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理解黎曼猜想（四）得救之道，就在其中: 热度 7 yuanlf 2018-12-10 11:52; ——导读—— 假如非平凡零点的实部是在0到1之间随机取值，那么它刚好取到1/2的概率应该等于0。黎曼却认为这个概率是100%！这件事如果是真的，就说明它一点都不随机，在这背后肯定有深刻的原因。人们已经计算了十万亿个非平凡零点，然后你猜怎么着？它们都躺在临界线上！在前三期节目（文章见理解黎曼猜想（一）背景 | 袁岚峰、理解黎曼猜想（二）两个自然数互质的概率是多少？ | 袁岚峰和理解黎曼猜想（三）你真的相信全体自然数的和等于-1/12吗？ | 袁岚峰，视频见 https://www.bilibili.com/video/av34580488 、https://www.bilibili.com/video/av35082418和https://www.bilibili.com/video/av35623705）中，我们介绍了黎曼猜想的背景，即质数分布问题，以及研究质数分布的基本工具，即欧拉乘积公式。我们还说到，黎曼通过解析延拓，把欧拉ζ函数升级成了黎曼ζ函数。顺便说一句，令许多人惊愕万分的所谓“全体自然数的和等于-1/12”，其实不是字面上的意思，而是说黎曼ζ函数在自变量为-1时的取值等于-1/12。那么，黎曼具体做了些什么呢？ \0 \0 黎曼黎曼是一位德国数学家，生于1826年，可惜天不与寿，只享年40岁，去世于1866年。黎曼从小就显示出了超群的数学天才，得到过数学王子高斯（Johann CarlFriedrich Gauss，1777 - 1855）的赞赏，这是极其少见的。在黎曼去世五十多年后，爱因斯坦在发展广义相对论的过程中，又受到了黎曼极大的启发，可见黎曼的洞察力多么超越时空！ 1859年，黎曼33岁时被选为柏林科学院（Berlin Academy）的通讯院士（corresponding member）。为了答谢这个荣誉，黎曼向柏林科学院提交了一篇论文，标题叫做《论小于给定数值的质数个数》（Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse，英文翻译为On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude）。此文的篇幅虽然只有短短的8页纸，内容却非常丰富，语言极其精炼，直到现在都在不断给数学家们提供启发和挑战，堪称整个数学史上最深邃和最难啃的论文之一。此文的要点包括：一，我们应该把ζ(s)中的自变量s理解为复数（complex number），而不只是实数；二，我们可以通过解析延拓（analytic continuation），让ζ(s)在s 1的地方也获得定义；三，通过对ζ(s)的研究，我们可以对小于等于某个数x的质数的个数给出一个明确的表达式，在这个表达式中唯一未知的就是ζ(s)的零点的位置；四，黎曼猜测，ζ(s)的零点都位于某些地方，这个猜测就是黎曼猜想。现在我们来解释一下。欧拉ζ函数是这样一个对所有自然数求和的级数： \0 \0 需要注意的是，这个级数只在s 1时收敛，在s ≤ 1是发散的，因此没有意义。但是黎曼提出了一种通过ζ(s)来定义ζ(1 - s)的方法，硬是把这个函数扩展到了s ≤ 1的区域。黎曼是怎么做的呢？在s 1的情况下，黎曼经过一番巧妙的变换，证明了下面这个等式： \0 \0 这里的Γ是欧拉Gamma函数，是阶乘的扩展。如果你看不懂细节，这并不重要。真正重要的，是看右边这个关于s的表达式：把s换成1 - s，答案不变。为什么呢？因为这时前面的分式中的分母s(s - 1)变成了(1 - s) (-s)，你看，确实不变。而后面的积分当中的两个指数，-(s + 1)变成了-(2 - s) = s - 2，而s - 2变成了-(s + 1)，你看，刚好是互换了一下，所以还是不变。结论是：右边的表达式，在s换成1 - s时，保持不变！因此黎曼指出，左边的表达式在把s换成1 - s时，也保持不变。也就是说： \0 这个等式叫做黎曼的函数方程。根据这个等式，如果你知道了ζ(s)，你就可以算出ζ(1 - s)。就这样，黎曼对ζ函数做出了解析延拓，从它已知的在s 1时的值，就可以定义它在s 1时的值！由于时间关系，在这里我们只能讲这个证明的大略。真正惊人的是，你如果照着他的证明一路推下去，你就会看到他的结论是正确的，但他是怎么想到这个做法的？这就完全是“ 一剑西来，天外飞仙 ”！即使在专业数学家看来，黎曼的思路也非常神奇，远远不是显而易见的。 \0 \0 一剑西来，天外飞仙在这样神乎其神的洞察力和创造力面前，我们感到深深的震惊和敬佩。就像周星驰的电影《国产凌凌漆》里的台词： “你那忧郁的眼神，唏嘘的胡碴子，神乎其技的刀法，还有那杯Dry Martine，都深深的迷住了我……” \0 \0 《国产凌凌漆》黎曼表现出来的，就是真正的神乎其技。我们应该感谢，有如此伟大的头脑引领人类前进！细心的同学可能会问：从s变换到1 - s，只能把大于1的变换到小于0，那么0和1之间的怎么办呢？对此的回答是，早在黎曼之前，数学家已经对这个区域做出了解析延拓。回顾一下我们这个系列的第一篇（理解黎曼猜想（一）背景 | 袁岚峰），把n的-s次方记作f(n)，把所有的f(n)的和即f(1) + f(2) + f(3) + f(4) + …记作A。把f(2)乘到A上，会得到所有的偶数项。当时我们做的是，从A中减去f(2)A，就消去了所有的偶数项，只剩下奇数项。大家还记得吧？现在我们要做另一件事，从A中减去二倍的f(2)A。这样会得到什么呢？显然就是： \0 \0 右边这个表达式的特点是，不再全是正号，而是正负号交替出现。这个级数叫做狄利克雷级数（Dirichlet series），狄利克雷（Johann Peter GustavLejeune Dirichlet，1805 - 1859）是另一位伟大的德国数学家，黎曼就是继承了他在哥廷根大学的职位。由于正负号交替出现，狄利克雷级数的收敛范围扩大了，从s 1扩大到了s 0。因此，在0和1之间，ζ(s)就可以用狄利克雷级数除以1 - 2f(2)来定义。 \0 \0 狄利克雷好，在黎曼的解析延拓之后，我们可以对全部的实数s画出ζ(s)的图像如下： \0 \0 如果把解析延拓比作抢救一个函数的话，那么我们对ζ函数的抢救确实获得了巨大的成功！只有s = 1这一点救不回来，在这里它仍然是无穷大。ICU也不能包治百病啊！ \0 \0 我觉得我可以再抢救一下顺便说一句，在s 1的区域，如果我们假装不知道ζ函数的定义已经改变了，把s 1时候的级数代进去，就会得到下面的形式结果： \0 \0 以及很多诸如此类的形式上的等式。我们在每一个等号后面都加了个问号，是为了强调这些并不是真的相等，只是一种联想。所谓“全体自然数的和等于-1/12”，“无穷多个1加起来等于-1/2”，以及“全体自然数的平方和等于0”等等，都是这么来的，绝不是真的相等。如果你要问这些无穷级数实际上等于什么，那当然是无穷大。下一点要解释的是，黎曼ζ函数的定义域不只是实数，而是复数。如果你不知道复数是什么，那么我们可以稍微解释一下：复数就是所有的x + yi，其中x和y是两个实数，而i是-1的平方根，即i的平方等于-1，x叫做这个复数的实部，常用Re来表示，y叫做这个复数的虚部，常用Im来表示。全体的实数可以用一根数轴来表示，而全体的复数需要用一个平面来表示，这个平面的x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，在这个平面上坐标为(x, y)的一个点就对应于x + yi，这个平面叫做复平面。我们也经常把复数理解为一个矢量，这个矢量的起点是原点，终点是(x, y)。在这些意义上，实数是一维的数，而复数是二维的数。把ζ函数的自变量s扩展为复数后，很容易证明，原来的级数在s的实部（即Re(s)）大于1时是收敛的，而在Re(s)小于1时是发散的。经过黎曼的解析延拓后，ζ函数最终变成了这样： \0 \0 在整个复平面上，黎曼ζ函数只在s = 1这一点没有定义，而在其他所有的点都有定义。你也许会问，指数为复数的乘方怎么计算？回答是，看一下高中数学课本就知道了，关键全都在这个欧拉公式里：因此，指数如果是纯虚数，乘方的结果就是给原来的复数矢量做了一个旋转。指数如果是实数，乘方的结果就是改变了原来的复数矢量的长度，而方向不变。指数的实部和虚部如果都不等于0，乘方的结果就是既改变大小，也改变方向。黎曼把ζ函数的自变量s从实数扩展到了复数，也就是说把ζ函数从实变函数变成了复变函数，这样做有什么好处呢？好处在于，在某种意义上，复变函数比实变函数简单。是的，你没听错，二维的复变函数比一维的实变函数简单。为什么呢？因为在数轴上接近一个点，只有两个方向，左和右，而在复平面上接近一个点，却有无穷多个方向，例如左边、右边、上边、下边以及任意倾斜的方向。如果对无穷多个方向做计算都能得到同一个结果，那么这是一个非常强的限制条件，能通过这样的限制条件的复变函数就很容易处理，比实变函数容易处理得多。例如，复变函数的解析延拓就比实变函数的解析延拓容易得多。因此数学界有这样的笑谈：实变函数处理的都是性质非常恶劣的函数，复变函数处理的都是性质非常良好的函数。现在我们可以理解黎曼的做法了。用《三体》的语言说，黎曼对ζ函数发动了“降维打击”！ \0 \0 二向箔复变函数的一个特点是，许多性质是由它的零点（zero）决定的。所谓零点，就是使得这个函数取值为0的点，例如正负i就是复变函数f(z) = z 2 + 1的两个零点。如果你在复平面上围着一个零点做一条曲线，好比扔一个套索套住这个零点，然后求函数在这条曲线上的积分，那么你会发现积分结果完全由零点的性质决定，跟曲线的具体情况没有关系。你可以把这条曲线扩大一点或者缩小一点，拉长一点或者压扁一点，都对结果完全没有影响，你只需要知道函数在零点附近的行为就够了。来，让我们为复变函数献上一首《套马杆》！套马的数学家，你威武雄壮！ \0 \0 套马杆黎曼对ζ函数套了一通马之后，套出了下面这个惊人的等式： \0 \0 这个等式说的是什么呢？左边的J(x)是一个阶梯函数，它在x = 0的地方取值为0，然后每经过一个质数（例如2、3、5）就增加1，每经过一个质数的平方（例如4、9、25）就增加1/2，每经过一个质数的三次方（例如8、27、125）就增加1/3，如此等等，每经过一个质数的n次方就增加1/n。你可以把它理解为，一个质数的n次方被算作了1/n个质数。显然，这个函数跟质数的分布密切相关。来看等式的右边。第一项Li(x)叫做对数积分函数（logarithmic integral function），它的定义是： \0 \0 对数积分函数的图像是这个样子： \0 \0 在x很大的时候，Li(x)就约等于x/lnx。再来看第二项，这里的函数形式仍然是对数积分函数，但自变量却变得非常有意思，是所有的x的ρ次方。这些ρ是什么呢？回答是：黎曼ζ函数的非平凡零点（non-trivial zeroes）。零点我们知道了，就是使函数取值为0的那些点。为什么又加个“非平凡”呢？因为黎曼证明了，s等于-2、-4、-6、-8等负的偶数值的时候，ζ(s)必然等于0。如果用类似于“全体自然数的和等于-1/12”那样的开玩笑不嫌事儿大的语言，就可以说“全体自然数的平方和等于0”，“全体自然数的四次方和等于0”，“全体自然数的六次方和等于0”，以至于“全体自然数的偶数次方和等于0”。在数学家们看来，这是一目了然的，于是他们把ζ函数的这些零点叫做平凡零点（trivial zeroes）。好吧，数学家的“一目了然”和我们真是两个概念！但是除了负的偶数之外，黎曼ζ函数还有其他的零点。这些零点的位置就远远不是一目了然的了，即使对黎曼都不是，因此被称为非平凡零点。上面提到的ρ就是这些非平凡零点。可以确认的是，非平凡零点肯定不在实轴上。在实轴上除了负的偶数，没有其他的零点了。你也许会问，既然非平凡零点ρ不是实数，那么x的ρ次方也不是实数，对这样一个虚数自变量的对数积分函数是怎么计算的？回答是：数学家又做了一个解析延拓，把对数积分函数的定义域扩展到了复数。总而言之，黎曼套马杆的结果，就是对一个与质数分布密切相关的函数J(x)给出了一个表达式，其中唯一不清楚的部分来自黎曼ζ函数的非平凡零点。然后，让我们回顾一下，黎曼这篇论文的标题叫做《论小于给定数值的质数个数》。有一个函数叫做质数计数函数（prime-counting function），意思是小于等于给定数值x的质数个数，数学家经常把它写成π(x)。这个名字有点杯具，因为它跟圆周率π毫无关系。让我们来举个例子，小于等于1的质数有多少个？回答是没有，所以π(1) = 0。小于等于2的质数有多少个？回答是1个，就是最小的质数2，所以π(2) = 1。小于等于3的质数有多少个？增加了一个质数3，所以π(3) = 2。类似地，π(5)= 3，π(7) = 4，π(11) = 5等等。对于前60个自然数，质数计数函数的图像如下： \0 \0 显然，如果我们对质数计数函数知道了一个简便的计算公式，那么对第n个质数也就有了快速的算法。如我们在本系列中第一篇所说的，这将造成惊人的后果，对理论和应用都产生巨大的影响。你也许会叹息，黎曼得到的并不是π(x)，而是J(x)。没关系，这两个函数包含的信息是等价的，从它们中的一个就可以推出另一个。在这个意义上，质数分布的全部信息都包含在黎曼ζ函数非平凡零点的位置当中。用《肖申克的救赎》中的台词说：“得救之道，就在其中！” \0 \0 得救之道，就在其中具体地说，π(x)和J(x)之间的关系是： \0 \0 这里的μ(n)叫做莫比乌斯函数（Möbius function）。没错，就是莫比乌斯带的那个莫比乌斯（August Ferdinand Möbius，1790 - 1868），这又是一位伟大的德国数学家。 \0 \0 莫比乌斯带莫比乌斯函数的取值只有三种可能：0和正负1。如果n可以被任何一个质数的平方整除，也就是说在它的质因数分解中有一个质因数出现了二次或更高次方，那么μ(n) = 0。如果n不能被任何一个质数的平方整除，也就是说n的任何一个质因数都只出现一次，那么我们来数质因数的个数。假如质因数有偶数个，那么μ(n)= 1。在这里还包括了n = 1的情况，因为它没有质因数，0算作偶数，所以μ(1) = 1。而假如质因数有奇数个，那么μ(n) = -1。由此可见，μ(1) = 1，μ(2) = -1，μ(3)= -1，μ(4) = 0，μ(5) = -1，μ(6) = 1等等。这正是上面的展开式中用到的前几项。很显然，J(x)是一个增函数。在上面的展开式中，随着n的增加，x的1/n次方变得越来越小，相应的第n项也变得越来越小。因此，对π(x)贡献最大的就是第一项，J(x)。而对J(x)贡献最大的来自哪一项呢？这就涉及到黎曼ζ函数非平凡零点的位置了。一个非平凡零点ρ的实部和虚部经常被记为σ和t，即ρ = σ + it。黎曼很快就证明了，ρ不可能出现在σ 1或者σ 0的地方。也就是说，非平凡零点只可能出现在0 ≤ σ ≤ 1的区域里。在复平面上，这对应于一条宽度为1的竖直条带，人们把它称为临界带（critical strip）。然后，根据黎曼ζ函数的形式，很容易发现零点对于实轴是对称的。也就是说，如果σ + it是一个零点，那么它的共轭复数σ - it也是一个零点。因此，非平凡零点总是上下成对出现的。当我们说第n个非平凡零点的时候，指的总是第n个虚部为正数的非平凡零点，而虚部为负数的那些你自动地就知道了。再然后，根据黎曼的函数方程，即ζ(s)与ζ(1 – s)之间的联系，又很容易发现，非平凡零点对于σ = 1/2这条竖线是对称的。也就是说，如果σ + it是一个零点，那么1 - σ + it也是一个零点。黎曼计算了几个非平凡零点的位置，发现它们的实部都等于1/2。例如第一、二、三个非平凡零点，实部都等于1/2，而虚部分别约等于14.1347、21.0220和25.0109。然后，他就做出了一个惊天动地的猜想：黎曼ζ函数所有的非平凡零点，实部都等于1/2！这就是黎曼猜想，数学中最大的未解之谜之一。我们把σ = 1/2的这条竖线称为临界线（critical line），也就是临界带的中心线。前面我们已经知道了，所有的非平凡零点都在临界带里。但黎曼猜想却大大地加强了这个结论，它说的是：所有的非平凡零点都在临界线上！ \0 \0 临界线与临界带这是一个非常令人惊讶的结论。假如非平凡零点的实部是在0到1之间随机取值，那么它刚好取到1/2的概率应该等于0。而现在黎曼却认为这个概率是100%！这件事如果是真的，就说明它一点都不随机，在这背后肯定有深刻的原因。黎曼猜想到底对不对呢？目前还没有被普遍接受的证明或证伪。但数值计算的结果，已经为这个猜想提供了强有力的支持。到目前为止，人们已经计算了十万亿个非平凡零点。然后你猜怎么着？这十万亿个非平凡零点都整齐划一地躺在临界线上。十万亿！因此，绝大多数数学家都相信黎曼猜想是正确的。黎曼猜想有什么用呢？我们可以举一个容易理解、也意义重大的例子，这是一个在探索黎曼猜想的过程中得到的中间结果。来问你一个问题：在1到10的100次方的范围内，大约有多少个质数？数学王子高斯小时候就研究过质数分布的问题。怎么研究呢？每当他有空的时候，就挑出几个长度为1000的自然数区间，算出这些区间中的质数个数。你看，这就是高斯的消遣！ \0 \0 高斯显然，随着数字的增大，质数一般而言会变得越来越稀疏。但具体是怎么个稀疏法呢？在做了大量的计算和比较之后，高斯发现质数分布的密度大约是对数函数的倒数，也就是说，在x附近的一个数是质数的概率大约是1/lnx 。你看，数学家的消遣能够结出什么样的果实！后来，法国数学家勒让德（Adrien-Marie Legendre，1752 - 1833）也得到了同样的结果。 \0 \0 勒让德（没错，就是这么一副怒发冲冠的样子）高斯和勒让德的结果，只是来自数值实验，没有严格证明，因此只能算作猜想，跟黎曼猜想属于同一层面。在高斯和勒让德的猜想困惑了人们100多年后，1896年，法国数学家阿达马（Jacques Salomon Hadamard，1865 - 1963）和比利时数学家德·拉·瓦·布桑（Charles Jean de la Vallée Poussin，1866 -1962）终于证明了它。从此之后，这个命题被人们称为质数定理（prime number theorem）！看这个名字就知道，它的分量有多重了。但在方法论上，质数定理却只是研究黎曼猜想的一个中间产物。黎曼一上来就证明了，黎曼ζ函数的非平凡零点只能出现在0 ≤ σ ≤ 1的临界带里。对于质数定理而言，讨厌的就是那两个等于号。如果能去掉等于号，也就是说把临界带去掉两条σ = 0和σ = 1的边界，让非平凡零点只能出现在临界带的内部而不是左右边界上，那么质数定理立刻就获得证明了。因为这时你就很容易证明，对质数计数函数π(x)的主要贡献来自对数积分函数Li(x)，次要贡献来自黎曼ζ函数的所有非平凡零点。所以让我们再次感谢，有如此伟大的头脑引领人类前进！在1896年，也就是在黎曼1859年的论文发表37年之后，阿达马和德·拉·瓦·布桑终于去掉了这两条边，从而证明了质数定理。我们前面说过，蓝眼睛岛问题（从蓝眼睛问题，看群众理解能力的巨大差异 | 袁岚峰）跟黎曼猜想相比，就好像新手村送经验的小怪跟终极大boss的对比。现在你能体会到了吧？质数定理的内容，其实就是小于等于x的质数个数 π(x)约等于Li(x) 。说得严格一点，就是当x趋于无穷时，π(x)与Li(x)的比值趋于1。前面我们说过，在x很大的时候，Li(x)约等于x/lnx。因此质数定理也可以表述成， π(x)约等于x/lnx 。 \0 \0 从上面这个图可以看到，随着x增大，π(x)与这两种近似表达式的比例都趋近于1。不过，π(x)除以x/lnx趋近于1的速度很慢，而π(x)除以Li(x)趋近于1的速度就快得多。也就是说，作为对π(x)的近似，Li(x)比x/lnx要好得多。不过这只是定量的区别，不是定性的区别。用密度的语言说，在x附近的一个自然数是质数的概率，大约是1/lnx 。与此同时，在小于等于x的自然数中任选一个是质数的概率，也大约是1/lnx 。因此，在从1到10的100次方的范围内，大约有多少个质数呢？现在x等于10的100次方，对它取自然对数，得到lnx = 100ln10 ≈ 230.26。从1到10的100次方中的质数个数，大约就是x除以230.26，约等于4.3924乘以10的97次方。以后，你就可以去考别人类似的问题了。你看，这是多么重大的进展！由此可见，质数定理构成了我们对质数分布的基础描述，而黎曼猜想表征的就是对这个基础描述的修正。下面这个动图，就表现了用0到200个非平凡零点来计算质数计数函数时，效果的逐渐改善。再次重复一下，质数分布的全部信息都包含在黎曼ζ函数非平凡零点的位置当中。得救之道，就在其中！ \0 \0 最后顺便说一句，请注意证明了质数定理的这两位数学家的寿命：德·拉·瓦·布桑活到96岁，阿达马活到98岁！ \0 \0 德·拉·瓦·布桑 \0 \0 阿达马因此数学界有一个说法：如果有人证明了黎曼猜想，他就会不朽。不仅仅是精神层面的不朽，那是理所当然的，而且还是物质层面的不朽，即长生不老！理由是：你看，这两位还没有证明黎曼猜想，仅仅是取得了一点进展，就活到了近一百岁。如果是证明了黎曼猜想的，那还得了吗？嗯，从这个角度看起来，最有希望证明黎曼猜想的人就是……; 个人分类: 理解黎曼猜想|15052 次阅读|9 个评论

“阿蒂亚发布证明‘黎曼猜想’”前后及意义: 热度 4 liuyu2205 2018-9-25 17:21; “黎曼猜想（Riemann hypothesis）”与“P vs NP问题”都被克雷数学所评为“世纪七大数学难题”之一。菲尔兹奖和阿贝尔奖获得者阿蒂亚（Michael Atiyah）爵士于9月24日在海德堡诺贝尔奖获得者论坛上发布，他证明了世纪七大数学难题之一的“黎曼猜想”，但使大多事前感到兴奋的人失望，因为构成他的证明的主要理论包括他自己的相关工作尚处于被审查、怀疑或期待于未来的研究之中，因此只能说，阿蒂亚“证明”了黎曼猜想是可以证明的。阿蒂亚的证明特别之处在于他的证明不是纯数学领域的，他认定黎曼所猜想的由复数表现的素数性质与物理学的“精细结构常数”相关，他采用反证法这种存在性证明，所以没有带给大家一大堆令普通读者望而生畏的论文。黎曼猜想的价值具有超越认知的意义。关于我们所知道的这个世界的最基本事实就是自然数，“自然数是上帝创造的，其它的都是人为的。－克罗内克” （L.Kronecker ，1823-1891 年)，自然数后面是上帝的秘密。黎曼猜想自然数的内在关系表现在复数上的一种性质，如果得证，一方面表明了人类的理性思维（人的智能）的超越性，另一方面表明我们这个世界可能具有地位如何。这就是引起如数学家、哲学家和知识界媒体激动后面的真正原因。阿蒂亚的证明戏剧性地再次激动了这个大变动时代人们的焦虑意识。如果说经典力学是用数学方式精确表达的，那么可以说，量子物理现象是在纯数学理论的形式上而成为量子力学的，前者的一致性已经成为我们的常识，但量子力学和纯数学几乎无法在常识上理解。阿蒂亚的研究是一个方向：在可观测的物理现象与纯数学之间寻找另一种确定性关系，使我们有可能理解经典世界、抽象理论和量子现象之间的超越关系。; 个人分类: 不确定性问题和算法讨论|9119 次阅读|7 个评论

爱犯错的智能体 -- 视觉篇(七)：眼中的黎曼流形: 热度 5 heruspex 2018-9-25 08:22; 导读：今天讲的内容与黎曼猜想无关，是想探讨下黎曼主攻的几何学与人工智能的关系，是讨论视觉中的距离错觉。这两天朋友圈在疯传黎曼猜想被破解的消息， 2018 年 9 月 24 日中秋节这天，官科、拿过菲尔兹奖和阿贝尔奖，但已年近 90 的数学家迈克尔·阿蒂亚贴出了其证明。因为黎曼猜想是一百多年前数学家希尔伯特列出的 23 个数学最难问题之一，也是现今克雷数学研究所悬赏的世界七大数学难题之一；因为可能揭示素数的分布规律，也因为可能影响现有密码学的研究，大家都很亢奋。不过从众多评论来看，这个尝试可能不得不遗憾地说不是太成功。但考虑到阿蒂亚年事已高，估计没谁敢当面怼他。尽管如此，老先生老骥伏枥、志在千里的钻研精神还是值得我辈学习的。作为始作俑者，黎曼可能压根也没想到自己的猜想能对 100 多年后的密码学有所帮助。因为研究素数在“科学的皇后” — 数学里被认为是最纯的数学，是与应用毫无关系的数学。这种纯性让数论成为了“数学的皇后”。所以，正常情况下，数学的鄙视链是不允许他去推测素数分布在密码学中的应用的。据说，站在数学鄙视链顶端的纯数学研究者，通常是看不起学应用数学的；而学应用数学的，会看不起学统计的。在人工智能热潮下，学统计的又看不起研究机器学习的；而学机器学习的会看不起做多媒体的；而做多媒体的又看不起做数据库的。纯做密码学研究的，鄙视链应该在应用数学与机器学习方向之间，哪会被才高八斗的黎曼看上？能看上黎曼的自然也是大牛，当年是德国数学家高斯看中了他并理解了他的几何学观点。今天要讲的也不是黎曼猜想，而是黎曼的几何学观点与人工智能的关系。当年，黎曼申请来到哥廷根大学做无薪讲师，就是学校不提供固定薪水、讲了课才有薪水的教师。初来乍到，来场学术报告是必需的。当时的学术委员会从黎曼推荐的三个选题中选了一个他最意外的题目，要他以“关于几何学的基本假设”为主题来做就职报告。那个时候，公元前三世纪希腊亚历山大里亚学派的创始者欧几里德编写的数学巨著《几何原本》中的五条公设中，连大猩猩都很痛恨的第五公设，就是“平行线没有香蕉 ( 相交 ) ”的第五公设，已经被罗伯切夫斯基于 1830 年证明不成立。他认为在一个平面上，过已知直线外一点至少有两条直线与该直线不相交。由此开创了非欧几里得几何，虽然他的理论在其死后 12 年才逐渐被认可。而黎曼开创的非欧几何则断言，在平面上，任何两条直线都必然相交。他们的发现，最终奠定了非欧几何的数学基础。直观来说，就是以前以为是可以用直线测量准确距离的世界，现在居然要弯了。既然弯了，那就很容易找到相交的可能。比如从篮球的顶部到底部，让蚂蚁沿着表面爬，它只能爬出曲线，且总是相交的。在这个篮球曲面上测得的“直线”距离就只能是弯的，称为测地线 (Geodesic) 。在黎曼用了七周时间准备的报告中，他希望在能用直线测距离的欧氏空间和非欧空间之间找到合理的衔接。于是，他假定非欧空间可以由好几个局部欧氏空间拼接而成的，提出了多个 ( 英文的前缀是 mani) 折或层 ( 英文的词根是 fold) 的概念，即流形 (manifold ，对应的德语是 mannigfaltigkeit) 。简单且不严格来说，就是流形可以用一块块的小粘土以任意形式粘在一起来表征，但每块局部的粘土又跟我们常见的欧氏空间是一致的，如图 1 所示。至于相邻粘土块之间的联接关系，则要把连续性、光滑性、可微性、抽象性等众多深奥概念考虑进来，这样便成了多数人只能看懂目录的微分流形。图 1 局部欧氏与黎曼流形：二维流形或曲面 M 上的一个局部 p ( 橙色区域 ) 与欧氏空间中的黄色区域等价。后来，爱因斯坦知道后，如获至宝。便找了当年他提出狭义相对论时，用到过的洛仑兹变换的数家家洛伦兹本人，请他帮助学习微分流形基础。在他的帮助下，最终爱因斯坦基于加速度下的不变性原理提出了广义相对论，将牛顿提出的万有引力归结为是弯曲空间的外在表现，开启了宇观物理学。不过，那个时候，计算机还没诞生，也没人会意识到黎曼提出的流形与人工智能有什么关系。一、感知的流形方式回到人的智力发育上讨论这一关系的存在性。儿童在发育过程中，空间感是逐渐形成的。在他学习观察世界的过程中，一个需要扫除的认知障碍是遮挡。有心理学家做过实验，在小孩面前放一个屏障，然后将小孩面前的玩具移到屏障后。小孩会感觉很吃惊，但却不会绕到屏障后去寻找玩具。这说明在发育的初始阶段，小孩缺乏对三维空间尤其是空间深度的理解。经过一段时间后，他的这种障碍会消除，对物体空间能力的辩识也明显加强。图 2 旋转不变性于是，儿童启蒙课本中便会出现这样一个新的测试题。放一个奇形怪状的积木，然后给几个不同旋转角度的形状，其中一个或多个是该积木旋转后的真实图像，也有不是的，让小朋友自己去判断和识别哪些是原来的积木旋转过来的。令人惊奇地是，小朋友慢慢都会学会如何处理这种旋转，并能准确判断。这种旋转不变性能力的获得，在格式塔心理学中有过相应的观察和描述。该现象似乎在告诉我们，人的大脑能对每一个见到的物品进行自动的旋转。那么，人是如何记忆这些见过的物品，并实现自动旋转的呢？格式塔心理学中没有给出终极答案。而认知心理学则对记忆给了一种可能解释，叫原型说 (prototype) ，即某个概念都会以原型的形式存储在记忆中，神经心理学进一步给了假设性的支持，称记忆是存储在离散吸引子 (discrete attractor) 上。尽管这一解释维持了相当长的时间，但并没有就为什么大脑可以实现自动旋转给出圆满答案。 2000 年的时候，普林斯顿大学教授 Sebastian Seung 和宾州大学教授 Daniel Lee 在《 Science 》上发了篇论文。他们认为人是以流形方式来记忆的。以视觉感知为例，假定人的视网膜只有三个视神经元，不考虑颜色的变化，每个神经元能感受一定的光强变化，那么看到一个母亲的人脸后，视神经元上会有三个响应。如果三个视神经元是相互独立无关的，那就可以把每一个视神经元看成一个维度，就会有一个由三个维度张成的欧氏空间。如果把只是做了侧向角度变化的、母亲的照片读入这个的空间，那三张图 3 所示的图像在此空间会有何规律呢？理论上讲，如果只做了侧向角度变化，那这个变化就是三张图像的内在控制量。只有一个变量，但又不见得会是直线，所以，母亲的照片按角度的顺序连起来，就会是一条曲线。类似的，如果把小朋友侧向角度变化的照片也输进来，那同样在这个三维空间会是一条曲线。但可能与母亲的不在同一条曲线上。如果这个假设成立，那么记忆就可能是沿着这两条不同的曲线来分别还原和生成不同角度的母亲和小孩图像。也就能部分解释，为什么人只用看陌生人一两眼，就能认出其在不同角度时的面容。图 3 母亲和小孩的流形感知方式，假定眼睛只有三个视神经元，母亲小孩均只有一个自由度，即左右转头。如果再进一步，假设母亲小孩有两个自由度的变化，如左右、上下角度的变化，那这两个维度的变化在三维空间上可以张成无数条曲线的合集，即曲面。在流形的术语中，曲线可以称为一维流形，而曲面则为二维流形。如果假定变化再丰富点，比如角度的变化有上下角度、左右角度；还有表情的变化，真实和细微的微表情，光照的变化，年龄的变化等诸如此类的，我们把这些变化的维度称为人脸变化的内在维度，是真正需要记忆的。相比较于人眼里上亿的视神经元总数来说，这些内在维度可以张成的空间比上亿维神经元张成的空间要小非常非常多。我们便可以在曲面的名字上再加个超字来刻画，叫超曲面，也称为低维流形。考虑到输入进来的信息是通过神经元的，所以，又把名字叫得更学术点，称其为嵌套在高维空间 ( 视神经元空间 ) 的低维流形。与经典的原型学说的主要不同在于，假设用于记忆的离散吸引子能被替换成了连续吸引子，于是存储在大脑里的原型便不再是一个点，而可能是一条曲线、一个曲面甚至超曲面。视觉看到的任何内容，都会从不同途径收敛到这个连续吸引子上，并在此吸引子上实现对不同角度和不同内在维度的外推。这在某种意义上既解释记忆的方式，又解释了自动旋转问题。因此，黎曼流形的构造有可能解决格式塔心理学中提及的“旋转不变性”问题。图 4 左：离散吸引子；右：连续吸引子那能否让计算机也实现类似的自我旋转或推理能力呢？如果能实现，也许就往人工智能方向迈进了一小步。二、流形学习的研究以人脸为例，先看下最初的人脸识别技术。早期的做法是遵循欧氏空间距离，按最短直线距离来评判。这样做的不足是没有处理好不同角度、不同光照的人脸识别。试想想，如图 5 所示的不同角度的 A ，以及相同正脸的 B ，假如识别是基于相同像素位置的光强差异平方总和的最小值来实现，那哪两张会更近呢？显然相同角度的 A 和 B 距离会更近。这就是欧氏距离直接用于人脸识别的不足。图 5 不同角度的两个人的照片为什么计算机没有人脑的旋转不变性呢？图 6 显示了一组人脸在摄像机前仅进行平移而保持其它性质不变的图像集。如果把每个像素视为一个维度，则每张照片可视为高维空间的点，则多次采集的多个人的照片集合看成是该空间的点云。通过某些简单的统计策略总结出前三个主要的维数，再将点云投影到这个三维空间并两两描绘出来，便有了图 6 的曲线图。图 6 人脸内在维度示例不难发现，只控制了角度旋转的图像序列变成了一条又一条的曲线，这正是我们上面讨论的曲线，一维流形。实际上，如果限定采集时的变量为人脸到摄像机前的远近变化，结果也是一样。这一实验部分印证了人脸图像的内在控制变量是低的。因此，如果希望计算机能对不同角度的人脸有合理的推测功能，和还原格式塔心理学中的旋转不变性时，找到流形结构并依照它的规则来办事就很自然了。图 7 各种复杂的流形结构：瑞士卷 (Swissroll) ；右：双螺旋线但是，数据形成的流形结构并非只有曲线一种情况，它可能会有如图 7 所示的瑞士卷的复杂结构。他可能还不止一个，比如两个卷在一起的双螺旋线。那么，要想利用经典又好使的欧氏距离来解决问题，可行的方案之一就是把它们摊平或拉平，这样，我们待分析的数据所处的空间就是欧氏空间了。于是，有大量的流形学习的工作便在此基础上展开了。最经典的两篇是与《流形的感知方式》几乎同时于 2000 年发表在 Science 上。因为计算机科学的工作很少有发 Science 的，能发在上面，则有可能引导大方向的研究。所以，这三项工作被视为引领了 2000 年后流形学习发展的奠基之作。其想法现在来看的话，其实并不复杂。首先两篇文章都引入了邻域的概念，也就是局部情况下，流形等同于欧氏空间，因此，短程距离用欧氏度量来计算是合理的。不同的是， Tenenbaum 的工作是从测地线距离的计算来考虑的。试想如果有一张纸，纸上有三个点， A 、 B 和 C ， AB 比 AC 在纸面上更近。但如果把纸弯成图 8 的形状，再按直线距离来算时， AC 就会更近。但按流形的定义， AC 这条路径是不能出现的，因为这个纸就是一个空间，是一个不能为二维蚂蚁逃脱的空间。因此，更合理的计算方式是把图 8 右图的红色曲线长度，即测地线精确算出来。图 8 测地线距离和局部等度规 (Isomap) 算法但测地线是在连续意义定义的，要根据离散的数据点来算的话， Tenenbaum 等找了个平衡，提出了基于图距离的局部等度规算法。他们假定邻域内的点与点之间相连的距离都等于 1 ，邻域以外的距离都强设为 0 。因为流形可以由若干个小的邻域来粘合构成，而相邻的邻域总会有部分的重叠，那么，如果把所有距离为 1 的都连条边出来，则原来的数据点就构成了一张连通图。而远点的距离或者所谓的测地线距离，就可以通过连通的边的最短距离来近似了，如图 8 中图所示。于是，就可以为所有的点建立一个相似性或距离矩阵。有了这个矩阵，再通过统计方法就能找到其主要的几个方向了，即摊平的低维子空间，如图 8 右图所示，蓝色的测地线距离就为红色的图距离近似了。而 Roweis 和 Laul 当时则从另一角度来尝试恢复这个平坦的空间。他假定邻域内的数据点会相互保持一种几何关系，关系的紧密程度由权重来决定，权重的总和等于 1 。同时，他假定这个权重诱导的关系在平坦空间会与观测的空间保持一致，即局部结构不变。当然，还得防止数据在还原到低维的平坦空间时不致于坍缩至一点去。基于这些假设，很自然地就把优化方程写了出来，并获得了不用迭代求解的闭式解，即局部线性嵌入算法，如图 9 所示。算法比较直白，但两篇文章都发现了类似于图 3 和图 4 的现象，即约简到二维平面后，数据的分布具有物理意义的。比如，手旋转杯的动作会沿水平方向连续变化，人脸图像的姿态和表情会在两个垂直的轴上分别连续变化。而这种情况，以前的算法似乎是找不到的。除此以外，这两篇工作的成果又很好地与“感知的流形方式”吻合了。图 9 局部线性嵌入 (LLE) 算法还有一点，邻域的大小决定了流形的表现。按几何学大牛 Spivak 的说法，邻域如果和整个欧氏空间一样大的，那欧氏空间本身就是流形。所以，流形学习的研究并非是一个很特别、很小众的方向，它是对常规欧氏空间下研究问题的一般性推广。于是，从 2000 年开始，国内外对流形学习的研究进入了高潮，希望能找到更有效的发现低维平坦空间的方法。比如希望保持在投影到平坦空间后三点之间角度不变的保角算法；比如希望保持二阶光滑性不变的海森方法；比如希望保持长宽比不变的最大方差展开方法；比如希望保持局部权重比不变的拉普拉斯算法等。不过何种方法，都在尝试还原或保持流形的某一种性质。也有考虑数据本身有噪导致结构易被误导的，比如我们经常在星际旅行中提到的虫洞现象，如图 10 。它可以将原本隔得很远的两个位置瞬间拉近。在数据分析中，称虫洞为捷近或短路边 (shortcut) ，是需要避免的，不然会导致还原的空间是不正常甚至错误的。图 10 将图 8 中的 A 和 C 连接的虫洞或短路边 (Shortcut) 问题除了找空间外，流形的一些性质也被自然地作为约束条件加入到各种人工智能或机器学习的优化算法里。即使是现在盛行深度学习研究中，流形的概念也被很时髦地引了进来。如生成对抗网在 2014 年最初提出的时候， Lecun Yan 就指出希望对抗的数据处在数据流形中能量相对高的位置，而真实数据则位于流形能量相对低的位置，这样，就有可能让生成对抗网获得更好的判别能力。 � 图 11 生成对抗网中的流形 ; 左 : 高能量值；右：低能量值三、流形学习的思考虽然流形学习在认知、机器学习方面都有很好的可解释性，不过这几年随着深度学习的盛行，与它相关的文献在相对份量上正慢慢减少。一个原因是，由于这一波人工智能的热潮主要是产业界开始的，而产业界对预测的重视程度远高于可解释性。所以，不管学术界还是产业界都把重心放到如何通过优化深度学习模型的结构和参数优化去了。正如我之前强调过的，过分关心预测性能的同时，必然会牺牲可解释性。因为前者关心个例，后者需要统计。两者是一个矛盾，类似于测不准定理中的速度和位置的关系。从目前的情况来看，牺牲的可能还不止流形学习这一种具有可解释性的方法。尽管大家在讨论数据的时候，还会时不时说下流形，但最多也只是扔个概念出来，并没有太多实质性的融入。再回到人的大脑来看，虽然之前也提到了流形的感知方式，但是否存在实证还不是完全的明确， Seung 和 Lee 也只是做了些间接的推测。一方面，是测量技术的不足，因为现在都是采用脑电图描记器 (EEG) 或磁共振成像 (MRI) 技术来检测大脑信号的，本身就缺乏这种连续性的关联，要寻找是否大脑中存在流形记忆确实有难度。另一方面，我们的大脑里面真有一个弯曲的流形记忆空间呢？真是以连续而非离散吸引子形式存在吗？如果是的，那与现在深度学习的预测模型的做法应该是不同的，其差别就如同飞机和鸟。也许，找寻这个问题的答案，和黎曼猜想的破解是一样的困难。参考文献： 1. H. Sebastian Seung, Daniel D. Lee. The Manifold Way of Perception. Science 290 (5500): 2268-2269. 2. 李子青，张军平 . 人脸识别的子空间统计学习 . 机器学习及应用，清华大学出版社， 2006 ， pp.270-301. 3. J. B.Tenenbaum, V. de Silva and J. C. Langford. A Global Geometric Framework for Nonlinear Dimensionality Reduction. Science 290 (5500): 2319-2323 4. S. Roweis, L. Saul. Nonlinear dimensionality reduction by locally linear embedding. Science 290 (5500): 2323--2326. 5. Michael Spivak. A Comprehensive Introduction to Differential Geometry, Vol. 1, 3rd Edition. Publish or Perish, 1999. 6. LeCun Yann. Predictive Learning. Slide at NIPS 2016. 张军平 2018年9月25日延伸阅读： 1、深度学习，你就是那位116岁的长寿老奶奶！ 2、童话(同化)世界的人工智能 3、 AI版“双手互搏”有多牛? 浅谈对抗性神经网络 4、爱犯错的智能体 - 视觉篇(一): 视觉倒像 5、爱犯错的智能体 - 视觉篇 (二)：颠倒的视界 6、爱犯错的智能体 - 视觉篇 (三)：看不见的萨摩耶 7、爱犯错的智能体 - 视觉篇(四)：看得见的斑点狗 8、爱犯错的智能体 - 视觉篇(五)：火星人脸的阴影 9. 爱犯错的智能体(六)：外国的月亮比较圆? 张军平，复旦大学计算机科学技术学院，教授、博士生导师，中国自动化学会混合智能专委会副主任。主要研究方向包括人工智能、机器学习、图像处理、生物认证及智能交通。至今发表论文近100篇，其中IEEE Transactions系列18篇，包括IEEE TPAMI, TNNLS, ToC, TITS, TAC等。学术谷歌引用2700余次，ESI高被引一篇，H指数27.; 15479 次阅读|10 个评论

阿蒂亚 Atiyah 的黎曼猜想证明论文的博文（链接）: 热度 4 zlyang 2018-9-24 18:27; 阿蒂亚Atiyah 的黎曼猜想证明论文的博文（链接）退休的数学家 Michael Atiyah 周一宣称， Riemann hypothesis 黎曼猜想可能被简单地证明了。 https://www.newscientist.com/article/2180406-famed-mathematician-claims-proof-of-160-year-old-riemann-hypothesis/ （1）刘进平， 2018-09-21 19:30 ，数学家声称已证明困扰了数学家近 160 年的黎曼假说 http://blog.sciencenet.cn/blog-39731-1136208.html （2）张轩中， 2018-09-24 15:10 ，阿蒂亚的黎曼猜想论文发表了精选 http://blog.sciencenet.cn/blog-3044428-1136717.html （3）鲍得海， 2018-09-24 17:06 ，关于ATIYAH对【黎曼猜想】最新证明文章的学习体会精选 http://blog.sciencenet.cn/blog-5190-1136732.html （4）杨义先， 2018-09-24 17:26 ，黎曼传奇---迎接黎曼猜想大新闻精选 http://blog.sciencenet.cn/blog-453322-1136735.html （5）柳渝， 2018-9-25 17:21 ，“阿蒂亚发布证明‘黎曼猜想’”前后及意义 http://blog.sciencenet.cn/blog-2322490-1136927.html （6），（7），（8）， http://blog.sciencenet.cn/blog-3044428-1136717.html 相关链接： NewScientist, 2018-09-21, Famed mathematician claims proof of 160-year-old Riemann hypothesis https://www.newscientist.com/article/2180406-famed-mathematician-claims-proof-of-160-year-old-riemann-hypothesis/ Michael Atiyah, From Wikipedia, the free encyclopedia https://en.wikipedia.org/wiki/Michael_Atiyah 感谢您的指教！感谢您指正以上任何错误！感谢您提供更多的相关资料！; 2395 次阅读|9 个评论

黎曼传奇---穷教授翻江倒海傻博士英年早逝: 热度 10 yangleader 2018-9-24 17:26; 黎曼传奇 ---《科学家简史》第99回穷教授翻江倒海傻博士英年早逝杨义先教授北京邮电大学信息安全中心主任公共大数据国家重点实验室主任道光六年（公元1826），是很不寻常的一年：美国第二任总统亚当斯死了，紧接着第三任总统杰斐逊也死了！天啦，阎王爷这是要干啥，莫非想派大人物来人间？果然，这年9月17日，在德国小镇布列斯伦茨的一个穷牧师家里，诞生了排行老二的“病秧子”，黎曼，全名波恩哈德.黎曼。黎老二家的日子，本来应该还过得去的；可呆板的阎王爷非要坚持“先苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤，空乏其身”，于是，稀里哗啦，在短短几年间，又给小黎曼添了四个妹妹，然后坐等“天将如何降大任于黎曼也”。在贫困和疾病中挣扎的小黎曼，并未放弃追求。他6岁上学，14岁入预科； 19岁时，嘿，还竟然考上了秀才，并遵父愿进入了哥廷根大学，攻读哲学和神学，以便子承父业，当一名能吃饱饭的牧师；然后，娶妻生子，从此过上平凡的幸福生活。可是，这份既定计划，却被上天否决了；因为，黎曼此生的本来使命，就是要在数学世界里“大闹天宫”，而且，早就被施了数学魔法。比如，读中学时，校长见他穷得买不起教学参考书，便主动将自己收藏的勒让德数学名著《数论》借给黎二娃。可6天后，这部厚达859页的4部头巨著，竟被“完璧归赵”了，而且，这小子还说“此书了不起，我已看完了”。校长不信，马上出题测试，小黎果然对答如流，并且还颇有见解。于是，伯乐校长干脆一不做二不休，顺势又把大数学家欧拉的众多著作，推荐给了黎同学，让他不但提前掌握了微积分知识，而且还学到了欧拉的许多数学研究技巧。黎大学生本该专攻哲学和神学的，可有一次，他却阴差阳错走进了数学课堂，那时，斯特恩教授正在讲授方程论、定积分和高斯的最小二乘法，于是，黎同学惊呆了；因为，他突然看见数学宇宙的黑洞大开，不容分说，就把他的身体和灵魂全都给吸进去了。从此，在征得慈父的同意后，黎老二就正式改换专业，决定在数学江湖闯荡一生，哪怕是上刀山下火海也在所不惜。21岁那年，为了师从更多的数学大师，黎曼干脆转学到柏林大学，并拜在雅可比门下，学会了高等力学和高等代数；以狄利克雷为师，掌握了数论和分析学；在斯泰纳的指导下，学到了现代几何；从文森斯坦那里，熟悉了椭圆函数论等。当年暑假期间，初生的黎牛犊，更是胆大妄为，竟然开始阅读顶级学术刊物，并在巴黎科学院《院刊》上，锁定了数学大牛柯西刚刚发表的崭新理论：单复变量解析函数。更出乎意料的是，经过几周的“闭门造车”，这小犊子还真有了新见解，为4年后撰写博士论文“单复变量函数的一般理论”奠定了坚实的基础。黎秀才不但能对数学大牛的著作“隔空打牛”，而且还抓住任何机会，与他们当面切磋。有一次，狄利克雷来格丁根度假，黎曼就赶紧向他求教，并呈上自己未定稿的论文，征求意见；当然，两个多小时的研讨，使黎同学受益匪浅，并承认“听君一席话，胜读几天书”。25岁那年，小黎又将其博士论文呈给大数学家高斯审阅。只见高教授，一边“之乎者也”地读，一边摇头晃脑地笑，最后竟一拍沙发大叫道：“此文真乃令人信服也，小黎子的头脑已是创造性的、活跃的、真正的数学头脑也，尔之创造力真乃灿烂丰富也！”如此评语能出自不苟言笑、难得点赞的高老先生之口，绝对是“高，高，高家庄的高”；虽不算“太阳从西边出来”，也可算是“千年等一回”了！而后来的事实也证明，高老庄主确实慧眼识珠，仅凭此论文，黎博士就成了复变函数论的奠基人之一；而这篇文章，也成了“19世纪数学史上的杰作”。数学几乎完全重塑了咱们的黎秀才，从精神上看，数学把他打造成了世界巨人，更让内心充满神奇的力量；从物质上看，数学让他成了“穷教授”，常常神情忧郁，一脸哀伤；从外表上看，数学使他成为了名符其实的“傻博士”，羞怯甚至笨拙的举止，常被同事嘲笑，而他沉默的回应，更让人觉得古怪又荒唐。因为杰出的学术表现，黎博士毕业后，虽被格丁根大学留校，并在两年后破格提拔为讲师，但是，贫穷仍不肯与他说“拜拜”。原来，那时德国的臭老九们，自正教授以下，都是没基本工资的，收入的多少完全取决于选课学生的数量。因此，讲授科普《安全简史》的老师们，就衣食无忧；讲授专著《安全通论》的老师们，就得为五斗米发愁；而讲授“数学天书”的黎呆子嘛，唉，那就可想而知，真可谓“吃了上顿，还不知下顿有没有”。实在不忍心的格丁根大学，再次破例，于1855年开始给黎讲师发放基本工资，虽然只是少得可怜的年薪200美元，但至少能让他安心与数学难题搏斗了。哪知天有不测风云，这一年黎家又连遭人祸：父亲和一个妹妹相继去世，于是，黎讲师又得与哥哥一起，挑起照顾全家和3个妹妹的生活。好容易熬过了两载，年薪也涨到了300美元的黎副教授，刚想喘口气，还没来得及请媒婆，结果哥哥又撒手人寰；瞬间，日子就变得更难过了。甚至，这位全球数学界绝顶聪明的黎天才，不得不新增一个重大研究课题，即，精心计算：今天需要多少米，明天又找什么东西下锅！ 1859 年，著名数学家狄利克雷去世了；年仅33岁的黎光棍众望所归，被补缺任命为格丁根大学正教授，成为了高斯教席的第二任继承者，获得了一个科学家可能得到的最高荣誉。从此，丰厚的基本工资，才使得黎曼一家“吃馒头也敢就咸菜了”。小康后的黎教授，在朋友的撮合下，终于在36岁那年，娶到了一门满意的媳妇爱丽丝.科赫，并于次年有了自己的宝贝女儿，比萨。但是，由于长期的清贫生活，再加过度操劳和玩命的科研，黎教授的身体极度虚弱，精力迅速衰竭。蜜月刚过，就患上胸膜炎和肺结核；一年后又再添了黄疽病。终于，这位世界数学史上最具独创精神的数学家之一，病入膏肓的黎曼教授，于1866年7月20日，在意大利停止了心脏跳动，从而结束了连续四年的治病折磨。黎教授仅仅享年40岁，若不考虑“四舍五入”的数学算法，其实才39！唉，天妒英才呀，黎教授，您安息吧，再见！那位唯恐天下不乱的看官说啦，黎教授咋还没“大闹天宫”呢？哥们儿，闹啦，而且还大闹过两次呢，生前一次，死后一次，难道你没看见？好吧，那就重放一次慢镜头吧，这回你可得盯紧点，别再开小差哟！看，生前的“齐天大圣”来啦！只见他一个跟斗，就翻上了南天门，然后竟揪住石狮子的耳朵把玩起来。这头石狮可不是一般神物，而是由当时的五大数学天王，柯西、雅可比、高斯、阿贝尔、维尔斯特拉斯等合作，基于复数、复函数和单值解析函数，树立的地标性建筑。可是，黎呆子哪管这些！他亮出博士论文，又“唰唰唰”在《数学杂志》上连发了四篇重要论文，从多个方面把过去的解析函数，从单值扩展到了多值。接着，又创立了复函数的本质方法，把“狮子面”换成了“黎曼面”，给多值函数赋以几何直观，将多值简化成了单值；又在黎曼面上引入了支点和横剖线等。经过一番行云流水的改造，哇，神狮竟然魔力大增，变成了数学的一个重要分支“复变函数理论”，极大地推动了拓扑学的初期发展。一百多年过去了，如今，黎曼-罗赫定理、柯西-黎曼观点、黎曼映射定理等，仍在南天门前闪闪发光呢。杀到凌霄宝殿后，“黎悟空”发现露天广场有好大一块空地，于是，他全然不请示玉皇大帝，就开始私搭乱建，动土开工了；因为，他要修建一个名叫“黎曼几何”的全新宝殿。但见他，先将古今中外的所有几何学，包括当时刚刚诞生的非欧几何、双曲几何等连成一串长龙；然后，祭出为竞争巴黎科学院奖金的，有关热传导的“巴黎之作”；接着摆脱了高斯等前辈“把几何对象局限在三维欧氏空间的曲线和曲面”的束缚，从维度出发，瞬间就建立了一套更抽象的几何空间。待到天庭城管的临时工想干涉时，哈哈，已经晚啦，金碧辉煌的全新几何体系，已笑傲江湖了。站在黎曼几何的塔顶，再往下看时，啊，那真是“一览众山小”啦！原来，只有三种不同的几何学，其差别仅在“通过给定一点，能画几条平行的定直线”而已：若只能画一条平行线，即为熟知的欧几里得几何学；若一条都不能画出，则为椭圆几何学；若存在一组平行线，就得到第三种几何学，即，罗巴切夫斯基几何学。于是，这位手无缚鸡之力的黎秀才，仅在弹指间，就结束了过去一千多年来，关于“欧几里得平行公理”的争论。黎曼几何不但导致了另一种非欧几何，椭圆几何学的诞生；而且，更出乎意料的是，它竟然在半个多世纪后，引导一位小小的专利员，爱因斯坦同志，成功地创立了广义相对论。如今，黎曼几何已成为理论物理学必备的数学基础了。在数学天庭中，微积分无异于太上老君的炼丹炉，可是，在“黎悟空”眼里，总觉得哪里有点不对劲儿！于是，当他发现波尔查诺、柯西、阿贝尔、狄利克莱和维尔斯特拉斯等数学大牛，都在全力以赴，试图将“炼丹炉”严格化时；作为后起之秀的黎教授，也挤过来凑热闹。1854年，他“啪”地一声，就扔出了语惊四座的论文“关于利用三角级数表示一个函数的可能性”，吓得太上老君赶紧去请太白金星出面调停。当柯西前辈唱出“连续函数必定是可积”时；黎曼后生马上和诗一首，指出“可积函数不一定是连续的”。当全世界数学家都以为“连续函数一定可微”时，黎师兄却拨出猴毛一吹，妈呀，竟然给出了一个“连续而不可微”的著名反例！到此，人类终于搞清了连续与可微的关系。如今，微积分教科书的“炼丹炉”上，还清晰地刻着黎曼积分、黎曼条件等知识产权标签呢。在王母娘娘的瑶池仙境里，处处都是小桥、流水、神家；于是，便引出了所谓“哥尼斯堡七桥问题”等看似简单却又长期难解决的问题，这便促使欧拉等数学大神们，对组合拓扑学进行研究；可却始终只获得了“闭凸多面体的顶点、棱和面的个数关系”等零散结果。黎教授本想亲自操刀宰了这个数学难题，可那时他已病魔缠身，无力上阵了；于是，只好“白帝城托孤”，叫来比萨大学的贝蒂教授，“叽里咕噜”传授了一番锦囊妙计。结果，这位洋“诸葛”，还真把黎曼面的拓扑分类，推广到了高维图形的连通性，并在拓扑学的多个领域取得了辉煌业绩；终于使黎曼成为了当之无愧的“组合拓扑学开拓者”。黎曼这位“齐天大圣”在数学天庭中，真可谓翻江倒海，他“捣碎的黄鹤楼”比比皆是,“倒却的鹦鹉洲”数不胜数。限于篇幅，肯定不可能在此详述他的众多业绩，但是，你若在数学天庭中放眼望去，他那金箍棒留下的“伤痕”，至今仍然累累可见。像什么黎曼ζ函数、黎曼积分、黎曼引理、黎曼流形、黎曼空间、黎曼映射定理、黎曼-希尔伯特问题、柯西-黎曼方程、黎曼矩阵等等，简直令人眼花缭乱。反正，菩提老祖的这位神秘弟子，几乎都快把数学殿堂改造成“黎曼之家”了，幸好如来佛祖及时派来了救苦救难的观音菩萨。其实，生前的“齐天大圣”还比较理智，他主要折腾的对象，只是各种数学“建筑物”，而对各路数学大仙们还是彬彬有礼的。但是，生后的“黎悟空”就更不得了啦，他直接把神仙们，折腾得惨不忍睹，甚至死去活来，而且持续时间长达150多年之久！剧情大约是这样的，1859年的第一场雪，来得比以往更晚一些。刚刚当选“柏林科学院通信院士”的小黎子，用短短8页簿纸，向全球数学家提交了一篇“小论文”，名叫“论小于给定数值的素数个数”。也许是嫌“洛阳纸贵”吧，穷酸的黎博士，在文中多处用“证明从略”，来阐述了几个重要定理，并给出了一个承认自己也无法证明的猜想，即，黎曼猜想。正是这篇弱不禁风的“小论文”，吹响了折腾各路数学大仙的冲锋号。首先是那几处“证明从略”，就让后世数学家们像无头苍蝇一样，碰得头破血流。40年后，芬兰数学家梅林，才总算碰到了第一条“死老鼠”，不过这已足够让梅教授名垂青史了；46年后，被黎曼一笔带过的一个“小命题”，才由德国数学家蒙戈尔特，最终给出了完整的证明。至于那个“黎曼猜想”嘛，更让数学大仙们灰头土脸，无地自容！甚至连数学界的东海龙王，希尔伯特教授，都不得不于1900年，在法国巴黎颁布菲尔兹奖的“国际数学家大会”上，向全球数学家们发出“圣旨”，布置了必须完成的“家庭作业”：花100年时间，在本世纪内解决黎曼猜想。但是，可怜的数学家们哟，最终却只交了白卷。不服输的美国克雷数学研究所，又于2000年，仍在巴黎发起了一个数学会议，决定延长考试时间，继续把黎曼猜想作为“最为重要的7个数学难题之一”，并且还咬牙切齿地发誓说：解决黎曼猜想者，将获巨奖。伙计，我敢保证，与费尔马猜想和哥德巴赫猜想并称为“世界数学三大猜想”的黎曼猜想至今悬而未决，肯定不是数学家们没努力；实际上，黔驴技穷的大仙们，早就被“黎悟空”快给玩死了，甚至，恨不能与该猜想同归于尽呢。比如，咬住黎曼猜想不放的美国数学家纳什，真的精神分裂了；幸好后来在贤妻的照顾下终于康复，还获得了诺贝尔奖，并成为经典电影《美丽心灵》的男一号。 98 岁的数学家哈达玛和96岁的数学家普森，为了想解决黎曼猜想，甚至都幽默地表示“不敢死”。前面提到的那位东海龙王，希尔伯特教授，也担心自己会因黎曼猜想而“死得不安宁”；因为，有人曾问他，若500年后能重回人间，你将最希望了解什么事情？希尔伯特毫不迟疑地回答：我想知道，黎曼猜想到底解决了没有。据说，华罗庚的导师、英国数学家哈代教授，在一次有惊无险的航行事故中，留下的遗言竟然是“我已证明了黎曼猜想”。因为，他的如意算盘是：如果自己真的死了，那数学界就会又多一个悬案，误以为他已为数学家们出了一口恶气，征服了“黎悟空”；如果没死，那就是多了一个数学玩笑而已。美国数学家蒙哥马利，甚至断言：若魔鬼答应数学家们，可以用自己的灵魂去换取一个数学证明，那么，绝大部分数学家，将会拿“黎曼猜想的证明”去成交。至于“证明黎曼猜想”过程中的各种“诈糊”，那就更多了。无论是业余选手，还是数学拳王，都不知道曾经多少次，在各种场合下，宣布过自己终于“证明了黎曼猜想”。当然，事后都无一例外地发现，原来那只是“黎悟空”，在水帘洞撒了一泡尿而已！其实，刚开始时，数学家们还是信心满满的。他们决定分兵两路，一路试图否定该猜想；另一路则在假定该猜想成立的前提下，在科学界开疆扩土。结果，第二路大军势如破竹，凯歌高奏，很快就完成了一千多条重要定理，并打造出了看似无比辉煌的数论大厦。这下就更麻烦了，如果第一路大军证明了该猜想，那将皆大欢喜；但是，若黎曼猜想被证伪，那数论中将发生“十级大地震”，许多仙境将遭受灭顶之灾，许多顶级数学家几辈子的成就，将化为乌有。那么，所谓的黎曼猜想，到底是什么呢？若用严格的数学定义去说，那就是“素数分布等于黎曼ζ函数的某种非平凡零点分布”。哥们儿，您懂了吗？就算您懂了，估计绝大部分“吃瓜群众”不但难懂其内容，甚至连题目中的字母“ζ”都不认识。不过，幸好这并不影响大家看热闹，也许还有助于您看门道呢。其实，简单说来，黎曼猜想就是：素数将蕴含在某个特殊的带状区域之中，更准确地说，素数将分布在该区域中间的一条名叫“临界线”的直线上。那么，黎曼猜想到底有什么用呢？这样说吧，傻瓜为什么会缘木求鱼呢，因为，他不知道“鱼儿只能分布在水中”；外行捕鱼为啥不如渔夫呢？因为，后者更知道鱼儿在河里的分布区域等。换句话说，如果知道了行踪不定的素数分布规律，那么，数学家们便能有的放矢地“捕捞”素数了；而在理论和应用领域内，如今人类对素数的需求越来越大，当然就更希望搞清楚它们的分布特点了。第一路大军的战略，其实还是很清楚的；只是因为“敌人太狡猾”，所以才拿它没办法。比如，刚开始时，大仙们想“关门打狗”，即，证明那个分布区域的边界上没有素数，然后，再把这个“边界包围圈”逐步缩小，直到瓮中捉鳖。而且，非常幸运的是，法国数学家哈达玛和比利时数学家普森，竟然真的旗开得胜，几乎同时独立攻下了这首个堡垒。一时间大家洋洋得意，彼此弹冠相庆，取出数学界的诺贝尔奖，菲尔兹奖，就想毫不客气地就往头上戴；因为，这确实是一个重大成果，它导致了另一个悬疑百年的数学猜想（素数猜想）被证明。但是，大仙们高兴得太早了，因为，从此以后，无论唐僧念什么紧箍咒，那个“包围圈”就再也未被缩小过了。大仙们的另一种战术是“放长线钓大鱼”，即，证明“在那个区域的中间线及其附近，确实有很多非平凡的零点”，换句话说，鱼儿们确实都分布在那条“中间线”周围。与“关门打狗”的情形类似，刚开始时，也是捷报频传。比如，55年后的1914年，丹麦数学家玻尔和德国数学家兰道发现：确实有众多鱼儿，紧密团结在以临界线为核心的“线中央”周围；但却无法断定是否还有少数“不讲政治规矩”的其它鱼儿。同年，英国数学家哈代教授更发现：就在那根中间线上，真的串联着无数条鱼儿！哇，一时间数学界又不得了啦，甚至都以为可以筹备庆功宴了！结果，数学家之愁“才下眉头，又上心头”；因为1921年，仍然是哈代教授等悲伤地发现：他们7年前发现的那“无数条鱼儿”，真的只是“无数”，因为它们在整条中间线上的占比，仅仅是百分之零而已！又过了21年的 1942 年，挪威数学家赛尔伯格，费了九牛二虎之力，才总算突破了哈代的这个百分之零；该成果获得的评价之高，肯定会出乎你意料，因为，甚至连数学大牛玻尔都说：“它是二战期间整个欧洲的唯一数学新闻…”。“黎悟空”戏弄大家115年后，1974年，美国数学家列文森，终于在临死前，将那个“非零百分比”提升为34%；1980年，中国数学家楼世拓与姚琦，再将它提升为35%；1989年，即被“黎悟空”调戏了130年后，美国数学家康瑞，才又将它改进为40%；从此以后，就好像进入了“休渔期”，再也没进展了。反正，在过去159年中，“长线”倒是放出去了，可始终未能“钓到大鱼”，只捕获了一些“虾米”而已。 “黎悟空”折腾数学家的最惨情节，其实出现在“抓舌头”战术之中，即，大仙们试图抓到某位“叛徒”，然后，以此揭穿敌人的“真理”；用数学的行话来说，就是找反例来否定黎曼猜想。可是，“抓舌头”谈何容易，首先得抓到嫌疑犯，然后再搞清嫌犯是不是敌兵，最后再想办法逼“舌头”招供。于是，长征便开始了：抓呀抓，数学家们左抓落空，右抓失望；时间一天天过去了，手上却仍然啥也没有！终于，在“黎悟空”发难的第44个年头，1903年，丹麦数学家格兰姆抓到了15 个嫌疑犯,即，非平凡零点；结果一审查，唉，他们统统都是“良民的干活”。数学家们不死心，继续大面积撒网，直到1925 年，才抓到区区138个嫌犯，而且仍然全都是“良民”；并且，自那以后就网网扑空了。又过了7年，德国数学家，西格尔，从黎曼的手稿“缝穴”中，挖掘出了一种新算法，从此才把“抓舌头”的工作，推上了快车道，并在计算机之父图灵的合围下，很快逮到了上千位嫌犯；特别是二战后，借助强大的计算机能力，从1956年到1969年的十几年间，被逮住的嫌犯人数从2.5万，猛增到350万。于是，数学家们的自信心又要爆棚了，并迅速展开了更大规模的“搜捕”活动；果然到1979年，“俘虏”人数就达到了8100万，接着就是2亿，然后是3亿。直到2001年，计算机专家终于出手了，只见德国工程师魏德涅夫斯基，请来互联网上的数千台电脑，连续几顿“满汉全席”搞定“肉机”后，一按电钮，只听“咔嚓”一声，瞬间就将“俘虏”数推高到了10亿；2004年，也是这个魏工程师，又逮住了1万亿个“俘虏”！可是，令人无比沮丧的是，长达150多年的“抓舌头”工程，竟然连一个“舌头”也没抓到，反而是差点冤枉了1万亿个“好人”。唉，在一声叹息之中，数学家们几乎准备向“黎悟空”投降了！终于时间到了2018年9月24日，但见海德堡获奖者论坛上，英国著名数学家，菲尔兹奖和阿贝尔奖双料得主，迈克尔.阿蒂亚爵士，口中念念有词，“阿弥托福”，说是迟那是快，迈爵士的五指山手掌，向下猛的一扣，只听“轰隆”一声，天崩地裂，…。欲知后事如何，且听今后数学家们分解！注：本文原为待出版书籍《科学家简史》的一章，但是，为呼应2018年9月24日的“黎曼猜想数学大事件”，特此提前发布。希望大家喜欢！更欢迎牛出版社合作。; 个人分类: 爽玩人生|22765 次阅读|13 个评论

关于ATIYAH对【黎曼猜想】最新证明文章的学习体会: 热度 8 隔壁家的二傻子 2018-9-24 17:06; 关于 ATIYAH 对【黎曼猜想】最新证明文章的学习体会今天，大数学家 ATIYAH ，以菲尔兹奖阿贝尔奖双料得主的身份，发表了仅五页纸的文章，号称证明了【黎曼猜想】！天雨栗、鬼神哭！也惊动了银河系联邦。。。以天狼星特使的名义，二傻开始认真研究 ATIYAH 的黎曼猜想证明 ... 【 1 】第一节第一段，就震惊了 ! 居然和物理现实中的 “精细结构常数”有关 ! 【 2 】第二、三段，吓二傻一大跳！为了“理解” 精细结构常数的秘密， ATIYAH 早早就发明了一种方法 (REF2)…... 泛称“算术物理” ! 【 3 】其证明的主要工具是 TODD 函数 ... 是 HIRZEBRUCH 以 ATIYAH 的导师的名字命名的 ... 【 4 】文章第二节，介绍了“弱解析函数” TODD 函数的若干性质 ... 【 5 】第三节第一段，准备用 TODD 函数来证明黎曼猜想，用的方法是“反证法” ... 【 6 】 ATIYAH 用黎曼 ZETA 函数为自变量建构了一个基于 TODD 函数的复合函数 F(s)...... 根据 TODD 函数的性质，简单三步 (3.1)(3.2)(3.3) ，证明了 : “如果存在非 1/2 处的黎曼 ZETA 函数零点，则会导致所有 ZETA 函数为零的结果 ! ” 而这个结论显然是错的 ! 于是，用反证法思路，等价于前提是错的 ! 亦即 : “不存在不在 1/2 处的 ZETA 函数零点” 证毕。【 7 】二傻还没细究这段推导过程 ... 先看懂整体思路再说 ... 【 8 】 ATIYAH 在第三节末尾讨论了一下，其实，用类似于寻找“第一 SIEGEL 零点”的“费马无穷递降法”，也可以通过其建构的 F 函数来证明黎曼猜想的 ... 但是， ATIYAH也说了，数学界公认 : “费马的无穷递降法”不能用来证明“肯定性命题”，而只能用来证明“否定性命题”。所以， ATIYAH 不用这个办法，而是用其 (3.1)(3.2)(3.3) 的纯粹算术方法。【 9 】在第四节， ATIYAH 力图说明，如此简洁的证明，看上去跟变魔术一样 ... --- 很奇怪吗？不奇怪！ ATIYAH 说了，这是因为他融合了“ HIRZEBRUCH 对 TODD 函数的代数显式工作”以及“ VON NEUMAN 的超限分析工作” ... 因此，把无穷无尽的分析演算，变成了几步之内就能完成的算术式推导 ... --- 厉害的魔术亦是如此！【 10 】在第五节， ATIYAH 把他的这套方法体系称为“算术物理”。号称用该法，他已经解决了黎曼猜想和精细结构常数的问题 ... 他相信该方法系统，可以有更多其它应用 ... 但是，他也提出，本文所采用的方法，是【反证法】，而【反证法】在“ ZF 公理体系”下是不被接受的 ! 所以，不用【反证法】来证明黎曼猜想，还是很重要的工作 ... 他本人相信 : 黎曼猜想在“哥德尔不完备定理”的思想框架中，应该是个“不可解”的问题 ... 【 11 】 ATIYAH 在文章最后，指出 : 正如他用 TODD 函数对精细结构常数的理解那样，对万有引力常数的类似理解也许会更加困难 ... 他相信，未来的数学物理，将遇到“哥德尔不完备性 ( 不可解性 ) 与随机性的纠缠”问题 ... 【 *** 】二傻看完了 ! 结论 : l 要不就是他疯了 ! l 要不就是他是天狼星派来告诉地球人 : --- 这个世界是虚拟的 ! --- 活在程序里的人，永远不可能知道程序的全貌 ... --- 更何况程序的运行是以“真随机”为数据源的 ……; 个人分类: 科学探索|14892 次阅读|20 个评论

一种对证明黎曼猜想的简单尝试: zmb781NUAA 2018-9-22 16:01; 近日网上盛传著名数学家迈克尔· 阿提亚爵士将于9月24日在海德堡获奖者论坛上公布他对黎曼猜想的完整全部证明过程。大家都在翘首以盼。我本不是专业的数学工作者，更谈不上数学爱好者。我的研究志趣在于信息技术和信息理论，在过去所从事的一些科研工作中逐渐将对信息的关注转向对认知本身的关注。在我对认知的本质及其与信息之间关系进行思考的过程中偶然得到一个关于黎曼猜想的简单证明。我一直以为，对黎曼猜想的证明最重要的意义在于通过完成这一工作能够为数学研究带来新的发展进路的指引。至于很多人都认为的一旦黎曼猜想被证明则整个信息安全技术领域所依赖的现代密码学体系就会崩塌，我倒不这么认为。我相信信息安全专家们并不会因为黎曼猜想的被证明而惊慌失措----明天太阳依旧会照样升起。我的证明实在太过简单而不值得一晒，所以我把这一内容收入我正在写的书中，以期待它能够为我书中所论述的观点提供有力的证据。其实一直以来对黎曼猜想进行证明的尝试始终是络绎不绝的，但是由于这些证明要么太过于艰深，要么逻辑不完备，要么太过孤芳自赏，所以始终没有产生大家一致认可的结果。我一直认为所有的知识都是人造体系，可以这样造，也可以那样造，就像希尔伯特也同样得到了爱因斯坦的场方程一样。只不过历史只会选择一种让其成为主流。在历史的知识发展潮流中我们的既奋斗抗争又自主前行才造成了今天我们所处在的现实知识体系。网上所盛传的这一次事件有一大特点，即阿提亚爵士宣称他将采用一种很简单的方法进行证明。在我对认知的认知过程中逐步形成了一种认识-----“简单才会真实，真实才可能自由”，所以我对“简单”非常敏感。正是这一点引起了我的内心骚动，所以决定将我的证明贴出，以供大家点评。我凑这一热闹的目的有三：一是算留此为证；二是希望征求大家之意见以避免我闭门造车；三是希望我的思考能给予那些真正的爱好者们以借鉴。 ////////////////////////////////////////////////// 注：这两天事情比较多，所以没有时间将以下内容整理成论文格式。我只是将我已成型之书稿中的内容直接截取，所以表述有点奇怪，还请见谅。 ////////////////////////////////////////////////// ////////////////////////// ///////////////////////////; 11095 次阅读|1 个评论

不会吧，黎曼猜想的证明就这么简单？The Proof Riemann Hypothesis is made simple: qiufayang 2018-9-22 09:44; 黎曼猜想的证明确实很简单，主要是因为有几个跳跃式思维方法：对黎曼 zeta 函数的对称函数方程两边同时取绝对值根据gamma函数、pi指数函数都没有0这一特征，推出黎曼 zeta 函数有非简单0点的必要条件是：黎曼 zeta 函数的绝对值必须对称相等；由此导出黎曼 zeta 函数与pi指数函数之积的绝对值必须对称相等；由此进一步导出 pi 指数函数的绝对值必须对称相等；解 pi 指数函数的绝对值对称等式，得出黎曼zeta函数存在非简单0点的sigma数值为： sigma = 1/2。由此可见，黎曼猜想其实是黎曼 zeta 函数有非简单0点的必要条件。也就是说，黎曼 zeta 函数的所有非简单0点的实部必须是 sigma = 1/2。由于这个证明过程不依赖黎曼zeta函数的具体表达式，因此，广义黎曼zeta函数的非简单0点也必须是： sigma = 1/2。这就是黎曼猜想的证明。详情参见下面的链接：Link to the original paper: RH-2018-09-20.pdf; 个人分类: 前沿交叉|3053 次阅读|0 个评论

一个研究素数的几何分布的小程序: 热度 5 Babituo 2015-4-6 13:48; 程序产生一个奇数阵坐标系。因为所有的素数都是奇数，所以，所有的素数都可标记在这个坐标纸的交叉点上。可以上传了，OK，继续... 奇数阵就是一个由奇数点组成的一个窄平面，每个交叉就是一个奇数。为10*N+k（N=1，2，3，4，5...;k=1,3,5,7,9）现在可以研究了，勾选上画网格，在编辑框中输入3，然后点击编辑框右侧第一个按钮。出现如下画面；图中交叉点是：3，3X3，3X5，3X7，3X9，3X11，...3X(2*N+1)...,即，上图是“3的奇数倍”的数的网格。在编辑框中输入5，然后点击编辑框右侧第一个按钮。出现如下画面；上图就是5的奇数倍的“网格”，呵呵，成了一条线。实际上，上图中，5的“3的奇数倍”数倍的点，已经在上面3的网格点图上了。在编辑框中输入7，然后点击编辑框右侧第一个按钮。出现如下画面；这是7的奇数倍的网格了。实际上，上图中，7的“3和5的奇数倍”数倍的点，已经在上面的3，5网格点图上了。在编辑框中输入11，然后点击编辑框右侧第一个按钮。出现如下画面； 11的奇数倍的网格。实际上，上图中，11的“3、5和7的奇数倍”数倍的点，已经在上面3，5，7的网格点图上了。在编辑框中输入13，然后点击编辑框右侧第一个按钮。出现如下画面； 13的奇数倍的网格。实际上，上图中，13的“3、5、7和11的奇数倍”数倍的点，已经在上面3，5，7，11的网格点图上了。接下来要显示谁的倍数的图形了？看官，您猜一下？留言在后？下一个是17，而不是15，是11之后的那个素数。这便是17的奇数倍的网络了。这不是人为选的，而是算法选的。算法是什么？就是：假设第一幅图是交叉点摆满了棋子的“棋盘”，先拿掉1这个数字的点上的棋子。然后，从3这个点开始，逐点向后做下面的事：看这个点上是不是有棋子，如果没有，就找下一个有棋子的点。画这个点的奇数倍的网络，就像之前这么列举的这样，拿掉这个网络交叉点上的棋子（如果没有被拿掉的话，已经拿掉了，再拿一次也什么，只是拿走空气而已）不断循环下去。不会结束。算法就是这样的。结论是;每次找到的画网格的起始点，就是素数的点。这，就是素数分布的规律。不是公式可表达的规律，而是算法可表达的规律。而且是，几何可视化的规律。看结果：取消，“画网格”复选框，直接点击右边第2个按钮，得到答案：这就是素数分布的“规律”：红色点。想玩的留言，加好友，我发程序给你。要源程序也可，请注明要源程序。突然想到，是不是可以反过来想：能否证明，全部的任意两个素数的和的一半的数，一定可以覆盖掉全部的自然数？如（3+Pi)/2是： 4，5，7，8，10，11，.... (5+Pi)/2是： 6，8，9，11，12，... (7+Pi)/2是： 9，10，12，13，... ... pi是大于起点素数的后续素数。所有上述数列合起来，是能够覆盖掉所有的自然数的。; 个人分类: 信息探索|4642 次阅读|15 个评论

黎曼猜想可能是物理学问题: 热度 13 skylark1981 2013-10-2 09:59; 黎曼猜想于1859年提出，它是数学中一个重要的未解决的问题。假设$\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} n^{-s}$，那么$\zeta(s) = 0$的解为$s = 1/2 + iE$, 其中$E$为实数。这个问题困扰了数学家一个多世纪。现在看来这个问题不再是一个纯粹的数学问题，有可能是个物理学问题。黎曼猜想和重要的物理问题都有关系，我示意如下，做几个简单的解释。 $s = 1/2 + iE$, 其中，$E$的解的间距服从某类随机矩阵的分布(GUE). 现在大家一直希望可以证明$E$为实数，但是如果可以证明，$E$是某个哈密顿的解，那么也就自然而然是实数了。这是一个完全不同的新思路。数学发展历史上每个难题都开启一门新的学科，不知道黎曼猜想会开启什么样的新篇章。我之前有一个关于古生物学的博客，其中提到，它可能不是一个古生物学问题，而应该是一个数学或者物理问题。这两篇博客的思路是一样的，科学的发展在今天已经非常壮观了，碰到难题的时候，如果一味在自己领域去找答案，可能是要碰壁，如果跳出这个圈子，也许就是另外一篇天地。我会在后续的博客中举更多的例子来说明这一点。我想宣传的道理也非常明确：跨领域的合作有非常好的前景。我自己也在用这个方法和更多的圈子外的人合作。关于Riemann猜想的更多细节，参考下面的链接 http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=spaceuid=3377do=blogid=698028 但是我要强调，在科学上不要对那些没有违背物理学原理的东西做出草率的结论：什么东西一定不行。很多情况下，这样的表态是危险的。; 28161 次阅读|16 个评论

周四讨论班：黎曼猜想（陈宇杰）: GrandFT 2012-11-28 12:50; 题目：黎曼猜想主讲：陈宇杰时间：2012年11月29日星期四下午4:30-6:10 地点：16教学楼308室一、什么是黎曼猜想二、黎曼猜想与素数 1.素数的分布 2.黎曼的论文——《论小于给定值的素数个数》三、关于零点的计算 1.欧拉-麦克劳林方法 2.黎曼-西格尔公式四、零点的统计关联 1.蒙哥马利对关联假设 2.随机矩阵理论 3.黎曼体系五、关于黎曼猜想的一些研究结果六、由黎曼猜想延伸出来的命题参考文献：卢昌海《黎曼猜想漫谈》; 个人分类: 周四讨论班|3548 次阅读|0 个评论

周四讨论班：Riemann猜想与物理（李文都）: 热度 1 GrandFT 2011-12-19 12:11; 题目：Riemann猜想和物理（Physics of the Riemann hypothesis）主讲：李文都时间：2011年12月22日星期四下午4:30-6:10 地点：16教学楼308室 Riemann猜想和物理（Physics of the Riemann hypothesis）我这次讲的是Reviews of Modern Physics 上的一篇综述文章，这篇文章不是对Riemann猜想进行数学上的探讨，而是看看Riemann猜想和物理学中很多领域的关系。Riemann猜想是困扰数学家几百年来的难题，至今未能解决，或许数学家可以从物理学中得到一些启发。一.Riemann猜想简介二.Riemann猜想和物理的联系 1.经典力学 2.量子力学 3.核物理 4.凝聚态物理 5.统计物理三.总结参考文献： Daniel Schumayer , David A. W. Hutchinson， Physics of the Riemann hypothesis, Rev. Mod. Phys. 83, 307–330 (2011); 个人分类: 周四讨论班|3267 次阅读|1 个评论

解析数论的机会: 热度 5 arithwsun 2011-3-4 09:08; 解析数论，一直以来有两大问题，素数方程与L-函数。素数，即我们中小学学到的质数，从乘法角度讲，相当于构成整数的“原子”。Goldbach猜想，即是一种素数方程问题，即方程的解集在素数集合里考虑。 Fields奖得主Bombieri在大筛法方面做出了重要工作，从而给陈景润等一批中国数学家带来机会，先是我的师爷潘承洞解决了1+5型问题，王元解决2+3型的同时构造出了后续攻击路线的解决框架，包括1+4和1+3，最后由陈景润解决了1+2型问题，一直到现在都无法改进，是中国数学家目前为止最拿得响的工作，因为目前谁也做不出最难的1+1型。王元先生跟我说过，大义是，数论就有这个特点，不容易做出好工作，但是一经做出，就会名动天下。此处的1+2型，指的是1个素数+不多于2个素数，并不是某些庸俗的理解，要去研究什么1+2等不等于3。类似的有罗必达法则的0/0型，并不是说我们突破了小学数学，可以将0放到分母上了，而是有代义，专有特指。素数方程方面，1998年Fields奖得主Gowers获奖之后，紧接着在整数方程做出了开创性的工作，然后由Terence Tao（陶哲轩）和Ben Green推广到素数方程方面，这个推广，很不平凡，陶哲轩获得了2006年Fields奖，获奖介绍中，这个工作是排第一位的，我们或许可以猜想，如果陶哲轩没有这个工作，可能Fields奖还要等几年才能拿到。 Gowers-Tao-Green的思想，将素数方程做了系统的突破，可以解决绝大多数的线性方程组问题，唯独不能攻击Goldbach猜想。我们不知道这个机会，是不是跟当年Bombieri的情况类似，他做出了基本工具的突破，能解出1+3，但是就是做不出1+2，最终是由陈景润想出了一个妙法攻克的。即使不谈这种“偷机取巧”的机会，Gowers-Tao-Green的思想也非常值得踏踏实实地学习，真是很有可能值得后辈数学家们学习和应用三四十年。为什么这样讲呢，素数方程方面，一直以来有两大方法：筛法和圆法。前者自古希腊时期就被发现，陈景润的工作，就是动用此法。圆法，则是英国剑桥的Hardy-Littlewood-Ramanujan发明，至今也应用了90多年了。 Gowers-Tao-Green，其价值地位相当于第三种方法出世，正是因为增加了新的理解，才有可能得到新的突破性结果。我们稍做解释，Gowers-Tao-Green增加的是哪种新思想，这种新思想，除了素数方程的数论问题之外，亦很可能对其他数学领域也产生深刻影响。经典解析数论在素数方程方面的研究思路是： A-Step 1. Summation Formulas (各种求和公式) A-Step 2. Equations Detect (方程探测) 经典数论分为代数数论和解析数论，一些懂解析数论的代数数论专家会笑说，你们解析数论就是成天“求和”，一个和式，可能有3、4个\Sigma号，说到点子上了。求和并不容易，但是相对于更难的问题来说，又相对容易，所以“求和”就相当于一个台阶，万里长征的第一个台阶，有简单的，懂微积分就行，也有深刻的，需要复分析和傅立叶分析，甚至自守表示理论才能预见和证明的。 Gowers-Tao-Green在A-Step 1之后又增加了一个新的台阶，即考虑整数、素数的随机分布性质。我们一直认为，素数分布具有相当大的随机性，但是这种随机性如何定义，如何应用，却是Gowers-Tao-Green才开始有严肃的数学解释，说起来，也就这十年间的事。整数集合、素数集合的一致分布（Uniform Distribution），其实早就是解析数论研究的一个主题，Hermann Weyl自言其年青时候的成名之作，即是关于一致分布的Weyl's Criterion。这个主题，一致分布（Uniform Distribution），虽然历史也有90多年了，跟圆法出现的年头差不多，可是一直以来并未像“求和公式”那样，应用于方程问题，多看作是一个有独立价值的问题。确实很美！中国解析数论专家，以前对这个主题有所忽视，我上学的时候，老师们都不太谈及，我还记得当年初次查到这个文献的情况，是在我们读模型式的讨论班上，为解决一个注记才查到的。国内对这个主题最熟悉的，恐怕是王元先生，因为他将这个主题中蕴含的思想，应用到计算数学和统计数学方面，思想是数论的，结果不是。现在，Gowers-Tao-Green的洞察，将这个主题思想联系到数论本身的方程问题，从而相当于在中间多制造了一个台阶，台阶多了，自然就把终极目标的难度降低了，思想贯穿了，自然容易获得结果上的突破。解析数论的第一个台阶，求和公式，不容易让外人看出“美”来，我同级的一位研究生，选方向时，鼓动我跟他一块报解析数论方向，临到终了，他自己反而退缩不报了，原因是他去图书馆查了解析数论的文章，看到那么一大堆求和号，深感不对口味，弃之。我只管方向，认为林子大了，什么样的“美”都可能存于其中，后来又幸遇诸位明师，将一个个求和号，能解说出内在的含义，含义明了，外形只是表象而已。现在就更好了，在数论方程问题的研究之路上，第1层是求和公式，现在又新加一个中转站，第2层换作一致分布/随机分布公式，就比较容易让外人看出“美”来，最简单的一个例子，就是台球在台球桌上运动的遍历性，就是一致分布的习题。 Gowers-Tao-Green对一致分布的思想，有深入本质的推进，因为一致分布可以看作是0-阶的随机，要深入解决方程问题，0-阶自然不够，因此就要去研究和定义1-阶、2-阶、k-阶的随机。这是一个好东西啊，能让人馋得流口水，可以预见，其应用将不止于数论，因为，随机性的研究，可以应用的领域太广了，密码学、图像处理、模式识别。。。素数是随机的，从这个意义上，可想而知素数方程会有多难。所以，前面说到的这三种素数方程的研究方法，其共同点都是，先将素数方程，转化为整数方程。这是经典思路： B-Step 1.先将素数方程，转化为整数方程。 B-Step 2. 然后求解整数方程，即，解集在正整数集上找，这个问题是较为简单的，属于高中奥数的入门级题目。这个经典思路的法宝是，化难为易，求解未知必须靠较容易的已知，这是数学研究的基本之路。 Gowers-Tao-Green将这个过程中又做了一大改进，其中一个高招是，把素数方程转化到整数方程时，将整数方程的解集，不是转化到全部正整数集，而是转化到具有正密度的正整数子集。我们仍然列一下： B'-Step 1.先将素数方程，转化为正密度整数集上的整数方程。 B'-Step 2. 然后求解正密度整数集上的整数方程，难度相当大，Gowers的开创性就在此处。不知大家看出来没有，B'-Step相对于B-Step的高妙之处，B-Step 2的难度太低了，只相当于高中奥数入门题，结果就导致所有的难度都集中在B-Step 1上面，现在B'-Step 2的难度升上去了，但是仍然是能做出来的，有Gowers的结果在那顶着，自然，B'-Step 1的难度就降低了。 B'-Step 1所动用的经典解析数论结果，其实并不强，比起我博士论文阶段学到的那些来说，可谓弱了很多，就是因为思想突破，胜过了技术改进。当然我们可以想到，思想突破+技术改进，就是机会，现在阶段尚只是思想突破，大数学家们勇往无前，忙得很，新领域往往如此，就给年青人们留下很多机会，技术改进级别的结果，或许谈不上伟大，但要说对得起博士学徒时期的辛苦，以此谋职业数学家之门，却是绰绰有余了。说完了素数方程，现在再谈L-function，这个名词，就不那么妇孺皆知了。很多学过微积分、复分析的大学生，甚至包括很多科学家们都会奇怪，数论研究的都是整数集合上的问题，也就是离散集合上的问题，怎么会用到分析学呢，还成了专门一个学科方向，解析数论。其诀窍就在于L-function，它将离散对象，“粘”在一起，本质上也是求和，但是这种求和，不像黑沙子和白沙子混在一起后就再也不容易复原，数学上有更聪明的操作，可以把它粘在一起后，还能再复原回来。学过傅立叶分析的人，就会知道，这个想法其实也就是傅立叶级数的妙处之一，当今的手机，一个无线频道有那么多人能够共用，就是这个道理，能合也能分。 L-function，确实可以跟傅立叶级数，进行一一对应，互相转换（L-function的系数就是傅立叶级数的系数），转换公式叫做Mellin Transform。不过，因为这种傅立叶级数的系数，都来源于数论对象，所以这种傅立叶级数，性质比较好，不仅仅满足平移不变性，还满足更多的群变换下的不变性，所以数论中就用另外一个名词来说，叫做模型式或自守形式。 L-function中的最大数论问题，自然是Riemann Hypothesis（黎曼猜想）了，猜想L-function的那些未知的零点，都是排在一条直线上，乖乖的。这个猜想，是数学界最顶级的猜想之一，列为数学千禧年七大问题之首。数论对象，浩如星宇，但是我们猜想，这些对象生成的L-function，都满足Riemann猜想，可见这个猜想的魄力。遗憾的是，至今证不出最简单的情形，也就是说，证不出来数论对象集合={a_1=1, a_2=1, a_3=1, .., a_n=1,...}时的情形，这个最简单的情形，就是当年黎曼的猜想原始形式，让后世数学家们极为叹服他的发现力。我们有理由相信，假定Riemann猜想应该是能推出Goldbach猜想的，但是目前谁也做不出来，或者还需要加上更深入的零点信息的猜想，但目前也是没人能推出来。 L-function还牵扯到另外一大类的重要猜想，或者曰，Langlands Program，就是要用“高维化”的观点，来重新审视数论对象跟分析对象、几何对象之间的关系，这些关系，还有很多只是猜想，即，有公式无证明。前面说过，做方程问题，第一个台阶是求和问题，而求和问题，动用到高深之处，就是需要L-function的相关性质，所以可以说，L-function的性质，是整数方程研究的第0步。这个第0步中，就已经蕴含了数学界的最大猜想和最大纲领。我们有一种信念，数论对象的所有性质，已经蕴含在它的L-function之中。自守L-函数的Riemann猜想方面，是否存在机会，不是特别清楚，情况并不明朗，有一点可以非常清楚的是，它要动用相当高深的数学工具。经典数论，可以分为代数数论和解析数论，但是到了现代数论，一般就不能再这么分了，相比前两者，有两个更高深的方向，代数几何与自守表示，都是分析和代数兼具的。这两个学问，论及深度和难度，可以粗浅地类比一下，大学数学分析和高等代数，总共算作500页纸的工作量吧，每页纸要读1个小时，那么代数几何与自守表示，其中一个方向，光读懂基本知识，以大学本科数学为基点，就还需要再读4000页纸的工作量，每页纸的难度，据我个人体会，是大学课本的4~6倍。这两个学问，因为如此，难也有难的好处，打个比方吧，跑道长了，才能起跑大飞机，大飞机只有在长跑道上才能飞得起来，如果你想成为数学上的“大飞机”，或者起码想试一下自己是不是数学上的“大飞机”，这两个学问就是非常适合的“长跑道”。我曾经跟本系系主任一块出差，歇息的时候闲聊，他说自己很遗憾没有读下来一本“抽象派”名著，我当时尚是年轻，觉得无法理解，做论文做不到一流，但是读书，书是“死”的，就放到那里让你读，总有一天能读完吧。现在，年纪大了方知系主任的感叹，数学上的集中注意力，是难得之物，集中不下来，书虽“死”也读不下来。如果年青人有拼劲，就可以趁着年轻火力壮，把这些高深的学问攻下来，试一试自己的能力有多大。 Langlands Program方面一直有新的进展出现，但是涉及到Riemann猜想，却少有推进。一些数学家认为，Riemann猜想在最近都不会有特别大的突破，原因是，要解决一个“大”的猜想，基本之路是，把它分解为数个“中等”难度的猜想，但是目前来看，这条基本之路上的人类足迹太少了。凡事都得试试，没有足迹，可以自己往上踩啊，何况是这么重要，已经被数学界公认出顶级价值的猜想。再者说，若是有人能够一刀下去，把Riemann猜想分成数段，这一刀，已经足可以笑傲江湖了。我们有理由相信，不仅仅是Riemann猜想的零点信息，L-function的高维化之路，即，Langlands Program，亦会有作用于素数方程问题，比如Goldbach猜想。高维化，会带来更多的求和公式啊，会带来更多的对随机性的理解啊，此处不能多说了，大家会意即可。这些解析数论方面的机会，不可谓不大，是每个有雄心壮志的年青数学工作者都应该关注的。中国年青学者，在这条道路上应该是非常有潜力的，一者是，我们的前辈，华罗庚、陈景润、潘承洞、王元，已经给我们开创了直指高峰的胆魄，在我们的灵魂中打下了基因。另外一点是，中国的数学传统，还是比较偏于分析的，中国的年青人在分析方面，相对还是有很好的训练，而在代数方面则普遍欠缺（是一个问题，本文不述）。 Gowers的Fields奖工作，是泛函方面的，陶哲轩则出身于调和分析，跟前辈Hardy一样，他们都不止是数论大师，更可以说是分析学大师，他们将分析功底，应用在解析数论方面，正是英雄找到用武之地，找到试金之石。我曾经问过张寿武教授一个猜想，请他判断对不对，即，“大学本科时没有学到足够的代数课程，就意味着已经失去了机会，无法从事算术代数几何”，他的回答是“对”。他本人的例子，也验证了这个猜想，他虽然是80年代初的大学生，但是他本人有一个极好的机遇，从大一开始，就给他的老师汇报抽象代数，他来讲，老师来听，一对一，小灶中的小灶。这个份量，估计就是现在的中国数学系大学生，也很少有人达到的。解析数论，如果结合自守表示方向，也会用到相当多的代数知识，不过具体到关键之处，还是分析的居多，不用拼太多的抽象代数功底。这也是最近一些中国解析数论专家，在自守表示方面获得进展的诀窍所在，主要是我博士时候的老师，刘建亚和叶扬波领导的团队。不是解析数论专家们一下子在抽象代数方面获得了突飞猛进式的进步，而是掌握了新领域的基本语言之后，关键桥段，还是在原来的解析数论功底。所以，解析数论相比来说，门槛对于中国数学系大学生来说，要低一些，重要性和机遇算在一起，性价比在我看来非常高，值得推荐给正在选取研究方向的年青人们。写到这里，大家恐怕看出来了，本文算是一个科普级的广告，之所以做广告，实在是进入解析数论领域的年青人，最近这十几年里，相比于其他数学方向来说，人数是太少了。国内各数学系，基本上都有分析学和微分方程的老师，可是即使是国内各名校的数学系，也很多是没有数论方向的老师，算到解析数论方向则更少，人才缺口很大，这与数论在整个数学领域的地位，中国数论尤其是解析数论在整个数学界的地位，很不相称。为什么会有这种情况呢？不知道是胆子小了，还是眼界高了，我感觉这两种情况可能都存在，稍微修正一下，兼听则明，选好自己的研究起点，可能后面的路会有很大的不同。附注：文章写到最后，才想起以前的本科生反映，本系的一位资深教授（现已退休），教他们的时候，告诉他们“解析数论已死”，当时听了觉得很好笑，亦有无奈之感。我们说一个学科“死掉”，都是意味着这个学科中的基本问题已经解决完了，剩下的难题也找不到新工具来处理。解析数论远远不是这种情况，270岁的Goldbach猜想，150多岁的Riemann猜想都尚未解决，最近几十年来又不断地增添了非常深刻的新猜想和新工具。很有可能的是，这位资深教授已经不再阅读最新的数学文献了，因为那年的Fields奖就是给陶哲轩的，工作排在第一位的就是他的解析数论文章。本科生们，恐怕都没有机会直接阅读最新数学文献，这篇博文，算作是一个二手的科普级读书报告，告诉大家一个真理，数论是数学中的一个极大分枝，跟几何学一样，都是很早就产生了。这种大分枝，最多只有可能某个小树杈会枯枝败叶，却始终会是数学中的主流方向。至于解析数论，就是主要以分析学的方法（现代会越来越多地动用矩阵等代数工具），尤其是Fourier-Analytic方法（傅立叶分析和复分析），研究数论问题，说到这里，稍微有点常识的人也会知道，这种级别的学科，永远都没有“死”的可能性，这不，Gowers-Green-Tao的巨浪就正在打过来。延伸阅读：研究生选导师-自我情况介绍研究生学习须知（数学类） I 大学数学学习与中学的不同之处新浪版 GoogleDoc最新文字版; 个人分类: 研究生数学|18986 次阅读|8 个评论

从费尔南德斯致力攻克黎曼猜想想到的: zhxfish 2010-9-5 11:40; 素数确实很有意思，黎曼猜想或假设(Riemanns Hypothesis)的内容详见 http://baike.baidu.com/view/82455.htm?fr=ala0_1_1 现在，15岁去剑桥学数学、习惯打破记录的费尔南德斯( http://news.sciencenet.cn/htmlnews/2010/9/237091.shtm )想弄这个。Wiles证明费玛最后定理(Fermat's.Last.Theorem)见证了不平坦的征服之路，祝福这位天才！我不是学数学的，但是对数学一直很感兴趣。现在和数学研究还很遥远，但高中时居然直觉感到调和级数是收敛的，并因此得到一个现在高中同学还叫的绰号。曾经证明sigma(1/n^2)数列求和，给杂志投稿居然石沉大海。从迪利克雷到维斯卡尔迪(哈尔滨工业大学出版社，2007版， http://baike.baidu.com/view/1997591.htm )让我认识了数学问题真的不是一般人就能解决的问题，结尾的许多轶事值得一读。但是有兴趣，可以小玩，因为从中可以得到乐趣。; 个人分类: 生活点滴|4797 次阅读|0 个评论

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标签: 黎曼猜想

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