柯西、高斯 ； 庞加莱，希尔伯特 ： 四位数学大牛 在 1972年 Morris Kline 的《Mathematical Thought From Ancient To Modern Times 古今数学思想》第4卷汉译本第96页，有一个超级数学家的排名： 柯西、高斯：两个了解数学的人。 庞加莱，希尔伯特：几乎是通才。 真傻求教： （1）这是谁排的名次？有足够的权威性吗？ （2）人类历史上的数学家排行榜，还有哪些权威的？ 第一名：Augustin Louis Cauchy (1789-08-21 ~ 1857-05-23) MacTutor History of Mathematics http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Cauchy.html 第二名： Johann Carl Friedrich Gauss (1777-04-30 ~ 1855-02-23) MacTutor History of Mathematics http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Gauss.html 第三名： Jules Henri Poincaré (1854-04-29 ~ 1912-07-17) MacTutor History of Mathematics http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Poincare.html 第四名： David Hilbert (1862-01-23 ~ 1943-02-14) MacTutor History of Mathematics http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Hilbert.html My God！什么时候真傻才能排名超过柯西？ 当年的读书笔记： 《古今数学思想》该页截图： 感谢您的指教！ 感谢您指正以上任何错误！
物理学笔记一则（2）：“物理类比” 庞加莱在《科学的价值》（李醒民教授译版）中有这样意味深长的一段话： 我们自信，我们在推理中不再诉诸直觉；哲学家告诉我们，这是假象。 纯逻辑永远也不能使我们得到除同义反复之外的任何东西，它不创造任何新东西；任何科学也不能仅仅从它产生出来 。在这一意义上，哲学家是对的；要构成算术，像要构成几何学或构成任何科学一样，除了纯逻辑以外，还需要其它东西。为了称呼这种东西，我们只好使用 直觉 这个词 。 这最后一句引出“直觉”，很有点《道德经》的味道——吾不知其名，强字之曰“道”（第二十五章）。 从历史背景上看，庞加莱这个论断应该是针对罗素的逻辑主义（也有可能包括希尔伯特的形式主义）。如果把目标再缩小一点，老庞应该是想阐明 传统的逻辑演绎在认识论或方法论上的局限，或者说纯逻辑演绎体系总会存在实践意义上的“破缺”。 让我来打个比方： 传统的逻辑演绎手段好比CT用（工业用或医用）的 x 射线。一般情况下，许多可见光下不透明的物体对x射线是透明的，有助于我们“分析”物体的内部结构。 在医院照过CT的朋友都知道，x射线是可以用铅板来防护的。其穿透力与频率（反映能量）正相关（与波长反相关），一般医用频段的x射线，用2~3mm厚的铅板就可防护。其中原理涉及x射线与重核原子（比如原子序数为82的铅Pb）的相互作用，这里就不罗嗦了。 现在我们把尺度调整到宏观，当我们遇到障碍物穿不过去怎么办呢？——“绕”过去呗！ 这时候低频长波的探测手段就显现出优势了——“衍射”（ diffraction， 旧译为“绕射” ）。 在认识论上有一种类似“衍射”的手段——“物理类比”（ physical analogy ）。让我们看看麦克斯韦在《论法拉第的力线》（ On Faraday’s lines of force ）里是怎么说的： In order to obtain physical ideas without adopting a physical theory we must make ourselves familiar with existence of physical analogies. By a physical analogy I mean that partial similarity between the laws of one science and those of another which makes each of them illustrate the other. Thus all the mathematical sciences are founded on relations between physical laws and laws of numbers, so that the aim of exact science is to reduce the problems of nature to the determination of quantities by operations with numbers. Passing from the most universal of all analogies to a very partial one, we find the same resemblance in mathematical form between two different phenomena giving rise to a physical theory of light. 为了获得不依赖固有理论的物理学新概念，我们必须善用“物理类比”。所谓“物理类比”，是指利用科学规律之间的局部相似性，用它们中的一个去说明另一个。因此，所有的数理科学要建立在物理学规律与数学规律之间关系的基础之上，所以精密科学的目的在于将自然界的难题以数的手段还原为量的判断。通过最普遍的类比到极小的局部，我们发现正是两种不同现象相同的数学表达形式催生了光的物理学理论。 这个“物理类比”多少有点不完全归纳的影子，它的结果肯定是或然性的，反正或然性正是我们这个宇宙或所谓科学的常态罢了 。麦克斯韦说的足够明白了，物理学史上的例子也够多了——我就举一个“高大上”的： 我们的宇宙有很多相互作用（力），按性质分（即按目前我们认识到的作用起源分），归根结底只有四种：万有引力、电磁力两种长程力；强力、弱力两种短程力。 “话说天下大事分久必合，合久必分......” 有人就是看这四个东西不舒服，试图在数学和物理（实验）上把它们统一起来： 1967年，建立了弱电统一理论。1983年欧核中心（玻尔创立的CERN）在实验中发现弱电统一预言的 和Z 0 ，大家对电磁力和弱力的统一争议不大了。 20世纪70年代的“大统一理论”（Grand Unified Theorie，GUT）试图统一电磁力、强力、弱力。由于它预言的磁单极子所带来的沮丧，GUT之路任重而道远...... 最难的还是把万有引力和电磁力（电与磁的统一在法拉第、麦克斯韦时代就完成了）统一起来，爱因斯坦他老人家都折戟沉沙了。这里面涉及到相对论基础与量子力学基础的相容性问题（特别是广义相对论与量子场论）。 20世纪60年代到70年代中期，先后建立了弦理论与超弦理论，被认为是一个很好的方向。但问题也是令人头疼的，比如其预言的高维时空（时空维数大于4）的坍缩还有那万恶的、效验用的高能量10 19 GeV...... 好了，展望未来，打住！现在我们来刨根问底：这个折腾这么久的想法是怎么来的？——“往祖坟上刨”！ 只看两个公式(国际单位制SI)： 其一、牛顿的万有引力公式（质点模型）： 其二、库伦的静电力公式（点电荷模型）： 这种关于距离的“反比平方”关系还广泛存在于电流元间的安培定律、各向同性的辐射等等。 看看这两个公式，再想想麦克斯韦老人家的“教导”，你很难不琢磨点儿什么！
悲剧 Tragedy 按：最近两天的博文有滑向“顽固派”的危险，经慎重考虑，兄弟我决定“整风”向“革命派”至少是“改良派”靠拢，遂翻出这篇旧文贴出来。 敬告读者：其中涉及数学、元数学（metamathematics）、数理逻辑、证明论，点到即止（一些表述可能比较模糊，之所以壮着胆子写了，是想提供普朗克量子论诞生同期数学演化背景），若有对数学相关细节有兴趣，请参阅相关专家“科普”，鄙人主要讲物理故事 ...... 哥德尔定理部分，推荐应行仁老师的科普系列：《哥德尔定理的证明》 http://blog.sciencenet.cn/blog-826653-689727.html 三体问题部分，我 在文末 追加一个附注——附注来自我的好友张任宇博士（ http://blog.sciencenet.cn/u/philipzhang ） 不过在戏台上罢了，悲剧将人生的有价值的东西毁灭给人看…… ——鲁迅 《坟·再论雷峰塔的倒掉》 鲁迅先生给“悲剧”下的“定义”是审美层面的，是悲剧的外向性（ extraversion ）。悲剧还具有一种内向性（ introversion ），即——存在（ existence or being ）在时间中不可避免地走向毁灭。 序幕·混沌 《易》曰：君子慎始，差若毫厘，缪以千里。 ——《礼记·经解》 悲剧之所以不断地产生，原因之一就是它来的时候总是静悄悄…… 1889 年，那个几何作图考 0 分，但文笔一流的 儒勒·昂立·庞加莱 Jules Henri Poincar e (1854~1912) 从诺贝尔的“绯闻情敌”——米塔—列夫勒手上领走了瑞典国王奥斯卡二世（ Oscar II ）悬赏的 2500 瑞典克朗（ Swedish Krona ）与一枚金质奖章。 很多人都说出身法国显赫世家的庞加莱是个“天才”，那简直是太“客气”了，在数学与物理学之城里，满大街都是“天才”！与莱布尼兹、马赫、罗素一样，我们名之以“全才”——“全面的天才”！在“全”这一方面，他虽无法“空前”（亚里士多德的阴影），但注定已经“绝后”。 所谓“全”者，就是一出手便能数学、物理、天文以及未来的生命科学种种一网打尽。 1887 年，大学时代数学还不错的奥斯卡二世在一帮数学家怂恿下发起了一场数学竞赛，其中的一道题目是牛顿、拉普拉斯时代的“遗物”—— N 体问题（ N-body problem ）的求解。 杞国有人忧天地崩坠，身亡所寄，废寝食者 …… ——列子 《列子·天瑞》 “忧天地崩坠”的行为在中国是愚蠢的化身之一，但是，“杞人”若托生欧洲倒是有可能跻身一流智者的行列——自牛顿万有引力定律建立，天体系统稳定性的问题就成了一把高悬头顶的“达摩克利斯之剑”（ The Sword of Damocles ）。简而言之，在知道日、月、地三者存在相互吸引的作用后，人们就开始思考一系列与切身利益相关的问题： 月球会不会撞地？ 地球会不会被拉向太阳？ 地球会不会被甩出太阳轨道？ …… “天地崩坠”从上古神话一下变成了与身家性命相关的未来，这个“未来”可能十分遥远，但决不能不考虑。所以，在不知何时而至的“末日审判”（ Last Judgement ）的恐惧阴影下，精确掌握天体系统中某个星体的位置变化便自然地成为了数学、物理以及天文学研究的一个重要方向。这个方向被抽象为一个普遍的数学或力学问题，即 N 体问题。当 N=2 时，称二体问题（ two-body problem ），比如日地关系、地月关系已经由牛顿本人获得了完美的精确解了。 那么下一步，就是 N=3 的三体问题（ three-body problem ）——不就是多引入了个质点（ particle ）吗？有什么大不了的，“兵来将挡，水来土掩”！ 牛顿确实是这么想的。但是，这一次“名垂青史”、“光耀后世”的不是他，而是“ N=3 ”！ 拉格朗日、拉普拉斯、泊松、雅可比（ Carl Gustav Jacob Jacobi ）……“数理骑士团”史上最华丽阵容前赴后继，沉沙折戟，纷纷带着伟大的失败灰头土脸地去见了牛顿，数学家们终于明白“ 2 ”与“ 3 ”之间并不是只差了一个“ 1 ” …… 凭君莫话封侯事，一将功成万骨枯。 ——曹松 《已亥岁》 失败是成功之母，这句话有一个“精细结构”（ fine structure ）——别人的失败是自己的成功之母！就像热力学第一、第二定律的建立，必然是以无数“永动机”（ perpetual motion ）美梦的破灭为前提，“先烈”们壮志未酬，重任已经“历史地”落在了庞加莱肩上。 与前人不同，站在同一个舞台，庞加莱极好地进入一个快被遗忘的角色——天体力学的先驱开普勒。 当没完没了的的圆圈都不能拟合出天体的轨道时，你就必须彻底地，果断地，甚至是狂妄地抛弃它们！——“一条走不通的路，就等于不存在”，这是悄悄流传的隐秘版“开普勒定律”。 即使把三体问题抽象至两个有限质量的质点与一个无限小质量（小到无法对两个有限质量实施力学上的影响）的质点，我们所面临的仍然是一组“壮观的”微分方程（ differential equation ）。初中数学老师告诉我们，一组代数方程（ algebraical equation ）可解的充分必要条件是独立方程个数等于未知量个数，当未知量个数多于独立方程个数时，方程组就是不定方程（ indeterminate equation ）组，它的解就会有无数个。类似地，对微分方程组而言，我们也希望找到一些不变量（ invariant ）来减少“未知量”，以使问题简化至我们可以获得精确解的程度，牛顿以及他忠实的追随者们就是这么干的，结果我们都知道了。 而捧走奖金和奖牌的庞加莱完成了三项工作，虽然他并没有在传统意义上最终解决“三体问题”或“ N 体问题”，但是这三项工作无疑是具有里程碑意义的。首先它足以安抚 “极其有限的大众”（必须承认，就算是在欧洲，能达“杞人忧天”境界的亦非凡人）——太阳系是稳定的，其次“三体问题”作为一个“下金蛋的母鸡”的潜质已经被充分的挖掘出来了： 其一，庞加莱证明当 N 大于 2 时，微分方程组不存在统一的首次积分（ uniform first integral ，只与时间、坐标、速度有关的代数首次积分）。一言以蔽之，就是“三体”乃至“ N 体”无法用传统的首次积分方法求解。 其二，庞加莱开发出了一套全新分析工具，工具名略（不好意思，正如杨振宁老先生的调侃“数学家的语言有时太‘干燥’”，我没怎么看懂）……这些方法不仅促成了对“ N 体问题”中天体轨道的定性研究，还构成了全新的现代数学或力学分支微分方程与微分动力系统（ Differentiable Dynamical Systems ）的核心。笼统地讲，就是庞加莱在探讨“ N 体问题”的过程中开拓出了一个全新的数学方向。 其三，庞加莱用他的数学“放大镜”第一次揭示了自然界最广泛且最隐蔽的性质——初始条件敏感依赖。也就是说，即使是一个遵循牛顿力学的系统，若初始条件作细微变化——“差若毫厘”，也会使得最终的结果有天壤之别——“缪以千里”。物理学在严格的牛顿力学框架下预测未来的信心受到了毁灭性打击。 “君子慎始”——庞加莱最终将他第三个发现小心翼翼地封存起来，他似乎意识到了什么…… Does the flap of a butterfly’s wings in Brazil set off a tornado in Texas? 一只巴西蝴蝶轻轻拍打翅膀导致德克萨斯的一场龙卷风吗？ ——马尔里斯 P . Merilees 为 E. N. 洛伦兹 E . N . Lorenz 演讲拟定的标题 大约 70 年后，被庞加莱雪藏的发现有了一个通俗且时髦的新名字——混沌（ chaos ）。 混沌，可怕的混沌！ 圣殿里，教皇宝座上的牛顿面容憔悴——残阳如血，西风凛冽，在概率与统计的第一轮冲击中摇摇欲坠的经典物理大厦已经到了崩溃的边缘…… 三国式悲剧·确定性的丧失 董卓作乱，汉室倾颓。曹操矫诏，一十八镇诸侯会盟讨贼。平原县令刘备也来“凑个热闹”…… 1900 年 8 月 8 日，还是法兰西的巴黎。 索邦大学（ Sorbonne ）报告厅，第二届国际数学家大会（ the International Congress of Mathematicians ）会场掌声雷动。在万众瞩目中，哥廷根学派全盛时期的掌门人、数学家中的“无冕之王”、“数学界的亚历山大” 大卫·希尔伯特 David Hilbert (1862~1943) 受大会主席庞加莱邀请，从容走上主席台—— 先生们！ Who of us would not be glad to lift the veil behind which the future lies hidden…… 我们中有谁会不乐于去揭开隐匿的未来面前那层面纱…… 在这篇名为《数学问题》（ Mathematical Problems MATHEMATICAL PROBLEMS.pdf ）的传世演讲中，希尔伯特一口气提出了 23 个有待解决的数学难题。除去其中照顾徒弟的“私心”、吞并物理学的“野心”外，“希尔伯特问题”（ Hilbert ’ s problems ）作为即将到来的 20 世纪数学发展的指路明灯是当之无愧的。 理性的先锋队——数学军团，迅速集结到了王者的旗帜。旌旗翻飞，兵强马壮，几何、代数、分析三大主力志得意满，各路干将擦掌摩拳，只待倾巢而出，直捣黄龙。 23 道命令已经下达，数理帝国新一轮开疆拓土的壮丽征程已是箭在弦上，不得不发！ …… 纪录片必须在这里打住，拉普拉斯妖的超强性能明显实效了。这令人热血沸腾的景象既不是过去的结果，也不是未来的原因。恰恰相反，我们之所以对巴黎“盛会”有上述印象，正是因为站在 100 年后的回望——辉煌的结局造就传奇的开端！ 讨董联军的盟主是“四世三公”的袁绍，不是“汉孝景帝玄孙”的刘备！ 与会者质量都不怎么样！——会后，希尔伯特如是说。实际上，孤独的王者只当场下达了 10 道命令。杂乱无章的会议秩序、被迫中断的演讲、冷淡的听众反应……这一切怎么配得上数理十字军的誓师大会，怎么配得上神圣东征号角吹响前的序曲？ 数学并不一定是数学家生活的全部。对与会的大部分数学精英而言，他们如此费尽周折地齐聚巴黎，除了回望古典数学的往昔峥嵘，展望 20 世纪的美好明天，还有一个彼此心照不宣的内心冲动——塞纳河畔的“别样风情”，时尚之都巴黎，那纸醉金迷的“夜生活”！ 这个夜晚，位于巴黎北部蒙马特高地（ Montmartre ）的“红磨坊”（ Moulin Rouge ）几乎化为索邦大学报告厅的翻版，风姿绰约的法兰西舞娘“有幸”成为来自五湖四海的数学家们的“忠实听众”。在美人、佳酿、法式香吻、靡靡之音的环饲中，以风流倜傥闻名的希尔伯特无疑成为了最引人注目的明星，早晨的失落与挫败感在这个夜晚一扫而空。流光闪烁的舞池内，妖艳的女郎连声惊呼——原来，“数学之王”的舞步，可以和他在解决难题时展示的数学技巧一样，令人眼花缭乱，啧啧称奇…… 当然，“亚历山大”不会永久流连在“温柔乡”。希尔伯特没有停止他的脚步，他还有自认更崇高的使命——数学本身的“合法性”！ 在牛顿纪元后的两百年里，人类认知疆域的立宪大会早已通过了一条明晰的不成文法——一切自然科学合法性的标杆是数学。这是科学教皇牛顿以来赋予数学的世俗权威，是经典时代所有纯粹数学家享受他们精神优越感的资本。 1897 年，第二次数学危机的硝烟尚未散尽，第三次数学危机（ the third crisis of mathematics ）又携翻天覆地之威，气势汹汹地杀将而来。继贝克莱主教的“无穷小量”之后，德国疯子康托尔（ Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor ）的“集合论”（ set theory ）荣升第三任幽灵。这一次的暴风雨来得更猛烈，数学自身的合法性遭遇了其诞生以来前所未有的毁灭性打击。 话说天下大势，分久必合，合久必分 …… ——罗贯中 《三国演义》 一片混乱中，由于数学基础的认识分歧，数学军团走向分裂，形成各自为政，相互攻伐的三路大军——赤壁一战之后，三足鼎立之势已成： “魏”——以逼疯康托尔的利奥波德·克罗内克（ Leopold Kronecker ，康托尔的老师 ）、庞加莱、布劳威尔（ Luitzen Egbertus Jan Brouwer ）等为首的直觉主义学派（ School of I ntuitionism ）：欲革旧立新，改天换地。颇有经验批判主义大师马赫老先生遗风，十分亲近经验色彩浓厚的自然科学，以“存在即被构造”拒绝一切形而上的无穷与无限，不接受亚里士多德的逻辑排中律，甚至（比如克罗内克）高擎毕达哥拉斯“教主”大纛，连无限不循环的无理数都不承认。 “吴”——以文理通吃的贝特兰·罗素、皮亚诺（ Giuseppe Peano ）、弗雷格 （ Friedrich Ludwig Gottlob Frege ） 、怀特海（ Alfred North Whitehead ）等为首的逻辑主义学派（ School of Logicism ）：以还原论色彩的“数学 = 逻辑 + 符号”保“江东”——数理逻辑之全土，徐图天下。在旁人看来，这帮分裂势力不仅没有灭火，反而大有风助火势之举，必欲将乱世进行到底而后快。他们可以花上 300 多页的篇幅去给出 1 的“严格”定义；可以弄出了个令数学家头痛至今的“罗素悖论”（ Russell ’ s Paradox ），其通俗版为“理发师悖论”——一个只给不给自己理发的人理发的理发师是否应给自己理发？ “蜀”——以力挺康托尔的哥廷根掌门希尔伯特为首的形式主义学派（ School of Formalism ）：古典正统余脉，根红苗正。恪守形而上传统“价值观”，不以经验较真理之短长，唯无矛盾者为真，唯相容性（ compatibility ）为真。 三国纷争，生灵涂炭。当此乱世，最忧心忡忡的莫过于以“汉室宗亲”自居的“刘皇叔”——希尔伯特。为标榜正统，刘备的西南割据政权从来以“汉”为国号，而不会自称为“蜀”，这个习惯性称谓则是篡汉的魏政权之“发明”（吴政权在较长时期内仍然承认“汉”的正统地位）。希尔伯特本人也并不以“形式主义者”自居，这顶帽子恰是“夙敌”罗素和布劳威尔给他扣上去的，意在削弱其古典数学的正统地位，而希尔伯特深知“汉贼不两立”，欲正纲纪，必先讨“国贼”——直觉主义！ 身兼“刘备”、“诸葛亮”双重角色的希尔伯特历经十余年艰辛，终于定出“北伐方略”——希尔伯特纲领（ Hilbert ’ s Program ）。与逻辑主义者的信仰类似，希尔伯特极端推崇欧几里德的《原本》范式，试图把整个数学建立在一组抽象而兼容的公理系统基础上，通过对公理系统的演绎推算扩展出数学的全貌。那么数学自身的“合法性”就有了具体的含义，即公理系统的无矛盾性或相容性。“纲领”为新时代的数学家们提出了一个崇高的战略任务—— 去证明这种相容性，捍卫数学神圣的“合法性”！ 至于“兵出子午谷，直取长安”还是“六出祁山，绕道雍凉”的具体战术进程，希尔伯特选择较稳妥的后者。他主张先“屯兵汉中”——将古典数学公理化，其二“袭取祁山九寨以为根基”——将公理化成果用纯符号表述以实现彻底的形式化，其三“巩固雍凉，威慑秦川”——规避“无穷”风险，在有限步骤构造“元数学”（ metamathematics ），待时机成熟便“下长安，破洛阳，汉室可兴”——以元数学证明形式系统的相容性，形式系统“合法”则古典数学“合法”！ 出师未捷身先死，长使英雄泪满襟。 ——杜甫 《蜀相》 1930 年 1 月 23 日，年届七旬的希尔伯特在哥廷根迎来盛大的退休典礼——白帝城的那一夜，刘备把江山社稷托孤于诸葛亮；五丈原的秋风中，孔明把汉室生机交付与姜伯约。在“恨不能临阵讨贼”的痛苦中，老人发表了自己作为数学家的临别告白……时光一去 80 年，我们还能清晰地听见老人饱含深情的最后一声呐喊： We must know, We will know! 我们必须知道，我们必将知道！ 作为古典“四大名著”之首的《三国演义》，其魅力在于散发着一种浸透了历史苍凉感的永恒悲剧性，罗贯中用恢弘大气的笔触渲染了一幅令后人唏嘘不已的史诗画卷——寄托了文人士子理想与正义的蜀汉政权之命运，是诗化的历史，是从坎坷走向辉煌，从胜利走向毁灭…… 几乎就在希尔伯特动情演讲的时候，他对数学规划的乐观远景戛然而止。 “柏拉图”悄悄地回来了…… 来自“维也纳小组”——“恩斯特·马赫学会”的 库尔特·哥德尔 Kurt Gödel (1906~1978) 一位 25 岁的奥地利逻辑学家、数学家、哲学家（将来还要友情客串物理学家），携带史无前例的摧毁性以一个恐怖魔鬼的狰狞面目出现在他陷入混战的同行面前。 洞穴阴影再次来袭…… 1931 年，人类理性进程中最具颠覆性的重量级论文《 论〈数学原理〉及有关系统中的形式不可判定命题 》（ On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems ）在维也纳公开发表。从题目上看，数学“柏拉图”的意图十分明显，他的关注焦点放在了怀特海与罗素合著的逻辑主义“圣经”——《数学原理》（ Principia Mathematica ）与希尔伯特的形式系统；从内容上看，哥德尔成功地解决了 1900 年提出的“希尔伯特第 2 问题”——算术公理的相容性（ The compatibility of the arithmetical axioms ）证明…… 但是，希尔伯特怎么也高兴不起来，因为哥德尔的结果与数学之王的预想南辕北辙—— 相容性？——哥德尔扶正他的黑框眼镜——根本不可能！ 从算术公理系统开始，一夜之间，“火烧连营七百里”——烈火熊熊中，希尔伯特纲领灰飞烟灭！ 四周光明骤然黯淡，数学家猛然发现自己仍然身处阴暗的洞穴。他们惊恐万分，洞口被两头穷凶极恶的“畜牲”把住了去路，那是冥府的门神，一对恐怖的地狱之犬——赛博拉斯（ Cerberus ）： 一头叫“哥德尔不完备性第 1 定理”（ The Gödel ’ s Incompleteness Theorem I ）： 任一足以包含自然数算术的形式系统，如果是相容的，则它一定存在一个不可判定命题，即存在某一个命题 A 使 A 与 A 的否定在该系统中皆不可证。 另一头叫 “哥德尔不完备性第 2 定理”（ The Gödel ’ s Incompleteness Theorem II ）： 在真的但不能由公理来证明的命题中，包括了这些公理是相容（无矛盾的）这一论断本身。也就是说，如果一个足以包含自然算术的公理系统是相容的，那么这种相容性在该系统内是不可证明的。 数学家们战战兢兢，徒然任两头恶犬狂吠……阴影中，哥德尔（他当然也在洞穴里面！）依旧平静： 你是叙拉古的阿基米德， 再严密的防守， 也必然存在破绽； 你是不列颠的牛顿， 再精妙的构思， 也不能杜绝漏洞。 接受现实吧， 我的“亚历山大”， 有些事情， 我们永远也无法知道！ 数学、逻辑、或者说人类伟大的理性，它的确定性已然终结！ 顺便说一句，“命题 A ”学名“哥德尔命题”（ Gödel ’ s proposition ），它后来作为主角参演了一部卖座的好莱坞（ Hollywood ）大片，名字叫 The Matrix （矩阵），中文译名《黑客帝国》…… 1900 ·无可奈何花落去 无可奈何花落去…… ——晏殊 《浣溪沙》 在很多人模糊的印象中，牛顿王朝的崩溃时间被设定于公元 1905 ，而“物理学编年史”中记载是这样的： 牛顿王朝 Newtonian Dynasty （ 1687~1900 ） 终点，公元 1900 。 在人类理性之域，这是值得铭记的一年： 4 月 27 日，伦敦，开尔文勋爵发表演讲，他为物理学家指明了“乌云”； 8 月 8 日，巴黎，希尔伯特发表演讲，他为数学家下达了“命令”； 8 月 25 日，八国联军占领北京的第 9 天，叫嚷“上帝死了！”的德意志疯子尼采死了，但是这并不意味着“上帝复活了！” …… 现在，时间： 12 月 14 日；地点：柏林。 中规中矩的柏林洪堡大学（ Humboldt Berlin University ）教授、普鲁士科学院（ Prussian Academy of Sciences ）院士 马克斯·卡尔·恩斯特·路德维希·普朗克 Max Karl Ernst Ludwig Planck (1858~1947) 这位上课从不带讲稿，也从来不会有口误的讲台“老资格”，今天竟有些紧张，像一个初次参加论文答辩的学术新兵，怀着忐忑不安的心情走上了柏林物理学会（ The Berlin Physical Society ，即今天的德国物理学会）的例会讲台。 从台下的座位到讲台不过几步的路程，普朗克竟然好像走了很多个世纪…… 科学的历程，往往是抽象理论与具体经验的长途赛跑。有的时候，在纸上推公式的数学家或理论物理学家走到了前面；也有时候，在瓶瓶罐罐与机器轰鸣中的实验员或工程师迎头超越。在工业革命如火如荼的年代，无数科学的果实就诞生在蒸汽笼罩的技术喧嚣之中。 在冶金工厂里，某位细心的工程师偶然发现了一个有意思的现象：熟练的冶炼工人可以通过炉火的颜色大致判断锅炉的温度。这种不需要借助任何精密仪器的经验估计激起了他的兴趣，后来他把这个有趣的发现分享给了专注于热力学或辐射学（ radiology ）的物理学家朋友。 经过物理学家必要的数学抽象与物理简化，我们有了一个新的物理学模型（ physical model ）——黑体或绝对黑体（ black body or absolute black body ）。这是一种奇妙的“物体”，它像土财主痴迷金币那样贪婪地吸收一切投射到它的能量，一点都不反射（ reflection ），所以我们形容它就像土财主的心一样，是完完全全、不带杂质的黑色。但是，再高明的“葛朗台”（ Grandet ）也拦不住自己的财产一点一滴地悄悄溜走，黑体吸收的能量最终要以热辐射的形式返还给外界。 普朗克的授业恩师基尔霍夫（ Gustav Robert Kirchhoff ）教授研究发现，“守财奴”的“资产外流”是有一定数学规律的——黑体辐射（ Black body radiation ）的能力只与其辐射波长（炉火颜色）和温度（锅炉温度）有关。但是，基尔霍夫并没有给出具体的辐射谱（ radiation s pectra ），即辐射能力、波长、温度三者之间的定量数学关系，后续工作只有交与后人完成。 1896 年，德国物理学家维恩（ Wilhelm Carl Werner Otto Fritz Franz Wien ）从热力学出发，结合一些特殊假设给出了一个比较令人满意的黑体辐射数学关系——维恩公式（ Wien ’ s Formula ）。次年的精确实验表明，维恩公式在辐射的短波（炉火颜色偏蓝紫）区域与实测数据吻合十分完美，但在长波（炉火颜色偏红橙）区域出现了明显偏离趋势。 4 年后，在德国佬面前从来不甘落后的英国人奋起直追，以定量分析之精准闻名学界的世袭贵族瑞利男爵（ John William Strutt , Baron Rayleigh ，第 2 任卡文迪许实验室主任）与在天文学领域造诣颇深的金斯（ James Hopwood Jeans ）先后在麦克斯韦经典电动力学（ e lectrodynamics ）与玻尔兹曼经典统计力学的基础上推导出了一个理论基础更扎实的数学关系——瑞利—金斯公式（ Rayleigh - Jeans ’ Formula ）。但自然确实是太幽默了，在数学的可怕折磨中诞生的瑞利—金斯公式并不比“德国版”的维恩公式好到哪里去，它在长波区域倒是很符合实验数据，但到了短波区域…… 一贯喜欢开玩笑的保罗·埃伦费斯特惊呼——天哪，紫外灾难（ ultraviolet catastrophe ）！ 我们惊恐地发现，辐射谱上瑞利—金斯曲线奔向了无穷大——当一个物理学理论预言现实中的某个物理量会变成无穷大时，就证明该理论失效了！ 其实维恩与瑞利—金斯两个公式所遇到的问题，对今天的“科学家”来说已经习以为常了。在今天，面对同一组实验数据， 10 位“科学家”撰写的 10 篇“论文”可以有 11 种解释，而其中任何一种解释只要能与部分数据相吻合就完事大吉了；更何况，面同一组样品， 10 个“实验员”可以搞出 12 套数据（我承认：我就在实验室里遇到过这种情况）。初始条件敏感依赖、蝴蝶效应（ The Butterfly Effect ）、混沌无处不在，天气、室温、心情、股票、电影、足球赛、 NBA ……太多因素影响结果了，总而言之，没什么大不了的！ 但在 110 年前，这可是个足以引发经典物理帝国全境恐慌的大事！ 首先，我们需要在逻辑上确认两个事实：第一，黑体辐射实验现象的可靠性与实验数据的精确性不容置疑；第二，不要怀疑诺贝尔物理学奖得主维恩（ 1911 ）、瑞利（ 1904 ）以及没有得奖的金斯（很遗憾……）三位杰出物理学家的“智商”——数学推导，特别是在小数点后第 3 位发现整个一族惰性气体元素（ element of inert gases ，诺贝尔物理学奖的获奖原因）的瑞利男爵一贯持有实验精密与数学严谨的好名声！ 对福尔摩斯来说，当所有可能情况都被排除以后，剩下的那个“最不可能”的情况就是真相！——所有物理学家都必须面对一个惨不忍睹的事实： 牛顿缔造的经典物理大厦之基座隐藏着一条极深的裂痕！ 这条裂痕触及到了一个已经发酵成“废话”的“常识”—— Nature does nothing in jumps ！ 自然界从来不飞跃！ 莱布尼兹语气很坚定，这是他和牛顿极少的几个共识之一。因为没有这个前提，他的微积分，牛顿的流数术都成了一叠废纸！我们的自然具有连续性（ continuity ），就像“ 1 ”与“ 2 ”之间的间隔是“无限”（ infinitude ），一个物体的运动以及度量运动的能量不存在最小的单位，其值应当想怎么小，就怎么小。 8 个月前，睿智的英国老“气象员”开尔文就预报了“晴空”边界的两朵“乌云”，其中之一便是：在能量连续前提下，麦克斯韦—玻尔兹曼能量均分定理（ the Maxwell-Boltzmann doctrine regarding t he partition of energy ）在热力学中遇到的困难。 历史给两种人留下了载入史册的机会：一种是不知不觉的蠢人，一个极其愚蠢而不自知的选择往往就改变了决定无数人命运的历史走向，这一点，因滑铁卢（ Waterloo ）惨败幽居圣赫勒拿岛的拿破仑在回忆到他“亲爱的”格鲁希元帅（ Marshal Crouchy ）时，深有感触；另一种是冷静而理性的智者，他们充分明白自己的一举一动在历史中的分量，所以他们往往显得小心谨慎，甚至有些畏首畏尾…… 两个月前的 10 月 19 日，普朗克教授向物理学会提交了自己对黑体辐射的研究论文。在这篇论文中，普朗克“巧妙地”利用“内插法”（ i nterpolation ）将维恩公式与瑞利公式（金斯修正在 1905 年）中各自“合理”的部分“拼接”起来，形成了即吻合长波，又符合短波的普朗克公式（ Planck ’ s Formula ）。 但这种“庸俗”的数学技巧“卖弄”既不能服众，也不能满足普朗克自己，他必须给出自己公式的物理学解释—— 讲台上的普朗克一遍又一遍地深呼吸，他想尽量克制住自己的颤抖，至于这种颤抖是来自紧张，还是兴奋，他自己也不知道。 在台下听众焦灼的目光中，在例会主席不耐烦的催促下，普朗克下意识整理了一下领结，最后深吸一口气，咽下唾液，开始宣读他的论文…… 提问：普朗克教授，您的意思是……能量的辐射不是连续的，而是像粒子那样一份一份的……就像您命名的……“量子”（ quantum ）？ 回答：呃……从辐射公式的理论推导这个角度考虑，我想，是这样的…… 远日衔山，神情麻木的牛顿指着眼前一片模糊在烟尘中的废墟，转向了气喘吁吁的普朗克—— 看，你的杰作！ 我有罪， 我有罪， 我有罪， …… 听众们议论纷纷，普朗克默默走下讲台，一股强烈的负罪感油然而生——人类的艺术自此多了一种戏剧模式——普朗克式悲剧（ Planck ’ s Tragedy ），一个人将用自己余生的全部精力去实现自我否定…… 热力学第二定律告诉我们，自然界的一切自发过程都是不可逆的。某些事一旦发生，除了上帝（祂死了！），无论用什么办法都不能消除它的影响。当躲在书斋里的普朗克教授绞尽脑汁地寻找妙法扼杀“怪胎”时，历史启动量子纪元…… 三体问题附注 ： Oscar II的原始声明:“ Given a system of arbitrarily many mass points that attract each according to Newton’s law, under the assumption that no two points ever collide, try to find a representation of the coordinates of each point as a series in a variable that is some known function of time and for all of whose values the series converges uniformly.” 这句话意思是对于任意一个符合牛顿万有引力的(有限)粒子系统，假定任意两个粒子（视为质点） 不会相撞，给出每一个粒子运动轨迹的坐标表示，该表示的自由变量为 时间的级数，而且这些级数在全空间一致收敛。只要给出一致收敛的级数解，就解 决了n体问题。 Poincare发表在Acta Math.上的论文并未证明这个问题究竟是可解还是 不可解，但是伟大的Poincare给出了一种划时代的方法:常微分方程定性理论并为理解 动力系统(esp. Hamilton系统)提供了大量全新而深刻的思想。 1887年，Brun在Acta上 发表了一篇文章，证明对n体问题只有10个首次积分，但他的证明有一些地方过不 去。Poincare坚信这是对的，并在其获得Oscar奖的文章里，严格证明了这样一个结 论：除了已知的十个首次积分外，n体问题不存在只与时间，位置和速度相关的代数 首次积分。i.e.要想通过首次积分降维的方法解出n大于等于3的n体问题是不可能的，但这 并不意味着，n体问题不可解，只是意味着n体问题不能用首次积分的方法得到。但 是，Oscar问题明确说明了，应该用级数的形式给出解。事实上常微分方程解的存在 唯一定理告诉我们，n体问题的解存在且唯一。真正对n体问题作出肯定回答的是两个 人：K. Sunderman(n = 3) 和一个中国人Qiudong Wang(n大于等于4) . 他们分别给出了 在全空间上一致收敛的幂级数解(除去一个使得系统发生碰撞的初始条件的零测集后)。 历史记住了没有解出Oscar问题的Poincare但忘记了Sunderman和Wang，这充分的嘲笑 的Brower对构造证明的坚持。那个构造性的幂级数解，除了让我们看出有解之外，什 么也没有告诉我们，其实Sunderman和Wang的结果不比常微分方程解的存在唯一性定 理更深刻。这两个幂级数解收敛速度太慢，这使得它们甚至根本没有数值计算的意义。 数百万项以后才可能比较接近真实解，这使得初值条件的微小扰动都可能带来巨大的 误差，此即混沌。从Weierstrass设置的第一道问题的本意来说，Sunderman比Poincare更应该获得Oscar Prize，但是如果我们站在21世纪回顾这些历史，Poincare的工作才真正理解了这个问题。参考 http://en.wikipedia.org/wiki/Henri Poincare%C3%A9 K. Sunderman, Memoir′e sur le probl′em des trois corps, Acta Mathematica 36(1912), 105-179. Q. Wang， The globa solution of the n-body problem, Celestial Mechanics, 50(1991), 73-88. F. Diacu, The solution of the n-body problem, Mathematical Intelligencer, 18(1996), 66-70. PS: 在这里祝大家中秋节快乐，兄弟我想发起个活动——“中秋夜，看明月”，你要不看它就不在那儿了哦！ Why?——你懂的！
庞加莱猜想的余波 2010.12.12 庞加莱猜想的证明已经经过确认，今年前些时候Clay数学研究所决定将Clay数学千禧奖授予俄罗斯数学家Grigory Perelman，但Perelman拒绝接受。 纽约时报在相关报道中引用俄罗斯Interfax新闻社的报道说: Dr. Perelman said Dr. Hamilton deserved as much credit as he did, Interfax reported. “To put it short,” he said, “the main reason is my disagreement with the organized mathematical community. I don’t like their decisions; I consider them unjust.” 纽约时报七月一日A Math Problem Solver Declines a $1 Million Prize报道链接： http://www.nytimes.com/2010/07/02/science/02math.html 在此之前，关心此事的人们对于Perelman是否会接受Clay数学千禧奖有不同的猜测。在2009年11月11日出版的新书Perfect Rigor: A Genius and the Mathematical Breakthrough of the Century中，作者Masha Gessen根据对几乎所有熟识Perelman的人们的采访，认为数学天才Perelman具有典型的Asperger综合症，同时作者在书中分析预测Perelman将很可能不会接受即将颁发的Clay数学千禧奖。 我前些天刚读完这本书，觉得很不错，尤其是其中关于前苏联和俄罗斯数学界的描述丰富和印证了自己在这方面的具体认识，所以在这里分享一下。事实上，前一段时间科学网上也有人介绍过Perfect Rigor这本书。 Amazon上Perfect Rigor: A Genius and the Mathematical Breakthrough of the Century一书信息链接： http://www.amazon.com/Perfect-Rigor-Mathematical-Breakthrough-Century/dp/015101406X 科学网蔡亮《关于perfect rigor》博文链接： http://www.sciencenet.cn/m/user_content.aspx?id=332918 Perfect Rigor一书中还有很大的篇幅描述前苏联和俄罗斯的数学文化，对此有兴趣的人可以一读。 博文《Perelman和俄国非主流数学文化》链接： http://hi.baidu.com/405071317/blog/item/cedc11f9f8cfa353242df2a0.htm l 关于Asperger综合症，百度百科是这样解释的： 阿斯伯格综合征（Asperger syndrome，AS）是一种主要以社会交往困难，局限而异常的兴趣行为模式为特征的神经系统发育障碍性疾病，在分类上与孤独症同属于广泛性发育障碍。 值得指出的是，虽然Perfect Rigor书中说研究表明数学家中Asperger综合症的比例大概是普通人的七倍，但是绝大多数数学家都和Asperger综合症没有关系。巧合的是，前些天看到美国电视上出现的一位接受采访的维基解密程序师，也有Asperger综合症。据称儿童中有0.7%会有Asperger综合症。 维基百科关于Asperger Syndrome的链接： http://en.wikipedia.org/wiki/Asperger_syndrome 百度百科关于《阿斯伯格综合症》的解释链接： http://baike.baidu.com/view/1483278.htm Perelman对庞加莱猜想证明，在中国和国际数学界曾经引起了轩然大波，也曾经被一些别有用心的人用来作为在中国数学界党同伐异的工具。其中最荒唐的就是2006年6月至8月期间喧嚣至上的指控，认为中国数学家曹怀东和朱熹平试图将庞加莱猜想证明的一大部分功劳据为己有。在随后国际上出版的几本有关庞加莱猜想的科普书籍中，都没有仔细查证有关的事实，以讹传讹。 对于此，曹怀东在2004年7月17日自己的谈话是最好的反驳。当时，曹怀东教授在被问到Perelman和庞加莱猜想证明的问题时是这样回答的： Q ：去年或前年的时候，俄国数学家 Perelman 宣布证明了 Poincare 猜测，现在一年多时间过去了，请问这个证明已经审查得怎么样了，您是 Ricci 流方面的国际权威，能否发表一下您个人的看法，这个证明完全正确的可能性有多大，还有请问 Perelman 教授的年纪，以及如果这次 Poincare 猜测完全证明，那么会有哪些人和 Perelman 一起分到 Clay 数学所的 100 万奖金呢？ Cao ：审查还在进行中，希望尽早能得到完全证实。从目前审查的过程看，正确的可能性相当大，但是不到最后审查完毕我们还无法下定论。 Perelman 教授 37 岁不到，所以下次 fields 奖年龄是符合的。当然我特别希望 Hamilton 教授和他能一起分享这 100 万奖金。正如 Perelman 自己所说，”Hamilton 教授引入了 Ricci 流，发展了许多惊人的理论，改进了许多 Ricci 流中的重要定理，我应该算是他的学生。“ Q ： Ricci 流最初是 Hamilton 为了研究 Poincare 猜测提出来的，现在 Ricci 流的研究是否已经在其他数学问题上找到了应用。如果 Perelman 的证明是对的话，以后 Ricci 流还有继续研究的必要吗？ Cao ： Ricci Flow 主要是研究流形上的几何结构，如爱因斯坦度量以及对拓扑的应用。当然三维以后还有很多其他应用， Hamilton 教授指出研究四維流形的几何化以及凯勒流形上的 Ricci 流将是主要的问题。如 Perelman 所说“ Ricci 流之所以重要，是因为它属于现代数学的主流分支。”不仅仅是在拓扑方面的应用。 Ricci 流是一类非常重要的非线性方程，任何对其奇点结构的理解都将十分重要并且对整个非线性分析也非常有意义。我想上面这段话回答了你最后的问题。 事实很清楚，早在2004年，曹的公开回答就明确指出他认为一旦经过确认，庞加莱猜想最终证明的功劳是属于Richard Hamilton和Perelman两人的，并且希望他们二人都得到应有的承认。这个一贯的立场与后来《纽约时报》报道引用Perelman拒绝Clay奖的回答也毫无二致。 2004年7月17日《曹怀东 教授与 BBS 网友在线交流实录》链接： http://www.mathmagic.cn/bbs/read.php?tid=3434ordertype=desc 这个世界最有趣的事情，就是那些无谓的喧嚣总会随着时间烟消云散。用爱因斯坦的话来说就是： Politics is for the present, but an equation is for eternity. 你的equation在哪里呢？
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