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机器能够实现精确计算吗？: 热度 1 accsys 2014-8-18 09:22; 机器能够实现精确计算吗？姜咏江我们进行超长的数值计算，总是分段进行的。计算机进行超长位数的数值计算，也要分段进行。由于计算机运算器的位数是固定的，因而段的划分总是按着精确运算器的长度进行，即要在数值长度分段不足运算器长度时，要进行补位。手工计算的数有小数点和正负号，而机器表示的数既无小数点也无符号。因而用机器进行数值计算就要寻找另外的符号和小数点表达方法。因为任何一个数都可以写成一个整数和一个整数次幂相乘的形式。例如 -26.567 = -26567 × 10 -3 = -26567 × 1/10 3 。计算机很容易用二进制将这些数字表示出来，但无法表示符号和指数形式。其实解决整数幂的形式也很简单，只要将幂指数表示出来，让底数隐含就可以了。关键的问题是如何表示正负符号。二进制数只有 0 和 1 两个数码，许多书中都说最高位的数码是符号，这是一个严重的概念错误，因为符号是不能直接参加数值运算的。例如按照这种理解，符号 1+1 表示两个负数相加，结果符号位是 0 ，变成了正数。如果认为结果是 10 ，位数扩充了，但机器位数是有限的，最高位的进位已经丢掉了。如果下面还有进位，那么就更难判断结果的正负符号了。实际上二进制最高位 0 和 1 只是与机器表示正负数方法的一种巧合而已。 1. 对称制那么机器计算如何表示正负数呢？以中国的算盘为例，能否一见到算盘珠（见图 1 ）就知道是正数还是负数？图 1 10 进制算盘这个算盘共有 11 位，能够表示的最大正整数是 99999999999 。这种固定位数的数就叫限位数。我们能否就用这 11 位表示正负数呢？办法是这样的：将 00000000000 ～ 99999999999 从中间 50000000000 分开，让以它为对称的两个数表面数值较大的表示较小的相反数。于是 50000000001 就代表 -49999999999 ， 50000000002 就代表 -49999999998 ， …… 。因为 50000000000 是自身对称的，为了避免二义性，就规定它代表 -50000000000 。于是这个算盘能够表达有符号整数的范围是。这种规定表示正负数的方法不用添加任何符号，被称为对称制。对称制如果是偶数进制（ 2 、 4 、 6 、 8 、 10 、 …… ），判断一个数实际是正数还是负数，只要比较最高位是否比对称轴的最高位大小即可。例如， 84500000000 的最高位 8 比 5 大，故它表示的是一个负数。 2. 对称制加减法对称制可以做加减法运算，并且可以用加法运算得到减法运算的结果。我们将用数码表示的限位数直接相加就叫限位数加法。例如 03219876321+20998760452 ， 10000000000-88888888888 。限位数的加法 03219876321+20998760452=24218636773 ，结果正确。而 10000000000-88888888888=10000000000+11111111112=21111111112 ，这是因为 88888888888 实际上是 -11111111112 ，因而才会有上面的等式。可以证明对称制中，“减去一个限位数等于加上它的对称码”，也就是说，在对称制中用加法可以替代减法运算！ 3. 怎样快速得到对称码？两个数码之和为最大数码，那么一个数码就叫另一个数码的反码。一个限位数的每一位数码都是另一个限位数的对应位的反码，那么这两个限位数也互称为反码。可以证明：一个限位数的对称码等于其反码加一。这样我们要得到一个限位数的对称码就十分容易了不是？ 4. 对称制位数扩充限位数表示数的位数有限，加法运算可能会超出位数，而使实际的数值不对了，这种情况叫溢出。只要我们扩充位数，溢出就不会发生。在对称制中，保持数值不变，可以证明：负数扩充位数左面添“最大数码”，正数添“ 0 ”。例如， 567 扩充成 11 位，则有 567=99999999567, 因为在三位限位数中 567 是 -433 ，而在 11 位的 99999999567 的值也是 -433 。 5. 分段计算超过机器位数的数可以依据机器的位长，将数按位长分段，高段不足位长的要按照正负数的扩充方法补齐数码，然后将减法变成加法，并分段进位，就可以最后得到准确的结果。实际上乘除法可以转化成连续的加减法运算，故而用机器的限位数方法可以实现整数的加减乘除运算。如果考虑小数点移位，就可以进行任何用数码表示的实数运算。 6. 总结用限位数理论和方法可以让机器实现准确的算术运算，而不应认为“机器的位数越长越精确”，那是一种错误的理解。一些书中将二进制数的最高位理解成“正负号”，实际上是将“巧遇”当成“一般”，犯了不求甚解的错误。; 个人分类: 计算机科普|4119 次阅读|1 个评论

符号位——真的就这么一直错下去吗？: 热度 1 accsys 2013-6-13 06:49; 符号位——真的就这么一直错下去吗？姜咏江以前，我一直奇怪为什么西方的机器表示有符号数搞出一个“符号位”，而符号位的0或1又是不能参加机器数值计算的！我还一直怀疑是不是因为误传。昨天写书，认真地探讨了一下Quartu II中Verilog HDL假定的数据位数，验证了下面一段有符号加减法器的设计程序，才确认他们的理论确实有问题。 / Quartus II Verilog Template // Signed adder/subtractor module signed_adder_subtractor ( input signed dataa, input signed datab, input add_sub, // if this is 0, add; else subtract input clk, output reg result ); parameter WIDTH = 16; always @ (posedge clk) begin if (!add_sub) result = dataa + datab; else result = dataa - datab; end endmodule 利用Quartus II仿真时发现，运算结果总会给你加上一个符号位，显然这个符号位不是二进制数的一部分。例如，h0007-h0016,仿真给出的结果是h1FFF1，多出一位！按照“求反加一”的求值方法，应该得到h1FFF1的值是 -hE000F = - 131057，谬之千里矣！实际的结果值应是-15，也就是必须先去掉符号位求值。在机器运算的时候，也是这样做的吗？由此我可以断言：至我之前，西方的数学界尚未认真地研究过机器记数的一般方法。机器运算中随意在数值前面添加0或1，会造成识别与实际计算之间的大麻烦，特别是电路设计，会造成相当数量的浪费。我应当为我的限位数理论自豪。看来机器精确计算还大有搞头。电子电路设计的科学家们，难道我们还要这样一直错下去吗？ 2013－6－13; 个人分类: 机器计算|3768 次阅读|2 个评论

精确浮点运算需要监控的信号: accsys 2010-9-24 07:47; 姜咏江计算机加减法运算器的设计需要给用户留出溢出的监控信号，以便用户能够利用存储器进行位数扩充，然后进行分段处理。计算机浮点数运算源自a2 b 的科学记数法，其中a、b是一定位数的二进制数。浮点数加减法运算需要对阶，如果采用小数（尾数）右移的方式对阶，由于位数的限制，会丢失移位小数的部分有效数字，解决的办法是监测这种丢失有效数字的情况，并及时用标志线的信号报告。 8位阶码的浮点数尾数最大的位移是255，因而需要用一个256位的寄存器来承接移出的部分，监控标志线就是标示这个寄存器是否不是0。如果移出的部分小数不是0，且要保持精确计算，那么就需要扩充尾数的位数，进行分段的加减运算（注意，这种向右的位数扩充并不改变阶码，而加减运算的结果溢出，是向左的位数扩充，需要改变阶码）。如果尾数加减运算的结果溢出，同样需要扩充尾数的位数，但由于尾数是纯小数表示，因而必须将两个尾数都右移同样的位数，同时阶码要增加位移量。由于浮点加减运算的过程是先对阶，尾数加减之后才能发现运算溢出的，故求结果的阶码非常简单，只要将原先的大阶码加上移位数，就可以得到运算的结果的阶码。设计浮点运算器要注意右移尾数要先判断正负，二进制右移时，正数高位添0，而负数高位应该添1。 2010-9-24; 个人分类: 教学笔记|3651 次阅读|0 个评论

计算机核心设计中心必然转向中国: accsys 2010-6-23 11:19; 姜咏江自从冯.诺依曼计算机设计思想提出之后，计算机就以突飞猛进的速度发展着。从科研、军事到民用，计算机无所不在。然而就是这计算、计算的呐喊声音的背后，核心计算的理论和方法却存在着巨大的遗憾，拼凑式的计算设计方法替代着严格的数值计算理论和方法，其所带来的恶果或许至今那些西方的计算机设计专家还一无所知呢。从数学的角度来看，数值计算最不能容忍的是二义性。可在西方传过来的机器数值计算方法中，恰恰存在着这种二义性。他们提出了所谓0的概念，例如，在8位二进制的加减法运算中出现10000000，他们就认为这是一个-0，实际上这个8位二进制数唯一表示的是-128。这种规定不仅数学家不能容忍，更糟糕的是会在精确计算中产生莫名其妙的错误，这种错误会造成复杂系统莫名其妙的瘫痪，也许会让发射的火箭在毫无错误编程的情况下发生爆炸。按着这种糟糕的认识，那么应该有： 10000000 = 1000000000000000 = 10000000000000000000000000000000 = 它们都是-0，理所当然上面的等式是成立的。可见这种错误是多么的严重！实际，上面3个二进制数的值应是-128，-32768，-2147483648，如何能认为它们是相等的？这种设计的拼凑方法影响了计算机精确计算的发展，体现在IEEE 754所谓的浮点数标准上更是问题多多。看其规定：如果指数是0 并且小数部分是0，这个数是0（和符号位相关）；如果指数 = 2 e 1 并且小数部分是0，这个数是无穷大（同样和符号位相关）；如果指数 = 2 e 1 并且小数部分非0，这个数表示为不是一个数（NaN）。其中e是二进制数的位数。对于IEEE规定的8位阶码的32位浮点数01111111100000000000000000000001就不是一个数了。岂不荒唐！诚然，按照 IEEE 754 单精度浮点数可以在 -0.83886072 127 ～+0.8388607 2 127 范围内运算，但这种规定会造成数值域的不完备，使其无法进行等值扩充，即使引入双精度浮点数的规范，仍然存在着这个问题。中国当代不乏有世界著名的数学家，计算机界不乏有精明的头脑，在计算机精确计算领域，只要我们不盲从西方的所有理论和技术，深入研究，借助当代计算机面临重大改革时机，敢于挑战，世界计算机核心设计的中心一定会快速地转移到中国来。我说的是计算机核心设计中心，而不是计算机制造中心。 2010-6-23; 个人分类: 计算机核|3750 次阅读|1 个评论

计算机位数越长越精确吗？: accsys 2010-4-30 05:46; 姜咏江计算机厂商经常以计算机的位长作为卖点，似乎让用户深信：计算机位数越长越精确，性能越好。其实未必如此。计算机运算的精确度并不是由运算器的位数来决定的，而要看能否与存储器配合起来，设计好相应的指令，才能够精确地进行计算。这里给出用8位教学计算机求255以内自然数阶乘的例子，足可以说明这方面的问题。读者有兴趣还可以做后面的练习。例求自然数N！（255！的精确结果长度为210个字节）我们只求一个不超过255的阶乘问题的解决。由于部分积位数的不断增加，必须用分段相乘的方法处理。用4位十进制作786542642361，我们可以如下分步操作。（1）42642361=10067304，然后作（2）78652361=18569265，还要作（3）18569265+1006=18570271，最后的结果是（4）185702717304。如果被乘数位数再多，那么要不断地进行（2）（3）的操作，将其用一条指令来完成，就设计出了乘加指令MADD。这里采用由低向高的乘，方便知道部分积的长度。从1k（k=1）开始，将每次与乘数k相乘的一个字节放在pw0中，每次乘得的结果（部分积）放在p开始的位置，高字节在高地址处。变量分配是在数据存储器当中进行的，从0号单元开始。 2010－4－29; 个人分类: 教学笔记|6331 次阅读|3 个评论

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