不一样的。如果把那些直角三角形都成比例地压缩成一个斜边为1的三角形，把那些三角形的斜边平方放在 x 轴上，斜边的中心放在原点。那么所有直角三角形的与斜边相对的顶点，都在一个第一象限的圆上(这里只讨论正整数解)。费马方程也就成了三角方程的形式： y 2 =1- x 2 或 cos 2 =1- sin 2 在这一形式下，我们把 y 称为 x 的函数。 x 是自变量。从这里可以看到费马定理把整数的“数域”成了“有理数”的“数域”的一部分。有理数域不是包含了整数数域，而且把那个作为解的那部分整数系列，变成了有理数数域的一个组成部分。 数域的扩展不是机械的把“整数数域”都成了有理数数域的一部分，而是把原来的既可以作为“序数”又可以作为“量数”的正整数的属性改变了，便换成了具有有理数的四则运算的属性的数字，那个被包含在有理数域中的整数，已经不是原来的整数了。原来的正数数域，依然存在，它们是Lmdba算法中的“序数”，这个“序数”从本质上看是一个与逻辑相联系的数字。 如果没有“平面”，上面的三角方程和费马方程的函数分析的形式都不存在，因为在一个任何大小的半径的球面上， x 和 y 都成了弧线，毕达哥拉斯定理就不再成立。所以，所有的非欧空间都无法把描述实物的静止形态的“实在”与数字关系建立合理的逻辑关系。 只有欧式空间才能够进行数学模式化。也就是说只有欧式几何学才可以和算数学“链接”起来成为一门共同的“解析几何学”， 这也是相对论不是一个具有逻辑推理性质的数学方程式的根本原因。 但是欧氏几何下的笛卡儿坐标系，在一般情况下都不能直接用来描述具体的实体物质的存在和运动形式。要描述具体实物的存在和运动形式，仅有欧氏几何中笛卡儿坐标表示的空间概念是不够的，在人们要更加精确地描述一个具体事物的“物理实在”的时候，那种“平面的欧氏几何”只是一种近似形式，它可以用来在地球上极小的范围内计算距离、形状和面积。而不能满足于地面大范围的精确测量。为此，必须引入的不是新的“空间”的观念，而是“本地坐标”。 一般说来“本地坐标”需要根据被描述物体的特性来选择不同的坐标系，也可以用笛卡儿坐标，那些坐标必须有一个与具体事物存在或运动形式相联系的坐标体系。如在牛顿理论体系中，实物(不同星体)被理想化为一个“点”，所以也可以采用笛卡儿坐标系，但是那个本地坐标必定要与那个物体结合在一起。一般说来，那个本地坐标轴的方向也必须与实物一起运动。只是在牛顿理论体系中，实物被理想化为一个“点”，本地坐标的轴不需要旋转。作为欧式空间的逻辑前提的那个“空间”是一个有永远不变的坐标原点和不变的坐标轴的方向的笛卡儿坐标系，那就是牛顿所说的绝对空间。在莱布尼茨的微积分中考虑的就是欧氏几何本身的形状，所以它就认为不需要“绝对空间”。实际上那个绝对空间还是需要的，只是绝对空间和本地坐标之间没有运动所以有时候也可看成是同一空间。 讨论毕达哥拉斯定理和费马定理的逻辑关系中，那里的数学模式化的抽象化的表示就是“数与形”，就是“点与空白”。自变量和函数是不一样的，自变量是在轴上的点，而函数是在“圆弧线”上的“点”。这个“点”上的数，在求正整数的解时，自变量和函数都是正整数，而那个三角形的大小在变化，一般情况下随着正整数解的值变大，三角形也越来越大；但是那些三角形可以进行同比压缩，进行同比压缩后的有理数的解中，则自变量和函数都成了“有理数”，因为那个三角形的最大的数也只有1，这个有理数“数域”中就包含着原来是整数“数域”而被压缩后成为“有理数”数域的数。实际上所有的有理数解，按比例放大后也就都还原成了“整数解”。实际上这个解是不可能完全地说清楚的，只能在有限论域下才可以说清楚。它总是与某个正整数(或某些正整数)联系在一起，那些正整数只是对于数域或运算的“约束”，本身并不直接参与运算。那些正整数才不会成为数域，它们就是“序数”。“序数”在计算程序上就是语句的编号，在编码程序上就是内存的“代码号”，那些数字和参与运算的“量数”在属性上是不同的。只有序数再不会组成数域。 在任何一个“实在”的问题中，函数和自变量的“数域”属性是不完全一样的，运算的方向也是不可逆的，这些都决定于人人可以感受的“直觉性”的实在，离开了实在来作空洞的“抽象化”，就是形式主义。只有对理想化的条件，亦即在与无限相联系的“有限论域”下的抽象化，才有确定的的人人可以感受的“可靠性”。 这里讨论的欧氏几何与整数和有理数的关系，实际上是现代数学所不讨论的问题，因为，哥德尔的不完备定理，已经证明了，对于所谓的“一阶逻辑”整数具有“不完备性”，所以前面的书上也把整数排斥在数域之外。但是实际上正数数域和有理数域的关系和有理数域与实数，以及任何其他数域的关系都是一样的。用形式主义的观念，它们都没有完备性，它们的完备性都只有在“有限论域”下才能够得到合理的表达。 现代数学中真正的逻辑悖论，是从实数数域开始的，这就是我们下一节要讨论的现代数学中的真正要讨论的与微积分的数学相联系的公理化体系的问题。
个人分类: 数学的未来|603 次阅读|0 个评论
6.3 欧氏几何学体系的数学模式化
wenmiaosong 2016-6-1 14:55
6.3 欧氏几何学体系的数学模式化 讨论欧氏空间的数学严谨性比讨论它的物理实在性要困难得多。 这是因为我们是生长在西方文明占主流的时代里，在这个时代里，西方的思维占据了统治地位。这个思维就是“形式逻辑思维”或者说就是“无矛盾”的“形式思维”，在古希腊时代的毕达哥拉斯、苏格拉蒂、柏拉图、德亚里斯多德等一批伟大学者的影响下，形式思维第一次占领了人类思维的主流舞台。逻辑是人类思维发展的最伟大的进步，但是形式思维中，依然存在不可克服的矛盾。一直到今天，经过了哥白尼、伽利略、牛顿，一直发展着这个形式思维，走到了人类思维发展的一个高峰。而另一类思维——“矛盾思维”在古希腊时代就被形式思维所压倒了。 但是形式逻辑的思维方法有一个根本的弱点，它真正能够演绎出来的东西实在太少了，就像亚里斯多德所举的“苏格拉蒂也是要死的”，仅仅只有这一条。为什么三段式的演绎，演绎不出新东西，它不是也演绎出“苏格拉蒂也是要死的”新命题了吗？逻辑到底能不能演绎出人类的新知识？古希腊哲学家并没有回答，亚里斯多德本人并不认为逻辑可以发展出人类知识的长链，而是把它作为划分不同学科领域，使一个领域的知识，不能在另一个学科中使用。以后，笛卡尔还是大胆地再一次提出了要用“逻辑”这个利器生长出所有人类知识的长链，但是他也提不出怎样来生长出新的知识的道路。随后，西方世界把“矛盾”作为一种逻辑的方法，在中世纪以后复活了。黑格尔是其中最有名的一位，从他那里发展出了马克思的“唯物辩证法”。 马克思复活的已经不仅是矛盾思维，而是“矛盾逻辑”了。作为一种逻辑，黑格尔本人也好，马克思也好，都没有解决演绎推理的自洽性的问题。所以马克思主义到后来，有多少个国家就有多少种马克思主义。当然马克思对于西方世界的形式逻辑的“矛盾性”进行了最有力的揭示：在那个严格的数学演绎推理的“形式主义”的规则下掩盖着逻辑前提的“非公理性”。 康德的哲学实际上比黑格尔前进一步，他强调了逻辑推理的“否定性”的功能。这就是我们现在所强调的：在一个新的逻辑自洽的体系诞生以前，不管是新的来自物理世界的“感性材料”也好，还是来自数学分析的数学演绎推理的新的形式体系也好，他们虽然无法解决新理论诞生的问题，但是它们却是可以在否定旧理论体系中发挥确实的作用。爱因斯坦、波尔的物理理论就是对于牛顿理论的合理的否定，它否定的主要就是牛顿的质量、力和运动的关系，就是牛顿理论中的那些“守恒”量会出现不守恒性，因为在新的物理世界中出现了一种新的相互作用，那种相互作用无法用牛顿力下的数学理论体系来表示，所以20世纪以前，包括20世纪的物理学家的把“非保守力转换成保守力”的努力，总是以失败而告终的。 爱因斯坦懂得，那种失败说明牛顿理论的逻辑框架出了问题，虽然他不可能提出新的逻辑前提来，但是它否定了牛顿的逻辑框架，对于人类思维和实践的发展总是有帮助的。 希尔拜特的数学，20世纪的数学家们的数学的“哲学工程”的路，也是从牛顿和莱布尼茨的微积分开始的。他们并不懂得牛顿和莱布尼茨的同样的微积分的数学形式，反映的物理实在是完全不同的。他们抛弃了“物理实在”而走上“完全形式主义”的“约定化”的道路，在这条路上他们得到的两个最有意义的结果 就是数学演绎推理的规则，和物理实在的数学模式化的观念。 由于放弃了“物理实在”的逻辑前提的探索，代之以人为约定的逻辑前提，确实把问题简单化了，得到了一些有用的结果。就像前面讨论过的， 那些约定下的数学演绎推理中确实保持了逻辑推理的“相容性”——无矛盾性。 虽然那些结果也是不严谨的，因为像哥德尔所证明的那是没有“完备性”下的“相容性”。完备性要由逻辑体系和逻辑前提之间的“合理关系”来决定，人是约定不出与逻辑体系有“合理关系”的逻辑前提的。但是却可以保证那个演绎推理的“相容性”。这个道理一讲就清楚：就像足球的什么杯赛，不管有多少黑哨，多少假球，有多少次殴斗，有多少骯脏的赌博，但是最后总是会胜利闭幕的。他们的“逻辑相容性”是体系和前提的约定下的必然结果。 数学也是那样，当然数学比社会干净多了。但是没有“完备性”却还是一致的——人的思维不能产生公理，公理来自大自然，来自“神”。约定的数学和约定的游戏在这点上是一样的，就是他们只有没有“完备性”的“无矛盾性”。人们自己约定的游戏，搞得过分了就会被灭了，数学不会被灭掉的。所以数学产生的没有“完备性”的“无矛盾性”的数学演绎推理，是具有相对公理性的属性的。这就是说一个数学体系，即使还无法达到“完备性”，那个“无矛盾性”的逻辑演绎推理的属性对于判断一个“公理体系”还是很有价值的。 现代数学的演绎推理体系实际上是用来讨论微积分的数学体系的，为了应对微积分数学体系中的数学演绎推理的“无矛盾性”，现代数学家不得不用了一大堆逻辑悖论的“约定”，把微积分的数学体系纳入了“公理体系”。这个逻辑悖论的数学约定，是从戴德金的用无理数把有理数之间的空隙“填满”的“约定”开始，接着是康托尔的“集合论”中的一系列的逻辑悖论约定，主要是从“势”的约定来讨论无限可数的有理数的集合和无限不可数的无理数的“等势性”等，就是这些逻辑悖论的约定，把微积分的数学体系纳入了具有数学演绎推理的“相容性”的公理体系。 用现代数学的约定，却可以明显地看到，所有的现代物理的数学理论体系，都是没有数学演绎推理的自洽性的。现代数学的大量的逻辑悖论的“约定”把整个体系的属性搞得非常混乱，但是在那个混乱中依然保持着数学演绎推理的合理性的内涵。讨论微积分的数学体系时，还说得不很清楚，因为他无法真正解决微积分数学的逻辑推理的“完备性”问题。但是它对于在欧氏空间的数学体系的数学演绎的推理确是可以达到“有限论域”下的逻辑自洽性的。现代物理学的数学体系，违背的就是欧氏空间体系下的数学演绎推理的“无矛盾性”的规则。这就是现代数学中的纯数学所留下的珍贵的遗产。这就是康德的矛盾哲学的意义，人类思维的发展总是首先在“否定”意义上发现“已经”获得的理论体系的逻辑悖论的性质。现代数学，依傍着逻辑悖论，得到了没有“完备性”的“无矛盾性”，它在“否定”意义上的作用是不可否认的，但是继续沿着这条路向前走，想得到全部数学的“公理体系”就会走向反面。 要认识人类思维的发展总是要在否定过程中、曲曲折折的前进，很可能既不能依靠思维本身，也不能依靠实践，而是依靠一种“信仰”。一种来自对于大自然的无限性，来自人类整体的思维和实践的历史积累的无限性的“信仰”：这样的无限性是我们有限的时代，有限的人生所无法企及的，人类整体的历史的总和对于大自然来说，依然只是有限的一个局部。人类的知识不是来自不同时期的“天才人物”所创造的伟大理论的叠加，正好相反，而是来自对于那些“天才人物”伟大理论的否定。 这样我们就有造就两种不同人才的两条不同的道路：一种就是把对于已有的“伟大天才”的崇拜和追随、蔑视普通大众的独立思维能力，作为思维准则的“精英教育”和追求逻辑和理性的既敢于独立思维，又能够谦卑的不断自省的“追求信仰和科学”的理性教育。自然科学是人类思维和实践发展的一条正路，但是那条路过于的崎岖、曲折，有过多的迷径和歧途；所以，“信仰”总是指引科学道路的明灯。 这一点，实际上大多数现代物理学家自己也看到了，但是还是要在约定的逻辑前提的范围内去保持他们的“相容性”，这就是为什么呢？为什么像“黑洞” 、“宇宙大爆炸”、“时空隧道”、“量子关联”、“蝴蝶效应”，那样一些比古代的巫师还要荒谬的观念，会炒作得越来越红火? 有些人过分强调科学家的良心，在我以前的文章中有时候也有那样的言语，其实是不确当的。 那主要决定于人类思维发展的规律，要认识一件事需要有一定的实践和思维发展的历史积累，20世纪的社会实践发展得太快了，人类思维的发展很不容易跟上去。当然这社会因素的影响也有一定的关系。但是我相信随着社会的发展，大多数人心里追求大自然的公理和社会平等的良心，会越来越得到快速的展现。只是现代科学发展得太快了一些，数学和理论物理学在快速发展的社会实践面前确实有些跟不上社会实践的发展。 从现代数学的发展中提出了两个最有意义的问题：一个是数学演绎推理的属性问题，这个问题我们已经讨论得比较多了；但是还有一个物理实在的数学模型化的问题，这个问题实在太复杂了：一方面现代数学本身失去了物理实在的支撑，它的数学演绎推理本身的不完备性，另一方面人类实践的发展实在太快了。这就使得“感性材料”的“数学模型化”变得非常的困难。但是我相信，今后一定会有越来越多的人会走上寻求数学和物理学重新结合的道路，而且我们已经在数学与物理学重新结合的路上走出了第一步。这就是把“有限论域”作为逻辑规则中的一个不可分割的属性，现在已经可以越来越看得清楚：没有“有限论域”的观念，在无限的大自然和无限的人的思维之间是不可能找到合理的结合点的。在有限论域下的逻辑梳理，在有限论域下的数学与物理学的重新结合，要相信必将会成为科学发展的未来的光明大道。 数字既是人类知识的摇篮，又是产生邪恶的蕴床。从结绳记事起，人类的知识就和被称为“结”或“点”的观念联系在一起，这个“结”或“点”就是产生数字的摇篮，在那里产生了自然数，这个自然数最早总是和“序数”的观念联系在一起，从“结”的循序中再看“结”的“形状”或“个数”所表示的“信息”的内容。由这里产生了数字和数学的“最早的公理”。那个公理的内涵也许很丰富，但是它又实在是非常模糊和隐喻的。 但是数学发展的“最早的公理”中，数学是研究“数与形”的科学。物理实在是什么，物理实在是外部世界在人们头脑中的映像，这个“映像”必须描述成大家都能懂得的形式，才能够交流。交流还不够，那个形象还要记录下来，传给后人，这就是语言、文字和数学的由来。 在这里，“点和空白”就是了一切物理世界反映在人类思维中的最基本的“实在”。物理实在和数学的链接，最基本的或者最后大概就是要链接在“点与空白”和“数与形”的“模型化”上。 到今天为止，数学家还没有进入“空白”的“领域”。他们放弃了物理实在的联系，放弃了把数学作为自然科学的一部分，这就会进入没有来自大自然公理的、人类思维的“自循环”的道路上去，今天是走出来的时候了。 来自大自然的“时间”的理念比牛顿的“实时”要复杂的多了，来自大自然的“场与波”的观念是建立与“空白”相联系的数学中的与“形”相联系的“逻辑”观念的真实基础。把逻辑作为数学的一个分支，模仿着数字的运算规则建立一套“逻辑代数”、“符号代数”那样的人为的数学，不应该继续束缚我们的后代了。 没有物理实在的介入，现代数学不会再有意义了，除了获得一些什么奖，分享着人类劳动的资源，不会对人类作出相应的贡献了。这是任何一个真诚的科学工作者都可以看得清的。难道不是那样吗?
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数学的未来 6.0 欧几里德几何学的公理体系——序
wenmiaosong 2016-5-31 21:26
数学的未来 6.0 欧几里德几何学的公理体系——序 在前面的讨论中，我们已经指出，现代数学的路已经走到头了。把数学看成一个统一的体系，而且一下就可以找到一直走下去的路，是走不通的。我们要走的路是一条在“有限论域”下寻找逻辑自洽的科学体系的道路。这个有限论域下的科学体系必定是一个数学和物理之间建立了合理关系的整体性的自然科学体系，是人类在一定历史条件下建立起来的人类思维和人类实践之间的具有和谐关系的科学体系。当然这样的科学体系还要发展，它的发展不是沿着一条形而上学的发展道路，而是沿着否定和在否定的、辩证的道路曲折地发展的：不但要向前不断的扩大有限论域，还要不断地向后与已有的公理体系建立起更加合理的逻辑联系。走这条路的最大的困难，就在于我们不但要向前看，要不断假如人类实践的最新材料，还要向后看，不断地与“已有的公理”建立合理的逻辑联系。实际上与“已有公理”建立合理的逻辑关系，是一句极为模糊的话，因为实际上并没有已经存在的“已有公理”，让你去链接。这从20世纪的现代数学发展中，也可以看到：所有的“已有公理”和“最早公理”实际上都是那个时代的人想出来的，没有一条是已有的或最早的摆放在那里的人人都可以感受的“公理”是现成的，等待着数学家去链接的。它们都是在那个时代立被约定出来的。当然也不是什么也没有，完全是20世纪的数学家的头脑里约定出来的。实际上20世纪的数学家也是按照人类长期的思维和实践的积累来思考来约定的。已有的和最早的公理都是质朴的、隐喻的、矛盾的，都是无法真正与之链接的。20世纪的数学家们就是这样，先把那些模糊不清的“已有公理”、“最早公理”约定成合适于连接的形式。但是在今天看来他们的约定所得到的形式依然是质朴的、隐喻的、矛盾的。这就是我们今天还得回过头去从新梳理所有的逻辑关系。当然这不是说，20世纪的数学家们的工作都是白做了，不是白做了，我们的从新梳理是对他们梳理过的体系进行再梳理。如果认为他们走过的路，我们只要继续往前走就可以了，那我们的头脑就太简单了，简单得比霍金还要简单了。 为什么我们要从欧几里德的几何学开始逻辑梳理呢？逻辑梳理必须是具体的，不是哲学讨论式的，而要有实实在在的比古希腊的经典逻辑推理和20世纪数学家的数学演绎推理更加精细、更见准确的推理。“有限论域”就是为这样的梳理所提供的新时代的哲学的逻辑的工具。 欧几里得几何学是人类历史上一个最伟大的科学体系之一。我们现在所用的从“公理”出发，通过逻辑推理，推导出定理的“证明”的方法，以及被 “证明”了的定理可以作为公理，用来证明新定理的一整套逻辑推理的数学方法，都是从欧几里的几何学而来的。在这样一个“平面几何”到“三维空间”，科学体系，经过了一代又一代人的不断的梳理，到我们现在看起来依然充满矛盾和混乱。看起来，经典逻辑推理的方法，在欧几里德的几何学中得到的最充分的体现。从欧几里德的体系，我们可以推导出“所有”的平面几何的定理，来证明这样一套经典的逻辑推理体系的合理性。但是在欧几里德的平面几何中依然隐含了两个说不清楚的内容： 第一、什么是“公理”。“公理是人人可以理解的道理”，这样的话是不是还不够明确？没有学过欧几里德的平面几何学的人算不算“人人”的范围，那些人是不是都能够理解平面几何中的公理？这还不是最主要的，没有学过平面几何的人可以去学习，人类思维和社会的发展总是在学习的过程中才有可能实现。根本的问题是欧几里德几何学到底是不是具有人人可以理解的公理性，不是学习了就清楚了，而是越学习提出不同看法的人越多。 第二、什么是“所有的几何学定理”？到底需要有多少那样的“公理”才算是足够了？也就是说欧几里德的体系的“完备性”同样依然受到质疑。 也就是说，人们对于欧几里德几何学的理解是永远不会结束的，永远都会不断的发展。在古希腊那个时代，人们并不把它作为经典逻辑推理的典范，就像那个时代的亚里斯多德所说的，逻辑学只是用来划分不同“学科”，使一个学科的知识和另一个不同学科的“知识”之间严格的区分开来。那时候，“几何学”与“算术学”是两个不同的学科，两者的“知识”是不能相通的。但是笛卡尔把“几何学”和“算术学”统一起来了，建立了“解析几何”的“新学科”。并对经典逻辑的只能在不同学科内部进行推理的观念提出了挑战，提出了用“逻辑”来链接成一条人类“所有的知识”的“长链”的新观念。这是对经典逻辑的第一次挑战，也是经典逻辑学一次最大的挑战和发展。 这种对于人类知识的发展的观念实在是不容易被人们所接受的：原来知识的发展只是对于已有知识的挑战和否定中才能够实现，而不是把一个、一个的完美的新公理的叠加到原有的公理上就可以发展起来的。但是这句话也容易被误解，那样一来人类的知识总是在等待着被否定，也就是说越来越不确实了。那么，人类的知识到底是越来越多了还是越来越少了，人类的思维到底是在不断的进步呢？还是在不断的倒退呢？当然人类的知识是在发展，是在进步的，但是也同样在变得更加荒谬和混乱。“道高一尺，魔高一丈”。那才是人类知识发展的真实过程。那种否定过程中的进步确是不容易被正确地理解，但是人类必须学会、必须尊重那样的辩证的思维发展的道路。 知识的发展实际上有两个相反的过程所组成的，积累的过程和否定的过程。这也就是人类思维发展的“有限论域性”的基本观念：大自然的无限性和人类的有限性，以有限的人类去认识无限的大自然就必然要有一个有限论域性；就像亚里斯多德所提出的，由于人的实践总是在极为有限的范围内进行的，不同的人群还必然会在各自不同的“有限论域”内进行着活动，积累着他们的知识。所以逻辑对于不同范围内活动的人，是不会相通的。对于某一时期在那些有限论域内思考着、实践着的人群，是在积累着知识，那种情况下，人们的知识也是会在积累中前进的。但是，随着实践和思维活动的积累，人们的知识扩展了，渐渐地那个有限论域已经容纳不了他们的实践和思维的内容了，那些知识无法解释实践的新发展，反过来就会成为思维和实践发展的障碍了。但是在一个特定时期，一个特定领域内积累了很多知识的人，特别是好不容易继承了那些知识的同时，也继承了那些知识给他们带来的种种人间的好处的时候，那样的一群人总会有意无意地成为人类思维和实践发展的障碍。在那个时候，“否定”就成为人类思维和实践发展的根本出路，而且那样的“否定”总是比积累要困难得多，要在人世间掀起一些波涛。人类是在进步，但是在那样的时期，人类的思维也会倒退，愚昧和邪恶也会以更加疯狂的速度增长。没有“否定”也就没有进步。这样的发展观在自然科学的发展中也会遇到困难，但是我们相信，自然科学的发展是不以人们的意志为转移的，它总能冲破人间的重重障碍，向前进的。但是那样只有否定中才能发展的观念，在社会学中重要得到承认，就困难得多了。我们中国人的思维有一个好传统，那就是“取法自然”的观念。“取法自然”实在是中华古文明中的一个最伟大的观念，但是那也和西方人的相信“人皆有罪”，只有依赖上帝的指引才能认识真理一样。当人们为了“国家”，为了一群人的既得利益的时候，取法自然，相信上帝，也就统统抛到脑后了。 但是被否定的理论，实际上也只是否定那些与“有限论域”密切地链接在一起的那部分理论，尽管在那个历史时期，那部分理论会成为争论的焦点，好像一切都决定于那个观念的对与错了。但是在人类历史继续前进的时候，那个激烈地争论过的观念，已经成为人人可感受的公理了。而新的实践和思维所面对的问题，常常又与那个争论过的问题有关，而那个被否定了观念中实际上还是包含着很多合理的内容，有的是更为深刻的，新层次上的合理内涵，所以还有一个“否定之否定”的问题。但是作为科学工作者，他的任务不是凭着“否定”还是“否定之否定”去猜测，也不能满足于哲学的讨论，最后还是要凭着逻辑和理性的结合，既要有无矛盾性的逻辑演绎，又要有理论与实践的可靠的“合理关系”。这种“合理关系”也就是“有限论域”下的“无矛盾性”和“完备性”的结合。没有有限论域，像20世纪的数学家们所发现的，在他们的公理化的集合中，逻辑的“无矛盾性”和逻辑的“完备性”是无法统一的。要统一还得有一个逻辑性质，那就是“可靠性”。实际上人们只能在一定范围内，即“有限论域内”来得到“无矛盾性”和“完备性”之间的统一。没有绝对的”完备性”，人类建立不了对于整个大自然的完备的公理体系，只能建立有限论域下完备的公理体系；人类也得不到绝对的“可靠性”，只能得到有限论域下的可靠性。现在的问题就是我们不能满足于“有限论域”的讨论，不能把“有限论域”作为一种讨论式的哲学。而必须把它与逻辑推理和数学演绎的逻辑推理建立起明确的联系。当然，要前进，就要不怕可能会掉入错误的陷阱。那也不可怕，因为人总是要犯错误的，被历史所否定并不是一件可怕或可耻的事。为了个人或集团的利益而阻碍社会的发展才是可耻的，但这样的人并不会很多，这就使我们对科学的发展总是抱有信心理由。 我们讨论欧几里德体系，就是把欧几里德体系作为一个，在被不断的否定和再否定的过程中，获得不断发展的科学体系来讨论的。前面说过，笛卡尔就是对于欧几里德体系的有限论域的封闭性进行挑战而使得欧几里德体系和数字的运算体系联系在一起而给了欧几里德体系以新的内涵。其实牛顿和莱布尼茨的时代是对于欧几里德几何学进行第一次重新思考的时代。牛顿首先提出了“画直线不是欧几里德几何学的事，是欧几里德几何学之前已经‘会’了的事”，这句话实在是不大好理解，欧几里得几何学里看起来并没有对于画直线作严格的说明，但是欧几里德以前已经学会的画直线，到底是指什么呢？。笛卡尔的“解析几何”被那个时代的“知识界”所接受了，但是它的那把逻辑的“利刃”却成为很多西方知识界批判的对象，以后在“西学东渐”的时候，又成为东方知识界所难以逾越的一道障碍。 在上个世纪初的时候，在保皇党人的指导下，满清皇朝终于接受了“西学”，办起了“新学”。这个“新学”是什么呢？就是“中学为体、西学为用”。什么是“体”，什么是“用”？“用”就是工具，“体”就是体系。在“中学”的体系下，把西方的知识拿来“用”。我们把欧几里德几何学作为一门重要的学科，引入到我们的“新学教育”，但并不能证明“把任意弧三等分是不可能的”。但是直到退休以前，我也还是不知道怎样来证明这个问题。我们的教育不主张在一般的知识分子中进行“逻辑”的教育。因而直到改革开放以前，对于西方的科学体系中的“逻辑推理”总是无法在国民教育中科学地展开。在社会学中那样的情况就更加严重了。它是我国出现“文化大革命”的土壤，全世界都没有那样的出现“文化大革命”的土壤，唯独中国有，这样的事就复杂得多了。不是我们自然科学工作者能够完全说得清楚的。问题看起来好像在于，我们在吸收西方的思维体系的时候，总是觉得自己有一个比西方要更好的思维体系。但是我们那个更好的思维体系又是没有逻辑推理的理性思维为依据的，所以总是说不明确的。我们总是把西方的思维体系中的整体性的概念割裂开来，一样、一样的具体的观念，都可以让我们作为工具拿来用，而那个体系仍然必须保留着我们自己原有的，而不必去考虑逻辑和理性的约束。我的母校把保皇党人的“厚德载物”在改革开放以后，拿来作为“校训”，这实际上也就是“中学为体，西学为用”的意思。我总是搞不清楚，我们的能够载得起西方世界所有工具的“厚德”到底是什么？实际上这个“后德”就是“为体”的“中学”。也就是今天有些人在那里坚持的“毛泽东思想”。我们太长的时间把圣人和有权人的话作为公理来膜拜了，三千多年的“皇天后土”下的崇拜思维，使广大公众对于自身的独立思维能力已经处于完全的麻木了。 我们的大众好像与西方的差别就是比较容易接受没有逻辑的矛盾思维。其实矛盾思维，在逻辑达不到的地方，看起来也是有道理的。具有矛盾思维传统的公众容易看出形而上学思维中的公理性的缺失，但是他们往往不大在乎用什么新的合理的逻辑思维体系去代替它。相信“以暴易暴”，当他感觉“法”不合理的时候，宁愿“以暴抗法”。我总觉得，现在是认真讨论那些问题的时候了。如果我们不能在自然科学上讨论清楚，要在社会学和人文学中把它搞清楚就更加困难了，因为社会学和人文学实际上是很难有客观标准的，它的标准总是与人间的利害联系在一起的。 在西方，牛顿和笛卡尔以后的四百年来，进一步出现了否定欧氏几何的数学严格性和物理实在性的两方面的挑战：数学界总是担心几何学的不严格性会破坏数学的严谨性，而理论物理学家的数学中，总是否定欧氏空间的物理实在性，想用各种非欧空间来代替欧氏空间。到20世纪初，达到了最高峰。爱因斯坦的下面一段话：“数学定律越和现实有关，它们越不确实；若它们越是确定的话，它们和现实越不会有关”。这段话是爱因斯坦对于数学与物理实在关系的一段最难以理解的说法。如果像爱因斯坦所说的那样，数学和物理实在就不可能有合理的关系。而爱因斯坦所指的数学与物理实在不可能有确实的联系，实际上就是指欧几里德的“空间”与物理实在的合理联系。怎样理解20世纪的数学与物理学的矛盾，这就是历史留给我们这一代所要去搞清楚的问题。 每一次对于欧几里的几何学的“否定”就是对于欧几里几何学的科学体系的一次大的发展，但是每一次那样的发展，总是给人们留下更加隐蔽、更加复杂的观念需要新的否定。这种否定的过程就是对于人类思维和人类实践之间的合理关系的更加深刻的思考过程。牛顿、笛卡儿是这样，欧拉、黎曼是这样，希尔拜特、爱因斯坦也是这样；为什么我们中国人不应该这样去做呢？
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经济学梦
lxj6309 2015-12-17 10:24
偶读顾险峰 博主的谈几何博文（http://blog.sciencenet.cn/blog-2472277-936303.html），虽然不懂其高深的数学理论，但是，想着如何能在经济学与几何学之间搭起一座桥梁，浮想联翩。又想起华罗庚先生在几何学与分析学之间的结合工作，更加坚定了把一国的经济系统运动表示为经济空间的演化的信心。但是，自身数学能力有限，恐不能完成。曾尝试建立经济空间的指标体系，但是尚未成功。鄙人的一个科学观点是：内部再复杂的系统，在一定的结构层次上都是可以处理的，表现为简单！太阳系很复杂，在大结构上依然可以被总体运算。现在，物理学家正处理宇宙演化问题，就是在大尺度上，宇宙可以简化为能处理的物理模型。
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几何学的一点想法
LeeSichen 2014-7-21 11:59
几何学，从解析几何开始，然后射影几何与古典微分几何，从而微分流形与黎曼几何。古典微分几何与微分流形，采用多卡莫，曲线与曲面的微分几何,Boothby,微分流形与黎曼几何引论。有了这样的基础，得以开始黎曼几何、复几何等学习研究。 事实上，我并不了解几何学的前沿，又暂没有对于几何分析的热度，限于偏微分理论的无知过多，却极大热衷于经典理论的学习研究，微分几何与代数几何必定有着深刻的联系，从而令一大批代数几何学家以很大的热情从事复Hodge理论。另外,p-adic Hodge理论，则是很多数论学者热衷的工作。 自学与讨论班要尽可能结合在一起，研究生讨论班还是很多的，涉及方向很多，不要仅仅局限自己的业务方向，而代数几何很大程度上做了极好的桥梁。自己要花很多时间去做好的工作，不在于多，而在于工作的质量。 我也了解到几何学有一些略显冷门的领域，如离散几何或者有限几何。虽然这些东西很难作为本行，能够有业余时间做一些有趣的工作，也是极好的事情。我的几何十分薄弱，罗巴切夫斯基的双曲几何，还有人做吗，多吗？特别是爱因斯坦将相对论理论建立在四维黎曼流形的基础之上，而黎曼几何也确实统一了欧式几何、罗氏几何等，在某种意义上。而克莱因的爱尔兰纲领，则是很好的发展。而那些看似极为几何化的问题，未见得真正得以完全统一，而是一些甚至一系列具体而且好的工作。 谈老师在2013年暑期学校代数几何课程上，说到代数几何，仅仅抽象的从而热衷于拜读Grothendieck的圣经，好的工作开展起来，是十分困难的；尽管这一领域本身就困难重重，要多掌握一些例子，特别是几何的例子。代数几何应该有着很强的几何味道，或者像这样的主流学科，能够做出多领域联系的工作，也就真正做出代数几何的另一种味道了。 2013年8月9日写于数计学院101
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朴素的公理化思想与《几何原本》的公理体系
热度 2 primeacademy 2013-6-26 22:39
数学的开端和萌芽是随着人类社会的出现而出现的，但正如著名数学史家 M. 克莱因所言，作为一门有组织的，独立的，理性的学科来说，在公元前 600 年到公元前 300 年古希腊学者登场之前是不存在的 . 古希腊数学之所以可以得到这样的赞誉，不仅由于它所具有的相对完整的演绎体系，更在于它将数学看成是探求自然界真知的重要方法和途径，使得数学得以在理性的高度与哲学和逻辑学联系在一起，发展成为人类理性文明的最高级形式 . 坚持一切数学结果必须根据明白规定的公理用演绎法推出，是古希腊人对数学的最大贡献 . 这种朴素的公理化思想的萌芽在亚里士多德那里得到较为系统的发展，他对定义，公理和公设的论述都是合乎现代精神的 . 比如，他认为定义只不过是给一批文字定个名，定义必须用现存于所定义事项的某种东西来表述，他还指出，一个定义只能告诉我们一个东西是什么，并不说明它一定存在，证明存在性要用构造（ Construction ）的方法 . 对于一切学科所共有的真理，他称之为公理，而只为某一门科学所接受的第一性原理称为公设，公理和公设都是不言自明的，公理和公设的数目越少越好，只要它们能用以证明多有的结果 . 这些思想都被欧几里得在《几何原本》中所采纳 . 欧几里得生活于公元前 300 左右的亚历山大城，关于他的生平几乎没有可供参考的历史记载，但他却因为著名的《原本（ Elements ）》，即我们通常所说的《几何原本》（以下均称《几何原本》），而成为最为现代人所熟知的古希腊数学家 . 《几何原本》由古希腊文写成，成书于古希腊文明的亚历山大利亚时期，最初被译成阿拉伯文，拉丁文得以传播 . 全世界有 20 多种文字的版本， 19 世纪末，有一位学者曾研究指出，自 1482 年到 19 世纪末，《几何原本》各种文字一共出版了 1000 多版 . 中国最早的译本是 1607 年意大利传教士利玛窦（ Matteo Ricci ， 1552-1610 ）和徐光启根据德国人克拉维乌斯校订增补的拉丁文本《欧几里得原本》（ 15 卷）合译的，定名为《几何原本》，几何的中文名称就是由此而得来的 . 他们翻译了前 6 卷，后 9 卷由英国人伟烈亚力（ Alexander Wylie ， 1815-1887 ）和中国科学家李善兰（ 1811-1882 ）在 1857 年译出 . 欧几里得《几何原本》共分 13 卷，内容包括了古希腊数学（不仅仅是几何）的几乎所有内容 . 按照亚里士多德的朴素的公理化思想框架，整本书以 5 条公理和 5 条公设以及一些定义为基础，用演绎的方式，将所有的数学命题以证明的逻辑顺序组织在各卷之中 . 公理，公设及各卷具体内容如下，为了能够更好地理解公理和公设文本的意义，我们将英文译本流行的表述也列出来，以便于对照理解： 5 条公理（ Common Notions ）： （ 1 ）等于同量的量彼此相等 . Things equal to the same thing are also equal to one another. （ 2 ）等量加等量，其和仍相等 . And if equal things are added to equal things then the wholes are equal. （ 3 ） 等量减等量，其差仍相等 . If equals be taken from equals the remainders will be equal. （ 4 ）彼此能重合的物体是全等的 . And things coinciding with one another are equal to one another. （ 5 ）整体大于部分 . And the whole greater than the part. 5 条公设（ Postulates ） （ 1 ）由任意一点到另外任意一点可以画直线 . Let it have been postulated to draw a straight-line from any point to any point. （ 2 ）一条有限直线可以继续延长 . And to produce a finite straight-line continuously in a straight-line. （ 3 ） 以任意点为心及任意的距离可以画圆 . And to draw a circle with any center and radius （ 4 ）凡直角都彼此相等 . All right angles are equal to one another. （ 5 ）同平面内一条直线和另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角的和小于二直角的和，则这二直线经无限延长后在这一侧相交 . If two right lines meet a third line, so as to make the sum of the two interior angles on the same side less than two right angles, these lines being produced shall meet at some finite distance. 5 条公理是对“常识性”的关于“ things ”及其关系（相等，加，减，整体，部分）的事实的陈述，这些事实更多是人们对周围环境的直观认知的结果，也正因此欧几里的将其与后面的 5 条明显关于几何的事实区分为“公理”和“公设”，中文译本通常将“ things ”译为“量”，在中文意境中多了很多数学的意蕴，恰当与否是值得商榷的 . 《几何原本》各卷具体内容如下： 第 I 卷：几何基础 . 重点内容有三角形全等的条件，三角形边和角的大小关系，平行线理论，三角形和多角形等积（面积相等）的条件，第 I 卷最后两个命题是毕达哥拉斯定理（即勾股定理）的正逆定理命题 1.47 ， 1.48. 第 II 卷：几何与代数 . 讲如何把三角形变成等积的正方形；其中 2.12 ， 2.13 命题相当于余弦定理 . 第 III 卷：本卷阐述圆，弦，切线，割线，圆心角，圆周角的一些定理 . 第 IV 卷：讨论圆内接和外切多边形的做法和性质 . 第 V 卷：讨论比例理论，多数是继承自欧多克斯的比例理论 , 被认为是 最重要的数学杰作之一 . 第 VI 卷：讲相似多边形理论，并以此阐述了比例的性质 . 第五，第七，第八，第九，第 X 卷：讲述比例和算术的理论；第 X 卷是篇幅最大的一卷，主要讨论无理量（与给定的量不可通约的量），其中第一命题是极限思想的雏形 . 第 XI 卷，十二，十三卷：讲述立体几何的内容 . 除第 I 卷多给出的 5 条公设和 5 公理条外，每一卷均以若干定义开始，定义之后即以顺序安排命题及其证明 . 比如，第 I 卷包括 23 个定义， 48 个命题，其中第 47 ， 48 个命题就是著名的勾股定理（毕达哥拉斯定理）及其逆 . 第 II 卷有 2 个定义和 14 个命题，其中第 12 ， 13 个命题是勾股定理在钝角三角形和锐角三角形上的推广——余弦定理 . 第 III 卷包括关于圆的 11 个定义和 37 个命题，其中第 35 ， 36 ， 37 个命题是圆幂定理及其逆定理 . 第 IV 卷包括 7 个定义和 16 个命题，涉及到正三角形，正方形，正五边形，正六边形和正十五边形的作图 . 第 V 卷论述了欧多克斯（ Eudoxus ，约公元前 400 年）的比例论，包括 18 个定义 25 个命题， M. 克莱因认为正是比例论使得古希腊人找到利用几何的不可公度量来替代无理数的方法，按照他的观点，他认为：“ 1800 年以前的数学史实际上所走的道路——完全依据几何来严格处理连续量”，“就欧几里得《几何原本》而言，那里并没有无理数的理论基础” . （ M. 克莱因，《古今数学思想（第一册）》，上海科学技术出版社， 2002.7 ，第 82-83 页 . ）这个观点是值得商榷的欧多克斯的比例论之所以可以解决不可公度量（即无理数）的问题，正是因为比例论在一定意义上给出了实数的理论基础，从而使无理数的问题得到自然的解决，我们将在后续章节中详细讨论这个问题 . 第 VI 卷讨论图形的相似性，包括 4 个定义与 33 个命题 . 第 VII 卷开始用几何量和比例的性质研究数论，有 22 个定义和 39 个命题，其中第一个命题就是著名的辗转相除法 . 第 VIII 卷，第 IX 卷继续讨论数论问题，这两卷都是直接从命题开始，第 VIII 卷包括 27 个命题，第 IX 卷包括 39 个命题，其中第 20 个命题是有名的素数有无穷多，命题 35 给出了等比数列求和公式的一个漂亮的证明，命题 36 给出了一个数是偶完全数的充分条件 . 《几何原本》内容的设计与安排让我们不得不惊叹于古希腊人的智慧（尽管德国数学家 F. 克莱因（ F. Klein ， 1849-1925 ）认为这有些夸大其辞），实际上，《几何原本》不仅是一本几何专著和教材，它囊括了几乎全部古希腊人所知道的数学，几何，数论与代数，并用公理化方法和几何语言统一在一个系统中 . 缅怀和重温这样的经典，感受先贤智者千年智慧的荣光，将会是一件快乐而幸福的事情 . ( 本文摘自博主所著《几何基础：几何学的起源与发展》，即将由北京师范大学出版社出版。 )
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学车杂记（一）汽车驾驶的几何学
热度 1 qianlivan 2013-4-15 21:14
今天早上考科目二，昨天晚上一直在思考。原因在于，前段时间去驾校学车，每次的教练讲的倒库和侧方停车方法都不一样，搞得我无所适从。我认为，一定有某种原则可以把这些方法统一起来。 其实倒库和侧方停车就是在一个有限大小的平面内找到一条可能的路线供汽车道行，进入库中。这样的路线是无穷多的，每个人都有可能会有自己独特的方法，所以如果接受两个教练的指导，基本上就晕了。真正靠谱的是进行一些分析，以便在不同的情况下能正确分析形势，做出合适的操作。其实这就是一些几何问题，我感觉可以归结为以下一些原理： 1. 如果汽车状态未变（包括座椅位置、倾斜、反光镜角度），那么反光镜中看到的重合的两点在实际地面上也重合。 考虑到镜像的点和实际的点一一对应，这个原理显而易见。根据这个原理，就可以根据反光镜中某个固定点和车的相对位置对车进行微调，以便完成倒库。 2. 观察侧方远处的点，对于不同的座椅位置应选取不同的参考点。 可以通过极端假设的方法考虑这个原理。假设远方的点位于无穷远，那么连接汽车上各点与此点的线互相平行，于是，参考点移动的距离等于座椅移动的距离。通常倒库的时候，侧后角距离车的距离大约是车内尺度的10倍，参考点移动的距离大约是座椅移动距离的10/11，接近相等。所以教练所说的开始打轮的参考点位置和座椅位置无关的说法是错误的！ 3. 镜中点运动方向和车的运动方向相反。 这是显而易见的。 记住这三条原理，就可以不因为不同的教法而迷惑了，而在出现操作不到位的情况下也能自己进行一些调整，不至于太紧张。
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基于野外露头的储层构型原型模型分析
kejidaobao 2012-9-21 15:26
在油藏开发中后期，受储层非均质性、开发方式等因素影响，剩余油分布日益复杂，多呈现“整体分散、局部富集”的特点，而传统的层内、层间及平面非均质性研究已无法解决高含水期开发过程中存在的一系列矛盾。针对这一问题，国内外学者在开发地质学领域引入了储层构型的概念，其研究核心是以层序地层学、沉积学等理论和方法为依据，深化砂体内部储层结构及渗流屏障认识，旨在通过对地下储层中油、气等流体赋存空间的精细刻画，为剩余油挖潜和提高油藏开发效果提供依据。 目前，储层构型的研究主要集中在两个方面。其一，通过对现代沉积、野外露头的研究，明确特定沉积储层内部不同级次构型界面类型及特征，揭示不同级次单元定量几何学特征及叠置关系，从而建立不同类型沉积储层的原型模型，为油藏覆盖区储层构型的识别提供理论依据。其二，以原型模型为指导，通过钻井、测井、生产动态等资料，开展油藏区储层构型的识别和预测，从而预测剩余油分布。油藏区储层构型识别及预测是构型研究的核心和难点，涉及储层构型单井测井识别、井间储层构型界面与渗流屏障预测、基于储层构型的三维地质建模等多个方面。 近年来，储层构型研究在大庆、胜利、大港等油田的开发实践中取得了丰硕成果，为高含水、特高含水油藏的优化开发和综合调整提供了理论支持。然而，对储层构型的研究主要集中在河流相、三角洲前缘相等河道化储层中，而对滨岸相等连片状厚砂体储层的研究相对薄弱。野外露头和油藏区生产动态资料表明，尽管滨岸相储层砂体相对比较均一，但其内部储层结构同样非常复杂，储层内部不同级次和产状的渗流屏障差异导致了油藏开发过程中流体运移的不同，从而形成了局部富集的剩余油。 《科技导报》2012年第26期19—23页刊登了孟庆芬等的论文“浪控滨岸相储层构型要素分析”，探讨了浪控滨岸相储层的构型界面级次类型及特征，揭示了三级构型单元的类型及其内部渗流屏障产状和规模，明确了滨岸相储层的原型模型。本期封面图片为塔里木盆地浪控滨岸相储层野外露头照片，由徐朝晖、孟庆芬提供；本期封面由金功博设计。 （责任编辑 岳臣）
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混沌的研究就像是海边拾贝壳
wangxiong868 2012-9-19 11:01
几何学的问题是研究世界的形状。人们从日常的丈量大地等生活实践中创造了欧氏几何，研究直线，三角，圆等简单的几何对象。微积分发明后，人们借助微积分的力量，开始研究一些更复杂的几何对象，如光滑曲线，光滑曲面，乃至最一般的光滑流形。这些几何对象都是简单的，光滑的，是过去几千年来几何学研究的主题。 直到非线性动力系统的研究，以及计算手段的突飞猛进，人们才开始意识到，除了那些简单的几何对象之外，还有一大类非常复杂的几何对象。混沌吸引子就是这样一类复杂的几何对象，对其研究才刚刚起步，还有很多未解之谜等待着去解决。 从第一个混沌系统 Lorenz 系统发现以来，混沌学经历了很大的发展，混沌学的极大复杂和极大丰富也超乎人们的想象。我们的研究限定在具有少数个二次非线性项的三维系统，即便是在这样的限定下，仍然有超乎我们想象的丰富性。就像牛顿所说的“只是象在海滩边玩耍的男孩，偶然间发现了一粒比较圆的石头，和一枚比较漂亮的贝壳，就觉得很愉快，但是在我面前，真理的大海还是一片未知。”这个比喻很形象地反映了混沌的研究，对于非线性系统的沙滩，绝大多数是都是发散或平衡点或周期解等，就像平凡无奇的沙子；但偶尔也会发现漂亮的混沌吸引子，就像一个漂亮的贝壳，可以好好玩味一把。我们挑选了其中的一些“贝壳”在此文中与各位读者分享，希望读者喜欢。 2012 年也是庞加莱这位伟大的混沌先行者逝世一百周年纪念，我们愿意以这篇小文表达作者的敬意。文章最后，作者想庞加莱的一句话来结束本文， “科学家并不是因为大自然有用才去研究它，他研究大自然是因为他感到乐趣，而他对大自然感到乐趣是因为它的美丽，如果大自然不美，那就不值得认识，如果大自然不值得认识，就不值得活下去。”
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《时间几何学》一把打开宇宙之门的钥匙
热度 2 crossludo 2012-8-3 19:34
《时间几何学》一把打开宇宙之门的钥匙
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“几何”曾经不是几何学——明末“几何”及相关学科命名新探
热度 5 scicul 2012-6-14 10:56
《科学文化评论》第 8 卷第三期 科学与人文 “几何”曾经不是几何学 明末“几何”及相关学科命名新探 宋芝业 摘要 徐光启和利玛窦一起翻译了《几何原本》，这是一个中西数学、科学甚至文化首次实质性交流的重大历史事件。然而学界目前对“几何”的中西来源及其含义以及与之相关学术的研究颇多值得商榷之处。本文从已有研究出发，通过对原始文献的详细解读，对“几何”、“几何府”、“几何家”、“几何之学”、“几何原本”等词汇的来源和含义提出了与以往不同的观点。 关键词 几何 几何原本 几何之学 几何学 一 引言 在我国古代数学史上，“几何”一词从大约公元前 186 年前的《算数书》开始，一直是表示求解某数多少或某量大小的疑问词 。在古希腊时代前的埃及，几何学是指测地学，而在希腊，“几何”一词转换成一个逻辑学词汇，出现在亚里士多德的逻辑学中 ，相当于今天的数量范畴。最早用“几何”一词来表示一门学科的名称，在希腊科学史家欧德莫斯约公元前 320 年编写的《几何学史》中已有记载 。 1607 年，中国的徐光启和意大利的利玛窦（ Matteo Ricci ）一起翻译《几何原本》，并用“几何之学”一词表达了西方的数学这一学科，“几何”一词也相应地用于表示逻辑学中的数量范畴。这是一个标志着中西数学、科学甚至文化首次实质性交流的重大历史事件，然而学界目前对“几何”、“几何之学”等概念的中西来源及其含义的研究，颇多值得商榷之处。本文从已有研究出发，通过对明末与之有关原始文献的详细解读，试图得到一个更为合理的答案。 二 关于“几何”中西来源及其含义的已有研究 关于徐光启和利玛窦合译《几何原本》中“几何”一词的命名，其来源和含义的讨论已有不少。现综合已有研究，将主要观点及其出处、代表人物列举如下，分别见表 1 和表 2 。 表 1. “几何”一词的来源 编号 主要观点 代表人物 观点出处 1 意译自英文 Magnitude 严敦杰 严敦杰 1959 ，页 31 2 意译自拉丁文 Magnitudo 白尚恕，安国风 白尚恕 2008 ，页 152 3 意译自拉丁文 Quantitae 安国风 安国风 2008 ，页 150 4 音译自英文 Geometry 的 Geo 中村正直、三上义夫和艾约瑟；兰纪正 白尚恕 2008 ，页 369 ； 欧几里得 2003 ，页 635-671 5 音意并译自拉丁文 Geomitria 梁宗巨 梁宗巨 1980 年，页 90 6 “ 几何 ” 是中国固有词汇 梅荣照、王渝生、刘钝； 冯天瑜 梅荣照等 1990 ，页 53-83 ； 冯天瑜 2003 ， 页 567-674 页 表 2. “几何”一词的含义 编号 主要观点 代表人物 1 相当于今天的数学，一切 “ 度、数之学 ” 梅荣照、王渝生、刘钝；安国风 2 测地学 中村正直、三上义夫、艾约瑟；兰纪正；梁宗巨； 冯天瑜 3 量或计量 严敦杰；白尚恕； 注： 观点出处同上表 三 关于“几何”一词来源的辩证 “几何”一词选自中文固有词汇，大家的认识是一致的。“几何”一词所对应的西学词汇，已有研究基本使之明朗了，即“几何”一词意译自拉丁文 Magnitudo 和 Quantitae ，而不是音译。但是，仍有个别不完全一致之处，本部分以综述前人成果为主，并拟将其理顺。 安国风将徐、利译《几何原本》与克拉维斯拉丁文本进行了比对，有力地证明“几何”一词的来源之一是，意译自拉丁文 Magnitudo 。白尚恕将“几何”唯一地对应于 Magnitudo ，有失全面。白认为 Quantitae 是“形学” ， 有待商榷， Quantitae 的对应英文是 Quantity ，汉译为数量，笔者比对了今译亚里士多德《工具论》（中国人民大学出版社， 2003 ）和李之藻、傅汎际（ Francisco Furtado ）的《名理探》（三联书店， 1959 ）的相关部分， Quantitae 翻译为“数量”应是较为准确，在当时“数量”就是“几何”。李之藻与傅汎际合译的《名理探》明确说明“量法”译自 Geomitria ：“审形学分为纯杂两端。凡测量几何性情而不及与其所依赖者，是之谓纯。类属有二：一测量并合之几何，是为量法，西云日阿默第亚（ Geomitria 的汉语音译）。一测量数目之几何，是为算法，西云亚利默第加也。” 音译自英文 Geometry 的 Geo 这一说法的错误性，严敦杰的研究已对其进行了纠正。其错误一是时间的不对应，将几何与 Geometry 对应，在西方已是利玛窦来中国一段时间以后的事，而我们在康熙时代法国传教士白晋（ Joachim Bouvet ）、张诚（ Jean-Franois Gerbillon ）翻译的巴蒂斯（ Ignace Pardies ）的《几何原本》底本中，才发现“几何”与 Geometrie （此词为法文，对应英文为 Geometry ）完全对应 ；二是徐光启和利玛窦所用原文是拉丁文，而不是英文。同时这第二点也说明仅仅意译自英文 Magnitude 这一说法也是不准确的。 音译并译自拉丁文 Geomitria 这一说法也不是明末的原意。安国风已经注意到“李之藻和傅汎际合译的《名理探》就将 Geomitria 音译为‘日阿默第亚’。” 但安先生在同一著作中似乎不同意将其意译为“量法” ，值得讨论。实际上，徐、利二人把这一词汇翻译为“量法”了，利玛窦在《译 几何原本 引》中表述西方数学的基本分类：“几何家者，专察物之分限者也，其分者若截以为数则显物几何众也，若完以为度则指物几何大也，其度与数或脱于物体而空论之，则数者立算法家，度者立量法家，” 在这里他将“度者”立为“量法家”，这与克拉维斯的《导言》是一致的 ，其实在徐光启的时代，汉字“度”的动词含义就是今天的测量。艾儒略（ Giulio Aleni ）的《西学凡》（ 1623 年刊行）也是这样分类的：“几何之学，名曰马得马第加者，译言察几何之道，则主乎审究形物之分限者也，复取斐禄之所论天地万物，又进一番学问。……独专究物形之度与数，度其完者为几何大，数其截者以为几何众，然度数或脱于物体而空论之，则数者立算法家，度者立量法家，……” 与利玛窦的论述几乎完全一致。 根据耶稣会的教育体制，西方耶稣会教育计划中的六科——文、理、医、法、教、道，亚里士多德的逻辑学是他们的必修学科，属于分科研修（医、法、教、道）之前的公共必修课，教材也是统一的。所以利玛窦所说“量法家”与傅汎际说法是一致的，即“量法家”对应的拉丁文是 Geomitria 。所谓 Geomitria 的测地学含义是埃及人的思想，在希腊人、罗马人及其后的“利玛窦们”那里已变成了“量法家”。 四 关于“几何”一词含义的辩证 关于“几何”一词的含义，已有研究文献比较多。“几何”的基本含义其实很简单，就是数和量，即多少和大小，包括数量统称和具体的数和几何图形，关于前者，上文已多有涉及；关于后者，王征曾言：“《几何原本》卷五之首第三界解释：两几何者，或两数，或两线，或两面，或两体，各以同类大小相比谓之比例。” 但是已有研究没有将其明确起来，反而将其他词汇的含义强加给了“几何”。 关于“几何”一词的含义，即 几何一词在汉语语境中的含义， 冯天瑜 先生做了精彩的考证： “几何”本是汉语古典词，义项有三：其一，多少、若干，用于询问数量或时间，如《诗·小雅·巧言》：“为犹将多少 , 尔居徒几何？”《左传·僖公二十七年》：“所获几何？”《史记·孔子世家》：“孔子居鲁，得禄几何？”刘献廷《广阳杂记》：“家私几何？”其二，无多时、所剩无几，如《墨子·兼爱下》：“人之生乎地上之无几何也。”《汉书·五行志》：“民生几何”，注：“几何，言无多时也。”曹操《短歌行》：“对酒当歌，人生几何。”其三，问当何时，如《国语·楚语下》 : “其为宝也，几何矣？”解：“几何世也。”《汉书·五行志》：“赵孟曰：其几何？”“注：师古曰，言当几时也。” 总之， “ 几何 ” 在古典汉语中是作为疑问数词使用的。……这样，利玛窦便把中国士人常用的汉语疑问数词 “ 几何 ” ，改造成为一个表示物体形状、大小、位置间互相关系的数学术语。 但是，冯先生恰恰忽略了中国传统数学文献，“几何”本来就是中国传统数学的最常用术语，中国传统数学典籍如《算经十书》中，作为表示求解某数量多少或大小的疑问词，这一用法数不胜数，《九章算术》中几乎每一道题都有它。 今以徐光启在其翻译《几何原本》之前的著作中所用为例： “算定勾几何，股几何，弦几何，量取数处，便见何等勾股，方得免坍。 ” 笔者做了一个统计，在这一篇仅 5 页（ 32 开）的论文中，他用了 24 次“几何”这个词，并且都是 表示求解大小或多少的疑问词或数量词。 另外，利玛窦并没有完全排斥几何的中文原意，只是做了引申，比如，他也采用“ 其分者若截以为数则显物几何众也，若完以为度则指物几何大也 ”（见前引 ）等说法，这里“几何大”、“几何众”意思是“数量大小”、“数量多少”。 如此看来，前述表 2 已有研究中关于“几何”含义的结论，都是值得商榷的。 相当于今天的数学，一切“度、数之学”和测地学，两种说法都不对。量或计量的说法，如果视为动词，则接近今天的几何学含义，即关于测量的学问；如果视为名词，则缺少了数的方面，也是不全面的。问题的根源在于，三者都把“几何”的含义看作它的引申义了，也就是把“几何”理解为“几何府”、“几何家”、“几何之学”等的简称了。而这些简化是后来的事，在明末还没有出现。“几何府”、“几何家”、“几何之学”等都有各自不同于“几何”的固定含义。 五 与“几何”有关的学术之含义 与“几何”有关的学术主要有：几何府、几何家、几何之学、几何原本。几何府，是《名理探》“十伦”之一，是今天逻辑学的一部分，它在数学原理中的应用是《几何原本》；《几何原本》又是徐光启所称的“度数之宗”，几何家、几何之学是《几何原本》在度（测量）数（计算）之中的扩展。 1 “几何府”的逻辑意蕴 关于“几何”的来历及其在西学中的归属，徐光启和利玛窦在翻译时采用的是“几何府”这一说法，在徐光启和利玛窦的语境中，“几何”的含义是数量，它属于“几何府”。他们所强调的是：“几何”属于“几何府”这一逻辑学中的范畴。《几何原本》开头内容就是明证：“凡历法、地理、乐律、算章、技艺、工巧诸事，有度有数者，皆依十府中，几何府属（“十府”指亚里士多德的十大范畴，“几何”，今译为数量，是其中之一）。凡论几何，先从一点始，自点引之为线，线展为面，面积为体，是名三度（今天所说“三维）。 ” ] 艾儒略则用“宗”来表达“府”的含义，“一门是十宗论，……（其）一为几何，如尺寸一十等” 。 李之藻辑刻的《天学初函》中就有《几何原本》和《西学凡》两书，但他并没有将其译法统一，并且他和傅汎际稍后译《名理探》时，又创造了“府”和“宗”之后的第三种译法——“伦”。《名理探》所讲“五公十伦”的“十伦之二”，即为“几何”，是紧接着“十伦之一——自立体”来讲的。总之，我们可以知道，“几何”这一“府”与逻辑学关系密切。 利玛窦不否认中国有数学研究、只是缺乏逻辑性强的原本之论：“窦自入中国窃见为几何之学者，其人与书信自不乏，独未读有原本之论，既缺根基，遂难创造，即有斐然述作者，亦不能推明所以然之故，其是者己亦无从别白，有谬者人亦无从辩证。” 徐光启对中国数术之学的反感原因之一就是它的“谬妄”，即缺乏明确的逻辑关系。 “算数之学特废于近数百年尔，废之缘有二：其一为名理之儒，土苴天下之实事；其一为妖妄之术，谬言数有神理” ，称数术为“盲人射的”，“俗传者余尝戏目为闭关之术，多谬妄弗论”，“小人之事” 。 而对欧式几何的公理化体系和与之密切联系的演绎逻辑赞赏有加。徐光启说：“下学功夫，有事有理，此书（《几何原本》）为益，能令学理者，祛其浮气，练其精心，学事者，资其定法，发其巧思，故举世无一人不当学……何故？欲其心思细密而已。人具上资而义理粗疏，即上资无用；人具中材而心思缜密，即中材有用；能通几何之学，缜密甚矣，故率天下之人而归于实用者，是或其所由之道也。”此书还有“四不必”、“四不可得”、“三至三能”之论，都是称道几何原本的逻辑性。首先，《几何原本》对格物致知有作用：“几何之学，深有益与致知。明此，知向所揣摩造作（致知方法），而自诡为工巧者，皆非也，一也。明此，知吾所已知不如吾所未知之多（虚心的态度），而不可算计也，二也。明此，知向所想象之理多（方法），虚浮而不可妥也，三也。明此，知向所立言之可得而迁徙移易也（确定性），四也。 ” 可见，他站在《几何原本》的立场上，对传统思维方式和“所立之言”都产生了怀疑。 其次，《几何原本》对人的德性的作用：“此学不止增才，亦德基也。”因为，“燥心人不可学，粗心人不可学，满心人不可学，傲心人不可学。 ” 再次，《几何原本》在徐光启眼里真是一根“金针”，是绘制理想蓝图、实现人生目标的工具。有了它，就能“古学绝废二千年后，顿获补缀唐虞三代阙典遗义” ，就像他对李之藻的《同文算指》的评价那样：有了《几何原本》、《同文算指》之类的书后，“虽失十经（算经十书），如弃敝履矣。 ” 我们现在是把《几何原本》看作一本数学书的，与徐光启同时代的人几乎都没有把几何原本看作一本数学书，而是看作一本探求万事万物之理的逻辑方法书。 徐光启把它看做数学的根本而不是数学本身：“《几何原本》者度数之宗，所以穷方圆平直之情，尽规矩准绳之用……盖不用为用，众用所基，真可谓万象之形圉，百家之学海。” 王征在其著作中强调了邓玉函（ Terrentius ）的观点：“邓（玉函）先生则曰：‘译是不难，第此道虽属力艺之小技，然必先考度数之学而后可。 盖凡器用之微，须先有度有数。因度而生测量，因数而生计算，因测量计算而有比例，因比例而后可以穷物之理，理得而后法可立。不晓测量、计算，则必不得比例；不得比例，则此器图说必不能通晓。测量另有专书，算指具在同文，比例亦大都见《几何原本》中。’” 2 “几何之学”相当于今天的数学 “几何之学”，在徐光启、利玛窦和当时的其他人看来，所对应的拉丁文是 Mathematicarum 。艾儒略的《西学凡》（ 1623 年刊行）即采用这一用法：“几何之学，名曰马得马第加者，译言察几何之道，则主乎审究形物之分限者也，复取斐禄之所论天地万物，又进一番学问。 ……独专究物形之度与数，度其完者为几何大，数其截者以为几何众，……” 。李之藻和傅汎际也是持这一看法：其“明艺之二”明确界定了今天所说的数学为“审形学，西言玛得玛第加，” 所以“审形学”、“察几何之道”、“几何家”，才是“几何之学”的同义词。笔者对徐光启和利玛窦关于西方数学的著作进行了考察，在利玛窦的表述，比如《译 ﹤ 几何原本 ﹥ 引》（对该文的作者学界也有不同看法，本文认为是利玛窦）中比比皆是，但徐光启关于《几何原本》的论述，一般不单独用“几何”一词，多数情况下，“几何”和“原本”同时出现。 上文也已经说明过，利玛窦、艾儒略和李之藻、傅汎际等人均将几何家称为“量法家”，将“量法”作为 Geomitria 的汉译。 六 结语 综上所述，本文在梳理了前人对“几何”、“几何之学”等概念命名研究的基础上，作了进一步探索。认为“几何”一词取自中国传统数学中求解某数量多少或大小这一含义，对应拉丁文词汇 Magnitudo 和 Quantitae ；“几何府”是西方逻辑学中的的数量范畴；“几何家”、“几何之学”、“审形学”、“察几何之道” 的学科含义则是西方的数学，它对应拉丁文词汇是 Mathematicarum ；“量法家”、“度学”才是今天的几何学，它对应的拉丁文是 Geomitria 。明末的“几何”并不是几何学。 从数学发展史来看，在中西方，数学、几何等词汇，在其历史发展中，所代表的思想都是不断发生变化的。在清前期梅文鼎时代，“几何”也曾被广泛用于代表西方数学，到严复时代，人们用“形学”表示今天的几何学。数学是关于现实世界空间形式和数量关系的科学这一说法，在西方是恩格斯时代的事，在中国， 20 世纪 30 年代才被固定下来。 参考文献 艾儒略 1978 ．《西学凡》． 1623 年刊行．见：李之藻辑刻．《天学初函》．台北：台湾学生书局．页 37-38 ． 安国风 2008 ．《欧几里得在中国》．纪志刚等译，南京：江苏人民出版社．页 473 ． 白尚恕 2008 ．《中国数学史研究——白尚恕文集》．李仲来主编．北京：北京师范大学出版社．页 368 ． 杜瑞芝 ( 主编 ) 2000 ．《数学史辞典》．济南：山东教育出版社．页 407 ． 冯天瑜 2003 ．晚明西学译词的文化转型意义．《武汉大学学报人文科学版》， 11: 567-674 ． 傅汎际译义，李之藻达辞 1959 ．《名理探》．北京：三联书店， 1959 ．页 12 ． 梁宗巨 1980 ，《世界数学史简编》，辽宁人民出版社．页 90 ． 利玛窦口授、徐光启笔受 1939 ．《几何原本》．北京：商务印书馆．页 1 ． 梅荣照、王渝生、刘钝 1990 ．欧几里得《原本》的传入和对我国明清数学的影响．见 : 梅荣照主编，《明清数学史论文集》．南京 : 江苏教育出版社．页 53-83 ． 欧几里得 2003 ．《几何原本》．兰纪正等译．西安 : 陕西科学技术出版社． 孙宏安 2008 ．《中国古代数学思想》．大连：大连理工大学出版社．页 49-51 ． 徐光启 1984 ．《徐光启集》．上海：上海古籍出版社．页 59 ． 徐宗泽 2006 ．《明清间耶稣会士译著提要》．上海：上海书店出版社．页 199 ． 亚里士多德 2003 ．《工具论》．余纪元等译．北京：中国人民大学出版社．页 5 ． 严敦杰 1959 ．几何不是 Geo 的译音．《数学通报》 , (11): 31 ． 张柏春等 2008 ．《传播与会通—— ﹤ 奇器图说 ﹥ 的研究与校注（下篇）》．南京 : 凤凰出版传媒集团 / 江苏科学技术出版社．页 20 ． 作者简介：宋芝业，内蒙古师范大学科学技术史研究院教师，主要研究领域：数学思想史，科学技术哲学。邮箱： asoon01@sina.com. 内蒙古师范大学科研基金项目：徐光启与薛凤祚中西数学会通模式比较研究（ RWYB1021 ）。
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[转载]著名华裔数学家丘成桐—几何学赏析
crickxiang 2012-4-25 09:34
主题：著名华裔数学家丘成桐先生——几何学赏析 时间：2011年11月4日 地点：中国人民大学 主办：中国人民大学人文院和艺术学院 编辑：陈芳 丘成桐（Shing-Tung Yau，1949年4月4日－） ： 著名华裔数学家，哈佛大学终身教授、美国科学院院士、中国科学院外籍院士及多个国家科学院的外籍院士。曾获得数学界最高荣誉菲尔兹奖、有数学家终身成就奖之称的以色列沃尔夫数学奖、瑞典皇家科学院克拉福德奖等数学界顶级荣誉。 part01 几何起源：毕达哥拉斯—柏拉图-欧几里得-傅里叶 “数学跟大自然一样广泛、丰富，和大自然走的是相同的轨道，也共同见证着宇宙的包容、简洁、稳定”。 今天很高兴在这边做这个演讲，我对文学、人文科学其实都不是很懂，都是自学，所以讲人文方面都是班门弄斧，希望你们专家能够原谅。今天讲的几何学倒是我的专长，我研究几何学45年，对几何一直都是很喜欢，我的数学就是从几何学来，以后更应用到很多方面。 现在我们来讲几何的起源。几何起源很老，基本上有4000年的历史。古代人在生活实践中发现了很多简单的几何图形，发觉它们满足了一定的规律——简洁、明了，具有一种美感。于是他们开始研究几何，这种美感令人赞叹。几何图形，在埃及、巴比伦都有很多论述，但这些论述都不是系统化的。 1、泰勒斯。 到公元前68年，在希腊文明中才得到明确的推崇。第一位对几何有兴趣的希腊哲学家叫泰勒斯（Thales），他开始晓得不能够用神秘宗教来解释自然，要创造一个演绎的方法，利用逻辑的思想来统一自然界与几何的现象。这是一个很大的突变，以前哪个国家的文化都没有这种想法。 2、毕达哥拉斯 他的学生毕达哥拉斯(Pythagoras)采取了定理证明的概念，毕达哥拉斯学派很重要，影响了整个西方的科学思想，这里不是一个人，是一群数学家。他们认为宇宙的实体有两个：一个是数字，万物都是数字，数的存在是有限方面的实体；一个是无限的空间，空间是存在的无限的实体。数字跟空间合在一起，生出宇宙万象。这个概念一路影响到今天，不仅仅是几何本身，早在16世纪发展解析几何的时候，就用到坐标系统、用到数字来描述，到现在计算机能够用数字来描述，世界上一切东西都跟这个有关；而我们看到物体的分布影响到空间几何，也受到空间几何的影响，这个概念也是近代物理爱因斯坦推崇的主要概念。 3、柏拉图的三个著名几何问题 第三个重要的人物是柏拉图（Plato），他是一位哲学家也是数学家，他在雅典郊外成立了一个很出名的学院叫Academy（也称柏拉图学园），相传他的文章讲“不懂几何学者，不能进这个学园的门”，可见柏拉图在希腊学界多么重视几何学。这种理念也影响了西方科学相当长的时间。柏拉图虽是哲学家，但他对数学有很浓厚的兴趣，他认为几何上有五种正多面体，在三维空间里只有五个正多面体，跟二维空间不一样。这个命题在欧几里得的《几何原本》中被证明。这个命题的证明并不是很简单，可是这个定理令希腊的哲学家很兴奋，他们认为这是自然界赐予的一个美好的理论。这种理念影响了很久，甚至到了19世纪，伟大的天文学家开普勒，还企图用此来解释宇宙的结构、身体的运行，不幸地，开普勒的解释是错误的。可在大自然的晶体里，我们可以找出五种结构出来，这五个结构影响到今天的数学发展。 柏拉图提出了三个著名的几何问题：三等分一角；构造正方形与单位圆同面积；构造立方体，其体积是单位立方体的两倍。我希望你们在中学学过这三个问题，这三个问题影响数学界差不多2000多年，第三个问题在中国、印度亦出现过。如果容许用复杂的机械来解决这三个问题，古代数学家早已找到答案，但柏拉图坚持我们用最单纯的几何方法，即只靠圆规和直尺来构造，也因此这三个问题影响了很久。 第三个问题又叫Delos问题，传说Delos城的居民为了解除太阳神Apollo（阿波罗）降给他们的瘟疫，向Delphi（智慧女神）神庙的祭司求救，祭祀要求他们做一个立方体，它的体积要刚巧是Apollo祭坛立方体的一倍。他们不懂得怎么解决，只好向柏拉图请教。这个问题有很久的历史，可能是蛮有兴趣的一个传说。 4、伽罗华群论 柏拉图提出的这三个几何问题直到19世纪伽罗华理论（Galois Theory）出现后，才得到完满的解决。伽罗华是位年轻数学家，21岁就去世了，他解决这个问题的时候才20岁，留下了很多重要手稿。他去世不是病死也不是其他，而是为了争女朋友跟一个朋友决斗而亡，很不幸。他的方法中是用到一个很重要的概念叫群论，用群论解决了这三个问题。他们发现这些问题跟用圆规与直尺构造的数字有密切关系。他们发现这些数字必须满足一些以整数位系数多项式方程式。然而，假如用圆规与直尺来做的话，这三个问题所产生的数字（比如√π、?2）并不能满足这些方程（1882年的Lindemann证明π为超越数，它不满足任何整数为系数的方程），因此，这些古典问题是不能用圆规和直尺来解决的。 所以这三个问题是很古老的问题，直到19世纪用相当高深的数学才能完满地解决。这三个问题只不过是好奇，可是解决它们的方法却影响到近代数学与近代科学的发展。伽罗华群论成为20世纪、21世纪最重要的理论之一。 5、欧几里得五条公理 欧几里得是柏拉图之后集几何学的大成，他由五条公理推到大量有趣的命题，实开千古科学演绎法之先河，直接影响到以后牛顿力学体系。牛顿利用三个基本定律来推导天体的运行，其中逻辑运用之妙，无可伦比。 逻辑运用，是很重要的事情，这也是整个中国科学发展缺少的一部分，西方从希腊数学家就开始了。欧几里得其实用了柏拉图学生亚里士多德发明的三段论证法。三段论证有大前提、小前提、结论，看起来简单，可是学生很少明白，中国的科学也很少用。 欧几里得就是通过归纳法，发现平面几何上有五条显而易见的性质。举例来讲，两点可以用一条直线连起来等种种不同方法，归纳出五条公理，并根据这个公理推导出平面几何所有的定理。这是一个漂亮伟大的贡献。 第5条公理叫平行公理，在直线外任何一点，必有唯一的直线通过这点而不与原来的直线相交，就是一个平行线。我们都学过这个公理，很多人现在认为可以接受。可是差不多有20世纪，哲学家都不大愿意接受这条公理，他们企图用其他四条公理去证明，但都没有办法成功。今天看起来好像简单的一个问题，可是哲学家始终不服输，一路到19世纪初期，算术几何的面世，才发现平行公理是不能用其他四条公理证明的。 6、高斯、黎曼、傅里叶 因此，我们又产生了一个新的几何——算术几何。算术几何跟平面几何不大一样，平行公理最重要的是影响到算术几何的诞生，也影响到几何学对空间观念的完全改变。 算术几何以后，通过两个伟大的几何学家——高斯与黎曼，对空间的观念开始完全改变。空间不再是欧式几何那样简单的一个空间，而是能够变动、能够影响我们天天看到的物理现象有关的空间。由于平行公理的变化，从平行移动的观念引出了内对称的观念，进而影响到高等物理粒子的变化，内对称主宰一切已知粒子的变化，著名的物理学家杨振宁先生的理论就是要从内对称演绎的。近代数学开始影响近代物理学的发展。 19世纪伟大的法国数学家傅里叶，他讲数学可以用来决定最一般的规律，同时也可以量度时间、空间、温度，所以他讲数学跟大自然一样广泛、丰富，和大自然走的是相同的轨道，也共同见证着宇宙的包容、简洁、稳定。数学是很抽象的，可是从一个伟大的应用数学家那里，看得出来数学有其自己的空间、发展的方法，不一定跟其他自然科学有同样的问题，它是走自己的路。 以简制繁的观念也影响到艺术的发展。大部分学者认为统御自然界的共通原理必须简洁，从牛顿、到爱因斯坦、到笛卡尔、到杨振宁，都是这样的看法。所以，描述自然界的绘画，或者表露心灵与自然界交接的诗篇与颂词亦必如此。这种观念，我认为起源于希腊的基本精神。 part02 几何之源——古希腊“调和”之精神 调和的思想也可说贯穿了古代数学直到近代数学的发展。数学的美，使我们与大自然更为接近，大自然的美开阔了我们的胸襟，加深了我们的视野。 下面讲讲古希腊人的精神。也是从我父亲的一本书里所引，我父亲是个哲学家（编者注：丘成桐父亲名丘镇英）。英国一个出名的作者叫狄更逊（Dickinson）在其所著《希腊人的人生观》（The Greek View of Life）中说：调和呦！就在这一字的意义上，我们可以有办法解说希腊文明的主要观念。 希腊人视美与善，身与心，个人与国家、神与人为调和统一的。 1、美与善之调和 柏拉图在《理想国》中讲：“美术家能洞鉴美与善之真性，发挥之于技术，使吾伎之青年，身之所居，目之所见，耳之所闻，无一而非善，而善之真际，即同时流露于其身目，有如清风之来自蓬莱，人之灵魂与同情之美，于不知不觉之间。” 2、身与心之调和 希腊大政治家伯里克理斯（Pericles）讲：“我们是美之爱好者，但我们的趣味是淡雅的，我们陶冶心灵，但我们也不失却丈夫气。” 柏拉图在《理想国》中以体育和音乐为教育之基。前者是养身，后者是修心，可见注重身心调和。 3、个人与国家的调和 亚里士多德说“国家系相同的人们，求达可能的最善生活的一种组合。”所以希腊人绝不能逃避对国家应尽的义务，但也要个人的自由，个人与国家在一定分限上调和无间。 4、神与人的调和 希腊人认为神是美丽而人性的生物。男神是雄伟的美男子，女神是纯洁的美女子。你可以讲它是宗教，其实不是宗教，这是希腊人的理想，假借众神来表现。 调和的思想也可说贯穿了古代数学直到近代数学的发展。数学的美，使我们与大自然更为接近，大自然的美开阔了我们的胸襟，加深了我们的视野。也正由于这个原因，从宇宙的起源，星球的运行，原子的结构，一直到山水人物的绘画都有许多几何学家参与其中，进行研究，做出了基本的贡献。 远古的时候，无论埃及人、巴比伦人、印度人和中国人都对历法有浓厚的兴趣。这些关于星体运行的学问，自然牵涉到几何学。事实上，古希腊人早已知道如何量度地球的半径和地球到太阳的距离。 古代中国人对地图的制作有重要贡献，刘安在《淮南子》中也讨论了如何计算地日的距离，可见古人一方面好奇，一方面由实际需要来发展几何，传说中国同余定理的发现始于历法的计算。 而希腊天文学家西帕恰斯发明正弦的概念来测量星体的运行；托勒密则造弦表，以后阿拉伯和印度数学家将三角发展出来，可见天文学对数学的影响。 现在回头再讲数学、几何学，从古希腊想法发展出来的结果，对毕达哥拉斯学派来讲，万物皆数，第一个他发现音乐可以用数字来解释，这个学问表面上跟几何学毫无关系，但到19世纪，傅里叶对波动力学开始研究后，谱分析逐渐在几何学生根，任何一个图形都有它的谱，这些谱的研究已经成为几何学的主流。 是怎么产生的呢？举一个例子来讲，我们设想几何图形由一片薄膜做成，比如鼓，可以是用任何几何图形做成的鼓，击打这个鼓，会发出不同的声音，这个声音用谱来分析，可以推测鼓的形状，这是一个重要的问题。也可以看出几何与音乐的关系，从几何图形产生的音乐，我们可以推导出几何图形是怎样的。 音乐的美由耳朵来感受，几何的美由眼睛来感受。美丽的音乐与图形都有调和的意义，这是刚才希腊人的调和之意。这种调和的意思可以用数学来定义，举个例子，我们固定两端的琴弦，弹奏时会形成很多不同的波，这些波由基本的正弦函数组成，如弦长为L，这些函数可写成sin（nx/l），这是个很漂亮的函数，有调和的意思在里边。 什么叫调和函数？调和函数的定义是这样子，它定义于空间，并满足于一个重要性质，即它在每个点上的值等于它在环绕这点上球的平均值。这些函数有着“中道”的性质，这与希腊哲学中所追求的中道和儒家的中庸有着共同的意思。所以调和函数是一个很美妙的函数，每点的值是一个平均值，不多也不少。 函数跟我们讲的基本波有很多共同的东西。击鼓时，鼓的振动由基本波组成，这些基本波的描述与上述的调和函数极为相似，也许这就是音乐和美术有共通之处的原因。 有趣的是，这些基本波都有物理意义。这些波都有能量，在一定的条件下，音乐的基本波具有最少的能量。这是物理和几何学中基本的原则：物质的状态，总是在具有最低能量时最稳定。这是个基本的看法，影响了物理学、几何学、数学几百年。 我们喜欢最低能量的状态，正如一般人所讲“水向低流”，因为向下流它的位能是最低的。在社会给定的条件下，人的欲望达到最低时可说是“至善”的一个判断防范，所以清心寡欲是一个调和的概念，因此美与善可以调和，数学家喜欢平静与天真。我的老师陈省身如此，二十世纪伟大的法国几何学家E.Carton也说：“在听数学大师演说数学时，我感到一片的平静和有着纯真的喜悦。这种感觉大概就如贝多芬在作曲时让音乐在他灵魂深处表现出来一样。” 几何学里还有一个重要的概念就是对称，对称的概念影响了数学几百年，也影响到整个物理学界几百年。对称是调和观念的另一种表现，希腊人喜欢柏拉图多面体，就是因为他们具有极好的对称性，他们甚至将其与宇宙的五个元素联系起来：火—正四面体；土—正六面体；气—正八面体；水—正十二面体；正十二面体代表第五元素，是宇宙的基本要素。 这种解释大自然的方法虽然并不成功，但是对称的观念却由始至终地左右着物理学的发展，并终于演化成群的观念。从伽罗华开始，到SophisLie,Klein,和Carton诸位大师的手上，对称群在几何学生的威力展露无遗，成为现代几何与现代物理的支柱。 在我国传统《易经》中，阴阳的观念至关重要。从数学来讲，这种对偶在古代数学中早已出现，例如Apollonius和Pappus研究pole和polar，以后射影几何学家研究点和平面的对偶关系等，流风所被，直至近代拓扑学和代数学中对偶理论皆有辉煌的发展。 近三十年来，所谓镜对称的概念出现在描述宇宙结构的弦论中，至大的空间和至小的空间，至强的理论与至弱的理论有着相同的结构。在对偶理论里，大的空间跟最小的空间，是对偶，是互相影响对方的；强的理论跟弱的理论也有相同的对偶性，这是一个很奇怪的现象，在数学上是可以证明的，只是到目前为止还没办法证明。假如弦论能由试验证明，道家的阴阳或可由数学观念来解释。 古希腊人崇拜雄伟的男神与美丽的女神，也可以看做是刚柔的对偶，刚柔互济，发展出来的几何学也是多姿多彩的。文艺复兴的时候，很多艺术家想将景物有深度感觉滴表现在画布上，他们发觉这个问题与射影几何有很重要的关系。 布鲁涅内斯基得到一些成果，在研究透视学上，非阿尔贝蒂写了两本书，研究不同的屏幕映像的关系，圆锥截痕跟对偶原则得到更深入的研究，由此可见绘画艺术对几何的影响。我十多年前看过一本书，是康熙雍正年间大将军年羹尧的哥哥写的一本关于透视几何的书，可见雍正年间也注意到用几何学来研究怎么画画。 投影几何对整个数学有很大的影响，奥斯几何跟很多几何研究距离、长度的问题，到了投影几何，我们不研究距离，因为将一个三维的图投射到二维花布上时，量不出其长度，而开始研究线和线的相交或线和面的相交，对偶观念由此产生。投影几何在十九世纪成为主流的学问。 接着我们来讲一个伟大的数学家，也是个伟大的物理学家，他叫Herman Weyl，他是20世纪前50年最伟大的数学家，也爱物理，几个重要的物理方程是他发明的。他说：假如要我在大自然的真实与数学的美之间做选择，我宁愿选择数学的美。很幸运的是，自然界的真理往往是极为美妙的。所以从数学的美选择出来的方程、选择出来的图形，往往能够解释大自然里的真理。 普林斯顿高等研究所，我曾经在那里教过五年书，爱因斯坦也曾在那里工作过30年。它的徽章是真和美，左手是裸体的女神，右手边是穿着衣服的女神。“真”是一个赤裸裸的女神；“美”是漂亮的、穿着衣服的女神。无论文学家、美术家、音乐家、数学家、物理学家都在不断发掘美的意义，和如何去表达大自然众生诱导出的美，者是很重要的事情。 part03 用崇高的思想学习真美 未经烈火的煎熬，没有办法完成大学问。 现在我来谈谈体育，无论希腊哲学也好，儒家哲学也好，都很注重体魄的训练。亚里士多德认为希腊人要有超卓的意志，意旨希腊人昂昂然若千里之驹，自视甚尊，怜人而不为人怜，奴人而不为人奴。正如孟子所谓“富贵不能淫，贫贱不能移，威武不能屈”。 其实任何有深度的学问都有其本质所在，数千年累积下来的学问就是我们的体魄，没有这个实质，就没有办法创新，就没有办法寻找新的空间，就没有办法离开古人的范畴。这是我自己的看法，很多人讲，做数学是一个天才的活动，可是数千年来，伟大的天才数学家至少有两三百，他们累积下来的学问是很有意义的，我们不能够超越他们，因为我们的脑袋不大可能超越几百个天才累积下来的经验，所以我们一定要想办法了解前人的思想，才能够向前走，才能够昌盛。我们能够培养我们的美，也一定要有学习的能力，能够学习前人做过的事情。 所以屈原说，纷吾既有此内美兮，又重之以修能。 贾谊说，夫天地为炉兮，造化为工；阴阳为炭兮，万物为铜。 未经烈火的煎熬，没有办法完成大学问。 我们很多同学以为自己是天才，以为自己很有本领，不用念书，不用看书，就能够完成很好的学问。你可能考试比人家好，可是要做大学问是不可能的事儿。我们看了很多大学生，到了做研究生的时候，遇到很大的问题，就是因为他没有好好学，自以为是天才。 我在国外40多年，接触了很多伟大的数学家，伟大的物理学家，我不认为有任何一个是天才，他们都是经过很大的努力才完成的工作。 纵观古今，大部分数学家主要贡献都在年轻时代，这与年青人有良好的体魄有关。有了良好的体魄，在解决问题的时候，才能够集中精神，尤其是你们这个年纪，才能够做大的学问，因为有良好的体力，能够持久集中精力解决问题。 我解决的很多问题，相当重要的问题，往往是经过五到十年才能够完成，假如没有办法集中精神，是没有办法解决的。所以要经得起这样的煎熬，集中精神，一定要有好的体力，也必须要有浓厚的热情。正如荷马史诗里所描述的英雄，不怕艰苦，勇往直前；如玄奘西行，有着无比的毅力，能够大漠独自坚持一个多月，这都是靠无比的毅力和无比的热情，才能够完成的大事业。 不少学者努力学习，没有宏观的看法，终究不能成就大学问。但有些青年学者，谈玄轮道，自以为高人一等，却没有踏实功夫，终究也是一场空。 希腊学问极盛时代，一般学者都有充分的时间去思考、去辩论。政府与学者也有极好的调和精神，学者能够以自由的意志、独立的精神去追求自己的理想。历史上在穷困中挣扎能否成功的，毕竟是极少数。 所以，曹丕典论论文：“贫贱则慑于饥寒，富贵则流于逸乐，遂营目前之务，而遗千载之功。”何时我们才能不受生活的影响，在学问的领域里成为雄伟的丈夫、洁美的女神？ 我父亲的书上有一句《文心雕龙》里的一句话：“嗟夫！身与时舛，志共道申，标心于万古之上，而送怀于千载之下。” 我今天讲这些，就是希望我们年轻人能够有崇高的思想来学习美真的想法，谢谢。 part04 丘成桐与大学生互动环节 做学问并不是想象中这么简单，100次有99次的失败；中国的大学生看不起自己，是很不幸的事情；中国好的大学太少；中学跟大学，真的要很用功…… 人大学生：丘先生，非常感谢您的演讲，在您研究数学、欣赏数学的过程中，有哪些比较难忘的瞬间分享一下，谢谢。 丘成桐： 做学问并不是想象中这么简单。我做重要的问题，往往通过五年、十年才完成，中间挫败的时间多过成功的时间，可以讲100次有99次的失败，最后才成功。 成功以后有喜悦，回想一下失败的时间其实还是蛮有意义的。可是你失败的时候，往往真理不晓得去哪里找，这是很难的事情。可是假如真的有很大的热情，完成这个工作以后，你就觉得很高兴，觉得你五年来的努力总是很高兴的事情。 人大学生：丘老师你好，我之前也看过你的书还有一些文章，您在哈佛教书的时候，很喜欢与本科生面对面的交流，而且您认为这对您的学术研究产生促进作用。我对这个观点很疑惑，这是一个大学者的姿态，还是本科生真的对您的工作会有促进？ 丘成桐： 做中国的本科生聪明的很多，可是想的都是考试的问题，国外的本科生想的很多问题是你想不到的，Facebook就是一个本科生创造出来的。 里面有很多不同的技术是要克服，哈佛大学一二年级的学生普遍都很行，也不见得都很有天分，可是总有几个很有天分的。 我们在哈佛大学研究生课程中，上课的有五六个本科生，他们的成绩一般来讲比研究生好，就是因为他们有想法，能力也很强，甚至我们看他们做题目，我们自己也做不来的，这是很普遍的事情。我们的大学生一年有20篇学术论文，至少有两到三篇是发表在一流的杂志上的，能够发表在一流杂志说明我们是不懂得的，可见本科生的能力是很好的。前几年有一个大学生写一篇文章，我们专家看了后都大为惊叹。 中国的大学生看不起自己，是很不幸的事情，你们有人应该去闯一下。 人大学生：现在我们很多家长在培养孩子的时候，往往是按照他们自己的想法。您父母教育您，是用怎么样的方式？对您成长有什么帮助？他们可能没有说你一定会成为家吧？ 丘成桐： 家长的训导跟老师的帮助都是很重要的，一个小孩子训练其基本的能力、数学上解题的能力，绝对是要的。可是培养考试的人才是不好的，一旦这样，小孩子的心就全部埋没了。可是当看到一个题目，要有能力去解决，是有必要的。 我父母对我最大的影响，是他们从来没有期望我去学习赚钱的学问、为赚钱而念书。可大部分家长是期望这样子的，很多中学生很有天分，对数学也有很浓厚兴趣的，可最后都去念金融了，这是不幸的事实。 人大学生：丘老师您好，我高中时曾读到过您的一句话，就是说学数学要达到一种所谓天人合一的境界。您当时说就是要有那种“天地与我并生，而万物与我为一”的感觉。我学习了五年的基础数学，对您所说的这种兴趣，有一点比较粗浅的体会，但是以我现在的水平只能是隐隐约约体会到。您大约学了多长时间数学才有了这种天人合一的感觉？您能不能详细阐述一下这种天人合一到底是怎么样的一种境界？ 丘成桐： 我想因人而宜，用你的能力去创造一个很基本的学问的时候，你自己就有这个感觉；没有能力创造，也没有用（笑）。 人大学生：丘老师好，我更关心的是数学教育的问题，现在，总体来看，数学包括中小学教育，虽然取消了奥林匹克竞赛，但现在很多学生依然纯粹为了应付考试而考试，包括参加奥林匹克竞赛的高中生，进入大学以后，反而不会从事数学行业。即使学数学的学生，毕业后也是工作或为生计而犯愁。如何能让更有信心去学习数学？您和您的老师陈省身先生，不断地推进中国的数学教育，您怎么理解中国数学教育面临的问题？ 丘成桐： 我想归结到底就是中国好的大学不多，每一个高中生、每一个家长都期望他的孩子进北大清华。在美国有一个好处，不只北大清华两个学校，好的大学很多，就能够收容好的学生。 从几百万高中生里挑几千个学生是很困难的，所以用不同的手段挑几个最好的学生是北大清华做的事，就用了不大好的手段去挑，因此也毁了很多中学生对数学的兴趣，这是不幸的一个事情。可是你问为什么会产生这个事情？北大清华期望找到最好的学生，也不能够讲他们挑错了学生。要从根本解决问题，我想要增加很多好的大学，才能解决。 人大学生：很多学生学习一生也没有得出宏观上的理论及思想，但是也有很多人自以为很有天赋，总是研究一些很功利的东西，不会脚踏实地。怎样平衡宏观上的思想与脚踏实地？ 丘成桐： 很简单的一个事情，很多人不大愿意做。 中学跟大学，你真的要很用功，你基本的学科要学懂，学懂的意思是你们能够做题目。很多学生自以为很了不起，看一个题目觉得懂了，不动手，不动手始终学不好。大学以前所有学生都要做笔记，做一些习题。到研究生阶段，想一些重要的问题。 这样既有实际又能够有宏观的看法，研究院要找比较好的老师，要看很多课外书，增加你的看法。现在互联网很多教程都可以看，可是很多中国研究生单看课堂里老师讲的课本，这是不幸的事情。 我记得我在中学的时候，图书馆不好，可是我还是看了不少书。我发觉中国的中学生不大看课外书，这是很不幸的事情。中国好的课外读品比不上美国，是因为没有学生买，出版社不大能够印。我期望我们的家长、老师能鼓励学生能多看一些课外书。
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[转载]分形几何学可助精确“识别”癌细胞
mafei863 2012-1-26 09:32
虽然科学家们早就知道癌细胞和健康细胞在外形上存在较大区别，但由于缺乏相应的理论和识别标准，目前的癌症检测仍以生化方法为主。据美国物理学家组织网7月7日报道，美国克拉克森大学的研究人员发现，与健康细胞相比，癌细胞在外观上具有更为显著的分形特征。初步实验显示，以此为依据的检测均获得了极高的准确度。新法有望使传统非侵入式癌症检测方法的精度获得大幅提升。相关论文发表在《物理评论快报》（ PRL ）上。 分形是与传统几何学相对的一个概念，可以将其理解为一种粗糙和零碎的几何形状。它由大量不规则曲线构成，但在任意小的尺度上都有着精细的结构，如果将其分为不同的部分，不论大小，每一部分的形状都和整体一样，这样的图形也被称为“自相似”图形。以雪花为例，在显微镜下，无论是1毫米、1/10毫米还是1/1000毫米的尺度，雪花边缘上的图案和形状几乎是相同的。往大里讲，无论是天空中星系团的位置，还是地面蜿蜒的河流，或是树上的一片叶子，都存在着分形特征。而对人体而言，以一段较长的时间来看，呼吸和心跳的节奏也具有分形特征。 正是因为注意到了这一点，美国克拉克森大学的研究人员提出了通过分形几何学识别癌细胞的设想。负责该项研究的伊戈尔·索科洛夫和同事利用原子力显微镜，在1纳米（100万分之一毫米）的精度上对取自人类子宫颈的健康细胞和癌细胞的外形进行了对比。不同于以往只获得细胞的二维结构图像，新研究采用全新的方法对细胞的三维图像进行研究。测量结果显示，癌细胞在外形上具有显著的分形特征，而健康细胞却并不明显。 索科洛夫说，目前在宫颈癌检测上，如巴氏涂片、液基细胞学检测等方法都是有效和非侵入性的，但准确性较差，尤其是较早的巴氏涂片法，经常得出一些模棱两可的结论。而使用新的图像检测方法，对来自12位患者的300个细胞样本进行检查的结果表明，其准确度接近100%。据此他断言，基于物理的方法，将达到甚至超过传统生化检测方法在单细胞水平上的检测能力。下一步，索科洛夫的研究小组计划扩大测试规模，以对该技术作进一步的验证。此外，他们还计划对健康细胞在癌变过程中的分形特征展开研究。 普林斯顿大学生物物理学专家罗伯特·奥斯汀说，或许类似的研究正是将癌细胞的物理学特质与生化特征联系起来的第一步，随着研究的深入，它将加速科学家对癌细胞了解，最终帮助人们在击败癌症上获得更大的主动权。（来源：科技日报 王小龙）
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[转载]微分几何
jiandanjinxin 2011-9-22 13:52
目录 1微分几何的产生 2微分几何学的基本内容 3黎曼几何学的提出 4《埃尔朗根纲领》对微分几何的影响 5广义相对论的产生及其对几何学的影响 6曲线和曲面的整体性质 7整体微分几何的兴起 　 7.1外微分形式、德·拉姆定理与霍奇定理 7.2黎曼流形的完备性 7.3曲率与拓扑 7.4等距嵌入 7.5纤维丛 8微分几何和分析学新的结合 微分几何学， 数学 的一个分支 学科 ，主要是以分析方法来研究空间（微分流形）的几何性质。 微分几何的产生 微分几何学的产生和发展是和数学分析密切相连的。在这方面第一个做出贡献的是瑞士数学家欧拉。1736年他首先引进了平面曲线的内在坐标这一概念，即以曲线弧长这以几何量作为曲线上点的坐标，从而开始了曲线的内在几何的研究。 十八世纪初，法国数学家蒙日首先把微积分应用到曲线和曲面的研究中去，并于1807年出版了它的《分析在几何学上的应用》一书，这是微分几何最早的一本著作。在这些研究中，可以看到力学、物理学与工业的日益增长的要求是促进微分几何发展的因素。 1827年，高斯发表了《关于曲面的一般研究》的著作，这在微分几何的历史上有重大的意义，它的理论奠定了现代形式曲面论的基础。微分几何发展经历了150年之后，高斯抓住了微分几何中最重要的概念和带根本性的内容，建立了曲面的内在几何学。其主要思想是强调了曲面上只依赖于第一基本形式的一些性质，例如曲面上曲面的长度、两条曲线的夹角、曲面上的一区域的面积、测地线、测地线曲率和总曲率等等。他的理论奠定了近代形式曲面论的基础。 1872年克莱因在德国埃尔朗根大学作就职演讲时，阐述了《埃尔朗根纲领》，用变换群对已有的几何学进行了分类。在《埃尔朗根纲领》发表后的半个世纪内，它成了几何学的指导原理，推动了几何学的发展，导致了射影微分几何、仿射微分几何、共形微分几何的建立。特别是射影微分几何起始于1878年阿尔方的学位论文，后来1906年起经以威尔辛斯基为代表的美国学派所发展，1916年起又经以富比尼为首的意大利学派所发展。 随后，由于黎曼几何的发展和爱因斯坦广义相对论的建立，微分几何在黎曼几何学和广义相对论中的得到了广泛的应用，逐渐在数学中成为独具特色、应用广泛的独立学科。 微分几何学的基本内容 微分几何学以光滑曲线(曲面)作为研究对象，所以整个微分几何学是由曲线的弧线长、曲线上一点的切线等概念展开的。既然微分几何是研究一般曲线和一般曲面的有关性质，则平面曲线在一点的曲率和空间的曲线在一点的曲率等，就是微分几何中重要的讨论内容，而要计算曲线或曲面上每一点的曲率就要用到微分的方法。 在曲面上有两条重要概念，就是曲面上的距离和角。比如，在曲面上由一点到另一点的路径是无数的，但这两点间最短的路径只有一条，叫做从一点到另一点的测地线。在微分几何里，要讨论怎样判定曲面上一条曲线是这个曲面的一条测地线，还要讨论测地线的性质等。另外，讨论曲面在每一点的曲率也是微分几何的重要内容。 在微分几何中，为了讨论任意曲线上每一点邻域的性质，常常用所谓“活动标形的方法”。对任意曲线的“小范围”性质的研究，还可以用拓扑变换把这条曲线“转化”成初等曲线进行研究。 在微分几何中，由于运用数学分析的理论，就可以在无限小的范围内略去高阶无穷小，一些复杂的依赖关系可以变成线性的，不均匀的过程也可以变成均匀的，这些都是微分几何特有的研究方法。 近代由于对高维空间的微分几何和对曲线、曲面整体性质的研究，使微分几何学同黎曼几何、拓扑学、变分学、李群代数等有了密切的关系，这些数学部门和微分几何互相渗透，已成为现代数学的中心问题之一。 微分几何在力学和一些工程技术问题方面有广泛的应用，比如，在弹性薄壳结构方面，在机械的齿轮啮合理论应用方面，都充分应用了微分几何学的理论。 黎曼几何学的提出 　 　　在三维欧氏空间E 3 中，与曲线相比，曲面有着重要得多的性质。设x 1 ，x 2 ，x 3 为E 3 的笛氏坐标，则曲面S的参数方程为 (1) 曲面S的几何性质完全由被称为曲面的第一、第二基本形式的两个二次微分形式所决定。 　　 　　1827年德国数学家C.F.高斯的论文《弯曲曲面的一般研究》在微分几何学的历史上有重大的意义。微分几何发展经历了150年之后，高斯抓住了微分几何中最重要的概念和带有根本性的内容，他在论文中建立了曲面的内在几何学，其主要思想是强调了曲面上只依赖于第一基本形式的一些性质，例如曲面上曲线的长度、两条曲线的夹角、曲面上一区域的面积、测地线、测地曲率和总曲率等等，称之为曲面的内在性质。 　　 　　高斯之前的几何学家，在研究曲面时总是把曲面与外围空间E3相联系，找出曲面上一点的主方向，再计算两曲率线的法曲率的乘积，这是欧拉的研究。高斯证明了由曲面的第一基本形式就确定了曲面的总曲率，这就是高斯方程，所以总曲率通常也称为高斯曲率，这是高斯的著名发现，被称为“极妙定理”。他说：“如果一个弯曲的曲面可展开到任何另外的曲面上去，则每点的曲率是保持不变的。”这里，“可展”表示了映射是1-1（一一）且保持距离的。高斯建立的内在几何学有着深远的影响，是在微分几何上的一关键而重大的突破，但当时并未被人们所认识。 　　 　　更重要的发展属于德国数学家（G.F.）B.黎曼。1854年他在格丁根大学发表了题为《论作为几何学基础的假设》的就职演讲，黎曼将曲面本身看成一个独立的几何实体，而不是把它仅仅看作欧氏空间中的一个几何实体。他发展了空间的概念，首先提出了n维流形（当时称为多重广延量）的概念，其中的点用n个实数(x 1 ，x 2 ，…，x n )作为坐标来描述，他定义了流形上无限邻近两点(x i )与(x i +dx i )(i=1，2，…，n)的距离 ， (2) 并以此作为几何学的出发点。后来称(2)为黎曼度量，这里(g ij )是正定对称阵。黎曼认识到度量(2)是加到流形上去的一个结构，因此，同一流形可以有众多的黎曼度量。黎曼以前的几何学家只知道外围空间E 3 的度量赋予曲面S以诱导度量 ， 　(3) 即第一基本形式，而并未认识到曲面S还可以独立于E 3 而定义，可以独立地赋予度量结构。黎曼意识到这件事是非凡的重要，他把诱导度量与独立的黎曼度量两者分开来，从而开创了以(2)为出发点的黎曼几何。这种几何以种种非欧几何作为其特例。例如，这时可以把 　（α 是常数） (4) 作为两个无限邻近点的距离，当α0时，就是球面几何或椭圆几何（又称为正常曲率空间的几何），α=0时就是欧氏几何，α0时就是罗巴切夫斯基几何或双曲几何，又称负常曲率空间的几何。 　　黎曼几何中的一个基本问题是微分形式的等价性问题。在两个不同坐标系x 1 ，x 2 ，…，x n 与x 1' ，x 2' ，…，x n' 中，给定两个二次微分形式 与 ， 求存在坐标变换 (i=1，2，…，n)将一个微分形式变到另一个的条件，这个问题1869年由 E.B.克里斯托费尔 与 R.（O.S.）李普希茨 解决。克里斯托费尔的解包含了以他的名字定名的记号，即第一类克里斯托费尔记号 和第二类克里斯托费尔记号 ： ， (5) 及协变微分的概念。在此基础上，1887～1896年间G.里奇发展了张量分析方法，这在广义相对论中起了基本的作用。里奇和他的学生T.列维－齐维塔在研究报告《绝对微分法及其应用》(1901)中对里奇计算法作了详细的综述。 　　 《埃尔朗根纲领》对微分几何的影响 　　比克里斯托费尔、李普希茨解决二次微分形式的相互转换问题稍迟一些，1872年（C.）F.克莱因在德国埃尔朗根大学作就职演讲时，阐述了《埃尔朗根纲领》，这就是把几何学定义为研究变换群所作用的空间，例如欧氏空间具有刚体运动群，所研究的对象是在刚体运动群下不变的性质。射影空间具有射影变换群，仿射空间与共形空间分别具有仿射变换群与共形变换群等等。这样就用变换群对已有的几何学进行了分类。这些几何学中所研究的对象是在相应变换群下不变的性质。这种用群论统一几何学的思想把几何学与李群结合起来了。在《埃尔朗根纲领》发表后的半个世纪内，它成了几何学的指导原理，推动了几何学的发展，导致了射影微分几何、仿射微分几何、共形微分几何的建立。特别是射影微分几何起始于1878年阿尔方的学位论文，后来1906年起为E.J.威尔辛斯基为代表的美国学派所发展，1916年起为以G.富比尼为首的意大利学派所发展。20世纪30年代起中国苏步青及其学生们以及苏联С.∏.菲尼科夫等进一步发展了射影微分几何。 　　 　　另一方面，克莱因的《埃尔朗根纲领》与狭义相对论完美地相配合，狭义相对论中的一个原理是洛伦茨群下场方程的不变性，这导致了克莱因成为狭义相对论的最早支持者之一。洛伦茨结构在相对论中起了基本的作用。 　　 　　当克莱因制定《埃尔朗根纲领》时，已观察到黎曼几何并不包括在内，因为一般的黎曼空间，除恒等变换外，并不含有其他等长变换。经过W.K.J.基灵，é.(-J.)嘉当的努力，使得李群成为微分几何的有力工具，而李群本身也成为微分几何的研究对象，它的推广就是齐性流形即容有可迁变换群的微分流形，这就给出了埃尔朗根纲领中所设想的几何空间的最一般形式。在齐性流形中，具有正定黎曼度量的齐性黎曼流形，特别是对称空间，显得特别重要。 　　 广义相对论的产生及其对几何学的影响 　 　　黎曼几何的建立对近代物理学产生了巨大的影响。黎曼对引力论很有兴趣，曾对牛顿的引力论发生怀疑，牛顿的引力是一种超距作用，而黎曼认为引力作用应通过接触来传递，但他并没有把黎曼几何用于引力论。50年后，爱因斯坦创立了新的引力理论──广义相对论，黎曼几何（严格地说是洛伦茨几何，这时(2)中所定义的ds 2 是非正定的二次微分形式）及其运算方法（里奇计算法）成为广义相对论有效的数学工具。爱因斯坦引进了约定求和这一很有用的符号。广义相对论的产生对微分几何的影响是令人震动的。当时黎曼几何成为研究的中心课题，斯考顿、列维－齐维塔、.嘉当及艾森哈特等人的关于黎曼几何的权威著作几乎都出现在1924～1926年期间。 　　 　　爱因斯坦在狭义相对论中，把时间与空间作为相关的量一起来考虑，构成了一个四重广延量，这显示了时空概念的一个根本性变化。这时，时空中两点(x i )，(x i +dx i )(i=1，2，3，4)的距离由非正定的二次形式 　 (6) 所描述，其中x 4 =сt，с是光速，t是时间。这种具体形式是闵科夫斯基空间，或称闵科夫斯基四维时空，简称四维时空，它是洛伦茨流形中的一个特例。 　　 　　广义相对论采用的是洛伦茨流形，这时ds 2 是非正定的，它的特点是在任何一点的小邻域中和闵科夫斯基时空性质相近似。引力论的基本问题是要说明质点在引力作用下的运动轨线问题，在广义相对论中运动轨线为流形上类时（即“弧长”平方为负）的测地线，类时意味着质点的速度低于光速，测地线是变分 　 (7) 所得微分方程的解。 　　爱因斯坦的引力场方程是一个关于g ij 的二阶偏微分方程 　　 　 (8) 式中R ij 称为里奇张量，是由g ij 的一、二阶导数构成的； ，其中 由 所确定；T ij 是描述物质分布的能量动量张量。特别，真空中的引力场方程由R ij =0所表述。如果弯曲空间化为平直空间，则表示引力场不存在，这时质点作匀速运动。 　　 　　爱因斯坦的广义相对论的思想来自物理学的研究，但值得注意的是从欧几里得几何学到黎曼几何学经历了二千多年时间，而从闵科夫斯基时空到洛伦茨流形只经过十年时间，这是因为黎曼几何学的张量分析已为此作了一切数学上的准备。爱因斯坦在建立广义相对论的过程中得益于数学家M.格罗斯曼，在发展广义相对论过程中他和é.嘉当进行了许多的讨论，D.希尔伯特也参加建立场方程的研究。 　　 　　把黎曼几何应用于广义相对论时，列维-齐维塔平行移动的概念具有相当的重要性。（C.H.）H.外尔在1918年的名著《时间，空间，物质》中引进了仿射联络的概念，它是黎曼流形中列维－齐维塔平行移动的推广。在流形上可以用仿射联络作为出发点来定义平行移动和协变微分等结构，这样，仿射联络就不必从黎曼结构来得出。外尔所给出的联络是无挠率的（即对称的）。流形上定义了仿射联络，就得到仿射联络流形。 　　 　　é.嘉当在他的主要论文《仿射联络流形及广义相对论理论》（1923～1924）中给出仿射联络的权威性论述，并将仿射联络这一概念推广到有挠率的情况。文中主要说明为什么爱因斯坦引力论是牛顿引力论的推广，后来他更进一步建立了各种联络理论，例如射影联络、共形联络等。 　　 　　黎曼几何还有另外的推广，P.芬斯勒以一般的 出发建立了一种度量的几何学，F只是dx j 的正齐二次函数而不必要求它为二次型，也就是说g ij 除依赖于x之外，还是dx的正齐0次函数。对这种空间也引进了联络、曲率等等概念，从而得到芬斯勒几何。随后，还有很多的推广，得到的空间通称为一般空间。 　　 曲线和曲面的整体性质 　 　　在古典的曲线论和曲面论中，人们所研究的问题已可分为两种类型:局部问题与整体问题。曲线或曲面在一点充分小邻近成立的性质是局部性质。例如，曲线在一点的切线、法平面、曲率、挠率，曲面的切平面、法线以及各种曲率的概念都是局部性质。整体性质则是考虑整个曲线或曲面上的性质，它与局部性质所得出的定理时常是极不相同的。例如，平面凸闭曲线成立四顶点定理，即它的曲率至少有四个极值点。又如，对任何曲面，局部来说，两邻近点之间有且仅有惟一的测地线弧相连结，但从整体来说，这个问题就相当复杂。例如，欧氏空间的测地线是直线，任意两点之间有且只有一条直线段相连结，球面上的测地线是大圆弧，球面上任意两点A、B(如果不是对顶点)，可有两条测地线弧（优弧与劣弧）相连结，A、B是对顶点时，它们之间则有无限条测地线弧相连结。如果考虑闭测地线，则可看到欧氏空间没有闭测地线，而球面上任何测地线（即大圆）都是闭的。至于一般曲面有可能存在闭测地线，也有可能不存在闭测地线，可有许多情况，讨论闭测地线的存在性就是一个整体性质。 　　 　　又如，欧氏空间的曲面由第一、第二基本形式所决定。如果两个曲面小片S 1 ，S 2 ，它们的第一基本形式相同，第二基本形式不同，则称S 1 与S 2 是互为变形的。三维欧氏空间的一小曲面片总有无穷个曲面与它相变形，然而这个性质整体上是不成立的，例如球面以及一般的凸闭曲面不存在与之变形的曲面，这称为球面的刚性定理及凸闭曲面的刚性定理。讨论小曲面片的变形问题是局部性质，讨论曲面的变形问题则是整体性质。曲面上测地线弧的指标（它表示测地线弧的两端固定时，使其长度得到缩短的变形的维数）是一个整体的不变量。 　　 　　曲面的整体性质的一个重要结果是高斯-博内定理，它指明，在闭曲面S上，总曲率K的积分 除以2π就是曲面的欧拉数 。 等于1减去曲面上洞的个数，是个拓扑不变量，因而这个定理建立了曲面的微分几何量与曲面的拓扑量之间的重要联系。 　　 　　此外，希尔伯特还发现，双曲平面（二维的双曲几何）不能在三维欧氏空间中完整地实现，尽管它在三维欧氏空间中局部地实现对于双曲几何（即罗巴切夫斯基几何）的被承认起了重大的作用。 　　 　　曲面和曲线的整体性质的研究激起了人们对整体微分几何的巨大兴趣。 　　 整体微分几何的兴起 　 　　现代微分几何学所研究的对象是微分流形，其上还配有附加的结构。例如，微分流形上引进黎曼度量、洛伦茨度量、辛尺度这些结构后，就分别成为黎曼流形、洛伦茨流形和辛流形，相应地也就丰富了几何内容。 　　 外微分形式、德·拉姆定理与霍奇定理 　　微分流形上的外微分形式是一个微分几何量，对它可进行外微分运算，这在几何上十分重要。外微分形式实际上是多重积分的积分元。一个外微分形式的外微分如等于零，则称它为闭形式，微分流形上r次闭形式全体构成一个线性空间。一个r次外微分形式如果是另一个(r-1)次外微分形式的外微分，则称之为正合形式。正合形式是闭形式，它所构成的线性空间是闭形式所构成的线性空间的子空间。闭形式可以划分为一些类，称为上同调类，两个r次闭形式当且仅当它们之差是一个正合形式时属于同一个上同调类。这些上同调类全体构成一个线性空间──上同调空间H r 。以瑞士数学家德·拉姆而命名的著名定理说明：对于紧致流形，上同调类空间H r 必是有限维的，并且维数恰等于微分流形上第r个贝蒂数。贝蒂数是流形的拓扑不变量，它描述流形上有关连通的性质。在流形上引进了黎曼度量后，霍奇引进了调和形式的概念，并证明了著名的霍奇定理:在一个定向、紧致黎曼流形上，每一上同调类中有惟一的调和形式。这个定理是复变函数理论中紧致黎曼面的一些基本结果的一个重大的推广，它在代数几何中有重要作用。这两个定理提供了流形上局部性质与整体性质的联系，建立了流形上微分结构、拓扑结构及黎曼结构的深刻的制约关系，具有十分重要的意义。 　　 黎曼流形的完备性 　 　　在黎曼流形的研究中，完备性是一个很重要的概念。在黎曼流形上，两点之间可以定义距离，因而可成为一个度量空间，这个度量空间在拓扑意义下的完备与任一测地线均可无限延伸（依弧长或仿射参数）这一性质相等价，从而形成了完备黎曼流形的概念。特别，紧致黎曼流形是完备的黎曼流形。霍普夫与里诺给出了下述结果：完备黎曼流形上每二点均可用一极小测地线相连结，其长度就等于二点的距离。 　　 　　引进了完备性这一概念后，也推进了对三维欧氏空间曲面论的整体性质的研究。例如：对于曲率为常数的曲面的完备性的研究有：1959年P.哈特曼与L.尼伦伯格证明了完备的可展曲面必为柱面，迈尔斯与李卜曼证明了正常数曲率定向的完备曲面必为球面。 　　 曲率与拓扑 　 　　黎曼流形的曲率是微分几何中最重要的几何量之一，曲率和流形的拓扑结构之间的联系是一个十分重要的问题。美国数学家C.B.艾伦多弗和法国数学家A.韦伊与陈省身用不同的方法将紧致曲面上的高斯-博内公式扩充到高维曲面和紧致黎曼流形上去，这是微分几何上很重大的一项进展。另外，J.（-S.）阿达马和é.嘉当发现：单连通的、曲率非正的完备黎曼流形必同胚于欧氏空间Rn。这也是极富有启发性的成果。 　　 　　对于黎曼流形来说，有三种不同层次的曲率，一种是截面曲率，它相应于在每点某一平面方向所相应的曲率。另一种是里奇曲率，它是由截面曲率以适当的形式作和而成。第三种是数量曲率，它是里奇曲率的迹。这三种曲率和流形的拓扑性质之间有很强的相互制约作用，这方面的研究成果非常丰富，而且是微分几何主要研究方向之一。 　　 等距嵌入 　 　　嵌入问题是指一个具有某种结构的流形是否可以作为高维欧氏空间的子流形的问题。当只涉及微分结构时，惠特尼在1936年证明了每一个n维的微分流形均可以嵌入到一个2n+1维的欧氏空间中，美国另一数学家C.B.莫利证明了对紧致的实解析流形这个结果也成立。 　　 　　等距嵌入是研究一黎曼流形是否能与高维欧氏空间的子流形成等距对应的问题。对于局部的等距嵌入，瑞士数学家L.施勒夫利很早就作了下述预测:n维的黎曼流形总可等距嵌入到 维欧氏空间中去。1926年法国数学家H.约尼和.嘉当在黎曼流形上添上解析这一条件时证明了这个预测。因此，作为特例，一个二维的解析黎曼度量总可局部地作为三维欧氏空间中某个曲面的第一基本形式。当流形非解析时，情况相当复杂，至今还是一个研究课题，当曲率K在曲面上变号时，任一个二维黎曼流形是否可局部地等距嵌入到三维欧氏空间，已经有若干结果。 　　 　　黎曼流形的整体等距嵌入定理于1954～1956年由J.纳许等所给出：n 维黎曼流形总可等距嵌入到欧氏空间E ，如流形为紧致时，则可嵌入到E ；如果只考虑C 1 等距嵌入，则n维黎曼流形可嵌入于E ；如果M紧致则可嵌入到E 。纳许的方法后来对非线性分析和非线性偏微分方程的求解产生了重要影响。 　　 纤维丛 　 　　在整体微分几何发展中，纤维丛及其上的联络论的产生和发展，占有显著的地位。基本的纤维丛有向量丛和主丛，前者包括切丛、余切丛、张量丛及一般性的推广，后者是由标架丛抽象而成。在黎曼几何研究中所产生的列维－齐维塔联络被推广为仿射联络、射影联络、共形联络、……然后形成了一般向量丛或纤维丛上的联络论，它以优美的形式把几何学的群的结构和流形上的微分结构有机地结合起来，陈省身-外尔映射用代数的方法通过联络和曲率作出了底流形上的一些上同调类，这种上同调类称为示性类包括陈示性类，欧拉示性类，庞特里亚金示性类等，它们都能表示纤维丛的拓扑性质。 　　 　　纤维丛上的联络论成为理论物理学家的有力工具，杨振宁和米尔斯所提出的规范场理论是在物理学中形成的纤维丛上的联络论，不仅如此，他们对纤维丛上的联络提出了一个过去数学家没有想到过的偏微分方程（后称为杨-米尔斯方程），这个方程不仅对物理学，而且对纯粹数学发生了重大影响。此外，联络论中的一些示性类和示性数，也得到了物理学上的解释，成为物理学中的各种“粒子”数，如“磁单极”数、瞬子数等等。由于这些事实，微分几何和理论物理的关系就更其密切了，可以说是在爱因斯坦广义相对论后的一个新的高潮。 　　 微分几何和分析学新的结合 　 　　微分几何的研究与发展离不开微分方程，达布的《曲面论》一书就包含了丰富的古典微分方程的内容。é.嘉当和凯勒所发展的外微分方程理论，对于解析函数领域的一大类局部微分几何问题，给出了一般的有效的方法。 　　 　　整体微分几何的发展，需要运用更深入的，现代化的分析工具，特别是偏微分方程理论以及与之有关的非线性分析。 　　 　　在线性理论中，一个突出的成果是阿蒂亚和辛格的指标定理，紧致微分流形上的一个线性椭圆算子的零空间的维数与象空间的维数都是有限数，其差称为指标，这个定理指出，这种指标可以表示为和流形（或纤维丛）及椭圆算子有关的拓扑不变量，而过去的黎曼-罗赫定理，希策布鲁赫的指标定理等都是它的特殊情形。这个定理对于确定杨-米尔斯方程的解的存在性和其自由度，起了重要作用。此外，流形上的拉普拉斯算子的特征值的研究也是一个重要方面。 　　 　　微分几何学所遇到的偏微分方程大多是非线性的，调和函数的概念被推广成黎曼流形间的调和映射，它联系于一个推广的狄利克雷积分的变分问题，其欧拉方程是非线性的椭圆型方程组，J.伊尔斯等人用了多种分析的技巧证明了各种存在性和不存在性定理，近年来，R.舍恩和K.K.乌伦贝克又对广义解的奇性作了深入的分析。极小曲面理论近年来得到更深入的发展，研究范围日趋广泛，而且对流形的拓扑以及广义相对论中的数学问题均有重要应用。在调和映射、极小曲面，以及其他许多微分几何问题上，大范围变分方法成了重要工具，非线性泛函的极小元素或临界元素的正则性和存在性起了很大作用。如果考虑洛伦茨流形到黎曼流形的调和映射，就归结为双曲型偏微分方程的整体解的存在性问题，这方面成果国际上较少，谷超豪证明了闵科夫斯基平面到完备黎曼流形的调和映射的柯西问题的整体存在性定理，某些调和映射在物理学中称为非线性σ模型，是物理学家独立地提出的。 　　 　　有些微分几何学问题还必须求解“真正”非线性偏微分方程，这是比拟线性方程的非线性程度更高的偏微分方程，其难度更大，突出的事项是丘成桐解决了由卡拉皮所提出的一个猜想，证明了某种爱因斯坦-凯勒流形的存在定理，这需要求解复的蒙日-安培方程，它的非线性程度更高，需要有高度的分析技巧。丘成桐还解决了一系列的其他的与非线性偏微分方程有关的几何问题。 　　 　　具有复结构的微分流形特别是凯勒流形在多元复变函数和代数几何中起着重要的作用。
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[转载]2011年度阿贝尔奖
lysyxcs 2011-3-24 17:31
挪威科学院23日宣布，将2011年度的阿贝尔奖授予美国数学家约翰·米尔诺。颁奖仪式将于今年5月在奥斯陆进行。 　　挪威科学院说，之所以将今年的阿贝尔奖授予约翰·米尔诺，是因为他在拓扑学、几何学和代数学等方面所作的开创性发现。“在长达60年的时间里，约翰?米尔诺在现代数学史上留下了一个深刻的印记。许多数学概念、推论等都是以他的名字命名。” 　　约翰·米尔诺此前已获得多个相关奖项和荣誉：1962年，他因在微分拓扑学领域的杰出工作而获得菲尔兹奖；1963年，被选为美国国家科学院院士；1994年，他成为俄罗斯科学院外籍院士；2011年，他获得美国数学学会颁发的斯狄尔终身成就奖。 　　阿贝尔是挪威19世纪早期的一位天才数学家，他在5次方程和椭圆函数研究方面取得了远超当时世界水平的成就。2002年阿贝尔诞辰200周年时，挪威政府设立了以他的名字命名的这项国际性大奖，奖金为600万挪威克朗(约合100万美元)，从2003年起每年颁发一次。
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两种几何观
热度 6 yonglie 2011-3-7 08:32
在几何学中，我们可以用两种方式考察一个曲面：要么看作一个固体的边界，要么看作独立的二维薄膜。 前者是工程师的曲面，后者是土地测量员的曲面。 第一种观点把二维的曲面置于三维的空间，曲面性质是通过空间关系来表现的； 第二种观点寻求的是曲面独立于空间的性质。 第一种性质是曲面的 相对性质 ，叫曲面的 外在几何 ； 第二种性质叫曲面的 绝对性质 ，是曲面的 内禀几何 。 有趣的是，曲面微分几何的两个先驱， 蒙日和高斯 ，就分别抱着那两种观点。蒙日做过军事要塞的工程师，而高斯做过著名的大地测量。 因为有了内禀的几何，我们才能思考“宇宙”，才能回答所谓的“宇宙之外”的问题。 推而广之，对任何问题也可以抱两种观点：一种是将它置于大环境中考察，一种是将它孤立出来，考察它独立于环境的特质。两种方法都是需要的，但如果把它们混淆起来，就两边不讨好，而只能得到扭曲的图像。
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2007 年创刊的《非交换几何学杂志》被SCI收录
wanyuehua 2010-3-12 06:27
2007 年创刊的Journal of Noncommutative Geometry《非交换几何学杂志》，ISSN: 1661-6952，季刊，欧洲数学学会（EUROPEAN MATHEMATICAL SOC, C/O DR THOMAS HINTERMANN, EMS PUBLISHING HOUSE, E T H-ZENTRUM FLI C4, ZURICH, SWITZERLAND, CH-8092）出版，2008年入选 Web of Science的Science Citation Index Expanded，目前在SCI数据库可以检索到该期刊2007年的第1卷1-4期到2010年第4卷第1期共51篇论文。 51 篇文章全部为学术论文。 51 篇论文的主要国家分布：法国、美国各17篇，德国11篇， 丹麦5篇，加拿大、意大利、英国各4篇，澳大利亚3篇，波兰、罗马尼亚各2篇等。 51篇文章共被引用67次，其中2008年被引用11次，2009年被引用43次，2010年被引用11次，平均引用1. 31次，H指数为5（有5篇文章每篇最少被引用5次）。 Journal of Noncommutative Geometry 《非交换几何学杂志》投稿指南： 该刊主要刊载关于非交换几何学中多方面的研究论文，涉及理论与应用研究方面的重大进展，范围涉及测度论和拓扑学的非交换空间、算子代数、非交换代数几何、变形和量化、弦理论、重力、镜像对称、固体物理、统计力学等。 网址： http://www.ems-ph.org/journals/journal.php?jrn=jncg 编委会： http://www.ems-ph.org/journals/editorial.php?jrn=jncg 作者投稿指南： http://www.ems-ph.org/journals/authorinfo.php?jrn=jncg
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2007年创刊的《群、几何学、动力学》被SCI收录
wanyuehua 2010-3-11 07:31
2007 年创刊的Groups Geometry and Dynamics《群、几何学、动力学》，ISSN: 1661-7207，季刊，瑞士欧洲数学学会（EUROPEAN MATHEMATICAL SOC, C/O DR THOMAS HINTERMANN, EMS PUBLISHING HOUSE, E T H-ZENTRUM FLI C4, ZURICH, SWITZERLAND, CH-8092）出版，2008年入选 Web of Science的Science Citation Index Expanded，目前在SCI数据库可以检索到该期刊2007年的第1卷1-4期到2010年第4卷第1期共80篇论文。 80 篇文章包括学术论文68篇、会议论文11篇、社论1篇。 80 篇文章的主要国家分布：美国41篇，法国14篇，以色列12篇， 澳大利亚 8 篇， 英国、等各7篇，波兰、西班牙各4篇，加拿大、日本、意大利各3篇，巴西、匈牙利各2篇等。 80篇文章共被引用62次，其中2008年被引用15次，2009年被引用40次，2010年被引用7次，平均引用0. 77次，H指数为3（有3篇文章每篇最少被引用3次）。 Groups Geometry and Dynamics 《群、几何学、动力学》投稿指南： 该刊主要发表关于群理论在数学几何、动力领域中的运用研究性文章，内容包括几何群论、渐近组理论、组合群论、群体概率论、自由概率、群体和低维拓扑等。 网址： http://www.ems-ph.org/journals/journal.php?jrn=ggd 编委会： http://www.ems-ph.org/journals/editorial.php?jrn=ggd 作者投稿指南： http://www.ems-ph.org/journals/authorinfo.php?jrn=ggd
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空间关系与时空联系
热度 1 zhulin 2009-10-30 19:37
由物质运动所形成的空间关系 与 现存的空间关系 之间，存在着一定的差别。而我们的几何学仅仅是现存空间关系的数学抽象，是基于相互作用传递速度为无穷大、以及超距作用原则条件下的几何抽象。所以说，现存空间关系的几何学，不能无条件地反映物质在实际运动过程中所形成的各种空间关系。 光的传播速度是用空间距离长度和时间的比值，实际上我们人类所谓的以各种方式计量的时间，都是一种速度，也就是某过程的变化速度。因此用时光计量的时间，光速就是 C 数值的空间长度米与时间速度秒的当量。光速就是这样将空间长度程度与时间过程程度建立了等价关系，从而把时空联系起来的。
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