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读黎曼的《论奠定几何学基础的假设》: lzr3333521 2017-12-18 03:47; 这两天读了19世纪德国大数学家黎曼的《论奠定几何学基础的假设》一文，有以下几点与各位分享： 1. 当人们研究几何对象时，应对空间的拓扑性质和度量性质予以区分； 2. 给出了流形的定义，n维流形在局部上和n维欧式空间差不多，可以用n个数组成的坐标来表示。 3. 给出了流形上度量的概念，将其定义为切向量长度的积分。给出了截面曲率的概念，并得到了空间形式度量的局部表达式。; 个人分类: 数学感悟|6142 次阅读|0 个评论

天香·黎曼猜想: 热度 3 kongmoon 2014-11-7 08:36; 素数端倪，千年探索，窥豹花斑初见。一至无穷，同施复幂，倒数累加参验。总和收敛，玄机在、非凡零点。图绘坐标惊目，零点恰临一线！黎曼推敲预感，幂之实、取一折半。可恨百年求证，末功而返。多少英才魄散，不瞑目、天国里长叹。若有来生，先询进展。外一首《忆江南·素数》约数找，一与自身揪。密码循之坚似铁，齿轮依数顺如流。通式问谁求？　　约数只有1和本身的整数叫做素数，又称质数，正式定义为：在一个大于1的自然数中，只能被1和本身整除的数。如3、5、7、11，13，17等，象9就不是素数，而是叫合数，因为它有3个约数：1、3、9。素数是与合数相对立的两个概念，二者构成了数论当中最基础的定义之一。　　素数的应用主要是用在密码学上，因为素数还没有发现它的规律，以它作密钥进行加密的话，破解者必须要进行大量的运算，即使用最快的电子计算机，也会因求素数的过程时间太长而失去了破解的意义。在汽车变速箱齿轮等的设计上，相邻的两个大小齿轮齿数最好设计成素数，以增加两齿轮内两个相同的齿相遇啮合次数的最小公倍数，可增强耐用度减少故障。实验表明，素数次数地使用杀虫剂是最合理的，因为都是使用在害虫繁殖的高潮期，而且害虫很难产生抗药性。以素数形式无规律变化的导弹和鱼雷可以使敌人不易拦截。　　几千年以来，无数优秀的数学家对素数进行了大量的研究，但到目前为止，对素数的了解非常有限，没有找到一个公式能计算出所有的素数，只知道一些素数的分布规律，所以关于素数有大量的世界级的难题，如哥德巴赫猜想等、孪生素数猜想等等，依然在挑战着人类的智商。　　人们在研究中发现，1+1/2+1/3+……1/∞的和最终也是趋向无穷大，数学上叫做发散。但是在这些倒数的分母施加不等于1的幂（次方），这无穷数列的和居然是一个常数，数学上叫做收敛。例如当幂等于2时，1+1/4+1/9+1/16+1/25+……1/∞^2却等于圆周率的平方除以６！当幂为负偶数次方时，得数却是0，这个0叫做平凡零点。德国数学家波恩哈德·黎曼（1826--1866）于1859年将上面的无穷级数进行解析延拓，简单的说就是那个分母的幂定义在复数域里，称作黎曼ζ函数。素数在自然数中的分布问题在纯粹数学和应用数学上都很重要。素数在自然数中的分布并没有简单的规律，黎曼发现素数出现的频率与黎曼ζ函数紧密相关。他将ζ函数的非负偶数次幂的零点称之为“非平凡零点”，他发现在复平面上，这些非平常零点都分布在一条1/2+bi的“临界线”上，于是他大胆猜测：ζ函数的非平凡零点，其幂的实数部分等于二分之一。这就是著名的黎曼猜想。　　黎曼猜想所以被认为是当代数学中一个重要的问题，主要是因为很多深入和重要的数学和物理结果都能在它成立的大前提下被证明。黎曼猜想提出来已经一个半世纪，无数优秀的数学家绞尽脑汁，但还没有证明，数学家利用电脑来检验，结果算了几亿个非平凡零点均未出现反例，克雷数学研究所设立了$1,000,000美元的奬金给予第一个得出正确证明的人。德国有名的数学家希尔伯特（D．Hibert 1862—1943）在老年时曾被人问一个有趣的问题：“假定你能复活，您会做什么呢？”希尔伯特回答：“我会先问黎曼猜想是否已经获得解决了？！”; 个人分类: 数学|5950 次阅读|5 个评论

文献求助·黎曼的万有引力定律？: 热度 3 lev 2014-7-7 22:18; 文献求助·黎曼的万有引力定律？最近加班加点地码字。在查阅《中国大百科全书·天文卷》（中国大百科全书，1980版）时，发现以前留下的书签和笔记。书签所在位置是原书的365~366页，笔记的内容是关于词条“太阳系内的引力定律”（ law of gravitation in solar system ）。该词条有这样一段论述： “十九世纪电磁理论的进展推动了整个物理学的发展，同时这种理论也被应用于研究天体运动。韦伯首先提出，质量为 m 物体的引力势应表示为：接着黎曼提出，万有引力应改为：此外拉普拉斯在早些年代里也探求过引力传播速度和宇宙间介质对引力的吸收问题。尽管这些理论都未能被天文观测证实，都未能全面充分地解释天体的运动，但它们对引力的物理本质却进行了许多有意义的探索，并将场与辐射等概念引入引力研究的范畴。” 这段论述给出的“韦伯引力势”和“黎曼引力定律”很自然得让我联想到了电磁场中的推迟势和达朗贝尔方程。可惜本词条的撰写者童傅先生（天体力学领域的专家）并没有列出参考书目。以至于我到今天都没有找到有关韦伯、黎曼工作的更系统深入的文献。不知哪位老师有线索，望不吝赐教，在此拜谢。; 个人分类: 六经注我|3453 次阅读|5 个评论

《黎曼猜想漫谈》：中文网络上流布最广的数学科普: 热度 4 hutongfuture 2012-11-13 14:16; 《黎曼猜想漫谈》：中文网络上流布最广的数学科普。清华大学出版社科普图书。史上最富有创造性的数学家——黎曼。他奉行恩师高斯的座右铭，宁肯少些，但要成熟。黎曼生前只发表10篇论文，却是很多领域的开拓者。他提出的黎曼猜想是数学史的不朽谜语，被公认为是最伟大的数学猜想。《黎曼猜想漫谈》：作者以非常明晰的数学阐释文字与优雅、生动、有趣的传记和历史篇章交替出现，对一个史诗般的数学之谜作了迷人而流畅的叙述，而这个谜还将继续挑战和刺激着世人。大师留给我们的岂止是一些公式、原理？还有他们对未知世界的探索精神，这都将激发人们对理想和美的追求。数学家王元院士的评价：“本书关于数学的阐述是严谨的，数学概念是清晰的。文字流畅，并间夹了一些流传的故事以增加趣味性与可读性。从这几方面来看，都是一本很好的雅俗共赏的数学科普图书。” 《南方周末》在2012年3月以《十万亿个证据不如一个证明——猜猜黎曼猜想的命运》为题刊登了本书的一个梗概版。科学松鼠会网站也进行了连载，反响很热烈。除此，本书内容也被其他许多知名网站转载或链接过。作者：卢昌海，出生于杭州，本科就读于复旦物理系。毕业后赴美留学，于2000年获得哥伦比亚大学物理学博士学位，目前旅居纽约。著有《寻找太阳系的疆界》《太阳的故事》。并在《中国青年报》《科幻世界》《现代物理知识》《中学生天地》《科学画报》等报纸、杂志上发表几十篇科普及高端科普作品。目录：《黎曼猜想漫谈》读后感（代序）一、哈代的明信片二、黎曼ζ函数与黎曼猜想三、素数的分布四、黎曼的论文--基本思路五、黎曼的论文--零点分布与素数分布六、错钓的大鱼七、从零点分布到素数定理八、零点在哪里九、黎曼的手稿十、探求天书十一、黎曼-西格尔公式十二、休闲课题：围捕零点十三、从纸笔到机器十四、最昂贵的葡萄酒十五、更高、更快、更强十六、零点的统计关联十七、茶室邂逅十八、随机矩阵理论十九、蒙哥马利-欧德里兹科定律二十、希尔伯特-波利亚猜想二十一、黎曼体系何处觅二十二、玻尔-兰道定理二十三、哈代定理二十四、哈代-李特尔伍德定理二十五、数学世界的独行侠二十六、临界线定理二十七、莱文森方法二十八、艰难推进二十九、哪里没有零点三十、　监狱来信三十一、与死神赛跑的数学家三十二、从模算术到有限域三十三、 "山寨版"黎曼猜想三十四、 "豪华版"黎曼猜想三十五、未竟的探索附录A欧拉乘积公式附录B超越ZetaGrid 附录C黎曼猜想大事记参考文献后记当当链接： http://product.dangdang.com/product.aspx?product_id=22840153; 8096 次阅读|7 个评论

数学科普图书《黎曼猜想漫谈》书评: 热度 1 hejunsun 2012-8-9 13:28; 卢昌海是一名出色的科普作家。之前我读过他的一些物理科普文章，让我这个物理门外汉了解物理学中的一些有趣问题。其创立的繁星客栈是较早的一批中文科普网站之一。从这个网站中，我也读到了他和一大批专家的有趣文章。这本《黎曼猜想漫谈》就是他把在八年中写的一系列专题文章集结成书的产物。黎曼猜想是德国数学家黎曼（ Georg Friedrich Bernhard Riemann， 1826-1866 ）在 1859 年提出的一个关于黎曼ζ函数的零点分布的猜想。这位在 40 岁即英年早逝的数学家一生发表的著作并不多。但其不多的文章、讲演等却异常深刻、富有想象力和开创性，因此他后人誉为历史上最具想象力的数学家之一。比如， 1854 年他在格丁根大学做了题为《论作为几何学基础的假设》的就职演讲，黎曼几何得以创立发展起来。读读这位富有创新思想数学家的著作应该是非常富有收获和启迪的一件事，可惜这需要专业而全面的数学知识的支撑。黎曼猜想是数学中著名的而又未获解决的问题之一。不谈对数学理论的具体影响，其重要程度从下面这些事实就可以看出：在 1900 年召开的国际数学家大会上，德国数学家希尔伯特（ David Hilbert ， 1862 － 1943 ）提出了他认为在新世纪至关重要的 23 个数学问题。而黎曼猜想就位列于这 23 个被后人称为希尔伯特问题之中。 100 多年过去了，希尔伯特的 23 个问题大多得以完美解决。但黎曼猜想仍是未解决的几个问题之一。 2000 年，美国克雷数学研究所 (Clay Mathematics Institute ）发布了七个千禧数学问题，对每个问题的第一个正确解答给予一百万美元的奖励。黎曼猜想再次位列其中。因此，本书的选题就是一个足以吸引人的问题。这本《黎曼猜想漫谈》用科普的语言、用抽丝剥茧的方式讲述了黎曼猜想提出后一百多年里的方方面面。这使得对数学知识知之不多的读者了解黎曼猜想也成为可能。作者讲述了曾经从事过黎曼猜想的著名数学家的身平趣事和在黎曼猜想研究方面所做的贡献，介绍了 100 多年里相关数学理论和工具的发展情况。人们常常将好的数学问题比喻成会下蛋的母鸡，以此形容好的数学问题在数学发展过程中的推动作用。从这样的数学问题研究过程中，我们可以管窥数学发展的概貌。因此，阅读本书能够帮助我们了解与黎曼猜想有关的数学进展。而且，本书的文笔力求通俗有趣，比如：“山寨版”黎曼猜想、“豪华版”黎曼猜想等等。相信如我一样对数学文化、数学科普感兴趣的读者一定会有所收获。当然，虽不是数学专业的科班出身，卢昌海仍力求讲清楚黎曼猜想的数学理论。理解这些数学理论和公式需要一定的数学基础。所以，这本书对于数学专业人士也不失为一本有趣而有用的读物。书籍信息：作者: 卢昌海出版社: 清华大学出版社出版年: 2012-8 页数: 224 定价: 25.00元 ISBN: 9787302293248 PS：这是我为卢昌海的数学科普图书《黎曼猜想漫谈》撰写了一则小书评。张贴在此，以示对这位黎曼几何创始人、被誉为历史上最具想象力的数学家之一的黎曼的纪念！也希望更多的人能看到这本有趣的数学科普读物！ http://res.kedo.gov.cn/book.jsp?itemId=75931; 个人分类: 随笔|7449 次阅读|2 个评论

黎曼和他的伟大猜想: 热度 6 陈安博士 2012-3-10 22:59; 【Blog主人按1：数学是问题驱动的，我们看见那激动人心的一个一个问题，然后再看到后来一个一个成为了定理，那背后就是数学家们的搏杀，是世界上最聪明的一些人做智力上的比拼】【Blog主人按2：数学里的四大家，一般认为有阿基米德，欧拉，高斯，黎曼这四位。欧拉的书不断地进行N阶复制，思想传播到每一个学过数学的人脑中，而高斯的聪明更是无以复加，他牛的时候一篇论文开拓一个全新的数学方向或学科，对于普通人，只有膜拜。然后就是黎曼了，爱因斯坦的那些玩意儿其数学的主要基础就是黎曼的东西。】【Blog主人按3：】【来自南方周末本周新一期， http://nf.nfdaily.cn/epaper/infzm/html/2012-03/08/content_7065041.htm 】卢昌海 ◤与费尔马猜想时隔三个半世纪以上才被解决，哥德巴赫猜想历经两个半世纪以上屹立不倒相比，黎曼猜想只有一个半世纪的纪录还差得很远，但它在数学上的重要性要远远超过这两个大众知名度更高的猜想。黎曼猜想是当今数学界最重要、最期待解决的数学难题。 2000年5月24日，美国克雷数学研究所在法国巴黎召开了一次数学会议。在会议上，与会者们列出了七个数学难题，并作出了一个颇具轰动性的决定：为每个难题设立一百万美元的巨额奖金。距此次会议一百年前的1900年，也是在巴黎，也是在一次数学会议上，一位名叫希尔伯特的德国数学大师也列出了一系列数学难题。那些难题一分钱的奖金都没有，但对后世的数学发展产生了深远影响。这两次远隔一个世纪遥相呼应的数学会议除了都在巴黎召开外，还有一个相同的地方，那就是在所列举的问题之中，有一个且只有一个难题是共同的。那个难题就是“黎曼猜想”。黎曼猜想顾名思义，是由一位名叫黎曼的数学家提出的，这位数学家于1826年出生在一座如今属于德国，当时属于汉诺威王国的名叫布列斯伦茨的小镇。1859年，黎曼被选为了柏林科学院的通信院士。作为对这一崇高荣誉的回报，他向柏林科学院提交了一篇题为“论小于给定数值的素数个数”的论文。这篇只有短短八页的论文就是黎曼猜想的“诞生地”。黎曼那篇论文所研究的是一个数学家们长期以来就很感兴趣的问题，即素数的分布。素数是像2、5、19、137那样除了1和自身以外不能被其他正整数整除的数。这些数在数论研究中有着极大的重要性，因为所有大于1的正整数都可以表示成它们的乘积。从某种意义上讲，它们在数论中的地位类似于物理世界中用以构筑万物的原子。素数的定义简单得可以在中学甚至小学课上进行讲授，但它们的分布却奥妙得异乎寻常，数学家们付出了极大的心力，却迄今仍未能彻底了解。黎曼论文的一个重大的成果，就是发现了素数分布的奥秘完全蕴藏在一个特殊的函数之中——尤其是，使那个函数取值为零的一系列特殊的点对素数分布的细致规律有着决定性的影响。那个函数如今被称为黎曼ζ函数，那一系列特殊的点则被称为黎曼ζ函数的非平凡零点(下文中有时将简称其为零点)。有意思的是，黎曼那篇文章的成果虽然重大，文字却极为简练，甚至简练得有些过分，因为它包括了很多“证明从略”的地方。而要命的是，“证明从略”原本是应该用来省略那些显而易见的证明的，黎曼的论文却并非如此，他那些“证明从略”的地方有些花费了后世数学家们几十年的努力才得以补全，有些甚至直到今天仍是空白。黎曼为什么要把那么多并非显而易见的证明从略呢？也许是因为它们对于他来说确实是显而易见的，也许是因为不想花太多的时间来撰写文章。但有一点基本可以确定，那就是他的“证明从略”绝非类似于调皮学生蒙混考试的做法，而且很可能也并非是把错误证明当成正确的盲目乐观——后者在数学史上不乏先例，比如法国数学家费尔马在写下费尔马猜想时所表示的“我发现了一个真正出色的证明，可惜页边太窄写不下来”就基本已被数学界认定是把错误证明当成正确的盲目乐观。因为人们后来从黎曼的手稿中发现他对许多从略了的证明是做过扎实研究的，而且那些研究的水平之高，甚至在时隔了几十年之后才被整理出来，也往往仍具有极大的领先性。但黎曼的论文在为数不少的“证明从略”之外，却引人注目地包含了一个他明确承认了自己无法证明的命题，那个命题就是黎曼猜想。那么，黎曼猜想究竟是一个什么猜想呢？简单地说，是一个关于我们前面提到的，对素数分布的细致规律有着决定性影响的黎曼ζ函数的非平凡零点的猜想。关于那些非平凡零点，容易证明的结果只有一个，那就是它们都分布在一个带状区域上，但黎曼认为它们的分布要比这个容易证明的结果齐整得多，他猜测它们全都位于该带状区域正中央的一条直线上，这就是所谓的黎曼猜想。而这条被猜测为包含黎曼ζ函数所有非平凡零点的直线则被称为临界线。黎曼猜想自1859年“诞生”以来，已过了一百五十多个春秋，在这期间，它就像一座巍峨的山峰，吸引了无数数学家前去攀登，却谁也没能登顶。当然，如果仅从时间上比较的话，黎曼猜想的这个纪录跟费尔马猜想时隔三个半世纪以上才被解决，以及哥德巴赫猜想历经两个半世纪以上屹立不倒相比，还差得很远。但黎曼猜想在数学上的重要性却要远远超过这两个大众知名度更高的猜想。有人统计过，在当今数学文献中已有超过一千条数学命题以黎曼猜想(或其推广形式)的成立为前提。如果黎曼猜想被证明，所有那些数学命题就全都可以荣升为定理；反之，如果黎曼猜想被否证，则那些数学命题中起码有一部分将成为陪葬。一个数学猜想与为数如此众多的数学命题有着密切关联，这是极为罕有的。不过，数学家们攀登黎曼猜想这座巍峨山峰的努力虽然迄今没能取得完全成功，在这过程中却也获得了一些阶段性成果，好比是扎下了几座营寨。这其中第一个阶段性成果出现在黎曼猜想问世三十七年后的1896年。我们在前面提到过，关于黎曼ζ函数的非平凡零点，容易证明的结果只有一个，那就是它们都分布在一个带状区域上。那个阶段性成果是什么呢？就是将那个带状区域的边界剔除掉了——也就是说，黎曼ζ函数的非平凡零点只分布在带状区域的内部，不包括边界。这个成果是由法国数学家哈达玛与比利时数学家普森彼此独立地给出的。粗看起来，这似乎是很微不足道的成果，一个带状区域的边界跟它的内部相比，从面积上讲比例实际上是零。但是别小看了这个成果，它对于研究黎曼猜想来说只是一小步，对于研究另一个数学猜想来说却是巨大的飞跃，因为它直接导致了后者的证明。那个数学猜想如今已被称为素数定理，它所描述的是素数的大范围分布规律。素数定理自被提出以来悬而未决已超过一百年，在当时乃是一个比黎曼猜想更令数学界期待的东西。在上述成果之后又隔了十八年，1914年，丹麦数学家玻尔与德国数学家兰道取得了另一个阶段性成果，那就是证明了黎曼ζ函数的非平凡零点倾向于“紧密团结”在临界线的周围。这个结果用数学语言来说，就是包含临界线的无论多么窄的带状区域都包含了黎曼ζ函数的几乎所有非平凡零点。不过“紧密团结”归“紧密团结”，这一结果却不足以证明任何一个零点恰好就在临界线上，因此它距离黎曼猜想的要求仍然相差很远。但就在那同一年，另一个阶段性成果出现了：英国数学家哈代终于将“红旗”插上了临界线——他证明了黎曼ζ函数有无穷多个非平凡零点位于临界线上。粗看起来，这似乎是一个非同小可的结果，因为黎曼ζ函数的非平凡零点总共就是无穷多个，而哈代已经证明了无穷多个零点位于临界线上，从字面上看，两者简直一模一样了。可惜无穷大是数学中一个很微妙的概念，同样是无穷大，彼此却未必是一回事，不仅未必是一回事，简直可以要差多远就差多远，甚至差无穷远！因此，为了知道哈代的结果离黎曼猜想的要求还有多远，我们需要更具体的结果。那样的具体结果出现在七年后的1921年。那一年，哈代与英国数学家李特伍德合作，对自己七年前那个结果中的“无穷多”做出了具体估计。那么，按照这个具体的估计，那位于临界线上的“无穷多个非平凡零点”跟全部非平凡零点相比，究竟占多大的百分比呢？答案可能沮丧得出乎读者们的意料：百分之零！数学家们将这个百分比推进到一个大于零的数字是在二十一年后的1942年。那一年，挪威数学家赛尔伯格证明了这个百分比大于零。赛尔伯格做出这项成果时正值第二次世界大战的硝烟在欧洲各地弥漫，他所在的挪威奥斯陆大学几乎成了一座孤岛，连数学期刊都无法送达。但赛尔伯格不在乎，他表示“这就像处在一座监狱里，你与世隔绝了，但你显然有机会把注意力集中在自己的想法上，而不会因其他人的所作所为而分心，从这个意义上讲我觉得那种情形对于我的研究来说有许多有利的方面”。他很好地利用了那“许多有利的方面”，孤独地进行着“一个人的战斗”，并最终取得了成果，他的成果是如此显著，以至于玻尔在战后曾戏说战时整个欧洲的数学新闻可以归结为一个词，那就是：赛尔伯格。不过赛尔伯格虽然证明了那个百分比大于零，却并没有在论文中给出具体数值。在赛尔伯格之后，数学家们开始这一比例的具体数值进行研究，其中以美国数学家列文森的成果最为显著，他证明了至少有34%的零点位于临界线上。列文森取得这一成果是在1974年，那时他已年过花甲，并且行将走到生命的尽头(他第二年就去世了)，却依然顽强地从事着数学研究。在列文森之后，这方面的推进变得十分缓慢，几位数学家费尽九牛二虎之力也只能在百分比的第二位数字上做文章，其中包括中国数学家楼世拓与姚琦(他们于1980年证明了至少有35%的零点位于临界线上)。直到1989年，才有人撼动百分比的第一位数字：美国数学家康瑞(Brian Con-rey)证明了至少有40%的零点位于临界线上。这也是这方面——并且也是整个黎曼猜想研究中——目前最强的结果。另外值得一提的是，“黎曼猜想”这一金字招牌后来被推而广之，用来表示一些“山寨版”和“豪华版”的猜想。那些猜想为什么能跟黎曼猜想共享招牌呢？那是因为它们跟黎曼猜想有极大的相似性，比如都有一个跟黎曼ζ函数相类似的函数，那个函数具有与黎曼ζ函数相类似的性质，等等。在那些猜想中，“豪华版”黎曼猜想乃是一些比黎曼猜想更强(即把黎曼猜想包含为特例)的猜想，它们跟黎曼猜想一样，迄今尚未得到证明(这是显然的，否则的话黎曼猜想也就被证明了)。但“山寨版”黎曼猜想却已全部得到了证明。撇开我们所取的不中听的绰号不论，它们的证明乃是数学上的重大成果，既催生过新数学方法的诞生，也为证明者摘取过数学界的最高奖——菲尔茨奖。而且，“山寨版”黎曼猜想作为唯一挂着黎曼猜想这一金字招牌却被证明了的猜想，曾使人们对久攻不下的黎曼猜想也一度乐观起来。可惜他山之石，并不总是可以攻玉的。从目前的情况来看，“山寨版”黎曼猜想就能在“山寨”里玩，它们的证明虽然重要，对于解决真正的黎曼猜想却并无实质性的启示。也许在很多人眼里，数学是一门很枯燥的学问，数学家们则是一群性格乏味的怪人。但实际上，富有智慧的人往往是不会真正乏味的，数学家们也是如此，他们在埋头演算的勤恳之外，也给我们留下了许多独特的幽默。匈牙利数学家波利亚曾经讲过一个跟黎曼猜想有关的小故事，故事的主角就是我们前面提到过的英国数学家哈代与丹麦数学家玻尔。这两位在黎曼猜想研究中做出过成果的数学家当然都对黎曼猜想怀有浓厚兴趣。有一段时间，哈代常常利用假期访问玻尔，一起讨论黎曼猜想，直到假期将尽才匆匆赶回英国。结果有一次，当哈代又必须匆匆赶回英国时，很不幸地发现码头上只剩下一条小船可以乘坐了。从丹麦到英国要跨越几百公里宽的北海，在汪洋大海中乘坐小船可不是闹着玩的事情，弄不好就得葬身鱼腹。为了旅途的平安，信奉上帝的乘客们大都忙着祈求上帝的保佑。哈代却是一个坚决不信上帝的人，非但不信，甚至还蓄意跟上帝作对：把向大众证明上帝不存在列入自己某一年的年度心愿之一。不过在生死攸关的旅程面前哈代也没闲着，他给玻尔发去了一张简短的明信片，上面只写了一句话：“我已经证明了黎曼猜想”。哈代果真证明了黎曼猜想吗？当然不是。他为什么要发这么一张忽悠同事的明信片呢？当他平安抵达英国后他向玻尔解释了原因。他说如果那次他所乘坐的小船果真沉没了的话，那句话就会变得死无对证，人们就只好相信他确实证明了黎曼猜想。可是他知道上帝是绝不会甘心让他这样一个坚决不信上帝的人获得如此巨大的荣誉的，因此它一定不会让小船沉没的。哈代用自己的幽默成为了故事主角，有些数学家则是因为其他数学家的幽默而被动地成为了故事主角，我们前面提到过的法国数学家哈达玛与比利时数学家普森就是如此。这两人成为主角的原因大家恐怕是猜不到的，那是因为他们的长寿：哈达玛享年98岁，普森活到96岁。这两个令人眼红的岁数不知从何时开始引发了一个传说，那就是谁要是能证明黎曼猜想，他就能不朽——不是抽象意义上的不朽(那是毫无疑问的)，而是实际意义上的不朽(即长生不老)！不过这个传说看来是没有关怀到玻尔和兰道，他们的研究成果可比哈达玛和普森的强多了，照说起码也该混个百岁老人当当吧。结果呢？兰道只活了61岁，玻尔稍胜一筹，也只有63岁。可能是意识到这个传说漏洞太大，数学家们又把幽默指向了另一个方向：出生于波兰的数学家欧德里兹科提出了一个完全相反的说法，那就是：谁要是否证了黎曼猜想，他就会立刻死去！欧德里兹科甚至开玩笑说其实黎曼猜想已经被否证了，只不过那个否证了黎曼猜想的倒霉蛋没来得及发表文章就死去了。当然，这些都只能作为饭后茶余的谈资而不宜较真。不过，一个极度艰深的东西对投入得过深的人产生健康方面的影响，倒是不无可能的。数学界也确实有人猜测，黎曼猜想的极度艰深有可能对个别数学家的健康产生过影响。比如流行传记《美丽心灵》的主角、美国数学家纳什曾在二十世纪五十年代后期研究过黎曼猜想，在那之后不久就患上了精神分裂症。纳什患病的原因一般认为是参与军方工作所引致的心理压力，但也有人认为他贸然去啃黎曼猜想那样的坚果，对他的病症发展有可能起到过推波助澜的作用。黎曼猜想可以说是当今数学界最重要、并且是数学家们最期待解决的数学猜想。美国数学家蒙哥马利曾经表示，如果有魔鬼答应让数学家们用自己的灵魂来换取一个数学命题的证明，多数数学家想要换取的将会是黎曼猜想的证明。在探索黎曼猜想的过程中，很多数学家曾经满怀信心，渐渐地却被它的艰深所震动，态度转为了悲观。我们前面提到过的李特伍德就是一个例子，当他还是学生的时候，他的导师就随手把黎曼ζ函数写给了他，让他利用暑假时间研究它的零点位置。初出茅庐的李特伍德也不当回事地领命而去。后来他与哈代倒也果真在这方面做出了成果。但渐渐地，他的态度发生了变化，甚至表示：“假如我们能够坚定地相信这个猜想是错误的，日子会过得更舒适些”。曾经在“山寨版”黎曼猜想研究上做出过成果的法国数学家韦伊也有过类似的态度转变。当他在“山寨版”黎曼猜想研究上做出成果时，曾像一些其他人一样对解决黎曼猜想燃起了信心，表示如果自己证明了黎曼猜想，会故意推迟到猜想提出100周年(即1959年)时才公布——言下之意，自己不迟于1959年就有可能解决黎曼猜想。不过，岁月渐渐磨去了他的乐观，他晚年时曾对一位友人承认，自己有生之年不太可能看到黎曼猜想的解决。就连本文开头提到的那位德国数学大师希尔伯特，他对黎曼猜想的看法也经历了从乐观到悲观的转变。在1919年的一次演讲中，希尔伯特曾表示自己有望见到黎曼猜想的解决，但后来他的态度显著地转为了悲观。据说有人曾经问他：如果他能在五百年后重返人间，他最想问的问题是什么？他回答说最想问的就是：是否已经有人解决了黎曼猜想？; 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多维时空: 热度 1 mohsh 2012-1-6 10:57; 多维时空理论是目前科学的前沿和热点，也非常时髦。但目前多维时空仅仅是建立在数学框架上的一种假设。数学上完美并不意味着是真实的存在。至少，目前科学家还没有在物理上 ( 或说观测上 ) 的证据，也没有在逻辑上推导出多维时空理论存在的必然性。科学家为了促进对多维时空的理解，总是利用二维世界的生物无法理解三维时空的特性，来企图说明我们三维世界中的人无法观测更高维的时空。但这在逻辑上是不完备的，因为二维的情况也仅仅是一种设想。该设想是基于生活在地球表面的人曾经认为地是平的推演。事实上，人类认识到生活在一个球面上是通过天文观测得到的结果，源于人类认识世界的尺度增大，而与所在的世界的维度无关，也就是说人类生活的时空的维度只要是存在的，总应该能被观测到。那些力图说明人类无法观测四维外更多维时空的观点，事实上在逻辑上意味着更多维时空并不是客观存在的。无法观测到的维度，则意味着这些维度对我们的现实世界没有作用，那它就没有存在的必要。从逻辑上讲，即便二维的生物无法理解三维，而且三维的生物无法理解四维 ( 空间 ) 乃至更高维被证实，也仅说明可以存在更高维的时空，而不是说证实它存在。另外，从黎曼到爱因斯坦，都企图通过空间的弯曲来解释力。但这种解释无非是增加了空间为何弯曲、弯曲为何产生作用等更多先验性问题。如果多维时空理论仅是一种可以解释目前物理现象的更简单的模式，那它就像非欧几何对欧氏几何一样，仅是一种参考框架变化而已，时空该怎样还是怎样。希望不是如此。; 4098 次阅读|0 个评论

拓扑学简介（四）—— 流形: songshuhui 2009-12-30 19:25; xiphoid 发表于 2009-12-30 13:20 拓扑学简介（一）拓扑学简介（二）拓扑学简介（三） 1854年，28岁的黎曼在哥廷根大学发表就职演讲。这个职位是所谓无薪讲师，他的收入完全来自于听课的学生所缴纳的学费。即使是争取这样一个职位，也需要提供一篇就职论文以及发表一个就职演讲。1853年他提交了就职论文，其中讨论了什么样的函数可以展开成三角级数的问题，并导致对定积分的第一个严格数学定义。之后的就职演讲要求候选人准备三个演讲课题，委员会从中挑选一个作为正式演讲题目。黎曼选了两个思虑多时的课题，外加一个还未及考虑的课题关于几何学的基本假设。他几乎确信委员会将挑选前面两个题目之一。然而，委员会的高斯偏偏就看中了第三个题目。当时黎曼正沉浸于电、磁、光、引力之间的相互关系问题，从这样的深沉思考中抽身转而研究新的问题无疑是一种巨大的压力，再加上长期的贫穷，一度让黎曼崩溃。但不久他就重新振作起来，用 7 个星期时间准备了关于几何学基本假设的演讲。为了让数学系以外的委员会成员理解他的演讲，黎曼只用了一个公式，并且忽略了所有计算细节。尽管如此，估计在场鲜有人能理解这次演讲的内容。只有高斯为黎曼演讲中蕴含的深邃思想激动不已。黎曼在演讲中提出了弯曲空间的概念，并给出怎样研究这些空间的建议。弯曲空间正是后世拓扑学研究的主要对象。在这些对象上，除了可以运用代数拓扑的工具，还可以运用微积分工具，这就形成了微分拓扑学。回到黎曼的演讲。黎曼认为，几何学的对象缺乏先验的定义，欧几里德的公理只是假设了未定义的几何对象之间的关系，而我们却不知道这些关系怎么来的，甚至不知道为什么几何对象之间会存在关系。黎曼认为，几何对象应该是一些多度延展的量，体现出各种可能的度量性质。而我们生活的空间只是一个特殊的三度延展的量，因此欧几里德的公理只能从经验导出，而不是几何对象基本定义的推论。欧氏几何的公理和定理根本就只是假设而已。但是，我们可以考察这些定理成立的可能性，然后再试图把它们推广到我们日常观察的范围之外的几何，比如大到不可测的几何，以及小到不可测的几何。接着，黎曼开始了关于延展性，维数，以及将延展性数量化的讨论。他给了这些多度延展的量（几何对象）一个名称，德文写作 mannigfaltigkeit, 英文翻译为manifold，英文字面意思可以理解为多层，中国第一个拓扑学家江泽涵把这个词翻译为流形，取自文天祥《正气歌》，天地有正气，杂然赋流形，而其原始出处为《易经》，大哉乾元，万物资始，乃统天。云行雨施，品物流形。这个翻译比英文翻译更加符合黎曼的原意，即多样化的形体。黎曼定义的 n 维流形大概是这个样子的：以其中一个点为基准，则周围每个点的位置都可以用 n 个实数来确定。后人将这种性质总结为：流形的局部与 n 维欧氏空间的局部具有相同的拓扑性质。如果进一步要求在流形的不同局部做微积分的结果可以互相联系起来，成为整体微积分，则称此流形为微分流形。一个简单的例子就是二维球面。我们都知道，二维球面上没有整体适用的坐标。经度和纬度是一组很好的坐标，但是在南北两极，经度无从定义。尽管如此，球面的每个局部都可以画在平面上，这就是地图。把各个区域的地图收集在一起，重叠的部分用比例尺协调一下，就得到整个球面。这样，坐标（或地图）只存在于每个局部，而整个球面其实是地图之间的重叠关系。球面是二维流形，因为球面的局部同平面（二维欧氏空间）的局部具有相同的延展性质。球面的整体结构显然跟平面不同。沿着球面的某个方向往前走，比如，从赤道某点出发往东走，最终会回到出发点。而如果在平面上沿某个方向往前走则永不回到出发点。研究流形的整体结构，以及整体结构与局部结构之间的关系，就是拓扑学的核心课题。微分流形上可以使用微积分的工具，再辅之以前面介绍过的代数工具（同调群，同伦群），就形成了威力强大的微分拓扑学。这门学问的发展使我们对 5 维以上的单连通微分流形（回忆先前介绍的单连通概念，即每条曲线可于流形内滑缩为一点）有了比较彻底的认识。到了80年代，数学家对 4 维单连通拓扑流形也有了彻底的认识，然而 4 维微分流形却是无比复杂的对象。比如，直观上最简单的四维流形，四维欧氏空间，也就是所有 (x,y,z,t) 这样的数组组成的空间，有无穷多个微分结构，通俗一点说，这个流形上有无穷多种整体微积分可做，而我们通常做的四元微积分只是其中一种。这是 4 维的特殊性，因为其他维数的欧氏空间都跟我们的常识相符。也许 4 就是传说中的上帝之数，我们的宇宙就是用 4 个参数来描述的（3个参数表示空间，1 个参数表示时间），我们的时空是一个四维流形。如果我们忘掉时间，只考察我们生活的空间。它的形态会是怎样？这是黎曼在演讲结尾提出的问题。这个问题到现在还没有答案。这个答案需要物理学家、天文学家、宇宙学家去寻找。宇宙空间会不会是一个三维球面？如果是三维球面，那我们沿着一个方向往前飞行，最终总会回到起点。; 个人分类: 数学|2614 次阅读|0 个评论

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