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【14】《由一道高数题引出的教育起跑线问题》: 热度 2 zhaoxc 2016-12-3 22:31; --公众号-- 微高数 --- 【一道高数题】这道高数题大家或许都讲 / 见过，该问题用纯语言描述为：两个可导函数 f(x) 和 g(x) 的起点相同，若 f(x) 比 g(x) 导数大，则函数 f(x) 也比 g(x) 大。若再用通俗而不十分准确的话说就是：两个性质比较好的函数 f(x) 和 g(x) 起点相同，如果 f(x) 比 g(x) 的 ( 正向 ) 变化率大，则启动之后， f(x) 一定会超过 g(x) 。一般情况下该问题可以变形为：两个性质比较好的函数 f(x) 和 g(x) ，无论起点相同与否，如果 f(x) 比 g(x) 的变化率大，则启动之后， f(x) 也一定会超过 g(x) 。这里说的一般情况是指：（ 1 ） f(x) 和 g(x) 的起点相差的是日常可见的距离，或者说可忍受的有限距离；（ 2 ） f(x) 的变化率比 g(x) 大的不能很小，即日常可见的变化；【教育起跑线】 “不让孩子输在起跑线上！”，做父母的经常被这句喊得响亮的口号所迷惑，受到了越来越多年轻父母的重视。为了让孩子赢在“起跑线”上，望子成龙、望女成凤的父母可谓不惜血本、煞费苦心。这种心情是可以理解的，但是我们有没有静下心来反思一下：孩子的“起跑线”到底在哪里？如果孩子赢在了“起跑线”上，那么他能赢到“终点线”吗？【变形问题、教育起跑线与孩子培养的核心因素】变形问题已说：两个性质比较好的函数 f(x) 和 g(x) ，无论起点相同与否，如果 f(x) 比 g(x) 的变化率大，则启动之后， f(x) 也一定会超过 g(x) 。若把两个小孩，或一个虎爸狼妈精心培养的小孩和由自然生长的他本身看成两个函数，则问题的重点显然不是两个小孩的起点在哪儿，而是小孩成长或变得优秀的“加速度”大小和是否拥有匹配这种加速度的“油”，再往下延伸一步就是小孩这种成长的源动力或“油”是外在添加的，还是自我机能产生的，这才是问题的关键，即培养孩子拥有自己的源动力。说到这儿，你肯定会说： But how ？细说起来，让孩子学习奥数、英语、钢琴、象棋、美术等，如果不能转化为孩子的兴趣点，只是相当于给汽车加油，而不能转化为孩子自身造油的机能，因此无论油加的有多少，终究是很有限的。对家长说一句“正能量”的话，“我要真的让孩子做了感兴趣的事呢？”那恭喜你，你很独具慧眼，或者说你很 Lucky ！这个其实和冠军与通往冠军途中的垫脚石关系差不多。或者，举个例子，交规你是不是都考 95+ ，那你还记得多少？还有几条能用？但是，但是，但是你绕来绕去，还是没说如何“让孩子拥有自我的源动力？对不住，我还要再绕一个弯弯儿：没有周末、没有空白、没有玩耍的小孩培养模式虽然不是提倡的，但按照小孩爱玩的东西随他去的号称纯天然的路子也绝对不是好的模式，小孩，包括成人，都有趋易避难的天然惰性，经常拿着电子产品玩儿，或自我疯跑的散养模式，而不去读书、学习新技能，那这孩子也就这样了。反推到那个高数问题，函数还需要“较好的性质”呢？数学上说就是可导，如果孩子形成碎片化的模式习惯，抽象起来就是不连续，可导肯定无从谈起，后面说的条件“变化率较大”的小条件根本不具备，想要超越别的小孩的成长，当然就水中月镜中花了。 But how ， how ， how 。。。？【身体健康，心里幸福，习惯优秀】通过读书，养成读书的习惯，从而习惯性读书；家人陪伴，尤其是爸妈的陪伴，拥有幸福的心里感；通过日常琐事和学习新技能（包括孩子有兴趣的钢琴、奥数、美术等）的过程养成碰到问题自己去解决的习惯，而不是碰到问题的第一反应是寻求爸妈的帮助，父母大多数时间是陪伴、提醒，而不是代劳。《懒妈妈也可以教出棒小孩》一书的主要观点就是“少点插手，轻松教养”，让孩子得以适性发展、激发潜能，从而告诫天下父母，千万不要“紧迫盯人”，也不要主动帮孩子做任何事，装傻与放手才是孩子能力成长的关键。小孩成长时间的留白。和同龄人的玩，比如足球等体育活动，或任何与同龄人交流、协作的活动等；或者自己玩的时间，是到野外、大自然中的玩，总之是留白的经常性玩的时间和习惯。这里说的每一条其实都不容易，都需要爸妈大量的时间去持续性的引导和完成。《真实记录十四个孩子的 50 年不同人生》的研究表明：富人的孩子依然是富人，穷人的孩子大多数依然是穷人，相信不少人都看过，分析的原因也有很多，肯定也见仁见智。我说一句：家长的习惯基本决定孩子的习惯，而日常行为习惯决定学习和思维习惯，从而影响孩子的一生，因为习惯一旦养成，没有很大的外力很难改变，就像细绳拴大象，就像心知肚明需要锻炼，但依然舒服的沙发躺。在这里，我想再说一句不雅的老话：“ 龙生龙，凤生凤，老鼠的儿子会打洞 ”。这里的遗传因素肯定是主要作用，但习惯的影响也不可忽略，假如让小龙跟着老鼠妈妈，小龙照样会打洞；你把淮南的橘移到淮北，则可以变为枳；狼孩的案例大家想必也都知道。我改研究生试卷有所感悟的一句话，对学生我说过很多次：卷面整齐、字体好看的试卷往往分值偏高，因为保持卷面整齐和字体好看是优秀的习惯，具有这些优秀的习惯，则一般也会有其他的优秀习惯，比如优秀的学习习惯，因而一般会有较高的分值。优秀是一种习惯，如果你有优秀的习惯，那么你就会习惯性优秀。【欢迎转发，请注明来源，并获得博主同意。】【注：图片来自网络，若有侵权，告知即会删除，谢谢 @版权所有@】; 个人分类: 教育教学|6278 次阅读|5 个评论

【13】《话说导数》: zhaoxc 2016-11-26 16:49; --公众号-- 微高数 --- 【 1 ：为什么说导数】导数用以衡量变化。为了进一步讨论函数的变化，之所以说“进一步”，原因在于先前的连续概念已经讨论了函数的变化，即在 x0 点的某邻域内，若 Δx -0, 则Δy-0，用文字描述这个式子就是“若自变量的改变量是无穷小,则因变量的改变量也是无穷小”，用通俗的话说就是“若自变量发生了很小的改变,则因变量也随之只发生很小的改变”。为什么引入导数？原因在于连续只是说明了“若自变量的改变量Δx是无穷小,则因变量的改变量Δy也是无穷小”，但并没有说明这两个无穷小谁“更无穷小”，也即这两个无穷小能不能再比一比？原因在于我们已经讲过无穷小的比较了，因此这么想就是水到渠成的事情了。既然比，那么怎么比？既然是两个无穷小，那么借鉴无穷小的比较方法：比值，就再自然不过了。同时，比值的方法还有很多好处，自变量的改变量 Δx和因变量的改变量Δy不是一个量纲体系（通俗地说不是一个战壕里的兄弟），没法直接做和差运算，但做比值去考虑他们的相对改变速度就没有什么问题。【 2 ：什么是导数】想理解导数，最好先理解平均速度和瞬时速度的内因外连。平均速度是物体在一段时间内的平均速度，这个时间段是普通大众可以想到的不太小的时间段，但一旦这个时间段逐步缩短，以至于超越我们认知程度的小，即时间段长度趋于零，那这个时间段的平均速度就可以极限于起点处的瞬时速度。那函数的相对改变速度类似于平均速度，即函数在自变量区间内的平均改变速度，令Δx-0，就可求出函数在x时刻的瞬时改变速度，即函数的瞬时变化率，即Δx-0时，Lim(Δy/Δx)的值就是函数在该点处的瞬时变化率，即导数。【 3 ：导数的来由】说完导数的前世今生，再来回头看，如何整体的理解导数。函数y=f(x)在x点可导：当Δx-0时，极限Lim(Δy/Δx)存在，此导数的定义小主意味深长啊。（1）函数可导：Δx无穷小，Lim(Δy/Δx)存在，首先意味着 Δy必定是无穷小，此举意味着函数在该点处必定连续；（2）函数可导：Δx无穷小，Lim(Δy/Δx)存在，无非是0和非0。若Lim(Δy/Δx)=0，意味着Δy要是Δx的高阶无穷小，简单说就是比Δx趋近于零的速度要快的多；若Lim(Δy/Δx)不=0，意味着 Δy与 Δx是同阶无穷小，简单说就是Δy与Δx趋近于零的速度差不多，最多差个常数倍；这么剖茧抽丝，发现函数可导意味着 Δx无穷小时，Δy不仅是无穷小，而且必定是趋于零的速度要么比Δx快、要么差不多的无穷小。再进一步说，导数这个概念貌似根本不应该讲，为什么呢？因为导数就是第一章中“无穷小”概念+“无穷小比较”的简单叠加。【 4 ：导数近似观】函数 y=f(x) ，若在 x0 点有 Lim( Δy/Δx)=k，则在 x0 邻域内，若拿掉极限，可知 Δy/Δx≈k，这个式子可以理解为：在 x0 邻域内，若自变量 x 改变 1 个单位，则因变量大致改变了 k 个单位；若 k0 ，则若自变量 x 增加 / 减少 1 个单位，则因变量也大致增加 / 减少 k 个单位；若 k0 ，则若自变量 x 增加 / 减少 1 个单位，则因变量也大致减少 / 增加 k 个单位；若 |k|1 ，则认为因变量对自变量的变化较为敏感，即自变量改变 1 个单位，则因变量大致反向改变 k 个单位；若 |k| ≤ 1 ，则认为因变量对自变量的变化不敏感，即自变量改变 1 个单位，则因变量大致反向改变 k 个单位；【 5 ：导数的导数】仿照对函数 f(x) 导函数 f’(x) 概念的理解，可以近似理解导函数 f’(x) 的导函数，即原函数的二阶导函数 f’’(x) 的大致意义，即二阶导函数值的正负反应了导函数相应于自变量的正向或反向改变性，二阶导函数值的绝对值大于、等于或小于 1 反应了导函数对自变量改变的敏感程度。进一步，二阶导函数值的正负和数值大致反应了原函数相应于自变量的增幅的变化情况：【 6 ：导数万花筒】导数描述函数的变化率，因此这个抽象的函数具体化为每个领域内的具体问题时，则导数概念思想可以用来描述其相应的变化率，换句话说，只要有变化的概念，就会有导数的影子。 1 、久居兰室不闻其香，久居鲍市不闻其臭孔子依此做喻，说明交友和环境对人品性的影响作用。若以 y 表示人感受到的香（“臭”可看成是“香”的相反数），或隐喻人的品性，则 y 可看成时间 t 的函数，即 y=f(t) 。人进入兰室，感受到的香一般是一直增加，但必然初入兰室感觉的兰花香肯定很浓郁，随着时间的推移对这种香度增加的感觉必然在减少，以至于久居兰室不闻其香，这里面蕴含着明显的一阶导数和二阶导数的概念。 “感受的香度一直在增加”表示 y’=f’(t) 始终 0 ；“初入兰室感觉的兰花香很浓郁”意味着此时 y’=f’(t) 的数值很大，而且是正数；“随着时间的推移对这种香度增加的感觉必然在减少”表示香度 y=f(t) 的增幅在减小，即 y’=f’(t) 的数值在减小，或者说 y’’=f’’(t)0 ；因此我们要避免陷入到习以为常的状态，否则会失去对美好事物的感知和体验能力。 2 、时常见诸新闻媒体的“房价在降低”与“房价增幅在降低”是两个不同程度的概念，“房价降低”是房价函数的一阶导数小于 0 ，“房价增幅降低”则是房价函数的二阶导数小于 0 ，显然不能画等号。政府调控房价的目的可能是希望“房价增幅降低”，可普通百姓希望的则是“房价降低”。 3 、边际成本、边际利润等边际概念 “ 在经济学和金融学中，边际成本指的是每一单位新增生产的产品（或者购买的产品）带来的总成本的增量 ”，这在数学眼里看来，边际成本其实就是成本函数的一阶导数，因此产品的“成本降低”与“边际成本降低”在数学上分别表示成本函数的一阶导数 0 和二阶导函数 0 。 4 、雾霾、蓝天白云与风变化的空气质量，需要风的助力。【 7 ：导数后记】导数，是在考量变化的幅度，不只是书本里的白纸黑字，她潜伏在我们身边的每一个问题中，只要我们睁开慧眼，去把这纷扰看得清清楚楚明明白白真真切切。欢迎转发，请注明来源！！！【注：图片来自网络，若有侵权，告知即会删除，谢谢 @版权所有@】; 个人分类: 教育教学|6168 次阅读|0 个评论

给师扑生跨求导：当求生存的中国教育遭遇求生活的英国学生: 热度 24 laserdai 2015-8-7 19:06; 对于中国教育遭遇英国学生，国内和海外媒体一片狂热，唯独这里不怎么热闹，或许是中国教育的那些事情，这里已经议论太多了，大家都乏了胃口吧！其实，中国教育的本质目的是为了求生存，因此才有了如此严格的训练，就是学习生存之道，这样的训练可以把笨蛋变成一个接近社会平均水平的人（这是好处），但是副作用（坏处）同时把一些超级聪明的人的创造力给打掉了，因为格外压抑人的本性，特别是那些创造性的人。因此，中国培养出的大批高素质人才，被西方国家给吸引走了，孔雀东南飞，永远不回头，工资金钱方面固然是一个重要方面，但是不受压抑的心灵自由或许更加重要。求生存（活下来就好）是人的最底端的要求，所以中国教育才格外排斥创新和创造，要求完全符合教条，不能越雷池半步，因此 Pisa 测试成绩很好，因此师扑生跨事件，受到媒体热吵。因此敢清晰预言，某国今后50年内重大科技突破根本没戏！更是捧腹笑看某国制造2025！而英国教育的本质目的不是为了求生存（英国的社会制度保障了基本的生存权），而是如何让生活更美好，简单地说，求生活。英国从自身发展史上得来的经验就是要创新、要进步，特别是科技方面。为了达到这些，就要放任人的本性，甚至放纵人的本性，这样才能把人激发到癫狂状态，这样才可能产生创新和创造。比如，英国的流行音乐就比较疯狂，而中国的流行音乐很拘谨啊！所以，当中国教育遭遇到英国学生，这些基本理念上的冲突就出现了。看看BBC电视片上，中国老师教导英国学生，要认真学习，考上大学，不然长大没有工作，就要饿死！英国学生年轻还不懂事，家长们听了就会哈哈哈大笑了：俺们英国不缺食品！（其实英国的社会制度保障了吃饱穿暖，根本没有饿死这一说法。）这些就是从求生存的基本理念出发，而不是从求生活出发的。看看BBC电视片上，中国老师教导英国学生课堂上要认真专注，注意力集中（中国老师让英国学生“用脑”、“不许讲话”、“不许问问题” ），总而言之是要听从老师的，不要有自己的个性。有些学生可以自然做到，但是有很多学生做不到，这个是人的本性。所以，这更是泯灭人的天性包括了创造性，呵呵！看看BBC电视片上，中国老师误导英国学生，你们要学习成绩好。如果听从中国老师的/学校教育的，把成绩提高上去了， Pisa 测试成绩很好，社会就会好了么？就会有创造成果出来吗？对比英国和中国社会的科技水平和发展，这个值得深思！数学上有个求导，举个简单的例子，给一个圆/弧线上某点画切线，这个切线的方向就是导数，如下图。因此，对于一个圆上不同的点，其导数是不同的，360范围之内。而一个社会的发展进步是一个曲线，应该符合马斯洛的层次理论的，人首先要争取生存，就是活下来，吃饱饭穿衣保暖，这样就处在曲线的底端，然后才是生理需要，曲线上的位置提高一点，继而更高的需求，比如受到别人/公众的承认和接受，再高是得到尊重和敬佩，等等。对这些不同的点求导，切线的方向是根本不同的。总的来说，中国教育出发点/导数指向是如何得到最基本生存之道，而英国教育的出发点，导数的方向是怎样发挥人的天性走创新创造之道！因此上篇博文的题目—— 当穷孩子的老师去教富孩子。。。蕴含了很深刻的道理，这里简单解释一下。这就是中国教育和英国教育的一个重大区别！; 个人分类: 社会文化历史|9976 次阅读|63 个评论

给 “费加罗的婚礼” 求导: 热度 19 laserdai 2014-8-27 06:11; 上篇博文，韩寒等根本不明白物理学上的能量守恒定律，聊着聊着有点跑偏，主题转移到了如何给 “费加罗的婚礼” 求导上，简单说几句。人类唱歌的嗓音，简单的说分为低音，中音和高音，对应于物理学上声波的频率依次为低，中，高，如果更低就是次声波，更高就是超声波，不管次声还是超声，人类的耳朵听不到，动物类就可以，比如恐龙基本上在次声波段，狗耳朵可以感受到次声波，蝙蝠、海豚等使用超声波。男女有别，女高音的频率比男高音要高，男低音的频率要比女低音更低，所以女人受到突然惊吓的尖叫就是高音。女士们携带的防狼噪音就是音频很高的噪音，色狼感受到这么高频的噪音，性趣顿时消失，从而起到保护作用。（注，这里陆俊茜的嗓音就是低音和中音之间，赵美娣比中音略为高一丁点，帅老大是典型中年中音，陈安曹大侠算是低音中有点点高，他俩PK没有意义。）从欣赏音乐的角度看，就是通过听到和感受声音的旋律，达到娱乐的目的。人的本性，嗓音越高，给大脑中枢神经带来的刺激越强烈，兴奋作用就越强。要想对高音有较好的反应，需要人本身的特性敏感还需要一定的培养，所以，高音不是一般人能欣赏得了的，一般都是知识分子才可以。我认为，这个跟个人的思维活跃度有紧密关系，比如，钱学森大脑思维特别灵活，所以才能格外喜欢和欣赏蒋英。一个思维活跃的物理学家，一定喜欢男女高音，否则，我不认为是个及格的物理学家。没有达到男高音女高音我这里基本欣赏不了，各位抱歉了。这一段总结：（载波的）嗓音音频越高越好，但是欣赏者的智力也需要越高。《笑傲江湖曲》就是很高的高音，不然曲洋也不至于把琴弦弹断。（注：流行的那段黄霑的《沧海一声笑》音不高，说实在有点瞎胡闹。）黑人音乐基本上调子低沉，我感觉就是来源于做苦力的劳动号子，后来的爵士乐也是基本如此。京剧的一条好处是，虽然是压着嗓子尖叫，那音还算高，所以有些唱段还是有艺术价值的。光有（载波的）嗓音高才算八字有了半撇，演唱的时候，是很多音符连续唱出来形成旋律，这个旋律在乐谱上是一长串符号，在物理学上就是一条曲线，歌曲/唱段如何，就在于这条曲线如何。这条曲线应该是平滑的，虽然有时高去有时低走，但是不能突然升高或者突然掉下去，造成很大的起伏，那样听者感受到的音乐刺激也就是美好就大打折扣了。比如常思思的《春天的芭蕾》演唱基调（载波）不高，只有那几嗓子突然升上去（是不是受到了京剧的蛊惑？），让我感到她其实是在飙车一样的飙高音而已，反倒担心她嗓子这样不会突然充血，所以美感大打折扣担心感增加。相对于，Mary Jess演唱《春天的芭蕾》的嗓音不错，不过还没有达到非常熟练的程度。宋祖英、帕瓦罗蒂等的演唱非常美感，就很少出现这样的问题。还是这条曲线的平滑，中间不能有断点（高等数学上就是保持连续性），就是每个音符都要唱出来，还要准确。如果一个或者几个音符没有唱出来，就会出现一个断点，影响美感；如果一个或者几个音符没有唱准，就跑调了，明显是这条旋律曲线突然出现了鼓包或者波谷，都影响美感。从高等数学上看更加容易理解，就是对这条旋律曲线求导，一阶导数也必须是平滑曲线。出现漏掉音符的断点，跑调等，在一阶导数曲线上非常明显；二阶导数对上下变动的拐点特别敏感，如果是平滑的旋律曲线，二阶导数曲线不会出现突然的大跳动，漏掉音符的断点，跑调等在二阶导数曲线上表现为巨大的跳动。 “费加罗的婚礼”是意大利歌剧的传世名篇，特别是帕瓦罗蒂的版本，出了很多名家名段，从序曲开始整部歌曲可以每个月认真看一遍，结合上面的解说，一边欣赏一边分析旋律曲线的一阶二阶导数，相信你可以感受到更多美感。另外，“蝴蝶夫人”等也很不错，也需要每个月认真看一遍。其他，男高音女高音的演唱，完全是演唱者的内功和内力的充分体现，演唱者运气，舒气等过程清晰可见，演唱者稍微分心或者走神也能一眼看穿，就别提假唱了。如果加上一些身体自然动作的表演，能达到超级的美感。我还觉得很重要的一点是，演唱者的认真专注的气质，本身就是一大美感。最后，请欣赏朝鲜女高音徐银香的《军港之夜》，美感远胜当年的女中音。（附注：录像中的那位指挥几个月前被处决，徐银香幸存，还在。）; 个人分类: 社会文化历史|6116 次阅读|77 个评论

微积分学习笔记（1）——从导数谈起: 热度 2 jxddroc 2012-2-26 13:27; 按照微积分发展历史，先有导数，后又极限，所以先从导数（ Derivative ）谈起。 1 一道求导的题目我们按照求导数的步骤求解函数 y=x 2 在 x=2 处的导数（这个计算过程最好自己算一算）函数 y=x 2 在 x=2 处的导数 x 2 2 2 2 2 2 2 △ x 0.1 -0.1 0.01 -0.01 0.001 1E-04 0 △ y 0.41 -0.39 0.04 -0.04 0.004 4E-04 0 △ y/ △ x 4.1 3.9 4.01 3.99 4.001 4 ? dy/dx -- -- -- -- -- -- 4 抛开极限，抛开无穷小量等概念，就分析这个计算过程。按照这种算法，我们肯定能归纳出结果结果就是 4 。那好，现在让你用一套理论讲清楚为啥是 4 。这就是微积分原理发展的一个推动力。在这个计算过程中，不断减少△ x ，△ y/ △ x 的比值将不断的逼近 4 ，到底是什么时候到 4 ？确实是当△ x=0 的时候，但是如果一开始△ x=0 则不能计算了。这到底怎么回事？能把为啥是 4 说清楚的微积分原理就是好的原理 2 导数的定义同济版本《高等数学》谈导数一节的思路是，先从“求某时刻瞬时速度”和“曲线某点切线斜率”两个现实问题入手，现实问题的需要引出了导数这个概念，其本质是两个微小变化量之比。随后，教材定义了导数，并按照“求增量，算比值，取极限”三个步骤求解各类型函数的导函数。最早，牛顿和莱布尼茨计算导数的方法并不这样的，他们没有极限论这样的工具。在牛顿那里，他首创用“ O ”记号表示 x 的“无限小且最终趋于零的增量，求解导数时，也是先算增量，再算比值，最后不用极限，直接取 O 为 0 ，则得到了导数值，在牛顿那里导数称作“流数”。贝克莱与第二次数学危机爱尔兰大主教贝克莱对对牛顿的理论进行了攻击。他指责牛顿，比如，为计算 x 2 的导数，先将 x 取一个不为 0 的增量 Δx ，由 (x + Δx) 2 − x 2 ，得到 2xΔx + (Δx) 2 ，后再被 Δx 除，得到 2x + Δx ，最后突然令 Δx = 0 ，求得导数为 2x 。这是 “ 依靠双重错误得到了不科学却正确的结果 ” 。因为无穷小量 Δx 在牛顿的理论中一会儿说是零，一会儿又说不是零。因此，贝克莱嘲笑无穷小量是 “ 已死量的幽灵 ” 。贝克莱的攻击虽说出自维护神学的目的，但却真正抓住了牛顿理论中的缺陷，是切中要害的。数学史上把贝克莱的问题称之为第二次数学危机。作为主观唯心主义代表的贝克莱大主教有一句经典的名句：存在就是被感知（对于具体的个人而言是对的，但对整个世界而言，很多存在并不一定要被感知）牛顿得出的导数值很实用，尽管是其推导过程存在逻辑上的漏洞，科技界还是接受了导数这个实用的工具。有文章评价牛顿体系道：（ 1 ）如果“ O ”小到是可以略去，那么，当初就不应引入（ x+pO ， y+qO ）。如果“ O ”大到引入后能说明 x 和 y 的增加量，那么，引入后，就不可以随意忽略。（ pO 和 qO 分别指 x 和 y 对应的无穷小量。）（ 2 ）导数（流数）是近似值，而事实上导数是精确值。（ 3 ）牛顿的流数术仅能求某几类函数的导数，还不能对所有函数求导数数学界为了进一步完善牛顿 - 莱布尼茨的微积分原理，展开了一系列的工作。 J.Le.R.d,Alembert(1717-1783) 建立了极限论。而后， k.weierstrass(1815-1897) 建立了极限的分析定义，其中， cauchy(1789-1857) 建立了一整套分析的基本概念，于是沿用至今的数学分析体系形成。在这里称为 cauchy-lebegue 体系。在此，我们出一道思考题。思考题：牛顿的流数术仅能求某几类函数的导数，还不能对所有函数求导数。我们的问题是如果不用极限工具，是否可以求出指数函数，三角函数，对数函数等的导函数？ 3 重新反思斜率与瞬时速度（ 1 ）从几何角度看用极限求解导数存在的问题介绍了导数的计算方法之后，书上开始谈导数的几何意义，即导数是曲线某点的斜率。（我参考的是 1978 年同济版本）下图是曲线上 x0 点切线的求解示意图。上图表示当自 x0 发生增量Δ x=x-x0 时函数也相应发生增量Δ y=F(x0+ Δ x)-F(x0) ，按 Cauchy 的定义， y=F(x) 在 x0 点的导数为 lim( Δ y/ Δ x)=f(x0), 当Δ x 趋于 0 时。再看图，当 Δ x 趋于 0 时， P 点在弧线上朝着 P0 点运动，蓝色割线 PP 0 向红色切线无限靠近。按照传统的量 - 形模型，弧也是无穷多个点构成，所谓 lim( Δ y/ Δ x)=f(x0) 也就是 P 点在弧线上朝着 P 0 点无限逼近但不能达到的过程，但是，切线要求当割线 AB 旋转到与曲线 F(x) 只有一个交点时，这个过程才完结，只要 Δ x ≠ 0 ，割线就没有化为切线，只要割线化为切线， Δ X=0 ，于是就有 Δ y/ Δ x =0/0 ，这与取极限要求的 Δ x ≠ 0 只是逼近 0 自相矛盾。（ 2 ）从飞矢不动谈瞬时速度的问题有个经典的悖论： “飞矢不动”：飞着的箭在任何瞬间都是既非静止又非运动的。如果瞬间是不可分的，箭就不可能运动，因为如果它动了，瞬间就立即是可以分的了。但是时间是由瞬间组成的，如果箭在任何瞬间都是不动的，则箭总是保持静止。所以飞出的箭不能处于运动状态。（来自百度百科）很多人对这个悖论进行了解释，在网上可以查到。我也不太清楚如何解释清楚，只是引用某老师的的一段话。恩格斯指出：“只有微分学才能使自然科学有可能用数学来不仅表明状态，而且，也表明过程：运动。”这里恩格斯所说的微分学既不是马克思和他所批评的古典微分学，也不是 Cauchy 的新微分学，而是指未来的辩证的微分学。“辩证”怎么理解？这可以以恩格斯解释的“运动”的例子作比方，恩格斯说：“物体在同一瞬间既在一个地方又在另一个地方，既在同一个地方又不在同一个地方。这种矛盾的连续产生和同时解决正好就是运动。” 现实世界中的一切事物，其变化在跨越度之前总要表现为连续变化，而自遣意识与非自遣意识不同，它的记忆和逻辑是分析的，即离散的和静止的，因此，一切科学模型都无法描述连续和变化的恩格斯意义的过程，从而，借助中介实现静态模型的动化是唯一敷衍塞责的办法。三百多年了，科学的微分学，从而科学的微积分学建立不起来的根本原因就在于没能实现静态模型的动化， Werden 或太极意义微分的引入，终于化解了这一矛盾，从而，导数的定义乃至整个微积分原理的建立才成为可能。参考文献 1 简明微积分原理，第四届国际数学大会会刊 2 现行微积分原理的缺陷，数学教学与研究， 2012 第一期 3 数学手稿，马克思 4 数学史概论，李文林 5 高等数学，同济版， 1978; 个人分类: 微积分|9634 次阅读|4 个评论

考槃笔记-30-一道数学题的解法: 考槃在涧 2008-10-24 15:05; 博友李宁在大作《开博了》里问了一个数学题，无趣男不才，斗胆解一下，请各位方家指正，问题和解法如下：解毕，对否，请指正。; 个人分类: 离骚|3478 次阅读|6 个评论

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