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简介“演绎推理” - “肯定前件” （Modus ponens）: 热度 1 liuyu2205 2020-4-20 16:53; “ 肯定前件 ” 是 “ 演绎推理 ” 的基本推理规则，自然演绎系统（ Natural deduction ），希尔伯特系统（ Hilbert system ），相继式演算系统（ Sequent calculus ）皆以此为基础。一， “ 肯定前件 ” 的形式表达 “ 肯定前件 ” ，也称为 “ 三段论 ” ： - “ 如果 A 那么 B ； A ；故 B 。 ” - A, A → B ⊢ B 二， “ 肯定前件 ” 溯源【 1 】 “ 肯定前件 ” （拉丁语 Modus ponens ， MP ）的历史可以追溯到古希腊，第一个明确描述使用 “ 肯定前件 ” 论证的是德奥弗拉斯特（ Theophrastus ）。德奥弗拉斯特（ 371 BC-288 BC ）是古希腊的哲学家，植物学家和博物学家，炼金术士，亚里士多德的学生。对德奥弗拉斯特来说，尽管有障碍和困难，但科学家的合法雄心是要设法阐明他所观察和分析的事物的原因，为达到此目的，需要对一般性理论保持批评的态度，培养自己的观察力，诉诸类比，建立新的假设（如果相关），。。。必须敦促人们学习科学而不是依靠财富。智者应该是这样的：不会在自己的家乡以外成为陌生人；不会失去朋友后缺少爱他的人；成为世界公民，勇敢地轻视财富的弊端。这正是 “ 海内存知己，天涯若比邻 “ ，。。。三， “ 肯定前件 ” 的有效性 “ 肯定前件 ” 可以看作是一般性 “ 因果关系 ” 的形式化表达， “ 推论的信任是一种信念，即如果两个先前的命题（前提）没有错误，那么最终的命题（结论）就没有错误 ” 。换句话说：如果一个命题蕴含第二个命题，而第一个命题为真，则第二个命题也为真。 “ 肯定前件 ” 的有效性还可以使用真值表来说明： p q p → q T T T T F F F T T F F T 参考文献：【 1 】 https://fr.wikipedia.org/wiki/Modus_ponens; 个人分类: 在法国教逻辑课|12871 次阅读|4 个评论

怎样进行数学建模？（续）——与青年朋友谈科研（10）: 热度 2 sqdai 2010-10-4 17:19; 我现在问朋友们一个问题：我们什么时候开始接触数学建模的？如果我说，凡是上过一点学的人都或多或少地学过数学建模，你信吗？想一想，我们上小学时，在做稍稍复杂一点的数学应用题时，例如，著名的鸡兔同笼问题，就得通过较为简单的数学建模来求解。到了中学，这样的例子就更多了。所以，我们对数学建模不必有神秘感。现在国内每年要举行各种数学建模比赛，也使这种神秘感大大减少。目前欠缺的是：在本科和研究生教学中，老师对数学建模的关注和引导不足。这里，引述钱伟长先生的一段话：教学的过程，就在于让学生搞清模型的意义。因为模型反映的是事物的本质，是对客观事物的近似描述。我们要引导学生提出模型，通过抓模型，教给学生一种提出问题、分析问题、解决问题的方法。（钱伟长，跨越世纪，上海大学出版社， 2002 ， 165 页）随着现代科学的发展，各个学科领域相互交叉、融合，特别是数理科学不断渗透到化学、生物学领域，科研中的建模显得越来越重要。昨天的博文中，概略地讲述了自然科学研究中的数学建模问题。今天想举一个实际例子，来体会数学建模的过程。应博友的要求，试图简述流体力学中的基本方程纳维 - 斯托克斯（以下简称为 NS 方程）的导出过程，这一过程本身就是一个绝好的建模过程。我浏览过不少流体力学教材，尤其是一些工程流体力学的教科书，其中往往把这一过程略过不提，或者未做重点介绍，这实际上是放弃了一个进行建模教学的良好机会，也会使学生难以掌握流体力学的精髓，更糟糕的是养成知其然，不知其所以然的不良学习习惯。大体说来，推导 NS 方程可采取宏观演绎方法和微观 - 介观演绎方法，前者采用连续介质假设，通过控制体积或流体微团的分析，建立一个完整的体系；微观 - 介观演绎方法采用统计物理手段，从速度分布密度所满足的波耳兹曼方程，通过对这一方程的各种形式的取矩来导得 NS 方程。本文主要讨论前者。 NS 方程的孕育我们先来简要地回顾流体力学的发展史，主要为了了解 NS 方程的孕育过程。公元前 3 世纪，阿基米德（ 287 － 212BC ）发现浮力定律（阿基米德原理），标志着流体静力学的发端； 1644 年托里拆里（ E. Torricell ， 1608-1647 ）制成气压计；导出小孔出流公式； 1650 年帕斯卡（ B. Pascal ， 1623-1662 ）提出液体中压力传递的帕斯卡原理； 1668 年，马略特（ E. Mariotte ， 1620 － 1684 ），出版专著《论水和其它流体的运动》奠定流体静力学和流体运动学的基础。这时，社会发展产生了发展流体动力学的需求。马略特首次研究了流体产生的阻力；接着， 1678 年，牛顿（ I. Newton ， 1642-1727 ）研究在流体中运动物体所受的阻力，并建立牛顿粘性定律； 1738 年，丹尼尔伯努利（ D. Bernoulli ， 1700-1782 ）出版《流体动力学》，将力学中的活力（能量）守恒原理引入流体力学，建立伯努利定理（伯努利方程）； 1752 年，达朗贝尔（ J. le R. DAlembert ， 1717-1783 ）提出理想流体运动的达朗贝尔佯谬（即在无粘性流体中运动的物体不受阻力； 1755 年，欧拉（ L. Euler ， 1707-1783 ）导出流体平衡方程和无粘性流体的运动方程，即欧拉方程，从而建立了理想流体动力学。此时，粘性流体动力学已呼之欲出。 1763 年，玻尔达（ J-C. Borda ， 1733-1799 ）进行流体阻力试验，给出阻力公式，开了粘性流体动力学研究的先河； 1777 年玻素（ C. Bossut ， 1730-1814 ）等完成第一个船池模型试验，完全确认了流体中运动物体与速度的平方成正比的结论；接着，迪比阿（ P. L. G. Du Buat ， 1734-1809 ）做了更细致的研究，写成《水力学原理》。以上工作为 NS 方程的导出在实验上和理论上奠定了基础。 1822 年，纳维（ C-L-M-H. Navier ， 1785-1836 ）引进连续介质假设，采用流体分子运动的观点，考虑了分子间的相互作用（宏观地表现为粘性），导出粘性流体动力学的动量方程； 1845 年，斯托克斯（ G. G. Stokes ， 1819-1903 ）建立了更为准确的粘性流体的连续介质模型，引进了两个粘性系数，更简洁严谨地导出粘性流体动力学的动量方程（纳维－斯托克斯方程）。现今的流体力学教科书就基本上采用了斯托克斯的表述形式。有关上述历史的详情可参看武际可：《力学史》（上海辞书出版社， 2010 ， 231 ～ 244 页）。导出 NS 方程的基本假设经过梳理之后，我们知道，导出 NS 方程采用了如下基本假设： 1）牛顿力学假设成立。只讨论流速远小于光速和特征长度远大于原子尺度的情形（ Einstein 数远小于 1 ， V 为特征速度， c 为真空中的光速），即不考虑相对论效应和量子效应；相对论流体力学和量子流体力学分别计及这两种效应，不在这里讨论； 2）连续介质假设成立。仅考虑 Knudsen 数（即流体的分子平均自由程远与问题的特征长度之比）远小于 1 的情形，每一宏观小、微观大的流体微团里含有足够多的流体分子，微团紧密地排列着。稀薄气体动力学考虑 Knudsen 数近于或大于 1 的情形；在微流动问题中也会出现这一问题；这里不予研究。 3）热动平衡假设成立。认为运动的流体微团处于热平衡，即分子运动趋于平衡的弛豫时间远小于问题的特征时间； 4）热力学第一、第二定律成立（即能量守恒律和熵增定律成立）； 5） Helmboltz 速度分解定理成立（速度 = 平动速度 + 转动速度 + 变形速度）； 6）广义牛顿粘性定律成立。假设运动流体中的剪切应力等于流体应变率分量的齐次线性组合（含广义粘性系数 81 个）。考虑此定律不成立的情形属于非牛顿流体力学范畴； 7）流体各向同性假设成立。于是，广义粘性系数从 81 个缩减为 2 个； 8） Stokes 假设成立。即假设流体的第二粘性系数（体积粘性系数）为零，不考虑流体压缩或膨胀中的粘性阻滞效应； 9）运动流体中温度不是很高且无急剧变化。可近似地认为流体的粘性系数与温度无关。可以认为温度不太高，不会产生电离和离解现象； 10）流体均质假设成立。不考虑分层流体、异重流及随之而来的浮力等效应。以上各假设中，前五个是本质的，第六、七个假设经常是必需的，后三个假设则是非本质的，视情况需要，可以丢掉（即存在体积膨胀、存在高温区或电离区、流体非均质分层流体）。一言以蔽之，纳维 - 斯托克斯方程适用于非相对论性的、密度足够高的、各向同性牛顿流体运动的描述。在忽略体积粘性系数，假定温度无剧变（即可假定粘性系数为常数）且流体为均质时，方程的形式较为简单。因此，我们在科研中要应用 NS 方程时，首先应考虑其成立的假设是否成立。比方说，在研究微电子器件相关的流体力学问题，就需要慎之又慎。还应注意，狭义地说， NS 方程指的是粘性流体运动的动量方程；广义地说，也可包括质量守恒方程（连续性方程）、能量守恒方程（能量方程），这里采用广义说法，实际上讨论的是流体动力学的基本方程。 NS 方程的宏观推导我们应该知道，推导 NS 方程的出发点是物质的基本守恒律质量守恒、动量守恒、能量守恒定律；为了使方程简约、可解，还必须辅以流体的本构方程， NS 方程通常采用广义牛顿粘性定律为本构方程，这是基于实验的牛顿粘性定律的推广形式。当然，为了使方程组有封闭形式，还要辅以热力学中关于流体的状态方程。这里只谈连续性方程、动量方程和能量方程的宏观推导。如所周知，科学方法论中的推理形式主要有两种：归纳推理和演绎推理。前者从特殊到一般，后者从一般到特殊。力学工作者更习惯于归纳推理。先说归纳推理形式。基本思路是：从流体某个体积中质量、力和能量的动平衡。当这一体积很小时（即取为体积元时），相应的方法就是微元法；当这一体积为有限大小时，相应的方法就是控制体积法。若所取的体积是固定的，就对应于流体力学中的欧拉表述思路；若所取的体积随流体运动时，就对应于流体力学中的拉格朗日描述。因此，每个方程有四种推导方法。在写得好的工程流体力学教科书中，通常采用与直角坐标的坐标面平行的小立方体做体积元。以推导动量方程为例。采用如下的动平衡方程：体积元内的动量变化率＝从各个表面流出的动量＋体积力＋面力（压力梯度与剪切应力）这是流体力学中运用牛顿第二定律的表示。按上述思路，可以导出连续性方程、动量方程和能量方程。它可以有微分形式和积分形式；可以在直角坐标来表示，也可用曲线坐标来表示。（详见吴望一：《流体力学》（上册），北大出版社， 1989 ）。再说演绎推理形式。先建立一个抽象的量在某个运动体积的变化和输运过程，建立一个一般的定理，现在通称为雷诺输运定理，然后以单位体积的质量（即密度）、动量和能量代入，分别导出各个守恒方程。（详见刘应中、缪国平：《高等流体力学》，上海交大出版社， 2002 ，第一章）。进一步建模的减法和加法有了 NS 方程或流体力学基本方程组之后，若碰到更简单的情况，就可采取减法来建模。例如， NS 方程中去掉粘性项之后，就成了欧拉方程。如此等等。如果碰到更复杂的情况，则采用加法，例如，要研究地球流体力学问题，考虑到地球是一个非惯性系，必须在动量方程中加上科氏力项；再如，若要研究湍流，由于存在脉动项，经过雷诺平均后，就可导得 RANS 方程。这时出现了方程不封闭性问题，就得引入别的假设和方程实质封闭。从 NS 方程导出得到的启示限于篇幅，这里无法涉及细节，甚至来不及说到 NS 方程的微观 - 介观推导，不过我们已可得到一些启示：数学建模应建立在已有知识的基础上；建模须从第一原理出发；对于复杂问题的建模必须提出合理的假设，这些假设大多有可靠的实验和理论依据；可以采用多种推理凡是和数学形式来建模。这篇博文的内容稍稍专业一点。看不懂也没有关系，可以略过不读。我注意到，这一系列博文的读者中不仅有青年朋友，而且有一些资深学者，欢迎大家补充、指正。写于 2010 年 10 月 4 日; 个人分类: 科研方略|15890 次阅读|9 个评论

如何判断‘尺缩’‘钟慢’的真假？: chenfap 2009-11-25 14:19; 如何判断尺缩钟慢的真假？在网上常常可以看到批判狭义相对论中尺缩钟慢现象是假科学结论的博文。尺缩钟慢现象是真是假？这是个科学问题，应当而且可以由科学研究和科学讨论来解决。实践是检验真理的唯一标准，尺缩钟慢现象的真假也应当由物理实验来进行检验；这方面的物理实验已有一些，但还不够充分，因此我建议有条件、有兴趣的研究者去开展这类物理实验。除了进行实验外，对科学研究也不可缺少的研究方法还有归纳和演绎。本篇博文只着重谈演绎推理。什么是演绎推理? 所谓演绎推理，就是从一般性的前提出发，通过推导即演绎，得出具体陈述或个别结论的过程。演绎推理的前提与结论之间有着必然的联系，只要前提是真的，推理是合乎逻辑的，就一定能得到正确的结论。演绎推理是数学中一种严格的推理方法，其光辉的例子是欧几里得几何学。中国传统文化缺乏比较严密的逻辑推演学，中国古代对事物规律的描述多是采用比喻，而不是逻辑推演。杨振宁先生认为这是近代科学为什么不能在中国产生的原因之一。尺缩钟慢现象就是由演绎推理得出的结论；其逻辑结构是这样的：以狭义相对性原理和光速不变原理为前提推出罗伦兹变换公式，再以罗伦兹变换公式为前提推出尺缩钟慢现象。刚才说过，演绎推理的特点是，只要前提是真的，推理是合乎逻辑的，就一定能得到正确的结论。因此，只要狭义相对性原理和光速不变原理是真的，推理是合乎逻辑的，则所推出的结论就必然正确。目前的情况是：狭义相对性原理没有人怀疑，光速不变原理有人怀疑不正确。只要光速可变和不存在相互作用传播的极限速度（即使超光速存在，只要相互作用传播速度有极限，狭义相对论仍可重建），狭义相对论、罗伦兹变换公式和尺缩钟慢的结论就都不正确。可是，虽然发现可能存在超光速现象，但它的确信度还并不高，而且还不能肯定不存在相互作用传播的极限速度；因此还不能说，狭义相对论、罗伦兹变换公式和尺缩钟慢的结论不正确。应当指出，推导罗伦兹变换公式及尺缩钟慢现象时所用的数学推理是合乎逻辑的。这里需要解释一下，爱因斯坦在他提出狭义相对论的最初论文中，在推出罗伦兹变换公式时存在一些错误，这当然是爱因斯坦的缺点，但这不能否定他发现相对论的功绩。人都要犯错误，爱因斯坦也不例外。但我认为目前学术界公认的狭义相对论的理论体系是完整的、在逻辑结构上是严密的，这是一百年以来几代物理学家所共同建立的理论体系；这也是我所指的狭义相对论的理论体系。我们应当相信这几代物理学家的共同智慧，相信他们的数学推理是合乎逻辑的。要知道，这一百年来正是物理学大发展和科技大发展的时期，如果认为处于这个时期的几代物理学家不仅没有发现狭义相对论的错误，居然连推理都不合乎逻辑，以致要等着让你去纠正，是否太小看了这一百年来物理学的前辈? 总之，尺缩钟慢现象是真是假？是个科学问题，是可以由科学研究和科学讨论来判断和的解决的。如果光速不变原理是真的，则尺缩钟慢现象就客观存在；如果光速可变和不存在相互作用传播的极限速度，则狭义相对论、罗伦兹变换公式和尺缩钟慢的结论就都不正确。目前对光速是否可变和是否存在相互作用传播的极限速度尚都不能肯定，有必要多进行一些实验、观察研究来检验狭义相对论，但不可贸然地扬弃狭义相对论，更没有理由把它打成伪科学、假科学，真宗教。尺缩钟慢现象是真是假？既然是个科学问题，就应按照科学方法来解决，要重事实，重说理，那些打倒、清算、解放之类用于革命暴力的文字不应出现。; 个人分类: 未分类|5729 次阅读|2 个评论

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