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[讨论] 两种真正实用的自动控制技术：PID、模糊控制: zlyang 2020-3-19 15:21; 两种真正实用的自动控制技术： PID 、模糊控制民间传说：控制对象简单，用线性PID；被控对象复杂多变，用模糊控制。这是两种实际应用中表现可靠的控制技术。例如，在过程控制中，95%的控制回路都是PID型。PID 是英文 proportional – integral - derivative 的缩写。欢迎您的讨论！参考资料： Erlangen program. Encyclopedia of Mathematics . https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Erlangen_program Zhao C 赵成, Guo L 郭雷. PID controller design for second order nonlinear uncertain systems . SCIENCE CHINA Information Sciences, 2017, 60(2): 022201, doi: 10.1007/s11432-016-0879-3 http://engine.scichina.com/publisher/scp/journal/SCIS/60/2/10.1007/s11432-016-0879-3?slug=abstract 刘普寅, 吴孟达. 模糊理论及其应用 . 长沙: 国防科技大学出版社, 1998 Fuzzy theory and its application . Changsha, China: National University of Defense Technology Press, 1998 PID Control, proportional – integral - derivative 16.06 Principles of Automatic Control, Lecture 10 https://ocw.mit.edu/courses/aeronautics-and-astronautics/16-06-principles-of-automatic-control-fall-2012/lecture-notes/MIT16_06F12_Lecture_10.pdf 王立新，2016-01-22，PK系列之二：朱豫才 PK 王立新 –– 读经典，学正道，拒无知 http://blog.sciencenet.cn/blog-2999994-951834.html 模糊系统研究是一个备受打压的领域，在美国已经死去。 Zadeh去年第二次中风，可能活不了多久了，Bezdek, Keller等早已退休，我的导师Mendel也将在明年退休，在美国主要高校的模糊研究力量将会彻底消失。Mendel前年来北京时跟我说过，他和Zadeh讨论过fuzzy在美国已死的问题， Zadeh的回答是：fuzzy会在世界其它地方生存下来。听到恩师如此之悲壮，我心里真的好难过。 Jianqing Fan and Qiwei Yao, Nonlinear Time Series: Nonparametric and Parametric Methods , Springer-Verlag, New York (2003). https://orfe.princeton.edu/~jqfan/fan/nls.html https://orfe.princeton.edu/~jqfan/publications-general.html page 448, 10.1.5 Nonlinear versus Linear Prediction But empirical studies indicate that linear methods often work well despite their simplicity, and the gain from nonlinear prediction is not always significant and sometimes is not even guaranteed; see §3.4.1 of Chatfield (2001) and the references therein. Although we should not take numerical comparisons on faith (see, §6.6.3 of Chan and Tong 2001), the robust performance of linear forecasting methods is undeniable. Since this issue has rarely been addressed explicitly in the literature, we provide an explanation below. 相关链接： 2019-09-22，模糊数学：扎德“解模糊”、卡尔曼“模糊化”（博文网页汇集） http://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1199064.html 2017-09-09，沉痛悼念模糊理论创始人拉特飞‧扎德（Lotfi A. Zadeh）先生 http://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1075044.html 感谢您的指教！感谢您指正以上任何错误！感谢您提供更多的相关资料！; 个人分类: 本科-研究生教学|3455 次阅读|5 个评论

量子叠加是完美线性的吗？: 热度 3 leiyian 2018-10-26 08:25; 量子的叠加性量子力学的基本原理之一，也是量子信息研究的主要理论基础，没有量子叠加性就没有量子信息，没有量子计算。那么究竟什么是量子叠加性呢？它有什么性质？是普适的吗？受到什么限制？本文将从基本物理理论出发，讨论量子叠加性及其线性条件。叠加性叠加（superposition）性，也叫叠加原理，或者可加性，是指，对于一个系统，如果有两个或多个因素能够引起系统变化，系统总的变化是每个因素引起变化的简单相加，就说该系统对这几种因素，满足叠加性。用数学的表达方式来说，如果A使系统产生的变化为X，B产生的是Y，那么A+B产生的总结果就是X+Y。叠加性在数学上，表达为相加性和齐次性。相加性就是上面说的，也可以表示为： F(A+B) = F(A) + F(B) 如果A和B是同一个因素，但是量不一样，相加性也可以表示为齐次性： F(aA) = a F(A) 这里的a是一个任意实数。满足叠加性的系统叫线性系统。线性系统有很多，可以用代数方程，线性微分方程描述的系统都是线性系统。自变量和函数值可以是实数，矢量，函数，等。量子叠加性量子力学认为世界是由量子构成的，量子的行为必须满足薛定谔方程，而薛定谔方程是一个线性方程，所以量子的行为必然满足叠加性的要求。换句话说，量子的波函数一定是薛定谔方程的一个解，而薛定谔方程有很多解，这些解的任意线性组合也是薛定谔方程的合法解。对于一个量子，还有一个显然的要求，就是虽然有很多可能，但是全部加起来必须只有一个量子，这叫波函数的归一性。因为量子的定义就是一份一份的物质或物理量，如果没有归一性，就没有量子化了，也就不需要研究量子了。也可以说，量子的叠加性来自其波动属性，因为所有的量子同时也是波（波粒二象性），而波满足薛定谔方程。举个例子，如果原子核外面有一个电子，电子有很多可能的轨道，那么电子可以处在一个轨道上，或者同时处在多个轨道上（不同能量本征态的叠加）。用数学式表示，如果轨道1是X，轨道2是Y，那么电子同时处在轨道1和2的表达式是： aX + bY 其中a 2 +b 2 = 1，即归一性条件。a 2 是电子处在轨道1的几率，b 2 是电子处在轨道2的几率。到此为止，应该都还好理解，因为都是简单的数学（真的理解了吗？一个电子怎么同时处在两个轨道上？更多地，薛定谔的死怎么同时处在活态和死态的叠加态上？）。一些隐含的假定前面讨论的主要是数学定义，只要假定的条件成立，后面的推论是自然的。但所有的假定都是前提，对于任何一个真实的物理问题，假定成立不成立需要论证。我们看看前面有几个“如果”。叠加性的定义中，我们说了“如果有两个或多个……”。这里的“如果”是说，如果系统真的是线性的话（“线性”和“满足叠加性”定义的内涵是一样的），那就满足叠加性，所以我们假定了系统是线性的。也可以说，我们假定了系统是满足叠加性的，那么可以数学地表达为上面的相加性和齐次性。再换句话说，没有人保证系统是线性的，只是如果线性的话，那么可以表达为怎样怎样。 “如果有两个或多个因素……”中说到的“两个或多个因素”，也有一个隐含的假定，就是这几个因素应该没有关系，也就是因素A不能影响因素B，等等。这叫线性空间不同维度之间的正交性要求。在量子力学语境中，叫力学量完全集中基的正交性要求。实际上，这个假定可以放宽一点，也就是几个因素之间应该没有非线性相关，或者说，可以通过线性变换，将线性相关消除，只剩下正交的部分（对角化，正交化）。我们在讨论量子叠加性的时候，说到“量子力学认为”，这里面的“认为”也是一个假设。虽然说这个假设，包括波粒二象性，在学术界认可度很高。本文并不质疑这一假设，认为该假设有效。同时我们还接受了波函数的几率解释。但是，必须指出，薛定谔方程是一个非相对论方程，也就是非相对论情形下量子行为满足的方程。也就是说，我们隐含地假设了量子的行为是非相对论的。而非相对论意味着： l 光速无穷大。 l 空间各处的时间同步。 l 一次事件（测量，坍缩）瞬时在全空间发生（如果不是局域事件）。 l 光子（如果存在），是充满全（宇宙）空间的平面波。 l 任何一个量子，只要不处在无限深势阱中（局域），波函数也充满全空间，而物理上的无限深势阱是不存在的。非相对论假定是一个很弱的假定，只在特殊条件下近似成立。量子体系线性假定的合法性根据上面的讨论，如果满足我们前面所有的隐含假定，量子的叠加性是普适的。这正是量子信息研究中，量子信息叠加性巨大优势的理论基础。除掉相对论，我们把前面一节的各种隐含假定可以归纳为一句循环论证：如果系统是线性的（因素是线性的，因素产生的影响是线性的），它就是线性的。因此，上面那句话也可以表达为：系统的线性，或者说，系统的完美线性，是量子信息叠加性巨大优势的基础。那么一个量子体系究竟是不是线性的呢？虽然相对论的量子力学不一定是非线性的，但是我们现在用得最多，最成功的量子场论认为，我们实验室中观察到的所有物理现象（主要是电磁现象），都是非线性的。任何一种相互作用，都非常复杂，原则上存在无穷阶相互作用，即使只有一个单独的基本粒子。比如电子。标准模型认为，电子已经是最基本的粒子，没有结构，但是，电子至少要存在于真空中，而它与真空有非常复杂的相互作用，根本不可能全部写出来。量子场论可以将电子的自能，自旋g因子等性质计算得非常精确（12位有效数字），但是很难更精确，因为往后太复杂了。其它基本粒子也一样，因为真空的属性，即使单个粒子，也参与多体相互作用，而多体相互作用都是非线性的。而由基本粒子构成的复合粒子，如原子核，原子，当然更复杂。举一个简单的例子，一个氢原子，电子处在激发态上。通常情况下，电子无法保持在激发态上，会迅速退激发，回到基态。为什么呢？我们说激发态不稳定，因为电子跟真空，跟原子核，存在各种各样的相互作用，其中有一种作用，让它回到稳定的基态，并放出能量，如果没有一个外来的能量把它激发上去，它就会待在基态上。基态是最低能量态，这时候，还是存在各种各样的相互作用，它还是在做各种尝试，但是没有外部条件支持，看起来就是待在基态不动。如果电子，或者说氢原子是完美线性的，激发态是一个符合薛定谔方程的合法轨道，如果没有剩余的相互作用（非线性作用），电子应该一直维持在激发态轨道上，因为不存在让它发生变化的机制。别的轨道跟这一条轨道一点关系都没有（正交性的要求），也就是电子根本不知道其它轨道的存在。可是这样的话，也不存在电子从基态激发到这一条轨道的机制了。所以，从基本相互作用的角度来说，完美线性的物理体系是不存在的。如果存在，一定跟我们这个世界没有关系，否则该体系无法保证自己的完美线性。完美的线性世界是什么样的？非线性相互作用，是我们这个世界的物理基础。没有非线性，就没有我们这个世界。但是我们仍然可以想象一下，一个完美线性的世界是什么样的。在一个完美的线性世界里，由于缺乏相互作用，或者说，缺乏引起不可逆状态改变的相互作用，它的熵是守恒的（刘维定理），也就是，世界的混乱度不会改变。对很多人来说，这样的世界完美地有序，真的是非常完美，呵呵。可是，熵不变，这样的世界就没有热力学了，也就没有热力学时间了，也就没有耗散系统了，像我们这样的生命就不会存在了。一个没有时间的世界，没有变化，或者只有循环的变化。这样一个世界是死亡的世界，跟我们很早的时候担心过的宇宙命运——热力学终结（热寂）——是一样的。热寂是熵达到最大，所以死亡，完美世界是熵不变，也是死亡。为什么完美线性的世界不存在？因为不完美线性的我们存在。顺便说一句，霍金曾经证明过黑洞的量子信息守恒，就是用的完美线性假设加超距量子纠缠假设。这两个假设也是量子信息理论的基本假设。微观过程量子信息守恒，或者熵守恒，将导致宏观的熵守恒，这显然是一个荒唐的结论。国际上接受这一理论的物理学家并不多，但在国内基本上被“科普”成高深的真理了。对于一个量子信息体系，比如量子计算机，在完美线性的条件下，就是会变得像现在量子信息研究者设想和主张的那样美好：无穷精确，很少的量子位可以存储海量的信息，可以达到很大的并行度，计算可以无穷快（因为光速无穷大）。但在一个真实的、不完美的、充满非线性的、由相对论控制的世界里，量子信息体系是什么样的呢？存储的信息不可信，信息的存储和操作都会受到非线性效应的影响，最后体系的状态不是由计算的操作决定，而是由热力学决定，或者说热力学将起到重要作用。随着量子位数目和并行度的增加，不可控制的热力学效应越来越重要，非线性效应将主导体系的演化，计算的结果将大大偏离设计的线性计算目标。设计和操作一个量子体系仍然是有可能的，但是认为其中只有线性作用是肯定不对的。可是在量子信息的理论框架中，找不到非线性这个词汇。所有的数学表达式中，只有一种数学运算——加法。好吧，公平地说，用到了所有线性运算。理想体系与真实体系在通常的科学和工程应用中，有大量的线性系统。那么是不是说，线性系统大量存在呢？我们看看常见的典型系统： l 单摆：无穷小幅度的单摆是线性的，小角度单摆是近似线性的，大角度单摆是非线性的，复合摆是非线性的。 l 波：理想的波是线性的，条件是没有任何相互作用。真实的波存在色散，耗散，波波相互作用，等非线性效应。 l 天体系统：只有两个刚性的牛顿引力天体系统是线性的，少体系统在特殊条件（满足一定对称性等）下是线性的。真实系统有各种非线性因素，广义相对论效应，不是刚体，多体混沌效益，太阳风剥离，等等。但在演化时间很长的，以一个主恒星为中心的天体系统中，短时间内，可以认为是线性的。 l 流体：宏观微观角度都是非线性的。有一种理想的可逆流体。 l 电路：理想的电路是典型的线性系统，但隐含了下述条件：低频，材料性质不随电流电压等参数变化，无自感，等等。 l 刚体力学：理想刚体是线性系统。线性条件就是“理想”，硬度无穷大，不变形，无耗散。 l 量子体系：完全满足（非相对论）薛定谔方程的量子是线性的。真实的量子存在与真空的相互作用，高阶作用等非线性效应，不可忽略。从上面常见物理系统的例子可以总结出来，线性成立的条件就是“理想”，也就是所有的真实体系都不是线性的。在量子信息情形，是不是也存在足够“理想”的线性系统，可以忽略其非线性效应？这的确是值得研究的一个问题。一个量子体系可不可以认为是线性的？非线性效应对对量子信息影响到什么程度？每一类方案和研究都应该做细致的评估。但是像无穷精确，无穷并行，无穷快，等，这样的要求是不可能满足的。非常精确，非常快，大并行度需要有一个评估的标准，但可惜到目前为止，量子信息的理论基础都是理想线性加非相对论。“量子霸权”，传统加密算法破解，都需要完美线性。相关讨论：数学量子位与物理量子位的差别量子纠缠究竟怎么回事？; 个人分类: 量子力学|6921 次阅读|5 个评论

控制理论没有未来？: 热度 4 zlyang 2015-12-29 15:16; 控制理论没有未来？好像线性 P I D （proportional–integral–derivative controller）控制、模糊控制是有实际用途的。其它的在实际中往往不很好用。（1）线性系统，比非线性系统的稳健性好：这是线性控制比非线性控制在实际中好用的主要原因。这个应该是范剑青和姚琦伟（Jianqing FAN, Qiwei YAO）老师证明的。不是真傻证明的。推论：在常规的较慢变化的系统里，线性预测控制往往是有效的。（2）在复杂多变环境里，模糊控制是优先考虑使用的有效控制方法。（3）一般地，需要优化的参数少的控制系统，在实际中的效果也往往很可靠。不是越复杂越先进的方法好；相反，是相对简单的控制方法更有效。（4）赶紧去学 sophisticated 的方法吧！好发表论文。不发论文：不给学位，不给职称，不给经费。以上是科研笔记，其中的（3），是我们多年思考的结果。我们宣称这个发现的优先权。相关链接：谢力，2015-12-29，控制理论没有未来 http://blog.sciencenet.cn/blog-669170-946617.html 朱豫才，2015-06-21，控制如何不死？--- 3. 模型，模型，还是模型 http://blog.sciencenet.cn/blog-862928-899565.html 朱豫才，2015-05-14，控制如何不死？--- 1. 控制界被数学了50年，该物理物理了精选 http://blog.sciencenet.cn/blog-862928-890262.html 感谢您指正以上任何错误！; 5914 次阅读|14 个评论

重修微积分9——泛函: 热度 12 xying 2015-5-22 08:01; 算术是从一个或几个具体的数计算另一个数的学问，在这儿，数是已知和不变的。代数等式中有些数虽然未知，但其所指，仍是一个固定的数。在几百年前，只在几何中表示数量的对应，运动则代表着变化。几千年中的算术、几何和运动的研究，人们在三者间交叉借用形象来类比推理，直到 1694 年莱布尼茨终于用了函数这名词，抽象地表达变动的已知数到答案数之间，算法所对应的映射。其后近百年间，由约翰·伯努里和他的学生欧拉的推崇，最后到维尔斯特拉斯，确认了必须用函数的概念，把微积分建立在代数而不是几何的基础上。函数，是我们从小学算术到中学要理解的第一个抽象概念，没过这坎的人，与数理绝缘，后面的课就不能理解了，对数学的认知停留在中世纪。初等微积分是在函数概念的基础上，对变动数极限运算的数学，牛顿称之为“流数术”，在有穷的世界窥测无穷的彼岸。近代分析建立在无穷空间的映射概念上，研究抽象空间结构和算子性质。由此俯视分析理论，能更抽象地构造数学模型，解决微分方程解和函数推广等等难题。理科生在这里，必须再过一个坎，走进抽象无穷的世界，才能理解现在的数学，而不是停留在二百年前的旧时光里。算术的眼界局限在数域中。函数表达了数域中变量与映射值的对应关系。经典微积分用函数和极限的概念从数域，跨进实数和欧几里德空间。其运算都基于这个空间的性质。泛函分析将函数作为变量，研究它所在的空间和算子。在这里，一个函数也只看成集合上的一个点。将讨论的对象抽象成集合中的点，点与点之间的相邻关系和点间运算对应关系，是集合上设定了的性质。数学的空间是定义有这些性质的集合，在这些设定条件下来讨论数学问题，而不再借助任何其他背景。在我们介绍过的空间里，由粗到精的包含关系顺序是：拓扑空间， T2 空间，距离空间，赋范空间，巴拿赫空间，希尔伯特空间。这些空间都只是抽象的类，可在相应的各类里设定具体的拓扑、距离、范数或内积。 L 2 和 l 2 空间，欧几里德空间，实数空间则是常见具体化的希尔伯特空间。初等微积分局限在实数空间和欧几里德空间里，泛函分析研究抽象的空间，特别是赋范空间、巴拿赫空间和希尔伯特空间的结构和线性运算性质。下面带你领略这里的风光。两个距离空间中的映射称为算子。这篇只讨论赋范空间的线性算子。回顾一下赋范空间定义，它是线性空间，是以向量长度为范数导出了距离的距离空间。在这距离定义下，如果它对收敛还是完备的，则称为巴拿赫空间（ Banach space ）。大家熟悉的欧几里德空间 $\mathbb{R}^n$ ，是有穷维的巴拿赫空间，其线性算子在基底下表示为矩阵。无穷维巴拿赫空间中线性算子的研究，是泛函分析的中心内容。在分析中，函数是数与数的对应关系，是实数或复数间的映射，泛函则是以函数为自变量，对应于实数或复数值的映射。一般地说，从距离空间到数域的映射称为泛函。数域也是赋范空间，所以线性泛函也是一种线性算子。例9.1：函数的定积分是个线性泛函。下面L(f)和K(f)都定义了$L^1 $空间上的一个泛函。（在上绝对可积函数的空间上） $L(f)= \int_0^1f(t)dt \;\;\; \forall f \in L^1 $ $K(f)= \int_0^1f(t)e^{-t}dt \;\;\; \forall f \in L^1 $ 先介绍线性泛函的一些性质，以此来揭示赋范空间、巴拿赫空间和希尔伯特空间的结构。对线性算子 T ，如果存在着一个正数 c ，对其定义域上所有的点都有 $\left\|Tx \right \| \le c\left\| x \right \|$ ，称这个算子是有界的，这个 c 的下确界称为线性算子 T 的范数。对于线性算子，连续性与有界性是等价的。有界的算子总是把微小的变化映射成微小的差异，把有界的集合映射成有界的像。泛函的连续性在应用上很重要，例如用一个收敛的函数序列来计算泛函作用下极限值，只有对连续泛函这样的逼近才有意义。欧几里德空间的线性泛函，可以表示成一个内积，它总是连续和有界的。但在赋范空间，并非所有的线性泛函都是有界或连续的。例9.2：闭区间上连续可微函数集合C 1 ，以$\left\| x \right \| = \max_{0\le t \le 1}|x(t)|$ 为范数构成赋范空间。函数在0点的导数是这空间的一个线性泛函。它不是连续的。因为对函数序列$x_n(t)=\frac{1}{n}\sin(nt),\;n\ge 1$，有$\left\| x_n \right \|=\frac{1}{n} \rightarrow 0, \;\; n\rightarrow \infty$，即$x_n \rightarrow 0$，但是${x_n}'(0)=\cos(n0)=1, \;\; n\ge 1$ ，它并不趋于0。所以它不是连续的，也不是有界的。在某些线性距离空间，甚至没有非零的有界线性泛函。但是对赋范空间，我们却有足够多的有界线性泛函。 Hahn-Banach 延拓定理：如果赋范空间的线性子空间上，定义有一个有界线性泛函，那么可以把它延拓到全空间，延拓后的算子也是个有界线性泛函，在原来子空间的映射保持不变，而且它的范数与延拓前是一样的。取 X 中任何一个非零点 x 0 ，它的数乘张成一维的线性子空间，在这子空间上定义一个有界线性泛函，使得 $f(x_0) = \left\| x_0 \right \|$ ，应用这个定理，可以将它延拓到全空间，并且有 $ \left\| f \right \|=1$ ，这说明对于任何一个赋范空间，都有不比它向量少的有界线性泛函。记赋范空间 X 上所有的有界线性泛函的集合为 X* ，不难验证 X* 在算子的范数下是一个巴拿赫空间。 X* 叫做 X 的对偶空间，也称为共轭空间。 X* 的对偶空间 X** ，自然也是个巴拿赫空间。那么 X** 与 X 是什么关系？对于 X 上的点 x ，可以定义 X* 上的泛函： $ L_x(f) = \overline{f(x)},\;\; \forall f \in X^*$ 显然， $L_x$ 是线性的，而且 $\left\|L_x \right \| = \left\| x \right \|$ ，是有界的。这说明 X 到 X** 间有个一一的，线性的，并且保持范数相等的映射，即 X 等价于 X** 的一个线性子空间。如果这个映射还是满的，即 X 等价于 X** ，则称为 X 是自反的，记为 X=X** ，自反的赋范空间必定是个巴拿赫空间。例9.3：函数空间$L^p \;\; p 1$是自反的，它上面的线性泛函$f(\cdot)$表示为 $f(x)=\int_0^1 x(t)\overline{y(t)}dt, \;\;\; x\in L^p ,\; y \in L^q , \;\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ 它的对偶空间是$L^q \;\; \frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ 自反巴拿赫空间与对偶空间互为有界线性泛函的关系，让我们联想起内积的关系。所以就用内积的符号来表示线性泛函， $f(x)= \left \langle x, f \right \rangle$ ，对它们间的线性性质与内积形式上完全一样，只不过这里左右矢量是在不同的空间。特别地，从线性算子范数的定义，有与内积完全相同的 Schwarz 不等式 $|\left \langle x, y \rangle \right | \le \left \| x \right \| \left \| y \right \| $ 希尔伯特空间 H 是定义了内积，并以此导出范数的巴拿赫空间。由上面巴拿赫空间与对偶空间的内积表示，及 Schwarz 不等式，很自然地会猜测： H 空间的对偶空间是否是它自己？确实如此。 H 中任何一点，都可以用内积定义 H 空间上的一个有界线性泛函，这说明 H 是 H* 的子集。 Riesz 表现定理则证明， H 空间上，任何一个有界线性泛函 $f \in H^*$ ，都对应着空间中的一个点 $y \in H$ ，使得 $f(x)= \left \langle x, f \right \rangle, \;\;\; \forall x \in H$ ，而且 $ \left\|f \right \|= \left\| y \right \|$ ，这说明 H* 是 H 的子集。所以 H=H* 。 Hahn-Banach 延拓定理证明了每一个巴拿赫空间，它的有界线性泛函构成了它的对偶的巴拿赫空间，有界线性泛函算子间的作用可以用内积的式子来表示。 Riesz 表现定理则肯定了希尔伯特空间的对偶空间就是它自己。 Hahn-Banach 延拓定理可以放宽到，具有线性的距离空间附加上一些条件，泛函分析的教科书介绍这方面的内容。距离空间中收敛的要求比较强，用泛函我们可以定义一种比较弱的“功能性”的收敛。比如说，赋范空间 X 中的序列 ( x n ) 收敛于 x 0 ，指 $\lim_{n\rightarrow \infty}\left \|x_n - x_0 \right \|=0$ 这有时称为强收敛，弱收敛则定义为这序列对所有的有界线性泛函都有 $\lim_{n\rightarrow \infty}f(x_n) = f(x_0), \;\;\; \forall f \in X^*$ X* 中序列 ( f n ) 弱 * 收敛于 f 0 ，则是满足 $\lim_{n\rightarrow \infty}f_n(x) = f_0(x), \;\;\; \forall x\in X$ 显然强收敛隐含着弱收敛，弱收敛未必能强收敛，下面是个例子。例9.4：希尔伯特H的任何正交归一基{ e n }，不难从向量在这个基上分解的无穷序列和中得到， $\lim_{n\rightarrow \infty}\left \langle x, e_n \right \rangle =0, \;\;\; \forall x\in H$ 由Riesz表现定理得知，这表明这基的序列弱收敛于0，但是所有基向量的范数都是1，所以它不可能强收敛于0. （待续）【扩展阅读】关肇直等，张恭庆，冯德兴，线性泛函分析入门，上海科学技术出版社， 1979 程代展，系统与控制中的近代数学基础，北京：清华大学出版社， 2007 http://product.dangdang.com/9350967.html; 个人分类: 科普|17288 次阅读|19 个评论

线性混合模型的思考: zyysdjn 2013-5-8 20:20; 线性混合模型的对数似然函数的最大值一定是负的吗？是否会因为数据的不同而变成正的呢？; 1670 次阅读|0 个评论

线性判别分析中的几个问题: Bearjazz 2013-3-8 10:26; 线性判别分析中的几个问题熊荣川 xiong rongchuan 六盘水师范学院生物信息学实验室 xiongrongchuan@126.com http://blog.sciencenet.cn/u/Bearjazz 1、判别分析研究对象为多因子研究对象，如物种的所有形态特征的分类贡献。 2、通常我们在用到判别分析的文献里都会看到两个判别函数的二元坐标散点图，如下图但是，不是所有的判别分析都能生成这样的图。因为当分组只有 2 组的时候，方程个数（ Function ）只有 1 ——及最大方程个数等于分组量减一，通常取最优的两个方程作二维散点图。线性判别原理笔者理解是两个过程： A ：首先是减少变量个数——根据变量的自相关性，压缩高度相关的变量，并留下对于分组贡献高的变量 ; B ：将剩下的变量拟合成一个线性方程，使得每个样本的变量值代入方程都能计算出一个 “分组分数” 。然后选择两个最优方程计算两组“分组分数”，做成一个二维散点图。这样多维的问题简化成了二维问题; 个人分类: 我的研究|5858 次阅读|0 个评论

两种截然不同的精神: 热度 26 何裕民 2013-1-17 13:43; “观察者听命于自然界，而实验者则质询自然界” ---------- 居维叶（一）观察科学与实验科学按照伯尔纳对观察科学与实验科学区分的理论，①可以认为，从方法论的角度看，中医学是一种对研究对象不加干扰的观察科学，而近、现代西医学则是一种对研究对象的自然状况加以干扰的实验科学。如同对脉象的观察，中医学用“自然工具”的手指进行，而西医学用物化的工具——血压计和听诊器对肢体进行加压干扰，一个用触觉，一个用听力来获得血压变化等信息。这种区别如同居维叶（Curier）所说的那样，并且迫使自然界坦露她的奥秘。”①现在要思考的是：这种区别以及心悟诸法、实验方法对各自理论的检验作用和它们所体现出的主体精神。一般说来，中西医学对理论的检验程序和要素是基本一致的，即从某种理论或假说出发，施加一定的手段或因素于研究对象，然后从施加对象的效应来推断理论或假说的逼真性如何。但是，细加分析，两者在对待出发点的理论或假说的心态上，以及施加因素和效应解释上都存在根本差别，而方法在造成这种差别时扮演了一个主要的角色。（二）不同的评判尺度伯尔纳指出：“实验的真正性质是作为一个外在的、无意识的标准，它只给出相对的真理，而不可能证明思想上绝对地认识到了真理。”①故实验“除了事实以外，不承认任何权威，并且不受个人权威的影响。”因此可以说，“实验方法在科学上引起的革命就是：确定了一个科学的标准，来代替个人的权威。”①使用这样一种方法的西方学者常常自觉地寻找理论的缺陷与错误，并且乐意按照检验的结果来改正错误。而心悟方法薰陶下的中医学家，却很少关注对理论中的不合理成分的批判，他们反思的不是理论，而是主体自我。他们把《灵枢》、《素问》、《神农本草经》、《伤寒论》当成“心始有定见”的“根柢者”（陈修园语）和无可置疑的准绳。可以说，“不向权威屈服的精神，是实验方法所看成的基本信条”；①而循规蹈矩，削自我之足适经典之履，则是心悟诸法的基本精神。这种基本精神的差异，决定了中西医学理论检验时的思维取向：一个是证伪，一个是认同。对于后者，明代医家方有执的一段话可以彰明。他尽20余载心血写成《伤寒论条辨》，而“心仲景之心，志仲景之志，以求合于仲景之道”，就是研讨心态的自我如实写照。（三）丰富的个性与可重复的经验实验方法的一个特点是它可以被不同的人在不同的时间重复，这就意味着“实验方法是不受个别人影响的，它用统一或牺牲个人特定观念来消除个性，并且把它们变成借助实验批判证实的普遍真理”。②而中医学心悟诸法却意味着个性成分将源源不断地注入理论和经验之中。从古至今汗牛充栋的中医学个人医案集，正是这种个性的丰富表现。于是，我们可以看到：西医学家不以重复别人的实验为耻，而以新的证实，特别是证伪为骄傲；而中医学家却以独有心得的诠释和灵活运用为自豪，即“贵能超乎规矩之外，不离规矩之中”（陈修园：《医法长沙》）。显然，这种个性的有无与理论检验的客观性密切相关。（四）因果链：线性与非线性　　为了检验理论，还必须以一定因果观为基础。西医学从科赫准则起，为了求得确切的因果关系，一方面尽量把“因”分离出来，成为一个简单的变量；另一方面以反证实验表明：“消除原因，就不出现结果”。这种因果观是线性的。而中医学的因果观大多是非线性的，或为一因多果：如“风之伤人也，或为寒热，或为热中，或为寒中，或为疠风，或为偏枯，或为风也”（《素问·风论》）；或为多因一果，如“风寒湿三气杂至，合而为痹也”（《素问·痹论》）；或是多因多果，如“以身之虚，而逢天之虚，两虚相感，其气至骨，入则伤五藏”（《素问·八正神明》）等等。这种复杂的因果观，显然给中医理论的检验带来重重困难。加之中医学的施加因素（如中药）也是复合的，其施加的对象又是一个不能加以分割和强令静止的活体，于是，中西医学的理论检验就形成了本质的差别。中医学从效果到施加因素，从施加因素到理论的各个环节，都存在着相当大的自由度，这些就成了中医理论逃避反证检验的避难所。特别值得指出的是，西医学发展了比较实验，以排除那些虚伪的有效理论和偶然呈现的因果联系。而传统中医学医案所载的既不是对同一类病人治疗的反复验证，也并非对同一种疾病不同方法比较的经验，而多是常人少见的“疑难杂症”。其实，所谓“疑难杂症”是整个疾病谱中的特殊性和个别性，是疾病世界的偶然的一面。借助这种量少而又很难复验的治疗经验，要作出对理论的检验，实属困难。事实上，把这种个人的、局部的经验，上升为普遍的经验，或从理论加以推广移植，并不能取得重复的效果。 “因地、因时、因人制宜”的辨证施治也应该是一种实践的逻辑，它不能取代比较和重复这种检验理论的认识逻辑，当然也不能作为藉口来逃避这种检验。按照流行的说法，发展中医学的当务之争是继承和总结老中医的经验。在我们看来，这其实只能是延续那种言不尽意的心悟诸法。从当代实证科学的基本精神出发，急待解决的是有关中医学的观察方法（如四诊）、基本理论（如八纲）的客观化研究，有关这些理论、方法的比较和重复的检验，把个人内心的东西转变成可以为公众察验的东西。只有这样，中医学的现代研究才有可能起步。; 个人分类: 何裕民文集|2908 次阅读|26 个评论

真空的起伏: 热度 2 等离子体科学 2011-6-11 10:49; 连续两周在 Kavli 研究所办的暑期学校和研讨会，终于结束了 :p 看到很多老朋友，学到很多东西。有时间慢慢谈。这中间我们休会半天，因为物理学院的“百年物理论坛”请来了另一位 Kavli 研究所的所长， Nobel 奖得主 David J Gross 教授来讲《 Frontiers of Fundamental Physics 》 Gross 教授从超对称讲到量子色动力学、从超弦讲到大统一理论从宇宙演化讲到胶子、夸克。。。但是笔者最感兴趣的是他对真空的形象描绘——一个起伏着的真空图像。看我们描述物质世界运动的基本规律—— Lagrangian 方程也好， Hamiltonian 方程组也好，电动力学的 Maxwell 方程组也好，量子的 Schrdinger 方程也好、 Dirac 方程也好，都是线性的。（甚至都是时空一阶导数的！）所有的非线性都源于相互作用。甚至一般来说，两体相互作用也可以用线性规律描述；要有“第三者插足”（比如三粒子相互作用、三波相互作用）才能看到非线性效应。是不是因为我们看到的物理世界，实际只是真空的起伏，（且我们看到的可见物质，也只是宇宙中物质和能量的 4% 左右，）所以线性规律就足以描述？如果我们能够走到高能量密度物理的“极端”，让真空“沸腾”起来，是不是我们现在的物理规律都要进行 fundamental 的“非线性化”？ P.S.: 笔者在做博士后的时候，曾参加了在 UCSB 这个理论物理研究所（当时还是美国国家科学基金 NSF 支持的，不是 Kavli 基金会的）主办的一期研讨会 + 短期访问，有幸与一些世界著名的物理学家和数学家结识并学到很多东西。其中有的基本观点，笔者到最近才有深刻的理解。这次在北大 Kavli 研究所的暑期学校 + 研讨会上又重逢其中几位，谈到我自己的一点体会（在研讨会上也报告了），说起当时引领我们、现已作古的 John Greene 先生，不由得感慨万千。当年明月在，曾照彩云归。有时间也谈谈这些故事。; 个人分类: 学海无涯|4315 次阅读|8 个评论

复杂系统,与洪昆辉商榷: TUGJAYZHAB 2010-9-29 03:26; 关于复杂系统 , 与洪昆辉商榷科学网复杂系统的博主洪昆辉老师对复杂系统颇有研究 , 曾著有阶段论，见其博客 http://www.sciencenet.cn/m/user_content.aspx?id=357548 。我与他探讨复杂系统的预测。在探讨的过程中，我们的讨论牵涉到了复杂系统的定义的问题，他说 : 能预测的过程就不称为复杂性过程了。这样定义我觉得不甚妥。关于复杂系统的定义对于研究者来说是第一位的，提出我自己的见解与洪老师和其它博友共同探讨。复杂系统应该是结构复杂的系统，它的定义应该是不以人的意志为转移的，不以能否被预测来转移的。不能预测是复杂的结果，而不是被冠以复杂的原因。系统结构复杂，可以从两个方面看：系统元素(维度)的多少，元素阶位的高低。元素数目多的系统(高维)当然就复杂。元素数目的多少和阶位的高低是关系到系统复杂性的两个概念。两者之间没有必然的联系。多维不一定高阶。如果元素数目虽然多，但互相没有关系，没有偶合，则不会导致阶位升高。高阶也不一定多维。阶位，我的理解是元素的幂次数。如二次函数，三次函数，或更高次函数。高阶的方程难解，包括高阶元素的系统当然更复杂。维度和阶位决定系统的复杂程度. 因此，是否可以把复杂系统分为： : 多元 ( 一阶 ) ，高阶 ( 一元 ) ，和多元高阶系统。多元一阶系统 . 多元一阶系统是线性，即使多元，只要是有限多元，则一般可解。 . 一元高阶系统。一元高阶系统如果能够被化为多元一阶，则也应该可解。比如用超球面模型，可以把资源分享的多维演替系统化为多个一阶子系统来解。至于，多维高阶系统，似乎目前尚无通解。除一些特例。请大家批评指正.; 个人分类: MDSM 通讯|2987 次阅读|3 个评论

平稳和非平稳，高斯和非高斯，线性和非线性: gzfnsh 2010-5-24 08:28; 个人分类: 未分类|16 次阅读|0 个评论

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