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再次理解“流形”——计算共形几何学习笔记4: Babituo 2020-6-25 18:48; 笔记 1中谈到1维的连续空间，就是一根可以套着顺滑移动的微套管的橡皮筋。反过来可以这么理解：【理解 1】微套管可以理解为就是 1个点：1个可流动的点状骨架；橡皮筋可以理解为是 1个线段：一个有边界（起点、终点）的一维拓扑空间；顺滑移动可以理解为是点可以顺着橡皮筋轨道来回连续流动；这就要求轨道要闭合，可以理解为是一维拓扑空间的边界要对接在同一个点状骨架上；橡皮筋就变成了橡皮圈，和圆圈拓扑等价，就叫拓扑圆圈；其形状就等价为 1个点状骨架顺着1个连续的1维拓扑空间来回流动形成的形状。这个拓扑圆圈的形状就是 1个1维的流形的例子。在【理解 1】基础上，得到【理解2】如下：假设有 2条 1维的拓扑空间（橡皮筋），连接到同 1个可流动的点状骨架上的话；得到的就是在 1个橡胶点处相连的两个橡皮圈的形状；骨架点仍然可以在两个相交的拓扑圆圈上来回连续流动，并可在交点处切换拓扑圆圈流动。这个相交拓扑圆圈的形状，仍然是 1维流形的1个例子。【理解 3】如下：在【理解 2】基础上也可以假设多条橡皮筋在多个骨架点上连接，变成橡皮筋网的形状；得到的形状，就是拓扑图的形状，仍然是 1维流形的例子。可见， 1维的流形，就是以点为骨架的流形。如何能得到 2维、3维、多维的流形呢？【理解 4】如下：要得到 2维的流形，必须用1维的流形为骨架，比如以1个拓扑圆圈为骨架；然后，必须用 2维的拓扑空间，比如1块橡皮膜，要把膜的边界拉扯连接到拓扑圆圈上；得到的就是拓扑等价为圆盘的橡皮膜，就叫拓扑圆盘。这样，作为骨架的拓扑圆圈，就可以象一个 1环的水波，在膜上收缩或扩大，来回“流动”。最小缩小到圆心点，最大可扩大到边界圆。这个拓扑圆盘，就是一个 2维的流形的例子。【理解 5】如下：在【理解 4】中，假若是用2块橡皮膜，要把膜的边界同时拉到连接到拓扑圆圈上；即用两块膜以同 1个拓扑圆圈为骨架蒙起来了，像个密封的气球，得到的是个拓扑球面；这样，作为骨架的拓扑圆圈同样可以在拓扑球面上收缩或扩大来回 “流动”；这个拓扑球面，同样是一个 2维的流形的例子。【理解 6】如下：在【理解 4】中，假若是以【理解2 】中得到的两个相交拓扑圆圈作为1维流形的骨架；然后用 1块橡皮膜，先把膜拉成长方形；先把长方形膜的一组对边，以骨架中 1个拓扑圆圈为对接边蒙起来了；再以长方形膜的另一组对边，以骨架中另 1个拓扑圆圈为对接边蒙起来了；这样，就得到了一个拓扑圆环面；这样，作为骨架的两个相交的拓扑圆圈同样可以在拓扑圆环面上来回 “流动”；这个拓扑环面，同样是一个 2维的流形的例子。归纳以上理解，并拓展，【结论理解】 n维的流形，就是用n维的拓扑空间，蒙在n-1维流形骨架上得到的形状。再用这个结论理解反过来印证一下之前的理解： 1维的流形，就是用1维的拓扑空间，蒙在0维流形骨架上得到的形状。对照之前【理解 1】：“以“点”为骨架的拓扑圆圈是一个1维流形”。拓扑圆圈是 1维的拓扑空间，印证正确，同时可领悟到： 1. “点”是一个0维的流形。 2. “蒙”的意思就是：将拓扑空间拓展开，使其边界恰好对接在给定的骨架上。 3. 既然如此，不如将 “被蒙”的拓扑空间，理解为就是一张广义的“蒙皮”。 * 这里引出了一个非常有意思的问题： “点”，是不是以-1维的流形为骨架的流形呢？。对照之前【理解 2】：“以1个“点”为骨架的2个拓扑圆圈也是一个1维流形”。拓扑圆圈是 1维的拓扑空间，印证正确，同时可领悟到：骨架的个数和蒙皮的个数可以各不相同，但 “用n维的蒙皮就得到n维的流形”个是不变的。 2维的流形，就是用2维的拓扑空间，蒙在1维流形骨架上得到的形状。对照之前【理解 4】：拓扑圆盘是一个2维流形。是以 2维的拓扑圆盘为蒙皮，蒙在一个1维流形：拓扑圆圈上的形状。印证正确。对照之前【理解 5】【理解6】：拓扑球面，拓扑环面都是2维流形。是以 2维的拓扑圆盘为蒙皮，只是骨架数量和蒙皮数量不同，印证正确。根据结论理解演绎一个 3维流形的例子： 3维的流形，就是用3维的拓扑空间，蒙在2维流形骨架上得到的形状。三维的拓扑空间是橡皮块。找个二维的流形：拓扑圆盘为骨架；不管橡皮块是什么体积形状，总是可以被揉成了球体状，那么，从球体表面任一点沿直径扫描（流动）过去，得到的截面是个圆盘，圆盘当然是拓扑圆盘。橡皮块与球体拓扑等价，就叫拓扑球体。所以，球体就是一个以拓扑球体为拓扑空间，以拓扑圆盘为骨架的三维流形。正方体是以拓扑球体为拓扑空间，以正方形为骨架的三维流形。正方形和圆盘拓扑等价。演绎正确。; 个人分类: 虚构开放世界|4801 次阅读|0 个评论

再次理解“空间”——计算共形几何学习笔记2: Babituo 2020-6-19 20:00; 既然一根橡皮筋可以看作是一个空间的例子。所以，就可以对照橡皮筋这个例子，来理解空间的很多抽象特性概念。基本概念一根橡皮筋有长度，对应空间就有大小。一根橡皮筋有起点和终点，对应空间就有边界。一根橡皮筋由相邻的无穷小橡皮粒子组成，空间由相邻的无穷小的点组成。一根橡皮筋的每个橡皮粒子都是一个位置，空间中的每个点都是一个位置。一个橡皮筋的相邻橡皮粒子之间的位置关系不同，橡皮筋就会变成不同的形状。空间中相邻点的位置关系的不同，空间就具有不同的结构。连续空间一根橡皮筋可无限拉伸，对应空间是稠密的，相邻位置之间没有缝隙。一根橡皮筋的微套管可平滑移动，对应空间是平滑的。一根橡皮筋具有上述两项特性，对应的空间就是连续空间。空间连续是空间结构上的一个特征。接下来我们只讨论这种橡皮筋，数学上只研究连续空间，以下的空间就只指 “连续空间”。维度假设橡皮筋可以双向延伸，对应空间就有维度，假设橡皮筋只能在长度方向左右延伸，对应空间就就是 1维。假设橡皮筋能在宽度方向上下延伸变成橡皮膜，对应空间就就是 2维。假设橡皮膜能在厚度方向上下延伸变成橡皮块，对应空间就就是 3维。单值化长度为 1的橡皮筋可以拉伸到任意长度，单位空间可以变换为任意大小的空间；反过来任意长度橡皮筋可收缩到单位长度，任意大小的空间就可变换为单位空间；这就叫空间的“单值化”。有了单值化，就可以忽略空间的大小，简化空间研究。单位橡皮筋可代表任意橡皮筋，单位空间就代表了任意空间。空间的结构橡皮筋可以有形状，对应空间就有结构类型。如果橡皮筋的形状变化有可计算的规律，那么对应可计算的规律就是空间的结构。假若橡皮筋只能保持平直，对应空间就是平直空间，空间的结构是直线方程，微套管只能按直线平滑移动。假设橡皮筋弯成了圆 /椭圆形，对应空间为圆/椭圆形空间，空间的结构是圆/椭圆方程，微套管只能按圆弧平滑移动。假设橡皮筋弯成了抛物线，对应空间为抛物线空间，空间的结构是抛物线方程，微套管只能按抛物线平滑移动。假设橡皮筋弯成了双曲线，对应空间为双曲线空间，空间的结构是双曲线方程，微套管只能按双曲线平滑移动。假设橡皮筋弯成的曲线是某个函数曲线，对应空间为该函数曲线空间，空间的结构是函数曲线方程，微套管只能按函数曲线平滑移动。假若橡皮筋是任意弯曲的，对应空间就是任意弯曲空间。距离橡皮筋的微套管平滑移动的长度就是距离。所以，不同空间结构上的距离的定义就不同。直线空间上的距离是直线长度。弯曲空间上的距离是曲线的长度。定义距离的方法就是空间的 “骨架”。拓扑空间可任意弯曲变形的橡皮筋没有距离的概念，只有橡皮筋相邻点的关系保持不变。这样的空间就叫 “拓扑空间”，拓扑空间只保持点的邻接关系不变。 “拓扑空间”是没有骨架的空间。拓扑空间是最 “简单”的连续空间，因为它需要的概念最少。所以，研究拓扑空间，就能认识空间的最根本的特性。一根线的橡皮筋可以变形为任意其他的线状橡皮筋，称所有的线状橡皮筋拓扑等价。一根圆圈状的橡皮经可以变形为任意其他的圈状的橡皮筋，称所有的圈状橡皮筋拓扑等价。但一根线状橡皮筋永远也变成不了一个圈状的橡皮筋，反之亦然。称线状和圈状橡皮筋拓扑不等价。具有拓扑等价空间的事实是用来 “测量”空间的基本性质的一个工具。; 个人分类: 虚构开放世界|2598 次阅读|0 个评论

拓扑空间体系图: warlong 2013-2-16 14:37; 拓扑空间体系图 2012年在北方，晚上睡觉之前，也看点书，做点思维体操，不知不觉看完了几本地外书籍，其中一本叫《点集拓扑论》。在这个物欲横流的丛林社会，若能保持清净心态，看点纯粹书籍，也算难得愉悦；面对浩如烟海的数学物理海洋，若能抓点鸿毛片羽，管窥自乐，足矣。作图最能简洁的表达思想，其中暗含本人对拓扑空间体系的理解。; 个人分类: 道法自然|5425 次阅读|0 个评论

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