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手套的拓扑学: 热度 22 freefloating 2015-12-22 21:04; 手套的拓扑学：老妈两副胶皮手套都左手破了，说这也没办法配成一套了，太浪费了，我说，我有办法，把右手里外翻过来就是左手啦。看了吧，只要是对称就肯定能找到一种操作实现重合，而且是物理重合。百度了一下“手套拓扑”找到了百度词条里有这么一段：人左右两手的手套虽然极为相像，但却有着本质的不同。我们不可能把左手的手套贴切地戴到右手上去；也不能把右手的手套贴切地戴到左手上来。无论你怎么扭来转去，左手套永远是左手套，右手套也永远是右手套！不过，倘若自你把它搬到莫比乌斯带上来，那么解决起来就易如反掌了。没看懂，手套怎么搬到莫比乌斯带上呢？反过来不就易如反掌吗？; 个人分类: 把问科研|9253 次阅读|75 个评论

埃舍尔猫: 热度 5 lvnaiji 2015-5-3 09:48; 猫，真是奇异的生灵！且不说一猫九命，高空掉落时猫尾巴的神奇功能，以及作为宠物与人的若即若离；猫，在科学上也是一再作为隐喻被提起，如薛定谔猫（参见 http://blog.sciencenet.cn/blog-210844-734759.html ），从而具有了认识论功能。眼下又是一例，且不是隐喻，而是活生生的现实版的猫，以其昂首阔步旁若无人的让围观者惊羡不已，更在惊羡之余引发争议：这猫，究竟是上楼还是下楼？想起那位著名的埃舍尔。他的画也常令众人困惑：上还是下，内还是外……。故此，这只雄赳赳气昂昂的猫即可称之为“埃舍尔猫”。那两只在叶片上下的东东，似乎可以联想到“莫比乌斯带”……; 个人分类: 杂谈|4250 次阅读|12 个评论

这行人桥够数学的: 热度 3 jiangxun 2014-3-8 04:07; 作者：蒋迅荷兰的 Next Architects 建筑事务所因在中国长沙设计一条人行天桥而荣获国际比赛一等奖，如图所示，它的设计恰恰是基于莫比乌斯带。它将修建于梅西溪湖，其位于北京以南1500公里的长沙，这个现代化生态之大都城。该桥有150米长，24米高。将有不同景观的高低不同的道路。他们的设计显然不是心血来潮，这从他们以往的作品就可以看出。比如他们为阿姆斯特丹设计的一座行人桥 Melkwegbridge 和位于鹿特丹的 The Elastic Perspective 。他们预计将于今年（2014年）开始在长沙的修建。让我们共同期待这个奇迹吧。; 个人分类: 够数学|8487 次阅读|7 个评论

这个建筑设计够数学的: 热度 1 jiangxun 2013-9-22 00:40; 作者：蒋迅这是一个3D 打印技术创造的建筑设计。尽管它恐怕永远没有实用价值，但是它由于其独特的数学涵义而令人大开眼界。这是一个没有起点也没有终点的建筑！这很容易让有点数学背景的人联想到莫比乌斯带（ Mubius strip ）。是的，就是莫比乌斯带。150 多年前，数学家发现了“莫比乌斯环”。而今天，荷兰建筑事务所 Universe Architecture 以莫比乌斯环为原型，利用 3D 打印技术创造了这座“没有起点也没有终点”的建筑──Landscape House。更重要的是，这个带状的房屋里没有正面和反面，地板和天花板光滑联通，相互轮换，体现了莫比乌斯带的精髓，也给人奇妙的视觉体验。; 个人分类: 够数学|8827 次阅读|2 个评论

这服装设计的够数学的: 热度 1 jiangxun 2010-4-21 09:05; 作者：蒋迅来源: Mobius Dress - Inside Outside Garment by My Studio 有些人把数学符号印在T 恤衫上，不管它多么与众不同，都已经不能算是灵感了。但上面的这个设计从数学角度甚称一绝。数学上，一个只有一个表面和一条边界的曲面叫作莫比乌斯带 ( Mobius strip )。这个经典的例子是拓扑学课程里必用的例子。; 个人分类: 够数学|7920 次阅读|2 个评论

莫比乌斯带：只有一面的魔环: eloa 2009-3-21 19:34; fwjmath 发表于 2009-03-20 21:09 小时候手工课，经常有要把纸裁成带然后再粘成环的活要干。这个任务即使对小朋友来说也是很简单的。但有时总会有些马大哈会犯糊涂，在把纸带两端粘成环之前不小心翻了个面，纸环就变得歪歪斜斜的了。这也不是什么大事，撕了重粘就好了。但是，既然纸环已经变成这样了，何妨把玩一番呢？要知道，这就是鼎鼎有名的莫比乌斯带。很多读者应该都知道莫比乌斯带的特别之处：它只有一个面，也只有一条边。在数学上，这样的曲面有一个特别的名字：单侧曲面。怎么证明它只有一个面呢？很简单，我们用红笔在上面沿着它的走向画一条线（不跨越边沿），在笔回到起点的时候，我们会发现红笔已经涂过了纸环的所有面。如图：这就可以很好说明莫比乌斯带只有一个面了。如果我们在普通的纸环上面做同样的操作的话，当笔回到起点时容易知道还有一面没有涂过，所以普通纸环不是单侧曲面，实际上每个人都知道它有两个侧面。如果我们沿着这条红线把环剪开，会得到什么呢？相信很多朋友都知道了，我也就不卖关子了：这个纸环会被剪成一个中间旋转了两个半圈的大纸环：但是，可能没有多少人留意到，经过一番摆弄，这个纸环可以变成一个两层的莫比乌斯带。之所以要加引号，是因为这个毕竟也是双侧曲面，而不像真正的莫比乌斯带那样是单侧曲面。要做到同样的效果，我们也可以用两层纸带用类似做莫比乌斯带的方法来粘贴，只不过两层纸要分别粘贴而已。好了，回到那个剪了一次的纸环那里去。如果我们再剪一次，会发生什么事情呢？现在这个纸环已经是不是单侧曲面了，所以剪开以后应该至少出现两个环。问题是，那会是怎么样的两个环呢？好了，结果出来了，是两个和刚才一样的纸环，不过这两个纸环是套在一起的。如果我们摆弄一下，能把它们弄成刚才没有开剪之前的大纸环的一个双层版本。再摆弄一下，又能把它们弄成一个四层的莫比乌斯带。可以证明，如果我们这样不停的剪下去，每次剪出来的都是一样的纸环（中间有两圈旋转的），而且都套在一起，还能弄成一个多层的莫比乌斯带。一个不大严谨的证明应该是不复杂的。（提示：将每次剪出来的都套成多层莫比乌斯带，然后剪开就成了多层的两个半圈旋转大纸环，又能套成多层的莫比乌斯带）那么，这东西有什么用呢？首先，这东西既然是数学家做出来的，肯定是有理论上的意义的。事实上，这是数学家发现的第一个单侧曲面。在积分理论发展的过程中，由于曲面通常有两侧，所以人们要给曲面定个方向才能进行积分。但是，当时还没有人知道是否存在这样的曲面，它只有一侧从而无法在它上面确定一个积分的方向。而莫比乌斯带正是这样的一个单侧曲面，它只有一个侧面从而无法定向。所以这类曲面又有一个名字叫不可定向曲面。由于莫比乌斯带只有一个面，这个面的长度自然就是普通纸环一面长度的两倍了。有人想到将这个特性用到传送皮带上，这样的话就可以把磨损分摊到更多的地方，从而提高皮带的寿命。这个想法还获得了美国的专利。利用莫比乌斯带的想法获得的专利还不止这一个。还记得那个两层莫比乌斯带吗？不记得也没有关系，看下图：如果我们把纸带想像成金属带，让电流由其中一个夹子流入而从另一个夹子流出的话，在纸带表面的电流有两个可能的流动方向，而这两个方向的电流产生的磁场恰好互相抵消。也就是说，电流在这个装置流动的时候不会产生磁场，所以也不会有电池感应的现象发生。这就是一个无电感电阻。这种电阻就叫默比乌斯电阻。莫比乌斯带在艺术和文化作品中也经常被引用，作为无限循环的一个象征。国际通用的循环再造标志就是一个绿色的、摆放成三角形的莫比乌斯带。在《哆啦A梦》（小叮当）漫画中，就有一个形状是莫比乌斯带的道具，只要把它放在门把手上，里边的人开门就会回到同一个房间里去。如果我们看科学馆门前的环状雕塑，多半也利用了类似莫比乌斯带的性质，有空的话经过这些雕塑可以数一下这些环有多少个面多少条边沿，我估计绝大部分结果都是1。而至于埃舍尔的例子就更是众人皆知，也不用我饶舌了。实验室中也有可能产生莫比乌斯带形状的粒子。前不久，一群科学家在Journal of Chemical Physics上发表了一篇论文，其中预言了一种莫比乌斯带形状的碳单质（准确来说应该是石墨烯）。它能抵抗摄氏200度左右的温度，算是相当稳定。由于它莫比乌斯带的结构，它应该是一个偶极子，从而可以形成稳定的晶体。现在就等科学家们把它实际做出来了。这一切，都是由数学家看到一个粘错的纸环开始的。 Bonus1：又是来自xkcd的漫画：（ http://xkcd.com/381/ ） Bonus2：想要一个金属做的莫比乌斯带的朋友，你们有福了！野驴设计了莫比乌斯带形状的松鼠会纪念品！心动的话请移步到这里来订购吧！莫比乌斯项链，装备后+43敏捷，+46耐力，增加命中等级25点，增加攻击强度86点，再加上松鼠会的松鼠光环，实在是行走在艾泽拉斯大陆和现实世界上的必备佳品啊！注：根据全国科学技术名词审定委员会在1993年审定公布的数学名词名单，这里所说的莫比乌斯带（Mbius Strip）正规译名应该为默比乌斯带，但由于前一个说法比较常用，故在文中仍然沿用莫比乌斯带的说法。但请有志于写下含有这个词语的论文的同学，正式的写法应该是默比乌斯带。; 个人分类: 数学|3565 次阅读|0 个评论

拓扑学简介（一）: eloa 2008-9-29 14:36; xiphoid 发表于2008-09-29 星期一 13:19 拓扑学是现代数学的一个重要分支，同时是渗透到整个现代数学的思想方法。拓扑一词是音译自德文 topologie ，最初由高斯的学生李斯亭引入（ 1848 年），用来表示一个新的研究方向，位置的几何。中国第一个拓扑学家是江泽涵，他早年在哈佛大学师从数学大师莫尔斯，学成后为中国带来了这个新学科（ 1931 年）。拓扑学经常被描述成橡皮泥的几何，就是说它研究物体在连续变形下不变的性质。比如，所有多边形和圆周在拓扑意义下是一样的，因为多边形可以通过连续变形变成圆周，右边这个图上，一个茶杯可以连续地变为一个实心环，在拓扑学家眼里，它们是同一个对象。而圆周和线段在拓扑意义下就不一样，因为把圆周变成线段总会断裂（不连续）。为什么要研究这种性质呢？这就要追溯到几百年以前先贤们的遐想了。好在拓扑学比微积分还是新得多，用不着言必称希腊，只要从莱布尼兹开始就行。莱布尼兹作为微积分的主要奠基者之一，对抽象符号有特殊的偏好。经过他深思熟虑以后的微积分符号系统，比如微商符号 dy/dx ，不久就把牛顿的符号系统比下去了。在 1679 年的时候，莱布尼兹突发奇想，尝试用抽象符号代表物体的几何性质，用以将几何性质代数化，通过符号的代数运算，由已有的几何性质产生新的几何性质。他不满意笛卡尔的坐标系方法，认为有些几何性质是跟几何体的大小无关的，从而不能直接在坐标系中予以体现。可能是由于这个想法太超前了，在他自己的脑子里也还只是混沌一片，而当年听到他这个想法的很多人，比如惠更斯，干脆就不予理睬。莱布尼兹在三百多年前想要建立的，是现在称为代数拓扑的学问，中间经过欧拉，柯西，高斯，李斯亭，莫比乌斯，克莱因，特别是黎曼和贝迪的思考和尝试，终于在 19 ， 20 世纪之交，由法国天才数学家庞卡莱悟到了。在这些先驱中，高斯名气最大，被称为数学王子；大家可能不太熟悉黎曼，其实他同高斯在数学史上的地位是相当的，他在19世纪中叶的很多想法直到现在还有着巨大的影响；莫比乌斯，他在数学上有很多贡献，不过他为世人所知还多半是因为用他的名字命名的奇怪曲面：莫比乌斯带。左边这个图就是莫比乌斯带，它的重要特性是，虽然在每个局部都可以说正面反面，但整体上不能分隔成正面和反面。这种曲面叫做单侧曲面。在这样的曲面上散步一定很别扭，哈哈。转载原创文章请注明，转载自：科学松鼠会本文链接: http://songshuhui.net/archives/1633.html; 个人分类: 数学|2538 次阅读|3 个评论

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