埃舍尔的“生命轨迹”系列也采用了数学曲线。这次的数学曲线是最漂亮的花状线叫玫瑰线，（ Rose-rhodonea-curve ）。其轨迹方程用极坐标表示是 r =sin( n / d ) θ ，这是一族美丽的曲线，随着参数 n,d 的不同展现出姿态万千的优美形状。下图就是这族美丽曲线的7代全家福。 也许花代表着生命最灿烂的阶段，埃舍尔选择了这族玫瑰线来刻画生命轨迹。埃舍尔当然不会是根据玫瑰线的轨迹方程来作图，而是根据轨线的状态略作变形，加上动态的鱼和鸟的变形来诠释生命。在生命轨迹 II （下上， Path of Life II, 1966 ）中，用了玫瑰线在 d=3, n=2 时的形状，将四组灰白两色紧密镶嵌的鱼儿从小到大的演化过程描述出来，最后两色鱼融为一体。在生命轨迹 III （下下， Path of Life III, 1966 ）中，数学曲线更是强调画出，鸟儿的演化反而成了背景。这次埃舍尔用的是玫瑰线在 d=4, n=3 时的形状，也是黑白两色的六组鸟紧密镶嵌从小到大的演化过程，最后虽没有融为一体，却逐渐网格化，彼此边界已难区分。用数学轨线刻画生命轨线，表现了生命美丽而规律，不愧为埃舍尔一绝。
埃舍尔还利用很多奇妙的数学曲线作画。欧拉螺线就是其中之一。 欧拉螺线（ Euler spiral ），也叫羊角螺线（ Cornu spirals ）和回旋曲线（ clothoids ）。这个螺线美丽而又非常实用。它被美国著名微分几何学家 Alfred Gray 称为“最优美的平面曲线之一”（ one of the most elegant of all plane curves ）。它广泛应用于衍射计算并且在铁路和高速公路工程的弯道技术中起重要作用。该曲线开始于原点，以零曲率零斜率向两边延伸，曲率随着其曲线的长度增长而增长，最后曲线收敛于两个镜像点或以这两个镜像点为圆心的圆。 欧拉螺线之所以以大数学家欧拉（ Leonhard Euler ， 1707-1783 ）的名字命名，并不是因为欧拉发现了这个螺线，而是因为欧拉彻底解决了这个螺线的数学问题。这个曲线最早在 1694 年由瑞士著名的贝努利数学家族的雅各布 . 贝努利 （Jakob Bernoulli,也叫 James Bernoulli， 1654-1705 ）从一个弹性力学问题提出，他写出了这个曲线的近似方程，但并没有解出来，也没有准确地画出来，甚至没有任何数值计算。也许他并没有把这个结果当回事，这个工作也没有发表。雅各布.贝努利生生死死都在和各种螺线较劲,他特别喜欢并深刻研究了笛卡尔发现的对数螺线，甚至要求将对数螺线刻到他的墓碑上，并附言“纵使改变，依然故我” ( eadem mutata resurgo ) ，尽管后来工匠悲剧性地误刻了阿基米德螺线（等速螺线，见下图下方）。 直到 1744 年，尼克拉斯 I. 伯努利（ Nicholas I Bernoulli ）将他大伯的工作整理后发表。同年，欧拉写出了曲线准确的方程，即这个曲线的参数形式是以菲涅耳（ Fresnel ）积分表达，欧拉还得到其展开式。 37 年后的 1781 年，欧拉巧妙地利用积分变换，找到了曲线的极限点，即将相关的无穷菲涅耳积分的收敛点算出。不仅如此，如果用这个曲线的 x 和 y 的参数表达式分别作为一个复变函数的实部和虚部，还可以得到很多著名的函数。 这么有意思的数学曲线，埃舍尔当然不会放过，他将此赋以另一种人文哲学的含义。上图叫漩涡（ Whirlpools ， 1957 ）。两队红色和灰色的鱼沿着欧拉螺线相向而游，分别从欧拉螺线的一个极限点旋转游出，由小变大，进入另一个漩区后，再由大变小，旋转地游向另一个极限点。寓意着不同世界的人擦肩而行，方向却是相反，分别奔向另一方的出发点。这让我想起钱钟书“被围困的城堡，城外的人想冲进去，城里的人想逃出来”之名言。不过我更愿意把它理解成两种世界的循环轮回。当然两个世界也可以简单地穿插行进而过，一如鱼鸟在埃舍尔的另一幅画题很数学的画“两个相交的平面”（ Two Intersecting Planes ， 1952 ）中的行为。
变换，是指事物的一种形式或内容换成另一种，而在数学上的含义是指将一种状态或一个空间转到到另一个。这种转换形式可以是渐变，也可以是突变；可以是必然，也可以是或然。最简单的变换就是人人都懂得平移、旋转、反射等简单的图形变换。抽象一下，最简单的数学变换形式就是函数，它建立了自变量和应变量之间的关系。我们再往前走一步，从一个函数转换成另一个函数也叫变换。例如有两个函数 f ( x )和 g ( x ) ， 我们可以构造一个新的函数 F ( x,t )=(1- t ) f ( x )+ tg ( x ), 那么我们就可以把这两个函数联系起来了，并且在 t =0 和 t =1 时， F ( x,t ) 分别为 f ( x ) 和 g ( x ) 。 而当 t 从 0 变到 1 时 F ( x,t ) 就从 f ( x ) 渐变到 g ( x ) 。这样 我们找到一个方法将这两个函数连起来，然后沿着连接的路径从一个函数走到另一个函数，并且把这个路径记录下来，我们就看到了函数 是怎么变换的，当然这是一条最直接的路径。 这段话是典型的数学语言， 有些读者也许听起来有点晦涩，然而埃舍尔却用他的画笔轻松形象地表现出来了。埃舍尔把这种变换称为变形，通过图形的渐变，把一种东西变成另一种东西，下面一幅画《变形 I 》（ Metamorphosis I, 1937 ） 就是他在这方面的代表作。这幅画将人渐变成一座城市，这里我们可以把 f ( x ) 看作是人，而把 g ( x ) 看作是城市。埃舍尔的画艺术地复原了这个渐变过程。 下面的埃舍尔的《变形 II 》（ Metamorphosis II, 1940 ）很长（ Metamorphosis II I 更长）， 不仅渐变从英文 Metamorphosis ，开始，通过棋盘、 蜥蜴、蜂巢、鱼、鸟、立方、城市、棋盘又 循环变了回来到 Metamorphosis ，完成了一个周期，并且来回的路径是不一样的。 在计算机发达的今天，我们可以通过计算机将很多不同的图形连接起来，如将两张不同的脸连起来，然后展示从这张脸变成另一张脸的渐变过程，我们就会发现与埃舍尔的画异曲同工的效果。然而埃舍尔却是在没有计算机的年代感悟到这过程背后的数学。 其实埃舍尔走得更远。 如果我们说的两个函数在不同的空间里，那怎么变？原来的方法可能不管用了。也就是说，你不可能找到一条直接的路径将它们连起来。 在数学上我们会通过“加参数”的手段构造一个新的函数，而原来的两个函数分别是它们在各自空间的“投影”。例如 我们再构造一个函数 G ( x,t )=(1- t ) f ( x )+ tg ( x ) i , ，多了一个 i 虚维度，这时 G ( x,t ) 是定义在复空间上的一个复变函数，从另一个意义上来说，它连接了虚实两个空间。特别地， t =0时， G ( x,0 )= f ( x ) 是实空间函数， t =1时， G ( x,1 )= g(x)i 是虚空间函数。当 t 从0变到1时就从实空间函数渐变到了虚空间函数。 通过这个复变函数，我们就可以把实空间的函数渐变到虚空间的函数。 我们来看看，埃舍尔又是怎样来表现这件事的。 上面这幅画叫《天与水》（ Sky and Water I, 1938 ) 。埃舍尔也画出了一种变换，与《变形》不同的是，不是物体的直接变形，而是背景与物体同时变形，互为衬托。我们可以把水看作是实空间，天看作是虚空间。这幅画里两个空间共存，各有特征，互为背景，通过渐近完成了从实空间的鱼到虚空间上的鸟的变换。两个空间里的两种生物以这样的形式连接起来，真是“海阔凭鱼跃，天高任鸟飞！”
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