昨晚睡前看到一个教学视频“ 3+1 = 3 ”：细线绕过轴承，两侧分别悬挂1个和3个砝码；其无摩擦运动时轴承的受力正好是3个砝码的重量。力学分析没有难度。 若 A 之倒数等于 B 与 C 倒数之和，则称 A 为 B 与 C 之调和，记为 A = B ? C 。调和满足交换律和结合律，可以定义数乘，等等。 若干电阻并联，总的等效电阻就是他们的调和。如果考虑支路通过电流的平均值，那么定义平均电阻就是 总电阻与支路数目的乘积 ，即电阻的调和平均值。顺便说一句，电流在各支路的分配正好使总的能量耗费最低——调和意味着优化。 如果船来回两地的速度为 V 1 和 V 2 ，则速度 V = V 1 ? V 2 就是两地距离 L 与总用时 T 的比值；若要评价单程的平均用时，则可采用调和平均值 2 V 。 两个刚度为 K 1 和 K 2 的弹簧串联时，总的刚度就是两者之调和 K = K 1 ? K 2 ；土层垂直渗流时，总的渗透能力也是各层之调和，渗透能力随层数增加而降低。 n 个正数 b j 由小到大排列，算术之和总是增大，其平均值肯定大于 b n / n ，即 最大值控制了系统的下限 ；而调和总是减小，调和平均肯定小于 nb 1 ，即 最小值控制了系统的上限 。 对于前述串联弹簧和垂直渗流，要提高总体的刚度或渗透性能，关键是改善系统中性能较低者；反之亦然，如大坝之防渗，只要有一层渗透系数较低即可，小浪底的 堆石大坝采用黏土心墙 。 您的系统中各个组成如何影响总体性能呢，又该用何种平均。 附： 惯性和摩擦对一个失重试验的影响 试验中加速度约为 0.5 g ，因而砝码在 0.3 秒时间的 运动距离约为 22 厘米。这实在有些短。如果将天平斜放到桌角使其臂端伸出桌面，将砝码可运动的距离增加到 1 米以上就好了。不过，若真是这样，天平或许就不再能平衡,这个失重的演示试验就不能成立啦。需要知道, 轴承旋转部分具有质量，对运动以及细线受力也会产生影响。 若 m 2 = 3 m 1 而 m =0.2 m 1 ，天平右端的实际受力将达到 3.05 m 1 g ，对天平而言并不能忽略呢。只是天 平臂的转动惯量较大， 其 依稀可见的向右缓慢倾斜 被快速下降的砝码所掩盖。 使用固定的圆柱支承细线可以消除上述惯性的影响,但圆柱摩擦可能使试验完全失去可靠性。绕过圆柱半周的细线两侧作用力满足 F 2 = k F 1 。 k ≤ m 2 / m 1 时， 砝码运动的加速度为 a = g ( m 2 – k m 1 )/ ( m 2 + k m 1 )， 支承细线圆柱受力为 F 1 + F 2 = 2(1+ k ) m 1 m 2 g / ( m 2 + k m 1 )。 在阻力系数 k = 2.5 时 上式为 3.82 m 1 g。 天平更不能平衡。 塑料绳绕过不锈钢茶杯，两侧茶杯数为 2 和 5 时正好进入临界状态：可保持静止而稍作扰动则滑动。如果绕过圆柱一周半，因 2.5*2.5*2.5=15.625 ，两侧重量的比值达到 15 也可保持静止啊。 圆柱的摩擦使绳子中张力增大，而张力又引起绳子对圆柱的压力增加即摩擦力的增大：正反馈引起指数形式的增加。下面是课件中的一页 ， 上课时当然是设计动 画而逐个显 示加以解说。 塑 料绳 绕过不锈钢茶杯半周的阻力系数 k 为 2.5 ，相应的静摩擦因子 μ 略大于 0.29 ；若是细麻绳与木杆， μ 或许有 0.8 ，则绕圆柱时半周阻力系数为 12.3 ，而一周半则可达到 1880 以上呢 。
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