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刚刚有所了解的非线性动力学: xiaofeihappy 2010-11-18 19:47; 最近刚开始对非线性动力学有了一些简单的了解，突然感觉，所有的事物都很庞杂，很浩瀚...... 之前接触的知识都是，平衡态时如何如何，有什么原理什么公式什么定律。对于远离平衡的非线性动力学，完全没有概念。而且由于牛顿呈现给我们的有规律的有法可依的这种理论体系，已经占据了大脑的主要部分，并且当遇到问题时这种理论体系会很自然的主导我们的思路。至少对于我自身而言，都已经不会再去想远离平衡时，即使偶尔想到了也不认为在远离平衡时，科学还可以进行研究。现在想来，之前的想法的确可笑。我们知道在近平衡区是线性的，而远离平衡的区域是非线性的。就是在难以捉摸的非线性区，相关研究人员还通过研究发现了很多非线性动力学行为，如混沌、分岔、Turing结构、化学波等，并对这些现象进行了更为深入的研究。在相关的学习中，我印象最深的一句话是，混沌是貌似随机的确定性。即使在现实生活中，这句话也是很有启发性的。这也说明，不管是平衡态还是远离平衡的非线性区，都与人类本身的生活以及周围的环境的是息息相关的。大自然是庞杂的，是浩瀚的，但是大自然的方方面面也是紧密联系在一起的.......; 个人分类: 生活点滴|3499 次阅读|0 个评论

非线性方程参数的SAS－DUD法求解程序－Logistic Model: soilborne 2010-10-31 16:16; Dm'log;clear;output;clear;'; Options font=sasfont 8; DATA NEW; INPUT x y; cards; 0 9.6 1 18.3 2 29.0 3 47.2 4 71.1 5 119.1 6 174.6 7 257.3 8 350.7 9 441.0 10 513.3 11 559.7 12 594.8 13 629.4 14 640.8 15 651.1 16 655.9 17 659.6 18 661.8 PROC NLIN METHOD=DUD BEST=2; PARMS K=661 TO 665 BY 2 A=3 TO 5 B=-0.6 TO -0.4 BY 0.1; MODEL y=K/(1+EXP(A+B*x)); RUN;; 个人分类: 方法|6346 次阅读|0 个评论

第二届“非线性大气-海洋科学研讨会”即将在柳州召开: ldh 2010-10-17 09:06; 第二届非线性大气 - 海洋科学研讨会会议通知第二届非线性大气 - 海洋科学研讨会拟于 2010 年 11 月 24-28 日在广西柳州召开 . 第一届非线性大气 - 海洋科学研讨会已于 2008 年 11 月 12 日至 17 日在浙江奉化溪口胜利召开，会议取得了圆满的成功，中国科学院院士李崇银院士和穆穆院士亲临会议进行了指导。大会就大气科学和海洋科学中大家非常关心的非线性问题进了研讨，就非线性大气科学和海洋科学的发展达成了初步共识，大家一致认为大气科学和海洋科学中的难点问题的解决离不开非线性数学和物理学的发展，并一致决定每两年召开一次非线性大气 - 海洋科学研讨会 , 以提高我国大气科学和海洋科学的研究水平和学科交叉。本次会议由国家自然科学基金委员会，中国气象学会动力气象专业委员会，中国科学院大气物理研究所，中国科学院海洋研究所，中国海洋大学和柳州师范专科学校共同主办。会议将邀请大气海洋科学研究领域和数学物理研究领域的知名专家和青年学者参加。会议主要议题：介绍大气和海洋科学中的新观测结果以及相关非线性问题；应用非线性数学物理方面最新的研究成果解决有关大气和海洋科学中非线性问题的新方法和新途径。开会议地址 : 柳州市柳州华锡宾馆（柳州市桂中大道），房间价位：标间： 170-220 元 / 每天；豪华间： 370 元 / 每天，住宿自理。报到时间： 2010 年 11 月 24 日全天 . 请于 2010 年 11 月 10 日之前将回执 Email 中国海洋大学海洋环境学院刁一娜博士， Email: diaoyn@ouc.edu.cn ，电话（办）： 0532-82032*** ，手机： 13375585*** 。接站联系人（柳州白莲机场，南宁吴圩机场，桂林两江机场，柳州火车站）：柳州师专校：曾令宏副校长(总负责人），手机： 13607808*** 柳州师专校办：汪灵枝，手机： 18877228*** ；陈又华，手机： 15677215***; 个人分类: 科研心得|7726 次阅读|2 个评论

系统辨识之美: 热度 1 guanyinghui 2010-10-2 20:33; 系统辨识就是了利用输入输出数据得到与对象模型比较接近的模型，传统最小二乘要求比较苛刻，为了能让最小二乘适应其他环境例如有色噪声干扰的线性系统、强非线性系统等，那么我们就有必要对最小二乘算法做变形与改进。作者最近利用利用改进的最小二乘算法辨识单输入单输出非线性Hammerstein-ARMAX模型，利用同样的RLS算法做对比仿真，结果表明改进的最小二乘算法能够快速收敛于真值并且估计的参数精度较高。; 个人分类: 生活点滴|6766 次阅读|1 个评论

混沌浅说: Mech 2010-9-13 17:37; 发表于：身边的力学 ( 徐秉业主编 , 北京大学出版社 , 1997): 98-103; 个人分类: 科研科普|5105 次阅读|2 个评论

非线性问题研究中的数值实验(1993): Mech 2010-9-12 22:39; 发表于：自然杂志 , 1993, 17(6): 10-13; 个人分类: 往事钩沉|6080 次阅读|4 个评论

科学中混沌概念的演化(1991): Mech 2010-9-10 20:41; 发表于：自然杂志 , 1991, 14(8): 619-624; 个人分类: 往事钩沉|5218 次阅读|0 个评论

[转载]非线性计算软件: serenashi 2010-6-12 12:34; ADINA、NASTRAN、ANSYS、ABAQUS、MARC、COMSOL ADINA：非线性求解功能、流固耦合场求解功能，土木建筑、交通运输、石油化工、机械制造、航空航天、汽车、国防军工、船舶、以及科学研究等领域。 NASTRAN:MSC.NASTRAN大型通用结构有限元分析软件 ABAQUS:简单的线性分析到许多复杂的非线性问题 COMSOL:材料非线性，非线性求解器; 个人分类: 学习|4306 次阅读|0 个评论

请关注：非线性科学中一些尚未解决的研究问题: Fangjinqin 2010-6-4 14:17; 请关注：非线性科学中一些尚未解决的研究问题汇辑按语：这里由陈关荣教授汇辑了非线性的的开放问题约22篇文章,涉及众多领域/学科中的非线性难题，很值得一读。我估计可能会引起广泛的关注和兴趣。请大家阅读后，有兴趣者欢迎在这里开展讨论/评论。（方锦清）非线性的尚未解决问题汇辑( 1) 非线性的尚未解决问题汇辑 (2); 个人分类: 科学论坛|5496 次阅读|3 个评论

专题讨论班（周五）：非线性动力学与混沌（董成伟）: GrandFT 2010-4-24 16:03; 题目：非线性动力学与混沌（ Nonlinear Dynamics and Chaos ）时间： 2010.4.30 （周五）上午 10:00 地点： 16-308 主讲：董成伟参考书： S.H. Strogatz, Nonlinear Dynamics and Chaos (Perseus, 1994) 提纲： 2.4 Linear Stability Analysis 2.5 Existence and Uniqueness 2.6 Impossibility of Oscillations 2.7 Potentials 2.8 Solving Equations on the Computer 3. Bifurcations 3.0 Introduction 3.1 Saddle-Node Bifurcation; 个人分类: 专题讨论班|3050 次阅读|0 个评论

俺某年在清华讲座的官方报导: antiscience 2009-12-23 13:22; 刘华杰教授做客《清华新人文讲座》谈非线性系统中的浑沌及其启示 http://rwxy.tsinghua.edu.cn/show.asp?id=643; 个人分类: 生活点滴|3269 次阅读|0 个评论

从噗噗噔儿谈到非线性: 热度 4 武际可 2009-5-28 09:12; 从噗噗噔儿谈到非线性武际可噗噗噔儿，是一种甩玻璃吹制而成的玩具。吹制的办法是，先将玻璃拉成一根管子，然后将它的端部吹成一个球，最后趁玻璃还软，在一个微凸的平面上一摁，使底平面略向内凹，待冷却后即成。通常多为暗红色或红褐色。图1（b）是清朝同治光绪年间民间艺人画的彩色画北京民间风俗百图中的卖琉璃喇叭图，图中左筐上边即有几只噗噗噔，它的形状如图1（a）。图1（c）则是40年代的一张民俗剪纸，右筐上也插着几只噗噗噔。据日本学者林谦三的考证，噗噗噔大约在江户时代（1603～1867年）传入日本，称之为鼓珰（poppen）并附有一张插图（图1（d））。由于它的底薄如蝉翅，且略凹，玩的时候对着管端轻轻吹气，当内部气压略大时，底儿便变形而突然外凸，随之噗地一响；然后再吸气，随着内部压力减小，底儿又噗地一响变为向内凹，这样一吹一吸，便响个不停，很好玩。但是，由于这种玩具很易破碎，不小心能够划破皮肤，再加上新的电子玩具的出现，所以近几十年来生产很少了。早年它却很流行。它的名称很多，北京一带也称不不登、倒掖气、倒掖器、响葫芦；山西一带则称咯嘣儿、琉璃咯嘣儿；广东一带称料泡等。噗噗噔儿在中国发明得相当早，在明末刘侗、于奕正合写的《帝京景物略》中有记载：别有衔而嘘吸者，大声哄哄（hǒng），小声唪唪（běng），曰倒掖气。可见它的发明当不晚于明末。书中还记有一首儿歌，现录在下面：倒掖器，如瓶落阶瓶倒水。匀匀呼吸吹薄纸，吸少呼多瓶脱底。藏爹钱瞒爹眼里，迷糊琉璃厂甸子。儿迷糊，倒掖器，爹着汗，嬷着泪。这首儿歌的大意是：倒掖器玩起来，它发出的声音有如瓦盆掉在台阶上或小口瓶往出倒水，由于它很不结实，所以必须均匀地吹吸，就像吹一张薄纸一样，一不小心就会将底吹脱落，很容易吹坏。歌的后半阕是说一个淘气的小孩背着爹妈拿了钱去逛琉璃厂、厂甸，买倒掖器玩，结果害得爹为了寻他而汗流夹背，老妈妈急得哭泣。这里迷糊有迷恋与糊涂双关的意思。时间上大约是噗噗噔儿发明稍后，英国人胡克（R.Hooke，1635～1703年）在1660年发现了一条定律，并且于1676年发表了。这就是现在中学教科书上说的胡克定律，即：在材料的弹性极限内，弹性物体所受的力与变形成正比。如果用p代表外力，d代表变形量，则胡克定律可以表示成p=kd，这里k是与p和d都没有关系的常数。比虎克略早的法国数学家笛卡儿（Descartes，1596～1650年），在他41岁时，即1637年，发表了他的名著《几何学》，也就是后来解析几何的最早起源。书中认为在平面上建立了坐标系，任何一个两个变数的方程可以对应于平面上的一个图形。有了这个方法，胡克就可以将他的外力与变形的关系画在图上，结果是一条直线，所以后来也将胡克所描述的这种外力与变形的关系称作线性关系。胡克搜罗了他当时所能收集的许多例子加以研讨，结果都符合线性关系。其中有：螺旋弹簧，外力是拉力，变形是伸长；钟表发条，外力是中心轴的力矩，变形是中心轴旋转过的角度；一根悬吊的长长的线，外力是拉力（下端的重物），变形是伸长；木制的一端固定，另一端自由的梁（悬臂梁），外力是自由端所悬重量，变形是自由端铅直位移（挠度）。在所有这些例子中，线性规律都是成立的。据国防科技大学老亮教授考证，在我国东汉经学家郑玄（公元127～200年）在《考工记》注中，通过对弓的试验的注中，就已经有外力与变形成正比的记载。比胡克早了1400多年。噗噗噔儿虽然发明得比胡克出生还要早，可惜由于当时中西交通的阻隔，胡克小时候肯定没玩过这玩艺儿，否则他在总结他的定律时，恐怕要困惑不解了。如果将噗噗噔儿也看作一个在外部力作用下的变形物体，这里外力是内部空气的压强减去大气压，变形可以用圆形底部中心的位移来量，不妨设底部为平的时，变形为零。这时，外力与变形的关系不再是一根直线，而要复杂得多。对于噗噗噔儿的外力变形曲线来说，也可以将它画在平面上，令水平坐标表示变形d，铅直坐标表示压力p，图2曲线ABODC即是。设未吹气时，噗噗噔的状态处于A点，这时d是负的，表示底向内凹。随着吹气使内部压力增高，底也逐渐向外移动，当内部力P增加时，于是便使噗噗噔的状态到达B点。我们看到从B点，变形曲线是伸向BO段，但这一段上，压力必须下降，实际上我们还在继续吹它，不可能下降，于是噗噗噔的底部中心便直接跳向C点，然后若增加压力再沿DC段往上去。从B跳到C，噗噗噔的底儿瞬时便从凹形跳到凸形，发出一个清脆的响声。在B点，噗噗噔的状态发生突然变化，所以我们称B点为临界点。现在当噗噗噔状态处于C点，即底向外凸压力为正，如果减少压力，或轻轻吸气，则噗噗噔的状态又会沿CD段到达D点。这时再减小压力，噗噗噔的底儿便突然在压力不变的条件下，由凸变为凹，即从D返回到A点。我们看到在曲线ABODC上，BOD这一段也是外力变形曲线上的一小段，但却永远达不到。因为在这一段上，噗噗噔的平衡是不稳定的。噗噗噔儿发明得很早，可是关于它的变形的理论研究得却很晚。最早研究它的是1939年美国力学家冯卡门（von Karman，1881-1963）和他的中国学生钱学森。他们将这类问题简化为一个球壳在外压作用下的失稳问题。他们的兴趣当然不是为了噗噗噔玩儿，而是对某些飞机结构元件变形规律认识的要求。然而，噗噗噔儿的底儿在它向内凹或向外凸时，都可以看为一个球壳的一部分。所以卡门-钱的研究工作也可以用来解释噗噗噔儿的变形，它是一类弹性物体变形的代表。后来人们把这类有上下临界（如图2上B，D点）的变形曲线、变形的来回突然跳动称为弹性突跳。弹性突跳现象在工程与生活中有不少应用，现在电子计算机或计算器的按键就是利用弹性突跳元件，使得指头按上去压力达到一定，健接触时不拖泥带水。高压配电的电闸也是如此。有些工作部门还用它作为控制器，使压力高时达到临界值，通过弹性突跳打开阀门泄气，低时达到某临界值通过弹性突跳关闭阀门。噗噗噔儿也是弹性材料，但是它的外力变形曲线却为什么不是线性的，不服从胡克定律？原因很简单，胡克研究的对象都是相对小的变形。其实即使是噗噗噔儿，如在图上A点附近，它的变形曲线也可以近似看为线性的，用曲线过A点的切线代替即可；变形大了，曲线便拐弯了。所以虎克之后，为了保持胡克定律有较大的适用范围，人们修改了他的提法，加进两条限制：其一是严格限定在变形很小的情形；其二是将外力与变形改为应力与应变。应力与应变是指在变形体上割出一个无限小的单元上来讨论外力与变形关系的。在这两个条件下，大部分弹性体是满足线性关系的，即使我们的噗噗噔儿上的一个无限小元素也是服从线性关系的。人们将像噗噗噔儿的变形外力曲线称为非线性关系。非线性关系类型很多，也很复杂。整个自然科学的历史表明，任何学科发展的早期，最先总是将所得到的关系看作线性的，例如在电学中，电场强度与电感强度的线性关系；渗流中渗透压力与渗透流速度的线性关系；在热学中热流量与温度差的关系；在电工中电压与电流强度的关系，等等。早期都是线性的，随着研究的深入，都发现了非线性的修正。不仅如此，早期的社会生产，也近似用线性关系的经济学来讨论。手工生产，如打草鞋，生产量与人数是线性关系。后来进入大生产，一座现代化钢厂，钢产量与工人数便不是线性关系，人数少到一定数量便产不出钢来。大约在本世纪60年代，整个自然科学与社会科学各领域，大量提出并讨论非线性现象与问题，而且这些问题都有一些共同点，在数学描述上其非线性关系相同，且发生的现象也有某些可类比性。它比线性情形更复杂、更媚人，描述的现象更丰富，也更具有挑战性。这就是所谓当前我们称之为非线性科学。而且人们预期，20世纪人类仅仅是大量提出非线性问题。真正要解决，恐怕是下世纪的事。然而，非线性现象不管怎样复杂，也总得从最简单的情形开始研究。噗噗噔儿当是一种最简单的非线性现象。如果你想进入非线性的研究领域一显身手，不妨请你先对噗噗噔儿思考一下，它会告诉你许多许多。参考文献 1 老亮，我国古代早就有了关于力和变形成正比关系的记载。力学与实践，1987,9(1) 2 T.von Karman H.S.Tsien， The Buckling of Spherical Shells by External Pressure, J. Aeron.Sci.，Vol.7,43,1939 3 武际可，苏先樾，弹性系统的稳定性，北京，科学出版社，1994 最早刊登于《力学与实践》, 1997年06期，后收入笔者的科普文集《拉家常说力学》中。; 个人分类: 科普|12138 次阅读|5 个评论

世界上最大的赌博: dilingjun 2009-3-20 17:51; 从事石油天然气勘探工作近四十年了。从地质工到研究院的研究员以及油气勘探项目经理，凡和石油天然气勘探沾得上边工种可以说都干过，究竟参加了多少探井论证，勘定了多少井位，自己也记不清了。每当有人问及我是干什么的，我总是调侃道：搞赌博的，而且是世界上最大的赌徒！这句话对行外人来说很难理解。然而，对业内人士来讲，这话谁都不敢说不对！谁都不敢说这话不无道理。这是因为从石油天然气勘探所面对的客体来说，历尽沧桑变迁地球具有时间演变的漫长性，空间延拓的广阔性，地质体的的多层次性，地质现象的模糊性，地壳演化的多阶段性，以及地质事件的多解性，造就了地球物质系统的复杂巨系统。在这一系统内，常常存在一因多果，一果多因，综合因果等复杂现象，且人们只能看到结果而不能见到地质过程本身。因而把不同的可能的因或果组合到一起，就成为地质学探索活动的重要内容。赋存于这一复杂巨系统中的油气，埋藏在数千米的地下，蕴藏环境受亿年地质时代、各种地质条件所控制，加之油气是一种流体矿藏，有十分活跃的可动性，较之其它矿藏的寻找更具特殊性和巨大的风险性。迄今为止，人们对石油的存在状况和条件――从石油成因起都带由科学猜想的性质。这种地质的模糊性、流动的复杂性，使石油勘探处于一个复杂的黑箱之中。为解决此黑箱问题，依靠的是人们向黑箱输入的信息，如：生成、储集、封盖、圈闭、运移、聚集、保存等可靠、保真的信息，（缺一不可，且都是一票否决），以及人们从该黑箱得到的输出信息。正是由于地质体中非线性因素太多其变数信息太复杂，除非能够掌握全部的变数与信息，否则就存在着不可确定的因素和不可预知的风险。油气勘探中因某个伪信息的输入或工程因素而功亏一篑，被戏称为狗咬猪尿泡――空欢喜一场的事时有发生。另外，从找油技术手段上，无论多么精密的仪器其解释结果都是间接的。有时由于地面或地下各种干扰因素，即使再高精尖的仪器设备也无能为力。所以说，油气勘探无疑是一个非线性系统，既不是完全理性的，也无法对前景和未来作出百分之百正确的预测，在这黑箱内部环境中的那怕是最小的不确定性，都往往会产生不可逆转的后果，也许仅隔不长时间，刚预测出的重大成果就可能变成一派胡言了！这样的实例不仅在中国，在全世界石油勘探史上也不胜枚举。美国石油专家们曾对全球油气钻探的成功率进行过测算：常规油气藏的储量为一万亿桶，非常规油气藏的储量为23 万亿桶。常规方法的局限性日渐明显。而且即使那些被探明的构造圈闭或非构造圈闭，也不一定是有效圈闭。因此，钻探成功率长期徘徊在10％～20％左右。1942年皮尔逊对全球油气钻探成功率也做过统计即：任意钻井法（野猫子井） 5.8％，地质法8.2％，地球物理法14.1％。可见几十年了，尽管科学技术发展很快，但钻探成功率变化并不太大。油气勘探是对相当大面积上十分复杂的被掩盖的未知地质体的认识过程，是调动千军万马的实践活动；是一个高风险、高投入、高回报的商业冒险行业。由于地下地质情况复杂具有很大的冒险性和不可靠性，打空井在所难免――投资上千万元甚至数亿万元，如果钻井后找到了石油，财源就会滚滚而来。反之钻探费用就打了水漂。因此，油气勘探最后的成败往往取决于钻孔这一狭小的点上，就如大海捞针！从这样一个特殊的的探索过程和性质看，的确像是一场世界级的超级赌博。在某种意义上讲，称油气勘探是世界上最大的赌博，此话不无道理，道出了油气勘探的真谛。为慎重起见，本人对赌博一词专门查了词典：即对一个不确定的结果作出预测判断，并以所押的钱来为自己的决策承担后果。赌博的四要素：下注、竞争、不确定性和冒险。广义上讲，人们在面对任何不确定性而采取行动时，皆是是一种赌博行为。由此看出，油气勘探过程存在着极大的偶然性！简单的举一个例子：在一个区域或盆地打了数十口甚至上百口油气探井都没碰上油气，靠偶然几率，即瞎猫碰上死耗子，或歪打正着，碰上一口出油气的井。然后，什么神机妙算、英明决策、科学技术领先、理论创新、管理到位等等等等...，一经包装，顶级大奖就捧上了，见过好多不学无术的官员，所谓名士、专家爵号就是这么整出来的。总之，找油找气的石油地质理论是一种非线性理论、黑箱理论。即在一个已知的含油气盆地里，只要舍得投资，契而不舍，上下左右地反复钻探，总有一个幸运之人碰到运气，成为所谓的发现者！！说句难听话，从油气发现概率上讲：某些时候，教授、专家乃至更大的人物预测的结果和大黑猩猩区别并不是太大！对于偶然一词，波安卡来说：所谓偶然，是指导致某种现象发生的原因异常的复杂。斯宾诺莎说：偶然以此表达于我们的认识尚处于不完全的状态。罗布莱说：所谓偶然是人类对事物发生的原因无知的表现。当然，油气资源本身作为地球物质客体的组成部分，它的形成和发现具有极大的偶然性，随机事件的出现虽然不在预料之中，但必然性正是通过大量偶然现象表现出来的，无物不存在于系统之中，在偶然性后面常常隐藏着必然性。 B.B.波尔菲利也夫有一句名言：石油的本质问题是地质问题。从目前油气勘探的赌博性质来讲，亦是我们对地质学乃至于地质体中油气赋存的认识尚处于不完全清楚的原因所致。因此，对于地下油气的探索从必然王国到自由王国的过程仍有很长很长的路要走！最后，对目前的油气勘探现状从哲学角度做一形象的比喻作为本文的结束语吧：树叶从枝头落下是必然的。但怎样飘落，落向哪里，却是人和计算机无法解答的。即偶然。不过，人们可以推测出树叶飘落的大概位置。这就是所谓的概率。也就是说，目前石油钻探的成功与否仍是概率预测的范畴。说它是世界上最大的赌博，一点没错！; 个人分类: 观点评述|10440 次阅读|14 个评论

“认知模式和动力学系统的研究”简介: Mech 2009-3-8 22:24; 三位分别具有生理学、数学和动力学专业背景的学者 P. E. Rapp, T. I. Schmah 和 A. I. Mees 在很有影响的国际非线性研究刊物《物理 D 》 (Physica D, 1999, Vol. 132, pp. 133-149) 上发表文章认知模式和动力学系统的研究 (Models of knowing and the investigation of dynamical systems) ，概述了动力学研究模式 (paradigm) 的历史演化，着重阐述了近 20 年兴起的所谓算法建模，即从实验数据中重构相空间。该文除引言和结论外共分三节，分别讨论牛顿模式、定性理论和算法建模，最后附有 61 篇参考文献。该文以新的观点和视角扩展了动力学的内涵，使之可能应用于生物、社会等复杂系统，可以供诸多相关学科的研究人员阅读参考。牛顿模式对动力学系统的研究可分为两个基本步骤：微分方程的列写和求解。分析力学等的发展丰富了建立微分方程的方法，但方程的求解在理论和实际中均遇到困难。具有可用初等函数有限运算表示的闭合形式解的微分方程非常有限。某些微分方程可以得到无限级数表示的解，但其收敛性及其速度要专门研究，而收敛很慢的级数解对于理论研究和数值计算均意义不大。对具体初值问题可得到数值解，但在计算机充分发展之前数值解对于动力学系统的理解帮助甚微。牛顿模式有其无可置疑的历史和学术重要性，但其局限也日益突出。 Poincare 开创了动力学研究的一个新模式：定性理论。定性理论试图在无需得到微分方程精确解表达式的前提下，讨论相空间中解曲线的几何特征，如平衡点和极限环的存在性和稳定性等。定性理论模式的发展使得可研究的动力学系统大为扩展，不必局限于可得到精确解的系统。然而，定性理论模式也存在自身的局限，它虽然不需要解的闭合形式，但仍必须建立闭合形式的系统方程。若讨论的动力学系统不是物理系统，而是没有充分掌握规律而又非常复杂的生物、经济、社会系统等，这一问题更为突出。为进一步拓广可研究动力学系统的范围，新的研究模式 ¾ 算法建模应运而生。算法建模通常也称为动力学重构，是动力学系统理论与统计学、信号处理和计算机科学结合的产物。算法建模是在根据观测到的实验数据通过寻求适当的延迟坐标而重构的相空间中，确定一种算法，使得以初始的数据点为输入，可以相继得到其它的数据点。算法模型可分为局部和全局两种。在局部模型中，在相空间中任意点的预测仅受其小邻域中已知数据点的影响；在全局模型中所有数据点均影响预测结果。局部模型通常可由线性或多项式插值得到，相应的整个模型为分段线性或多项式。最简单的全局模型是线性回归。也可以推广线性回归的概念而利用多项式和其它基函数的线性组合进行非线性逼近。由一组观测数据所得到的动力学算法模型很可能是不唯一的，作者较为详细的阐述了好的算法模型应该具备的性质： (1) 与观测数据良好吻合， (2) 与已知系统特性一致， (3) 较为简单， (4) 能够有助于预测和理解系统的动力学行为。在结论中，作者预言，基于观测数据且不需要通常映射或微分方程表达式的动力学系统算法建模是动态分析成熟的关键和必经之路。正如几何方法的引入一样，算法重构将使可研究的问题大为增加。相空间重构等数据处理方法是非线性动力学的重要成果之一，有着普遍意义和广泛应用。由于系统是个有机整体，系统的状态变量之间存在着千丝万缕的联系。某个变量的时间序列虽然不可能包含原系统的全部信息，但它本质上具有系统整体的特性，包含系统其它变量的信息。算法建模即是通过一系列具体算法将隐含在部分变量时间序列中的原系统整体信息提取出来。它基于一个前提，时间序列是由基本上为确定性的系统产生，该系统的稳态运动由相空间中吸引子描述。许多实验系统，真实相空间的维数很高，甚至是无穷。但系统稳态运动对应的吸引子的维数未必很高。基于实验数据进行重构得到的相空间并非是原系统相空间，而是原系统吸引子嵌入的相空间，其维数往往大大低于原系统真实相空间的维数。限于该文的性质， Rapp 等的文章没有讨论时间延迟的选择、嵌入维数的确定等技术性问题，也没有包含最新的研究成果，但该文对算法建模的基本思想有非常清晰的阐述，并且从动力学模式演化的历史角度分析了算法建模的必要性和重要意义。算法建模的发展顺应并推进了动力学系统理论应用范围日益扩大的趋势，使得动力学分析能对探索复杂性这一当代科学的重要主题作出贡献。发表于力学进展 , 2000, 30(4): 622 转 596; 个人分类: 书文评论|4805 次阅读|0 个评论

《非线性动力学》序言: Mech 2009-3-2 13:17; 随着科学技术的发展，工程中的非线性问题日益突出。为此有必要在工程专业开设非线性动力学课程。这门课程要求工程专业研究生掌握非线性动力学的基本理论和分析、计算方法，并能初步应用理论分析和解决工程中的各种非线性动力学问题，同时也为深入研究非线性动力学提供必要的基础。本书主要讨论混沌和分岔问题，但也涉及动力学中的分形问题。全书除绪论外共分八章。第一章为非线性动力学的数学基础。第二章为混沌的概念、非线性动力学研究的数值方法概述和混沌的动力学数值特征。第三章为分岔的基本概念以及与混沌的关系。第四章为分形的基本知识、混沌吸引子的几何数值特征和动力学系统吸引盆的分析边界。第五章为非线性动力学实验研究的基本方法，包括从实验数据中重构相空间。第六章讨论混沌的解析预测问题。第七章叙述分岔的基本理论。第八章简述非线性动力学中若干专题内容，包括Hamilton系统中混沌、时空混沌、分岔问题的数值方法、随机系统的混沌和分岔以及混沌和分岔的控制。各章附有文献注释，以便于读者就感兴趣的课题深入研究，也可以作为教师布置课外作业和学期论文的参考。由于非线性动力学的文献浩如烟海，本书参考文献中主要列出相关教材、专著和综述评论性文章。全书正文可分为三个模块，第一章为非线性动力学的数学基础，随后四章为非线性动力学基本内容，后三章为非线性动力学专题内容。在本书中，作者力求贯彻以下意图： 1. 在基本内容和方法方面体现非线性动力学全貌，为今后应用和深入研究奠定基础。 2. 在某些专题性内容方面反映非线性动力学研究的新进展，也包括作者的一些工作。 3. 易于为工程专业学生接受，避免要求过多数学准备知识，只要具备工程专业常微分方程和振动力学的基本知识便可以掌握本书前五章主要内容和后三章的基本思路。 4. 关于数值计算问题，着重介绍各种算法的基本原理。利用电子计算机的解题训练可自编计算程序或应用已有的计算软件。本书为工程专业尤其是工程力学专业的研究生教学需要而编写，也可供其它对非线性动力学问题感兴趣的研究人员参考。除全书适用于一般非线性动力学课程外，本书前五章可适用于学时较少的非线性动力学课程。为便于读者阅读参考，本书各章逻辑关系如右图(从略)所示。为不同教学目的，可以选用相应内容。例如，第二、六两章和第一、三、四、五、八章部分内容适用于混沌动力学的课程，第七章和第一、三、五、八章部分内容适用于分岔理论的简明课程，而第四章和第一、五章部分内容适用于分形的导引性课程。本书的编写和出版得到了上海市研究生教育基金和中国建设银行湖北省分行尊师重教联合会研究生教育基金资助。与本书相关的研究工作得到国家自然科学基金、教育部博士学科点科研专项基金、中国博士后科学基金和上海市科技发展基金的资助。编写工作得到各方面的支持和鼓励，并且汲取了已出版的国内外非线性动力学著述的许多宝贵经验。北京大学力学与工程科学系朱照宣教授对本书科技译名进行认真审定。作者谨表示衷心感谢。初稿部分内容曾在上海交通大学工程力学系研究生和上海大学上海市应用数学和力学研究所博士生中试用。限于水平，书中的错误和不足之处恳请读者指正。 1999年6月; 个人分类: 著述前言|7588 次阅读|0 个评论

《非线性动力学》绪论: 热度 2 Mech 2009-3-1 14:48; 0.1 动态系统狭义而言，动态系统为依据力学原理所建立的描述机械或结构系统运动的微分方程组。一般地，状态随时间变化的工程、物理、生物、社会等系统也都可以称为动态系统 (dynamical system) ，简称系统 (system) 。状态 (state) 和时间 (time) 是构成动态系统的两个要素。动态系统由演化规律和初始条件时间描述。演化规律 (evolution law) 是系统状态与系统先前状态的依赖关系。初始条件 (initial condition) 是起始时刻的系统状态。动态系统可分为确定性和随机性两类。确定性系统 (deterministic system) 的特性可用时间的确定性函数给出。随机性系统 (stochastic system) 的特性不能用时间的确定性函数给出，只具有统计规律性。随机性系统一般含有随机性的初始条件、随机性的参数变化或随机性的外部激励，也可以更明确地称为外在随机性系统 (externally stochastic system) 。动态系统又可分为有限维和无穷维两类。有限维系统 (finite-dimensional system) 的状态可以用有限个参数表示。例如，由彼此分离的有限个质量元件、弹簧和阻尼器构成的有限自由度力学系统。无穷维系统 (infinite-dimensional system) 的状态必须用无穷多个参数表示。例如，由弦、杆、梁、板、壳等具有分布质量的可变形元件构成的无穷多自由度力学系统。动态系统还可分为连续时间和离散时间两类。连续时间系统 (continuous-tims system) 的时间是连续变化的，即时间在实数轴或其中某个区间上取值。离散时间系统 (discrete-time system) 的时间是不连续变化的，即时间在整数集合或其中某个子集上取值。为在不会引起混淆时可分别简称为连续系统 (continuous system) 和离散系统 (discrete system) 。系统状态随时间变化过程称为运动 (motion) ，也称为动力学行为 (dynamical behavior) ，甚至可简称为动力学 (dynamics) 。只在运动起始后较短的时间中发生的运动称为暂态运动 (transient motion) 。在充分长时间中进行的运动称为稳态运动 (steady motion) 。稳态运动也可能以暂态运动开始，暂态运动之后的运动称为渐近行为 (asymptotic behavior) ，或长期行为 (long-time behavior) 。对于确定性系统而言，通常人们认为除静止不发生变化外的有限渐近行为只有周期运动和准周期运动。然而研究发现也存在非周期运动。 0.2 非线性系统及其性质非线性系统 (nonlinear system) 是指系统状态的变化以一种复杂的方式依赖于系统先前的状态。这里所谓复杂的方式是除成比例、相差常量及其这两者组合之外任何其它方式。非线性动力学系统通常用非线性微分方程组或非线性差分方程组描述。不是非线性系统的系统称为线性系统 (linear system) 。线性系统状态的变化与该系统先前的状态成比例、相差常量或是两者的组合。与线性系统的特殊情形相比，非线性学系统具有若干更为复杂的性质。首先，线性系统研究中经常采用的叠加原理对非线性系统不适用，即非线性系统两个运动叠加的结果一般不是该系统的运动。其次，非线性系统运动的周期不像线性系统那样仅由系统特性确定，一般还与初始条件有关。第三，非线性系统可能具有多个平衡位置和稳态运动，系统的动力学行为既取决于这些平衡位置和稳态运动的稳定性，也与初始条件有关。第四，对工程中的非线性机械、结构和机电系统，系统的响应与激励频率存在复杂的依赖关系，而线性系统响应与激励的频率是相同的。最后，线性系统仅存在周期运动和准周期运动两种有限运动，非线性系统存在混沌等复杂运动现象。 0.3 非线性动力学的内容、方法和意义对非线性现象的研究需要多个学科的交叉。纯粹和应用数学理论如动态系统理论、奇异性理论、摄动理论等，理论和实验力学概念和方法如工程现象的力学建模、应用力学规律解释动力学行为、固体和流体系统实验研究等，以及电子计算机的数值和符号运算，均为分析非线性问题的重要工具。在多学科交叉的基础上，形成了非线性动力学这一新的分支学科。非线性动力学 (nonlinear dynamics) 研究非线性动力学系统各类运动状态的定性和定量变化规律，尤其是系统的长时间演化行为中的复杂性。对有限维系统而言，其主要内容包括混沌、分岔和分形。混沌是一种由确定性动力学系统产生对于初值极为敏感而具有内在随机性和长期预测不可能性的往复非周期运动。分岔是指非线性动力学系统的定性行为随着系统参数的改变而发生质的变化。分形是没有特征尺度而又具有自相似性的几何结构，用于描述破碎、不规则的复杂几何形体。非线性动力学的研究包括实验和理论两方面。实验研究分为实验室实验和数值实验两种，对于某些工程问题还需要进行现场实验。实验工作是理论结果的先导、补充和验证。理论研究可揭示非线性系统的基本性质和解释大量的具体现象，主要方法包括数学抽象、解析方法和拓扑方法。数学抽象不直接研究真正的非线性动力学问题，而是研究人为构建的数学结构，它具有某些类似于真实非线性系统的性质但结构上比较简单。具体的非线性系统的一些性质往往很难发现，除非已经知道发现这种性质的可能性，一般的数学抽象正可以揭示这种可能性。解析方法是种定量方法。非线性系统的精确解析解通常涉及非初等函数 ( 如椭圆函数 ) 的引入和研究，但能够得到精确解的非线性系统极为有限。更常用的是谐波平衡法、摄动法、平均法、渐近法和多尺度法等近似解析方法。拓扑方法是种定性方法，从几何观点描述系统的动力学行为。解析方法和拓扑方法可以互相补充，拓扑方法可以得到动力学系统大范围的结果，定量方法可以对一个确定的小范围给出定量结果。混沌等非线性动力学问题的研究具有深刻的理论意义。在混沌现象广为人知以前，对自然界的描述分成随机性和确定性截然不同的两类，确定性系统具有决定论的性质。混沌研究的兴起促使人们重视有限性的问题，即随机检验只能在有限的时间和频率中进行，真实物理量的精度都是有限的。随着对确定性混沌理解的深入，机遇、因果、决定论等人类认识自然的基本概念和范畴需要重新认识。非线性动力学的研究导致了一种新的实验方式，数值实验的产生和广泛应用。非线性动力学的研究也促进了数学、物理、力学中相关学科的发展。随着研究的深入，非线性动力学也日益在工程技术、生物医学和社会科学中显示出广阔的应用前景。非线性动力学在近 20 年来不论从深度到广度都以空前的速度发展，成为当前非常活跃的力学分支。同时它与其它科学和工程中的非线性研究紧密联系，构成非线性科学的一个重要方面，成为现代科学技术的重要前沿领域。 0.4 非线性动力学发展简史人们对非线性问题的认识至少可以上溯到 1673 年 C. Huygens 对摆的研究，他观察到单摆大幅摆动对等时性的偏离以及两只频率接近时钟的同步化两类非线性现象。 1687 年 I. Newton 发表的运动定律表明动力学问题本质上是非线性的。但直到本世纪 30 年代才有非线性力学这一名称，内容是经典的非线性振动理论。而非线性动力学这个名称在 70 年代中后期才逐渐使用，以概括对混沌、分岔等问题的研究。上世纪末 H. Poincare 的工作为非线性动力学的发展奠定了基础。 Poincare 开创了动力学问题研究的一个全新方向：定性理论。在 1881 年至 1886 年的一系列论文中，他讨论了二阶系统奇点的分类，引入了极限环概念并建立了极限环的存在判据，定义了奇点和极限环的指数。在此之前的 1879 年，他建立了分岔研究中其重要作用的范式理论的雏形。 1885 年他研究了分岔问题。 1890 年他证明了不可积系统的存在。 1892 年他论证了摄动法的合理性，为促进了非线性系统近似解析方法的研究。 1894 年他发现了伴随横截同宿点产生的复杂运动现象。 1905 年他明确地阐明了对初值敏感依赖而导致的不可预测性。本世纪 20 年代以来对非线性系统与线性系统的本质差别已有所认识。 1918 年 G. Duffing 和 1926 年 B. van der Pol 对典型非线性振动系统的研究揭示了次谐振动、自激振动等非线性系统的特性。 1929 年 A. A. Andronov 将 Poincare 的极限环概念与自激振动建立了联系，他随后对平面系统的定性特征进行了系统的研究。在三、四十年代， N. M. Krylov 、 N. N. Bogoliubov 和 Y . A. Mitropolskii 等发展了非线性系统近似解析方法。对混沌现象的广泛研究促使非线性动力学迅速发展。就不可预测性的物理概念而言， 1955 年 M. Born 和 1964 年 L. Brillouin 分别阐发 Poincare 的思想而指出经典动力学系统中存在产生于不稳定性的不确定性。就非周期性的数学描述而言， 1921 年 H. M. Morse 引进了符号动力学方法， 1963 年 S. Smale 构造了马蹄映射。近可积保守系统的非周期性运动产生机制由 A. N. Kolmogorov 在 1954 年所揭示，他的结论后来由 V . I. Arnol'd 和 J. Moser 严格证明而称为 KAM 定理。计算机的发展为混沌研究提供新的手段。一系列重要的数值结果验证了混沌的存在，包括 1963 年 E. N. Lorenz 的简化热对流模型、 1964 年 M . Henon 和 C. Heiles 的 2 自由度保守系统模型、 1973 年上田和林千博的受迫非线性振动模型以及 1976 年 Henon 的存在奇怪吸引子的 2 维映射模型。奇怪吸引子的概念是 1971 年 D. Ruelle 和 F. Takens 提出的。 1975 年李天岩和 J. A. Yorke 尝试对区间映射给出混沌的数学定义。 1976 年 R. M. May 对 1 维映射中复杂动力学行为的研究使得混沌受到普遍关注。 70 年代后期，混沌与分岔和分形相交融，使得非线性动力学的研究工作更加深入和广泛。本世纪 70 年代原来独立发展的分岔理论汇入非线性动力学主流之中。分岔现象的发现可以上溯到 1729 年 P. Musschenbrock 对压杆失稳实验的观察， 1744 年 L. Euler 从挠曲线角度进行了理论分析。固体力学中将这类分岔称为屈曲。 1877 年 Lord Rayliegh 开始发展分岔的数学理论，并在 1883 年利用系统参数的分岔成功地解释了 1831 年 M. Faraday 和 1868 年 Matthiessen 关于振动流体实验的不同结果。 1883 年 O. Reynolds 发现在临界数时层流转变为湍流的现象，这种运动分岔在流体力学中称为转捩。 1885 年 Poincare 的工作标志分岔理论的创立。 1938 年 Andronov 和 L. S. Pontryagin 建立了分岔和动态系统结构稳定性的关系。作为数学分支，分岔理论在 60 年代已基本形成。 1972 年 R. Thom 宣传的突变理论曾使得分岔理论中的奇异性方法受到广泛注意。 1971 年 Rulle 和 Takens 提出环面分岔进入混沌，到 1982 年这种进入混沌的途径基本清楚。 1978 年 F. J. Feigenbaum 所发现倍周期分岔进入混沌途径普适规律受到广泛注意。 1980 年 Y. Pomeou 和 P. Manneville 发现了伴随鞍结分岔的阵发性进入混沌的途径。这些工作建立了分岔和混沌的联系。本世纪 70 年代开创的分形几何对非线性动力学的发展和普及起了重要作用。 1880 年 Poincare 和 F. Klein 关于自反演的工作已涉及分形的若干方面。 1875 年 H. J. S. Smith 构造的集合 ( 由于 G. Cantor1883 年的工作而习惯上称为 Cantor 集合 ) 和 1904 年 H. von Koch 设计的曲线是分形的典型例子。 1918 年 F. Hausdorff 定义了维数，它不必局限为整数。本世纪 20 年代， P.Fatou 和 G. Julia 通过对复变映射的研究对揭示分形现象作出重要贡献。 1975 年 B. B. Mandelbrot 开创了分形几何以处理具有自相似性和无标度性的破碎几何形体， 80 年代以后引起公众对非线性现象尤其是分形的极大热情。 80 年代初分形被用以刻划奇怪吸引子。 80 年代中、后期分形被用以描述多吸引子系统吸引盆的边界。 0.5 非线性动力学的工程应用工程系统中广泛存在着非线性因素，如电场力、磁场力、万有引力等非线性力 (nonlinear force) ，法向加速度、哥氏加速度等运动学非线性 (kinematics nonlinearity) ，非线性本构关系等材料非线性 (material nonlinearity) 和弹性大变形等几何非线性 (geometric nonlinearity) 。因此工程实际中的问题大多应该模型化为非线性系统。传统上采用线性化或等效线性化将非线性系统处理成线性系统，但仅限于一定的范围。当非线性因素较强时，用线性理论得出的结果不仅误差过大，而且无法对一些实际现象作出解释。早在 1940 年，现代力学的开创者 Th. von Karman 就发表了综述文章《工程师们和非线性问题打交道》，在总结当时力学各分支学科非线性问题研究成果的基础上，强调非线性问题在工程中的重要性。随着现代科学技术的发展，工程结构日益大型化、高速化和复杂化，使得非线性效应必须加以考虑。电子计算机的迅速发展和广泛应用以及动态测试和在线数据处理技术的进步也使工程中的非线性问题的研究成为可能。非线性动力学在工程问题的研究中也起着愈来愈重要的作用。非线性动力学在工程中的重要性体现在以下几个方面。非线性动力学表明简单的数学模型可能产生复杂的动力学行为，因而可应用于时间序列的非线性建模和预测以及控制。非线性动力学揭示了不规则的噪声信号可能产生于低阶的确定性非线性系统，从而为噪声的抑制提供了新的思路。非线性动力学对于系统全局和长期性态的分析结果，可用于数值仿真结果可靠性的研究。非线性动力学还为实验研究提供了新的概念和方法，在传统的频谱分析之外可以测量确定识别混沌运动的一些特征数值。工程中的非线性动力学问题千差万别，然而解决的途径往往具有共同性。其共同的前提是建立系统的数学模型。建立系统数学模型的方法可分为两类。一类是理论建模，从已知的原理、定律和定理出发，通过机理分析发现工程问题的内在动力学规律，推导出相关参数的解析关系。另一类是实验建模，直接从工程系统运行和试验数据辨识出所涉及参数的关系。在工程系统的数学模型的基础上，可以对系统进行分析、仿真、优化和控制。非线性动力学作为一门力学的分支学科，重点讨论系统模型的分析，但对系统的实验建模也略有涉及。; 个人分类: 著述前言|14148 次阅读|2 个评论

非线性动力学发展历史概述: Mech 2009-2-26 17:57; 人们对非线性问题的认识至少可以上溯到 1673 年 C. Huygens 对摆的研究，他观察到单摆大幅摆动对等时性的偏离以及两只频率接近时钟的同步化两类非线性现象。 1687 年 I. Newton 发表的运动定律表明动力学问题本质上是非线性的。但直到本世纪 30 年代才有非线性力学这一名称，内容是经典的非线性振动理论。而非线性动力学这个名称在 70 年代中后期才逐渐使用，以概括对混沌、分岔和分形问题的研究。混沌的历史已有大量研究，但分岔的历史发展较少涉及。本文拟概述非线性动力学的历史发展，依据史料除个别原始文献外，主要取自部分重要论文的结集和专著。 1 Poincare 的奠基性工作和对非线性现象的早期认识上世纪末 H. Poincare 的工作为非线性动力学的发展奠定了基础。 Poincare 开创了动力学问题研究的一个全新方向：定性理论。在 1881 年至 1886 年的一系列论文中，他讨论了二阶系统奇点的分类，引入了极限环概念并建立了极限环的存在判据，定义了奇点和极限环的指数。在此之前的 1879 年，他建立了分岔研究中其重要作用的范式理论的雏形。 1885 年他研究了分岔问题。 1890 年他证明了不可积系统的存在。 1892 年他论证了摄动法的合理性，为促进了非线性系统近似解析方法的研究。 1894 年他发现了伴随横截同宿点产生的复杂运动现象。 1905 年他明确地阐明了对初值敏感依赖而导致的不可预测性。本世纪 20 年代以来非线性振动的研究使得对非线性系统与线性系统的本质差别已有所认识。 1918 年 G. Duffing 和 1926 年 van der Pol 对典型非线性振动系统的研究揭示了次谐振动、自激振动等非系统系统的特性。 1929 年 А．А．Андронов 将 Poincare 的极限环概念与自激振动建立了联系，他随后对平面动态系统的定性特征进行了全面的研究。在 20,30 年代， Н．М． Крыло в , Н．Н．Боголюбо в 和 Ю．А．Митропольский 等发展了非线性系统近似解析方法。 2 混沌的研究对混沌现象的广泛研究促使非线性动力学迅速发展。就不可预测性的物理概念而言， 1955 年 M. Born 和 1964 年 L. Brillouin 分别阐发 Poincare 的思想而指出经典动力学系统中存在产生于不稳定性的不确定性。就非周期性的数学描述而言， 1921 年 H. M. Morse 引进了符号动力学方法， 1963 年 S. Smale 构造了马蹄映射。近可积保守系统的非周期性运动产生机制由 А . Н . Колмогоров 在 1954 年所揭示，他的结论后来由 В . И . Арнольд 和 J. Moser 严格证明而称为 KAM 定理。计算机的发展为混沌研究提供新的手段。一系列重要的数值结果验证了混沌的存在，包括 1963 年 E. N. Lorenz 的简化热对流模型、 1964 年 M. Henon 和 C. Heiles 的 2 自由度保守系统模型、 1973 年上田和林千博的受迫非线性振动模型以及 1976 年 M. Henon 的存在奇怪吸引子的 2 维映射模型。奇怪吸引子的概念是 1971 年 D. Ruelle 和 F. Takens 提出的。 1975 年李天岩和 J. A. Yorke 尝试对区间映射给出混沌的数学定义。 1976 年 R. M. May 对 1 维映射中复杂动力学行为的研究使得混沌受到普遍关注。 70 年代后期，混沌与分岔和分形相交融，使得非线性动力学的研究工作更加深入和广泛。 3 分岔的研究本世纪 70 年代原来独立发展的分岔理论汇入非线性动力学主流之中。分岔现象的发现可以上溯到 1729 年 P. Musschenbrock 对压杆失稳实验的观察， 1744 年 L. Euler 从挠曲线角度进行了理论分析。固体力学中将这类分岔称为屈曲。 1877 年 Lord Rayliegh 开始发展分岔的数学理论，并在 1883 年利用系统参数的分岔成功地解释了 1831 年 Faraday 和 1868 年 Matthiessen 关于振动流体实验的不同结果。 1883 年 O. Reynolds 发现在临界数时层流转变为湍流的现象，这种运动分岔在流体力学中称为转捩。 1885 年 Poincare 的工作标志分岔理论的创立。 1938 年 Андронов 和 Л．С．Понтрягин 建立了分岔和动态系统结构稳定性的关系。作为数学分支，分岔理论在 60 年代已基本形成。 1972 年 R. Thom 宣传的突变理论曾使得分岔理论中的奇异性方法受到广泛注意。 1971 年 Rulle 和 Takens 提出环面分岔进入混沌，到 1982 年这种进入混沌的途径基本清楚。 1978 年 F. J. Feigenbaum 发现了倍周期分岔进入混沌途径的普适规律。 1980 年 Y. Pomeou 和 P. Manneville 发现了伴随鞍结分岔的阵发性进入混沌的途径。这些工作建立了分岔和混沌的联系。 4 非线性动力学中分形的研究本世纪 70 年代开创的分形几何对非线性动力学的深入和普及都起了重要作用。 1880 年 Poincare 和 F. Klein 关于自反演的工作已涉及分形的若干方面。 1875 年 G. Cantor 构造的集合 ( 事实上，由 Smith 于 1875 年首先发明 ) 和 1904 年 H. Von Koch 设计的曲线是分形的典型例子。 1918 年 F. Hausdorff 定义了维数，它不必局限为整数。本世纪 20 年代， P.Fatou 和 G. Julia Fatou 和 Julia 在复变映射的研究中对揭示分形现象作出重要贡献。 1975 年 B. B. Mandelbrot 开创了分形几何以处理具有自相似性和无标度性的破碎几何形体， 80 年代以后引起公众对非线性现象尤其是分形的极大热情。 80 年代初分形被 E. Ott , D. Farmer , P. Grassberger , I. Procaccia 等众多研究者用以刻划混沌运动在相空间中对应的奇怪吸引子。 80 年代中、后期， S. W. McDonald , C. Grebogi , E. Ott , J. A. Yorke 等用分形描述多吸引子系统吸引盆的边界，并提出了不同于混沌的初值敏感性的终态敏感性概念。分形的概念也在继续发展。多重分形和胖分形概念都应用于动力学。 5 结束语从历史发展看，对非线性现象的研究需要多个学科的交叉。纯粹和应用数学理论如动态系统理论、奇异性理论、摄动理论等，理论和实验力学概念和方法如工程现象的力学建模、应用力学规律解释动力学行为、固体和流体系统实验研究等，以及电子计算机的数值和符号运算，均为分析非线性问题的重要工具。在多学科交叉的基础上，形成了非线性动力学这一新的分支学科。随着对非线性动力学研究的深入，机遇、因果、决定论等人类认识自然的基本概念和范畴需要重新认识。非线性动力学的研究导致了一种新的实验方式，数值实验的产生和广泛应用。非线性动力学的研究也促进了数学、物理、力学中相关学科的发展，同时也日益在工程技术、生物医学和社会科学中显示出广阔的应用前景。参考文献 1 陈立群，刘延柱。非线性动力学。上海：上海交通大学出版社， 1999 2 Gleick J . 张淑誉译。混沌：开创新科学。上海：上海译文出版社， 1990 3 陈立群。科学中混沌概念的演化。自然杂志， 14,8(1991) : 619-624 4 Hao Bai-Lin . Chaos II . Singapore : World Scentific , 1989 5 Cvitanovic P . Universality in Chaos , 2nd ed. . Bristol : Adam Hilger , 1989 6 Abraham R , Marsden JE . Foundations of Mechanics . Massachusetts : Benjamin , 1978 7 Kuznetsov YA . Elements of Applied Bifurcation Theory . New York : Springer-Verlag , 1995 8 Mandelbrot BB . 陈守吉，凌复华译。大自然的分形几何。上海：上海远东出版社， 1998 9 Hurd AJ . Fractals : Selected Reprints . College Park MD : Amer. Asso. Phys. Teacher , 1989 10 陈立群，刘延柱。振动力学发展历史概述。上海交通大学学报， 31 , 7(1997) : 132-136 11 陈立群。非线性问题研究中的数值实验。自然杂志， 16,6(1993) : 10-13 发表于《长白学刊》1999年第5期184-185页; 个人分类: 往事钩沉|11051 次阅读|0 个评论

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