讲座（ 7-4 ）多维指数增长方程 小资料 : 多维指数增长方程的 ( 生物学 ) 推导 ( 白 , 2001). 讲座到现在，可能已经有博友意识到 MDSM 不仅是个数学模型，一个分析多元数据的新工具，甚或是我们认识了解多元世界的思想武器。一般来说，与实数（标量）比， 多元向量 能更全面深刻地描述我们所面对的多元世界。换句话说，较之一根数轴， R ， 多维空间， R m , 应该能让我们更全面更深刻地认识系统，认识世界。 前几天，用 MDSM 的思路，我发了篇博文《“向量和”的哲学意义》 http://www.sciencenet.cn/m/user_content.aspx?id=354270 唐常杰老师评 : “有点哲理。” 下面，我试图用多维演替系统的多维指数增长来解释所谓的 “波浪式前进，螺旋式上升”。 客观事物的发展通常采取“波浪式前进，螺旋式上升”的形式， MDSM 对此的解释是： 因为多元系统在不同维上突破瓶颈，呈指数增长一段，再遇瓶颈，然后在其他维上再突破， … 这个题目分两个部分： A 用经验增率表示的指数增长和多维指数增长。 B 典型的理想的指数增长是 S 增长。综合不同维上的 S 增长，显示“波浪式前进，螺旋式上升”。 生物的增殖是 指数增长 (John Vendermeer, 1981 ) ： N （ t ） =N(0)e rt (7-5-0) 为了配合本讲座其它章节，我们用系统状态 Y 代替种群个体数目 N ，用 k 表示时间，腾出 t 来用于趋势，指数增长公式被改写为： Y k =Y 0 e rk (7-5-00) 其中，Y是系统状态，下标0，k，标识时间，e是自然对数的底，r是生物的 “内禀增率 （ intrinsic rate ）” 。由于内禀增率 r一般 是未知的，很难确定。我们把内禀增率 r 与 e 的组合(e r )用 “ 经验增率” l =Y k /Y k-1 来代替，因为"经验增率"总是可以根据测定数据来计算的。而且,对特定的时间，经验增率是确定的，是随时间变化的，是时间的函数。这样，指数增长公式可以写做： Y k =Y 0 * l k （ 7-5 ） 其中， l k =Y k /Y k-1 , 或 l 0 =Y 0 /Y -1 这样，公式成为 Y k =Y 0 *(Y 0 /Y -1 ) k 也就是说， k 时刻的状态是“初始状态（Y 0 ）”和“初始增率（ l 0 ）”的 k 次幂的积 。 它的前提假定是： 变量保持初始的增率不变。 问题来了：那如果变了呢？ 答复是：“变了再说变了的。”（见下一讲） 一维的指数增长的三个不同表达式： 由现状、增率、时间,预报未来状态； Y k =Y 0 * l 0 k 从现状，目标，时间求可持续增长的速率。 l k = k ( Y k /Y 0 ) 从现状，目标，速率求所需时间。 k=Log l 一维指数增长和 M 维指数增长 : 上面的指数增长方程是单下标变量，下标用来标识时间。单下标变量的指数增长方程描述的是 一个物种的指数增长 。为了描述多维系统的增长，我们在公式中再增加一个下标，用来标识系统的分量,则我们得到可以应用于 多维演替系统的多维指数方程: Y i,k =Y i,0 *T i,0 k 。 i=1,2,...m 新增加的的下标，i，放在第一位，标识变量。它的取值从1到M。所以公式 实际是M个指数增长方程。这 M 个联立的指数方程： 分别描述系统的M个分量。 前面我们讲过，在超球面模型中，这 M 个方程通过“标准化”联系在一起(第四讲 http://www.sciencenet.cn/m/user_content.aspx?id=276407 )。 分量的经验增率 l i （例如股票增率） 被系统增率（例如商高率，市场增率）调整后 , 称 即时趋势 ，用 T 表示（见第五讲 http://www.sciencenet.cn/m/user_content.aspx?id=352181 ）。 我们使用“多维即时趋势”的概念 , 而不用“相对增率”的概念 . 因为相对增率只有描述说明历史状态的意义 , 而趋势则有 , 至不久的将来 , 以惯性运动的意义 . 我们所研究的多维演替系统在不受外力影响时 , 有指数增长的趋势，或者说，可以用指数增长来描述。 多维演替系统的指数增长也可以有三个不同的表达式： 由现状、增率、时间 预报未来系统状态 ； Y i,k =Y 0 *T i,0 k 从现状，目标，时间 求可持续增长的速率 。 T i,k = k (Y i,k /Y i,0 ) 从现状，目标，速率 求所需时间 。 k=Log T 如我们前面讲过的， 植被，生态环境，金融市场，国民经济 都可以用多维演替系统来描述，刻画，所以（多维演替系统的）多维指数增长方程的研究和探讨，有很重要的理论意义和应用前景。 回到第七讲 http://www.sciencetimes.com.cn/m/user_content.aspx?id=357498 主要参考资料： John Vandermeer: Elementary Mathematical Ecology. John Wiley Sons, inc., 1981 白图格吉扎布，郭额尔敦图：多维球面模型及其在股市分析中的应用。内蒙古大学学报， 32 卷（ 2 ）， 2001 年。 文章的科学网链接： http://www.sciencenet.cn/m/user_content.aspx?id=353213 也许数学推导,使用符号有错误，欢迎数学专业的博友批评指正。
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