1. 单应性 homography, 也叫射影变换 projective transformation Homography描述了两个平面间的变换关系(When the scene is a plane, a homography holds between the scene coordinate and the image coordinate AND between images acquired from different perspectives),射影变换的代数表达的定义式为: 。注意了:x,y都是齐次坐标homogeneous coordinate,是射影几何projective geometry中坐标的书写形式。 Robust computation of homography有很多方法,常见的有经典最小二乘least-square estimation, SVD等等,具体的方法可以参考下面文献:Multiview Geometry for Camera Networks,Multiple View Geometry in Computer Vision。说到单应性矩阵元素的求解,同时让我想起基本矩阵fundamental matrix(essential matrix)的求解,方法和estimation of homography一样。其中 u也是homogeneous coordinate。 One application of the homography:我刚看到的,就是能detect non-planar object on a planar surface,呵呵,原理简言之就是mapping one image onto the other via the homography, and then searching for non-overlapping areas. 2. 齐次坐标 齐次坐标的两个明显的优点是:1)提供了坐标系间转换的简便方法2)可以方便表示无穷远点,齐次坐标在射影几何中常用到,在欧氏几何、仿射几何、射影几何中所有的欧氏变换、仿射变换、射影变换分别构成变换群,则射影变化群包含欧氏变换群。欧氏坐标系可以看作特殊的射影坐标系,因此欧氏坐标系和射影坐标系间的变换也是射影变换,符合 。在不同的空间中的3D reconstruction,我们只是在重建不同几何意义下的不变量,欧氏几何中,形状是不变量;射影几何中,交比是不变量,对形状和交比重建,都可以做object recognition。不过射影几何意义下的3D reconstruction貌似在CV中用的不多。 在industrial photogrammetry中, 会有很多规则的直线、圆锥曲线等等二次曲线quadratic curve,二次曲线具有射影变换不变性,being invariant to projective transformation, 这样,二次曲线在欧氏变换下当然还是二次曲线。这样为工业摄影测量中二次曲线的几何重建提供了更简洁的方法:并不需要逐点重建,只需要通过image plane上的曲线方程一次性重建。 说到其次坐标,让我们想起homogeneous polynomial, 我们常用到的齐次多项式是quadratic form。 对于non-homogeneous polynomial,可以对其齐次化homogenization,公式如下...。齐次化后,很多公式或描述变得简洁,比如解求非齐次线性方程组,如果对常数项引入常变量 ,则n元非齐次求解问题变成n+1元齐次方程组求解,可以与齐次方程组的求解模型合二为一。This is the amazing effects homogeneous coordinate brings along. 呵呵。 再说齐次坐标,在projective space中,如果用homogeneous coordinate描述点、线、面,一个最大的方便是:点线面的齐次坐标possess identical form,也就是他们间有对偶关系,用齐次坐标大大简化了共面、相交、共线的矩阵表示。 3. 有理多项式 有理多项式是一种非线性参数曲线,不过如果用齐次坐标表示,其代数表示形式和多项式曲线一致。有理参数多项式具有几何和透视变换perspective transformation不变性,这条性质简化了变换后曲线的再构造。可是这条性质为什么对无理多项式不符合呢?我至今不懂,望高手指点。