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《数学辩证法》3.5 自然数的有限性: 热度 1 fanxshan 2015-9-21 11:31; 　　　　 3.5 自然数的有限性　　自然数有没有上限？这个问题同样争论了几千年。　　在对自然数进行了唯物主义的定义之后，自然数就存在着上限。　　毫无疑问，自然数的上限应该等于宇宙中基本粒子的总个数，这个数字虽然不易准确确定，但可以粗略地估算。然而，即使是最粗略的估算，哪怕误差达到100倍，1000倍，在数学中已经足够了。对于数学家与哲学家来说，确定它是否存在才是最重要的问题。至于它到底是多少，有多大的误差，已经无足轻重。　　一个氢原子的质量约为1.66×10 -27 千克；基本粒子的质量约为1.66×10 -36 千克。有数据称宇宙的总质量为1.513×10 54 千克，由此可求出宇宙中基本粒子的总数约为9.11×10 89 个，可近似看作1×10 90 个。因此，自然数是有界的，其所有成员可表示为一个集合　　{0，1，2，3，……，1×10 90 } 　　太阳系的总质量为1.99166×10 30 千克，相当于基本粒子的数量1.22×10 66 个。在太阳系范围内，自然数系所有成员可表示为集合　　{0，1，2，3，……，1.22×10 66 } 　　根据万有引力的计算结果，地球的总质量约为5.9722×10 24 千克，相当于基本粒子的数量为3.6×10 60 个。因此在地球上，自然数系所有成员可表示为集合　　{0，1，2，3，……，3.6×10 60 } 　　必须说明，这种估算是粗略的、暂时的。随着天文学的发展以及人类对物质结构认识的深入，最小粒子的质量以及宇宙、太阳系、地球的质量将越来越精确，不同密闭空间内自然数系集合的上限值也会随之变化，但集合的下限值0会保持不变。　　数学毕竟是人类的工具。是否方便使用，不仅取决于工具本身，还取决于具体的应用环境。对于一个木匠来说，其常用尺寸基本局限在1毫米～2米之间，拥有一把最小刻度1毫米、总长度为2米的钢卷尺已经能够满足绝大多数要求，没有必要使用又大又重的5米或20米规格的钢卷尺，更没有必要随身携带一把长达5亿米的钢卷尺。也就是说，无论尺的规格如何，只要基本刻度相同，长尺和短尺对于应用本身基本上没有影响。同理，人类的日常生活绝大多数局限于地球范围之内，将地球看作一个封闭的小“宇宙”，对于一般数学计算已经绰绰有余。　　所以，无论全宇宙、太阳系还是地球范围内，自然数在局部总是有限的，这一性质称为自然数的“局部有限性”。; 1432 次阅读|2 个评论

《数学辩证法》3.6 自然轴: fanxshan 2015-9-21 11:23; 　　 3.6 自然轴　　基本粒子除了质量之外，还有一定的尺寸。设基本粒子为球形，则每个粒子都有着确定的直径。将许多基本粒子排成一条直线，就形成了长度，可以间接表达粒子的数量，于是数轴出现了。这一数轴称为“自然轴”，上面均匀分布着许多点，分别代表0，1，2，3，4，……，1000，……，1×10 30 ，……，1×10 90 。如图3-1所示。　　自然轴是数学中最早、最原始的数轴，它第一次将“数”与“形”有机地结合起来，自然数系中“点”、“线”的概念产生了。　　不难理解，自然数系中“点”的最小直径约为1×10 -18 米，“线”的最小宽度亦约为1×10 -18 米，“面”的最小面积约为1×10 -36 平方米，“体”的最小体积约为1×10 -54 立方米。　　自然轴上1厘米的长度约由1×10 16 个基本粒子组成，也可以说，1厘米的自然轴长度上约有1×10 16 个自然数，即1亿亿。　　由于自然数的物质性，作为自然数载体的点、线、面、体、球都不是抽象的而是具体的。它们不仅有最小尺寸，而且还有最小重量、最小线密度。　　另外，由于自然数、自然轴的不连续性，当用于表达物质运动时就遇到了困难。　　在图3-1中，设有一乌龟沿着自然轴从左向右运动，在10秒的时间内，从自然轴的0位置爬到了1位置。问：在第6秒的时刻，这个乌龟处于什么位置？　　可能有人毫不迟疑地回答：0.6。　　但是，在自然数系中，0.6这个数值不存在，因此这个答案是错误的。运动具有连续性、无限性，无法表达物质的运动正是自然数的特性之一。　　; 1076 次阅读|0 个评论

《数学辩证法》3.4 “死亡之源”: fanxshan 2015-9-19 23:02; 　　　　3.4 “死亡之源” 　　唯心主义是怎样定义自然数1的呢？我们不妨择其“出彩”者列在下面，供大家观摩、欣赏、玩味。　　1891年，33岁的意大利数学家皮亚诺创造了一个专门的公理系统来定义自然数：　　（1）1是一个自然数；　　（2）1不是任何其他自然数的后继者；　　（3）每一个自然数a都有一个后继者；　　（4）如果a与b的后继者相等，则a与b也相等；　　（5）若一个由自然数组成的集合S含有1，又若当S含有任一数a时，它一定也含有a的后继者，则S就含有全部自然数。　　小学生学数学是从自然数1开始的。我们不敢想象，面对7岁的儿童，数学老师该如何向孩子们解释清楚皮亚诺大师的“1”？该如何向孩子们解释什么叫“集合”，什么叫“后继者”，什么叫“若当”，什么叫“含有”，什么叫“属于”！　　当孩子们问为什么1+1=2时，老师们通常会这样解释：你左手拿一个苹果，右手拿一个苹果。现在把两只手放在一起，瞧！这不是2个苹果吗？　　但这样的解释在皮亚诺们看来，是完全错误的。这样的老师根本就不懂数学，是误人子弟！　　在1+1为什么等于2的问题上，正统的数学家们给出的“标准”答案是这样的：　　根据皮亚诺公理（1），1是一个自然数；又根据皮亚诺公理（3），每一个自然数a都有一个后继者。故可知1的后面一定是2，于是1+1=2。证明完毕。　　在数学家们看来，1+1之所以等于2，其原因既不在于人类日常生活以及科学实践的千万次反复验证，也不在于它是一个无法否认的客观现实，而是缘于皮亚诺公理的存在，是皮亚诺公理的出现才使得1+1=2具有了数学上的逻辑性、合理性与合法性！　　不过，比起“20世纪最伟大的哲学家、数学家”罗素来，皮亚诺对自然数“1”的定义还是太小儿科了。在名著《数学原理》中，罗素、怀特海二人将自然数1定义为。　　这一定义不仅能够即刻惊呆十来岁的小伙伴们，也足以让学富五车、见多识广的科学泰斗们心跳加快、血压升高、头晕目眩、两腿发软、站立不住，立即承认自己是数学白痴。庞加莱曾嘲讽地说：对于从未听过数字1的人来说，这的确是一个令人赞叹的定义。　　学生们对唯心主义数学的反应如何呢？　　据《扬子晚报》报道，2015年2月5日，武汉市的董女士在其10岁女儿晶晶的书包里发现一首手写的小诗，题目为“数学是死亡之源”。诗是这样写的：　　数学是死亡之源，　　它像入地狱般痛苦。　　让孩子想破脑汁，　　让家长急得转圈。　　它让校园死气沉沉，　　它使生命慢慢离去。　　生命从数学中走去，　　那是生命的敌人…… 　　原来，这首诗是晶晶和另外两个同班女生一起创作的。她们三个人都非常不喜欢数学。　　我们能责备这3个孩子吗？　　不能。　　分辨香和臭是人类的本能，是一个正常人与生俱来的本领。人的年龄越小，受到的后天污染就越少，人的感觉器官就越灵敏。　　3个小女孩对现代数学的厌恶与恐惧，不是她们的智力或能力有问题，而是人类健康的感觉器官与思维系统对臭气熏天的唯心主义数学体系所做出的迅速、准确、正确、真实、自然的反应。; 685 次阅读|0 个评论

《数学辩证法》3.3 自然数的载体: fanxshan 2015-9-19 22:55; 　　　　3.3　自然数的载体　　自然数载体的存在性被证实之后，下一个问题是：那个载体是什么？　　古希腊唯物主义哲学家德谟克里特提出：世界的本原是“原子”与“虚空”。原子是不可分割的物质微粒，是一切物质的组成成分或单位；它的基本属性是绝对的充实性，内部没有任何空隙；同时，由于它太小，因而是看不见的。“虚空”则是原子运动的场所和必要条件。他还认为：原子只有形状、大小和排列方式的不同，而没有性质的差别。　　不难发现，德谟克里特所说的“原子”就是我们正在寻找的自然数的载体，它具有均一性和不可分割性。因此，德谟克里特的“原子”就是自然数的基本单位“1”。　　德谟克里特还认为：由原子构成的物质在“虚空”中运动。物质是微粒性的、不连续的，而物质的运动是无限可分的，连续的。　　“虚空”就是什么也没有。它与“有”对立。“虚空”可以用特殊的数学符号“0”来表示。　　于是，数学的两大基本元素1和0诞生了。　　最简单的物质体系是一个原子与“虚空”所构成的体系。　　数字1表示单个原子，数字0表示“虚空”、“无”。　　物质既不能凭空产生，也不能被消灭。因此，“有”与“无”之间的界限是分明的，二者之间有着不可逾越的鸿沟。　　反映在数学上，0与1之间什么也没有。　　有了自然数1，也就有了2、3、4、5、6、7、8、9、10等，于是自然数系诞生了。　　德谟克里特想象中的“原子”，原意指的是“不可再分割的最小微粒”。现代课本上的“原子”这一名称，被化学家们用来表示满足物质特性的基本粒子。例如铁原子、氧原子、铜原子。物理学家们发现，这些原子仍然是可分的。原子还可以分为原子核与电子，原子核又可以分为质子与中子。因此，现代科学中的原子概念与德谟克里特定义的“原子”概念已经有了显著的区别。当然这不能责怪德谟克里特，只能责怪近代化学家、物理学家，他们自以为发现了德谟克里特定义的不可再分的“原子”，后来才发现自己错了。　　据物理学家的最新研究，最接近德谟克里特“原子”定义的物质，现在的名称叫“夸克”，是一种基本粒子，其直径约为1×10 -18 米，质量约为氢原子质量的十亿分之一，即1.66×10 -36 千克。　　将单个基本粒子夸克定义为自然数“1”，那么这个数字1就具有了特定的含义——仅仅代表单个基本粒子，而不是任何其他东西。相应地，自然数2代表2个基本粒子，自然数3代表3个基本粒子，以此类推。　　自然数“1”的物理意义不是恒定不变的。随着科学技术的发展，物理学家可能发现比夸克更小的基本粒子，数学中自然数“1”的定义也自动随之而变，更新、更小的基本粒子也将自动承担起作为自然数“1”的载体的神圣使命。　　宇宙万物都是由基本粒子组成的，尽管它们在宏观上有外观、结构、功能和数量上的不同。由于粒子同时可以看作“自然数”，因此也可以简单地说宇宙万物都是由“数”组成的，“万物皆数”，这正是毕达哥拉斯学派思想的精华。　　不妨对式（2-1）作一个简单的数学处理：等号两边同时立方，再同乘以物质密度。于是等号左边就是某个宏观物体，等号右边就是一个数字与基本粒子重量的乘积。这就是“万物皆数”的数学表达式。　　在毕达哥拉斯、德谟克里特之后，另一位数学大师欧几里得在其不朽名著《几何原本》中，给出了自然数“1”的唯物主义的定义：一个单位是一切事物凭借它存在的基础，被称为一。　　2000多年后，德国数学家克罗内克声称：“上帝创造了自然数，其余都是人造的。”，这是另一种形式的“万物皆数”，与毕达哥拉斯学派遥相呼应。　　根据物质世界的特性来确定0、1的意义，并以这两个数字为基础构成自然数系，是数学唯物主义区别于其他数学流派的显著的、重要的特征。　　在人类历史上，数学唯物主义第一次将德谟克里特、毕达哥拉斯、赫拉克利特、芝诺、亚里士多德、欧几里得的学说融为一个和谐的整体，并且为现代物理尤其是量子力学奠定了坚实的数学基础。; 810 次阅读|0 个评论

《数学辩证法》3.1 自然数的特征: fanxshan 2015-9-19 22:46; 　　 3.1　自然数的特征　　自然数都有哪些特性呢？　　日常生活中单个物品之间数量的计算，一般都是通过自然数来进行的。　　3只大羊+5只小羊=8只羊　　3只公鸡+5只母鸡=8只鸡　　3只白兔+5只黑兔=8只兔　　3棵杨树+5棵柳树=8棵树　　3名男生+5名女生=8名学生　　3个苹果+5个桃子=8个水果　　考察了上面的实际应用之后，不难发现自然数的2个特性。　　（1）均一性。使用自然数时，必须忽略个体之间的差别。　　（2）不可分割性。使用自然数时，涉及的对象都是整体，不能一分为二、一分为三等。　　因此，自然数具有均一性和不可分割性。　　在历史上，自然数很可能是在人们清点物品的过程中模糊地产生的。那么，这些日常物品是否具备自然数的全部特征呢？或者说，日常物品是否自然数的真正载体呢？　　答案是否定的。　　一个最直接的原因，日常生活中的物品常常是可分的，不能满足自然数不可分割的特性。例如，1棵树可以锯成2段，一个苹果可以切成3块，一只大羊的体重相当于5只小羊。　　其次，日常物品作为自然数的载体时，具有不确定性。　　假设古人有一只羊和一只鸡，羊的重量是鸡重量的大约20倍。如果一只羊用自然数1表示，那么比羊轻得多的鸡就无法用自然数表示，羊和鸡的总重量也无法用自然数表示。　　遇到这种情况，较好的办法是用较小、较轻的物品作为自然数1。这样，较大、较重的物品就是一个大约的倍数，近似等于一个大的自然数。在前面的问题中，如果一只鸡用1表示，那么羊的重量就是20，羊和鸡的总重量就是21。　　但问题并没有结束。当鸡与比它更小、更轻的物品比较时，新问题又出来了。　　如果以鸡作1，那么比鸡轻得多的鸡蛋的重量就无法表示；　　如果以鸡蛋作1，那么比鸡蛋轻得多的蚂蚁的重量就无法表示；　　如果以蚂蚁作1，那么比蚂蚁轻得多的蚁卵的重量就无法表示。　　所以，日常生活中的普通物品不可能是自然数的真正载体。　　人们之所以能够利用自然数来进行日常生活中鸡、兔、水果的计算，其原因在于鸡、兔、水果在某些特定情况下满足了自然数的特性。具体地说，就是当不考虑个体差别、不考虑个体残缺的情况下，鸡、兔、水果等物品可以近似地看作自然数的载体，近似地用自然数来计算。　　自然数的真正载体是什么？在自然界中，是否存在一种物体，能够同时满足自然数的2个条件呢？　　; 1038 次阅读|0 个评论

0是自然数吗？: 热度 17 曹 2014-1-16 19:10; 哪位大侠回答以下问题？（1）0是自然数吗？（2）自然数的说法从何而来，为何叫“自然数”？其对应的英文是啥？; 个人分类: 科普|13725 次阅读|18 个评论

数学唯物主义基本原理（v3.03）（隐藏）: fanxshan 2013-12-25 15:10; 本人新书《数学辩证法》即将出版，为避免与旧内容混淆，误导网友，从即日起，相关博文改为隐藏状态（自己可见）~~特此记之——2015.7.30 本文现在扩充到10万字以上，下一版称4.0版，已经不适合在此公布。何时公布，尚未确定。现改为好友可见。【阅读提示】本次更新内容：复数与历史唯物主义( 第8章之 10)；集合数(第9章)，向量数( 第10章 )、矩阵数( 第11章 )。文章较长，增加了目录后称3.03版本。上一版本（v2.10）改为好友可见。【摘要】从辩证唯物主义立场出发，对数学的基础、时空观、芝诺悖论、无穷、数的连续性以及各种数的现实意义、数系间的相互关系等重大历史问题进行了深入探索，形成了完整的理论体系，创立了数学唯物主义。研究表明：（1）将数学建立在什么基础上的问题，是数学的根本问题。建立在物质世界及其运动基础上的是数学唯物主义，建立在几何公理或其它公理系统上的是数学唯心主义。（2）芝诺悖论表明：时间与空间具有完全不同的数学特征，空间有限而时间无限,必须单独进行描述。数学中只允许潜无穷而不允许实无穷；（3）空间是物质的存在方式，时间是物质运动在人脑中的反映；（4）数的本质是量子化的、不连续的。自然数1代表一个基本粒子，具有不可分割性、物质性与绝对性；有理数由自然数演化而来，正数、负数、虚数和复数皆由有理数演化而来；集合数、向量数以及矩阵数是数的扩充与推广，是广义数。新数的产生是人类实践活动在数学中的反映，是一个不以人的意志为转移的社会历史进程；（5）自然数是一个有限集合；以自然数集合为基础可以构造出任意集合包括潜无穷集合；（6）无理数表示不存在的、有缺陷的事物，它是一种近似、一个过渡、一个半成品，不是合法的数；（7）各数系间存在着换算关系。“负负得正”、“虚虚得负”即是两数系间换算关系的体现；（8）现实生活中存在着大量事物，必须用虚数和复数来表示；（9）数学中的复数概念与哲学中的矛盾概念严格对应。将复数形式引入哲学，可以使哲学数学化；（10）辩证唯物主义是马克思主义哲学的主体，历史唯物主义与数学唯物主义是辩证唯物主义的重要应用。【关键词】数学唯物主义自然数有理数虚数复数矛盾无穷 20 世纪初，经过牛顿、法拉第、赫兹、麦克斯韦、惠更斯、安培、瓦特、焦耳等大师前后几百年的共同努力，物理学的宏伟大厦正沐浴在金色的晚霞之中。然而，“晴朗的天空远处漂浮着的两朵小小的、令人不安的乌云”——麦克耳 - 莫雷实验以及黑体辐射实验，最终演化为一场惊天动地的暴风骤雨。在这场伟大的革命中，旧理论土崩瓦解，新理论应运而生，并引导物理学进入了一个辉煌的新世纪。同一时期的数学领域，存在的问题与物理学基本相同，但却少了些幸运。几何、代数、微积分、复变函数已经相当成熟，数学大厦看起来稳如泰山，数学家们所要做的，不过对前人已经基本完工的大厦做些修补、之后来一次彻底的装修，使它看起来更加漂亮。 1900 年 8 月，希尔伯特在巴黎国际数学家代表大会作了一个专题报告，提出了 23 个有待解决的数学问题，正是这种心态的直接反映。然而没有一个人注意到，晴朗的数学天空中一直漂浮着两朵乌云——负数和虚数，几个世纪以来一直徘徊不散。如果将数学比做一栋建筑，那么“数”就是最基本的建筑材料——砖块。在对砖块的性能、参数缺乏基本了解的情况下，就盲目地盖起高耸入云的摩天大楼，其所带来的危害及后果，是难以想象的。数学的第一朵乌云：负数的本质以及关于“负负得正”的证明。在历史上，围绕着“负数是不是数”的问题曾经有过长时间的、激烈的争论，反对派中不乏著名的数学家。据多篇文献称：法国数学家、物理学家帕斯卡认为从 0 中减去 4 纯粹是胡闹；《大术》的作者卡尔丹给出了方程的负数根，但他认为那是不可能的解，负根是虚无的，不过是一些记号而已；“代数学之父”韦达不承认负数；解析几何的创始人笛卡尔也只是部分地接受负数。在很长的时间里，西方人带着怀疑的心情看待负数，并称其为“伪数”、“假想数”、“不可能数”等等。尤为严重的是，无论数学家们怎样努力，始终无法从理论上证明“负负得正”这一看似极为简单的命题。数学的第二朵乌云：虚数的现实性。自从遭遇负数开平方以来，人们逐渐接受了虚数的概念并努力寻找它的现实意义，但一直未能成功，没人能够说清它代表什么，这在数学的历史上还是第一次。学者们在谈及虚数时，为了掩饰尴尬，甚至不惜借助于妖魔鬼怪。 1702 年，德国数学家莱布尼兹宣称：“ 虚数是美妙而奇异的神灵的避难所，它几乎是既存在又不存在的两栖物。” 1770 年，欧拉这样评价虚数：“ 一切形如、的数学式，都是不可能有的、想象的数，它们纯属虚幻。 ” 几个世纪以来，虚数以及它的孪生兄弟复数通过数学渗透到多个研究领域，已经成为现代科学体系中不可分割的重要组成部分。然而，虚数和复数的现实意义长期得不到明确，不仅损害了数学的严谨性，阻碍了现代科学的健康发展，同时也是对哲学的严峻挑战。但数学家们对此视而不见。两朵小小的乌云在数学王国蔚蓝的天空中已经漂浮了 500 年。它们能否像物理学的两朵乌云一样，也带来一场翻天覆地的疾风暴雨，荡尽历史的污垢与尘埃，让数学得到新生？遗憾的是，做为数学界的领军人物，希尔伯特不仅看不到数学面临的深刻危机，反而使数学蒙受一场更大的灾难——由康托尔一手炮制的建立在实无穷基础之上的集合论，让所有的数学家跌入了这个烂泥塘里。当其它专业的科学家们大踏步地向着未知领域进军的时候，数学家们却在这个烂泥塘里苦苦挣扎，再也爬不出来，成为科学大军中的落伍者。在一片迷惘之中，数学家们甚至忘记了自己的任务是开拓未知世界，竟然将自己手中的工具——数学本身当然研究的对象，钻进逻辑的怪圈中不能自拔，最后不仅不清楚自己在做什么，甚至忘记了自己是谁。唯心主义数学家的代表人物伯特兰·罗素甚至荒谬地认为：数学是这样一门学科，在其中我们永远不会知道自己所讲的是什么，也不知道我们所说的是不是真的。他在《我的哲学发展》一书中无可奈何地表达了对数学的失望：一直以来，我希望在数学中找到的绝对的确定性已经消失在一个令人困惑的迷宫之中。数学家 M ·克莱因比较清楚地看到现代数学没落的根源以及所面临的尴尬：研究导致了研究，由此又导致了研究。在今天的数学殿堂中，已没有人敢问及意义及目标……厚厚的象牙塔挡住了深居其间的学者的视线，而这些与世隔绝的头脑也满足于孤立的境地。在一次次歇斯底里的幻觉之中，数学家们陷入一场集体的、疯狂的自恋，制造出大批极度抽象、与现实生活绝无丝毫联系的、任何人也无法验证其真伪的“定义”、“定理”，包装成最新的“理论”，强行推销给年轻的大学生们，让他们精神崩溃。所有这一切，表面上是康托尔的集合论所引起的。但真正的罪魁祸首，应当归结于另一个更古老的概念——无穷。伟大的数学家高斯在 1831 年写给舒马赫的信中指出：我反对把无穷量作为现实的实体来用，在数学中这是永远不允许的。早在康托尔的无穷集合论刚刚出现的时候，就引起了部分头脑清醒的数学家的高度警觉。康托尔过去的老师、德高望重的德国数学家克罗内克（ Leopold Cronecker ）就是其中之一，他坚决反对无穷集合论，并利用自己的威望和影响，在自己的有生之年，尽一切努力阻止无穷集合论的散布与传播，甚至直接称康托尔为“ 科学骗子、叛徒、毒害青年的人 ”。著名法国数学家彭加勒（ Henri Poincaré ）则宣称：后人将把（康托尔的）集合论当做一种疾病。如今，克罗内克和彭加勒的担心已经变成残酷的现实。以康托尔的无穷集合论为标志的近代数学不仅没有给社会带来进步，相反却成了数学知识体系中一颗巨大的毒瘤，阻碍着数学的健康发展，摧残着一代又一代年轻人。网络上流传着一则短文《一位数学专业女生大学毕业前的感慨》，道出了无数人的心声——那是对近代数学“成就”的血泪控诉： “数学分析要上三个学期从头到尾都是极限、无穷 / 每次做完一道题我都要注视着太阳升起的方向 / 问自己永远有多远！！！！” “学完定与不定积分后还有曲线积分重积分曲面积分 / 各种第一型第二型各种联系各种搞不清 / 收敛还分条件收敛绝对收敛一致收敛” “近世代数很薄很小很贴身 / 晚上睡觉也不怕翻身一觉睡到大天亮 / 你不翻开这本书你永远不知道它有多坑爹 / 整本书都是定义有木有 / 我的价值观世界观爱情观人生观被践踏得体无完肤” “应用随机过程从第二页开始就看不懂了 / 看了很多遍还是看不懂 / 师兄说随机过程学了随机编以后考试随机过 / 实变函数与泛函分析从第一页就看不懂了 / 因为学长说实变函数最起码要学十遍 / 如果下次还能遇到这么难的书你就再相信一次爱情不要放弃 / 先哭一会……” 数学，这个曾经神圣、辉煌的科学王子，已经堕落、沉沦，重病缠身，卧床不起。数学，靠它自己的力量已经无法走出泥坑。但是，有谁能够拯救数学呢？唯一能够担些重任的只有哲学。确切地说，是马克思主义哲学。伟大的革命导师马克思、恩格斯创造性地将唯物主义应用于辩证法，创立了马克思主义哲学的核心——辩证唯物主义。又运用辩证唯物主义的原理考察了人类社会发展的历史，创建了历史唯物主义。本文依据辩证唯物主义、历史唯物主义的基本原理考察数学，得到了一批重要的结论，形成全面、系统的理论体系，称为“数学唯物主义”。数学唯物主义的本质不是数学科学，而是数学领域的唯物主义哲学，其使命不是发现或揭示数学规律或事实，而是要对人类已经形成的数学概念用唯物主义观点进行系统的哲理反思与结构透视，去粗取精、去伪存真，由此及彼，由表及里，揭示其内在规律，达到对数学科学深层次的认识与理解，阐述数学科学的本质，并对辩证唯物主义、历史唯物主义理论体系的数学化提供技术支持。一、时空的本质马克思主义哲学认为，整个世界以一定的形式按照自己的规律永恒地运动着。世界上的万事万物统一于物质，人类社会是物质世界的重要组成部分。运动的物质又以时间和空间作为自己的存在方式。物质运动总要持续一定的时间并且占据一定的空间，离开时间与空间的物质运动是不存在的。欲描述空间、时间，首先要弄清它们的性质。 1.1 芝诺悖论古希腊学者芝诺留下了 4 个悖论，其中有 2 个著名的悖论：（ 1 ）阿基里斯追不上乌龟。阿基里斯与乌龟有一段距离，二者同时出发向同一个方向运动。阿基里斯到达乌龟的出发点A后，乌龟已经到达了新点B。当阿基里斯到达点B时，乌龟又已经到达了点C。如此反复，阿基里斯总是追不上乌龟。（ 2 ）飞箭不动。每一件东西在占据一个与它自己相等的空间时是静止的。飞着的东西在任何时间总是占据着与它自身相等的空间，因此它也是静止的。生活中的芝诺，一定不会蠢到真的会相信“阿基里斯追不上乌龟”，也不会相信飞箭真的不动。他的本意是通过这两个悖论表达这样的信息：人类关于时空的概念存在着严重的内在缺陷。天才的芝诺通过“阿基里斯追不上乌龟”的悖论反对了时空能无限分割的观点，又通过“飞箭不动”这个悖论反对了时空不能无限分割的观点。通过这两个悖论，芝诺将人类已有时空观的内部矛盾做了充分的展示与深刻的揭露。古希腊历史学家普罗塔克曾写下这样的诗句：大哉芝诺，鼓舌如簧；无论你说什么，他总认为荒唐。人类早就认识到无穷这一概念，亚里士多德将无穷分为“实无穷”与“潜无穷”。所谓“实无穷”，就是认为实在的物质可以无限可分，如《庄子·天下》篇中的“ 一尺之捶，日取其半，万世不竭 ”。所谓“潜无穷”，是把无限看作不断生长的、永远没有终点的过程。例如宇宙的年龄。两种无穷具有本质区别：实无穷是已经完成的整体，而潜无穷是永远处于构造中的、不断生长着的整体。芝诺悖论的诡秘就在于巧妙地利用了人类时空观的内在缺陷，即达到颠倒黑白的效果，又让人无可奈何。因此，解决芝诺悖论的关键，在于重新认识并彻底改造现有的时空观。仔细分析芝诺的 2 个悖论可以发现：“阿基里斯追不上乌龟”悖论表明：必须禁止对空间（长度）进行无限分割，但对时间没有限制；“飞箭不动”悖论要求对时间进行无限分割，但对空间没有限制。这就意味着，只要对空间和时间分别使用不同的尺度进行数学描述，就可以避免芝诺悖论！也就是说，只要人类不将潜无穷应用于空间量如长度、面积、体积、数量、质量、重量上去，只将潜无穷用于时间或物质的运动，就可以避免芝诺悖论。所以，在数学中，对空间量（包括长度、面积、体积、重量等）的数学描述所用的数系必须是量子化的、不连续的；对时间的描述所采用的数系一定是连续的、无间断的、可任意分割的并且不存在最小值、最大值。 1.2 数学的出发点到那里去找描述时间和空间的数系呢？在这个问题上，数学家们分成了两派。一派坚持用人的感觉、人的经验来创造数系。他们从日常经验出发，从人的手指出发，创造了自然数 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 、 6 、 7 、 8 、 9 、 10 等基本数字，形成了自然数系，并以此作为数学的起点。之后，数学家们将整个数学体系建立在数量有限的几条公理之上。这些公理完全依赖于人的经验和认识，具有强烈的主观性。因此，这一派称为数学唯心主义——人类几千年的数学史，正是沿着这条路线发展、演化的，并且一直走到今天。另一派人坚持从自然界本身寻找数系。他们认为最原始的数字应该是客观的，宇宙本身一定存在着适合于描述空间与时间的数系。人类的任务不是创造数的尺度、而是从自然界中把数找出来，作为构建整个数学的基础与起点。将整个数学体系建立在物质世界的基础上，这一派称为数学唯物主义。也可以说：数学唯物主义与数学唯心主义的最初分歧，是从对自然数 1 的认识与定义开始的。 1.3 时空的天然尺度对于空间而言，能够直接做为自然数系使用的物质应该满足 3 个条件：（ 1 ）客观存在；（ 2 ）个体之间无差别；（ 3 ）不可分割。不难发现，唯一全部满足这些条件的物质，只能是物理学家们发现并已经证实的最小的、不可分割的基本粒子。因此，基本粒子构成了数学中最基础的数系——自然数系。自然数系中的 “ 1 ”就代表 1 个基本粒子，“ 2 ” 代表 2 个基本粒子，依次类推。相比之下，人类寻找自然界中时间的天然尺度就不太容易。时间是什么？这个问题争论了几千年，到现在也没有定论。马克思主义认为：任何运动都是一个过程，都有始态与终态。这个运动过程被人所认识、所感觉，在人的大脑中就体现为时间。因此，时间是人类特有的概念。没有人，就没有时间。在人类诞生之前，宇宙只有物质和物质的运动，没有时间。自从人类出现以后，时间与运动就像一张纸的两面一样密不可分。有运动就有时间，有时间就有运动。物质的运动是永恒的，因此时间也是永恒的。物质处于永恒的运动之中，这种运动是不以人的意志为转移的。人类无法阻止它，改变它。因此，人类也无法改变时间，既不能回到过去，也不能超越到将来，只能任时间悄然流逝。时间，是物质运动的化身，是人与自然相互作用的神奇产物。人类意识到物质运动的那一刻，是时间的起点。时间的出现，是物质运动的新纪元，它为宇宙的物质运动打上了人类文明的烙印。宇宙在时间中演化，人类在时间中成长。描述时间，不仅需要定性的简单描述，而且需要定量的精确描述。人类需要一个稳定可靠的时间之尺，来度量世间万物的运动。经过几百万年的持续考察，人类最终选择了地球的自转运动做为时间的基本尺度。地球相对太阳自转一周称为 1 天，又将一天分为 24 小时，再将 1 小时分为 60 分钟，将 1 分钟分为 60 秒，之后再分为毫秒、微秒等。地球的运动是人类时间的基本尺度。地球的运动是单向的、均匀的、连续的、不停顿的、非阶梯跳越式的、可无限分割的，因此人类的时间也单向的、均匀的、连续的、不停顿的、非阶梯跳越式、可无限分割的。无论把时间间隔定得多么小，事物的始态与终态总是有所不同——物质一刻不息地在运动。物质运动的这种特性在物理学中称为“惯性”。假如运动不是连续的而是间歇的，会发生什么呢？哪怕地球的自转仅仅突然停顿 1 毫秒，巨大的惯性（动量）也将使地球的结构在瞬间解体！因此，物质的运动必须连续，必须均匀、必须无限可分！反映在数学上，用于描述时间或物质运动的潜无穷必须存在。惯性、运动、时间三个概念源于同一个事物——物质。唯一的区别在于：惯性、运动是客观存在，是物质的自然属性，而时间是人的意识，是物质运动在人类大脑中的反映。用物质的最小单位描述空间，用物质的惯性描述时间。马克思主义的时空观是空间有限与时间无限的统一。建立在这个基础上的数学就是数学唯物主义，它只有潜无穷，而没有实无穷。于是，数学、物理、化学、哲学、生物 5 大学科第一次有了共同的基础与起点——物质世界。二、自然数 2.1 基本粒子与自然数系自然数是一个整数系列： 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 ， 9 ， 10 ， 11 ……。传统观点认为： 1 是自然数的基本单位。数字 1 是从人们的日常生活中抽象出来的。一个苹果、一座房子、一只鸡、一头猪、一条狗…… 1 就是这些具体事物中抽象出来的共同属性。这种定义显然是有缺陷的。 1 ）做为数学的基础元素，上面的定义具有不确定性。世界上没有两片完全相同的树叶，也没有两个完全相同的苹果。如果拿来 100 个苹果，其中必然有大有小。到底其中哪一个做为基准？是大一些的，还是小一些的？ 2 ）抽象性。从苹果、房子、鸡、猪、狗这些事物中抽象出 1 来之后，就与这些具体事物脱离失去了联系，其概念只能保存在人的大脑中。 3 ）上面的定义依赖于人的判断，具有主观性。由主观性决定的东西，离开了认识的人，那个概念也就不存在了。依据唯心主义对自然数的理解，完全可以做出这样的推测：如果人类不存在，自然界就不会有自然数。 4 ）苹果、鸡、猪、狗等都可以再分割成更小的单位，自然数系无法表示半个苹果、半只鸡等实际存在的事物。因此，传统观点对于 1 的认识是自相矛盾的、不科学的。根据前面的分析，作为自然数系起点 1 的应该就是宇宙中最小物质单位，它具有物质性、同一性和不可分割性。据物理学家的研究，目前已知最小的基本粒子是夸克，直径约为 1 × 10 -18 米，质量约为氢原子质量的十亿分之一，即 1.66 × 10 -36 千克。将单个基本粒子夸克定义为自然数“ 1 ”，那么这个数字 1 就具有特定的含义——仅仅代表单个基本粒子，而不是任何其它东西。相应地， 2 代表 2 个基本粒子， 3 代表 3 个基本粒子，依此类推。自然数“ 1 ”的物理意义不是恒定不变的。随着科学的发展，物理学家可能发现更小的基本粒子，自然数“ 1 ”的定义也随之自动更新。数学家克罗内克有一句名言：“ 上帝创造了自然数, 其余都是人造的。” 其可贵之处在于用唯心主义的术语（上帝）表达了唯物主义的思想内容。事实证明，在研究微观领域内基本粒子的行为时，必须使用量子化的描述方可以正确描述粒子的行为，物理学家们称这种新学科为量子力学。从本质上来说，量子力学就是以自然数为基础的数学，或称“量子数学”。 2.2 勾股定理勾股定理被尊为“ 人类最伟大的十个科学发现之一 ”，是数形结合的重要纽带，在西方被称为毕达哥拉斯定理，有 400 余种证明方法。相传是古希腊数学家、哲学家毕达哥拉斯（ Pythagoras ）于公元前 550 年首先发现的。然而在自然数系里，数与数之间是间断的，不连续的，量子化的，勾股定理不成立。在自然数系里，三角边的各边必须是整数。就像不允许折断的火柴棒一样，用它们构建直角三角形是相当困难的。例如， 3 根火柴棒只能构建一个等边三角形， 4 根火柴棒无法构建三角形， 5 根火柴棒只能构建一个边长分别为 2 ， 2 ， 1 的等腰三角形，它们都不是直角三角形。如果强行让两条边垂直，那么第三条边将不封闭，不能构成完整的三角形。在自然数系中，勾股定理仅在极少数情况下成立，因此不具有普遍性。用 12 根火柴棒能够构建一个边长为 3 、 4 ，斜边为 5 的直角三角形；用 30 根火柴棒能够构建一个边长为 5 、 12 ，斜边为 13 的直角三角形；用 84 根火柴棒能够构建一个边长为 12 、 35 ，斜边为 37 的直角三角形。传统几何学证明：圆的直径与圆上任意一点构成的三角形为直角三角形。在自然数系中勾股定理不成立，其影响波及到圆。实验发现，直径为 10 （自然数）的圆，其周长介于 31 与 32 （自然数）之间，因而这个圆是有缺陷的。反过来，当其周长恰好是一个自然数时，其直径一定不是自然数。所以，用自然数系来描述圆时，周长与直径不能同时存在。周长与圆直径之比不是自然数。在自然数系中，圆周率（圆周长与直径的比值）这个概念是有缺陷的念。毕达哥拉斯学派认为一切自然现象均可归结为整数或整数之比，但学派成员希伯索斯根据勾股定理并通过逻辑推理发现，边长为 l 的正方形的对角线长度既不是整数，也非整数比所能表示，这使当时的希腊数学家们感到空前的压力。相传希伯索斯因这一发现被投入海中淹死，这就是第一次数学危机。 2.3 自然数的有限性自然数有没有上限？这个问题争论了几千年。在对自然数进行了唯物主义的定义之后，自然数就存在着上限。毫无疑问，自然数的上限应该等于宇宙中基本粒子的总个数，这个数字虽然不易准确确定，但可以粗略地估算。然而，即使是最粗略的估算，哪怕误差达到 100 倍， 1000 倍，在数学的实际应用中已经足够了。对于数学家和哲学家来说，知道它存在就足够了。至于它到底是多少，有多大的误差，已经无足轻重。有数据称宇宙的总质量为 1.513 ×10 54 千克；一个氢原子的质量约为 1.66 × 10 -27 千克；基本粒子的质量约为氢原子质量的十亿分之一，即 1.66 × 10 -36 千克。由此可求出宇宙中基本粒子的总数约为 9.11 × 10 89 个，可近似看作 1 × 10 90 个。因此，在人类目前认识到的宇宙范围内，自然数是有界的，其定义域约为［ 1 ， 1 × 10 90 ］。太阳系的总质量为 1.99166 × 10 30 千克，相当于基本粒子的数量为 1.2 × 10 66 个。在太阳系范围内，自然数系的定义域约为［ 1 ， 1.2 × 10 66 ］。根据万有引力的计算结果，地球的总质量约为 5.9722 × 10 24 千克，相当于基本粒子的数量 3.6 × 10 60 个。因此在地球上，自然数的定义域为［ 1 ， 3.6 × 10 60 ］。必须说明，这种估算是粗略的、暂时的。随着人类对物质结构认识的深入，最小粒子的质量以及宇宙、太阳系、地球的质量将越来越精确，不同空间内自然数系定义域的上限值也会随之变化。但定义域的下限值1在数值上保持不变。数学毕竟是人类的工具，是否方便使用，不仅取决于工具本身，还取决于具体的应用环境。对于一个木匠来说，其常用尺寸基本局限在１毫米～ 2 米之间，拥有一把最小刻度 1 毫米、总长度为 2 米的钢卷尺已经能够满足绝大多数要求，没有必要使用又大又重的 5 米或 20 米规格的钢卷尺，更没有必要随身携带一把 5 亿米的钢卷尺。也就是说，无论尺的规格如何，只要基本刻度相同，长尺和短尺对于应用本身基本上没有影响。同理，人类的日常生活绝大多数局限于地球范围之内，将地球看作一个封闭的小“宇宙”，对于一般数学计算已经绰绰有余。可以看出，无论全宇宙、还是太阳系、还是地球范围内，自然数在局部总是有限的，这一性质称为“ 局部有限性 ”。 2.4 自然轴基本粒子除了质量之外，还有一定的尺寸，设基本粒子为球形，则每个粒子有着确定的直径。将许多基本粒子排成一条直线，就形成了长度，可以间接表达粒子的数量，于是数轴出现了。这一数轴称为“自然轴”，上面均匀分布着等距的点，分别代表1，2，3，4，5，6，……，1000，……， 1 × 10 30 ，……， 1 × 10 90 。自然数犹如茫茫大海中高出水面的一列桥墩，桥墩与桥墩之间距离完全相同，且排列成一条直线。自然轴是数学中最早出现的数轴，它使“数”与“形”得以有机地联系起来，数学中“点”、“线”的概念产生了。数学中“点”的最小直径约为 1 × 10 -18 米， “线”的最小宽度约为 1 × 10 -18 米， “面”的最小面积约为 1 × 10 -36 米 2 ， “体”的最小体积约为 1 × 10 -54 米 3 。数轴上 1 厘米的长度由 1 × 10 16 个基本粒子组成，也可以说， 1 厘米的数轴长度上有 1 × 10 16 个自然数，即 1 亿亿。由于自然数的物质性，数学中的点、线、面、体、球都不是抽象的而是具体的。它们不仅有最小尺寸，而且还有最小重量、最小线密度，这与传统数学是根本不同的。自然数的量子性还将彻底改变人们的传统数学知识。例如，直线、圆都不是连续的，而是由一系列点模拟而成的。两条直线形成的夹角不能任意小，必须满足结构上的要求——即构成夹角的基本粒子不能被压缩或重叠；不能用尺规将一个任意角二等分等等。三、有理数人类发现了自然数系之后，也就拥有了对世间万物进行计量的能力。但人们很快发现，自然数系对于人类的日常生活而言，实在是太不方便了。经过几百万年进化形成的人类，成人高度约在 1.6~1.8 米，体重 50~80 千克。人类的活动范围，步行的话在几十千米以内。人所能发出的操纵力，一般在 100 千克以下。如果用数学中的自然数系来表示 1 千克大小的物体，相当于 6 × 10 35 个基本粒子。对于人类而言这个数字实在是太大了，无论在书写还是发音方面，都令人无法忍受。为了改进这个缺点，人类对自然数系进行了改造：将整个自然数系同除以一个数，例如 6 × 10 35 ，这样就将基准点 1 “右移”到自然轴的某个合适位置。相应地，这个位置以左的数成为小于 1 的数，其右的数成为大于 1 的数，地球自然数的定义域就由原来的［ 1 ， 3.6 × 10 60 ］变成了［ 1.66 × 10 -36 ， 6 × 10 24 ］。于是有理数系诞生了。将自然数变为有理数的除数，可以是任意一个自然数，如 4052871795653 。毕达哥拉斯学派“一切自然现象均可归结为整数或整数之比”的观点，是唯物主义世界观的的必然产物，因而也是完全正确的。按现代集合论的观点，自然数系是一个有限集合 A ，里面含有有限个“元素”，将有限集合 A 除以一个自然数 B ，就完成了另一个集合 C （有理数系），两个集合中的元素存在一一对应的关系。自然轴摇身一变，成了有理数轴之后，它仍然是不连续的、量子化的。有了有理数系之后，人类日常生活中接触的物体数量大都集中在 0.1 到 1000 之间，尤其是 1 到 100 之间。大大方便了人类的应用。应用有理数系的最大好处，是人类日常接触的各类物体在数学上有了一个比较合理的数值范围：在 1 附近最优，其次是从 0.1 至 10 ，再次从 0.01 到 100 。如一个班的学生人数、一个人的体重、身高、家庭人口、日工作时间小时数等等。遇到特别大或特别小的量，还可以创造新的量词，将数值部分控制在最佳数值范围内，符合人类大脑对数值记忆、运算的习惯。对于光速， 300000 千米 / 秒，可以记作 30 万千米 / 秒；对于氢原子直径， 0.00000000001 米，记作 0.1 纳米。特别值得注意的是：自然数系中的 1 与有理数系中的整数 1 具有完全不同的物理意义。自然数系中的 1 代表一个基本粒子，有理数系中的整数 1 通常表示一个肉眼可见的物体（对象），含有大约 6 × 10 35 个基本粒子的，如 1 杯啤酒或 1 只烤鸭、 1 个足球等。有理数系是人类智慧的产物。通过对自然数系的改造，使之更适合人类的使用。是人类发挥主观能动性认识世界、改造世界的成功尝试。有了有理数，最原始的数学就深深地打上了人类的烙印，从此，文明进入了数学。四、无理数、零与无穷 4.1 无理数由 10 个基本粒子作一条直角边、另外 10 个基本粒子作另一个直角边，并不能构造出一个封闭的、完美的直角三角形。在唯心主义数学里，这个三角形被认为是封闭的，按勾股定理，这个斜边的长度可表示为，是一个无理数。给定直径为自然数 10 构造一个圆，则圆的周边不会封闭。假定这个圆是封闭的，那么圆的周长可表示为 10π ，其中的 π 也是无理数。直角三角形和圆是《几何》以及《三角》的基本元素，由于这两个图形不封闭而产生的天然缺陷，造成无理数的大量出现。除了平方根和 π 之外，角度的正弦、余弦、正切、余切函数，以及对数、指数等运算也产生大量的无理数。无理数之所以存在，是因为自然界中缺陷图形的存在。可以看出，无理数是的一种特殊的数，它代表着不完整的几何图形，是现实世界上不可能存在的或有缺陷的事物。因此，绝不能把无理数看作合法的数，更不能将其视为与有理数同等重要的数。既然无理数是不合法的数，那么，能不能废除无理数呢？答案是不能。虽然无理数没有现实意义，但在人类的生活中却离不开它——在宏观世界中研究直角三角形，不能没有勾股定理；在宏观世界中研究圆，不能没有圆周率 π 。没有勾股定理和圆周率，现实生活中的许多概念就无法简洁地表达。无理数做为一种有效的近似，为人类的数学运算带来极大的方便。因此不仅不能废除无理数，而且还必须保留它，利用它，让它为人类服务。保留无理数会产生不超过 1 个基本粒子的误差。这个误差是个什么概念呢？下面以空气中的粉尘来说明。要显微镜下，空气中的细颗粒物 PM2.5 的直径为 2.5 × 10 -6 米，体积约为 8.18 × 10 -12 立方厘米。按密度 1.7 克 / 立方厘米计，每个细颗粒质量约为 13.9 × 10 -15 千克，折合成基本粒子数约为 84 万亿亿个。人类日常生活中处理的事物远远大于一个空气粉尘粒子。因此，忽略一个基本粒子的重量，所产生的误差不超过 84 万亿亿分之一，完全可以忽略不计。也就是说，使用无理数代替有理数所产生的误差，对人类的日常生活而言，是完全可以接受的。既要看到无理数的方便，又要注意它的本质，不将其视为正式的数。应当将无理数看做一个非正式结果、一个中间过程。即坚持了原则性，又发挥了灵活性。为此，必须在数学中做一个特殊规定。定义：距离某无理数最近的那个有理数，称为该无理数的真值。如此规定之后，两个相邻的有理数之间无论有多少无理数，每个无理数都有唯一的真值。有理轴仍然是间断的、不连续的。有了无理数的概念之后，近似进入了数学。 4.2 零在自然界，物质只能转化，而不能消失。但是人类生活中有大量的关于“消失”的例子：小红有 1 个苹果，吃完后，苹果“消失”了（虽然也可以理解为转化成为小红身体的一部分）。树上 8 只鸟，一声枪响，鸟儿们全部飞走，从人的视野中“消失”了。显然，生活中的“消失”与物质的消失是两个不同的概念——前者是人的意识，后者是客观存在。物质的消失不可能真正发生，而生活中的“消失”却大量地、每日每时都在发生。数学是描述人类生活的工具，必须对这种“消失”有所体现。于是符号“ 0 ”诞生了。 0 表示物质“没有”、“无”、“不存在”的状态。它是“有”、“存在”的对立面。虽然世界上从来没有过 0 个苹果、 0 个桃子，但人们为了方便应用，就假定世界上存在 0 个苹果、 0 个桃子。于是，由于人的规定， 0 成了自然数系和有理数系的新成员。 0 个基本粒子、 0 个苹果都是合法的，具有特定的物理意义。 “ 0 ”是物质和意识的统一体，是人类思维的特殊产物，也是人类实践活动的反映。自然界中最小的物质是基本粒子，在自然数系中用 “ 1 ”表示(在有理数系中可用“ε”表示) 。 1 虽然非常非常小，但它属于“有”，与“无”有着本质的区别。在 0 到 1 之间，有一条不可逾越的鸿沟，既近在咫尺，又遥不可及。有了无理数的表示方法后，按照前面的规定，靠近 0 的无理数，其真值为 0 ；靠近 1 的无理数，其真值为 1 ，按 1 个基本粒子处理。 4.3 无穷前面已经论证过，数学中不存在实无穷，只存在潜无穷。那么，潜无穷怎样用数学表示呢？在自然数系中，数是有限的、有穷的。自然数是一个集合 N 。其中最小的自然数是 0 ，最大的自然是 N n 。将自然数集合 N 中的每个元素都除以一个自然数 B ，可以得到有理数集合 Q 。其中最小的有理数是 0 ，最大的是 Q n 。将集合 Q 中的每个元素自乘（平方），可以得到有理数的面积集合 S 。其中最小的有理数是 0 ，最大的有理数是 S n 。将集合 Q 中的每个元素自乘两次（立方），可以得到有理数的体积集合 V 。其中最小的有理数是 0 ，最大的有理数是 V n 。容易发现，通过构造集合的办法，既可以在小数字方向上突破基本粒子的下限 1 ，也可以在大数字方向上突破宇宙最大基本粒子数的上限 N n 。只要有必要，数学家可以在两个相邻自然数间（例如 0 和 1 之间）分隔出任意多的间隔，实现无限分割的连续效果，可以用来表示任意短的时间间隔或运动过程。在前面的讨论中知道，为了避免芝诺悖论而要求时间、空间必须采用不同的数系。但在实际应用中，使用有理数表示时间已经有足够的精度。因此，从实用角度看，用有理数系同时表示时间与空间是完全可行的。事实上，在过去的两千多年中，三次数学危机都是由实无穷引起的。实无穷像一头藏在羊圈里的恶狼，伪装成羊的模样，一次次地蒙混过关。数学家们应对失误，虽然不断修补并加固羊圈，仍然一次次地发现有羊被咬死，只剩下一堆堆骨头，让数学家们灰头土脸、无地自容。自然数的量子性以及局部有限性，彻底否定了困扰人类几千年的实无穷概念。将实无穷从数学中彻底驱逐出去的时机已经成熟了。将实无穷从数学中驱逐出去后，一同消失的，还有过去几千来有关这只“羊”的种种感人的事迹与美好的回忆，有人恋恋不舍，有人伤心欲绝，还有人会拼命反对将这只狼逐出数学，妄图阻挡历史车轮的前进。然而现实是残酷的，数学要健康成长，就不能不铲除自己身上的毒瘤，哪怕它过去曾经“灿若云霞，艳如桃花”！ …… 由于文章较长（约4万字），排版不便，文章全文请见下面附件（PDF文件）数学唯物主义基本原理（v3.03）20131229B.pdf; 530 次阅读|0 个评论

自然数、皮亚诺（Peano）公理、有限与无限: primeacademy 2013-7-3 13:15; 人类的数学认知从对自然数的认识开始，具体到每一个个体的认知历程，无论是否有自觉的意识与反思，起点都在自然数。什么是自然数？数学家们回答说，我们已经知道答案了，自然数是由皮亚诺公理规定的那些对象，即皮亚诺公理： 1.1 是一个对象； 2. 若 n 是一个对象，则有另一个对象 n+( 称为 n 的后继 ) ； 3.1 不是任何别的对象的后继； 4. 若 m+ = n+ ，则 m = n ； 5.( 归纳公理 ) 如果（ 1 ） 1 在 S 中，（ 2 ） n 在 S 中，则 n+ 在 S 中，那么，所有的对象都在 S 中 . 原来，数学家们对自然数的认识与小朋友是一样的：自然数就是数出来的东西！让我们来“数 (shu3) 数 (shu4) ” ( 叫做“自然数”的东西 ) ： 1. 从 1 开始数； 2. 数到 n ，就一定能数“下一个” n+ ； 3.1 是头一个数的； 4. 每个数 (shu3) 到的数 (shu4) 都是不同的； 5. 一直数下去（不能停止，是一个“无限”的过程），你就得到了全部的自然数 . 多么有趣的事情，自然数原来就是这么自然的被“数数”所定义。当然，这仅仅是一个形式化的对象的构造，在人们实际的认知过程中，还有同时伴随着意义的建构，数学家们的本领正在于将形式和意义区别开来，并给出逻辑的顺序，在形式确立之后，研究和建构意义。自然数最基础也是最重要的意义就是“多少”的概念，我们在之前的博文“儿童掰手指做算术是不好的毛病吗？”“数与运算——掰手指做算术的数学认知价值”“儿歌与自然数启蒙”中已经有一些讨论，这里进一步讨论有关自然数意义的建构与“有限与无限”的认识。自然数的“数数”构造过程的意义首先是“多少”， 5 个苹果， 8 颗柳树， ... 有限的概念几乎天然形成：不重复不遗漏，将要数的对象数到 n ，则说这些对象有“ n 个”，也就是能够通过数数将全部的对象与 {1 ， 2 ， ..., n} 一对一的建立联系，这就是“有限”的认识实质！但这一原则在“全体自然数 N ”这个显然“非有限”的情形似乎出现了问题， N 可以按照简单的方式与它的真的一部分也一对一的建立联系，即与它的部分“一样多”，这是人们在无限认识过程中遇到的一个困惑。古希腊时代，欧几里得就在数学的基础公理中列入了“整体大于部分”的原则，要突破这一习惯的认识并不是容易的事情。但也正是有了这样的困惑，人类对有限和无限的认识不断得到深化。在上述“多少”问题通过“数数”建立起来的“一对一”的原则，仅仅是建立了对象的全体与自然数的一部分 {1 ， 2 ， ...,n} 或 N 的一种联系，“多少”的意义其实就是这种联系的存在性，即如果能够与 {1 ， 2 ， ...,n} 建立一对一的关系，则就是有限的情形（再规定空集也是有限的），在有限的情形，这个“多少”的意义与“整体大于部分”的原则一致，否则，则将出现不一致的情形，实际上，这正成为所谓无限的一个基本特征：凡能够与其部分建立一对一关系的对象全体全体一定是无限的（不是有限的）！认识总是从“有限”开始，但对“无限”的理解既不可避免，在某种意义上也正是数学认识的归宿。从自然数的意义建构开始认识这个重要的问题，也许会使数学的学习更早归入理性的轨道。; 个人分类: 幼儿数学|9326 次阅读|0 个评论

儿歌与自然数启蒙: primeacademy 2013-7-2 23:58; 自然数的启蒙首先从自然数的语言形式开始，首先学会自然数的发音，这一阶段不必在意自然数意义的建构，只需要学会发音即可。儿歌是这个阶段重要的形式，传统的儿歌有意或无意的涉及到数字，起到了启蒙的作用。整理和创造更多更好的适应各年龄段幼儿的自然数启蒙儿歌，是非常有意义的工作。一、适合 0-4 岁 1. 一二三四五（九章格数学原创）一二三四五，五只小松鼠，林中采松果，采好藏树洞；松果有几颗，我来数一数，一二三四五，五颗松果藏树洞！ 2. 古诗（唐 . 王安石部分）有一即有二，有三即有四。一二三四五，有亦何妨事。 3. 一二三，荡秋千（九章格数学原创）一二三，荡秋千；四五六，飞上天。七八九，好朋友；分享快乐乐悠悠。 4. 数蛤蟆（传统儿歌）一个蛤蟆一张嘴，两只眼睛四条腿，扑通一声跳下水。两个蛤蟆两张嘴，四只眼睛八条腿，扑通扑通跳下水。二、适合 4-6 岁 1. 九九歌（气候谚语）一九二九不出手；三九四九冰上走；五九六九沿河看柳；七九河开八九雁来；九九加一九，耕牛遍地走 2. 一二三四五六七（九章格数学改编）一二三四五六七，七六五四三二一。七个矮人来摘果，七个篮子手中提。苹果石榴桃儿甜柿子李子栗子梨。 3. 蚂蚁搬豆豆（九章格数学改编）小蚂蚁，搬豆豆，一个搬，搬不动，两个搬，掀条缝，三个搬，动一动，四个五个六七个，大家一起搬进洞。 4. 山村咏怀（宋 . 邵康杰）一去二三里，烟村四五家；亭台六七座，八九十枝花。; 个人分类: 幼儿数学|2246 次阅读|0 个评论

数与运算——掰手指做算术的数学认知价值: 热度 1 primeacademy 2013-6-27 15:18; 在儿童发展心理学研究中，瑞士心理学家皮亚杰（ Jean Piaget ， 1896-1980 ）的工作影响深远，他将儿童认知划分为四个不同的阶段： 1. 感知运动阶段（出生到 2 岁左右） 2. 前运算阶段（ 2 到 7 岁） 3. 具体运算阶段（ 7 到 11 岁） 4. 形式运算阶段（ 12 到 15 岁）美国人 R.W. 柯普兰在他著作《儿童怎样学习数学——皮亚杰研究的教育含义》中，对皮亚杰理论在数学教育上的应用做了较好的总结。这本书的中译本由上海教育出版社于 1985 年 12 月出版。幼儿掰手指做算术的心理学意义我们暂不做过多议论，仅摘录柯普兰上述著作中引用的皮亚杰的三个重点表述，作为理解幼儿掰手指做算术的心理学意义的参考。假定儿童只是从教学中获得数的观念和其它数学概念，那是一种极大的误解。相反，在相当程度上，儿童是自己独立第、自发地发展这些观念和概念的。（中译本第 100 页）计数是首先教给幼儿的数观念之一，但对他们来说，背出来的数几乎没有什么意义。（中译本第 100-101 页）在逻辑 - 数学结构领域，儿童只对那种他亲自创造的事物才有真正的理解。每当我们试图过急地教给他们什么东西的时候，我们就会阻止儿童亲自再创造它们。因此，不存在什么试图过快地加速这种发展的正当理由，在亲身探索中看来是浪费的时间，对方法的构成是真正有益的。（中译本第 41 页）以下，我们从现代数学意义上对于自然数的认识与理解，来探讨幼儿掰手指做算术的数学化的认知价值。人类对于数学的认知就是从对自然数的认识开始，每一个人，无论是否接受过正规的数学教育，都会认为自然数及其运算是简单的事情，但事实果真如此吗？当我们面对“什么是自然数？”“为什么 1 加 1 等于 2 ？”这样看似“愚蠢”的问题时，通常都会感到困惑，这似乎不该问的问题竟然并不容易回答！事实上，数学发展到今天，回顾人类对自然数的认识历程，并非像想象的那样简单，严格意义上数的系统（简称数系）的构造的完成甚至是晚近事情。在现代数学中，自然数是用一组被称之为皮亚诺（ Peano ， 1858-1932 ）公理的 5 条性质所“定义”，用通俗的话来解释就是：（ 1 ） 1 是自然数；（ 2 ）每一个自然数 n 都有一个称为它的后继的自然数 n+ ；（ 3 ） 1 不是任何自然数的后继；（ 4 ）如果两个自然数 m 、 n 的后继相等，即 m+= n+ ，则 m=n ；（ 5 ）（归纳公理）若 N 的任意子集 S 满足 i. 1 在 S 中； ii. n 在 S 中，则 n+ 在 S 中 , 则 S 就是自然数全体，即 S=N 。这样的公理形式的“定义”，实际上，就是最自然地“数数”过程的形式化描述，现代数学意义上的数系的构造就是基于此。这在幼儿数学教育上的启示是：“数数”的过程就是建立自然数形式系统的过程，这一过程通常是由语言形式（数的发音）的音节构成的，再到识别阿拉伯数字，书写阿拉伯数字，这都是形式意义上的工作，这些工作对于幼儿数的认知是重要的基础，通常，这一形式化的概念的形成过程与其意义的形成总是同步发生的。那么，自然数意义的建立是什么时候开始的呢？我们曾谈到，自然数的意义可以从“多少”——基数，“顺序”——序数上开始（见博文儿童掰手指做算术是不好的毛病吗？），皮亚杰等心理学家认为，基数的意义的建构是早于序数的，我们的经验也是如此。也就是说，自然数意义的建构始自于“多少”的概念，即数学中的基数问题。我们暂且不对这一问题做较为数学化的讨论，仅直观地指出，这个概念是通过“数数”的过程，建立要考查“多少”问题的集合与自然数的 1 对 1 的对应来完成的，比如，放在盘子中的苹果，如果我们从 1 开始数数，数到 5 ，没有重复数，也没有落下的苹果，那我们就知道盘子里有 5 个苹果，数数的过程建立了盘子里的苹果与 {1,2,3,4,5} 之间的 1 对 1 的关系，这就是“多少”问题的实质！儿童建立自然数的意义就从这里开始了，掰手指是这一过程的最重要表现，是需要得到鼓励和强化的自然数认知的重要过程，否则，将会在幼儿数学认知的起步阶段，就使孩子被迫走向远离数学的道路，这是我们都不愿意看到的！; 个人分类: 幼儿数学|4214 次阅读|1 个评论

儿童掰手指做算术是不好的毛病吗？: 热度 4 primeacademy 2013-6-26 22:21; 很多家长看到孩子掰手指做算术经常认为是不好的毛病，甚至要求或训斥孩子改正。实际上，家长的这种认识是错误的，儿童掰手指做算术不仅是孩子学习数学的必经阶段，而且对于数字意义的正确建立是十分必要的。我们知道，人类对数学的认知是从自然数的认知开始，人们首先从“多少”的概念上认识到“数”，儿童对“多”与“少”的认知是自觉和自发的，并且通常具备“趋多”的心理倾向（ ^-^ 贪欲是不用教的）。那么，什么“多少”的概念呢？作为成年人，我们似乎对这样的问题不屑一顾，有意或无意地忽视这样的问题，但认真追究起来，却未见得能说清楚。儿童对“多少”问题的解决是通过“数数”来完成的，“数数”的过程是建立起被数的对象全体（在数学上称为一个由这些对象为元素构成的集合到“ yi1 ， er4,san1,si4,wu3,liu4,qi1 ...(1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 的拼音，数字指四个声调 ) ”的 1-1 对应（数学上又叫做 1-1 映射）的过程，后者是由孩子的自然数发音构成的一个集合，这说明，“多少”的概念形成的过程反映出两层含义：一是“多少”是两个集合之间的一种关系；二是孩子们会“数数”是建立“多少”概念的基础。从第二个方面看，“数数”中的数是可以不具备任何意义的，“数数”的过程自然决定了“数”及其“顺序”，从发音到书面的表达（阿拉伯数字），都可以是无意义的符号（发音和书写），“多少”问题为这些“数”赋予了意义，这就是自然数最基本也是最重要的“基数”意义。语言学中的“基数”与“序数”是两个数学概念啊！按照上面的分析，儿童在数的计算过程中掰手指，正是为了将抽象的“数”的概念具体化为手指构成的集合，按照“基数”的意义理解加法或减法的意义，这是多么自然和重要的过程，“改正”或抛弃这个过程，就是强迫孩子放弃对数字意义的建构，让孩子远离数学的理解，从而远离数学，我想，这决不是我们所希望的！ “多少”的概念引出数的“基数”意义的建构，对这一问题的探讨曾经引出很多有趣而深刻的故事。自然数意义的建构还涉及到“序数（顺序）”，度量（测量）等，这都与儿童数学认知的心理过程直接相关，我们将会在后续博文中探讨。; 个人分类: 幼儿数学|7918 次阅读|4 个评论

一致收敛的连续函数列的一个简单性质: zjzhang 2013-3-13 18:24; 设对每个自然数 $n$, $f_n(x)$ 在区间 $ $ 上连续且至少有一零点, 当 $n\to\infty$ 时, $f_n(x)$ 在 $ $ 上一致收敛于函数 $f(x)$. 证明: $f(x)$ 在 $ $ 上至少有一零点. 这是华中科技大学 $2006$ 年数学分析考研试题第 $10$ 小题 .; 个人分类: 数学|2633 次阅读|0 个评论

[转载]孤独的素数: 热度 2 ChinaAbel 2013-1-31 18:04; 孤独的素数原子与素数在各自领域的地位：　　大自然　　　　　　　自然数　　原子　　　　　　　　　素数　　单子　　　　　　　　　１　　化合物　　　　　　　　合成数　　原子109种　　　　　　质数有无穷多个　　化学键　　　　　　　　　乘法　　凡物质皆由原子组成　　　算术基本定理素数可毫不费力地生成一切自然数，默默绽放清新甜香的花朵，供人类欣赏。素数之花点缀数学家园，合数有朋相约，它却默默孤独，真是：花开花落春不问，水暖水寒鱼自知。因为孤独，所以美丽，令人着迷，素数魔力无限，却没有束手就擒。曾经有一位数学家说，他若能在五百年后重新醒来向这世界问一个问题，他会问：「那个有关素数的假设，解决了么？」素数孤独，但是无际—— 化学元素周期表里，109种元素构成了我们的大千世界。而在数的世界里，素数相乘构成了全部的整数（除去１），可是这一数字原子的数目无穷无尽。可以想象，在数字已经很大很大的时候，素数的分布会越来越稀疏。可是，在相隔很远之后，我们依旧会看到一个孤单的数字夹在长长的合数中间，只有自己。安静地，独守。不受尘埃半点侵。恍似埋藏地底深处的珍宝，不知在哪一天，才会被我们发现。因为无际，所以痴迷地寻找它的规律。可是偏偏，它似乎没有规律。如此这般，难以言尽。可是至今，素数仍然没有向我们展示它全部的风姿。犹如牡丹，守定自己的风骨，不论旁人如何，毫无所动。如果把素数的散布看成变换的音律，那么，待何时，我们才能够完整地听到它的乐曲？它们，真的是一群神秘的数字。我们曾经相信原子不可分，曾经相信燃素之说，曾经相信这个世界由四个元素组成。如今我们否定了这一切。我们甚至否定了平行线必不相交的公理，在欧式几何外创造了新的天地。可是，我们从未质疑过素数。在我们心中，它们就是那样一个个孤独的数字，静谧地处在浩瀚数海之中，自度春秋。正如哈代所言：「并非因为我们这样认为，也非因为我们的思维是以这样或那样的方式形成，而是因为它原本如此，因为数学实在就是这样建立的。」; 2563 次阅读|2 个评论

[转载]复变函数的欧拉公式: chnfirst 2012-12-10 20:09; http://wenda.tianya.cn/question/130104c7f7567a31 e指数(exp)怎么用三角函数的形式表达？你说的是复变函数里面的欧拉公式吧，最基本的形式是 e^ix=cosx+isinx，e是自然对数的底，i是虚数单位。它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位。　　将公式里的x换成-x，得到：　　e^-ix=cosx-isinx，然后采用两式相加减的方法得到：sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.这两个也叫做欧拉公式。将e^ix=cosx+isinx中的x取作∏就得到：　　e^i∏+1=0.这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数学联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率∏，两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，以及数学里常见的0。数学家们评价它是“上帝创造的公式”，我们只能看它而不能理解它。 e^x=cosh + sinh cos =e^(-i x)/2 + e^(i x)/2 sin =1/2 i e^(-i x) - 1/2 i e^(i x) cosh =e^-x/2 + e^x/2 sinh =-(e^-x/2) + e^x/2 sinh和cosh分别是双曲正弦和双曲余弦函数; 个人分类: 数学|1 次阅读|0 个评论

FM 小学数学概率题（5）用面积算概率: wcybcn 2012-12-3 06:07; 嗯，面积。我记得自己第一次接触用面积来处理小学数学问题是求两个自然数的最大公约数所用的辗转相除法。题干：假设硬币半径为3/8 , 一个盒子底部，底部用笔画了一个边长为1 的正方形，假设盒子的设计使得随便往里面投一枚硬币，硬币落入底部后即使是处在最外围的情况下都会与正方形擦边。求每投一枚硬币，硬币完整落入正方形中的概率。解答：考虑当硬币全在方块中的时候，必然覆盖到中心一块面积，可考虑硬币分别在四个角落的情况，求其中的公共面积。最后用必然会覆盖到的公共面积除以正方形总面积，就是硬币会完整落入正方形中的概率。面积的方法也是后来蒙特卡洛方法的雏形，当然本题中比较难为小学生的是小学生估计很难手算出那个必然会覆盖的面积，只好尽量约等于一个小正方形来估算概率至少大于多少。。比如1/16。; 个人分类: 厚积薄发|213 次阅读|0 个评论

8除不尽的自然数: itellin 2012-8-12 06:38; 一个自然数被 8 除余 1 ，所得的商被 8 除也余 1 ，再将第二次的商被 8 除后余 7 ，最后得到一个商为 a 。又知这个自然数被 17 除余 4 ，所得的商被 17 除余 15 ，最后得到一个商是 a 的 2 倍。求这个自然数。 a=1:8 b=data.frame(x=a,y=((a*8+7)*8+1)*8+1,z=(2*a*17+15)*17+4) b ==b ),] y 3 1993; 1996 次阅读|0 个评论

每个自然数都是有趣的: 热度 12 yonglie 2011-12-17 11:09; ——旧札新钞（ 99 ） ◎ 数学归纳法可以导出很多有趣的结论，其中一个是：每个自然数都有趣 ——假如不是，那么令 M 为那些无趣自然数的集合。于是 M 不是空集。因此，由最小自然数原理， M 包含某个最小自然数 m 。就是说， m 是最小的无趣的自然数。可那却是有趣的！同样，我们也可以证明，所有的人的都是秃子 ——头发稀疏的人叫秃子。假如有个人秃顶了，那么比他多一根头发的人当然也是秃子。根据数学归纳法，所有的人都是秃子。 ◎ 苏东坡去见玉泉皓禅师，禅师问，大人贵姓？东坡答姓秤，专门称天下和尚的轻重。禅师大喝一声，问：“这一声喝有多重呢？”东坡答不上来，服了。（见燕石斋补《五灯会元》） ◎ 以前在旧书肆看到一本《中国名胜楹联大观》，心想如果能找到平云亭那个对联，就可以把书留下。果然，翻到那对联了：“ 蜀郡云山凭一揽，范公亭子自千秋。”可惜亭子如今不能上去了，还揽什么？那本书也不知哪儿去了。【亭在大邑静惠山，这几行字应该是去了回来写的。】; 个人分类: 札记|6411 次阅读|15 个评论

有限无穷的实数人生: luocun 2010-10-5 05:59; 曾经在华人基督教会的查经班──算是入党兴趣小组吧──上讨论生死。牧师讲，你想想，如果信主而升天堂，见到逝去的亲人，跟他们永享幸福，岂不美哉。俺就开始发臭言了：如果你老爹他总在喝酒是个混球呢？如果天堂里的生活一切都好只缺烦恼呢？一天天重复，也很没劲啊！维特根斯坦也说过：永生不解决问题。。。通常，人们像这位牧师朋友那样，把永生理解成无限，无限理解成无限延续：今天过了，还有明天，没有死亡，就像自然数一样，绵延不绝，没个尽头。可是，与其像自然数那样干巴巴孤零零一个个地没完没了，还不如活出有密度有质感的有头有尾的实数生活：从0到1的区间虽然是有限的，却有无穷多的数，比所有的自然数还多。或许有限的人生本来就是无穷的，或许不是如何长生不老，而是如何与这种无穷相协调，才是人生的意义问题之所在。这个道理挺简单。或许可以试一试。; 个人分类: 胡思乱想|4783 次阅读|3 个评论

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标签: 自然数

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