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老贴再贴: 求任意自然数的任意自然数次方的结果个位数: dingsir 2020-3-14 17:58; 这个是2009年本人一个老贴,淘出来再看看,稍作精简. 有一次我问老爸： 2 的 100 次方的结果，其个位数是几？当时我也不知道是几,但想想应该有些规律,研究了一下,发现应该是六，这个不是硬乘出来的,而且推断的结果.我用手机上的 Python环境计算了一下 2**100, 结果一长串,个位的确是六。于是,我再进一步思考，是否可以求解任意一个自然数的任意自然数次方的结果，其个位数是否可以心算出来？经过努力，发现都是有规律的。最近在学习 VC++ ，于是想把这点思考的结果固化下来，代码如下,在 DOS 下运行。写了两个函数，第一个函数让我理清了思路，第二个函数非常简洁但不容易理解，实质上就是对第一个函数的浓缩。－－－－－－－－－－－ C++ 源代码 -- 开始 ------------------------------- # include iostream.h /* 求取结果的原理：个位数的幂决定了结果的幂。对某个数而言，特定倍数的结果总是一样的尾数，如 3 的 4n 次幂总是 1 结尾，因此可以容易算出 4n+1 次方的尾数为 1*3 ， 4n+2 次方的尾数 1*3*3 ＝ 9 ， 4n+3 次方的尾数为 1*3*3*3=27, 即为 7. 因此可以知道任意次方的结果的尾数。因此，对底数以 10 取模，对幂则根据不同的数字来决定。 di ：底数 mi 幂 digewei ：底的个位数，它决定了结果的个位数 miyu: 幂的余数，取模之后。逐步分析即可以得到结果，如方法 1 所示。也可以将结果总结成一个数组，即方法 2 所使用的结果。 */ int GetLastDigit_1(int di, int mi) { int digewei; int miyu; digewei=di % 10; switch (digewei) { case 0: return 0; break; case 1: return 1; break; case 5: return 5; break; case 6: return 6; break; case 2: miyu=mi%4; switch (miyu) { case 0: return 6;break; // 2^4n=6 case 1: return 2;break; //2^4n+1=6*2=12, so 2 case 2: return 4;break; //2^4n+2=6*2*2=24, so 4 case 3: return 8;break; //2^4n+3=6*2*2*2=48, so 8; }; break; case 3: miyu=mi%4; switch (miyu) { case 0: return 1;break; //3^4n=1 case 1: return 3;break; //3^4n+1=1*3=3, so 3 case 2: return 9;break; //3^4n+2=1*3*3=9, so 9 case 3: return 7;break; //3^4n+3=1*3*3*3=27, so 27 }; break; case 4: miyu=mi%2; switch(miyu) { case 0: return 6;break; //4^2n=6 case 1: return 4;break; //4^2n+1=6*4=4; }; break; case 7: miyu=mi%4; switch (miyu) { case 0: return 1;break; //7^4n=49*49=1 case 1: return 7;break; //7^4n+1=1*7=7; case 2: return 9;break; //7^4n+2=1*7*7=49, so 9 case 3: return 3;break; //7^4n+3=1*7*7*7=49*7=3 }; break; case 8: miyu=mi%4; switch (miyu) { case 0: return 6;break; //8^4n=64*64=16; case 1: return 8;break; //8^4n+1=6*8=48, so 8 case 2: return 4;break; //8^4n+2=6*8*8, so 4 case 3: return 2;break; //8^4n+3=6*8*8*8, so 2 } break; case 9: miyu=mi%2; switch (miyu) { case 0: return 1;break; //9^2n=81^n, so 1 case 1: return 9;break; //9^2n+1=1*9=9; }; break; }; }; int GetLastDigit_2(int di, int mi) {/* 根据方法 1 的结果，将其整理成数组来直接处理更为节省代码。数据的第一维对应底的个位数，从 0 到 9 数组的第二维四个数字，依次为 ( 底的个位 )^( 幂 %4) 结果的个位。 */ int myarr ={ {0, 0, 0, 0}, {1, 1, 1, 1}, {6, 2, 4, 8}, {1, 3, 9, 7}, {6, 4, 6, 4}, {5, 5, 5, 5}, {6, 6, 6, 6}, {1, 7, 9, 3}, {6, 8, 4, 2}, {1, 9, 1, 9}, }; return (myarr ); }; int main() { int di; int mi; coutPlease input the ground: ; cindi; cout\\n Please input the power: ; cinmi; coutthe Last digit is GetLastDigit_1(di, mi) endl; coutthe Last digit is GetLastDigit_2(di, mi) endl; return 0; } ----------------- 源代码结束－－－－－－－－－－－－我很奇怪的是，为什么所有的数字如果它的指数是 4n （ n 为自然数），无论 n 是多少其尾数都是同样的？我的数学水平太差，不能证明。因为只为自然数的 4n 次方结果的个位数为 0,1,5,6 才有可能保持（无论 n 是多少，乘幂的结果个位数不变）。那么 10 个数字（ 0 到 9 ）的 4n 次方，为什么个位数都落在这个范围内呢？另外，我发现，第二个函数的数组中，第二列正好是 0 到 9, 这绝对不是巧合的。或者，这个问题可以转化为 : 假设 m, n 均为自然数，％为取余计算符，证明以下命题（不使用穷举法）： 2009.7.5 增加以下内容：由于 python 里大数的计算自有支持，故添加一点：因此如果底与幂不同时超过 1000 ，就打印出来。 print( 本程序计算任选一个正整数的任意正整数次方的结果的尾数。 \\n ) EndList= , , , , , , , , , ] g=int(input( ' 请输入底数 ( 正整数 ):\\n' )) p=int(input( ' 请输入指数 ( 正整数 ):\\n' )) print(g, 的 ,p, 次方，结果的个位数是 ,EndList ) if ((p 1000 ) or (g 1000 )): exit else : print( 完整结果如下： \\n ,g**p) ------------------- 我把这个问题发到了 CSDN.net 上，有一位网友提供了一个解法，但是我看不懂。提供者 : deng2000 试着给个证明 , 不知道算不算避免了穷举 . 先证明几个引理 . 引理 1 若整数 a, b, c, d 满足 a%10 = c%10 b%10 = d%10, 则 (a+b)%10 = (c+d)%10 (a*b)%10 = (c*d)%10 证明 : 令 a=10*A+m, c=10*C+m, b=10*B+n,d=10*D+n, 代人上式即得 . 引理 2 若 a%10 = b%10, 则对任意整数 n, 有 (a^n)%10 = (b^n)%10, 特别地 , 有 (a^n)%10 = ((a%10)^n)%10 证明：重复运用引理 1 的乘法部分即得引理 3 若 a 与 10 互素 , 则存在整数 k, 使得 (a*k)%10 = 1 证明 : 因为 a 与 10 互素 , 由 Eulid 辗转相除法知 , 存在整数 k,n 使得 a*k + 10*n = 1 因此 (a*k)%10 = (1-10*n)%10 = 1%10 - (10*n)%10 = 1 引理 4 对任意整数 n, 有 (2^(4n+1))%10 = 2 (5^(4n+1))%10 = 5 证明 : 2^(4n+1)-2 = 2*(2^4n-1) = 2*(16^n-1) = 2*(16-1)*(16^(n-1) + 16^(n-2) + ... + 16 + 1) = 30 * (16^(n-1) + 16^(n-2) + ... + 16 + 1) 能被 10 整除故 (2^(4n+1))%10 = (2^(4n+1)-2+2)%10 = ((2^(4n+1)-2)%10 + 2)%10 = 2 同理可证 (5^(4n+1))%10 = 5 引理 5 若整数 a 与 10 互素 , 则对任意整数 n, 有 (a^4n)%10 = 1 证明 : 我们知道 , 任意与 10 互素的数除以 10 的余数只有 4 种情况 : 1, 3, 7, 9 考虑如下 4 个数 : a*1, a*3, a*7, a*9 因为 a 与 10 互素 , 这４个数也分别与 10 互素 . 考虑这 4 个数除以 10 的余数，显然每个余数都只能在集合 {1,3,7,9} 中取值 . 我们还断言这 4 个余数是彼此不等的 . 如若不然 , 　设 (a*m)%10 = (a*n)%10 其中 m,n 是集合 {1,3,7,9} 中的两个不同的数 , 运用引理 3, 存在整数 k 使得 (a*k)%10=1, 在上式两边同乘以 k, 得 : (k*a*m)%10 = (k*a*n)%10 因此 , ((k*a)%10 * m)%10 = ((k*a)%10 * n)%10 即 m%10 = n%10, 这与假设矛盾 . 既然这 4 个余数彼此不等 , 又只能在集合 {1,3,7,9} 中取值 , 则这 4 个余数就是 1,3,7,9 按某一顺序的排列 , 因此 ((a*1) * (a*3) * (a*7) * (a*9))%10 = (1*3*7*9)%10 亦即 (a^4 * (1*3*7*9))%10 = (1*3*7*9)%10 再运用引理 3, 存在整数 p 使得 (1*3*7*9*p)%10 = 1, 在上式两边同乘以 p, 即得 (a^4)%10 = 1 因此 (a^4n)%10 = ((a^4)^n)%10 = (1^n)%10 = 1 ( 顺便提一句 , 引理 5 是初等数论中 Euler 定理的一个特例 ) 有了以上的引理 , 我们再来证明本命题 : 对任意整数 m,n, 有 (m^4n)%10 = (m^(4*(n+1))%10 ----- (1) (m^(4n+1))%10 = m%10 ----- (2) 证明 : 令 m=2^a*5^b*k, 其中 a,b 为整数 ,k 是与 10 互素的整数则 (m^(4n+1))%10 = ((2^a*5^b*k)^(4n+1))%10 = ((2^(4n+1))^a * (5^(4n+1))^b * k^(4n+1)) % 10 = (2^a * 5^b * k^4n * k) % 10 = (2^a * 5^b * k) % 10 = m%10 此即 (2) 式下面证明 (1) 式左边 =(m^4n)%10=(m^(4(n-1)+4))%10 = (m^(4(n-1)+1+3))%10 = (m^(4(n-1)+1)*m^3)%10 = (m*m^3)%10 = (m^4)%10 右边 =m^(4*(n+1))%10 = (m^(4n+1) * m^3)%10 = (m*m^3)%10 = (m^4)%10 故 (1) 式也成立欢迎数学达人讨论讨论; 个人分类: 其它兴趣|2844 次阅读|0 个评论

有趣的三位数: 热度 5 jiangxun 2019-8-30 08:35; 作者：蒋迅数字里有很多有个性的三位整数：100是最小的三位整数，也是最小的三位偶数；101是最小的三位奇数，也是最小的三位回文数和素数；541是第一百个素数，而且3 541 - 2和(3 541 - 1)/2都是素数。事实上，绝大部分的三位数都有它有意思的一面。我们认为，了解一下这些有意思的三位数可以帮助读者扩大视野，增加联想。在趣味中获得思维训练。在介绍我们喜欢的三位数之前，我们先要排除一些可能读者有兴趣的三位数。中国人可能会喜欢666，但这个数在西方被称为“ 兽名数目 ”（ Number of the Beast ）。这与《圣经》的《启示录》有关。如果一定要让666与数学发生关系的话，那么我们可以说，666是最大的（ repdigit ，monodigit）（ triangular number ）。与文化有关的还有520，一个中国人自己发明的“告白日”。西方人把420看作天使数。（我不知道是什么原因，可能是因为420是能被1到7都整除的最小整数吧。）这样的数字不在我们的考虑范围内。我们先来看四个漂亮的数字：153，370，371和407。它们都有一个漂亮的名字：水仙花数（ narcissistic number ）。水仙花数也称为超完全数字不变数（pluperfect digital invariant, PPDI）、自恋数、自幂数、阿姆斯壮数或阿姆斯特朗数（Armstrong number），用来描述一个 N 位非负整数，其各位数字的 N 次方和等於该数本身。拿153来说，我们有：153 = 1 3 + 5 3 + 3 3 。珍惜这些漂亮的数字吧，因为总共只有88个（十进制的）水仙花数。我们可以在上述的表达式上做一些变化。比如，如果把三次幂换成阶乘呢？我们有145 = 1! + 4! + 5! 。可以证明这是唯一的一个满足这个性质的三位数。再来一个类似的问题：找三位数 ABC 使得 ABC = A + B 2 + C 3 。答案有四个：135，175，518和598。你会怎么找到它们呢？答案是：最简单的方法是排查。写一个程序，从100到999一个一个验证就可以了。当然，这里我们只考虑三位整数，当位数增加后计算量就显著增加了。你会怎么解决这个问题？ 163 163是一个受到过大数学家埃尔米特和数学专栏作家马丁·加德纳关注过的三位数。它的神奇在於e π√ 163 几乎就是一个整数： e π√ 163 = 262537412640768743.9999999999992... 这样一个神奇的数被加德纳称作了“拉马努金常数”。其实它跟拉马努金没有任何关系，而只是加德纳的愚人节的笑话。虽说是笑话，这个神奇的现象并不是没有理由的，这正象拉马努金的思维一样，总是有他的道理的，只不过我们无法理解罢了。想知道其中的奥妙吗？请看匡世珉在知乎上的解答。不过，你要准备接受一点较为深入的话题。 561 在知乎上匡世珉的例子的下面，我们看到王希给出的另一个有趣的数字：561。它是一个卡迈克尔数（ Carmichael number ）。所谓“卡迈克尔数”是正合成数 n，且使得对於所有跟 n 互素的整数 b ，成立 b n - 1 ≡ 1 ( mod n )。费马小定理说明所有素数都有这个性质。在这方面，卡迈克尔数和素数十分相似，所以它们称为伪素数。因为这些数的存在，使得费马素性检验变得不可靠。不过，它仍可用于证明一个数是合成数。另一方面，随著数越来越大，卡迈克尔数变得越来越少，1至 10 有585355个卡迈克尔数。 561是最小的卡迈克尔数。 196 196是一个神奇的数。它是一个利克瑞尔数（ Lychrel number ）。所谓“利克瑞尔数”是将一个数字和该数字的各数位逆序排列后形成的新数相加、并将此过程反复迭代后，最后形成一个非回文数的自然数。利克瑞尔不是一个人名，它是由“Cheryl”这个名字经字母还位得来的。是不是所有的自然数都可以经过有限步后都得到一个回文数呢？至今人们还没有得到一个答案。196是第一个可能的利克瑞尔数，也就是说，196是第一个可能的反例。据说已经有人算到了699万步仍然没有得到回文数。 495 我们可以把495称作黑洞数或卡布列克常数。其实黑洞数或卡布列克常数（ Kaprekar's constant ）是指一种专指四位数的特定函数关系，在某排列顺序后，其演算式最后都会对应到6174。奇妙的是，495也具有这样的性质。读者可能会问，那么五位、六位、七位…数呢？可以告诉读者的是，5位数没有黑洞，但有3个循环；6位数有2个黑洞631764、549945，还有1个7个成员的循环；7位数没有黑洞，只有1个8成员的循环。…… 还有很多有趣的三位数。今天就先介绍这么多吧。; 个人分类: 谈数学|16920 次阅读|5 个评论

数的扩充和数系的扩充（涉及数学的几次危机）: 热度 1 geneculture 2019-7-3 17:21; 数系及其扩充：自然数：1，2，3，…，9（十进制引入）……，∞ 0（零的发现，曾引起了当时人们的恐慌） -1，-2，-3，…，（负数的引入）……，-∞ （正负无穷∞的引入开启了人们的想象空间）整数：+/-和0 小数：（小数或分数的引入）有理数：n/m 无理数：（圆周率，无理数的发现，也曾引起了恐慌）实数：虚数：i = 根号负一（虚数的发现，也曾引起了恐慌）复数：a + di 四元数：a + bi + cj + di （道，物理，意义，文法）惊人相似 by Xiaohui Zou 附录（截图来源：【数系的扩充和复数的概念公开课 - 百度文库】 https://mr.baidu.com/hr0h5lf?f=cpu=017da6abcdc6284d ）; 个人分类: Math.|5926 次阅读|2 个评论

自然数与物质世界的关系: fanxshan 2017-8-31 07:18; 在经济学中有一条规律：货币总发行量 = 商品价值总量如果二者不等，货币供应不足或过量，就会导致价格波动，影响市场正常秩序。宇宙中最小的物质是量子，是不可分割的基本单位。物理学测定表明，全部宇宙的总质量相当于 1×10 90 个量子。马克思主义认为：数学是物质世界的真实反映。在数学中，自然数对应着物质世界。自然数1是最基本的数量单位，它对应着物质世界中的 1 个量子；全部自然数共有 1×10 90 个。自然数的最大值是 1×10 90 。如果自然数的数量与宇宙中量子总数不等，数学就会出现问题，就会出现各种各样的悖论。道理就这么简单，看你有没有勇气承认。; 136 次阅读|0 个评论

[转载]杨六省：希尔伯特第二问题是个伪问题: zhpd55 2017-1-4 18:09; 诸平特别说明：应杨六省老师之邀，希望通过科学网博客对自己的研究结果能够得到行家点评。我自己担心会在转载过程中出现差错，特别附有pdf文件作为附件，可供下载浏览与点评，也可以直接与杨六省老师联系， Email: 13572503691@163.com 。希尔伯特第二问题是个伪问题.pdf 希尔伯特第二问题是个伪问题杨六省（陕西省长安师范学校，西安 710100，Email: 13572503691@163.com ）摘要：目的寻求 Hilbert 第二问题及“数学的最基本的概念是什么”之解答。方法寻找比自然数更原始的相关概念，它们蕴涵自然数算术。结果在重建的自然数算术中，其相容性可证， Peano 公理可由其推出。结论 ① 算术公理是相容的，但 Hilbert 第二问题是个伪问题。 ② 应用公理法刻画数学的最基本概念是不合理的，它致使算术的相容性问题不得解决。 ③ 诸多的“ 1 ”和对其所实施的遍历运算这一对概念，是数学的最基本的概念。关键词：数学基础；Peano公理；自然数；算术；遍历运算；相容性 MSC 2010 : 03F03 0 引言数学的相容性问题，可以化归为算术的相容性问题，但解决算术的相容性问题，就不能再用“化归”的方法了。于是，Hilbert在1900年巴黎第二次国际数学家大会上提出的23个未解决的数学问题中，第二个问题就是关于算术公理相容性的直接证明的问题。1931年， Gödel 的“不完全性定理”指出了用“元数学”证明算术公理相容性之不可能。 Hilbert 第二问题，至今尚未解决。王浩说：“时至今日，好像还没人用与 Gödel 原证法本质上不同的更为简洁的方法证明过 Gödel 定理” 126 。 Irving.M.Copi 说：“定义循环有时甚至会使老练的科学家陷入圈套” 147 。关于哥德尔不完全性定理的证明，有诸多版本。但都会出现形如由A到¬ A的推理。这里的两个A，如果认为它们是不同的，就会发生歧义谬误；如果认为它们是相同的，则会导致循环定义的错误（理由见文第87页），这就是说，无论哪种情况，推理都是无效的，从而，哥德尔不完全性定理的所有推论的证明也都是无效的。本文的目的是： ① 对 Hilbert 第二问题给出解答； ② 通过观察人们是如何认识和应用自然数的，去发现 “数学的最基本的概念是什么”。 1 讨论 1.1 重建自然数算术人类思维有能力借助于直觉抽象掉事物的任何具体内容，从而形成一个不可分割的具有独立性的空洞的纯存在客体，我们不妨用空心的阿拉伯数字 1 来表示这个比自然数更为原始的概念。遍历运算的直观解释可以是，如果把人们由抽象思维所得到的若干个 1 比作是没有任何记号的面包（或石子、绳结等），那么，遍历运算就可以是意指给每块面包都涂上一个红点，甚至我们也可以用“想到”每块面包作为实施遍历运算的手段。一个弱智的人，他可能不会数数，但你吩咐他给小树林里的每棵树都浇上水，他可能会胜任，这足以表明，遍历运算概念是比“向前数” 14 更原始更简单的概念；也可以说成是，蕴涵于遍历运算概念中的“一一对应”关系（这里是指每块面包与其被涂上的红点或每棵树与被浇过水的树坑）是一个比“向前数”更为原始的概念。 Peano 公理的缺点是，原本属于直接性的东西却变成间接性的东西了。这样一来，原本可以由概念进行直接解释的东西，却变成不得不进行“证明”，例如，2+2为什么等于4？关于运算律成立的理由，也是如此——这一缺点使得算术公理相容性的证明变得难以进行。本文希望回归到人类认识自然数的真实起源以重建自然数理论，从而达到证明算术相容性的目的。 1.1.1 关于自然数的定义上文已经提到，“一一对应”是比“向前数”更为原始的概念。但遗憾的是，人们忽视了一个连带（伴随）的概念，这就是一一对应关系的构成，还有一个构成的方式（步骤）问题，本文正是基于这一思路重建自然数理论。（1）自然数1的定义。对人们由抽象思维所得到的 1 实施遍历运算的结果，我们把它记作 “ 1 ' ”，简记作1，称作自然数1 。（2）自然数2的定义。对人们由抽象思维所得到的“ 1 ， 1 ”实施遍历运算，我们可在（1）的基础上进行，于是，有且只有如下2种方式：第1种方式是将新添加的 1 ' （即1）作为一个独立的新步骤。如果两个步骤之间用分号“；”隔开，那么，遍历运算的方式（此时指各步骤尚没有当作整体的部分；此说明下文不再特别写出）可记作：1；1。接下来，我们做相反方向的工作，即把被隔开的两个分离的步骤衔接起来构成一个整体（但仍会保留住存在着两个步骤的痕迹,犹如把一件衣服已裁剪好的各 “部分”缝合起来，仍能够对不同的部分进行区分一样），操作方法是用符号“+”置换分号“；”，这样，遍历运算的方式（此时指各步骤均已作为整体的部分；此说明下文不再特别写出）就可记作：1+1。第2种方式是将新添加的 1 ' （即1）与（1）中原有的 1 ' （即1）合在一起作为一个统一的步骤，记作“1，1”（注：同一个步骤内的两个相邻的1，我们约定用逗号“，”分开），简记作2，称作自然数2。综合以上两种情况，对 “ 1 ， 1 ”实施遍历运算的方式是：“ 1 ；1”和“1，1”，简记作：1+1和2。（3）自然数3的定义。对“ 1 ， 1 ， 1 ”实施遍历运算，我们可在（2）的基础上进行，于是，有且只有如下2种方式：第1种方式是将新添的 1 ' （即1）置于（2）的现有结果“ 1 ；1”和“1，1”的后面作为一个新的独立的步骤，这样得到的遍历运算的方式是： “ 1 ；1；1”和“1，1；1”。第2种方式是将新添的 1 ' （即1）分别并入到（2）的现有结果“ 1 ；1”和“1，1”的各步骤中去，这样得到的遍历运算的方式是： “ 1 ，1；1”、 “ 1 ；1，1”和“1，1，1”。综合以上两种情况，删除所得结果中的重复者，对 “ 1 ， 1 ， 1 ”实施遍历运算的方式是：“ 1 ；1；1”、“1，1；1”、 “ 1 ；1，1”和“1，1，1”，可简记作：1+1+1、2+1、1+2和3，3称作自然数3。（4）自然数4的定义。对“ 1 ， 1 ， 1 ， 1 ”实施遍历运算，我们可在（3）的基础上进行，于是，有且只有如下2种方式（以下采取较为简略的表述形式）：第1种方式是分别在（3）的现有结果 1+1+1 、2+1、1+2和3的后面均添加“+1”，这样得到的遍历运算的方式是：1+1+1+1、2+1+1、1+2+1和3+1。第2种方式是对（3）的现有结果 1+1+1 、2+1、1+2和3中的每一个，依次把其中的各个自然数（注：每次只能针对其中的一个）置换成它的后继（注：我们把 2 叫做1的后继，1的后继也可记作1 + ；把3叫做2的后继，2的后继也可记作2 + 或1 ++ ；… ），这样得到的遍历运算方式是：2+1+1、1+2+1、1+1+2；3+1、2+2；2+2、1+3；4（注：3的后继是4，称作自然数4,其代表的遍历运算方式是 “1，1，1，1”）。综合以上两种情况，删除所得结果中的重复者，对 “ 1 ， 1 ， 1 ， 1 ”实施遍历运算的方式是： 1+1+1+1 、2+1+1、1+2+1、1+1+2、3+1、1+3、2+2和4。 …… 说明： ① 对于同一个 “ 1 ， … 1 ”实施遍历运算，“分步骤”概念的含义可作如下直观的解释：如果猎人每天都对打猎的成果作记录的话（“每天”就是意指一个独立的步骤），“1+1+1”表示，第1天打猎1只，第2天打猎1只，第3天打猎1只；“2+1”表示，第1天打猎2只，第2天打猎1只；“1+2”表示，第1天打猎1只，第2天打猎2只；3表示，只1天就打猎3只。不难看出，遍历运算中的“分步骤”的概念，并不是人为杜撰的，它是客观存在在遍历运算概念中的必然反映。 ② 基于运算结果等效性的考虑，我们称那些凡能对 “ 1 ， … 1 ” 实施遍历运算的所有表达式彼此相等，用符号=（=读作“等于”）连接，例如，1+2=2+1，1+2=3。只是由于遍历运算中只有一个步骤的表达式最为简单，我们就把它视作具有相等关系的各表达式的共同参照物，特称作自然数。现在我们终于可以在重建的自然数理论的框架下来回答陶哲轩（TerenceTao）教授在文第18页中所提及的相关问题：自然数是什么？答：自然数是对人们由抽象思维所得到的诸多的 1 实施遍历运算的一种特殊方式，即只有一个步骤的遍历方式。自然数是可构造的吗？答：是。因为对于任意的 “ 1 ， … 1 ”，我们总可以经过“有限步骤”对其实施“只有一个步骤”的遍历运算（注:这里的两个“步骤”意义不同，务必区分：前者特指 “ 1 ， … 1 ” 的遍历运算结果 “1， … 1 ”中的逗号“，”个数是有限的，后者特指“ 1 ， … 1 ” 的遍历运算结果 “1， … 1 ”中没有分号“；”——前面“自然数2的定义”一段说过，分号“；”的意义是表示将两个步骤隔开）。自然数是由什么构成的？答：特殊的即只有一个步骤的遍历运算方式构成了自然数。自然数是物理对象吗？答：否。因为遍历运算的方式问题，不属物理学的研究范畴，因此，自然数不是物理对象。自然数度量什么？答：自然数不度量任何具体事物，否则它就不是一个极度抽象的概念；凡自然数能从什么地方经过再次抽象而得到，就能回到原处得到应用。 ③ 对于上述表述中的表达式 “ a+b ” , 我们称它是一个加法算式，其中的“+”读作“加”，表示加法运算。a与b 均称作加数；“ a+b ” 的运算结果叫做和，这个和即为与其相等的自然数（即下图式中 “ a+b ”所在行的末项），例如，2+2的和就是4，等等。当然，1+1+2+1也是一个加法算式，其和同样为与其相等的自然数（即下图式中 “ 1+1+2+1 ”所在行的末项），这样就有1+1+2+1=5。 ④ 自然数加法算式的实质是什么？符号“+”早在“自然数2的定义”的段落中就已出现，它的含义是将2个分离的遍历运算步骤衔接起来以便得到一个整体性的遍历运算的方式。由此不难知道，自然数的加法算式表示的是有两个或两个以上步骤的遍历运算方式。根据遍历运算的意义，不难理解，自然数加法的运算性质已包含在遍历运算的概念之中了。综上所述，我们可得到如下自然数及加法算式一览表：自然数及加法算式一览表 1 1+1 ，2 1+1+1 ，2+1，1+2，3 1+1+1+1 ，2+1+1，1+2+1，1+1+2， 3+1 ， 1+3，2+2，4 1+1+1+1+1 ，2+1+1+1，1+2+1+1，1+1+2+1，1+1+1+2，3 +1+1 ， 1+3+1 ，1+1+3，2+2+1，2+1+2，1+2+2，4+1，1+4，3+2，2+3，5 …… 说明： ① 推理并不具有创造性，它只是将前提中蕴涵的东西明白地揭示出来。数学的真理性在于其概念的合理性，概念的合理性可由可构造性来保证，而可构造性就意味着相容性。由实施遍历运算的两种方式可知：（ i ）一览表能够包括任意的自然数和任意的自然数加法算式（注：碰到多重括号的情况，仍然可以化归为一览表中的某个算式，例如，对于算式“1+ ｛［2+（1+1）］+5+［（8+1）+3］｝ ”，如果不使用任何括号，所对应的遍历运算就分为8个步骤，从而原算式可化归为：1+2+1+1+5+8+1+3）。（ ii ）一览表中的两个表达式（指自然数或加法算式）相等，当且仅当（ if and only if (iff) ）它们位于一览表中的同一行，否则会导致矛盾，即与表达式相对应的不同的 “ 1 ， … 1 ”可以一一对应（注：与一览表相对应，我们依次给出的“ 1 ” ；“ 1 ， 1 ” ；“ 1 ， 1 ， 1 ” ； …，其中的任意2个都是相异的，这是不证自明的）。于是我们有结论：一览表是相容的。 ② 自然数的排序。如果a和b都表示自然数，它们要么对应于同一个 “1， … 1 ”，要么对应于不同的“1， … 1 ”，前者记作 a=b ，后者记作a ≠ b，依据排中律，二者必居其一。对于a ≠ b的情况，要么a对应的 “1， … 1 ”是 b 对应的 “1， … 1 ” 的真部分（换一种说法，a 产生于 b之前），即有 b=a +p ，记作b a, （读作b 大于 a，或b 多于 a）,也可记作a b（读作a小于b，或a少于b）；要么 a 对应的 “1， … 1 ”不是 b 对应的 “1， … 1 ” 的真部分，这时b对应的 “1， … 1 ”是 a 对应的 “1， … 1 ” 的真部分，即有 a=b +q ，记作b a , 也可记作a b，依据排中律，二者必居其一。于是我们有如下结论（自然数的序的三岐性）：设 a 和b是自然数，那么下述三命题中恰有一个是真的：a b，a=b，a b。至于自然数的序的有关基本性质，由其证明（这里不予赘述）可知，它们与一览表是相容的。 ③ 从构造方面讲，自然数2借助于自然数1而构成，自然数3借助于自然数2而构成，…据此我们说，自然数是序数；从运算结果讲，遍历运算使得 “ 1 ， … 1 ”变成 “1 ' ， … 1 ' ” ，如果我们不去区分实施这种运算的方式的不同，而只着眼于考虑“ 1 ， … 1 ”或 “1 ' ， … 1 ' ” 的“大小（多少）”，例如，3 5 ，据此我们说，自然数又是基数。 ④ 以往人们总喜欢问2+2为什么等于4之类的问题，但这类问题总让人感到有些怪异，因为这就如同问，有“4”块面包，第1天吃2块第2天又吃2块与第1天就吃4块，为什么结果是一样的？但令人不解的是，问题的怪异性并没有引起人们对应用皮亚诺公理这种方式来刻画自然数概念的合理性产生怀疑，相反，人们依旧执着于依据皮亚诺公理寻求问题答案并给出证明。事实上，问2+2为什么等于4，与问 a 为什么是a没有什么两样。因为根据同一律，a就是a；同样，2+2为什么等于4的道理就应该包含在相等概念的定义之中，何须证明？（注：只有隐含的即具有间接性的东西的被揭示才算得上证明） ——由于对 “ 1 ， … 1 ” 实施遍历运算的所有方式（表达式），我们称它们相等，这就是说，吃掉“4”块面包（注：它可以被视作是对遍历运算概念的直观解释）这个概念本身，就包含着第1天吃2块第2天又吃2块和第1天就吃4块等等各种可能情况。 ⑤ 关于自然数0的规定。猎人第1天没有打到猎物，我们用符号0来表示（0称作自然数0，读作自然数零，或简读作零），第2天打到的猎物是a只，于是规定0+a=a（注：a也可以为0，下同）就显得是自然合理的；同理，猎人第1天打到的猎物是a只，第2天没有打到猎物，我们规定a+0=a同样是自然合理的，因为两种规定都与客观事实相一致。基于这种补充规定，我们可以在一览表最顶端1的上面添上自然数0。为了凸显规律起见，在一览表中的同一行，总是采取把加数个数多的排在前面，把“各加数乘积的较小者”排在前面（注：从第5行起，末项例外；仅为了说话方便起见，这里提前使用了“乘积”的概念）。 1.1.2 自然数加法的交换律和结合律容易说明，加法和乘法的各种运算律是蕴涵于一览表中的。既然一览表是相容的，所以，加法和乘法的各种运算律对于自然数系而言也是相容的。（1）关于自然数加法的交换律没有限制就是被允许。遍历运算只要求把 “ 1 ， … 1 ”中的每个 1 变为 1 即可，因此，自然数加法的交换律就是必然蕴涵于遍历运算概念中的性质。其实，根据自然数的构造方法来验证 “ a+b= b+a ” 也很容易。当两个自然数a和b相加之和等于2时（注：a与b中含0的情况，由于情况简单，这里不予讨论），交换律显然成立；当两个自然数a和b相加之和等于3时，由于“1+2”与“2+1”处于一览表中的同一行，因而它们是相等的。假设当两个自然数a和b的和等于c时, “ a+b=b+a ” 成立，即 “ a+b ” 与 “ b+a ” 位于一览表中的同一行，那么，对于c的后继而言，根据上文中的第2种遍历方式，我们可以知道“（a +1）+b ”、“a +（b +1）”、“（b +1）+ a ”、“b +（a +1）”同样位于一览表中的同一行，因而它们是相等的，这就是说，当两个自然数a和b的和等于c + 时,交换律也成立，故根据数学归纳法，加法的交换律对任意的自然数a和b 均成立。（2）关于自然数加法的结合律自然数加法的结合律与交换律的情形相同，该运算律也是必然蕴涵于遍历运算的概念之中的。理由是，与算式“（a+b）+c”和“a+（b+c）”相对应的遍历运算，如果都被看做是分为3个步骤的话，两个算式均可表示为“a+b+c”，因而二者是相等的。其实，也可以对“（a+b）+c=a+（b+c）”进行“证明”。当a、b、c都等于1时（注：这里不讨论a、b、c中含0 的情况），加法结合律显然成立。假设当 “ 1 ， … 1 ”所对应的自然数是 m 时，“（a+b）+c=a+（b+c）”成立，对于 “ 1 ， … 1 ， 1 ”（注：比前者多了一个 1 ）实施遍历运算，根据上文中的第2种遍历方式，我们有遍历结果：［（a+b）+1 ］ +c 、（a+b）+（c+1）、（a+1）+（b+c）、a+ ［（b+c）+1 ］。对于同一个 “ 1 ， … 1 ”，用两种不同的方式实施遍历运算，其结果是相等的。［（a+b）+1 ］对应的第2种遍历方式是［（a+1）+ b ］和［ a+ （b+1）］，［（b+c）+1 ］对应的第2种遍历方式是［（b+1）+ c ］和［ b+ （c+1）］，做一下代换，于是我们关于 “ 1 ， … 1 ， 1 ” 有遍历运算方式：［（a+1）+ b ］ +c 、［ a+ （b+1）］ +c 、（a+b）+（c+1）、（a+1）+（b+c）、a+ ［（b+1）+ c ］、 a+ ［ b+ （c+1）］。显然，这些算式位于一览表中的同一行，因而它们是相等的，即有：［（a+1）+ b ］ +c= （a+1）+（b+c）；［ a+ （b+1）］ +c= a+ ［（b+1）+ c ］；（a+b）+（c+1）= a+ ［ b+ （c+1）］。这就是说，当 “ 1 ， … 1 ， 1 ”对应的自然数是 m + 时,加法结合律也成立，故根据数学归纳法，加法的结合律对任意的自然数a、b、c恒成立。 1.1.3 关于自然数的乘法运算 1.1.3.1 自然数乘法运算的定义乘法是重复的加法。例如，在一览表中自然数12所在的行，就有12个1相加，6个2相加，4个3相加，3个4相加，2个6相加，于是，我们特别把a+a+…+a（共b个a）记作a × b ，读作a 乘以 b ；a叫做被乘数，表示相同的加数，b叫做乘数，表示相同加数的个数；符号 × 叫做乘号，表示乘法运算；a × b 的运算结果叫做乘积。我们特别规定：b=1时，a × b= a × 1=a ；b=0时，a × b=0 。这里顺便一提的是，问4 × 3 或2 × 6 等为什么等于12，同样是一个让人感到怪异的问题，理由同前面的加法例子。 1.1.3.2 自然数乘法的交换律和结合律（1）关于自然数乘法的交换律假设需要实施遍历运算的对象（由抽象思维得到的若干个 1 ）被排列成 b 行a列（注： a 、b均不为0）。如果我们的遍历运算的第1步是遍历第1行的a个 1 ；第2步是遍历第2行的a个 1 ； …, 第b步是遍历第b行的a个 1 ，根据乘法定义，我们就得到算式a × b ；如果我们的遍历步骤依次按列进行，就得到算式b × a ，由于两种不同的遍历运算方式针对的是同一对象，故有a × b= b × a 。我们特别规定，a与b有一个为0时，a × b 与b × a 均为0。（2）关于自然数乘法的结合律假设需要实施遍历运算的对象有c个，且每个中的 1 都被排成 b 行a列。如果我们的遍历运算是依次遍历c中的每一个，根据乘法定义，我们就得到算式（a × b ） × c 。考虑到上述c个对象中的每一个都有b个a，根据乘法定义，共有b × c 个a ，再一次地根据乘法定义，我们就可得到算式a × （b × c ）。故有（a × b ） × c = a × （b × c ）。 1.1.3.3 自然数乘法对于加法的分配律要对 b+c 个“a个 1 ”实施遍历运算，如果一次性实施遍历运算，算式就是a × （b+c）。如果分为2个步骤，第1步骤先对b个“a个 1 ”实施遍历运算，算式是a × b ；第2步骤再对c个“a个 1 ”实施遍历运算，算式是a × c, 两个步骤合在一起（符号 “+” 本身就是将分离的步骤衔接起来的意思），算式就是 a × b+a × c 。由于不同的遍历方式针对的是同一遍历对象，故有a × （b+c）= a × b+ a × c 。 1.1.4 欧几里得算法下面我们要证明的是：设n是自然数，且q是不等于0的自然数，则存在唯一自然数m和r，使得n=mq+r且0 ≤r q 。证明：当n q 时，m=0, r =n, 命题成立。当n = q 时，m=1, r =0, 命题成立。当n q 且 q=1 时，恒有 m=n ， r =0 ，命题成立。下面考虑q 1 且n q 的情况。当q=2时, 如果n= 2t（t 1 ），则m=t, r =0 ；如果n= 2t+1（t ≥1 ），则有m=t, r =1 。当q=3时, 如果n= 3t（t 1 ），则有m=t, r =0 ；如果n= 3t+1（t ≥1 ），则有m=t, r =1 ；如果n= 3t+2（t ≥1 ），则有m=t, r =2 。假设q 1 且n q 时，存在自然数m和r，使得n=mq+r且0 ≤r q ：如果0 ≤r q -1 ，则 n+1=mq+(r+1) ，满足命题中不等式条件；如果0 ≤ r = q -1 ，则 n+1= （m+1）q+0，满足命题中不等式条件，于是根据归纳法，存在自然数m和r，使得n=mq+r且0 ≤r q 。下面证明m和r的唯一性。设另有m 1 和r 1 ，使得n= m 1 q+r 1 且0 ≤ r 1 q 。假设m 1 ≠ m ，不失一般性，不妨设m 1 = m+ m 2 （m 2 0 ），则有n= m 1 q+ r 1 = mq+ m 2 q+ r 1 ，显然m 2 q+ r 1 r ，故有 n= m 1 q+ r 1 = mq+ m 2 q+ r 1 mq+r ，即有n n ，矛盾，故m 1 =m。如果m 1 =m，但r 1 ≠ r ，不失一般性，不妨设 r 1 r ，则有 n= m 1 q+r 1 = mq+r+ r 2 （r 2 0 ）=n+ r 2 n ，矛盾，故 r 1 = r 。 1.1.5 重建的自然数算术是相容的基于如下结果：自然数及加法算式一览表是相容的；自然数加法的所有运算律、自然数的序的三岐性及自然数的序的基本性质均蕴涵于一览表中，因而它们与一览表是相容的；基于算术中的各类数均可借助于自然数来定义、复杂运算可借助于加法运算来定义，结论是，重建的自然数算术是相容的。 1.2 重建的自然数算术可以推出 Peano 公理 S.C.Kleene 将 Peano 公理稍作改动，列出如下5条 19 ： 1.0 是自然数。 2. 如果n是自然数，则n ' （指n的后继者——笔者）亦是自然数。 3. 只有由1及2给出的才是自然数。 4. 对于任何自然数m与n,当m ' = n ' 时必有 m = n 。 5. 对任何的自然数n，n ' ≠0。前3条没有什么可以多说的，我们看第4条。 m ' 与n ' 相等，由相等概念的定义（“我们称那些凡能对 “ 1 ， … 1 ” 实施遍历运算的所有表达式彼此相等” ）及正文中的一览表是相容的可知， m ' 与n ' 意指同一自然数;若 m ≠ n，则可推出m ' ≠ n ' ，这是不可能的，故第4条得证。再看第5条。由正文关于后继数的定义知，1,2，…均是某自然数的后继数，它们的共同点是均具有一个特定针对的 “ 1 ， … 1 ”，即它们是指对各自的 “ 1 ， … 1 ”实施遍历运算的一种特殊的遍历方式，唯独自然数0不具有这一性质，故0不是任何自然数的后继数。在依据 Peano 公理的讨论中，对于任何自然数n和m，有n +m ' = （n +m ） ' 。在重建的算术理论中，设与n +m 相等的自然数是c，则与c的后继数相等的就有（n +m ） ' 和 n +m ' ，它们分别出现在第1和第2种方法中。在依据 Peano 公理的讨论中，对于任何自然数n和m，有m × n ' =m × n +m 。在重建的自然数理论中，m × n ' 与m × n +m 均表示n ' 个m相加，故同样有 m × n ' =m × n +m 。其余相关条文，不再一一赘述。 1.3 对“直接证明”和 “数学的最基本的概念是什么”的反思重建的自然数算术是相容的，由它可以推出 Peano 公理，因而，Peano公理也是相容的。但是，这种关于算术公理相容性的证明，并不是在Peano公理系统内进行的，它仍是借助了一次“转化”，因此，这样的证明不是 Hilbert 所要求的直接证明。那么，在Peano公理系统内，算术公理的相容性是可证的吗？答案是否定的，理由是：如果算术公理是相容的且可证，那么，作为论据的东西，在逻辑上就应该是先于算术公理的，但这与算术公理是最原始的概念相悖；如果算术公理是相容的但不可证，或者，它不是相容的，那么，所谓“证明算术公理相容性”的说法，就是没有意义的，总之，不管哪种情况，试图证明算术公理的相容性，都是不可能的，也即Hilbert第二问题是不可解的。其实，我们还可以换一种方式来解释这个问题。所谓“证明”，就是指把蕴涵的东西明白的揭示出来，因此，要证明算术公理的相容性，就是要把它揭示出来，那么，从哪里揭示呢？这个对象是什么呢？这个对象当然就是 Peano 公理。 Hilbert 说，“如果一个概念具有矛盾的属性，那我就认为这概念在数学上不存在” 52 。这就是说，相容性与存在性是互为必要条件的，我们要证明算术公理是相容的，就得证明算术公理是存在的，因为对象若不存在，何以谈论其相容性？而要证明算术公理是存在的，又得证明算术公理是相容的，因为不具有相容性的对象是不可能存在的，这就是说，谈论相容性的证明与谈论存在性的证明，不过是同语反复。很明显，在Peano公理系统内，Peano公理就是最原始的概念，因此，我们不可能有更进一步的理由来证明Peano公理或其相容性是成立的。基于这种分析，与上面的结论相同， Hilbert 第二问题是不可解的，它是一个伪问题。上述困境，其根源在于，应用公理法刻画数学的最基本概念（自然数）是不合理的，也即把数学的最基本概念设定为一个间接性的东西，这本身就是矛盾的：既然是间接性的东西，就是可质疑的（例如，自然数算术是否是相容的），需要进一步说明的，但这是不可能的，因为它与自然数是“最基本的”概念相悖。从十九世纪末二十世纪初逐渐拉开序幕的关于数学基础问题的大论战，最终不了了之。因为无论是形式派、逻辑派，还是直观派，它们都未能为数学提供一个合理的基础，事实上，它们也不可能为数学提供一个合理的基础，笔者的不同于以往的理由是：形式派无法解决数学相容性的证明问题，因为Hilbert的第二问题，本身就是一个伪问题；本文所揭示的算术的初始概念，当然也是数学的初始概念（它们是诸多的“ 1 ”和对其所实施的遍历运算），并不为逻辑学所蕴涵，也就是说，不涉及具体的数学概念，逻辑学照样可以建立起来，因此，Russell、Whitehead与Frege的想法，即数学可以从逻辑推导出来，因而是逻辑的一种展延（extension） 302 ，是没有意义的；至于直观派主张整数导源于时间的直观这种思想 311 ，同样是站不住脚的，因为时间的直观对于整数概念而言，完全是个外在的东西。笔者认为，作为数学的最基本的概念，它应该具有直接性（注：本文指诸多的“ 1 ”）和可行性（注：本文指对诸多的“ 1 ”所实施的遍历运算），因而，其存在性是无需怀疑的；进而，因为存在性蕴涵相容性，所以，证明算术的相容性，也就不存在任何逻辑困难了，当然，也就不会出现像Russell所说的，数学是这样一门科学，在其中我们永远不会知道我们所讲的是不是真的 307 。 2 结论 ① 算术公理是相容的，但 Hilbert 第二问题是个伪问题。 ② 应用公理法刻画数学的最基本概念是不合理的，它致使算术的相容性问题不得解决。 ③ 诸多的“ 1 ”和对其所实施的遍历运算这一对概念，是数学的最基本的概念。参考文献：王浩 . 哥德尔（Reflectionson Kurt Gödel）［M］．康宏逹，译．上海：上海译文出版社，1997：中译本序. 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数学的未来 6.3.3.1. 自然数、正整数、序数和量数: wenmiaosong 2016-6-2 04:41; 数学d 未来 6.3.3.1 . 自然数、正整数、序数和量数前面已经讨论过自然数以及皮亚诺的一套公理化的约定体系。讨论数学有一个最大的困难，就是定义太多了。一个时代，一批权威都希望能够留下他们自己的定义，所以那些定义之间的争论既没有结果，更没有意思。自然数就是那样，数论学家的自然数里没有0，因为数论基本上是一种数字游戏，与“实在”没有直接的关系，为了把游戏规则严格化，就不要0。从人类产生数字概念的思维发展过程来说，0与正整数既是不同的，又有共同的属性。说它不同，0是其它正整数的前提。所谓“从无到有”，有还是没有？它显然是一个比数字更早的观念。有了“无生有”，才能够“有生一、一生二、二生三，…三生万物”。这些都是在远古的先人的生活实践中产生的理念。它也是我们今天能不能够获得进一步知识的基础。关于“自然数”的概念，许多数学家强调它的“自然而然”的性质，所以认为不应该包括0，因为小孩子总是先会数1、2、3等，然后才知道有0。这样的说法听起来有道理，其实也没有道理，因为小孩子总是先知道“有”还是“没有”。1、2、3 是有了“有和没有”的观念以后，才产生的。然后才会数数。人们要真正的讨论不论是正整数还是自然数，实际上必须学会数字的“进制”。没有“进制”，实际上就没有正整数也没有自然数。因为在没有进制的情况下，所有的每一个数，都必须有一个各自的“名字”。这就像库克的《物理学原理》中所说的，直到现在，一些原始部落的人，还只会数到3，说再多的数太麻烦了，也没有用处。实际上人类直接的有名称的“数字”，我见过的，现在还有用处的就是英文的“tweelve”。中文中用“天支”表示的“数字”也是有12个“汉字”。当用“天子、地干”合在一起表示“数”的时候(它们只用在时间的表示上)。实际上已经用到了进制。但是这个进制中只能表示60个数字。要表示更长的年代，就必须加上皇朝和皇帝的年号，一个皇帝为了想在掌权超过60年后，不至重复，还常常要更改年号。实在是很麻烦的。现在一些国学权威在自己的大作上总喜欢署以“甲午、辛亥”等的年号，表示他很有国学的根底。但是他自己也不清楚那个本来只能表示60年的年份，现在，特别是后人是怎样来计算呢？它是以那个时侯开始计算的。国学家的学问，从人类实践和思维的认知逻辑上来说，正像现在的某个明星所说的，不会高于初中一年级的水平。他们的自然科学基础知识的水平不会高于欧几里德时代的水平。而现在我们国家的国学还像雨后春笋那样蓬蓬勃勃地发展着，我真不知道这是我国的进步，还是倒退。要考虑进制，0是否自然数，那么就没有什么可以讨论的了，0必须是“自然数”的一个成员。没有“0”这样的符号，什么自然数和正整数都写不出来了。“自然数”在数学上好像是一个最有学问的数，但是我至今搞不清楚数学家到底用它来表示什么？其实，整数，可以表示负无限大到正无限大的，自然包括0的所有整数，正整数表示零到无限大的所有整数，就很清楚了。“自然数”，那样的名字一出现，概念反而不清楚了。现代数学中常有两类概念：一类来自数学家们的“约定” ，另一类来自大自然所展现的“实在”。就像数字，“自然数”来自数学家的“约定”，数论学家“约定”了不包括0，集合论数学家又约定了包括0，后来数学学会又规定了包括0的自然数定义。而从进制产生的数字实际上不需要“约定”，如果把进制内的数字叫做“基数”那么0自然要包括在基数之内，基数和进制产生了数字。不论二进制、十进制还是12进制，从数字的产生来说，它们之间是等价的。数字就是正整数，这个概念本来是清楚的。它和“实在”的联系就是笛卡尔坐标系中，以0为原点以1为“定标”的一维的笛卡尔坐标系。当然这个“实在”也不是任何具体实物的“实在”，而是古人用来表示各种“实在”所采用的抽象方法，也就是古人的结绳记事那样的“结”和“事”之间的联系的一种“抽象化”的表示方式。这也就是古希腊德谟克利特所说的“点和空白”来表示的“实在”。人们所有的“实在”的感觉都要通过“点和空白”来表述。“点”是明确的，空白是抽象的，点上表示确定的数。点之间的空白可以表示那些数字之间的逻辑关系。在那样的数字体系上，我们就可以进一步来讨论“序数”和“量数”的逻辑属性了。 “序数”和“量数”是数字的两个不同的逻辑属性。“序数”是数字的一个很重要的内涵。要“记事”，办法很多，放一块小石头，比在绳上打结方便得多，但是小石头放在一起没有次序就会分不清各个小石头记的是什么事。结绳就有了次序。“序数”是人类思维中所出现的最重要的理念之一。它的内涵极其复杂，不仅在自然科学上，在人文和社会学的功能上同样重要。大自然中的一切都需要“次序”，人类社会取法自然也要“次序”。这样的有广阔、复杂内涵的原初的概念，要认识它是不容易的，需要在与各种人类实践中的直觉观念的不断反复的比较中来逐步加深认识。现代数学那种过分简单地用抽象化的形式来表示，一般说来产生不了多少好作用，而坏作用却总是要多得多。当然我也不是反对抽象化，抽象化是人类思维发展的极为重要的一步，但是把每一个概念抽象化以后，一定要记住那种抽象化只是一种“有限领域”内的暂时的手段，是需要随时修正的，不能由此去编织出整个人类知识的逻辑长链。笛卡尔关于编制人类知识长链的想法是好的，但是不能通过形式主义的抽象化的道路来达到。 “序数”和“量数”都是正整数的不同的逻辑属性。我们对于“序数”和“量数”的确切的理解，需要的不是那个“自然数”的规定，它们之间的差别来自运算，而运算又来自人们对于“序数”和“量数”的直觉观念。“序数”主要用来表示“次序”而“量数”则用来表示于那个数字所表示“数量”，实际上是表示两个序数间的那段空白的数量。“次序”中也包含着“数量”的概念，但是又不完全是数量的概念，还有更重要的次序的概念。所以作为序数，一般说来人们不用“负数”，负方向的次序一般来说没有意义。所以序数一般是指正整数，与此相联系的运算中加法是基本的，减法和乘法没有普遍的意义，只能有条件的使用。而在“量数”中人们普遍地使用加、减法和乘法，而只是有条件地使用除法。 “序数”和“量数”实际上都只是整数的两个不同的逻辑属性或逻辑功能。我们根本不可能把那些“逻辑功能”都抽象化成一个完整的“公理化的集合体系”。“集合”的概念和形式本来是好的，把一些同类的元素集合在一起，进行分析，得出有用的结论。这样的集合和分析的基础就是具有直观性的“实在”。把表示不同的直观逻辑概念的“数”集合在一起，是不会分析出合理的结果的。哥德尔所证明的一阶逻辑下公理化的体系，对于序数是不完备的，这是很自然的，凭直觉就可以得到的结论。 “序数”的逻辑观念的出现看起来是早于“量数”，从有文字记载的历史来看，中华文明中首先出现的是数字是来自测量太阳的“光阴”，那个数字首先是用来记“时间”的。早西方最古老的《旧约》中开篇就是一个星期六天的序数。到现在我们讨论的欧氏几何实际上不考虑时间，不是时间不重要，而是时间太复杂。关于时间的公理体系涉及到与时间联系在一起的“运动”、“能量”和“场(与波)”的概念，由于那些概念的具体的感性材料还不够，所以还无法建立像“空间”那样的“公理化体系”。数学本身是一种“抽象”，但是这种抽象只能是对于足够的具体的感性材料的“抽象”，当感性材料不够的时候，只能在哲学讨论式的思维层面上的来“抽象”，如时间表示“循序性”。但是我们还无法搞清楚那样的质朴观念中的确实的内涵，还无法进入严谨的数学演绎推理的范围之内。数学的严谨性的追求当然是好的，但是把不严谨的或还不可能严谨的事物，也一定要列入严谨的范围，是没有意义的。把本来不可能严谨的逻辑悖论硬当作严谨的数学对象来处理，不但不会对人类思维的发展带来好处，反而会影响人类思维的发展。在今天的这个世界里，在大自然面前，人类能够严谨地用数学演绎推理来解决的问题依然比“皇天后土”的时代多不了多少。这不是说数学不重要，我们要非常珍惜那些已经得到的可以严谨地用数学演绎推理所得到的“公理”。那样的“公理”就是我们今天的“博雅教育”的“核心”。离开了那个公理的教育，人类是无法进步的。但是珍惜“公理”就首先要搞清楚那些公理的“有限论域”，那些公理所赖以成立的“物理实在”。不断去除其中的逻辑悖论，而不是用逻辑悖论、用那些庸人的“假设和约定”，来无限扩大它的范围。 “序数”和“量数”都是正整数的不同的逻辑属性。我们对于“序数”和“量数”的确切的理解，需要的不是数学家的过多的约定，而是它们之间的“运算”的差别。而运算又来自人们对于“序数”和“量数”的直觉观念。科学家们的“假定”和“约定”在一定的历史时期也是必须的。因为来自大自然的人人可以感受的“公理”实在是很不容易的，到今天，我们还是搞不清楚人类的历史有多么长了，几十万年，几百万年，抑或上千万年？在这么漫长的人类历史中，那种人人可以感受的、并能够用严谨的数学模式来表达的“公理”能有几个？所以人间的科学绝大部分依然都是依靠科学家们约定的内部包含有不少逻辑悖论的带有直觉性的“感性材料”。当然在一个“科学团体”，像“现代物理学家”那样，在他们的上升期，他们做出一些科学的定义，对于公众认识大自然是有帮助的。所以20世纪初期的哲学家罗素，把他们称为比“宗教裁判所更有力量的人”，要美国人都相信他们。但是既然是宗教裁判所那样的力量，总有一天也会像宗教裁判所那样的退出历史的舞台。今天，他们真的走向了没落了。最近一些世界权威的现代数学家组织建议用tao来代替pai 。并建议6月28日定为全世界的tao 节。tao是什么？是圆周长和半径之比，是6.28。它的好处就是很多公式里的2pai可以不再出现2。他们大概不知道只有直径是可以测量的“量”，他们不知道人类的知识和人类测量之间的关系——人类的知识都是通过测量得到的。所以那批没有正事可做，的权威现代数学家以此显示自己的存在，但是他们改为的愚蠢的建议，肯定不会被接受的。当然抽象化的形式思维是需要的，但是任何抽象化的形式思维，一旦脱离了具体的测量，没有对于通过测量手段所得到的具体的“物理实在”的深刻理解，那种纯抽象化，实际上只能是一种游戏或赌博。现在是人类的思维发展摆脱形式主义思维的时候了。我们讨论欧氏几何的公理体系，先讨论整数、序数和量数，看起来和欧氏几何关系不大，实际上它就是欧氏几何的前提，它在思维能力上的、数学上的前提。欧氏几何的公理体系，也有两个前提：一个是物理实在的，那就是关于“平面”的观念，平面不存在于任何具体的事物之中，而是对于存在于所有的用来表示“点”或“球”的“实物体系”的理想化存在形式的描述中。这个抽象化的描述体系又是很具体的，它就是把球的半径看成无限大，球面就抽象为“平面”。另一个前提就是人们对于整数(或数字)的直观的认识。在这个前提上我们再来讨论欧氏几何的公理体系与进一步的数字体系：有理数、无理数和实数体系之间，以及与运算：四则运算、幂运算和微积分运算之间的关系。; 个人分类: 数学的未来|638 次阅读|0 个评论

27～30节的“15数区间”举例02: guoyiti111 2016-5-28 11:42; 27～30节的“15数区间”举例02 下面各表中的自然数分别属于27～ 30节的素变进制数。注：在本人博文附表中，某自然数的“最小素因数”若为空格，则该自然数为素数。例如本次举例02 各表中的第1行和第15行的自然数为素数。预留“作业”： “15数区间” 的第9数为素数的话， “15数区间”会如何变化？再次重申：恳请各位阅读者对本人的所有博文批评指正！; 2091 次阅读|0 个评论

11~13节的 “15数区间” 举例: guoyiti111 2016-1-6 10:29; 下面各表中的自然数分别属于11～13节的素变进制数关于素变进制数的理念请见拙作“ 变进制及正整数(修改01) ”; 1609 次阅读|0 个评论

8~10节的 “15数区间” 举例: guoyiti111 2015-12-23 14:28; 下面各表中的自然数分别属于8～10节的素变进制数; 1047 次阅读|0 个评论

5~7节的 “15数区间” 举例: guoyiti111 2015-12-10 14:29; 下面各表中的自然数分别属于5～7节数; 1457 次阅读|0 个评论

15数区间: guoyiti111 2015-11-26 10:57; 15数区间从本文开始，将研究连续自然数。先研究15个连续自然数这一类。看看下列4个闭区间的数 ; ; ; 用4个表格表述上述4个闭区间的数（见附表）。可归纳出 ① 闭区间各有15个连续自然数 ② 有3个区间的最小数和最大数是素数 ③ 和中序号为2～14的数是合数，且最小素因数＜ ’ 21 (=13)，不同区间但序号相同的数的最小素因数也相同将符合上述三点的闭区间称为15数区间例如和但和不属于15数区间试问：15数区间是否有无穷个？; 1755 次阅读|0 个评论

《数学辩证法》3.5 自然数的有限性: 热度 1 fanxshan 2015-9-21 11:31; 　　　　 3.5 自然数的有限性　　自然数有没有上限？这个问题同样争论了几千年。　　在对自然数进行了唯物主义的定义之后，自然数就存在着上限。　　毫无疑问，自然数的上限应该等于宇宙中基本粒子的总个数，这个数字虽然不易准确确定，但可以粗略地估算。然而，即使是最粗略的估算，哪怕误差达到100倍，1000倍，在数学中已经足够了。对于数学家与哲学家来说，确定它是否存在才是最重要的问题。至于它到底是多少，有多大的误差，已经无足轻重。　　一个氢原子的质量约为1.66×10 -27 千克；基本粒子的质量约为1.66×10 -36 千克。有数据称宇宙的总质量为1.513×10 54 千克，由此可求出宇宙中基本粒子的总数约为9.11×10 89 个，可近似看作1×10 90 个。因此，自然数是有界的，其所有成员可表示为一个集合　　{0，1，2，3，……，1×10 90 } 　　太阳系的总质量为1.99166×10 30 千克，相当于基本粒子的数量1.22×10 66 个。在太阳系范围内，自然数系所有成员可表示为集合　　{0，1，2，3，……，1.22×10 66 } 　　根据万有引力的计算结果，地球的总质量约为5.9722×10 24 千克，相当于基本粒子的数量为3.6×10 60 个。因此在地球上，自然数系所有成员可表示为集合　　{0，1，2，3，……，3.6×10 60 } 　　必须说明，这种估算是粗略的、暂时的。随着天文学的发展以及人类对物质结构认识的深入，最小粒子的质量以及宇宙、太阳系、地球的质量将越来越精确，不同密闭空间内自然数系集合的上限值也会随之变化，但集合的下限值0会保持不变。　　数学毕竟是人类的工具。是否方便使用，不仅取决于工具本身，还取决于具体的应用环境。对于一个木匠来说，其常用尺寸基本局限在1毫米～2米之间，拥有一把最小刻度1毫米、总长度为2米的钢卷尺已经能够满足绝大多数要求，没有必要使用又大又重的5米或20米规格的钢卷尺，更没有必要随身携带一把长达5亿米的钢卷尺。也就是说，无论尺的规格如何，只要基本刻度相同，长尺和短尺对于应用本身基本上没有影响。同理，人类的日常生活绝大多数局限于地球范围之内，将地球看作一个封闭的小“宇宙”，对于一般数学计算已经绰绰有余。　　所以，无论全宇宙、太阳系还是地球范围内，自然数在局部总是有限的，这一性质称为自然数的“局部有限性”。; 1432 次阅读|2 个评论

《数学辩证法》3.6 自然轴: fanxshan 2015-9-21 11:23; 　　 3.6 自然轴　　基本粒子除了质量之外，还有一定的尺寸。设基本粒子为球形，则每个粒子都有着确定的直径。将许多基本粒子排成一条直线，就形成了长度，可以间接表达粒子的数量，于是数轴出现了。这一数轴称为“自然轴”，上面均匀分布着许多点，分别代表0，1，2，3，4，……，1000，……，1×10 30 ，……，1×10 90 。如图3-1所示。　　自然轴是数学中最早、最原始的数轴，它第一次将“数”与“形”有机地结合起来，自然数系中“点”、“线”的概念产生了。　　不难理解，自然数系中“点”的最小直径约为1×10 -18 米，“线”的最小宽度亦约为1×10 -18 米，“面”的最小面积约为1×10 -36 平方米，“体”的最小体积约为1×10 -54 立方米。　　自然轴上1厘米的长度约由1×10 16 个基本粒子组成，也可以说，1厘米的自然轴长度上约有1×10 16 个自然数，即1亿亿。　　由于自然数的物质性，作为自然数载体的点、线、面、体、球都不是抽象的而是具体的。它们不仅有最小尺寸，而且还有最小重量、最小线密度。　　另外，由于自然数、自然轴的不连续性，当用于表达物质运动时就遇到了困难。　　在图3-1中，设有一乌龟沿着自然轴从左向右运动，在10秒的时间内，从自然轴的0位置爬到了1位置。问：在第6秒的时刻，这个乌龟处于什么位置？　　可能有人毫不迟疑地回答：0.6。　　但是，在自然数系中，0.6这个数值不存在，因此这个答案是错误的。运动具有连续性、无限性，无法表达物质的运动正是自然数的特性之一。　　; 1076 次阅读|0 个评论

《数学辩证法》3.4 “死亡之源”: fanxshan 2015-9-19 23:02; 　　　　3.4 “死亡之源” 　　唯心主义是怎样定义自然数1的呢？我们不妨择其“出彩”者列在下面，供大家观摩、欣赏、玩味。　　1891年，33岁的意大利数学家皮亚诺创造了一个专门的公理系统来定义自然数：　　（1）1是一个自然数；　　（2）1不是任何其他自然数的后继者；　　（3）每一个自然数a都有一个后继者；　　（4）如果a与b的后继者相等，则a与b也相等；　　（5）若一个由自然数组成的集合S含有1，又若当S含有任一数a时，它一定也含有a的后继者，则S就含有全部自然数。　　小学生学数学是从自然数1开始的。我们不敢想象，面对7岁的儿童，数学老师该如何向孩子们解释清楚皮亚诺大师的“1”？该如何向孩子们解释什么叫“集合”，什么叫“后继者”，什么叫“若当”，什么叫“含有”，什么叫“属于”！　　当孩子们问为什么1+1=2时，老师们通常会这样解释：你左手拿一个苹果，右手拿一个苹果。现在把两只手放在一起，瞧！这不是2个苹果吗？　　但这样的解释在皮亚诺们看来，是完全错误的。这样的老师根本就不懂数学，是误人子弟！　　在1+1为什么等于2的问题上，正统的数学家们给出的“标准”答案是这样的：　　根据皮亚诺公理（1），1是一个自然数；又根据皮亚诺公理（3），每一个自然数a都有一个后继者。故可知1的后面一定是2，于是1+1=2。证明完毕。　　在数学家们看来，1+1之所以等于2，其原因既不在于人类日常生活以及科学实践的千万次反复验证，也不在于它是一个无法否认的客观现实，而是缘于皮亚诺公理的存在，是皮亚诺公理的出现才使得1+1=2具有了数学上的逻辑性、合理性与合法性！　　不过，比起“20世纪最伟大的哲学家、数学家”罗素来，皮亚诺对自然数“1”的定义还是太小儿科了。在名著《数学原理》中，罗素、怀特海二人将自然数1定义为。　　这一定义不仅能够即刻惊呆十来岁的小伙伴们，也足以让学富五车、见多识广的科学泰斗们心跳加快、血压升高、头晕目眩、两腿发软、站立不住，立即承认自己是数学白痴。庞加莱曾嘲讽地说：对于从未听过数字1的人来说，这的确是一个令人赞叹的定义。　　学生们对唯心主义数学的反应如何呢？　　据《扬子晚报》报道，2015年2月5日，武汉市的董女士在其10岁女儿晶晶的书包里发现一首手写的小诗，题目为“数学是死亡之源”。诗是这样写的：　　数学是死亡之源，　　它像入地狱般痛苦。　　让孩子想破脑汁，　　让家长急得转圈。　　它让校园死气沉沉，　　它使生命慢慢离去。　　生命从数学中走去，　　那是生命的敌人…… 　　原来，这首诗是晶晶和另外两个同班女生一起创作的。她们三个人都非常不喜欢数学。　　我们能责备这3个孩子吗？　　不能。　　分辨香和臭是人类的本能，是一个正常人与生俱来的本领。人的年龄越小，受到的后天污染就越少，人的感觉器官就越灵敏。　　3个小女孩对现代数学的厌恶与恐惧，不是她们的智力或能力有问题，而是人类健康的感觉器官与思维系统对臭气熏天的唯心主义数学体系所做出的迅速、准确、正确、真实、自然的反应。; 685 次阅读|0 个评论

《数学辩证法》3.3 自然数的载体: fanxshan 2015-9-19 22:55; 　　　　3.3　自然数的载体　　自然数载体的存在性被证实之后，下一个问题是：那个载体是什么？　　古希腊唯物主义哲学家德谟克里特提出：世界的本原是“原子”与“虚空”。原子是不可分割的物质微粒，是一切物质的组成成分或单位；它的基本属性是绝对的充实性，内部没有任何空隙；同时，由于它太小，因而是看不见的。“虚空”则是原子运动的场所和必要条件。他还认为：原子只有形状、大小和排列方式的不同，而没有性质的差别。　　不难发现，德谟克里特所说的“原子”就是我们正在寻找的自然数的载体，它具有均一性和不可分割性。因此，德谟克里特的“原子”就是自然数的基本单位“1”。　　德谟克里特还认为：由原子构成的物质在“虚空”中运动。物质是微粒性的、不连续的，而物质的运动是无限可分的，连续的。　　“虚空”就是什么也没有。它与“有”对立。“虚空”可以用特殊的数学符号“0”来表示。　　于是，数学的两大基本元素1和0诞生了。　　最简单的物质体系是一个原子与“虚空”所构成的体系。　　数字1表示单个原子，数字0表示“虚空”、“无”。　　物质既不能凭空产生，也不能被消灭。因此，“有”与“无”之间的界限是分明的，二者之间有着不可逾越的鸿沟。　　反映在数学上，0与1之间什么也没有。　　有了自然数1，也就有了2、3、4、5、6、7、8、9、10等，于是自然数系诞生了。　　德谟克里特想象中的“原子”，原意指的是“不可再分割的最小微粒”。现代课本上的“原子”这一名称，被化学家们用来表示满足物质特性的基本粒子。例如铁原子、氧原子、铜原子。物理学家们发现，这些原子仍然是可分的。原子还可以分为原子核与电子，原子核又可以分为质子与中子。因此，现代科学中的原子概念与德谟克里特定义的“原子”概念已经有了显著的区别。当然这不能责怪德谟克里特，只能责怪近代化学家、物理学家，他们自以为发现了德谟克里特定义的不可再分的“原子”，后来才发现自己错了。　　据物理学家的最新研究，最接近德谟克里特“原子”定义的物质，现在的名称叫“夸克”，是一种基本粒子，其直径约为1×10 -18 米，质量约为氢原子质量的十亿分之一，即1.66×10 -36 千克。　　将单个基本粒子夸克定义为自然数“1”，那么这个数字1就具有了特定的含义——仅仅代表单个基本粒子，而不是任何其他东西。相应地，自然数2代表2个基本粒子，自然数3代表3个基本粒子，以此类推。　　自然数“1”的物理意义不是恒定不变的。随着科学技术的发展，物理学家可能发现比夸克更小的基本粒子，数学中自然数“1”的定义也自动随之而变，更新、更小的基本粒子也将自动承担起作为自然数“1”的载体的神圣使命。　　宇宙万物都是由基本粒子组成的，尽管它们在宏观上有外观、结构、功能和数量上的不同。由于粒子同时可以看作“自然数”，因此也可以简单地说宇宙万物都是由“数”组成的，“万物皆数”，这正是毕达哥拉斯学派思想的精华。　　不妨对式（2-1）作一个简单的数学处理：等号两边同时立方，再同乘以物质密度。于是等号左边就是某个宏观物体，等号右边就是一个数字与基本粒子重量的乘积。这就是“万物皆数”的数学表达式。　　在毕达哥拉斯、德谟克里特之后，另一位数学大师欧几里得在其不朽名著《几何原本》中，给出了自然数“1”的唯物主义的定义：一个单位是一切事物凭借它存在的基础，被称为一。　　2000多年后，德国数学家克罗内克声称：“上帝创造了自然数，其余都是人造的。”，这是另一种形式的“万物皆数”，与毕达哥拉斯学派遥相呼应。　　根据物质世界的特性来确定0、1的意义，并以这两个数字为基础构成自然数系，是数学唯物主义区别于其他数学流派的显著的、重要的特征。　　在人类历史上，数学唯物主义第一次将德谟克里特、毕达哥拉斯、赫拉克利特、芝诺、亚里士多德、欧几里得的学说融为一个和谐的整体，并且为现代物理尤其是量子力学奠定了坚实的数学基础。; 810 次阅读|0 个评论

《数学辩证法》3.1 自然数的特征: fanxshan 2015-9-19 22:46; 　　 3.1　自然数的特征　　自然数都有哪些特性呢？　　日常生活中单个物品之间数量的计算，一般都是通过自然数来进行的。　　3只大羊+5只小羊=8只羊　　3只公鸡+5只母鸡=8只鸡　　3只白兔+5只黑兔=8只兔　　3棵杨树+5棵柳树=8棵树　　3名男生+5名女生=8名学生　　3个苹果+5个桃子=8个水果　　考察了上面的实际应用之后，不难发现自然数的2个特性。　　（1）均一性。使用自然数时，必须忽略个体之间的差别。　　（2）不可分割性。使用自然数时，涉及的对象都是整体，不能一分为二、一分为三等。　　因此，自然数具有均一性和不可分割性。　　在历史上，自然数很可能是在人们清点物品的过程中模糊地产生的。那么，这些日常物品是否具备自然数的全部特征呢？或者说，日常物品是否自然数的真正载体呢？　　答案是否定的。　　一个最直接的原因，日常生活中的物品常常是可分的，不能满足自然数不可分割的特性。例如，1棵树可以锯成2段，一个苹果可以切成3块，一只大羊的体重相当于5只小羊。　　其次，日常物品作为自然数的载体时，具有不确定性。　　假设古人有一只羊和一只鸡，羊的重量是鸡重量的大约20倍。如果一只羊用自然数1表示，那么比羊轻得多的鸡就无法用自然数表示，羊和鸡的总重量也无法用自然数表示。　　遇到这种情况，较好的办法是用较小、较轻的物品作为自然数1。这样，较大、较重的物品就是一个大约的倍数，近似等于一个大的自然数。在前面的问题中，如果一只鸡用1表示，那么羊的重量就是20，羊和鸡的总重量就是21。　　但问题并没有结束。当鸡与比它更小、更轻的物品比较时，新问题又出来了。　　如果以鸡作1，那么比鸡轻得多的鸡蛋的重量就无法表示；　　如果以鸡蛋作1，那么比鸡蛋轻得多的蚂蚁的重量就无法表示；　　如果以蚂蚁作1，那么比蚂蚁轻得多的蚁卵的重量就无法表示。　　所以，日常生活中的普通物品不可能是自然数的真正载体。　　人们之所以能够利用自然数来进行日常生活中鸡、兔、水果的计算，其原因在于鸡、兔、水果在某些特定情况下满足了自然数的特性。具体地说，就是当不考虑个体差别、不考虑个体残缺的情况下，鸡、兔、水果等物品可以近似地看作自然数的载体，近似地用自然数来计算。　　自然数的真正载体是什么？在自然界中，是否存在一种物体，能够同时满足自然数的2个条件呢？　　; 1038 次阅读|0 个评论

0是自然数吗？: 热度 17 曹 2014-1-16 19:10; 哪位大侠回答以下问题？（1）0是自然数吗？（2）自然数的说法从何而来，为何叫“自然数”？其对应的英文是啥？; 个人分类: 科普|13770 次阅读|18 个评论

数学唯物主义基本原理（v3.03）（隐藏）: fanxshan 2013-12-25 15:10; 本人新书《数学辩证法》即将出版，为避免与旧内容混淆，误导网友，从即日起，相关博文改为隐藏状态（自己可见）~~特此记之——2015.7.30 本文现在扩充到10万字以上，下一版称4.0版，已经不适合在此公布。何时公布，尚未确定。现改为好友可见。【阅读提示】本次更新内容：复数与历史唯物主义( 第8章之 10)；集合数(第9章)，向量数( 第10章 )、矩阵数( 第11章 )。文章较长，增加了目录后称3.03版本。上一版本（v2.10）改为好友可见。【摘要】从辩证唯物主义立场出发，对数学的基础、时空观、芝诺悖论、无穷、数的连续性以及各种数的现实意义、数系间的相互关系等重大历史问题进行了深入探索，形成了完整的理论体系，创立了数学唯物主义。研究表明：（1）将数学建立在什么基础上的问题，是数学的根本问题。建立在物质世界及其运动基础上的是数学唯物主义，建立在几何公理或其它公理系统上的是数学唯心主义。（2）芝诺悖论表明：时间与空间具有完全不同的数学特征，空间有限而时间无限,必须单独进行描述。数学中只允许潜无穷而不允许实无穷；（3）空间是物质的存在方式，时间是物质运动在人脑中的反映；（4）数的本质是量子化的、不连续的。自然数1代表一个基本粒子，具有不可分割性、物质性与绝对性；有理数由自然数演化而来，正数、负数、虚数和复数皆由有理数演化而来；集合数、向量数以及矩阵数是数的扩充与推广，是广义数。新数的产生是人类实践活动在数学中的反映，是一个不以人的意志为转移的社会历史进程；（5）自然数是一个有限集合；以自然数集合为基础可以构造出任意集合包括潜无穷集合；（6）无理数表示不存在的、有缺陷的事物，它是一种近似、一个过渡、一个半成品，不是合法的数；（7）各数系间存在着换算关系。“负负得正”、“虚虚得负”即是两数系间换算关系的体现；（8）现实生活中存在着大量事物，必须用虚数和复数来表示；（9）数学中的复数概念与哲学中的矛盾概念严格对应。将复数形式引入哲学，可以使哲学数学化；（10）辩证唯物主义是马克思主义哲学的主体，历史唯物主义与数学唯物主义是辩证唯物主义的重要应用。【关键词】数学唯物主义自然数有理数虚数复数矛盾无穷 20 世纪初，经过牛顿、法拉第、赫兹、麦克斯韦、惠更斯、安培、瓦特、焦耳等大师前后几百年的共同努力，物理学的宏伟大厦正沐浴在金色的晚霞之中。然而，“晴朗的天空远处漂浮着的两朵小小的、令人不安的乌云”——麦克耳 - 莫雷实验以及黑体辐射实验，最终演化为一场惊天动地的暴风骤雨。在这场伟大的革命中，旧理论土崩瓦解，新理论应运而生，并引导物理学进入了一个辉煌的新世纪。同一时期的数学领域，存在的问题与物理学基本相同，但却少了些幸运。几何、代数、微积分、复变函数已经相当成熟，数学大厦看起来稳如泰山，数学家们所要做的，不过对前人已经基本完工的大厦做些修补、之后来一次彻底的装修，使它看起来更加漂亮。 1900 年 8 月，希尔伯特在巴黎国际数学家代表大会作了一个专题报告，提出了 23 个有待解决的数学问题，正是这种心态的直接反映。然而没有一个人注意到，晴朗的数学天空中一直漂浮着两朵乌云——负数和虚数，几个世纪以来一直徘徊不散。如果将数学比做一栋建筑，那么“数”就是最基本的建筑材料——砖块。在对砖块的性能、参数缺乏基本了解的情况下，就盲目地盖起高耸入云的摩天大楼，其所带来的危害及后果，是难以想象的。数学的第一朵乌云：负数的本质以及关于“负负得正”的证明。在历史上，围绕着“负数是不是数”的问题曾经有过长时间的、激烈的争论，反对派中不乏著名的数学家。据多篇文献称：法国数学家、物理学家帕斯卡认为从 0 中减去 4 纯粹是胡闹；《大术》的作者卡尔丹给出了方程的负数根，但他认为那是不可能的解，负根是虚无的，不过是一些记号而已；“代数学之父”韦达不承认负数；解析几何的创始人笛卡尔也只是部分地接受负数。在很长的时间里，西方人带着怀疑的心情看待负数，并称其为“伪数”、“假想数”、“不可能数”等等。尤为严重的是，无论数学家们怎样努力，始终无法从理论上证明“负负得正”这一看似极为简单的命题。数学的第二朵乌云：虚数的现实性。自从遭遇负数开平方以来，人们逐渐接受了虚数的概念并努力寻找它的现实意义，但一直未能成功，没人能够说清它代表什么，这在数学的历史上还是第一次。学者们在谈及虚数时，为了掩饰尴尬，甚至不惜借助于妖魔鬼怪。 1702 年，德国数学家莱布尼兹宣称：“ 虚数是美妙而奇异的神灵的避难所，它几乎是既存在又不存在的两栖物。” 1770 年，欧拉这样评价虚数：“ 一切形如、的数学式，都是不可能有的、想象的数，它们纯属虚幻。 ” 几个世纪以来，虚数以及它的孪生兄弟复数通过数学渗透到多个研究领域，已经成为现代科学体系中不可分割的重要组成部分。然而，虚数和复数的现实意义长期得不到明确，不仅损害了数学的严谨性，阻碍了现代科学的健康发展，同时也是对哲学的严峻挑战。但数学家们对此视而不见。两朵小小的乌云在数学王国蔚蓝的天空中已经漂浮了 500 年。它们能否像物理学的两朵乌云一样，也带来一场翻天覆地的疾风暴雨，荡尽历史的污垢与尘埃，让数学得到新生？遗憾的是，做为数学界的领军人物，希尔伯特不仅看不到数学面临的深刻危机，反而使数学蒙受一场更大的灾难——由康托尔一手炮制的建立在实无穷基础之上的集合论，让所有的数学家跌入了这个烂泥塘里。当其它专业的科学家们大踏步地向着未知领域进军的时候，数学家们却在这个烂泥塘里苦苦挣扎，再也爬不出来，成为科学大军中的落伍者。在一片迷惘之中，数学家们甚至忘记了自己的任务是开拓未知世界，竟然将自己手中的工具——数学本身当然研究的对象，钻进逻辑的怪圈中不能自拔，最后不仅不清楚自己在做什么，甚至忘记了自己是谁。唯心主义数学家的代表人物伯特兰·罗素甚至荒谬地认为：数学是这样一门学科，在其中我们永远不会知道自己所讲的是什么，也不知道我们所说的是不是真的。他在《我的哲学发展》一书中无可奈何地表达了对数学的失望：一直以来，我希望在数学中找到的绝对的确定性已经消失在一个令人困惑的迷宫之中。数学家 M ·克莱因比较清楚地看到现代数学没落的根源以及所面临的尴尬：研究导致了研究，由此又导致了研究。在今天的数学殿堂中，已没有人敢问及意义及目标……厚厚的象牙塔挡住了深居其间的学者的视线，而这些与世隔绝的头脑也满足于孤立的境地。在一次次歇斯底里的幻觉之中，数学家们陷入一场集体的、疯狂的自恋，制造出大批极度抽象、与现实生活绝无丝毫联系的、任何人也无法验证其真伪的“定义”、“定理”，包装成最新的“理论”，强行推销给年轻的大学生们，让他们精神崩溃。所有这一切，表面上是康托尔的集合论所引起的。但真正的罪魁祸首，应当归结于另一个更古老的概念——无穷。伟大的数学家高斯在 1831 年写给舒马赫的信中指出：我反对把无穷量作为现实的实体来用，在数学中这是永远不允许的。早在康托尔的无穷集合论刚刚出现的时候，就引起了部分头脑清醒的数学家的高度警觉。康托尔过去的老师、德高望重的德国数学家克罗内克（ Leopold Cronecker ）就是其中之一，他坚决反对无穷集合论，并利用自己的威望和影响，在自己的有生之年，尽一切努力阻止无穷集合论的散布与传播，甚至直接称康托尔为“ 科学骗子、叛徒、毒害青年的人 ”。著名法国数学家彭加勒（ Henri Poincaré ）则宣称：后人将把（康托尔的）集合论当做一种疾病。如今，克罗内克和彭加勒的担心已经变成残酷的现实。以康托尔的无穷集合论为标志的近代数学不仅没有给社会带来进步，相反却成了数学知识体系中一颗巨大的毒瘤，阻碍着数学的健康发展，摧残着一代又一代年轻人。网络上流传着一则短文《一位数学专业女生大学毕业前的感慨》，道出了无数人的心声——那是对近代数学“成就”的血泪控诉： “数学分析要上三个学期从头到尾都是极限、无穷 / 每次做完一道题我都要注视着太阳升起的方向 / 问自己永远有多远！！！！” “学完定与不定积分后还有曲线积分重积分曲面积分 / 各种第一型第二型各种联系各种搞不清 / 收敛还分条件收敛绝对收敛一致收敛” “近世代数很薄很小很贴身 / 晚上睡觉也不怕翻身一觉睡到大天亮 / 你不翻开这本书你永远不知道它有多坑爹 / 整本书都是定义有木有 / 我的价值观世界观爱情观人生观被践踏得体无完肤” “应用随机过程从第二页开始就看不懂了 / 看了很多遍还是看不懂 / 师兄说随机过程学了随机编以后考试随机过 / 实变函数与泛函分析从第一页就看不懂了 / 因为学长说实变函数最起码要学十遍 / 如果下次还能遇到这么难的书你就再相信一次爱情不要放弃 / 先哭一会……” 数学，这个曾经神圣、辉煌的科学王子，已经堕落、沉沦，重病缠身，卧床不起。数学，靠它自己的力量已经无法走出泥坑。但是，有谁能够拯救数学呢？唯一能够担些重任的只有哲学。确切地说，是马克思主义哲学。伟大的革命导师马克思、恩格斯创造性地将唯物主义应用于辩证法，创立了马克思主义哲学的核心——辩证唯物主义。又运用辩证唯物主义的原理考察了人类社会发展的历史，创建了历史唯物主义。本文依据辩证唯物主义、历史唯物主义的基本原理考察数学，得到了一批重要的结论，形成全面、系统的理论体系，称为“数学唯物主义”。数学唯物主义的本质不是数学科学，而是数学领域的唯物主义哲学，其使命不是发现或揭示数学规律或事实，而是要对人类已经形成的数学概念用唯物主义观点进行系统的哲理反思与结构透视，去粗取精、去伪存真，由此及彼，由表及里，揭示其内在规律，达到对数学科学深层次的认识与理解，阐述数学科学的本质，并对辩证唯物主义、历史唯物主义理论体系的数学化提供技术支持。一、时空的本质马克思主义哲学认为，整个世界以一定的形式按照自己的规律永恒地运动着。世界上的万事万物统一于物质，人类社会是物质世界的重要组成部分。运动的物质又以时间和空间作为自己的存在方式。物质运动总要持续一定的时间并且占据一定的空间，离开时间与空间的物质运动是不存在的。欲描述空间、时间，首先要弄清它们的性质。 1.1 芝诺悖论古希腊学者芝诺留下了 4 个悖论，其中有 2 个著名的悖论：（ 1 ）阿基里斯追不上乌龟。阿基里斯与乌龟有一段距离，二者同时出发向同一个方向运动。阿基里斯到达乌龟的出发点A后，乌龟已经到达了新点B。当阿基里斯到达点B时，乌龟又已经到达了点C。如此反复，阿基里斯总是追不上乌龟。（ 2 ）飞箭不动。每一件东西在占据一个与它自己相等的空间时是静止的。飞着的东西在任何时间总是占据着与它自身相等的空间，因此它也是静止的。生活中的芝诺，一定不会蠢到真的会相信“阿基里斯追不上乌龟”，也不会相信飞箭真的不动。他的本意是通过这两个悖论表达这样的信息：人类关于时空的概念存在着严重的内在缺陷。天才的芝诺通过“阿基里斯追不上乌龟”的悖论反对了时空能无限分割的观点，又通过“飞箭不动”这个悖论反对了时空不能无限分割的观点。通过这两个悖论，芝诺将人类已有时空观的内部矛盾做了充分的展示与深刻的揭露。古希腊历史学家普罗塔克曾写下这样的诗句：大哉芝诺，鼓舌如簧；无论你说什么，他总认为荒唐。人类早就认识到无穷这一概念，亚里士多德将无穷分为“实无穷”与“潜无穷”。所谓“实无穷”，就是认为实在的物质可以无限可分，如《庄子·天下》篇中的“ 一尺之捶，日取其半，万世不竭 ”。所谓“潜无穷”，是把无限看作不断生长的、永远没有终点的过程。例如宇宙的年龄。两种无穷具有本质区别：实无穷是已经完成的整体，而潜无穷是永远处于构造中的、不断生长着的整体。芝诺悖论的诡秘就在于巧妙地利用了人类时空观的内在缺陷，即达到颠倒黑白的效果，又让人无可奈何。因此，解决芝诺悖论的关键，在于重新认识并彻底改造现有的时空观。仔细分析芝诺的 2 个悖论可以发现：“阿基里斯追不上乌龟”悖论表明：必须禁止对空间（长度）进行无限分割，但对时间没有限制；“飞箭不动”悖论要求对时间进行无限分割，但对空间没有限制。这就意味着，只要对空间和时间分别使用不同的尺度进行数学描述，就可以避免芝诺悖论！也就是说，只要人类不将潜无穷应用于空间量如长度、面积、体积、数量、质量、重量上去，只将潜无穷用于时间或物质的运动，就可以避免芝诺悖论。所以，在数学中，对空间量（包括长度、面积、体积、重量等）的数学描述所用的数系必须是量子化的、不连续的；对时间的描述所采用的数系一定是连续的、无间断的、可任意分割的并且不存在最小值、最大值。 1.2 数学的出发点到那里去找描述时间和空间的数系呢？在这个问题上，数学家们分成了两派。一派坚持用人的感觉、人的经验来创造数系。他们从日常经验出发，从人的手指出发，创造了自然数 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 、 6 、 7 、 8 、 9 、 10 等基本数字，形成了自然数系，并以此作为数学的起点。之后，数学家们将整个数学体系建立在数量有限的几条公理之上。这些公理完全依赖于人的经验和认识，具有强烈的主观性。因此，这一派称为数学唯心主义——人类几千年的数学史，正是沿着这条路线发展、演化的，并且一直走到今天。另一派人坚持从自然界本身寻找数系。他们认为最原始的数字应该是客观的，宇宙本身一定存在着适合于描述空间与时间的数系。人类的任务不是创造数的尺度、而是从自然界中把数找出来，作为构建整个数学的基础与起点。将整个数学体系建立在物质世界的基础上，这一派称为数学唯物主义。也可以说：数学唯物主义与数学唯心主义的最初分歧，是从对自然数 1 的认识与定义开始的。 1.3 时空的天然尺度对于空间而言，能够直接做为自然数系使用的物质应该满足 3 个条件：（ 1 ）客观存在；（ 2 ）个体之间无差别；（ 3 ）不可分割。不难发现，唯一全部满足这些条件的物质，只能是物理学家们发现并已经证实的最小的、不可分割的基本粒子。因此，基本粒子构成了数学中最基础的数系——自然数系。自然数系中的 “ 1 ”就代表 1 个基本粒子，“ 2 ” 代表 2 个基本粒子，依次类推。相比之下，人类寻找自然界中时间的天然尺度就不太容易。时间是什么？这个问题争论了几千年，到现在也没有定论。马克思主义认为：任何运动都是一个过程，都有始态与终态。这个运动过程被人所认识、所感觉，在人的大脑中就体现为时间。因此，时间是人类特有的概念。没有人，就没有时间。在人类诞生之前，宇宙只有物质和物质的运动，没有时间。自从人类出现以后，时间与运动就像一张纸的两面一样密不可分。有运动就有时间，有时间就有运动。物质的运动是永恒的，因此时间也是永恒的。物质处于永恒的运动之中，这种运动是不以人的意志为转移的。人类无法阻止它，改变它。因此，人类也无法改变时间，既不能回到过去，也不能超越到将来，只能任时间悄然流逝。时间，是物质运动的化身，是人与自然相互作用的神奇产物。人类意识到物质运动的那一刻，是时间的起点。时间的出现，是物质运动的新纪元，它为宇宙的物质运动打上了人类文明的烙印。宇宙在时间中演化，人类在时间中成长。描述时间，不仅需要定性的简单描述，而且需要定量的精确描述。人类需要一个稳定可靠的时间之尺，来度量世间万物的运动。经过几百万年的持续考察，人类最终选择了地球的自转运动做为时间的基本尺度。地球相对太阳自转一周称为 1 天，又将一天分为 24 小时，再将 1 小时分为 60 分钟，将 1 分钟分为 60 秒，之后再分为毫秒、微秒等。地球的运动是人类时间的基本尺度。地球的运动是单向的、均匀的、连续的、不停顿的、非阶梯跳越式的、可无限分割的，因此人类的时间也单向的、均匀的、连续的、不停顿的、非阶梯跳越式、可无限分割的。无论把时间间隔定得多么小，事物的始态与终态总是有所不同——物质一刻不息地在运动。物质运动的这种特性在物理学中称为“惯性”。假如运动不是连续的而是间歇的，会发生什么呢？哪怕地球的自转仅仅突然停顿 1 毫秒，巨大的惯性（动量）也将使地球的结构在瞬间解体！因此，物质的运动必须连续，必须均匀、必须无限可分！反映在数学上，用于描述时间或物质运动的潜无穷必须存在。惯性、运动、时间三个概念源于同一个事物——物质。唯一的区别在于：惯性、运动是客观存在，是物质的自然属性，而时间是人的意识，是物质运动在人类大脑中的反映。用物质的最小单位描述空间，用物质的惯性描述时间。马克思主义的时空观是空间有限与时间无限的统一。建立在这个基础上的数学就是数学唯物主义，它只有潜无穷，而没有实无穷。于是，数学、物理、化学、哲学、生物 5 大学科第一次有了共同的基础与起点——物质世界。二、自然数 2.1 基本粒子与自然数系自然数是一个整数系列： 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 ， 9 ， 10 ， 11 ……。传统观点认为： 1 是自然数的基本单位。数字 1 是从人们的日常生活中抽象出来的。一个苹果、一座房子、一只鸡、一头猪、一条狗…… 1 就是这些具体事物中抽象出来的共同属性。这种定义显然是有缺陷的。 1 ）做为数学的基础元素，上面的定义具有不确定性。世界上没有两片完全相同的树叶，也没有两个完全相同的苹果。如果拿来 100 个苹果，其中必然有大有小。到底其中哪一个做为基准？是大一些的，还是小一些的？ 2 ）抽象性。从苹果、房子、鸡、猪、狗这些事物中抽象出 1 来之后，就与这些具体事物脱离失去了联系，其概念只能保存在人的大脑中。 3 ）上面的定义依赖于人的判断，具有主观性。由主观性决定的东西，离开了认识的人，那个概念也就不存在了。依据唯心主义对自然数的理解，完全可以做出这样的推测：如果人类不存在，自然界就不会有自然数。 4 ）苹果、鸡、猪、狗等都可以再分割成更小的单位，自然数系无法表示半个苹果、半只鸡等实际存在的事物。因此，传统观点对于 1 的认识是自相矛盾的、不科学的。根据前面的分析，作为自然数系起点 1 的应该就是宇宙中最小物质单位，它具有物质性、同一性和不可分割性。据物理学家的研究，目前已知最小的基本粒子是夸克，直径约为 1 × 10 -18 米，质量约为氢原子质量的十亿分之一，即 1.66 × 10 -36 千克。将单个基本粒子夸克定义为自然数“ 1 ”，那么这个数字 1 就具有特定的含义——仅仅代表单个基本粒子，而不是任何其它东西。相应地， 2 代表 2 个基本粒子， 3 代表 3 个基本粒子，依此类推。自然数“ 1 ”的物理意义不是恒定不变的。随着科学的发展，物理学家可能发现更小的基本粒子，自然数“ 1 ”的定义也随之自动更新。数学家克罗内克有一句名言：“ 上帝创造了自然数, 其余都是人造的。” 其可贵之处在于用唯心主义的术语（上帝）表达了唯物主义的思想内容。事实证明，在研究微观领域内基本粒子的行为时，必须使用量子化的描述方可以正确描述粒子的行为，物理学家们称这种新学科为量子力学。从本质上来说，量子力学就是以自然数为基础的数学，或称“量子数学”。 2.2 勾股定理勾股定理被尊为“ 人类最伟大的十个科学发现之一 ”，是数形结合的重要纽带，在西方被称为毕达哥拉斯定理，有 400 余种证明方法。相传是古希腊数学家、哲学家毕达哥拉斯（ Pythagoras ）于公元前 550 年首先发现的。然而在自然数系里，数与数之间是间断的，不连续的，量子化的，勾股定理不成立。在自然数系里，三角边的各边必须是整数。就像不允许折断的火柴棒一样，用它们构建直角三角形是相当困难的。例如， 3 根火柴棒只能构建一个等边三角形， 4 根火柴棒无法构建三角形， 5 根火柴棒只能构建一个边长分别为 2 ， 2 ， 1 的等腰三角形，它们都不是直角三角形。如果强行让两条边垂直，那么第三条边将不封闭，不能构成完整的三角形。在自然数系中，勾股定理仅在极少数情况下成立，因此不具有普遍性。用 12 根火柴棒能够构建一个边长为 3 、 4 ，斜边为 5 的直角三角形；用 30 根火柴棒能够构建一个边长为 5 、 12 ，斜边为 13 的直角三角形；用 84 根火柴棒能够构建一个边长为 12 、 35 ，斜边为 37 的直角三角形。传统几何学证明：圆的直径与圆上任意一点构成的三角形为直角三角形。在自然数系中勾股定理不成立，其影响波及到圆。实验发现，直径为 10 （自然数）的圆，其周长介于 31 与 32 （自然数）之间，因而这个圆是有缺陷的。反过来，当其周长恰好是一个自然数时，其直径一定不是自然数。所以，用自然数系来描述圆时，周长与直径不能同时存在。周长与圆直径之比不是自然数。在自然数系中，圆周率（圆周长与直径的比值）这个概念是有缺陷的念。毕达哥拉斯学派认为一切自然现象均可归结为整数或整数之比，但学派成员希伯索斯根据勾股定理并通过逻辑推理发现，边长为 l 的正方形的对角线长度既不是整数，也非整数比所能表示，这使当时的希腊数学家们感到空前的压力。相传希伯索斯因这一发现被投入海中淹死，这就是第一次数学危机。 2.3 自然数的有限性自然数有没有上限？这个问题争论了几千年。在对自然数进行了唯物主义的定义之后，自然数就存在着上限。毫无疑问，自然数的上限应该等于宇宙中基本粒子的总个数，这个数字虽然不易准确确定，但可以粗略地估算。然而，即使是最粗略的估算，哪怕误差达到 100 倍， 1000 倍，在数学的实际应用中已经足够了。对于数学家和哲学家来说，知道它存在就足够了。至于它到底是多少，有多大的误差，已经无足轻重。有数据称宇宙的总质量为 1.513 ×10 54 千克；一个氢原子的质量约为 1.66 × 10 -27 千克；基本粒子的质量约为氢原子质量的十亿分之一，即 1.66 × 10 -36 千克。由此可求出宇宙中基本粒子的总数约为 9.11 × 10 89 个，可近似看作 1 × 10 90 个。因此，在人类目前认识到的宇宙范围内，自然数是有界的，其定义域约为［ 1 ， 1 × 10 90 ］。太阳系的总质量为 1.99166 × 10 30 千克，相当于基本粒子的数量为 1.2 × 10 66 个。在太阳系范围内，自然数系的定义域约为［ 1 ， 1.2 × 10 66 ］。根据万有引力的计算结果，地球的总质量约为 5.9722 × 10 24 千克，相当于基本粒子的数量 3.6 × 10 60 个。因此在地球上，自然数的定义域为［ 1 ， 3.6 × 10 60 ］。必须说明，这种估算是粗略的、暂时的。随着人类对物质结构认识的深入，最小粒子的质量以及宇宙、太阳系、地球的质量将越来越精确，不同空间内自然数系定义域的上限值也会随之变化。但定义域的下限值1在数值上保持不变。数学毕竟是人类的工具，是否方便使用，不仅取决于工具本身，还取决于具体的应用环境。对于一个木匠来说，其常用尺寸基本局限在１毫米～ 2 米之间，拥有一把最小刻度 1 毫米、总长度为 2 米的钢卷尺已经能够满足绝大多数要求，没有必要使用又大又重的 5 米或 20 米规格的钢卷尺，更没有必要随身携带一把 5 亿米的钢卷尺。也就是说，无论尺的规格如何，只要基本刻度相同，长尺和短尺对于应用本身基本上没有影响。同理，人类的日常生活绝大多数局限于地球范围之内，将地球看作一个封闭的小“宇宙”，对于一般数学计算已经绰绰有余。可以看出，无论全宇宙、还是太阳系、还是地球范围内，自然数在局部总是有限的，这一性质称为“ 局部有限性 ”。 2.4 自然轴基本粒子除了质量之外，还有一定的尺寸，设基本粒子为球形，则每个粒子有着确定的直径。将许多基本粒子排成一条直线，就形成了长度，可以间接表达粒子的数量，于是数轴出现了。这一数轴称为“自然轴”，上面均匀分布着等距的点，分别代表1，2，3，4，5，6，……，1000，……， 1 × 10 30 ，……， 1 × 10 90 。自然数犹如茫茫大海中高出水面的一列桥墩，桥墩与桥墩之间距离完全相同，且排列成一条直线。自然轴是数学中最早出现的数轴，它使“数”与“形”得以有机地联系起来，数学中“点”、“线”的概念产生了。数学中“点”的最小直径约为 1 × 10 -18 米， “线”的最小宽度约为 1 × 10 -18 米， “面”的最小面积约为 1 × 10 -36 米 2 ， “体”的最小体积约为 1 × 10 -54 米 3 。数轴上 1 厘米的长度由 1 × 10 16 个基本粒子组成，也可以说， 1 厘米的数轴长度上有 1 × 10 16 个自然数，即 1 亿亿。由于自然数的物质性，数学中的点、线、面、体、球都不是抽象的而是具体的。它们不仅有最小尺寸，而且还有最小重量、最小线密度，这与传统数学是根本不同的。自然数的量子性还将彻底改变人们的传统数学知识。例如，直线、圆都不是连续的，而是由一系列点模拟而成的。两条直线形成的夹角不能任意小，必须满足结构上的要求——即构成夹角的基本粒子不能被压缩或重叠；不能用尺规将一个任意角二等分等等。三、有理数人类发现了自然数系之后，也就拥有了对世间万物进行计量的能力。但人们很快发现，自然数系对于人类的日常生活而言，实在是太不方便了。经过几百万年进化形成的人类，成人高度约在 1.6~1.8 米，体重 50~80 千克。人类的活动范围，步行的话在几十千米以内。人所能发出的操纵力，一般在 100 千克以下。如果用数学中的自然数系来表示 1 千克大小的物体，相当于 6 × 10 35 个基本粒子。对于人类而言这个数字实在是太大了，无论在书写还是发音方面，都令人无法忍受。为了改进这个缺点，人类对自然数系进行了改造：将整个自然数系同除以一个数，例如 6 × 10 35 ，这样就将基准点 1 “右移”到自然轴的某个合适位置。相应地，这个位置以左的数成为小于 1 的数，其右的数成为大于 1 的数，地球自然数的定义域就由原来的［ 1 ， 3.6 × 10 60 ］变成了［ 1.66 × 10 -36 ， 6 × 10 24 ］。于是有理数系诞生了。将自然数变为有理数的除数，可以是任意一个自然数，如 4052871795653 。毕达哥拉斯学派“一切自然现象均可归结为整数或整数之比”的观点，是唯物主义世界观的的必然产物，因而也是完全正确的。按现代集合论的观点，自然数系是一个有限集合 A ，里面含有有限个“元素”，将有限集合 A 除以一个自然数 B ，就完成了另一个集合 C （有理数系），两个集合中的元素存在一一对应的关系。自然轴摇身一变，成了有理数轴之后，它仍然是不连续的、量子化的。有了有理数系之后，人类日常生活中接触的物体数量大都集中在 0.1 到 1000 之间，尤其是 1 到 100 之间。大大方便了人类的应用。应用有理数系的最大好处，是人类日常接触的各类物体在数学上有了一个比较合理的数值范围：在 1 附近最优，其次是从 0.1 至 10 ，再次从 0.01 到 100 。如一个班的学生人数、一个人的体重、身高、家庭人口、日工作时间小时数等等。遇到特别大或特别小的量，还可以创造新的量词，将数值部分控制在最佳数值范围内，符合人类大脑对数值记忆、运算的习惯。对于光速， 300000 千米 / 秒，可以记作 30 万千米 / 秒；对于氢原子直径， 0.00000000001 米，记作 0.1 纳米。特别值得注意的是：自然数系中的 1 与有理数系中的整数 1 具有完全不同的物理意义。自然数系中的 1 代表一个基本粒子，有理数系中的整数 1 通常表示一个肉眼可见的物体（对象），含有大约 6 × 10 35 个基本粒子的，如 1 杯啤酒或 1 只烤鸭、 1 个足球等。有理数系是人类智慧的产物。通过对自然数系的改造，使之更适合人类的使用。是人类发挥主观能动性认识世界、改造世界的成功尝试。有了有理数，最原始的数学就深深地打上了人类的烙印，从此，文明进入了数学。四、无理数、零与无穷 4.1 无理数由 10 个基本粒子作一条直角边、另外 10 个基本粒子作另一个直角边，并不能构造出一个封闭的、完美的直角三角形。在唯心主义数学里，这个三角形被认为是封闭的，按勾股定理，这个斜边的长度可表示为，是一个无理数。给定直径为自然数 10 构造一个圆，则圆的周边不会封闭。假定这个圆是封闭的，那么圆的周长可表示为 10π ，其中的 π 也是无理数。直角三角形和圆是《几何》以及《三角》的基本元素，由于这两个图形不封闭而产生的天然缺陷，造成无理数的大量出现。除了平方根和 π 之外，角度的正弦、余弦、正切、余切函数，以及对数、指数等运算也产生大量的无理数。无理数之所以存在，是因为自然界中缺陷图形的存在。可以看出，无理数是的一种特殊的数，它代表着不完整的几何图形，是现实世界上不可能存在的或有缺陷的事物。因此，绝不能把无理数看作合法的数，更不能将其视为与有理数同等重要的数。既然无理数是不合法的数，那么，能不能废除无理数呢？答案是不能。虽然无理数没有现实意义，但在人类的生活中却离不开它——在宏观世界中研究直角三角形，不能没有勾股定理；在宏观世界中研究圆，不能没有圆周率 π 。没有勾股定理和圆周率，现实生活中的许多概念就无法简洁地表达。无理数做为一种有效的近似，为人类的数学运算带来极大的方便。因此不仅不能废除无理数，而且还必须保留它，利用它，让它为人类服务。保留无理数会产生不超过 1 个基本粒子的误差。这个误差是个什么概念呢？下面以空气中的粉尘来说明。要显微镜下，空气中的细颗粒物 PM2.5 的直径为 2.5 × 10 -6 米，体积约为 8.18 × 10 -12 立方厘米。按密度 1.7 克 / 立方厘米计，每个细颗粒质量约为 13.9 × 10 -15 千克，折合成基本粒子数约为 84 万亿亿个。人类日常生活中处理的事物远远大于一个空气粉尘粒子。因此，忽略一个基本粒子的重量，所产生的误差不超过 84 万亿亿分之一，完全可以忽略不计。也就是说，使用无理数代替有理数所产生的误差，对人类的日常生活而言，是完全可以接受的。既要看到无理数的方便，又要注意它的本质，不将其视为正式的数。应当将无理数看做一个非正式结果、一个中间过程。即坚持了原则性，又发挥了灵活性。为此，必须在数学中做一个特殊规定。定义：距离某无理数最近的那个有理数，称为该无理数的真值。如此规定之后，两个相邻的有理数之间无论有多少无理数，每个无理数都有唯一的真值。有理轴仍然是间断的、不连续的。有了无理数的概念之后，近似进入了数学。 4.2 零在自然界，物质只能转化，而不能消失。但是人类生活中有大量的关于“消失”的例子：小红有 1 个苹果，吃完后，苹果“消失”了（虽然也可以理解为转化成为小红身体的一部分）。树上 8 只鸟，一声枪响，鸟儿们全部飞走，从人的视野中“消失”了。显然，生活中的“消失”与物质的消失是两个不同的概念——前者是人的意识，后者是客观存在。物质的消失不可能真正发生，而生活中的“消失”却大量地、每日每时都在发生。数学是描述人类生活的工具，必须对这种“消失”有所体现。于是符号“ 0 ”诞生了。 0 表示物质“没有”、“无”、“不存在”的状态。它是“有”、“存在”的对立面。虽然世界上从来没有过 0 个苹果、 0 个桃子，但人们为了方便应用，就假定世界上存在 0 个苹果、 0 个桃子。于是，由于人的规定， 0 成了自然数系和有理数系的新成员。 0 个基本粒子、 0 个苹果都是合法的，具有特定的物理意义。 “ 0 ”是物质和意识的统一体，是人类思维的特殊产物，也是人类实践活动的反映。自然界中最小的物质是基本粒子，在自然数系中用 “ 1 ”表示(在有理数系中可用“ε”表示) 。 1 虽然非常非常小，但它属于“有”，与“无”有着本质的区别。在 0 到 1 之间，有一条不可逾越的鸿沟，既近在咫尺，又遥不可及。有了无理数的表示方法后，按照前面的规定，靠近 0 的无理数，其真值为 0 ；靠近 1 的无理数，其真值为 1 ，按 1 个基本粒子处理。 4.3 无穷前面已经论证过，数学中不存在实无穷，只存在潜无穷。那么，潜无穷怎样用数学表示呢？在自然数系中，数是有限的、有穷的。自然数是一个集合 N 。其中最小的自然数是 0 ，最大的自然是 N n 。将自然数集合 N 中的每个元素都除以一个自然数 B ，可以得到有理数集合 Q 。其中最小的有理数是 0 ，最大的是 Q n 。将集合 Q 中的每个元素自乘（平方），可以得到有理数的面积集合 S 。其中最小的有理数是 0 ，最大的有理数是 S n 。将集合 Q 中的每个元素自乘两次（立方），可以得到有理数的体积集合 V 。其中最小的有理数是 0 ，最大的有理数是 V n 。容易发现，通过构造集合的办法，既可以在小数字方向上突破基本粒子的下限 1 ，也可以在大数字方向上突破宇宙最大基本粒子数的上限 N n 。只要有必要，数学家可以在两个相邻自然数间（例如 0 和 1 之间）分隔出任意多的间隔，实现无限分割的连续效果，可以用来表示任意短的时间间隔或运动过程。在前面的讨论中知道，为了避免芝诺悖论而要求时间、空间必须采用不同的数系。但在实际应用中，使用有理数表示时间已经有足够的精度。因此，从实用角度看，用有理数系同时表示时间与空间是完全可行的。事实上，在过去的两千多年中，三次数学危机都是由实无穷引起的。实无穷像一头藏在羊圈里的恶狼，伪装成羊的模样，一次次地蒙混过关。数学家们应对失误，虽然不断修补并加固羊圈，仍然一次次地发现有羊被咬死，只剩下一堆堆骨头，让数学家们灰头土脸、无地自容。自然数的量子性以及局部有限性，彻底否定了困扰人类几千年的实无穷概念。将实无穷从数学中彻底驱逐出去的时机已经成熟了。将实无穷从数学中驱逐出去后，一同消失的，还有过去几千来有关这只“羊”的种种感人的事迹与美好的回忆，有人恋恋不舍，有人伤心欲绝，还有人会拼命反对将这只狼逐出数学，妄图阻挡历史车轮的前进。然而现实是残酷的，数学要健康成长，就不能不铲除自己身上的毒瘤，哪怕它过去曾经“灿若云霞，艳如桃花”！ …… 由于文章较长（约4万字），排版不便，文章全文请见下面附件（PDF文件）数学唯物主义基本原理（v3.03）20131229B.pdf; 530 次阅读|0 个评论

自然数、皮亚诺（Peano）公理、有限与无限: primeacademy 2013-7-3 13:15; 人类的数学认知从对自然数的认识开始，具体到每一个个体的认知历程，无论是否有自觉的意识与反思，起点都在自然数。什么是自然数？数学家们回答说，我们已经知道答案了，自然数是由皮亚诺公理规定的那些对象，即皮亚诺公理： 1.1 是一个对象； 2. 若 n 是一个对象，则有另一个对象 n+( 称为 n 的后继 ) ； 3.1 不是任何别的对象的后继； 4. 若 m+ = n+ ，则 m = n ； 5.( 归纳公理 ) 如果（ 1 ） 1 在 S 中，（ 2 ） n 在 S 中，则 n+ 在 S 中，那么，所有的对象都在 S 中 . 原来，数学家们对自然数的认识与小朋友是一样的：自然数就是数出来的东西！让我们来“数 (shu3) 数 (shu4) ” ( 叫做“自然数”的东西 ) ： 1. 从 1 开始数； 2. 数到 n ，就一定能数“下一个” n+ ； 3.1 是头一个数的； 4. 每个数 (shu3) 到的数 (shu4) 都是不同的； 5. 一直数下去（不能停止，是一个“无限”的过程），你就得到了全部的自然数 . 多么有趣的事情，自然数原来就是这么自然的被“数数”所定义。当然，这仅仅是一个形式化的对象的构造，在人们实际的认知过程中，还有同时伴随着意义的建构，数学家们的本领正在于将形式和意义区别开来，并给出逻辑的顺序，在形式确立之后，研究和建构意义。自然数最基础也是最重要的意义就是“多少”的概念，我们在之前的博文“儿童掰手指做算术是不好的毛病吗？”“数与运算——掰手指做算术的数学认知价值”“儿歌与自然数启蒙”中已经有一些讨论，这里进一步讨论有关自然数意义的建构与“有限与无限”的认识。自然数的“数数”构造过程的意义首先是“多少”， 5 个苹果， 8 颗柳树， ... 有限的概念几乎天然形成：不重复不遗漏，将要数的对象数到 n ，则说这些对象有“ n 个”，也就是能够通过数数将全部的对象与 {1 ， 2 ， ..., n} 一对一的建立联系，这就是“有限”的认识实质！但这一原则在“全体自然数 N ”这个显然“非有限”的情形似乎出现了问题， N 可以按照简单的方式与它的真的一部分也一对一的建立联系，即与它的部分“一样多”，这是人们在无限认识过程中遇到的一个困惑。古希腊时代，欧几里得就在数学的基础公理中列入了“整体大于部分”的原则，要突破这一习惯的认识并不是容易的事情。但也正是有了这样的困惑，人类对有限和无限的认识不断得到深化。在上述“多少”问题通过“数数”建立起来的“一对一”的原则，仅仅是建立了对象的全体与自然数的一部分 {1 ， 2 ， ...,n} 或 N 的一种联系，“多少”的意义其实就是这种联系的存在性，即如果能够与 {1 ， 2 ， ...,n} 建立一对一的关系，则就是有限的情形（再规定空集也是有限的），在有限的情形，这个“多少”的意义与“整体大于部分”的原则一致，否则，则将出现不一致的情形，实际上，这正成为所谓无限的一个基本特征：凡能够与其部分建立一对一关系的对象全体全体一定是无限的（不是有限的）！认识总是从“有限”开始，但对“无限”的理解既不可避免，在某种意义上也正是数学认识的归宿。从自然数的意义建构开始认识这个重要的问题，也许会使数学的学习更早归入理性的轨道。; 个人分类: 幼儿数学|9354 次阅读|0 个评论

儿歌与自然数启蒙: primeacademy 2013-7-2 23:58; 自然数的启蒙首先从自然数的语言形式开始，首先学会自然数的发音，这一阶段不必在意自然数意义的建构，只需要学会发音即可。儿歌是这个阶段重要的形式，传统的儿歌有意或无意的涉及到数字，起到了启蒙的作用。整理和创造更多更好的适应各年龄段幼儿的自然数启蒙儿歌，是非常有意义的工作。一、适合 0-4 岁 1. 一二三四五（九章格数学原创）一二三四五，五只小松鼠，林中采松果，采好藏树洞；松果有几颗，我来数一数，一二三四五，五颗松果藏树洞！ 2. 古诗（唐 . 王安石部分）有一即有二，有三即有四。一二三四五，有亦何妨事。 3. 一二三，荡秋千（九章格数学原创）一二三，荡秋千；四五六，飞上天。七八九，好朋友；分享快乐乐悠悠。 4. 数蛤蟆（传统儿歌）一个蛤蟆一张嘴，两只眼睛四条腿，扑通一声跳下水。两个蛤蟆两张嘴，四只眼睛八条腿，扑通扑通跳下水。二、适合 4-6 岁 1. 九九歌（气候谚语）一九二九不出手；三九四九冰上走；五九六九沿河看柳；七九河开八九雁来；九九加一九，耕牛遍地走 2. 一二三四五六七（九章格数学改编）一二三四五六七，七六五四三二一。七个矮人来摘果，七个篮子手中提。苹果石榴桃儿甜柿子李子栗子梨。 3. 蚂蚁搬豆豆（九章格数学改编）小蚂蚁，搬豆豆，一个搬，搬不动，两个搬，掀条缝，三个搬，动一动，四个五个六七个，大家一起搬进洞。 4. 山村咏怀（宋 . 邵康杰）一去二三里，烟村四五家；亭台六七座，八九十枝花。; 个人分类: 幼儿数学|2246 次阅读|0 个评论

数与运算——掰手指做算术的数学认知价值: 热度 1 primeacademy 2013-6-27 15:18; 在儿童发展心理学研究中，瑞士心理学家皮亚杰（ Jean Piaget ， 1896-1980 ）的工作影响深远，他将儿童认知划分为四个不同的阶段： 1. 感知运动阶段（出生到 2 岁左右） 2. 前运算阶段（ 2 到 7 岁） 3. 具体运算阶段（ 7 到 11 岁） 4. 形式运算阶段（ 12 到 15 岁）美国人 R.W. 柯普兰在他著作《儿童怎样学习数学——皮亚杰研究的教育含义》中，对皮亚杰理论在数学教育上的应用做了较好的总结。这本书的中译本由上海教育出版社于 1985 年 12 月出版。幼儿掰手指做算术的心理学意义我们暂不做过多议论，仅摘录柯普兰上述著作中引用的皮亚杰的三个重点表述，作为理解幼儿掰手指做算术的心理学意义的参考。假定儿童只是从教学中获得数的观念和其它数学概念，那是一种极大的误解。相反，在相当程度上，儿童是自己独立第、自发地发展这些观念和概念的。（中译本第 100 页）计数是首先教给幼儿的数观念之一，但对他们来说，背出来的数几乎没有什么意义。（中译本第 100-101 页）在逻辑 - 数学结构领域，儿童只对那种他亲自创造的事物才有真正的理解。每当我们试图过急地教给他们什么东西的时候，我们就会阻止儿童亲自再创造它们。因此，不存在什么试图过快地加速这种发展的正当理由，在亲身探索中看来是浪费的时间，对方法的构成是真正有益的。（中译本第 41 页）以下，我们从现代数学意义上对于自然数的认识与理解，来探讨幼儿掰手指做算术的数学化的认知价值。人类对于数学的认知就是从对自然数的认识开始，每一个人，无论是否接受过正规的数学教育，都会认为自然数及其运算是简单的事情，但事实果真如此吗？当我们面对“什么是自然数？”“为什么 1 加 1 等于 2 ？”这样看似“愚蠢”的问题时，通常都会感到困惑，这似乎不该问的问题竟然并不容易回答！事实上，数学发展到今天，回顾人类对自然数的认识历程，并非像想象的那样简单，严格意义上数的系统（简称数系）的构造的完成甚至是晚近事情。在现代数学中，自然数是用一组被称之为皮亚诺（ Peano ， 1858-1932 ）公理的 5 条性质所“定义”，用通俗的话来解释就是：（ 1 ） 1 是自然数；（ 2 ）每一个自然数 n 都有一个称为它的后继的自然数 n+ ；（ 3 ） 1 不是任何自然数的后继；（ 4 ）如果两个自然数 m 、 n 的后继相等，即 m+= n+ ，则 m=n ；（ 5 ）（归纳公理）若 N 的任意子集 S 满足 i. 1 在 S 中； ii. n 在 S 中，则 n+ 在 S 中 , 则 S 就是自然数全体，即 S=N 。这样的公理形式的“定义”，实际上，就是最自然地“数数”过程的形式化描述，现代数学意义上的数系的构造就是基于此。这在幼儿数学教育上的启示是：“数数”的过程就是建立自然数形式系统的过程，这一过程通常是由语言形式（数的发音）的音节构成的，再到识别阿拉伯数字，书写阿拉伯数字，这都是形式意义上的工作，这些工作对于幼儿数的认知是重要的基础，通常，这一形式化的概念的形成过程与其意义的形成总是同步发生的。那么，自然数意义的建立是什么时候开始的呢？我们曾谈到，自然数的意义可以从“多少”——基数，“顺序”——序数上开始（见博文儿童掰手指做算术是不好的毛病吗？），皮亚杰等心理学家认为，基数的意义的建构是早于序数的，我们的经验也是如此。也就是说，自然数意义的建构始自于“多少”的概念，即数学中的基数问题。我们暂且不对这一问题做较为数学化的讨论，仅直观地指出，这个概念是通过“数数”的过程，建立要考查“多少”问题的集合与自然数的 1 对 1 的对应来完成的，比如，放在盘子中的苹果，如果我们从 1 开始数数，数到 5 ，没有重复数，也没有落下的苹果，那我们就知道盘子里有 5 个苹果，数数的过程建立了盘子里的苹果与 {1,2,3,4,5} 之间的 1 对 1 的关系，这就是“多少”问题的实质！儿童建立自然数的意义就从这里开始了，掰手指是这一过程的最重要表现，是需要得到鼓励和强化的自然数认知的重要过程，否则，将会在幼儿数学认知的起步阶段，就使孩子被迫走向远离数学的道路，这是我们都不愿意看到的！; 个人分类: 幼儿数学|4236 次阅读|1 个评论

儿童掰手指做算术是不好的毛病吗？: 热度 4 primeacademy 2013-6-26 22:21; 很多家长看到孩子掰手指做算术经常认为是不好的毛病，甚至要求或训斥孩子改正。实际上，家长的这种认识是错误的，儿童掰手指做算术不仅是孩子学习数学的必经阶段，而且对于数字意义的正确建立是十分必要的。我们知道，人类对数学的认知是从自然数的认知开始，人们首先从“多少”的概念上认识到“数”，儿童对“多”与“少”的认知是自觉和自发的，并且通常具备“趋多”的心理倾向（ ^-^ 贪欲是不用教的）。那么，什么“多少”的概念呢？作为成年人，我们似乎对这样的问题不屑一顾，有意或无意地忽视这样的问题，但认真追究起来，却未见得能说清楚。儿童对“多少”问题的解决是通过“数数”来完成的，“数数”的过程是建立起被数的对象全体（在数学上称为一个由这些对象为元素构成的集合到“ yi1 ， er4,san1,si4,wu3,liu4,qi1 ...(1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 的拼音，数字指四个声调 ) ”的 1-1 对应（数学上又叫做 1-1 映射）的过程，后者是由孩子的自然数发音构成的一个集合，这说明，“多少”的概念形成的过程反映出两层含义：一是“多少”是两个集合之间的一种关系；二是孩子们会“数数”是建立“多少”概念的基础。从第二个方面看，“数数”中的数是可以不具备任何意义的，“数数”的过程自然决定了“数”及其“顺序”，从发音到书面的表达（阿拉伯数字），都可以是无意义的符号（发音和书写），“多少”问题为这些“数”赋予了意义，这就是自然数最基本也是最重要的“基数”意义。语言学中的“基数”与“序数”是两个数学概念啊！按照上面的分析，儿童在数的计算过程中掰手指，正是为了将抽象的“数”的概念具体化为手指构成的集合，按照“基数”的意义理解加法或减法的意义，这是多么自然和重要的过程，“改正”或抛弃这个过程，就是强迫孩子放弃对数字意义的建构，让孩子远离数学的理解，从而远离数学，我想，这决不是我们所希望的！ “多少”的概念引出数的“基数”意义的建构，对这一问题的探讨曾经引出很多有趣而深刻的故事。自然数意义的建构还涉及到“序数（顺序）”，度量（测量）等，这都与儿童数学认知的心理过程直接相关，我们将会在后续博文中探讨。; 个人分类: 幼儿数学|7933 次阅读|4 个评论

一致收敛的连续函数列的一个简单性质: zjzhang 2013-3-13 18:24; 设对每个自然数 $n$, $f_n(x)$ 在区间 $ $ 上连续且至少有一零点, 当 $n\to\infty$ 时, $f_n(x)$ 在 $ $ 上一致收敛于函数 $f(x)$. 证明: $f(x)$ 在 $ $ 上至少有一零点. 这是华中科技大学 $2006$ 年数学分析考研试题第 $10$ 小题 .; 个人分类: 数学|2647 次阅读|0 个评论

[转载]孤独的素数: 热度 2 ChinaAbel 2013-1-31 18:04; 孤独的素数原子与素数在各自领域的地位：　　大自然　　　　　　　自然数　　原子　　　　　　　　　素数　　单子　　　　　　　　　１　　化合物　　　　　　　　合成数　　原子109种　　　　　　质数有无穷多个　　化学键　　　　　　　　　乘法　　凡物质皆由原子组成　　　算术基本定理素数可毫不费力地生成一切自然数，默默绽放清新甜香的花朵，供人类欣赏。素数之花点缀数学家园，合数有朋相约，它却默默孤独，真是：花开花落春不问，水暖水寒鱼自知。因为孤独，所以美丽，令人着迷，素数魔力无限，却没有束手就擒。曾经有一位数学家说，他若能在五百年后重新醒来向这世界问一个问题，他会问：「那个有关素数的假设，解决了么？」素数孤独，但是无际—— 化学元素周期表里，109种元素构成了我们的大千世界。而在数的世界里，素数相乘构成了全部的整数（除去１），可是这一数字原子的数目无穷无尽。可以想象，在数字已经很大很大的时候，素数的分布会越来越稀疏。可是，在相隔很远之后，我们依旧会看到一个孤单的数字夹在长长的合数中间，只有自己。安静地，独守。不受尘埃半点侵。恍似埋藏地底深处的珍宝，不知在哪一天，才会被我们发现。因为无际，所以痴迷地寻找它的规律。可是偏偏，它似乎没有规律。如此这般，难以言尽。可是至今，素数仍然没有向我们展示它全部的风姿。犹如牡丹，守定自己的风骨，不论旁人如何，毫无所动。如果把素数的散布看成变换的音律，那么，待何时，我们才能够完整地听到它的乐曲？它们，真的是一群神秘的数字。我们曾经相信原子不可分，曾经相信燃素之说，曾经相信这个世界由四个元素组成。如今我们否定了这一切。我们甚至否定了平行线必不相交的公理，在欧式几何外创造了新的天地。可是，我们从未质疑过素数。在我们心中，它们就是那样一个个孤独的数字，静谧地处在浩瀚数海之中，自度春秋。正如哈代所言：「并非因为我们这样认为，也非因为我们的思维是以这样或那样的方式形成，而是因为它原本如此，因为数学实在就是这样建立的。」; 2563 次阅读|2 个评论

[转载]复变函数的欧拉公式: chnfirst 2012-12-10 20:09; http://wenda.tianya.cn/question/130104c7f7567a31 e指数(exp)怎么用三角函数的形式表达？你说的是复变函数里面的欧拉公式吧，最基本的形式是 e^ix=cosx+isinx，e是自然对数的底，i是虚数单位。它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位。　　将公式里的x换成-x，得到：　　e^-ix=cosx-isinx，然后采用两式相加减的方法得到：sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.这两个也叫做欧拉公式。将e^ix=cosx+isinx中的x取作∏就得到：　　e^i∏+1=0.这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数学联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率∏，两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，以及数学里常见的0。数学家们评价它是“上帝创造的公式”，我们只能看它而不能理解它。 e^x=cosh + sinh cos =e^(-i x)/2 + e^(i x)/2 sin =1/2 i e^(-i x) - 1/2 i e^(i x) cosh =e^-x/2 + e^x/2 sinh =-(e^-x/2) + e^x/2 sinh和cosh分别是双曲正弦和双曲余弦函数; 个人分类: 数学|1 次阅读|0 个评论

FM 小学数学概率题（5）用面积算概率: wcybcn 2012-12-3 06:07; 嗯，面积。我记得自己第一次接触用面积来处理小学数学问题是求两个自然数的最大公约数所用的辗转相除法。题干：假设硬币半径为3/8 , 一个盒子底部，底部用笔画了一个边长为1 的正方形，假设盒子的设计使得随便往里面投一枚硬币，硬币落入底部后即使是处在最外围的情况下都会与正方形擦边。求每投一枚硬币，硬币完整落入正方形中的概率。解答：考虑当硬币全在方块中的时候，必然覆盖到中心一块面积，可考虑硬币分别在四个角落的情况，求其中的公共面积。最后用必然会覆盖到的公共面积除以正方形总面积，就是硬币会完整落入正方形中的概率。面积的方法也是后来蒙特卡洛方法的雏形，当然本题中比较难为小学生的是小学生估计很难手算出那个必然会覆盖的面积，只好尽量约等于一个小正方形来估算概率至少大于多少。。比如1/16。; 个人分类: 厚积薄发|213 次阅读|0 个评论

8除不尽的自然数: itellin 2012-8-12 06:38; 一个自然数被 8 除余 1 ，所得的商被 8 除也余 1 ，再将第二次的商被 8 除后余 7 ，最后得到一个商为 a 。又知这个自然数被 17 除余 4 ，所得的商被 17 除余 15 ，最后得到一个商是 a 的 2 倍。求这个自然数。 a=1:8 b=data.frame(x=a,y=((a*8+7)*8+1)*8+1,z=(2*a*17+15)*17+4) b ==b ),] y 3 1993; 1996 次阅读|0 个评论

每个自然数都是有趣的: 热度 12 yonglie 2011-12-17 11:09; ——旧札新钞（ 99 ） ◎ 数学归纳法可以导出很多有趣的结论，其中一个是：每个自然数都有趣 ——假如不是，那么令 M 为那些无趣自然数的集合。于是 M 不是空集。因此，由最小自然数原理， M 包含某个最小自然数 m 。就是说， m 是最小的无趣的自然数。可那却是有趣的！同样，我们也可以证明，所有的人的都是秃子 ——头发稀疏的人叫秃子。假如有个人秃顶了，那么比他多一根头发的人当然也是秃子。根据数学归纳法，所有的人都是秃子。 ◎ 苏东坡去见玉泉皓禅师，禅师问，大人贵姓？东坡答姓秤，专门称天下和尚的轻重。禅师大喝一声，问：“这一声喝有多重呢？”东坡答不上来，服了。（见燕石斋补《五灯会元》） ◎ 以前在旧书肆看到一本《中国名胜楹联大观》，心想如果能找到平云亭那个对联，就可以把书留下。果然，翻到那对联了：“ 蜀郡云山凭一揽，范公亭子自千秋。”可惜亭子如今不能上去了，还揽什么？那本书也不知哪儿去了。【亭在大邑静惠山，这几行字应该是去了回来写的。】; 个人分类: 札记|6424 次阅读|15 个评论

有限无穷的实数人生: luocun 2010-10-5 05:59; 曾经在华人基督教会的查经班──算是入党兴趣小组吧──上讨论生死。牧师讲，你想想，如果信主而升天堂，见到逝去的亲人，跟他们永享幸福，岂不美哉。俺就开始发臭言了：如果你老爹他总在喝酒是个混球呢？如果天堂里的生活一切都好只缺烦恼呢？一天天重复，也很没劲啊！维特根斯坦也说过：永生不解决问题。。。通常，人们像这位牧师朋友那样，把永生理解成无限，无限理解成无限延续：今天过了，还有明天，没有死亡，就像自然数一样，绵延不绝，没个尽头。可是，与其像自然数那样干巴巴孤零零一个个地没完没了，还不如活出有密度有质感的有头有尾的实数生活：从0到1的区间虽然是有限的，却有无穷多的数，比所有的自然数还多。或许有限的人生本来就是无穷的，或许不是如何长生不老，而是如何与这种无穷相协调，才是人生的意义问题之所在。这个道理挺简单。或许可以试一试。; 个人分类: 胡思乱想|4802 次阅读|3 个评论

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标签: 自然数

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