陷阱位置对树形聚合物与超支化聚合物网络上陷阱效率的影响 林苑 章忠志 摘要 ：陷阱问题是聚合物系统研究中的一个基本问题，它与许多聚合物系统上的许多动力学过程紧密相关。本文研究了 Cayley trees 与 Vicsek fractals 这两种具有不同拓扑结构性质的聚合物网络上的陷阱问题。 Cayley trees 与 Vicsek fractals 可以分别表示树形聚合物与超支化聚合物这两类典型的大分子，对这两类网络的研究具有重要意义。本文的主要研究目标是确定陷阱位置对陷阱吸收效率的影响。这里的陷阱吸收效率是通过平均吸收时间 (average trapping time, ATT) 、即网络上所有节点到达陷阱点的平均首达时间来衡量的。对于 Cayley trees ，给出了任意节点作为陷阱时 ATT 的精确解析结果，在此基础上给出了 Cayley trees 上所有节点平均 ATT 的解析表达式；对于 Vicsek fractals ，研究了将陷阱置于距离网络中心最远的边界节点时 ATT 的解析结果，同时给出了将陷阱置于其它节点时 ATT 的数值结果，最后精确计算了 Vicsek fractals 上所有节点的平均 ATT 。研究结果表明，陷阱位置对于这两类网络上陷阱吸收效率有截然不同的影响。具体地说，对于 Cayley trees ，网络陷阱位置对陷阱吸收效率有明显影响： ATT 的阶随着陷阱与网络中心间距离的增加而增大；对于 Vicsek fractals ，网络陷阱位置对陷阱吸收效率没有明显影响，因为对于网络上任意节点作为陷阱时， ATT 的阶是一致的。此外还发现，无论是陷阱置于中心节点、边界节点、还是在网络上均匀分布，对于这三种陷阱问题， Cayley trees 的陷阱吸收效率均高于 Vicsek fractals 。最后，说明了陷阱吸收效率的不同是由于这两类网络拓扑结构的差异所致。 相关结果已经被《 The Journal of Chemical Physics (JCP) 》正式录用，拟于近期发表。 JCP 为一直为中科院 SCI 分区列表二区中的 Top 期刊，近五年的平均影响因子为 3.238 ， 2011 年影响因子为 3.333 。 发表的 文章 PDF 版本： Influence of trap location on the efficiency of trapping in dendrimers and regul.pdf
含有单个陷阱的随机游走运输效率最优的无标度网络 杨一航 章忠志 中文摘要 ：平均陷阱时间在含有单个节点的陷阱问题中起着中心的作用，因为它是刻画陷阱问题效率一个关键的定量指标。先前的工作给出了在带有单个陷阱的网络中，随机游走平均陷阱时间的一个最大下界。然而，对于究竟在哪个网络能达到这个下界仍没有完全搞清楚。特别地，在这类网络中，甚至于在其中一个特定网络中，关于平均首达时间的明确定量结果仍然是个空白，尽管这样的网络对于设计具有最高效陷效率的最优网络有重要的借鉴意义。本文研究了一个层次无标度网络上含单位陷阱的随机游走问题。主要关注陷阱分别放在如下四个不同位置的典型情形：集散节点、任一个边界点、集散节点的一个度为 1 的邻居、以及离集散节点最远的一个点。对于这四种情形，分别导出了平均陷阱时间的封闭解以及其主导项。结果表明，这四种情形的平均陷阱时间主导项都能达到以前工作证明的最大下界。本项研究可以加深理解无标度网络上含单个陷阱的随机游走问题，并对设计具有最优传输过程的网络有一定的指导作用。 相关结果已在《 The Journal of Chemical Physics 》正式发表。 文章发表的 PDF 版本： Optimal scale-free network with a minimum scaling of transport efficiency for ra.pdf
网络上含有单个陷阱的随机游走的平均吸收时间 林苑，阿拉法特 •居来提，章忠志 摘要 ：给出了一般网络上含有单个陷阱、且陷阱放在任意节点上的随机游走全局平均首达时间 (Global mean first-passage time, GMFPT) 的一个精确公式，其中 GMFPT 表示从网络任意节点出发首次到达陷阱的平均期望时间，这一公式是通过网络拉普拉斯矩阵的特征值与特征向量表示出来的。之后，利用这一表达式研究了 GMFPT 的下界，得到了利用网络的节点数、边数、以及陷阱点的度表示出来的关于 GMFPT 的一个紧的下界，并证明了该下界在完全图与星状图可以达到。特别地，我们还发现：对于具有 N 个节点、且节点度服从 P(d)~d^{-γ} 分布的稀疏的无标度网络，当陷阱点置于网络中度最大的节点上时， GMFPT 下界的阶为 N^{1-1/γ} 。最后，证明了 GMFPT 上界的阶为 N^3 ，并证明了这一上界的阶在哑铃图可以达到。这项研究工作有助于全面地理解过去关于特定网络上陷阱位于特定节点的随机游走问题的研究结果。 相关结果已在《 The Journal of Chemical Physics (JCP) 》正式发表。 JCP 创刊于 1933 年，其创刊标志着化学物理这一学科的正式诞生。 JCP 在 33 个化学物理期刊中的影响排名第一，为中科院 SCI 分区列表二区中的 Top 期刊，近五年的平均影响因子为 3.238 ， 2011 年影响因子为 3.333 。 文章发表的 PDF 版本： Mean first-passage time for random walks in general graphs with a deep trap.pdf
摘要： 通过两种不同的方法导出了一般无向网络上任意两点间平均首次到达时间（ MFPT ）的一个明确公式，该公式由一个矩阵的特征值与特征向量表出，这一矩阵与随机游走的概率转移矩阵相似。然后，利用所得的 MFPT 公式，推导出了部分节点对间的 MFPT 加权平均的一个下界。所求的 MFPT 加权平均实际上是关于终点为某一给定节点，起点是从平稳分布的节点集当中任意选取的随机游走 MFPT 的平均。特别地，对于一个节点数为 N 、度分布为 P(d)~d^(-γ) 的无标度网络，这一 MFPT 加权平均值下界的度量与网络规模 N 关系服从 N^(1-1/γ) 这一 形式。此外，给出了随机游走特征时间的一个简单推导方法。这一工作提供了关于网络上随机游走的一个一般框架，可以加深对最近所报道的关于复杂网络、特别是无标度网络上随机游走结果的理解。 相关结果已发表在近期的《 European Physical Journal B 》上。 发表的 PDF 版本： Mean first-passage time for random walks on undirected networks.pdf
中文摘要 ： 大量的实证研究表明，众多真实网络同时拥有无标度和模块结构两个重要性质，因此，研究这两个重要性质对于网络上各种各样动态过程的影响显得非常重要。本文研究了一类模块化无标度网络上两个含有多个陷阱的随机游走问题。首先，推导给出了一般网络上多个陷阱问题平均首达时间的一个普适公式，这里的平均首达时间指粒子从任意非陷阱节点出发首次被陷阱点吸收的期望时间。虽然所得公式的计算复杂度很高，但通过该公式计算出的结果是精确的，而且公式的计算方法与过程与陷阱点的数目及位置无关。接着，解析计算了所研究的两个随机游走问题的平均首达时间，并得到了解析结果，且所得解析结果与通过此前导出的普适公式得到的数值结果完全一致。在所考虑的两个随机游走问题中，平均首达时间都是节点数的幂律函数，但是它们的指数并不一样。这一结果表明，陷阱的数目和位置对于平均首达时间的度量大小起着十分关键的作用。文章结尾论证了两种情形下平均首达时间度量大小不同的根本原因在于网络的模块性和无标度性。这一工作有助于加深理解带有模块结构的无标度网络上的扩散问题，同时可以促进复杂随机网络上含有多个陷阱的随机游走问题的进一步深入研究。 相关结果已在《 Physical Review E 》上发表。 文章的发表 PDF 版本： Random walks in modular scale-free networks with multiple traps.pdf
分形维是理解网络上动态过程的关键量。尽管无标度分形网络在现实生活中很普遍，但这类网络上的随机游走行为与分形维数之间关系却很少有人研究。本文研究了两类网络上的陷阱问题。第一类是确定性的，通常称之为 (x,y)-flowers ；另一类是随机的，是 (1,3)-flower 和 (2,4)-flower 的组合，称之为混合网络。这两类网络呈现出与许多现实系统类似的丰富行为、以及其它网络所不具有的一些独特的拓扑性质。我们分别解析推导了 (x,y)-flowers 和混合网络上具有单个陷阱（位于一个初始节点上，这个节点具有最大度数）的随机游走的平均陷阱时间。基于严谨的公式推导，我们揭示了平均陷阱时间与网络大小的尺度关系。通过比较所得的结果，我们进一步发现，分形维数对于无标度分形网络上的平均陷阱时间起着决定性作用，即平均陷阱时间随着分形维数的增长而下降。 相关结果已在《 European Physical Journal B 》上正式发表。 文章发表的 PDF 版本： Role of fractal dimension in random walks on scale-free networks.pdf
研究了一类树状规则分形上带有单个陷阱点的随机游走问题，其中陷阱固定在中心节点上。得到了这类分形上陷阱问题对应的随机主方程的全部特征值及其重数，其中特征值通过一个显示的递推关系式给出。此外，给出了最小特征值的近似解，并指出它的倒数与平均陷阱时间近似相等。所提出的计算网络特征值及其重数的方法还适用于其它树状规则分形。 相关结果已经被《 EPL (Europhysics Letters) 》正式录用，拟于近期发表。 国际专家的评论： I read with much interest the submitted manuscript, whose authors succeeded in determining exactly the spectra of an important family of tree-like fractals. This is a very significant achievement........ The work is written in a very clear and concise manner and should be readily understood by specialists and non-specialists alike. I hence recommend publication of the manuscript inEPL. 文章发表的 PDF 版本： Complete spectrum of stochastic master equation for random walks on treelike fractals.pdf
汉诺塔问题是一个古老的“游戏”，在每本计算机程序设计教课书里，几乎都把求解汉诺塔问题作为递归算法的范例。经典的汉诺塔问题可以描述如下：有三根柱子与 n 个大小不一的盘子，初始时，这 n 个盘子从大到小叠放在第一根柱子上，并且小盘子位于大盘子上面。问题是如何把这 n 个盘子从第一个柱子全部移动到第三个柱子上，移动时满足这样的规则：每一次只能移动一个盘子，并且满足小盘子只能在大盘子上面。就这一问题本身而言，无论是最佳的移动方法还是最少的移动步数，都已成功解决。 从经典的汉诺塔问题可以拓展出许多其它的版本。例如，我们最近提出了一个扩展的汉诺塔问题，即在上述移动规则下，并不按照最优的方法移动盘子，而是对其进行随机移动。我们的问题是：从初始状态（所有盘子都在第一个柱子上）出发，按照移动规则，随机地移动盘子，请问：所有盘子恰好首次均在第三个柱子上时，期望移动盘子的次数是多少？这一问题当初由我本人提出来，让来自台湾参加大陆 ACM 总决赛的同学思考，问题的答案最终由我的硕士生伍顺琪在我与陈关荣老师的共同指导下得到了圆满解决。我们将所提出的问题归结为求解对偶 Sierpinski 分形上随机游走的平均首达时间，相关结果已经被《 The European Physical Journal B 》正式录用，以下是论文的中文摘要。 摘要： 本文研究了 d 维对偶 Sierpinski 分形（ Dual Sierpinski gaskets, DSGs ）上的随机游走问题。根据电阻距离与随机游走平均首达时间的关系，首先计算了 d 维 DSGs 上两个特殊点之间的平均首达时间，然后利用 DSGs 拉普拉斯矩阵的谱，计算了 DSGs 中所有节点对之间的平均首达时间。通过递归的方法，得到了上述两个问题的精确解，并给出了它们与网络规模大小的变化关系。最后，给出了 d=2 时所得 DSGs 上随机游走的研究结果与扩展的汉诺塔问题的对应关系。 发表的论文PDF版本: Random walks on dual Sierpinski gaskets.pdf
以前的大量研究表明，如果以随机游走作为机制研究信息传输速度时，将信息接收器置于无标度网络上的集散节点上，信息的接收时间比接收器放在其它小节点上要快得多。然而，我们最新的研究结果表明，如果以集散节点作为信息发送器，将信息传送到其它节点的平均时间却与将信息发送器放在非集散节点时几乎相同；也就是时，接收信息所需的平均时间与信息发送器的位置无关。具体细节可参考我和课题组大三本科生高曙阳同学发表在《 The European Physical Journal B 》上最新一期的文章。以下为该文的中文摘要及发表的 PDF 版本。 摘要： 过去几年，复杂网络、尤其是无标度复杂网络上的随机游走受到了广泛关注。以前的许多工作显示，在无标度小世界网络中，以一个集散节点（网络中度最大的节点）作为目标的平均接收时间（ Average receiving time, ART ）随网络规模 N （ N 为网络的节点数目）呈线性或者亚线性增长。这里的 ART 是通过如下方式得到的：以网络中的每一个节点为起点进行随机游走，计算其首次到达目标所在集散节点的期望时间，然后对每个起始点的时间进行平均，即为 ART ）。可见，如果把随机游走者当作一个消息传递者，那么集散节点接收信息的效率是很高的。但是，到目前为止，在无标度小世界网络上的随机游走问题中，关于集散节点发送信息效率的研究十分少见。因此，我们研究了一类具有无标度行为、小世界效应的 Koch 网络的随机游走问题。我们首先给出了 Koch 网络上随机游走的一些基本性质，然后根据这些性质，解析计算了平均发送时间（ Average sending time, AST ）。这里的平均发送时间是这样得到的：从中心节点出发进行随机游走，分别计算首次到达网络中每一个节点（除了该集散节点本身）的期望时间， 它们的 平均值即为 AST 。从所得到的封闭式解来看， AST 随网络规模 N 呈 NlnN 的形式增长，比该网络上 ART 随 N 线性增长的速度要慢得多。另外，我们还研究了信息发送者均匀地分布于 Koch 网络上每一个节点这一情下的信息发送时间，并解析计算了全局平均首达时间，也就是每对节点之间首达时间的平均值。研究结果表明，全局平均首达时间的增长速度和 AST 相同。从所得的研究结果可以看出：虽然集散节点比其它节点接收信息更有效率，但它们发送信息的效率和其它非集散节点类似；此外，从一个节点（发送者）开始到其他所有可能目标的 AST 不受发送者所在位置的影响。这些发现有利于更好地理解无标度小世界网络上的随机游走行为。 发表在《 The European Physical Journal B 》上PDF版本。 Scaling of mean first-passage time as efficiency measure of nodes sending inform.pdf
传统的观点认为，由于度大结点的存在，无标度网络中的结点对网络上动力学过程的影响是不同质的。本文旨在探索无标度网络上陷阱问题（ Trapping problem ）中目标点（陷阱）位置的不同对网络上陷阱问题效率的影响。为了达到这一目的，本文详细研究了两类确定性增长的无标度树状网络的随机游走行为：一类是非分形的网络，另一类是分形的网络。文章第一部分研究了这两类网络上将陷阱置于度最大节点的随机游走问题，第二部分研究了陷阱在网络上随机分布的随机游走。对这两种情形的随机游走，分别精确计算了平均吸收时间。结果表明，对于非分形的无标度网络，两种情形的平均吸收时间关于网络结点数目服从不同的行为；而对于分形无标度的网络，这两个量值对于网络结点数的依赖关系是相同的。因此，对于非分形的无标度网络与分形的无标度网络而言，陷阱位置对于吸收效率的影响是不同的：对于非分形的无标度网络，陷阱位置对吸收效率有重要的影响；而对于分形的无标度网络，陷阱位置对吸收效率的影响不大。同时，文章还发现，在所研究的两个陷阱问题中，非分形的无标度网络比分形的无标度网络具有更高的吸收效率。 相关结果发表在《 Journal of Physics A 》上。 论文发表的PDF版本： Effect of trap position on the efficiency of trapping in treelike scale-free networks.pdf
复杂网络上的随机游走是我近两年最主要的研究方向之一，2010年我又以此作为主题申请到了一项国家自然科学基金。最近两年，我和合作者发表了不少关于复杂网络上随机游走的文章，其中有多篇文章受到了审稿人的好评。从国际同行的意见来看，复杂网络上的随机游走是当前十分活跃的领域之一，希望国内有更多的研究人员加入这一领域的探索。下面是审稿人对我们一些发表在《Physical Review E》上主要工作的评价。 Zhang Zhongzhi , Qi Yi, Zhou Shuigeng, Xie Wenlei, and Guan Jihong. Exact solution for mean first-passage time on a pseudofractal scale-free web. Physical Review E , 2009, 79: 021127 . 评价 ： The subject is very topical and the calculations give rise to new scaling results that differ from those obtained from standard homogeneous fractal lattices. This mean first-passage time is cleverly computed by a novel method. Zhang Zhongzhi , Lin Yuan, Gao Shuyang, Zhou Shuigeng, Guan Jihong, and Li Mo. Trapping in scale-free networks with hierarchical organization of modularity, Physical Review E, 2009, 80: 051120. 评价 ： As a general comment, the paper is clear and easily accessible, and the described subject is interesting and appealing for the broad community of statistical physics. The article is sound and well written, and seems free from technical faults. Taking into account the relevance of diffusion problems on complex networks, properly pointed out also by the authors in the introduction, I therefore recommend it for publication in Phys. Rev. E. Zhang Zhongzhi , Zhou Shuigeng, Xie Wenlei, Chen Lichao, Lin Yuan, and Guan Jihong. Standard random walks and trapping on the Koch network with scale-free behavior and small-world effect, Physical Review E , 2009, 79:061113 . 评价 ： In my opinion, the paper is very important for the field, because we do not yet understand well diffusion in complex networks especially in real networks, and any proper study can be a help towards this goal. Zhongzhi Zhang , Wu Bin, Zhang Hongjuan, Zhou Shuigeng, Guan Jihong, and Wang Zhigang. Determining global mean-first-passage time of random walks on Vicsek fractals using eigenvalues of Laplacian matrices. Physical Review E, 2010, 81:031118. 评价 ： This is a nice paper examining the global first passage time of random walks on Vicsek fractals. The paper is quite well written and structured. Zhang Zhongzhi , Xie Wenlei, Zhou Shuigeng, Li Mo, and Guan Jihong. Distinct scalings for mean first-passage time of random walks on scale-free networks with the same degree sequence, Physical Review E, 2009, 80:061111. 评价 ： The result is particularly surprising, the topic is currently of great interest, the manuscript contains new exact results and the research is clearly presented, so that I would recommend publication on PRE. Lin Yuan, Wu Bin, and Zhang Zhongzhi . Determining mean first-passage time on a class of treelike regular fractals. Physical Review E, 2010, 82:021140. 评价 ： This paper presents a new method of calculation of mean first-passage times of random walks on treelike regular fractals. I appreciate that this method does not require the computation of eigenvalues of the Laplacian matrix as in other approaches, and I think that this work deserves publication. 当然，也有些文章是经过与审稿人的多个轮回交涉才得录用的。拟于2011年发表的第一篇PRE就是通过打仗才成功的。
刚收到 Physical Review E （ PRE ） 编辑部发来的一个好消息：由我们组林苑、吴斌两位本科同学和我一起合作的文章《 Determining mean first-passage time on a class of treelike regular fractals 》已在 PRE 上 正式发表，这是我们组以本科生为第一作者发表在 PRE 上的第一篇论文。 这个工作针对一类树状网络，研究了将陷阱置于某一特殊节点的随机游走时间与全局随机游走时间问题。针对这两个问题，我们分别提出了新的计算方法，该方法计算简单、便捷。为了说明所提出方法的计算过程，我们提出了一类确定性 T 形树，并针对这类树状网络，给出我们所提出方法的计算细节，得到了精确的结果。文章还通过多个例子，说明了所给出的新方法具有普适性。 为了获得计算平均首达时间的简捷方法，林苑和吴斌两位同学付出了大量的时间与精力，他们对这两个问题进行了反复讨论、计算与验算，最终攻克了这些难题。这篇文章的工作量非常大，共有 12 个 PRE 版面（全文见附件）。如今文章在 PRE 上正式发表，这是对两位同学辛勤付出的肯定与鼓励。 本科生以第一作者身份在国际著名期刊上发表文章，说明了在适当的引导与培养之下，本科生是可以做出很出色的工作的。希望我们课题组的本科生同学再接再厉，争取今后做出更加优秀的研究成果。 文章发表的PDF版本
以下是我在刚过去的2009年的论文发表情况，欢迎各位同行批评指正！ 祝大家新年快乐！身体健康！ 1. Zhang Zhongzhi , Yi Qi, Zhou Shuigeng, Wenlei Xie, and Guan Jihong. Exact solution for mean first-passage time on a pseudofractal scale-free web. Physical Review E , 2009, 79: 021127 . (SCI- 413QJ ; EI- 20091311987776) 2. Zhang Zhongzhi , Zhou Shuigeng, Zou Tao, Chen Lichao, and Guan Jihong. Different thresholds of bond percolation in scale-free networks with identical degree sequence. Physical Review E , 2009, 79: 031110 . (SCI- 427GH ; EI-20091612034008) ( This work was selected for the March 15, 2009 issue of Virtual Journal of Biological Physics Research ) 3. Zhang Zhongzhi , Zhou Shuigeng, Xie Wenlei, Chen Lichao, Lin Yuan, and Guan Jihong. Standard random walks and trapping on the Koch network with scale-free behavior and small-world effect, Physical Review E , 2009, 79:061113 . (SCI-466XN ; EI- 20092812186852) 4. Zhang Zhongzhi , Qi Yi, Zhou Shuigeng, Lin Yuan, and Guan Jihong. Recursive solutions for Laplacian spectra and eigenvectors of a class of growing treelike networks, Physical Review E , 2009, 80:016104 . (SCI-478VL ; EI-20093512270937) 5. Zhang Zhongzhi , Lin Yuan, Gao Shuyang, Zhou Shuigeng, Guan Jihong, and Li Mo. Trapping in scale-free networks with hierarchical organization of modularity, Physical Review E, 2009, 80: 051120. (SCI-526RD) 6. Zhang Zhongzhi , Xie Wenlei, Zhou Shuigeng , Li Mo, and Guan Jihong. Distinct scalings for mean first-passage time of random walks on scale-free networks with the same degree sequence, Physical Review E, 2009, 80:061111. 7. Zhang Zhongzhi , Guan Jihong, Xie Weilen, Qi Yi, and Zhou Shuigeng. Random walks on the Apollonian network with a single trap. EPL (Europhysics Letters) , 2009, 86: 10006. (SCI -450PT ) 8. Zhang Zhongzhi , Wie Wenlei, Zhou Shuigeng, Gao Shuyang, and Guan Jihong. Anomalous behavior of trapping on a fractal scale-free network. EPL (Europhysics Letters) , 2009, 88: 10001. (SCI-511UN) 9. Zhongzhi Zhang , Jihong Guan, Bailu Ding, Lichao Chen, and Shuigeng Zhou. Contact graphs of disk packings as a model of spatial planar networks. New Journal of Physics , 2009, 11:083007 . (SCI-479YY ; EI-20093612285813) 10. Zhongzhi Zhang , Lin Yuan, Zhou Shuigeng, Wu Bin, and Guan Jihong. Mean first-passage time for random walks on the T-graph, New Journal of Physics , 2009, 11: 103043. (SCI-513LS) 11. Zhang Zhongzhi , Chen Lichao, Fang Lujun, Zhou Shuigeng, Zhang Yichao, and Guan Jihong. The rigorous solution of average distance for Sierpinski network. Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment, 2009, P02034. (SCI- 413WV ) 12. Zhang Zhongzhi , Lin Yuan, Gao Shuyang, Zhou Shuigeng, and Guan Jihong. Average distance in a hierarchical scale-free network: an exact solution. Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment, 2009, P10022. (SCI-513LM) 13. Zhang Zhongzhi , Zhang Yichao, Zhou Shuigeng, Yin Ming, and Guan Jihong. Influences of degree inhomogeneity on average path length and random walks in disassortative scale-free networks. Journal of Mathematical Physics, 2009, 50: 033514 . (SCI-427KV) 14. Zhang Zhongzhi , Fang Lujun, Zhou Shuigeng, Guan Jihong. Effects of accelerating growth on the evolution of weighted complex networks. Physica A, 2009, 388:225-232. (SCI-383NE ; EI - 084711720067 ) 15. Comellas Francesc, Zhang Zhongzhi , Chen Lichao. Self-similar non-clustered planar graphs as models for complex networks. Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, 2009, 42: 045103. (SCI-392XV) 16. Qi Yi, Zhang Zhongzhi , Ding Bailu, Zhou Shuigeng, and Guan Jihong. Structural and spectral properties of a family of deterministic recursive trees: Rigorous solutions. Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, 2009, 42: 165103 . (SCI-427RP) 17. Guan Jihong, Wu Yuewen, Zhang Zhongzhi , Zhou Shuigeng. A unified model for Sierpinski networks with scale-free scaling and small-world effect. Physica A, 2009, 388: 2571-2578. (SCI- 443BT; EI- 20091512028545) 18. Li Xing, Wu Yonghui, Rong Zhihai, Zhang Zhongzhi , and Shuigeng Zhou. The prisoner's dilemma in structured scale-free networks. Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, 2009, 42:245002 . (SCI-451GB) 19. Chu Xiangwei , Guan Jihong, Zhang Zhongzhi , and Zhou Shuigeng. Epidemic spreading in weighted scale-free networks with community structure. Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment, 2009, P07043. (SCI-488MG) 20. Zhou Shuigeng and Zhang Zhongzhi . Complex networks and computing. Frontiers of Computer Science in China , 2009, 3(3): 322-323.
标签: 随机游走
