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分岔图里的哲学: 热度 3 lvnaiji 2019-2-23 16:11; 吕乃基在普里戈金的耗散结构理论中，分岔图的地位十分重要。由分岔图可以说明许多社会现象。参见：他/她的一生：从分岔到分岔——人生感悟之二；首先，偶然与必然。个体的发展道路充满了分岔，充满了偶然性。以为必然性支配一切，偶然性只是为必然性开辟道路，不见得了。哲人从古典时期就意识到偶然性的重要性。伊壁鸠鲁在其原子论中，特别赋予“偶然偏斜”以特殊地位，意识到偶然性创造世界。中世纪强调神迹，近代科学革命以必然性反对神迹，同时也就反掉了偶然性。拉普拉斯的言辞即是典型。 19 世纪，概率、统计相继登场，20世纪初，居里提出，非对称创造世界，与伊壁鸠鲁有异曲同工之妙。然后有海森堡的测不准原理，玻尔与爱因斯坦的争论，以及当代更多的研究成果。偶然性在自然和世界的进程中已经扮演，并将继续扮演越来越重要的角色。偶然性并不排斥必然性。在分岔点上是偶然性主宰，但也可窥见必然性的地位。譬如高考，自己没有准备好，那么什么样的缘分都与你无缘。人先要自救，上帝方能救你。在两个分岔点之间则是必然性主导，原因和结果基本上在预料之中。一分耕耘，一分收获。在必然性阶段也不是无所作为，实际上是在迎接未来可能的分岔。即使经历分岔，历史也会记忆，一言一行，都有往日的印记。由今日之中国，可瞥见历史上的风风雨雨。其次，历史与未来。站在某个时刻t’往回看，一个人走过的路是清晰的，经历了多少分岔，历经多少磨难。往前看，还将面临各种分岔、不确定。笔者的一位朋友颇有气度地将此概括为：历史向未来敞开大门！历史与未来不对称。在分岔图上，中国漫长的封建社会没有分岔，大致就是一条直线，历史与未来对称。类似于已死之人的心电图。生活于中国时隔千年两个朝代的个人，大概彼此的交往不会有太大问题。而今，国人已经有了较之前人，较之其父母更多的机会，“代沟”一词就是当代中国时间图景形象的写照。技术有路径锁定，人有路径锁定，民族、国家亦然。婴儿与老人有很多区别。在分岔图上，婴儿的未来几乎“一切皆有可能”，而老者的面前基本上就看得清了。得到的越多，改变的可能就越小。走过的路越长，越是人口众多，以及越是原住民，改变的难度越大。路径锁定就是人类社会中的惯性定律。常听闻这一说法：世界各国各民族，传统文化数千年一贯传承，唯中国耳。言语间充满自豪。殊不知事物的另一面：历史对未来的“锁定” 。即使改革已经40年，依然可以进一步退两步。千年、百年、30年的巨大惯性，对中国的未来产生强大的影响。复次，随机涨落、远离平衡态与惯性回归力涨落是对平衡位置的偏离。涨落，对于静止和僵化不变的事物是一种破坏，然而，对于自然，生命和社会，则是进化的必要条件。“随机”之要义是不确定。正是随机涨落及其随机组合，孕育了新的可能。英国著名诗人济慈在19世纪写道，在怀疑和不确定中生活的能力，是创造力的基础。在危险中漫游，让人感到自己生命的力（鲁迅）。中国由计划经济到市场经济，向个人提供了更多选择的机会，同时也就焕发了在组织的温暖下（在温水中）被销蚀的主体意识。正是在这样的环境中，个人的能力和主体意识得到了提升。在每个个人自主决策之时——随机涨落，社会整体也就获得了更大的动力，以及更多的选择机会。必须指出，通常的随机涨落及其耦合，如果没有“远离平衡态”，系统就会因“惯性回归力”而回到原来的状态。只有远离平衡态，系统才可能在新的状态稳定下来。上世纪 80 年代末到 90 年代初的“治理整顿”就是对前 30 年的“惯性回归”，邓小平的南方谈话制止了这一趋势。以为中国已经走出分岔点，汇入人类历史的大潮，然而面对现实不得不承认：中国，至今尚无“远离平衡态”。惯性回归力依然强大。第四，分岔与选择。越是进步的社会，提供给个人的机会或分岔就越多。然而不得不承认，对于大多数青少年，高考几乎是人生道路上唯一的无奈的选择。面对独木桥，千军万马、千家万户耗尽精力和财力，也就在很大程度上耗尽了祖国的前途和未来的希望。高考，已经成为国人一生中的瓶颈。不得已，有条件者选择出国，在世界范围选择。为青少年提供更多的选择机会，这是国家的责任，也是国家的前途所系。改革开放的一大变化是，提供给个体越来越多的机会，或者说，个体有了越来越大的自由度。不过，机会越多，对选择者的要求也越高：你会选择吗？选择的难度在于，其一，对于各种分岔信息的把握。现今社会，信息不对称随处可见。再说，占有信息需要大量时间和其他成本。其二，即使拥有了充分信息，信息越多，解题的难度越大。一位高校教师，对于是否买学校提供的长江边上一栋高楼的住房，咨询了几百年前的地基是否是淤泥沉积。老太太到菜场买菜，屏幕上显示出500种菜的品种、铁、磷、锌、蛋白质等的含量、有无杀虫剂残留、是否转基因、仓储几天、运输价等等。把所有这些数据一股脑儿塞给这位老太太，她还买得成菜吗？所以，在数字化社会需要发展非数字化生存的能力。其三，在各种分岔之间的价值判断。分岔涉及局部和整体、眼前和长远的利益，有待在价值观引导下作出正确的判断。第五，各种分岔，转瞬即逝，这就是“窗口期”。所谓“机不可失时不再来”。中国自1978年启动改革开放，1992年转向市场经济，2001年加入WTO，分岔的窗口已经打开。然而2008年金融危机，以及而后国内外的一系列变化，致使窗口发生了重大变化，曾经的窗口已经关闭。习惯讲，从胜利走向胜利，或许更确切地说，也就是从分岔到分岔此外，普里戈金的分岔图对于目标的作用重视不够，再加上协同学的“吸引子”就比较完善了。在当今社会，“主旋律”、“核心价值”等，都是对选择者的规劝。然而，这种“虚”的规劝不如现实活生生的教诲。相比较而言，稳定收入和社会地位或许有更大吸引力，公务员考试之热可见一斑。社会的制度设计与所宣传的核心价值有出入。随着公务员在社会中的权重越来越大，社会的走向将会偏离航道。最后，分岔的相遇。上面述及的是个体，个体只能在一个个分岔进行选择，不能“既”，“又”，“脚踏两只船”。不过，他不是一个人在战斗。在个人长大之时，童年时代的乡土和围绕在他身边的人，包括父母，对他的影响越来越弱。与此同时，个人的路径则距其他个体的分岔越来越近;他遇到了各色与他一样从形形色色的背景中走出来的年轻人，以及许多素不相识的人，分岔与分岔开始交往，并且对各自产生或大或小的影响。小则影响两个分岔点之间的必然阶段，大则导致分岔。除了人品、知识、价值观等外，文化上越是远缘，影响越大。影响最大的多半是他或她的另一半。从出生到走向社会，多半生活在父辈的影响之中，随后“走自己的路”，同时又将子女置于自己的掌控之下，直至子女走上独立。朋友说，神说（我弄不清究竟是他说，还是神说），人流中插肩而过是十年修来的缘，默默相视是百年，彼此交流是千年，成为朋友是万年，能为你祝福是万万年之缘。有相遇，就会有离别，被称为“缘分已尽”。虽然如此，相遇，哪怕偶遇，也会在心中激起大大小小的涟漪。相遇和离别，彼此已经交换了生命的一部分。如此看来，教师，桃李满天下，能够在天下的“桃李”打下自己的印记，将自己有限的生命扩展到更多的生命…… 微信群，加群和移出，加好友和删除拉黑，极大改变了个体路径的交会状况，关键是增加了个体对与之相遇的个人的选择权。人是社会关系的总和。好友和群，特别是群，与谁为伍，谁就是你的镜像。全球化，是各国分岔图的相遇，笔者将在另文中分析。; 个人分类: 特别推荐|2774 次阅读|6 个评论

耗散结构理论用于人文社会科学: 热度 2 lvnaiji 2016-7-11 08:57; 吕乃基 20 世纪40年代后期的三论，特别是近年发展起来被称为新三论和自组织理论的耗散结构理论、协同学，以及超循环理论和突变论，大大深化了人类对自然界演化机制的认识。普里高金在研究非平衡态热力学中提出耗散结构理论，这一理论对于研究社会和社会结构转型具有同样重要的意义。可以简要列举如下： 1 ．涨落导致有序。涨落是对平衡位置的偏离。对于无机物来说，涨落是不稳定的源泉，是破坏结构的因素；而对有机物特别是生命体来说，涨落是有序的源泉，促使结构走向更加有序。这样来看，中国的传统文化几近于无机物，至多死水微澜，涨落稍大便土崩瓦解。涨落可以有范围、频率和幅度，譬如微信群的大小、网友参与的频度，以及彼此交流的深度。涨落就是日新月异及不断丰富的社会生活，必将给相对稳定的社会结构带来持续的和越来越大的压力，要求后者转型，具有更有效和完善的组织与功能。 2 ．选择通往未来。当然涨落也会导致破坏，例如基因突变带来疾病，各种犯罪行为给社会和罪犯本人造成危害，因而涨落只是有序的必要条件，而不是充分条件。系统经由某种机制对要素的涨落进行选择，以有利于系统的稳定和演化。这是有序的充分条件，涉及到社会结构转型的方向。在当前中国的一个重大问题是，由市场选择还是官员拍板，譬如不久前的一句名言：“共和国选择了你”。放眼世界，英国刚经历公投脱欧。选择权越来越成为更多事项的核心。 3 ．非线性相互作用。要素和要素通过非线性作用而彼此相干，于是各种涨落之间发生叠加。新的结构就是在非线性相互作用中产生出来，同时也就“涌现”出新的功能。涨落间相互作用的复杂性、随机性，相关性越大，产生的分岔越多，也越可能发生巨涨落。非线性相互作用既存在于社会结构稳定之时，也发生于潜在的社会结构生成的过程中。例如在罗马帝国后期从城市返回乡间的庄园主，以及逃离城市和大道去庄园寻求庇护的平民，二者之间形成新的耦合。 4 ．远离平衡态，形成巨涨落。小涨落的叠加在一定条件下会形成巨涨落而远离平衡态。系统产生巨涨落就是在分岔图上走向分岔点。这首先表明，系统已经不可能退回到原来的平衡状态。系统只有远离平衡态才能克服“惯性回归力”。由上世纪末的“治理整顿”可见“惯性回归力”之巨大，时至今日，中国的惯性回归力依然强韧。其次，分岔点极其敏感，系统内外微小的变化都会导致系统巨大的变化。金融危机、英国脱欧，都是分岔，前者至今尚未平息，后者刚刚开始，又增添了前一个分岔的不确定性。远离平衡态就是社会结构转型的第三阶段，新结构（不论以渐变或是突变的方式）取代原有结构。 5 ．环境的影响。任何系统都处于特定的环境之中，因而受到环境的影响，有可能吸收环境的负熵以克服自身的熵增，系统才可望从无序走向有序。与此同时，输出负熵的一方，有可能熵增而走向无序。西欧的崛起吸收了殖民地的负熵，中国东部的发展，城市的发展，以西部和农村的落后为代价。分岔图是耗散结构理论的主要内容之一，在人文社会科学具有强大的解释功能。 1．偶然与必然事物的发展并非必然和线性，而是充满偶然与分岔。系统在两个分岔点之间的过程基本上是必然的，而在分岔点上由于上述敏感性则受种种偶然因素的影响，究竟进入那一个分岔有很大的不确定性。朝鲜战争之所以对中国发展道路影响如此巨大，在相当程度上在于其发生在第二次社会结构转型刚尘埃落定，发生于中国在耗散结构理论的分岔图上刚走出分岔之际，内部的各种因素尚未得到耦合，与世界的关系尚未确定，还有诸多选项之时就剥夺了中国的选择权。现在英国脱欧，此时此刻对于英国与欧盟来说，就是处于分岔点上，受到轻微作用就可能产生全局和长远的影响。 2．历史与未来在分岔点两侧，时间不可逆、不对称。在分岔点上，一旦克服惯性回归力而远离平衡态，系统就会进入某一个分岔，形成新的平衡而稳定下来，就不可能退回到原来的平衡状态，也不可能退回到分岔点再进入另一条分岔。站在任一时刻t回顾历史，走过的路历历在目，而展望未来，前途有无限的可能性。这就是那句广告语：一切皆有可能。历史与未来不对称，历史向未来敞开大门。传统文化的一大特征是，在分岔图上几乎是一条直线，前后对称，没有变化，如同心脏停止跳动的心电图。分岔点具有记忆。走过的路越多，改变的可能性越小，这就是路径锁定，甚至就是牛顿的惯性定律。中国以历史悠久引以为豪，与此同时也不得不承受历史的重负。 3．分岔与选择社会的进步主要不在于高铁里程，不在于GDP，而是在于是否具有并容纳更多的分岔，提供更大的选择余地。经济上的垄断和观念上的一律，剥夺、压缩了个人的选择空间。反过来，个人面对越来越多的分岔，是否具有选择能力，则成为个人高下的尺度。 4．窗口期时不待我。古代世界，各国各民族彼此很少交往，有些地方例如西欧可以几个世纪处于不确定状态；然而现在全球化再加上互联网，一个国家不可能长期悬而未决，留给地方、企业、个人的窗口期更短。耗散结构理论（和其他自组织理论）能开启考察社会和社会结构转型的新视角。博主曾试图以此分析中国的改革开放、全球化、金融危机，以及当前的世界与中国。; 个人分类: 简介及学术方向|8577 次阅读|6 个评论

后金融危机时期的世界与中国: 热度 2 lvnaiji 2013-9-12 08:36; 吕乃基博主近日关注后金融危机时期世界发生的变化，关注这样的变化对中国的影响。主要观点：在金融危机前，世界各国以自身特定的资源禀赋在全球产业链上分占一席之地。金融危机打破了全球产业链，各国由重在合作转向彼此竞争。当前，世界正处于两个相对稳定的全球产业链之间，处于普利高津分岔图的分岔点的附近。中国必须在新的世界格局中尽早走出自己的新路，以新的姿态迎接和建构未来的全球产业链。国际环境趋紧在一段时期成为常态。中国有必要提高心理承受能力，泰然处之。避免民粹主义、民族主义和狭隘爱国主义的裹挟；防范来自国际和国内不确定性因素的破坏和干扰，坚定走改革开放之路。博主将于9月17日（下周二）下午2时在东南大学东南院103室讲演。题目是：后金融危机时期的世界与中国提纲：一、功能耦合及其演变二、金融危机前的全球产业链和作为世界工厂的中国三、金融危机：全球产业链解构四、后金融危机：全球产业链重组的分岔点五、走出分岔点 1. 美国 2. “两洋战略” 3. 新的全球产业链和游戏规则正在形成中六、内需倒逼改革欢迎南京有兴趣的朋友前往指导、交流。求助：博主已经有多日打不开页面右上方的 “ 提醒 ” ，点击就进入 “ 114 ” 。不知是网不对，还是哪里的问题？多次由科学网右下角的“联系我们”联系，邮件均被退回。敬请编辑部和各位指教，谢谢！吕乃基; 个人分类: 社会评论|3612 次阅读|6 个评论

个人的时间与群体的时间——再论科学网的时间维: 热度 3 lvnaiji 2013-5-1 20:04; 吕乃基在社会中，每个人都有自己的时间箭头，忽快忽慢，时左时右。有的人一再跳槽，分岔不断（参见他 / 她的一生：从分岔到分岔 —— 人生感悟之二），有的人在某某岗位默默地一干就是数十年。顺便说，后者正是主流媒体所倡导的生活方式。这些时间箭头彼此相遇、交织，有时就会给对方、双方，或者多方带来惊喜或灾难，成为后者的一个分岔，甚至从此与之同行，例如婚姻。一方面，正是个体各自的时间箭头汇成群体的时间箭头，群体的时间箭头又汇入更大的群体之中，学校、公司、国家，后者又在全球化中汇成人类的时间箭头。没有个人的时间箭头，就没有群体乃至人类的时间箭头。另一方面，个人的时间箭头只有在群体和人类的时间箭头中才有意义。各人、各个群体、各个民族和国家，在人类时间箭头中的影响千差万别，最简单的区分就是小时看电影：好人坏人？也就是正面和负面，向前和向后之分，拿现在的时髦话来说，就是能否提供“正能量”。正面如二战中的同盟国；反面如希特勒和本拉登。影响的权重同样相差甚远，大者如乔布斯，活着就是为了改变世界，小者如芸芸众生，默默无闻。这么说好像有点“英雄史观”的色调，不过一来历史就是这样，英雄造时势；二来可以说，多少人，多少年，才出一个乔布斯，没有默默的众人，也就没有乔布斯，在乔布斯的背后，似乎也有俺们普通中国人一员；于是也就似乎解开了心结。个人与民族对人类的影响，还要看有多大权重。权重位高者言重，反之则人微言轻。说到“权重”，其中又可以有不少文章：是个人凭自己的能力，还是依附各种权势。前者几乎以一己之全力搏击，而后者则可以四两拨千斤，轻描淡写之间即可左右他人的人生。利益集团在谈笑之间便影响到中国改革的方向和进程，让收入分配改革历经 8 年未见踪影。也可以在此意义上来理解科学网。各位网友本来各自在自己原有的群体中叱咤风云，现在科学网成为各位网友在自己的群体之外，得以秀出自己的时间箭头，彼此间风云际会之处。各人均以自己独特的方式展现自我，影响他人，也被他人所影响。编辑部给其中一些博文带上小红花、置顶，将另一些打入冷宫。科学网较之所有的网友，包括影响力最大者，更大地影响到众人各自的时间箭头（在科学网上迅速变老），体现了编辑部的价值观，从而给科学网群体的时间箭头的方向和速度深深地打下了自己的印记。（什么是科学网的时间维？；再谈科学网的时间维，建议围绕若干专题深入讨论）。; 个人分类: 简介及学术方向|3884 次阅读|4 个评论

《走近混沌》-21-万变中的不变: 热度 7 tianrong1945 2012-10-15 05:53; 第二十一章﹕万变中的不变倍周期分岔现象的另一个重要特性是普适性。除了生物群体数的变化之外，倍周期分岔现象还存在于其它很多非线性系统中。系统的参数变化时，系统的状态数越来越多，返回某一状态的周期加倍又加倍，最后从有序走向混沌。比如物理学中原来认为最简单的单摆，也暗藏着混沌魔鬼，当外力加大时，新的频率分量不断出现，摆动周期不断地加长，最后过渡到混沌；由美国华裔学者蔡少棠首先研究的混沌电路是倍周期分岔的又一个例子；此外，在金融股票市场，以至于社会群体活动中，都有魔鬼的身影，也有伴随着的倍周期分岔现象。到处都有倍周期分岔，以及接踵而至的混沌魔鬼，这是普适性的定性方面。普适性的另一个方面，定量方面，则与分岔的速度有关。 “分岔的速度？我注意到了，是越来越快的……”说话的是讨论小组中的一个年轻新面孔，看起来像是个十五、六岁的中学生，王二介绍说这是林灵的弟弟林童，今年计算机系从高一学生中破格录取的新生。林童看上去年轻，说话倒挺老练的，而且懂得的知识不少，确实是个小灵童。他指着图（ 20.4 ）上面那张倍周期分岔图给大家看。图中显而易见，分岔的速度的确越来越快，相邻两个岔道口之间的距离越来越近。 “而且……”小灵童满脸通红，在这么十几个大哥哥大姐姐面前，说话时略显尴尬，欲言又止，不过，在林零眼神的鼓励下，他继续说下去，越说越流利： “这个图……分岔的速度虽然越来越快，但增快时却似乎遵循某种规律，就有点像重力场中的自由落体。在中学物理课中学牛顿定律时，那儿有个 g ，叫做重力加速度。牛顿看见苹果掉下来，下落的速度越来越快、越来越快……但是，速度增加的比例却是相同的！也就是说，自由落体的速度变快了，但加速度 g 却是不变的。并且， g 的数值对任何下落的物体都一样，它还与万有引力常数 G 有关。所以，我就觉得，这个看起来层层相似的分岔图中也可能有个什么不变的东西吧。后来，到网上一查，果然如此！原来在倍周期分岔图这儿也有两个普适常数，分别叫做 d 和 a ，发现它们的人是费根鲍姆 ……” 米切尔·费根鲍姆（ Mitchell Jay Feigenbaum ， 1944- ）是美国数学物理学家。父亲是波兰移民，母亲是乌克兰人。青少年时期的费根鲍姆默默无闻，也未曾表现出任何所谓天才或神童的气质。但是，他喜欢思考、迷恋物理。博士毕业后，因为找不到一个好的固定工作而四处奔波了好几年。后来，终于在 30 岁时就职于新墨西哥州的洛斯阿拉莫斯国家实验室。洛斯阿拉莫斯实验室是美国两个研究核武器的主要实验室之一，二战时期的曼哈顿计划就在这儿进行。 70 年代，那儿养了一大堆的物理学家及别的相关学科的技术人员，工资不低，研究经费也不少，既没有教学任务，也没有要及时赶出成果发表论文的压力。费根鲍姆在那儿悠哉游哉地如鱼得水，尽管他当时在学术界还是一个无名小卒，只发表过一篇论文，但在他的理论部同事中间却颇有声名。一是因为他脑袋中经常冒出一些古怪的想法，打扮也有些不合潮流，满头卷曲的长发使他看起来像个古典音乐家。费根鲍姆出名的另外一个原因，是因为他的知识渊博，深思熟虑过很多问题，无形中已经成为了同行们有难题时的特别顾问。他所在研究小组的课题是流体力学中的湍流现象，费根鲍姆需要研究的是：威尔逊的重整化群思想是否可以解决湍流这个世纪老难题。开始时，费根鲍姆似乎并不十分钟情于研究小组的这个课题，不过，因为湍流看起来一片混乱，有些像那两年科学界人士热衷的“混沌”，这个研究方向使得费根鲍姆了解并熟悉了气象学家洛伦茨宣告的“蝴蝶效应”，以及逻辑斯蒂迭代时产生的混沌问题。费根鲍姆对逻辑斯蒂方程的研究独立于罗伯特·梅。那年，他得了一个能放在口袋里的 HP65 计算器，一有空闲，他便一边散步、一边抽烟，不时地还把计算器拿出来编写几句程序，研究令他着迷的逻辑斯蒂倍周期分岔现象。图（ 21.1 ）：费根鲍姆和他的 HP-65 计算器现在看起来十分简易、当时售价为 795 美元的 HP-65 是惠普公司的第一台磁卡 - 可编程手持式计算器，用户可以利用它编写 100 多行的程序，还可将程序存储在卡上，对磁卡进行读写。这在上世纪 70 年代已经显得很了不得，因而， HP-65 的绰号为“超级明星”。当“超级明星”和美国宇航员一起登上阿波罗进入太空的时候，在新墨西哥州洛斯阿拉莫斯边远山区的费根鲍姆则用它来与逻辑斯蒂系统中的混沌魔鬼打交道，探索魔鬼出没的规律。费根鲍姆喜欢写点小程序，用计算来验证物理猜想。早在十几年前的大学时代，首次使用电脑时，他就在一小时之内写出了一个用牛顿法开方的程序。这次，费根鲍姆感兴趣的是逻辑斯蒂分岔图中出现得越来越多的那些三岔路口。他用计算器编程序算出每个三岔路口的坐标，即 k 值和相应的 x 无穷值。画在纸上，构成了图（ 21.2 ）中的左图。图（ 21.2 ）：费根鲍姆常数和林童一样，费根鲍姆也注意到了随着 k 的增大，三岔路口到来得越来越快，越来越密集。从第一个三岔口 k 1 开始： k 1 =3 ， k 2 =3.44948697, k 3 =3.5440903, k 4 =3.56 44073 ， k 5 =3.56 87594 ……。仅仅从 k 的表面数值，费根鲍姆没有看出什么名堂，于是，他又算出相邻三岔路口间的距离 d ： d 1 = k 2 -k 1 = 0.4495..., d 2 = k 3 -k 2 = 0.0946..., d 3 = k 4 -k 3 = 0.0203... ， d 4 = k 5 -k 4 = 0.00435... 从这些 d 之间，费根鲍姆好像看出点规律来啦！每次算出的下一个 d ，都大约是上一个 d 的五分之一！当然，并不是准确的五分之一，而是比例值差不多！好像有个什么常数在这儿作怪，多计算几项看看吧： d 1 /d 2 = 4.7514 ， d 2 /d 3 = 4.6562 ， d 3 /d 4 = 4.6683 ， d 4 /d 5 = 4.6686 ， d 5 /d 6 = 4.6692 ， d 6 /d 7 = 4.6694 …… 你们看，上面列出的这些比值都很接近，但又并不完全相同，两个相邻比值之间的差别却越来越小。费根鲍姆再计算下去，又多算了几项后，便只能得到一样的数值了，因为计算器的精度是有限的啊。于是，费根鲍姆便作了一个猜测，这个比值， (k n -k n-1 )/(k n+1 -k n ) 当 n 趋于无穷时，将收敛于一个极限值： d = 4.669201609 …… 同时，费根鲍姆也注意到，分岔后的宽度 w 也是越变越小，见图（ 21.2 ）中所标示的 w 1 、 w 2 、 w 3 等等（这个宽度从 x=0.5 测量，图中的红线）。那么，它们的比值是否也符合某个规律呢？计算结果再次验证了费根鲍姆的想法，当 n 趋于无穷时，比值 w n /w n+1 将收敛于另一个极限值： α= 2.502907875 …… 啊，原来这个分岔图中隐藏着两个常数！费根鲍姆深知物理常数对物理理论的重要，一个新概念、新理论的诞生往往伴随着新常数的出现，比如牛顿力学中的万有引力常数 G ，量子力学中的普朗克常数 h ，相对论中的光速 c ……诸如此类的例子太多了。新常数的发现也许能为新的革命性的物理理论打开新窗口。想到这儿，费根鲍姆欣喜若狂，立即打电话给他的父母，激动地告诉他们他发现了一些很不平凡的东西，他就要一鸣惊人了。上一篇：《走近混沌》-20-混沌魔鬼不稳定回到系列科普目录下一篇：《走近混沌》- 22-回到魔鬼聚合物; 个人分类: 系列科普|14945 次阅读|13 个评论

[转载]分岔图绘制不同方法的总结、比较: Kupeprntlkn 2010-8-30 22:32; 经过近期的研究发现，目前对于系统单参数分岔图的计算共有以下的几种方法： 1）最大值法即对系统微分方程（组）进行求解，对求解的结果用getmax函数进行取点，并绘图。 2）Poincare截面法对系统参数的每一次取值，绘制其Poincare截面，进而得到其分岔图。这种方法需要注意的是，自治系统的Poincare截面是选取一超平面，平面上点的分布即构成一Poincare截面，非自治系统的Poincare截面则是根据系统激励的频率进行取点并绘图。本帖将以Lorenz系统为例，对这两种方法进行比较首先对第二种方法进行阐述。编程如下（matlab） Lorenz系统： function dy = Lorenz(t,y) % Lorenz系统 % 系统微分方程： % dx/dt = -a(x-y) % dy/dt = x(r-z)-y % dz/dt = xy-bz % a=y(4) % r=y(5) % b=y(6) dy=zeros(6,1); dy(1)=-y(4)*(y(1)-y(2)); dy(2)=y(1)*(y(5)-y(3))-y(2); dy(3)=y(1)*y(2)-y(6)*y(3); dy(4)=0; dy(5)=0; dy(6)=0; 随r的分岔图求解程序：按照x=y平面取截面 function Lorenz_bifur_r Z= =ode45('Lorenz', , ); =ode45('Lorenz', ,Y(length(Y),:)); Y(:,1)=Y(:,2)-Y(:,1); % 对计算结果进行判断，如果点满足x=y，则取点 for k=2:length(Y) f=k-1; if Y(k,1)0 if Y(f,1)0 y=Y(k,2)-Y(k,1)*(Y(f,2)-Y(k,2))/(Y(f,1)-Y(k,1)); Z= ; end else if Y(f,1)0 y=Y(k,2)-Y(k,1)*(Y(f,2)-Y(k,2))/(Y(f,1)-Y(k,1)); Z= ; end end end end plot(Z,'.','markersize',1) title('Lorenz映射分岔图') xlabel('r'),ylabel('|y| where x=y') 结果如图1所示。 getmax法取最大值法 function = getmax(y) a=length(y); j=1; for i=(a-1)/2:a b=(y(i,1)-y(i-2,1))/2; c=(y(i,1)+y(i-2,1))/2-y(i-1,1); if y(i-2,1)=y(i-1,1)y(i-1,1)=y(i,1)c==0 Xmax(j)=y(i-1,1); j=j+1; elseif y(i-2,1)=y(i-1,1)y(i-1,1)=y(i,1) Xmax(j)=y(i-1,1)-b^2/(4*c); j=j+1; end end function Lorenz_bifur_r_getmax % 最大值法求解分岔图 clear all t0= ;%积分时间 %bifurcation for r=linspace(1,500,1000); %r的变化精度 =ode45('Lorenz',t0, ); =getmax(y(:,1)); plot(r,Xmax,'b','markersize',1) hold on clear Xmax end 计算结果如图2所示！最后上传一下参考计算机仿真第22卷第12期上一篇文章李雅普诺夫指数的研究与仿真中Lorenz系统的分岔图计算结果，大家比较一下即可看出孰优孰劣了！; 个人分类: 科研相关|3210 次阅读|0 个评论

[转载]分岔图绘制不同方法的总结、比较: Kupeprntlkn 2010-8-30 22:32; 经过近期的研究发现，目前对于系统单参数分岔图的计算共有以下的几种方法： 1）最大值法即对系统微分方程（组）进行求解，对求解的结果用getmax函数进行取点，并绘图。 2）Poincare截面法对系统参数的每一次取值，绘制其Poincare截面，进而得到其分岔图。这种方法需要注意的是，自治系统的Poincare截面是选取一超平面，平面上点的分布即构成一Poincare截面，非自治系统的Poincare截面则是根据系统激励的频率进行取点并绘图。本帖将以Lorenz系统为例，对这两种方法进行比较首先对第二种方法进行阐述。编程如下（matlab） Lorenz系统： function dy = Lorenz(t,y) % Lorenz系统 % 系统微分方程： % dx/dt = -a(x-y) % dy/dt = x(r-z)-y % dz/dt = xy-bz % a=y(4) % r=y(5) % b=y(6) dy=zeros(6,1); dy(1)=-y(4)*(y(1)-y(2)); dy(2)=y(1)*(y(5)-y(3))-y(2); dy(3)=y(1)*y(2)-y(6)*y(3); dy(4)=0; dy(5)=0; dy(6)=0; 随r的分岔图求解程序：按照x=y平面取截面 function Lorenz_bifur_r Z= =ode45('Lorenz', , ); =ode45('Lorenz', ,Y(length(Y),:)); Y(:,1)=Y(:,2)-Y(:,1); % 对计算结果进行判断，如果点满足x=y，则取点 for k=2:length(Y) f=k-1; if Y(k,1)0 if Y(f,1)0 y=Y(k,2)-Y(k,1)*(Y(f,2)-Y(k,2))/(Y(f,1)-Y(k,1)); Z= ; end else if Y(f,1)0 y=Y(k,2)-Y(k,1)*(Y(f,2)-Y(k,2))/(Y(f,1)-Y(k,1)); Z= ; end end end end plot(Z,'.','markersize',1) title('Lorenz映射分岔图') xlabel('r'),ylabel('|y| where x=y') 结果如图1所示。 getmax法取最大值法 function = getmax(y) a=length(y); j=1; for i=(a-1)/2:a b=(y(i,1)-y(i-2,1))/2; c=(y(i,1)+y(i-2,1))/2-y(i-1,1); if y(i-2,1)=y(i-1,1)y(i-1,1)=y(i,1)c==0 Xmax(j)=y(i-1,1); j=j+1; elseif y(i-2,1)=y(i-1,1)y(i-1,1)=y(i,1) Xmax(j)=y(i-1,1)-b^2/(4*c); j=j+1; end end function Lorenz_bifur_r_getmax % 最大值法求解分岔图 clear all t0= ;%积分时间 %bifurcation for r=linspace(1,500,1000); %r的变化精度 =ode45('Lorenz',t0, ); =getmax(y(:,1)); plot(r,Xmax,'b','markersize',1) hold on clear Xmax end 计算结果如图2所示！最后上传一下参考计算机仿真第22卷第12期上一篇文章李雅普诺夫指数的研究与仿真中Lorenz系统的分岔图计算结果，大家比较一下即可看出孰优孰劣了！; 个人分类: 科研相关|1715 次阅读|0 个评论

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