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周四讨论班：分形（丛昱程）

GrandFT 2019-10-30 21:29

题目：分形 主讲人：丛昱程 时间：2019年10月31号下午17：15 地点：天津大学新校区32教一楼 提纲： 一、物理学中的分形现象 二、分数维的物理意义 三、实际应用 四、标度变换（不一定能讲到）

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文明的末梢、碎屑与崩解——读胡嘉明、张劼颖《废品生活——垃圾场的经济、社区与空间》

热度 1 tian2009 2019-7-7 10:01

【發表與香港《二十一世紀》（雙月刊），2017年8月號，總第一六二期。pp122﹣134. 發表時有刪節，這裡是原版。】 文明的末梢、碎屑與崩解 ——讀胡嘉明、張劼穎《廢品生活——垃圾場的經濟、社區與空間》 田松 北京師範大學哲學學院 2009 年可以稱為中國的垃圾年。在這一年里，垃圾問題全面爆發，北京、南京、上海、廣州，圍繞垃圾填埋場和焚燒廠的選址和建設，各種群體性事件此起彼伏。在這一年，王久良推出了他的攝影展和同名紀錄片《垃圾圍城》，產生國際影響。從這一年開始，主流話語對垃圾問題的態度發生了巨大的轉折，從無視到重視，從輕描淡寫到濃墨重彩。垃圾問題上了頭條，揮之不去。 與此同時，對垃圾問題的討論也逐漸從技術層面擴展到社會、文化、觀念等人文領域。2007年秋天，在我結束了伯克利的訪問回到北師大之後，不斷被毛達介紹認識來自歷史學、人類學，以及地理學領域關注垃圾問題的人文學者，雖然，總人數仍然非常之少。胡嘉明和張劼穎的研究我事先並不知曉，見到她們的著作，有意外之驚喜。 《廢品生活──垃圾場的經濟、社區與空間》由香港中文大學出版社於2016年出版，這是一部社會學和人類學視角的著作，兩位作者描述了在北京六環外一個叫做冷水村的地方，一個以垃圾為核心，與城市若即若離的另一重社會生活。這重生活平常被“折疊”起來，不僅遠離金領白領，連藍領鐵領也很陌生。雖然，在高檔小區的院門外，人們常常會看到他們駐扎在一個地方收廢品，但是很少會關注他們。他們沒有話語權，發不出聲音，幾乎是透明的。 兩位作者的調查經歷也是很好的故事。張劼穎作為北大社會學碩士自2007年11月，胡嘉明作為香港理工大學應用社會學系城鄉移民項目組成員于2008年底，先後來到冷水村調研，在那裡相識，并開始合作。“冷水村的廢品從業家庭共25戶，分佈聚居在五個大院和數個小院。”（xxiii）到2011年，有17戶家庭成為兩人穩定的調查對象，13戶家庭成為她們“相互信任、深入交流“的朋友。在此基礎上，張劼穎完成了碩士論文，前往香港中文大學攻讀人類學博士，胡嘉明轉至香港中文大學文化與宗教系任教。二人重聚中大，決定合寫此書，又于2012年、2013年前往冷水村回訪。此書雖然不厚，卻是從六年累積的田野筆記和錄音中萃取出來的，信息量龐大。（xxiii） 這本小書我陸陸續續讀了幾個月，此後又集中精力，從頭到尾完整地讀了一遍。心情沉重，五味雜陳。書中所描述的現象我并不完全陌生，也符合我以往對垃圾問題的判斷。但是，本書提供的大量細節，還是讓我感到震撼，讓我不由得思考這些細節之間的關聯，并把它們放到我現在關注的文明問題的框架之中。而為了闡釋這種關聯，我不得不尋找新的話語。 這篇文章其實並不是對《廢品生活》的評論，我只是把她們講過的故事重講一遍。 很可能，一座巍峨的大廈不是轟隆一聲被推倒了，而是噗嗤一聲，散了。 1. 食物鏈，垃圾與文明 我自1990年代中期開始關注垃圾問題，2000年我在納西地區進行田野調研的時候，特意調查每個村寨的垃圾現狀及垃圾觀念。当时，垃圾问题還是人文學者的盲點。直到現在，人們也普遍認為，垃圾問題不過是枝節問題，是個節約問題，無關大局。同時，人們本能地覺得，垃圾問題是技術問題，可以通過科學和技術的發展而得到解決；或者是管理問題，可以通過社會治理的完善而得到解決。 我的研究首先從物理學入手，把人、社區、城市、乃至人類文明整體視為熱力學系統，討論其中的物質與能量轉化。結論則讓我自己也感到意外：技術進步不能解決垃圾問題，反而會使垃圾問題更加嚴重。我可以相信某一種特別的技術對某一種特別的垃圾能夠起到很好的作用，但是技術的總體進步必然會使社會整體的垃圾問題更加複雜，更加嚴重。 垃圾問題的技術解決存在一個物理學的上限。一個麵包可以直接拿著吃，碎成渣可以捧著吃，因為物質不滅，能量守恆，這是熱力學第一定律。如果把麵包渣撒出去，渣渣當然還在，儘管，一粒一粒完全搜集起來，依然等於原來的麵包。但是，需要注意，一粒一粒地撿渣渣，需要付出更多能量。渣越碎，越分散，付出的能量越高。如果這個能量大於麵包所能提供給人的能量，這個麵包就是不可回收的了──得不償失。按照熱力學第一定律，物質和能量在轉化的過程中保持總量守恆，但是按照熱力學第二定律，即熵增加原理，這種轉化是有方向的──只能從低熵狀態轉化為高熵狀態，簡單地說，只能從可用的轉化為不可用的，從能用的轉化為不能用的。理論上，一個手機裡的各種金屬都在，可以一粒一粒地檢出來，但是，所付出的成本會遠遠大於收益。這就意味著，所謂“垃圾是放錯了地方的資源”，只是一個幻覺。熱力學第二定律，為技術解決設定了不可突破的上限。 垃圾問題是內在于工業文明的。由於垃圾問題的不可解決，工業文明註定是不可持續的。 我把現代化的全球化和全球化的現代化比作一條食物鏈，它所運\行的前提和結果是：上游優先獲取下游的能源和資源，同時把垃圾送到下游去。上游和下游不是絕對的，在任何一個尺度，都存在著上游和下游。在全球範圍內，歐美、日本是上游；非洲、南美、中國和東南亞等發展中國家是下游；在中國範圍內，東部沿海是上游，西部是下游。一般而言，城市是上游，鄉村是下游；大都市的城市中心區是上游，城郊是下游。 按照這個食物鏈理論，作為下游的鄉村必然要為作為上游的城市輸送相對廉價的能源、資源和勞動力。同樣，大都市的垃圾一定會從城市中心區被送到近郊、遠郊、更遠的郊。垃圾圍城是這個食物鏈運\行的必然結果。 在《廢品生活》所描寫得冷水村，食物鏈中的兩個子鏈條鉸在一起。一方面，圍城的垃圾，成為一部分賴以為生的資源，這部分人來自位於下游的鄉村。另一方面，鄉村為城市輸送的廉價勞動力進入城市，其中一部分進入城市的末梢，以城市的垃圾為生。他們從一個下游，到了另一個下游。兩位作者細緻地描述了他們的生活。 馬大姐租了一個整院，房租一年6000元，房間住人，院子用來堆放廢品。一個大鐵門，旁邊掛著一個木牌，用油漆寫著“廢品收購站”。院子裡面，有堆積如山的塑料瓶子，還有各式廢品，堆得很高。一進她家，就可以看見各種小學生的獎狀，新新舊舊的，貼滿墻面，而地面上一塵不染，床單乾淨平整。整個房間十分敞亮，整潔得讓來客有點兒手足無措，不知道坐哪兒，也不好意思隨便亂坐。實際上，要進她家並不十分容易。他們夫婦戒備心很強，很封閉，不輕易相信任何人。 （14） 如果說人往高處走，那麼在這些人看來，即使都市末梢的冷水村，在食物鏈上的位置，也比他們的故鄉要高一些。 2. 背景的对象化：“非”的生存 要描述冷水村的生活，首先遇到的，我想是語言問題：對於這個長期被折疊的人群，沒有現成的概念來指稱、界定、描述他們，研究者只能不斷地發明新的詞語。 胡嘉明和張劼穎用“非正式經濟”一詞界定這個特殊群體在社會經濟中的角色。“非”這個概念，意味深長。 一幅畫中，有對象有背景。對象是能夠明確辨識的，有名字的，容易描述的。而背景通常是被人忽視的。在攝影家的變焦鏡頭中，背景常常被虛化了，變成一團朦朧的色調。只有在經過精心設計的鑲嵌畫中，比如埃舍爾（M. C. Escher）的一些作品，對象與對象互為背景，把所有的對象都去掉之後，畫面才會是空的。在正常情況下，在對象去掉之後，剩下的背景，都是凌亂的，無法識別的，難以描述的，甚至沒有現成的名詞可以指稱。如果把對象視為集合，則對象去掉之後的背景，是“非集”。 “非集”是依附於“集”而存在的。 《廢品生活》所描述的正是我們這個社會的非集。在社會這幅風俗畫中，這些人原本是作為背景存在的。因為是背景，所以是� 有哪種東西造出來就是垃圾，但是所有的東西都可能成為垃圾。所以“垃圾”這個詞，其實是一個非集，指那些不是東西的東西。 以垃圾為生的人，是非正式的人；這種生計，是非正式經濟。都是難以描述，難以名狀的。書中專門有一小節講“非正式經濟與垃圾所建構的曖昧身份”（45﹣47）。 我們認為，本書中所呈現的拾荒者和收廢品人的身份是曖昧的、矛盾的、難以界定的。而正是這種身份的不確定性，一方面構成了他們在城市生存和取得收入的基礎，另一方面也遮蔽了他們被剝削和雙重歧視的處境。 （46） 書中寫到，“收廢品者”來自農村，但是與作為工廠工人或者建築工人的典型的“農民工”不同。他們“兼具自我僱用者和工人的雙重特性”（46）他們像是“小老闆”，可以對自己的“生意”做主，工作時間和工作節奏都可以自己安排。同時，他們又是從事收集、分揀、分類、運\輸等高強度勞動的“工人”。（46） 與其說王大哥是拾荒者，不如說他更像一種低端的“企業家”──每一分錢都是依靠毅力（每天在外奔波）、意志（透過網絡、熟人，自己努力尋找廢品），精打細算成本和賣價，還有自己的勞動力，對臟臭的忍耐，一分一毛的累計（積）起來，經營一個可以養活一家人的廢品買賣生意。當然，他沒有任何的保障、社保、假期、福利。 （26） “與其說是，不如更像……”從字裡行間可以體會到，作者無法用現成的單一詞語來描述王大哥，只能從現有詞語中進行多項選擇，用多個詞語加以描述。 3. 末梢與分形結構 分形是一個後現代科學的術語。分形幾何的發明人曼德勃羅說，分形幾何是大自然的幾何學。我們熟悉的歐式幾何描述的是理念的世界，理想的點、線、面，圓和球，都是現實中不存在的。在面對現實中的云、樹、海浪時，歐與非歐幾何都無能為力。分形的第一大特點是自相似。一棵樹是分形結構，樹幹、樹杈、樹枝，不斷細分下去，任何一個局部的結構，都與整棵樹相似。乾旱土地上的裂紋也是分形結構，任何一個局部的裂紋放大，都與整體相似。人體中的血管、肺葉，都是分形結構。數學的（理想中的）分形結構的第二大特點是，永遠可以細分下去。無論一個多麼微小的局部，把它放大，就能看到更微小的局部。 图 1 一株具有分形結構的草。從中大致可以看出局部與整體的自相似結構，也能預期到，每一個局部都會繼續生長，繼續細分。田松摄影。 把分形這個概念適度拓展，也可以描述社會現象。比如以往討論科學與社會的關係，默認的前提是，科學與社會之間存在明晰的界面，可以把兩者截然分開。但是劉華傑教授認為，科學與社會之間的界面是分形結構 ，這意味著，科學與社會全面纏繞在一起，在任何一個尺度上，都無法把科學與社會截然分開。 如此，前述上游與下游的關係也是分形結構：在任何一個小的區域，都存在上游與下游。同樣，社會組織也是分形結構：在社會的末梢處，會自發地形成微小的結構，并發揮功能。 冷水村位于工业文明的下游，這裡是宏大社會組織的末梢；也是物質轉化鏈條的末梢。《廢品生活》把這個末梢放大了，調整焦距，把原本的背景變成了對象。 收廢品人是聚群而居共同的勞作、生活──垃圾被運\回大院處理和存放，吃、喝、拉、煮也在大院裡完成的模式很普遍。在冷水村，這樣的大院有五個。外來打工人口守望相助，老鄉們共同居住，形成大院；大院對於外界封閉，內部互動密切；大院同時是居住場所，也是生產勞動和交易空間。 （47） 胡嘉明和張劼穎兩位姑娘進入到這個封閉的空間，看到了內部的結構。 廢品場有一個獨特的現象，我們稱之為“組裝家庭”。……在他們共同生活的群落中，常有這樣的情況：不同的小家庭組合起來，合夥吃飯、娛樂；老中青三代不是一家人，卻坐在一起吃晚飯、烤火，共度一天不多的閒暇時光；還會相互提供各種生活、家務上的幫助，尤其是帶孩子。……組裝家庭為社群的成員提供著情感的慰藉，也提供著生活的便利和支持。……對於其中的某些居民來說，這裡就像是他們的家園，甚至像老家一樣。（50） 在書中，冷水村這個社會的末梢呈現出豐富細緻的社會結構。比如，同樣是依靠廢品為生，有人拾荒，免費；有人“包樓”，付費。四川人與河南人有不同的風格。五個大雜院也各有不同。人們通常可能會覺得，收垃圾是件簡單的事兒。但是書中指出，收垃圾是一個複雜勞動。除了要付出體力，還要迅速判斷廢物的價值，決定收不收，用多少錢收；要知道哪些東西去哪兒賣，還要記住隨時波動的價格。不然，會賺不夠錢，甚至虧本。 冷水村自身還直接體現了上下游關係的分形結構。作為北京的下游，冷水村內部有著複雜的結構。村裡有一個國營企業，是一家附設了民用和軍用產品車間的國有研究所。這曾是村裡的最上游。村裡大多農民工都曾在所里打工。所里有一些“正式”工人，享受社會主義福利，包括住房──這個國企的家屬院，當然也是上游的一部分（105）。下游是大片的平民平房，除了留守農民外，都出租給外來人，全村“八成的居民是每天往返北京城裡工作的農民工”。（102）下下游是本書的主角，幾個超過一千平米的大院子，成為“廢品生活”發生的場所。（103）讓村民意外的是，2009年，部分農地被征，建起來一群豪華別墅。一下子躍居冷水村最上游：人造歐式風景，五星級會所，與平民平房只有一渠之隔。（106﹣107） 城鄉交合區最獨特的是它進一步集合和壓縮這些“斷裂”的空間，把不同的時代、文明和發展進程，壓縮在一個很小的區域裡。在這裡，農民工平房還沒有抽水馬桶，富人別墅可能已經是智能家居。這裡有些工廠以最原始的勞動密集模式運\作，一方面有廠子卻以科技機械營運\。在單位的家屬院一邊，可能是新蓋的豪宅，另一邊可能還是老農民的四合院。這種種斷裂的社會關係、勞動模式和發展水平，卻在同一個空間裡互相對立、並存。 （109） 這段描述中的發展主義我并不認同，不過，其中清楚地表現了社會末梢的分形結構。 4. ANT，圍繞垃圾建構起來的生活 序言中提到了卡龍（Michel Callon）和拉圖爾（Bruno Latour）的行動者網絡理論（ Actor Network Theory, ANT），這倒是應了我專業。拉圖爾是科學知識社會學（SSK）後期的重要人物，他和卡龍的ANT理論影響頗大。這個理論的核心概念是Actor，翻譯成行動者，並不十分妥帖。當然，兩種語言不可能存在完美的對應，翻譯總是包含著偏差和誤讀。英文actor最常見的意思是演員，而且是男演員。一个actor，在一個事件中，不是完全被動的，而是有行動能力的，是能夠對事件進程發揮作用的。在ANT理論中，actor不僅包括人，還包括非人類動物，以及環境、物體。ANT理論影響大，爭議也大，同時也多誤解和誤讀。即使是專業同行，也不能例外。為了寫作此文，我專門找出卡龍的早期文本。 通常認為，ANT最有啟發性的部分在於，把非人動物以及環境、物體與人相提並論，視為有行動能力的主體，而不是被動的客體。在我們通常的觀念里，只有人是事件進程中的核心。所以以往的社會學家更著重討論生產、分配；平等、壓迫；階級、階層……各種相對穩定的角色。不過，這樣的理論並非絕無僅有。 比如傳媒學者麥克盧漢的名言：“媒介就是信息”。一盞電燈掛在房子中間，不說話，卻讓人的生活圍繞它重新建構。人造光源使人不再日出而作，日落而息，而是按照固定的時間上下班。 具體到《廢品生活》中的世界，垃圾不僅不是被動的物品，反而是處於最核心的角色。正是垃圾，使得這25戶人家從不同的地方來到冷水村，構建了以垃圾為核心的生活。在書中，常常可以看到ANT理論的影子。 垃圾在我們的研究中，就是這樣一種具有建構性能力的“能動之物”（actant）。垃圾被城市空間排除，城市空間保持了其現代化、衛生、潔淨的特徵，以及其作為生產和消費場所的身份。垃圾被運\輸到城市的邊緣──城鄉交合區，又建構了新的空間和社會關係。 （47） 書中描述了新的社會關係建構的過程。我們不妨做一個簡單的重構。在早期來到北京從事廢品收購、垃圾回收的人中，一部分人掌握了這個複雜勞動，積累了經驗，事業做大，於是把老家的親戚朋友帶出來，就出現了一個小社會。人越聚越多，這個小社會的細節越來越豐富。 為了工作方便，節約成本，拾荒者的生活空間和工作空間是合二為一的。他們需要每天長時間和垃圾打交道，生活也會圍繞垃圾來安排，例如和垃圾相處，就決定了他們甚麼時候以及如何吃飯、清潔、休息，穿著甚麼樣的衣物，以及使用甚麼樣的生活用品。如此，生活、工作和垃圾融為一體，就形成了聚群而居、在這個空間中又工作又生活的獨特形態。聚居的群落，也結成了相互交織的緊密的關係網絡。 （48） 一個以垃圾為核心的社會就這樣生成了。這個社會是有活力的，具有自組織能力，也能夠生長出更多的細節。比如，會有為他們服務的小吃店、雜貨店（同樣非正式，沒有執照），以及黑車。 5. 隨時崩塌的生活 精讀卡龍的文本，我發現，ANT的高妙之處還不止於此。 通常人們認為，存在一個不以人的意志為轉移的外部客觀世界，這個客觀的世界存在一個同樣客觀的規律，仿佛冥冥之中存在一塊刻著真理銘文的石碑，科學家只是石碑的發現者，他們的任務無非是用拂塵和抹布把石碑上的泥土擦去，讓預先刻就的銘文呈現出來。這種意象的真理銘文，只能是上帝刻上去的。不過，按照SSK的觀點，科學家只是科學知識的生產者，他們手裡拿著的不僅是拂塵和抹布，還有錘子和鑿子，上面的銘文是他們刻上去的。 也就是說，並沒有一個預先存在的確定的知識。 ANT 把這個邏輯推廣到社會關係上。功能主義社會學把社會視為由一些相對穩定的角色（roles）構成的實體，角色之間有相對穩定的關係。社會學家的任務是把已經存在的關係發現出來，闡釋出來。ANT討論的是actor，按照SSK的邏輯，無論是actor還是他們的關係，都不是預先存在的，更不是固定的，一成不變的，而是在相互的交往中生成的，並且處於變化之中。 《廢品生活》中所描寫的各種人物，他們與垃圾的關係，也都不是固定的，確定的，是在變化之中的。 不少廢品從業者都有過這樣的遷居史：本來住在二環，後來遷到三環、四環、五環、六環的頤和園附近，最後落腳在六環外的冷水。我最初以為他們是農民工，對北京市毫不熟悉，慢慢發現他們才是老北京，見證北京的發展軌跡的同時，不斷被邊緣化、農村化，每一次城市化的擴張，都把他們擠向外圍。 （104） 他們的生活在變化，他們與垃圾的關係在變化，他們與城市的關係也在變化。於是這本書所描寫的，只能是在變化的過程中的一個片段，既不是起點，也不是终点。 有的家庭已經在北京生活了二十多年，他們熟悉這個城市，但是這個城市從來不屬於他們。儘管，每個家庭都是actor(或actant)，有一定的主動權，有一定的行動力。不過，他們的主動權和行動力都是非常有限的。他們在冷水村的住處，隨時可能被征用，被推倒。他們只能被動地應對這類變化，遷往更遠的地方。 這種“被”的生活，“非”的生活，使他們無法制定長遠的規劃。 ……這些在城市邊緣討生活的人，是多麼容易改變主意。他們多面習慣於沒有計劃，或者隨時改變計劃，不管是長遠的還是近期的。……很多時候，他告訴你一個日期或者一個計劃，但後來你發現他並沒有真的那麼做。不需要問，每個人的計劃都在變動當中。沒有人能肯定未來的打算。 （58） ANT 深刻的地方還在於，那些試圖“揭示”、闡釋、闡發這些關係的學者，也是一個actor。在這個意義上，《廢品生活》所描述的，其實是兩位作者觀察到的現象。而她們的觀察，參與到了她們所觀察到的現象之中。在長時間的調查、訪談中，她們本人，也成了冷水村的“非正式”成員，她們出的主意也會受到重視，對被調查者的生活產生影響。（62） 6. 物質和能量轉化鏈條的末梢 印象派大師高更有一幅畫，題為“我們是誰，從哪裡來，到哪裡去”，當我們對都市中的一切物品，不斷追問這個問題，就會發現，都市中的一切，歸根結底，都來自於森林、礦藏和天然水體（低熵狀態的物質和能量）；在被廢棄之後，又成為各種形態的垃圾（高熵狀態的物質和能量）。工業文明如同一個熱機，把大自然轉化成垃圾場，熱機的功率越大，技術越發達，轉化垃圾的能力越強。從大自然到垃圾場是一個“能物流”。人類社會，作為一個熱力學系統，依賴著這個能物流。任何人要在城市里生存，都要從這個能物流中截取一部分。顯然，在物質和能量轉化鏈條的上游，能物流如大河一般，密度高，流速快；到了下游，到了末梢，就變成娟娟細流，獲取同等能量和物質需要耗費更多的成本。 能物流的前端必然進入社會建制化的管道，被優先分配，這就是“正式經濟”。剩下的部分，就是“非集”了。“非正式經濟”只能從建制化管道的縫隙中截取漏出來的能物流。廢品和垃圾原本是能物轉化鏈條的末梢，是被拋棄的部分，而廢品回收則要對這個末梢再次分割，提取價值。 書中引用了Joshua Goldstein的研究，在計劃經濟時期，垃圾回收曾經是正式經濟的一部分。1950年代，大約有7000名從事垃圾回收的個體組建為一個叫“北京市廢品回收公司”的國營單位（xv），後來改名為“北京物資回收公司”。2000年后，這家公司“逐漸把原本駐紮社區的回收站，變成地產開發點和出租車公司項目，原來全市兩千多個回收站降為後來的幾個，也順理成章地把單位的老員工分配到新的業務上”（xvi）。國營回收單位一方面壟斷著重型金屬的工業回收，一方面開發新業務。“薪水福利好的國企工人，不願意也不需要在全市迅速增長的小區生產的垃圾堆里尋找、分揀、跨城運\送可回收物品。這種勞動力成本和投入都超高的工序，在這二三十年由十幾萬農民工一力承擔。”（vii）有意思的是，北京物質回收公司也曾嘗試吸納農民工為其工作，“給他們穩定工資、制服、規定工作時間等等，但是這種嘗試大都以失敗收場，收廢品人根本不願被收編到體制裏。”（xvii）這種收編的努力一直持續到今天。不過，顯然，在廢品回收這個領域是明顯的國退民進。 兩位作者在一個腳註中說，“非正式經濟”是“指政府和正規資本都不介入的經濟領域”（11）。“政府不介入是因為它不屬於認為應該提供的服務，而政府要管理這些活動又成本太高；正規資本不介入是因為利潤太低，由於無法集約生產，成本太高。”（11）其實在我看來，政府不介入與資本不介入的原因是一樣的：麵包渣太碎了。 雖然，麵包屑對於人來說，已經過於零散，撿拾成本太高，但是對於螞蟻來說，還可以看做是富礦。“蟻民”依靠能物流的末梢生活，要付出更大的代價，放棄更多的權利。 如前所述，熵增加是不可逆的。從本已高熵狀態的廢品和垃圾中，析出部分低熵物質，必然會導致周邊環境更大的熵增。從宏觀上看，這項活動一定是以環境污染為代價的，空氣污染、水污染都在所難免。對他們自身而言，難免要付出自身和下一代的健康。 拾荒的工作和生活環境，確實令初來者難以忍受。地面無處下腳，下雨會把整個院子變成坑窪的泥沼，而僅僅是垃圾裡面流出來的膿液，也會讓地面濕滑不堪。當然，進入這個空間，最受到衝擊的首先是嗅覺。撲鼻而來的那種垃圾特有的酸臭氣息，衝進口鼻，強烈的味道令人窒息作嘔。在這樣的空間待得久一點，會令人頭暈。 （45） 就這樣，非正式的人，從事非正式的經濟，過著非正式的人生。 而即使這樣的生活，也能吸引他們離開家鄉，可以推想，鄉村的退化該是何等嚴重。 7. 自由，尊嚴與夢想 不久前，在一個鄉建活動中遇到歌手孫恆，他為大家唱歌，他說，當富士康十三跳之後，他再也坐不下去了，他要為他們寫一支歌。人不是機器，每個人都有尊嚴。 胡嘉明和張劼穎在調查中發現，冷水村很多人剛來北京時，都曾在國有研究所裡打工。但是一兩年后，紛紛跳槽。國企雖然位于冷水村食物鏈的上游，但是真正享受這個上游的是國企里的有編制的正式人員。而他們，作為“非”的合同工，只是這個上游中的下游。這時，對於他們來說，村里的廢品回收行業，反而成了下游中的上游。“ 收廢品正是一個需要一定市場資料和勞動技能，又能獲取高工資的行業。”（106） 顯出上下游分形結構的複雜性。 更有意思的是，差不多所有放棄當工人的，都跟我們說希望更自由一些。（106） 在這本書里，“自由”是一個關鍵詞，在不同的地方反復出現。 事實上，這一點令人驚訝──這個大院幾乎所有的拾荒者，都喜歡說自己“自由”。“自由”在這裡是如此高頻出現的詞語，令我們不得不重新理解，自由對他們來說，到底意味著什麼；自由和垃圾，又有著怎樣的關係。（86） 在程大叔的故事中（85﹣94），兩位作者寫到，程大叔很少真的不出門工作，每天長時間在外面奔波，沒有節假日，嚴寒酷暑、颳風下雨也是每日照舊，“自由度”並不大。不過，相比于在工廠打工，兩位作者總結到：這種自由首先是“給自己打工”所帶來的安全感，不用擔心隨時會被辭退，會被拖欠工資，只要勞動就有收入，並且可以迅速變現；另一方面，這種自由來自那種自己做決定、自己安排時間的“當家做主”之感。（87） 在這裡可以看到，自由與尊嚴是聯繫在一起的。在工廠打工，處於工廠食物鏈的底端，地位卑微，長期被忽視、被冷漠、被剝奪，要忍受與“正式工”同工不同酬的屈辱，大多數人沒有升遷的渠道，更何況工資並不算高。雖然收垃圾也會頻繁遭到白眼、鄙視、屈辱，但是，它們並非來自同事與上級，心裡感受大為不同。 作垃圾生意十幾年，程大叔算得上是個行家了。任何你想得到想不到的東西，他都會告訴你用途和銷路。舊球鞋的底會拆下來，賣到橡膠加工廠；舊衣服可以用來做被子的填充物──當然，這被子並不是給人蓋的，而是大棚裡蓋蔬菜用的；完全沒有腐敗的食物，還可以賣到養豬場餵豬。 （88） 從這番描述里，可以感受到，程大叔熟悉自己的工作，也從這個工作中獲得了尊嚴。他是專家，是他在掌控自己的工作，而不是被工作所掌控。 與尊嚴相關的，還有生存的價值和意義，以及夢想。 故事的主人公也不認為“廢品生活”是一個正常的生活，他們很多人都有一個理想中的故鄉。他們把北京的生活當做臨時的生活，他們忍受這種生活，是為了回到故鄉。很多人拼命賺錢，在家鄉建一個大房子。王大哥甚至在家鄉縣城的高檔小區裡買了一個電梯房。（29﹣30）。他們把家鄉的房子裝修得極為現代，家具家電，廚衛設施，一應俱全。而在北京則是各種應付。與廢品和垃圾生活在一起，也的確難以講究太多。但是實際上，家鄉的那個大房子好房子，他們往往只能在春節時才能享用。北京的“臨時的”房子，卻是他們生活時間最長的地方。王大哥的電梯房他更多地是在視頻中享受（29），程大叔家裡的新房子空無一人，還要付錢請鄰居幫忙看家（93）。 他們長期“臨時地”生活在北京，但是他們生存的意義要在很少回去的家鄉里獲得，恰如米蘭．昆德拉小說的名字：生活在別處。 然而，家鄉，他們實際上已經回不去了。 8. 無處可退：鄉村的風化與崩解 春節後一次飯局，劉成紀教授說起回老家，說等村裡的老人都走了，老家就回不去了。我說，主要是因為沒有祠堂了。 中國自古皇權不下縣，縣以下鄉紳自治。鄉紳是傳統文化的繼承者，是地方社會的組織者。在鄉紳階層整體消失之後，鄉間失去了傳統的自組織力量，也失去使自己得以作為自己的文化力量。在全球化的狂風之中，傳統鄉村迅速風化，崩解。 1980 年代之後，中國全面走向市場經濟，而農民的市場經濟地位一直是不清楚的。人民公社解體，土地重新分給農民，但農民並不擁土地的所有權，只擁有幾十年的使用權。農民仍然不能為自己生產的糧食定價。農民在土地上勞動一年的收入，還不如進城打工一個月。義務教育普及，新一代農民接受更多的教育，有更多的能力去城裡打工。而城市膨脹，也需要農民進城從事下游的工作。他們召之即來揮之即去，價格低廉的工資甚至還要拖欠、抵賴。 從單一單向的工業文明的發展主義看來，傳統的文化都是落後的、陳舊的、迷信的，沒有價值的，應該丟棄的。1950年代之後，在全國一統的制度化教育中，預設了發展主義、進步主義、科學主義的價值觀，多樣性的文化失去了傳承的正規渠道。相反，農民的孩子受到的學校教育越多，學得越好，越看不起自己的傳統。我把這稱為“傳統地區的教育學悖論”。城市代表進步，鄉村代表落後。使得農民在自己的家鄉失去了意義 。鄉里小學的好學生，被認為應該去縣里讀中學；縣里中學的好學生，該去省城、北上廣讀大學；當然，大學生又把出國當做下一個目標。 新一代農民對於土地越來越疏遠，越來越沒有感情，越來越不會做農活。尤其是那些讀了高中的學生，在人生成形的青春時代，沒有用來向父輩學習在土地上耕作，而是用在學校──學習那些首先用來備考大學的知識上，一旦考不上大學，就成了徹底的邊緣人。沒有能力也不甘心回到農田，只好成為城市里飄蕩著的邊緣人。 歌手孫恆在農村長大，上過大學，做過音樂教師，做過流浪歌手，後來創辦了北京工友之家，找到了自己的生活意義。任職北京工友之家的呂途博士寫了兩本關於農民工的著作：《中國新工人：迷失與崛起》和《中國新工人：文化與命運\》。他們拒絕使用農民工這個詞，認為其中包含歧視，也不準確。他們認為，這個詞在1980年代用來描述那些在農閒時進城打工的農民還算恰當，而現在這些人從來沒有從事過農業，甚至就在城裡出生，所以他們發明了一個新詞：“新工人”！ 既不同於曾經作為統治階級的國企工人，也不是農民。有時，他們也採用打工者，工友來代替。 新工人這個概念似乎還不能包括《廢品生活》故事中的主角，但他們的境遇是相似的。都是第一代離開農村，在城市的邊緣生活，差別只在一者服務于“正式經濟”，一者服務于“非正式經濟”。相對於城市“主流社會”而言，他們有更多的共性。就如呂途和北京工友之家所總結的，城市是“待不下的城市”，家鄉是“回不去的農村”，只好“迷失在城鄉之間”。胡嘉明和張劼穎也提出了類似的問題。 他們的下一代，更加難以回去。他們所能做出的最大的努力是，讓下一代上學，讀書，離開“廢品生活”。比如馬大姐，堅決不讓兒子碰垃圾，一下也不能碰（18）。不過還有很多人的後代，轉了一圈，又回到冷水村，與垃圾為伴。 其實可以說，小玲是在這個院子長大的，這裡的人都是她的四川老鄉或者親戚，雖然中間回老家上學，但是放假又會回到北京和父母一起。可以說，她不像一般的農民工“京漂”。反過來，她本來就是在北京長大，北京有太多她的成長記憶。她後來回四川上學、結婚、生小孩，然後又回到北京“老家”，跟一直留京的四川親戚鄰居“重逢”。 （69） 回不去的原因是雙向的。一來，他們的關係、人脈、圍繞垃圾建構起來的生存技能，在家鄉完全沒有用武之地（72）；二來，家鄉已經被風化了。 在文化上，鄉村已經普遍地喪失了自組織能力，不再能為她的子孫提供生活的價值和意義。生態上，經過了三十年的工業化農業，農田已經變成了污染源。環境上，作為工業文明食物鏈的下游，鄉村成為工業文明廢棄物的終端。在他們建在家鄉的大房子外面，隨處可見的很可能是農藥瓶子、化肥袋子，不知來處的建築垃圾，乃至於工業廢棄物。 這種現象是詭異的。他們在都市里過著“廢品生活”，努力減少著都市里的垃圾，而在他們夢想中的家鄉，在他們寄託價值和尊嚴的大房子外面，是另一個垃圾的世界。 她昂著頭，高跟鞋踩過垃圾場，就像是冷水村這個多元社會的絕妙� 詳細論述參見田松，《有限地球時代的懷疑論──未來的世界是垃圾做的嗎》，科學出版社，2007年。 詳細論述參見：田松，垃圾，《今天》雜誌，2011年春季號，pp284-306 劉華傑，相對主義與理解SSK的一種分形模型，北京：科學與社會，2015年第四期，pp43－61. 參見田松，何以知其然也──上帝視角與相對主義，《科學與社會》，2015年第四期，pp62﹣69 田松，在自己的家鄉失去意義，《稻香園隨筆》，上海科技文獻出版社，2014年，第52頁。 呂途，《中國新工人：迷失與崛起》，法律出版社，2013年，第002頁。

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一本有烟火味的科普书——读《智者的困惑》

热度 1 hufeng 2019-3-6 17:59

春节过后的一个早上，独自一人，在一个暖和的房间里，翻开了丁玖先生的大作《智者的困惑》，偷得浮生半日闲。 大学时，就对混沌，分形等现象充满了兴趣。记得当年在图书馆里面泡了半天，最后明白了分形现象本质上是一个无穷的过程，恍然大悟。在阅读此书之前，曾经读过了 James Gleick 的那本畅销的名著《 Chaos-making a new science 》。 Gleick 的那本畅销的名著影响力真是很大，我在悉尼做访问学者时，房东是一位学历不高，但兴趣广泛的老头。他送给我的临别礼物上开玩笑的写着“亲爱的锋，庆祝我们在悉尼发现了混沌。” 打开丁玖先生的书，时间在慢慢翻动的书页中流过，思维也慢慢的进入到了那段激动人心的历史中。这本书以法国人庞加莱对三体问题的研究作为混沌研究的开始，庞加莱被认为是 20 世纪最伟大的数学家之一（另一个是德国人希尔伯特，他在 20 世纪初，在全世界的数学家面前喊出的“我们终将知晓，我们必将知晓”，言犹在耳）。三体问题是庞加莱研究过的问题之一，探讨以万有引力相互吸引的三个物体间比如地球，太阳，月亮，如何运动的问题，这个问题困扰了当时科学界。传统的物理学家“看不见”月亮（月亮的质量太小，被忽略掉了），从而变为地球和太阳相互吸引和运动的两体问题。对这两体问题，物理学家就可以大显身手了，什么折合质量啊，质心静止系啊，都是这套标准解法中的概念。但是，如果另外一个天体的质量不能忽略，比如这个天体比月亮的质量大得多，那该怎么办？这个问题让大物理学家牛顿都莫衷一是，庞加莱毅然向这个问题进军。他并没有直接的解出三体系统是如何运动的，但是他告诉我们这个系统的状态对初始条件极其敏感，稍微改动一下初始条件，系统运动的最终结果大相径庭，因而预测不可能，偶然性翩然而至。 60 年后，麻省理工学院的气象学教授洛伦兹，有一天在他的计算机上算一个气象模型。在一次计算的中途，他暂停了一下，并记下了运算结果。后来他准备去喝杯咖啡时，就把上次运算的结果带入到计算机中，满心以为喝完咖啡回来，计算机会给他同样的结果。结果却是，计算机给出的结果与以前计算的结果相比差别极大。他又试了几次，并非计算机的问题。仔细思考后，他恍然大悟，明确的提出了因为初始数值的不精确（比如他只是抄写下计算机前一段运算结果的三位有效数字），导致了天气预报模型给出了大相径庭的结果，文章中他写下了“一个确定的系统能够以最简单的方式表现出非周期性”。接着，混沌科学开创历史上的先驱们开始一一登场 ， 苦苦寻求生态系统种群数量波动原因的澳大利亚裔科学家梅；给出了混沌领域中严格证明定理的李天岩（丁玖先生的博士导师），以及李的导师约克教授费；发现了混沌现象普适性的物理学家费根鲍姆；以及发现自然界中普遍存在的分形现象的科学家曼德布罗特等。随着他们登场的，各种我以前听说过的名词术语，三体问题，初值的敏感性，生态系统群体的涨落，周期三意味着混沌，普适性，无穷自相似，也纷至沓来。在本书的最后一章中，作者谈到了信息，谈到了熵（主要是香农熵），暗示这是混沌科学发展的一个新的方向。 科学发展到今天，在很多的领域都有了大的进展，而每个领域都可能要花费你一生的时间去探索。所以，现在有很多科普是针对科学家的科普，比如英国著名的科普杂志《新科学家》。因为是给科学家的科普，有些东西就被视为理所当然，比如板起面孔说话，文章中不带一点人间烟火。但这本书的对象是普罗大众，所以作者在宏大的科学发展叙述中，插入了很多自己的感受和故事。在这本书中，你可以看到马克思，弗洛伊德，庄子，林语堂，甚至现代的中国作家周国平。书中谈到了引起中国和美国教育界热议的《虎妈妈的战歌》，原因是那本书的作者的父亲蔡少堂教授也在混沌科学的发展领域做出了贡献。书中有一个小故事令我印象深刻，一个叫做丁易之的小女孩，在美国读小学，一天一回到家就兴冲冲要给爸爸解释混沌。然后，她画了一个等边三角形，然后把每一条边等分为三段，在中间那一段再画出一个等边三角形，然后把中间那一段抹去。这个过程在每个等边三角形的每条边上都无穷的进行下去，这个就是分形中有名的科赫曲线。之所以这个故事记得这么清楚，是因为前一段时间，还在读幼儿园的女儿在饭桌上突然问我，如果牙细菌上有一个更小的细菌怎么办？孩子对新事物的感知能力，想象力不可小觑。但生活中有时缺少了一双会发现的眼睛，如果曼德布罗特没有告诉我们无穷自相似的概念，那么我也只能告诉女儿比细菌小的是病毒，不会给她买俄罗斯套娃。 一副波澜壮阔的历史图画，每个人出于自己专业的限制和兴趣，“横看成岭侧成峰”。作为一名物理学者，总觉得书中对物理学家的贡献提及太少，这本书是围绕着数学家开展的。在本书的 13 章中，仅仅有一章谈及费根鲍姆的贡献，而相比起来， Gleick 的书籍都是围绕着物理学家开展的，当然这只是一名旁观者的唠叨。另外，可能长期在美国教书生活的缘故，书中的语句太多的欧化的长句，读起来让人感到费力。经典的中国文学中，读一下《红楼梦》就可知道，是短句子多，更加符合中国人的思维习惯。 如果能在高中的时候能够读到这本书，我会了解到科学家研究的问题很有趣，他们同样是有血有肉的人。美国康奈尔大学教授，研究混沌的专家 strogatz 回答如何提高中小学的数学教育时，简单的回答，遇到一位好老师。我觉得读到一本好的科普书也对小孩子的成长有莫大的帮助。

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论不超过x的素数的个数【奇思妙想】

erbin88 2018-11-21 16:02

论文原文下载：论不超过X的素数的个数.pdf

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将你的爱人神化的一条捷径

冯向军 2018-10-29 12:33

将你的爱人神化的一条捷径 冯向军 空能包容万有。在空存在的同时不坏万有的显相。因此，空对于万有都是透明的。 你将你爱人变得对万有透明，实在是将你的爱人神化的一条捷径，而只要能以万有为背景B、以 你爱人的照片为前景F，直接融合成现代泛系 叠 加态： rF+(1-r)B就能达成这一目的。 【举例】

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朦胧粉红海滩婚纱照---美人与自然融为一体

冯向军 2018-10-28 10:14

朦胧粉红海滩婚纱照---美人与自然融为一体 冯向军 2018/10/28 (一）背景 （二）原照 （三） 朦胧粉红海滩婚纱照(美人与自然融为一体） （四）小结 抠图难而融合易。但抠图换背景的效果往往不如原图整体和新背景直接融合。不过抠图的技术含量高。

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我为什么选择图像和分形作为现代泛系的终生科学研究主攻方向？

冯向军 2018-10-27 18:42

我为什么选择图像和分形作为现代泛系的终生科学研究主攻方向? 冯向军 2018/10/27 现代泛系的思维和研究对象主要不是形式逻辑（等价于现代泛系复杂逻辑中的最不可能逻辑）的非此即彼的二元对立，而是现代泛系叠加态： 现代泛系叠加态=rA+(1-r)非A (1) 这其中0=r=1，是实数。A和非A是映射两个某种意义上的相互独立指向的单位广义向量。所谓广义向量就是既有大小又有指向的量。所谓单位 广义向量就是大小为1的广义向量。（r,1-r)既是 现代泛系叠加态在以 A和非A为基底所构成的广义正交坐标系上的坐标分布，又是 现代泛系叠加态在 A和非A上的柯尔莫哥洛夫公理化概率分布。由于r+(1-r)=1, 现代泛系叠加态的各坐标之和及各概率之和均归一。因此 现代泛系叠加态又叫做归一化广义向量。一般形式的 现代泛系叠加态可表达为： 一般形式的 现代泛系叠加态 =p 1 A 1 +p 2 A 2 +...+p n A n (2) 这其中p 1 +p 2 +...+p n =1，0=p i =1,i=1，2,...,n。 现代泛系广义向量基本定理指出：处于唯一不同指向上的广义向量即使其大小全同也互不隶属、没有交集、相互独立。因此在现代泛系中，广义向量相互独立的条件在理论上或理念上是很容易满足的。这为现代泛系把现实世界的复杂问题至简化和从 现实世界的貌似相同的事物中看到本质的不同从而破除现实世界所谓的“有常”和“有我”论奠定了科学理论基础。 由于 现代泛系广义向量基本定理的确立， 现代泛系叠加态，一般而言，在理念上可分别而在现实中不可分割。 现代泛系叠加态在理念上可分别成相互独立的分广义向量。这些 分广义向量不是脱离了整体或其他 分广义向量的 分广义向量，而是活生生的整体之中与 其他 分广义向量实际上存在相互纠缠的分广义向量。例如活人的意识和精神实际上不可分割，但活人却可以分别为活人的意识和活人的肉体之和。这其中 活人的意识和活人的肉体都是活人这个整体中的意识和肉体而不是脱离了 活人这个整体的意识和肉体。 我之所以选择图像和分形作为现代泛系的终生科学研究主攻方向，主要是因为图像是十分典型的现代泛系叠加态： 图像=现代泛系叠加态=r前景+(1-r)背景 （3） 而任何不全同点集---图像均是现代泛系分形，均具均匀分布因而都是某种意义上的自在和实在的缘故。 我之所以选择图像和分形作为现代泛系的终生科学研究主攻方向，还因为图像和作为 不全同点集---图像的 现代泛系分形的研究对象取之不尽、用之不绝、全免费而又与人类生活息息相关的缘故。

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[转载]第十一届国际混沌、分形理论与应用研讨会

热度 1 bhwangustc 2018-10-7 02:34

发展混沌分形科学 赋能信息安全产业 第十一届 国际 混沌、分形 理论与应用 研讨会 The 11th International Workshop on Chaos-Fractals Theories and Application 会议议程 主办单位： 西南大学、重庆市合川区人民政府 重庆中兴网信科技有限公司 承办单位： 类脑计算与智能控制重庆市重点实验室 协办单位： 香港城市大学、东北大学 会议地点： 重庆市合川区华地王朝华美达广场酒店国际会议厅 一、开幕式议程 时 间： 2018年10月12日8:30-10:00 主持人： 段书凯西南大学教授，大会执行主席 1. 主持人介绍到会领导及嘉宾 2. 香港城市大学教授、欧洲科学院院士、大会荣誉主席陈关荣教授致辞 3. 西南大学张卫国校长教授致欢迎辞 4. 重庆中兴网信科技有限公司领导致辞 5. 中共重庆市合川区委副书记、区政府区长徐万忠先生致辞 6. 重庆市人民政府副市长屈谦先生讲话 7. 全体与会人员在酒店门口合影 二、大会报告议程 地 点： 重庆市合川区华地王朝华美达广场酒店国际会议厅 2 大会报告Part I 时 间： 2018年10月12日10:00-12:00 主持人： 陈关荣 香港城市大学教授、欧洲科学院院士、IJBC期刊主编 1. 特邀报告 （10:00-10:40）：Cyber-Physical and IoT Systems: Brand New Application Fields for Chaos-Based Communications 网络物理和物联网系统：基于混沌通信的全新应用领域 报告人： Géza Kolumbán布达佩斯天主教大学教授，IEEE Fellow 2. 特邀报告 （10:40-11:20）：New Directions of Chaos and Order in Nonlinear Dynamical Systems非线性动力学系统中混沌与秩序的新方向 报告人：Anastasios Bountis纳扎尔巴耶夫大学数学系教授，欧洲科学院院士，雅典科学院院士 3. 特邀报告 （11:20-12:00）：Are numerical simulations of nonlinear systems reliable? 非线性系统的数值模拟是否可靠？ 报告人：Zbigniew Galias波兰矿业冶金大学电气工程系教授 自助餐 （时间：12:00-13:30，地点：华地轩，Hua Di Xuan） 2 大会报告Part II 时 间：2018年10月12日14:00-16:00 地 点：重庆市合川区华地王朝华美达广场酒店国际会议厅 主持人：谢智刚 香港理工大学教授、IEEE fellow 4. 特邀报告 （14:00-14:40）：Methods of chaos detection混沌检测方法 报告人：Charalampos Skokos 南非卡普顿大学数学系主任、教授 5. 特邀报告 （14:40-15:20）：The Inverse Frobenius-Perron Problem: The Past, Present, Applications and New Directions 逆Frobenius-Perron问题：过去，现在，应用和新方向 报告人：Anton Van Wyk威特沃特斯兰德大学电气与信息工程学院教授 6. 特邀报告（ 15:20-16:00）：The Fundamental Theory of Data and Privacy Protection for Network Big Data网络大数据的数据与隐私保护基础理论 报告人：吕金虎北京航天航空大学自动化科学与电气工程学院教授，国家万人计划创新领军人才、国家杰出青年科学基金获得者、IEEE Fellow 茶歇（Coffee Break）：16:00-16:20 2 大会报告Part III 时 间：2018年10月12日16:20-17:40 地 点：重庆市合川区华地王朝华美达广场酒店国际会议厅 主持人：朱志良东北大学大学教授、中国通信学会会士 7. 特邀报告 （16:20-17:00）：Renormalization research on fractal structure for complex network 复杂网络分形结构之重整化研究 报告人：汪秉宏中国科学技术大学教授，理论物理研究所学术委员会主任 8. 特邀报告 （17:00-17:40）： Nanoscale Information Device Memristor and Brain-inspired Computing 纳米信息器件忆阻器及类脑计算 报告人：段书凯西南大学电子信息工程学院教授、科技创新领军人才 晚宴：10月12日晚上18:00-21:00 三、分论坛议程 时 间：2018年10月13日08:00-12:00 地 点：重庆市合川区华地王朝华美达广场酒店会议厅 分论坛一： Chaotic Dynamics, Dynamical Systems 混沌动力学，混沌系统 08:00-10:00; 会议室I；主席：齐国元吴加贵 10:00-10:20 茶歇 10:20-12:00; 会议室I；主席：包伯成胡小方 分论坛二： Complex Networks，Chaos and Its Applications 复杂网络，混沌及其应用 08:00-10:00; 会议室II；主席：禹思敏王世元 10:00-10:20 茶歇 10:20-12:00; 会议室II；主席：李春彪闫嘉

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海底图像与美女图像的加减运算

冯向军 2018-9-29 22:42

海底图像与美女图像的加减运算 \0冯向军\0 \02018/9/29 （一）海底图像 \0 (二)美女图像 \0 （三）美女加海底 \0 （四）美女减海底 \0 （四）海底减美女 \0 \0 \0

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美女加美女=丑八怪

冯向军 2018-9-29 21:49

美女加美女=丑八怪 冯向军 2018/9/29 （一）美女1 (二）美女2 (三）美女1+美女2=丑八怪

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现代泛系关于传统分形的思想大革命：分形的成形原因并非唯一

冯向军 2018-9-28 23:10

现代泛系关于传统分形的思想大革命：分形的成形原因并非唯一 冯向军 2018/9/28 传统分形认为分形形成的原因是由对第n-1代简单分形生成元进行压缩、放大、平移、旋转、绕对称轴反转等相似变换，并将这些相似变换的结局合成为第n代生成元而成。这其中n=1,2,...N，而最终的分形就是第N代 分形生成元。 但是，条条道路通罗马。即使是最经典的分形，其成形原因也 并非唯一。认定世界是按照分形数学家的模子画出来的观点，显然是十分幼稚的。这种看法也被 传统分形研究的热度已极大地下降 的事实证明是行不通的。 对于包括人在内的胎生动物，将其成形过程理解为 基本上是 对先天本有的最终图像或模子的逐步填充过程（这其中当然也有后天变异的因素） ，可能更加符合事实。 本文就著名的分形---西兰花的成形举出一个不合 分形数学家的模子的反例来证明 分形的成形原因并非唯一。 （一）西兰花分形 (二）可以认为西兰花是对其最小整数像素单元逐步填充而成 。 （三） 西兰花分形的最小整数像素单元(2x3x3) （四） 西兰花分形整数像素数为20x30x3时的图像 （五） 西兰花分形整数像素数为40x60x3时的图像 （六） 西兰花分形整数像素数为60x90x3时的图像 （七） 西兰花分形整数像素数为200x300x3时的图像 （八） 西兰花分形整数像素数为300x450x3时的图像

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现代泛系基于复杂生成元的分形的逻辑

冯向军 2018-9-28 20:02

现代泛系基于复杂生成元的分形的逻辑 冯向军 2018/9/28 传统的基于简单生成元的分形，好比画画，一笔一笔地画成。 现代泛系基于复杂生成元的分形虽然还谈不上是照相---一照即得全息，但是是朝着【分形照相机】方向的一个发展。 现代泛系基于复杂生成元的分形还是【以果为因】的分形。因此更能真实把握客观世界形成的真相。 倒影---现代泛系基于复杂生成元和直接图像变换的分形 冯向军 虚拟现实分形（一） 虚拟现实分形（二） 虚拟现实分形（三） 虚拟现实分形（四） 虚拟现实分形（五） 虚拟现实分形（六） 虚拟现实分形（七） 虚拟现实分形（八） 虚拟现实分形（九） 缩放刘晓庆：基于复杂生成元的分形的自相似性 冯向军 2018/9/28

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缩放刘晓庆：基于复杂生成元的分形的自相似性

冯向军 2018-9-28 18:17

缩放刘晓庆：基于复杂生成元的分形的自相似性 冯向军 2018/9/28

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倒影---现代泛系基于复杂生成元和直接图像变换的分形

冯向军 2018-9-28 11:33

倒影---现代泛系基于复杂生成元和直接图像变换的分形 冯向军 虚拟现实分形（一） 虚拟现实分形（二） 虚拟现实分形（三） 虚拟现实分形（四） 虚拟现实分形（五） 虚拟现实分形（六） 虚拟现实分形（七） 虚拟现实分形（八） 虚拟现实分形（九）

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分形画图技术小结

冯向军 2018-9-27 17:35

分形画图技术小结 冯向军 2018/9/27 （一）分形两类分：基于迭代数学公式的分形和基于生成元的分形。本文主要论述基于生成元的分形。 （二）基于生成元的分形，无非是对第n-1代生成元进行缩放、平移、旋转、绕对称轴反转等相似变换并将各种相似变换的结局和合而成新一代生成元：第n代生成元（n=1)。 （三）对生成元所进行缩放、平移、旋转、绕对称轴反转等相似变换，可以是对二元实数坐标数组（x,y)所进行的各种相似变换，也可以是直接对图像（关于正整数二元数组（i，j)的灰度函数）所进行的变换。 （四）对二元实数坐标数组（x,y)所进行的各种相似变换，能轻易保证无破缺、无失真。但是其生成元本身只有在比较简单时才能保证全息性和不失真性。直接对图像所进行的变换，无论生成元多复杂，其生成元本身可百分之百保真。但是所进行的各种相似变换，因为是对正整数二元数组（i，j)所进行的，因而要想保真和无破缺都比较复杂。 \0 \0

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慢慢开始画人造未知分形(已更新）

冯向军 2018-9-21 17:54

慢慢开始画人造未知分形 冯向军 2018/9/21 分形画已知自然，画出来了就觉得空幻。但假如能画出些未知的图案，倒还有些获得感。今天无意间碰到一些，就记下来。 \0 \0

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[转载]分形维数fractal dimension

lvqianqian777 2018-4-26 11:14

分形维数 被誉为大自然的几何学的分形（Fractal）理论，是现代数学的一个新分支，但其本质却是一种新的世界观和方法论。 fractal dimension 主要描述分形最主要的参量，简称分维。通常欧几里德几何中，直线或曲线是1维的，平面或球面是2维的，具有长、宽、高的形体是 3 维的；然而对于分形如海岸线、科赫曲线、谢尔宾斯基海绵等的复杂性无法用维数等于 1、2、3 这样的数值来描述。科赫曲线第一次变换将1英尺的每边换成3个各长4英寸的线段，总长度变为 3×4×4/3=16 英寸；每一次变换使总长度变为乘以4/3，如此无限延续下去，曲线本身将是无限长的。这是一条连续的回线，永远不会自我相交，回线所围的面积是有限的，它小于一个外接圆的面积。因此科赫曲线以它无限长度挤在有限的面积之内，确实是占有空间的 ，它比1维要多，但不及2维图形，也就是说它的维数在1和2之间，维数是分数。同样，谢尔宾斯基海绵内部全是大大小小的空洞，表面积是无限大，而占有的 3 维空间是有限的，其维数在2和3之间。 计算分形维数的公式 如下 式中 是小立方体一边的长度， 是用此小立方体覆盖被测形体所得的数目，维数公式意味着通过用边长为 的小立方体覆盖被测形体来确定形体的维数。对于通常的规则物体 ，覆盖一根单位 长度的线 段所需 的数目要 ，覆盖一个单位边长的正方形， ，覆盖单位边 长的立方体， 。从这三个式子可见维数公式也适用于通常的维数含义。利用维数公式可算得 科赫曲线 的维数 ，谢尔宾斯基海绵的维数 。对于无规分形，可用不同的近似方法予以计算，也可用一定的适当方法予以测定。 分维 反映了复杂形体占有空间的有效性，它是复杂形体不规则性的量度。 它与 动力系统的混沌理论 交叉结合，相辅相成。 它承认世界的局部可能在一定条件下或过程中，在某一方面（形态，结构，信息，功能，时间，能量等）表现出与整体的相似性，它承认空间维数的变化既可以是离散的也可以是连续的，进而拓展了视野。 分形几何的概念是美籍法国数学家曼德布罗特（B.B.Mandelbrot）1975年首先提出的。但最早的工作可追溯到1875年，德国数学家维尔斯特拉斯（K.Weierestrass）构造了处处连续但处处不可微的函数。 1890年，意大利数学家皮亚诺（G.Peano）构造了填充空间的曲线。 1904年，瑞典数学家科赫（H.von Koch）设计出类似雪花和岛屿边缘的一类曲线。 1915年，波兰数学家谢尔宾斯基（W.Sierpinski）设计了象地毯和海绵一样的几何图形。 1910年，德国数学家豪斯道夫（F.Hausdorff）开始了奇异集合性质与量的研究，提出分数维概念。 1928年布利干（G.Bouligand）将闵可夫斯基容度应用于非整数维，由此能将螺线作很好的分类。 1932年庞特里亚金（L.S.Pontryagin）等引入盒维数。 1934年，贝塞考维奇（A.S.Besicovitch）更深刻地提示了豪斯道夫测度的性质和奇异集的分数维，他在豪斯道夫测度及其几何的研究领域中作出了主要贡献，从而产生了豪斯道夫-贝塞考维奇维数概念。 以后，这一领域的研究工作没有引起更多人的注意，先驱们的工作只是作为分析与拓扑学教科书中的反例而流传开来。

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文明的末梢、碎屑與崩解──讀胡嘉明、張劼穎《廢品生活──垃圾場的經濟、社區與空間 ...

tian2009 2018-4-16 19:12

文明的末梢、碎屑與崩解 ——讀胡嘉明、張劼穎《廢品生活——垃圾場的經濟、社區與空間》 田松 北京師範大學哲學學院 2009年可以稱為中國的垃圾年。在這一年里，垃圾問題全面爆發，北京、南京、上海、廣州，圍繞垃圾填埋場和焚燒廠的選址和建設，各種群體性事件此起彼伏。在這一年，王久良推出了他的攝影展和同名紀錄片《垃圾圍城》，產生國際影響。從這一年開始，主流話語對垃圾問題的態度發生了巨大的轉折，從無視到重視，從輕描淡寫到濃墨重彩。垃圾問題上了頭條，揮之不去。 與此同時，對垃圾問題的討論也逐漸從技術層面擴展到社會、文化、觀念等人文領域。 2007年秋天，在我結束了伯克利的訪問回到北師大之後，不斷被毛達介紹認識來自歷史學、人類學，以及地理學領域關注垃圾問題的人文學者，雖然，總人數仍然非常之少。胡嘉明和張劼穎的研究我事先並不知曉，見到她們的著作，有意外之驚喜。 《廢品生活──垃圾場的經濟、社區與空間》由香港中文大學出版社於 2016年出版，這是一部社會學和人類學視角的著作，兩位作者描述了在北京六環外一個叫做冷水村的地方，一個以垃圾為核心，與城市若即若離的另一重社會生活。這重生活平常被“折疊”起來，不僅遠離金領白領，連藍領鐵領也很陌生。雖然，在高檔小區的院門外，人們常常會看到他們駐扎在一個地方收廢品，但是很少會關注他們。他們沒有話語權，發不出聲音，幾乎是透明的。 \0 \0 兩位作者的調查經歷也是很好的故事。張劼穎作為北大社會學碩士自 2007年11月，胡嘉明作為香港理工大學應用社會學系城鄉移民項目組成員于2008年底，先後來到冷水村調研，在那裡相識，并開始合作。“冷水村的廢品從業家庭共25戶，分佈聚居在五個大院和數個小院。”（xxiii）到2011年，有17戶家庭成為兩人穩定的調查對象，13戶家庭成為她們“相互信任、深入交流“的朋友。在此基礎上，張劼穎完成了碩士論文，前往香港中文大學攻讀人類學博士，胡嘉明轉至香港中文大學文化與宗教系任教。二人重聚中大，決定合寫此書，又于2012年、2013年前往冷水村回訪。此書雖然不厚，卻是從六年累積的田野筆記和錄音中萃取出來的，信息量龐大。（xxiii） 這本小書我陸陸續續讀了幾個月，此後又集中精力，從頭到尾完整地讀了一遍。心情沉重，五味雜陳。書中所描述的現象我并不完全陌生，也符合我以往對垃圾問題的判斷。但是，本書提供的大量細節，還是讓我感到震撼，讓我不由得思考這些細節之間的關聯，并把它們放到我現在關注的文明問題的框架之中。而為了闡釋這種關聯，我不得不尋找新的話語。 這篇文章其實並不是對《廢品生活》的評論，我只是把她們講過的故事重講一遍。 很可能，一座巍峨的大廈不是轟隆一聲被推倒了，而是噗嗤一聲，散了。 1. 食物鏈，垃圾與文明 我自 1990年代中期開始關注垃圾問題，2000年我在納西地區進行田野調研的時候，特意調查每個村寨的垃圾現狀及垃圾觀念。当时，垃圾问题還是人文學者的盲點。直到現在，人們也普遍認為，垃圾問題不過是枝節問題，是個節約問題，無關大局。同時，人們本能地覺得，垃圾問題是技術問題，可以通過科學和技術的發展而得到解決；或者是管理問題，可以通過社會治理的完善而得到解決。 我的研究首先從物理學入手，把人、社區、城市、乃至人類文明整體視為熱力學系統，討論其中的物質與能量轉化。結論則讓我自己也感到意外：技術進步不能解決垃圾問題，反而會使垃圾問題更加嚴重。我可以相信某一種特別的技術對某一種特別的垃圾能夠起到很好的作用，但是技術的總體進步必然會使社會整體的垃圾問題更加複雜，更加嚴重。 垃圾問題的技術解決存在一個物理學的上限。一個麵包可以直接拿著吃，碎成渣可以捧著吃，因為物質不滅，能量守恆，這是熱力學第一定律。如果把麵包渣撒出去，渣渣當然還在，儘管，一粒一粒完全搜集起來，依然等於原來的麵包。但是，需要注意，一粒一粒地撿渣渣，需要付出更多能量。渣越碎，越分散，付出的能量越高。如果這個能量大於麵包所能提供給人的能量，這個麵包就是不可回收的了──得不償失。按照熱力學第一定律，物質和能量在轉化的過程中保持總量守恆，但是按照熱力學第二定律，即熵增加原理，這種轉化是有方向的──只能從低熵狀態轉化為高熵狀態，簡單地說，只能從可用的轉化為不可用的，從能用的轉化為不能用的。理論上，一個手機裡的各種金屬都在，可以一粒一粒地檢出來，但是，所付出的成本會遠遠大於收益。這就意味著，所謂“垃圾是放錯了地方的資源”，只是一個幻覺。熱力學第二定律，為技術解決設定了不可突破的上限。 垃圾問題是內在于工業文明的。由於垃圾問題的不可解決，工業文明註定是不可持續的。 我把現代化的全球化和全球化的現代化比作一條食物鏈，它所運行的前提和結果是：上游優先獲取下游的能源和資源，同時把垃圾送到下游去。上游和下游不是絕對的，在任何一個尺度，都存在著上游和下游。在全球範圍內，歐美、日本是上游；非洲、南美、中國和東南亞等發展中國家是下游；在中國範圍內，東部沿海是上游，西部是下游。一般而言，城市是上游，鄉村是下游；大都市的城市中心區是上游，城郊是下游。 按照這個食物鏈理論，作為下游的鄉村必然要為作為上游的城市輸送相對廉價的能源、資源和勞動力。同樣，大都市的垃圾一定會從城市中心區被送到近郊、遠郊、更遠的郊。垃圾圍城是這個食物鏈運行的必然結果。 在《廢品生活》所描寫得冷水村，食物鏈中的兩個子鏈條鉸在一起。一方面，圍城的垃圾，成為一部分賴以為生的資源，這部分人來自位於下游的鄉村。另一方面，鄉村為城市輸送的廉價勞動力進入城市，其中一部分進入城市的末梢，以城市的垃圾為生。他們從一個下游，到了另一個下游。兩位作者細緻地描述了他們的生活。 馬大姐租了一個整院，房租一年 6000元，房間住人，院子用來堆放廢品。一個大鐵門，旁邊掛著一個木牌，用油漆寫著“廢品收購站”。院子裡面，有堆積如山的塑料瓶子，還有各式廢品，堆得很高。一進她家，就可以看見各種小學生的獎狀，新新舊舊的，貼滿墻面，而地面上一塵不染，床單乾淨平整。整個房間十分敞亮，整潔得讓來客有點兒手足無措，不知道坐哪兒，也不好意思隨便亂坐。實際上，要進她家並不十分容易。他們夫婦戒備心很強，很封閉，不輕易相信任何人。 （ 14） 如果說人往高處走，那麼在這些人看來，即使都市末梢的冷水村，在食物鏈上的位置，也比他們的故鄉要高一些。 2. 背景的对象化：“非”的生存 要描述冷水村的生活，首先遇到的，我想是語言問題：對於這個長期被折疊的人群，沒有現成的概念來指稱、界定、描述他們，研究者只能不斷地發明新的詞語。 胡嘉明和張劼穎用“非正式經濟”一詞界定這個特殊群體在社會經濟中的角色。“非”這個概念，意味深長。 一幅畫中，有對象有背景。對象是能夠明確辨識的，有名字的，容易描述的。而背景通常是被人忽視的。在攝影家的變焦鏡頭中，背景常常被虛化了，變成一團朦朧的色調。只有在經過精心設計的鑲嵌畫中，比如埃舍爾（ M. C. Escher）的一些作品，對象與對象互為背景，把所有的對象都去掉之後，畫面才會是空的。在正常情況下，在對象去掉之後，剩下的背景，都是凌亂的，無法識別的，難以描述的，甚至沒有現成的名詞可以指稱。如果把對象視為集合，則對象去掉之後的背景，是“非集”。 “非集”是依附於“集”而存在的。 《廢品生活》所描述的正是我們這個社會的非集。在社會這幅風俗畫中，這些人原本是作為背景存在的。因為是背景，所以是� 有哪種東西造出來就是垃圾，但是所有的東西都可能成為垃圾。所以“垃圾”這個詞，其實是一個非集，指那些不是東西的東西。 以垃圾為生的人，是非正式的人；這種生計，是非正式經濟。都是難以描述，難以名狀的。書中專門有一小節講“非正式經濟與垃圾所建構的曖昧身份”（45﹣47）。 我們認為，本書中所呈現的拾荒者和收廢品人的身份是曖昧的、矛盾的、難以界定的。而正是這種身份的不確定性，一方面構成了他們在城市生存和取得收入的基礎，另一方面也遮蔽了他們被剝削和雙重歧視的處境。 （ 46） 書中寫到，“收廢品者”來自農村，但是與作為工廠工人或者建築工人的典型的“農民工”不同。他們“兼具自我僱用者和工人的雙重特性 ”（46）他們像是“小老闆”，可以對自己的“生意”做主，工作時間和工作節奏都可以自己安排。同時，他們又是從事收集、分揀、分類、運輸等高強度勞動的“工人”。（46） 與其說王大哥是拾荒者，不如說他更像一種低端的“企業家”──每一分錢都是依靠毅力（每天在外奔波）、意志（透過網絡、熟人，自己努力尋找廢品），精打細算成本和賣價，還有自己的勞動力，對臟臭的忍耐，一分一毛的累計（積）起來，經營一個可以養活一家人的廢品買賣生意。當然，他沒有任何的保障、社保、假期、福利。 （ 26） “與其說是，不如更像……”從字裡行間可以體會到，作者無法用現成的單一詞語來描述王大哥，只能從現有詞語中進行多項選擇，用多個詞語加以描述。 3. 末梢與分形結構 分形是一個後現代科學的術語。分形幾何的發明人曼德勃羅說，分形幾何是大自然的幾何學。我們熟悉的歐式幾何描述的是理念的世界，理想的點、線、面，圓和球，都是現實中不存在的。在面對現實中的云、樹、海浪時，歐與非歐幾何都無能為力。分形的第一大特點是自相似。一棵樹是分形結構，樹幹、樹杈、樹枝，不斷細分下去，任何一個局部的結構，都與整棵樹相似。乾旱土地上的裂紋也是分形結構，任何一個局部的裂紋放大，都與整體相似。人體中的血管、肺葉，都是分形結構。數學的（理想中的）分形結構的第二大特點是，永遠可以細分下去。無論一個多麼微小的局部，把它放大，就能看到更微小的局部。 图 1 一株具有分形結構的草。從中大致可以看出局部與整體的自相似結構，也能預期到，每一個局部都會繼續生長，繼續細分。田松摄影。 把分形這個概念適度拓展，也可以描述社會現象。比如以往討論科學與社會的關係，默認的前提是，科學與社會之間存在明晰的界面，可以把兩者截然分開。但是劉華傑教授認為，科學與社會之間的界面是分形結構，這意味著，科學與社會全面纏繞在一起，在任何一個尺度上，都無法把科學與社會截然分開。 如此，前述上游與下游的關係也是分形結構：在任何一個小的區域，都存在上游與下游。同樣，社會組織也是分形結構：在社會的末梢處，會自發地形成微小的結構，并發揮功能。 冷水村位于工业文明的下游，這裡是宏大社會組織的末梢；也是物質轉化鏈條的末梢。《廢品生活》把這個末梢放大了，調整焦距，把原本的背景變成了對象。 收廢品人是聚群而居共同的勞作、生活──垃圾被運回大院處理和存放，吃、喝、拉、煮也在大院裡完成的模式很普遍。在冷水村，這樣的大院有五個。外來打工人口守望相助，老鄉們共同居住，形成大院；大院對於外界封閉，內部互動密切；大院同時是居住場所，也是生產勞動和交易空間。 （ 47） 胡嘉明和張劼穎兩位姑娘進入到這個封閉的空間，看到了內部的結構。 廢品場有一個獨特的現象，我們稱之為“組裝家庭”。……在他們共同生活的群落中，常有這樣的情況：不同的小家庭組合起來，合夥吃飯、娛樂；老中青三代不是一家人，卻坐在一起吃晚飯、烤火，共度一天不多的閒暇時光；還會相互提供各種生活、家務上的幫助，尤其是帶孩子。……組裝家庭為社群的成員提供著情感的慰藉，也提供著生活的便利和支持。……對於其中的某些居民來說，這裡就像是他們的家園，甚至像老家一樣。（ 50） 在書中，冷水村這個社會的末梢呈現出豐富細緻的社會結構。比如，同樣是依靠廢品為生，有人拾荒，免費；有人“包樓”，付費。四川人與河南人有不同的風格。五個大雜院也各有不同。人們通常可能會覺得，收垃圾是件簡單的事兒。但是書中指出，收垃圾是一個複雜勞動。除了要付出體力，還要迅速判斷廢物的價值，決定收不收，用多少錢收；要知道哪些東西去哪兒賣，還要記住隨時波動的價格。不然，會賺不夠錢，甚至虧本。 冷水村自身還直接體現了上下游關係的分形結構。作為北京的下游，冷水村內部有著複雜的結構。村裡有一個國營企業，是一家附設了民用和軍用產品車間的國有研究所。這曾是村裡的最上游。村裡大多農民工都曾在所里打工。所里有一些“正式”工人，享受社會主義福利，包括住房──這個國企的家屬院，當然也是上游的一部分（ 105）。下游是大片的平民平房，除了留守農民外，都出租給外來人，全村“八成的居民是每天往返北京城裡工作的農民工”。（102）下下游是本書的主角，幾個超過一千平米的大院子，成為“廢品生活”發生的場所。（103）讓村民意外的是，2009年，部分農地被征，建起來一群豪華別墅。一下子躍居冷水村最上游：人造歐式風景，五星級會所，與平民平房只有一渠之隔。（106﹣107） 城鄉交合區最獨特的是它進一步集合和壓縮這些“斷裂”的空間，把不同的時代、文明和發展進程，壓縮在一個很小的區域裡。在這裡，農民工平房還沒有抽水馬桶，富人別墅可能已經是智能家居。這裡有些工廠以最原始的勞動密集模式運作，一方面有廠子卻以科技機械營運。在單位的家屬院一邊，可能是新蓋的豪宅，另一邊可能還是老農民的四合院。這種種斷裂的社會關係、勞動模式和發展水平，卻在同一個空間裡互相對立、並存。 （ 109） 這段描述中的發展主義我并不認同，不過，其中清楚地表現了社會末梢的分形結構。 4. ANT，圍繞垃圾建構起來的生活 序言中提到了卡龍（ Michel Callon）和拉圖爾（Bruno Latour）的行動者網絡理論（ Actor Network Theory, ANT），這倒是應了我專業。拉圖爾是科學知識社會學（SSK）後期的重要人物，他和卡龍的ANT理論影響頗大。這個理論的核心概念是Actor，翻譯成行動者，並不十分妥帖。當然，兩種語言不可能存在完美的對應，翻譯總是包含著偏差和誤讀。英文actor最常見的意思是演員，而且是男演員。一个actor，在一個事件中，不是完全被動的，而是有行動能力的，是能夠對事件進程發揮作用的。在ANT理論中，actor不僅包括人，還包括非人類動物，以及環境、物體。ANT理論影響大，爭議也大，同時也多誤解和誤讀。即使是專業同行，也不能例外。為了寫作此文，我專門找出卡龍的早期文本。 通常認為， ANT最有啟發性的部分在於，把非人動物以及環境、物體與人相提並論，視為有行動能力的主體，而不是被動的客體。在我們通常的觀念里，只有人是事件進程中的核心。所以以往的社會學家更著重討論生產、分配；平等、壓迫；階級、階層……各種相對穩定的角色。不過，這樣的理論並非絕無僅有。 比如傳媒學者麥克盧漢的名言：“媒介就是信息”。一盞電燈掛在房子中間，不說話，卻讓人的生活圍繞它重新建構。人造光源使人不再日出而作，日落而息，而是按照固定的時間上下班。 具體到《廢品生活》中的世界，垃圾不僅不是被動的物品，反而是處於最核心的角色。正是垃圾，使得這 25戶人家從不同的地方來到冷水村，構建了以垃圾為核心的生活。在書中，常常可以看到ANT理論的影子。 垃圾在我們的研究中，就是這樣一種具有建構性能力的“能動之物”（ actant）。垃圾被城市空間排除，城市空間保持了其現代化、衛生、潔淨的特徵，以及其作為生產和消費場所的身份。垃圾被運輸到城市的邊緣──城鄉交合區，又建構了新的空間和社會關係。 （ 47） 書中描述了新的社會關係建構的過程。我們不妨做一個簡單的重構。在早期來到北京從事廢品收購、垃圾回收的人中，一部分人掌握了這個複雜勞動，積累了經驗，事業做大，於是把老家的親戚朋友帶出來，就出現了一個小社會。人越聚越多，這個小社會的細節越來越豐富。 為了工作方便，節約成本，拾荒者的生活空間和工作空間是合二為一的。他們需要每天長時間和垃圾打交道，生活也會圍繞垃圾來安排，例如和垃圾相處，就決定了他們甚麼時候以及如何吃飯、清潔、休息，穿著甚麼樣的衣物，以及使用甚麼樣的生活用品。如此，生活、工作和垃圾融為一體，就形成了聚群而居、在這個空間中又工作又生活的獨特形態。聚居的群落，也結成了相互交織的緊密的關係網絡。 （ 48） 一個以垃圾為核心的社會就這樣生成了。這個社會是有活力的，具有自組織能力，也能夠生長出更多的細節。比如，會有為他們服務的小吃店、雜貨店（同樣非正式，沒有執照），以及黑車。 5. 隨時崩塌的生活 精讀卡龍的文本，我發現， ANT的高妙之處還不止於此。 通常人們認為，存在一個不以人的意志為轉移的外部客觀世界，這個客觀的世界存在一個同樣客觀的規律，仿佛冥冥之中存在一塊刻著真理銘文的石碑，科學家只是石碑的發現者，他們的任務無非是用拂塵和抹布把石碑上的泥土擦去，讓預先刻就的銘文呈現出來。這種意象的真理銘文，只能是上帝刻上去的。不過，按照 SSK的觀點，科學家只是科學知識的生產者，他們手裡拿著的不僅是拂塵和抹布，還有錘子和鑿子，上面的銘文是他們刻上去的。 也就是說，並沒有一個預先存在的確定的知識。 ANT把這個邏輯推廣到社會關係上。功能主義社會學把社會視為由一些相對穩定的角色（roles）構成的實體，角色之間有相對穩定的關係。社會學家的任務是把已經存在的關係發現出來，闡釋出來。ANT討論的是actor，按照SSK的邏輯，無論是actor還是他們的關係，都不是預先存在的，更不是固定的，一成不變的，而是在相互的交往中生成的，並且處於變化之中。 《廢品生活》中所描寫的各種人物，他們與垃圾的關係，也都不是固定的，確定的，是在變化之中的。 不少廢品從業者都有過這樣的遷居史：本來住在二環，後來遷到三環、四環、五環、六環的頤和園附近，最後落腳在六環外的冷水。我最初以為他們是農民工，對北京市毫不熟悉，慢慢發現他們才是老北京，見證北京的發展軌跡的同時，不斷被邊緣化、農村化，每一次城市化的擴張，都把他們擠向外圍。 （ 104） 他們的生活在變化，他們與垃圾的關係在變化，他們與城市的關係也在變化。於是這本書所描寫的，只能是在變化的過程中的一個片段，既不是起點，也不是终点。 有的家庭已經在北京生活了二十多年，他們熟悉這個城市，但是這個城市從來不屬於他們。儘管，每個家庭都是 actor(或actant)，有一定的主動權，有一定的行動力。不過，他們的主動權和行動力都是非常有限的。他們在冷水村的住處，隨時可能被征用，被推倒。他們只能被動地應對這類變化，遷往更遠的地方。 這種“被”的生活，“非”的生活，使他們無法制定長遠的規劃。 ……這些在城市邊緣討生活的人，是多麼容易改變主意。他們多面習慣於沒有計劃，或者隨時改變計劃，不管是長遠的還是近期的。……很多時候，他告訴你一個日期或者一個計劃，但後來你發現他並沒有真的那麼做。不需要問，每個人的計劃都在變動當中。沒有人能肯定未來的打算。 （ 58） ANT深刻的地方還在於，那些試圖“揭示”、闡釋、闡發這些關係的學者，也是一個actor。在這個意義上，《廢品生活》所描述的，其實是兩位作者觀察到的現象。而她們的觀察，參與到了她們所觀察到的現象之中。在長時間的調查、訪談中，她們本人，也成了冷水村的“非正式”成員，她們出的主意也會收到重視，對被調查者的生活產生影響。（62） 6. 物質和能量轉化鏈條的末梢 印象派大師高更有一幅畫，題為“我們是誰，從哪裡來，到哪裡去”，當我們對都市中的一切物品，不斷追問這個問題，就會發現，都市中的一切，歸根結底，都來自於森林、礦藏和天然水體（低熵狀態的物質和能量）；在被廢棄之後，又成為各種形態的垃圾（高熵狀態的物質和能量）。工業文明如同一個熱機，把大自然轉化成垃圾場，熱機的功率越大，技術越發達，轉化垃圾的能力越強。從大自然到垃圾場是一個“能物流”。人類社會，作為一個熱力學系統，依賴著這個能物流。任何人要在城市里生存，都要從這個能物流中截取一部分。顯然，在物質和能量轉化鏈條的上游，能物流如大河一般，密度高，流速快；到了下游，到了末梢，就變成娟娟細流，獲取同等能量和物質需要耗費更多的成本。 能物流的前端必然進入社會建制化的管道，被優先分配，這就是“正式經濟”。剩下的部分，就是“非集”了。“非正式經濟”只能從建制化管道的縫隙中截取漏出來的能物流。廢品和垃圾原本是能物轉化鏈條的末梢，是被拋棄的部分，而廢品回收則要對這個末梢再次分割，提取價值。 書中引用了 Joshua Goldstein的研究，在計劃經濟時期，垃圾回收曾經是正式經濟的一部分。1950年代，大約有7000名從事垃圾回收的個體組建為一個叫“北京市廢品回收公司”的國營單位（xv），後來改名為“北京物資回收公司”。2000年后，這家公司“逐漸把原本駐紮社區的回收站，變成地產開發點和出租車公司項目，原來全市兩千多個回收站降為後來的幾個，也順理成章地把單位的老員工分配到新的業務上”（xvi）。國營回收單位一方面壟斷著重型金屬的工業回收，一方面開發新業務。“薪水福利好的國企工人，不願意也不需要在全市迅速增長的小區生產的垃圾堆里尋找、分揀、跨城運送可回收物品。這種勞動力成本和投入都超高的工序，在這二三十年由十幾萬農民工一力承擔。”（vii）有意思的是，北京物質回收公司也曾嘗試吸納農民工為其工作，“給他們穩定工資、制服、規定工作時間等等，但是這種嘗試大都以失敗收場，收廢品人根本不願被收編到體制裏。”（xvii）這種收編的努力一直持續到今天。不過，顯然，在廢品回收這個領域是明顯的國退民進。 兩位作者在一個腳註中說，“非正式經濟”是“指政府和正規資本都不介入的經濟領域”（ 11）。“政府不介入是因為它不屬於認為應該提供的服務，而政府要管理這些活動又成本太高；正規資本不介入是因為利潤太低，由於無法集約生產，成本太高。”（11）其實在我看來，政府不介入與資本不介入的原因是一樣的：麵包渣太碎了。 雖然，麵包屑對於人來說，已經過於零散，撿拾成本太高，但是對於螞蟻來說，還可以看做是富礦。“蟻民”依靠能物流的末梢生活，要付出更大的代價，放棄更多的權利。 如前所述，熵增加是不可逆的。從本以高熵狀態的廢品和垃圾中，析出部分低熵物質，必然會導致周邊環境更大的熵增。從宏觀上看，這項活動一定是以環境污染為代價的，空氣污染、水污染都在所難免。對他們自身而言，難免要付出自身和下一代的健康。 拾荒的工作和生活環境，確實令初來者難以忍受。地面無處下腳，下雨會把整個院子變成坑窪的泥沼，而僅僅是垃圾裡面流出來的膿液，也會讓地面濕滑不堪。當然，進入這個空間，最受到衝擊的首先是嗅覺。撲鼻而來的那種垃圾特有的酸臭氣息，衝進口鼻，強烈的味道令人窒息作嘔。在這樣的空間待得久一點，會令人頭暈。 （ 45） 就這樣，非正式的人，從事非正式的經濟，過著非正式的人生。 而即使這樣的生活，也能吸引他們離開家鄉，可以推想，鄉村的退化該是何等嚴重。 7. 自由，尊嚴與夢想 不久前，在一個鄉建活動中遇到歌手孫恆，他為大家唱歌，他說，當富士康十三跳之後，他再也坐不下去了，他要為他們寫一支歌。人不是機器，每個人都有尊嚴。 胡嘉明和張劼穎在調查中發現，冷水村很多人剛來北京時，都曾在國有研究所裡打工。但是一兩年后，紛紛跳槽。國企雖然位于冷水村食物鏈的上游，但是真正享受這個上游的是國企里的有編制的正式人員。而他們，作為“非”的合同工，只是這個上游中的下游。這時，對於他們來說，村里的廢品回收行業，反而成了下游中的上游。“ 收廢品正是一個需要一定市場資料和勞動技能，又能獲取高工資的行業。”（ 106） 顯出上下游分形結構的複雜性。 更有意思的是，差不多所有放棄當工人的，都跟我們說希望更自由一些。（ 106） 在這本書里，“自由”是一個關鍵詞，在不同的地方反復出現。 事實上，這一點令人驚訝──這個大院幾乎所有的拾荒者，都喜歡說自己“自由”。“自由”在這裡是如此高頻出現的詞語，令我們不得不重新理解，自由對他們來說，到底意味著什麼；自由和垃圾，又有著怎樣的關係。（ 86） 在程大叔的故事中（ 85﹣94），兩位作者寫到，程大叔很少真的不出門工作，每天長時間在外面奔波，沒有節假日，嚴寒酷暑、颳風下雨也是每日照舊，“自由度”並不大。不過，相比于在工廠打工，兩位作者總結到：這種自由首先是“給自己打工”所帶來的安全感，不用擔心隨時會被辭退，會被拖欠工資，只要勞動就有收入，並且可以迅速變現；另一方面，這種自由來自那種自己做決定、自己安排時間的“當家做主”之感。（87） 在這裡可以看到，自由與尊嚴是聯繫在一起的。在工廠打工，處於工廠食物鏈的底端，地位卑微，長期被忽視、被冷漠、被剝奪，要忍受與“正式工”同工不同酬的屈辱，大多數人沒有升遷的渠道，更何況工資並不算高。雖然收垃圾也會頻繁遭到白眼、鄙視、屈辱，但是，它們並非來自同事與上級，心裡感受大為不同。 作垃圾生意十幾年，程大叔算得上是個行家了。任何你想得到想不到的東西，他都會告訴你用途和銷路。舊球鞋的底會拆下來，賣到橡膠加工廠；舊衣服可以用來做被子的填充物──當然，這被子並不是給人蓋得出，而是大棚裡蓋蔬菜用的；完全沒有腐敗的食物，還可以賣到養豬場餵豬。 （ 88） 從這番描述里，可以感受到，程大叔熟悉自己的工作，也從這個工作中獲得了尊嚴。他是專家，是他在掌控自己的工作，而不是被工作所掌控。 與尊嚴相關的，還有生存的價值和意義，以及夢想。 故事的主人公也不認為“廢品生活”是一個正常的生活，他們很多人都有一個理想中的故鄉。他們把北京的生活當做臨時的生活，他們忍受這種生活，是為了回到故鄉。很多人拼命賺錢，在家鄉建一個大房子。王大哥甚至在家鄉縣城的高檔小區裡買了一個電梯房。（ 29﹣30）。他們把家鄉的房子裝修得極為現代，家具家電，廚衛設施，一應俱全。而在北京則是各種應付。與廢品和垃圾生活在一起，也的確難以講究太多。但是實際上，家鄉的那個大房子好房子，他們往往只能在春節時才能享用。北京的“臨時的”房子，卻是他們生活時間最長的地方。王大哥的電梯房他更多地是在視頻中享受（29），程大叔家裡的新房子空無一人，還要付錢請鄰居幫忙看家（93）。 他們長期“臨時地”生活在北京，但是他們生存的意義要在很少回去的家鄉里獲得，恰如米蘭．昆德拉小說的名字：生活在別處。 然而，家鄉，他們實際上已經回不去了。 8. 無處可退：鄉村的風化與崩解 春節後一次飯局，劉成紀教授說起回老家，說等村裡的老人都走了，老家就回不去了。我說，主要是因為沒有祠堂了。 中國自古皇權不下縣，縣以下鄉紳自治。鄉紳是傳統文化的繼承者，是地方社會的組織者。在鄉紳階層整體消失之後，鄉間失去了傳統的自組織力量，也失去使自己得以作為自己的文化力量。在全球化的狂風之中，傳統鄉村迅速風化，崩解。 1980年代之後，中國全面走向市場經濟，而農民的市場經濟地位一直是不清楚的。人民公社解體，土地重新分給農民，但農民並不擁土地的所有權，只擁有幾十年的使用權。農民仍然不能為自己生產的糧食定價。農民在土地上勞動一年的收入，還不如進城打工一個月。義務教育普及，新一代農民接受更多的教育，有更多的能力去城裡打工。而城市膨脹，也需要農民進城從事下游的工作。他們召之即來揮之即去，價格低廉的工資甚至還要拖欠、抵賴。 從單一單向的工業文明的發展主義看來，傳統的文化都是落後的、陳舊的、迷信的，沒有價值的，應該丟棄的。 1950年代之後，在全國一統的制度化教育中，預設了發展主義、進步主義、科學主義的價值觀，多樣性的文化失去了傳承的正規渠道。相反，農民的孩子受到的學校教育越多，學得越好，越看不起自己的傳統。我把這稱為“傳統地區的教育學悖論”。城市代表進步，鄉村代表落後。使得農民在自己的家鄉失去了意義 。鄉里小學的好學生，被認為應該去縣里讀中學；縣里中學的好學生，該去省城、北上廣讀大學；當然，大學生又把出國當做下一個目標。 新一代農民對於土地越來越疏遠，越來越沒有感情，越來越不會做農活。尤其是那些讀了高中的學生，在人生成形的青春時代，沒有用來向父輩學習在土地上耕作，而是用在學校──學習那些首先用來備考大學的知識上，一旦考不上大學，就成了徹底的邊緣人。沒有能力也不甘心回到農田，只好成為城市里飄蕩著的邊緣人。 歌手孫恆在農村長大，上過大學，做過音樂教師，做過流浪歌手，後來創辦了北京工友之家，找到了自己的生活意義。任職北京工友之家的呂途博士寫了兩本關於農民工的著作：《中國新工人：迷失與崛起》和《中國新工人：文化與命運》。他們拒絕使用農民工這個詞，認為其中包含歧視，也不準確。他們認為，這個詞在 1980年代用來描述那些在農閒時進城打工的農民還算恰當，而現在這些人從來沒有從事過農業，甚至就在城裡出生，所以他們發明了一個新詞：“新工人”！ 既不同於曾經作為統治階級的國企工人，也不是農民。有時，他們也採用打工者，工友來代替。 新工人這個概念似乎還不能包括《廢品生活》故事中的主角，但他們的境遇是相似的。都是第一代離開農村，在城市的邊緣生活，差別只在一者服務于“正式經濟”，一者服務于“非正式經濟”。相對於城市“主流社會”而言，他們有更多的共性。就如呂途和北京工友之家所總結的，城市是“待不下的城市”，家鄉是“回不去的農村”，只好“迷失在城鄉之間”。胡嘉明和張劼穎也提出了類似的問題。 他們的下一代，更加難以回去。他們所能做出的最大的努力是，讓下一代上學，讀書，離開“廢品生活”。比如馬大姐，堅決不讓兒子碰垃圾，一下也不能碰（ 18）。不過還有很多人的後代，轉了一圈，又回到冷水村，與垃圾為伴。 其實可以說，小玲是在這個院子長大的，這裡的人都是她的四川老鄉或者親戚，雖然中間回老家上學，但是放假又會回到北京和父母一起。可以說，她不像一般的農民工“京漂”。反過來，她本來就是在北京長大，北京有太多她的成長記憶。她後來回四川上學、結婚、生小孩，然後又回到北京“老家”，跟一直留京的四川親戚鄰居“重逢”。 （ 69） 回不去的原因是雙向的。一來，他們的關係、人脈、圍繞垃圾建構起來的生存技能，在家鄉完全沒有用武之地（ 72）；二來，家鄉已經被風化了。 在文化上，鄉村已經普遍地喪失了自組織能力，不再能為她的子孫提供生活的價值和意義。生態上，經過了三十年的工業化農業，農田已經變成了污染源。環境上，作為工業文明食物鏈的下游，鄉村成為工業文明廢棄物的終端。在他們建在家鄉的大房子外面，隨處可見的很可能是農藥瓶子、化肥袋子，不知來處的建築垃圾，乃至於工業廢棄物。 這種現象是詭異的。他們在都市里過著“廢品生活”，努力減少著都市里的垃圾，而在他們夢想中的家鄉，在他們寄託價值和尊嚴的大房子外面，是另一個垃圾的世界。 她昂著頭，高跟鞋踩過垃圾場，就像是冷水村這個多元社會的絕妙� 詳細論述參見田松，《有限地球時代的懷疑論──未來的世界是垃圾做的嗎》，科學出版社，2007年。 詳細論述參見：田松，垃圾，《今天》雜誌，2011年春季號，pp284-306 參見田松，何以知其然也──上帝視角與相對主義，《科學與社會》，2015年第四期，pp62﹣69 田松，在自己的家鄉失去意義，《稻香園隨筆》，上海科技文獻出版社，2014年，第52頁。 呂途，《中國新工人：迷失與崛起》，法律出版社，2013年，第002頁。

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大自然中的蒙特卡罗模拟（一）

热度 5 zhongwei2284 2017-2-14 05:08

第一节：随机行走（以二维做为为例子） 大自然中许多运动过程都是随机的，最为我们所熟知的是布朗运动，小的花粉颗粒在水中，由于受到了随机的作用力而在水中进行着随机行走，除此之外，随风飘零的落叶，蚂蚁在找寻食物，动荡的股票，甚至醉酒的路人的走路等等都是随机过程。 图1：醉酒者进行随机行走 大自然中充满了那么多的随机运动，为了了解它们更加深刻的美丽，我们需要学习如何研究它们，其中一个办法便是蒙特卡罗模拟。蒙特卡罗模拟是先对研究对象进行仔细的分析，然后产生一系列随机数，并建立所需要研究问题的模型，进行多次随机实验，让我们需要了解的物理量是模型中的某些量的平均值或者和这个平均值有关的量，进行分析和计算。 回到随机行走的话题，关于随机行走，可以分为三类，第一类是简单的随机行走(random walk)，假如有一个灰尘粒子，在空气中做随机行走，不考虑重力的影响，灰尘向各个方向运动的几率都是一样的，如在二维空间中，粒子有四种选择，即上下左右，每个方向的概率都是0.25,此时我们关注的物理量如r^2(r是n个步长之间的距离)就可以利用计算模拟得到r^2~x1，x为n个步长。结果如图2，图3所示： 图2：简单抽样的随机行走，不同的颜色代表不同的时间段粒子的行走路线。 图3：（上）简单的随机行走的x，y随着时间的变化的结果;（下）n个步长的距离与n个步长之间的关系 当粒子变得更聪明了，即有了简单的记忆之后，就可以变成更加复杂一点的随机行走，例如人走路，每一步会时而左，时而右，总体方向朝前，几乎不会原地连身体都不转一下就朝后行走（除非有目的的朝后走），又例如，一款经典的小游戏—贪吃蛇中，蛇可以向前，向上，向下行走，但是，它不能直接向后，即此时随机行走有了一定的记忆性，它记住前一步的位置并避免朝回走(non-reversal random walk)。这种随机行走在模拟中有两种不同的方法，第一种是在粒子做选择的时候，依然朝四个方向的几率相同，当选择到了前一步的位置的时候，则进行重新选择，直到朝其他方向走去为止，此时每进行一次选择，都需要判断是否是前一个位置，如果是重选，如果否，则新的位置变成了前一步，继续往前做新的判断和选择;第二种办法就是记住前一步的具体位置，直接排除这个位置，只在三个方向中进行选择，每走一步，把该位置记住，下一次直接排除它。两种办法虽略有不同，但是结果是相同的即反映出来的规律是一样的，如图4，图5所示： 图4：两种不同的方法的不返回随机行走。上边是第一种办法即每次四种选择，若选择了前一步的位置则重新选择，下边的是第二种方法即先记住上一步的位置每次做选择只有三种可能。 图5：不同的方法得到的不原地折返的随机行走的r^2，x^2，y^2的规律 图4两张图只能反映粒子的轨迹，看上去似乎两种方法结果不同，但是这仅仅是表面看到的结果，实际上从图5可以看到，实际上两种方法得到的结果是相同的。 那么进一步，当粒子不仅仅能够记住之前的一步的位置，而是此时，粒子的记忆力增强了，它记住了自己走过的所有地方，由于一种特殊的爱好，这个粒子只喜欢新鲜的没有走过的位置，即每次粒子都不能够再走那些它走过的地方。此时称之为自回避随机行走（self-avoiding random walk），这个时候，粒子变得挑剔，也正是因为这样，往往会把自己陷入死胡同，因而，如果用简单的抽样办法，粒子的行走很快就会因为自己的特殊爱好而终结即无路可走了，如图6所示，如何解决这个问题呢？这将在下次介绍。 图6：自回避随机行走的结果，粒子从（0,0）点出发，经过六十多步之后，行走便终止了。 第二节：DLA模型与大自然中的奥妙 当了解了随机行走，我们会发现还有很多其他现象与之有关，例如一个著名的随机模型：DLA（Diffusion Limited Aggregation）模型。该模型最早是用来解释粉尘的沉积与静电击穿中产生的美丽花纹的。它让我们感受到了那些深层的美丽，即使这个模型本身并未加入过多的物理因素，但也正因如此，它得以在许多不同学科中被运用。 假如我们有一个粒子，把它当作一个核（也称为种子），而在离核有一段距离的地方（选在某个圆环上的某处）产生一个粒子，让粒子进行随机行走，如果粒子走出了圆环，则将其抛弃，如果粒子接触到了中间的核，则加入它称为它的一部分，然后再产生一个新的粒子，进行重复以上过程。当产生了足够多的粒子之后，美丽的花纹便出现了。 图7：DLA模型中粒子聚集产生的花纹 如果它仅仅只是美丽的，那事情就该结束于此了，毕竟，许多人用计算机可以绘画出许多惊人的图片，然而，DLA模型的结果与大自然中或者实验室中的许多现象如细胞的凝聚生长，化学中的凝聚，物理中的静电击穿等等惊人的相似，并且它们的过程也很像，DLA模型为我们研究其他现象提供了计算模拟的办法，此时不得不提及该花纹与分形的联系，这个美丽的花纹和许多分形的图案一样，是分形的，可以计算分形位维数，有兴趣的可以去进一步了解。 图8：实验中的观察到的DLA花纹。 第三节：玻璃上的冰花，落在上面的雪与冰在水中的生长 图9：（上）落在车窗上的雪;（下）玻璃上的冰花 。 图10：冰在水中的生长。 大自然总是充满了美好与神秘，如玻璃上的冰花，落在车窗上面的雪与冰在水中的生长，它们是如此的美丽，而从某种角度来看，它们又可以看作是一种随机过程，以雪花落在竖直的车窗为例，雪花在空中飞舞，由于重力的作用，雪花朝下的几率比较大，但是风带来的扰动让雪花依然可以朝左右甚至向上运动，而风是随机的，因而落在窗户上的位置因该也是随机的，但是长时过后，许多雪花晶体的飘落在车窗，竟然呈现出的是一种有规律并非完全覆盖车窗的结果，似浪潮又似网格式的排列，实在太美！ 为了模拟类似的景象，假如考虑二维的情况，让一个粒子在二维网格的中间出发进行随机行走，当粒子接触两边的边界或者接触到其他粒子的时候，粒子停止不动，加入其他粒子或者自己变成了一个新的核，得到了图11的结果。 图11： 粒子在中间开始随机行走 大自然总是充满了各种奥秘，如果你想去发现它，那就停下脚步，去细细品味其中的美与乐趣吧！ Reference： James P. Sethna，Statistical Mechanics：Entropy, Order Parameters, andComplexity，Oxford University Press，2006. http://all-free-download.com/free-photos/download/ice-flowers-glass-window_274167.html K.Binder,D.W.Heermann, Monte Carlo Simulation in Statistical Physics(5th),Springer, 2006. 最后，有几张生活中的小图片与大家分享：

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跨越50年的尺度效应疑案

热度 5 yufree 2016-12-18 23:15

1947年，生物学家Max Kleiber 发表了一篇题为《body size and metabolic rate》的 论文 ，在论文中提出了一个克莱伯定律：对于哺乳动物，其基础代谢速率与体重的3/4次幂成正比。这其实是个观察得出的规律，搭上眼一看可能觉得没什么，但其实问题就出在那个3/4上了：理论上不应该是3/4，而应该是2/3，而且从19世纪人们就认为应该是这个数。 作为一个生物体，我们的物理构造受限于基本的物理规律，例如散热。生物一般具有细胞结构（病毒朊病毒就别来添乱了），对生物而言，维持正常的生理活动需要呼吸作用提供能量，当然也要有热量产生，前者可以用需氧量来衡量，后者自然跟前者成正比。那么能量供应与热量产生必然是要有一个平衡的，例如身躯庞大，能量供应多，热量也会多，如果热量不能及时散出去或者散热太快，那么细胞温度就无法维持，生理功能也就受到影响。那么能否用这个平衡构建一个代谢速率跟质量的简化模型描述呢？可以。 我们把整个哺乳动物想象成一个直径为d的球，那么不考虑密度差异，球的质量跟体积是成正比的： 质量正比于体积正比于d的立方 同时，这个球的散热应该是跟表面积成正比的： 表面积正比于d的平方 散热跟代谢速率是成正比的，那么有： 代谢速率 正比于 表面积 正比于 d平方 正比于 d立方的2/3次方 正比于 质量的2/3次方 其实想象成立方体也不会改变结论，代谢速率与质量的对数作图，会得到斜率为2/3的直线。 但克莱伯定律告诉我们（如下图的回归分析），这个数是3/4。 更有趣的是，不仅仅哺乳动物，如果你把低等生物甚至单细胞生物也考虑进来，这个斜率还是3/4： 那么问题来了：上面哪个假设有问题呢？或者说怎么才能假设出一个3/4的尺度效应呢？这个问题等了50年才等到一个答案。 1997年，James Brown 等人在science上发表了一篇题为《 A General Model for the Origin of Allometric Scaling Laws in Biology 》的论文，论文给出了一个基于生物体物质能量输送方式而简洁明了的解决方案，这个方案有三个基本假设： 进化压力下，生物体倾向于使用耗能最少的方式来传递物质进行新陈代谢； 如果要想把生物体用一种输送方式填满，最有效的就是有自我相似性的层级管道； 只在输送管道的末端，营养与物质交换是跟体积相关的。 如果你有一个三维实体，他需要各个部位都可以得到某一区域摄取的物质与能量，那么填充管道最节能的方法就是找一种有边界的输送方式，进化给我们的答案就是分形结构。我们的循环系统就是由动脉，静脉及毛细血管组成，这基本可以看作是分支结构。而对绿色植物而言，其物质输送方式是维管束，也可看作一种自我相似性的层级管道。最后一个假设是对计算最关键的，输送管道末端的物质能量交换对于各种生物体应该是相对一致的，但因为生物体大小不一致，层级数也就不一致，是这个联系了生物体质量与代谢速率。 那么如何联系？考虑一个典型的分支结构，每个节点都是从一个分到n个，有m层，最底层会有 个分支，在这一层上已经不能再分了，或者说继续分也无法将物质能量输送到更多的空间里，这是分形的边界。而在分支的末端代谢速率是恒定的，如此有： 代谢速率正比于末端分支个数 那么末端分支个数跟生物体质量如何联系呢？从分形的角度看就是已知节点的分支策略，求解这样的分形能占据多大的体积，而体积也就跟质量正相关了。对一个具有自相似性的结构，子结构是母结构的重现，那么在一个空间里如何填充呢？首先子结构的长度应该是按照固定比例缩短的，其次子结构的内径也应该是按比例逐渐缩小的，James Brown设定前者的比例A跟分支数n的1/3次方成正比，后者的比例B跟分支数n的1/2次方成正比，而伸展空间的大小正比于A的平方乘B，那么有： 质量正比于 正比于分支个数的4/3次方 如此有： 代谢速率正比于末端分支数正比于质量的3/4次方 相信你看完后会跟我有类似的感觉：这不是生造出来的吗？但其实还是有比较严密的推理的，感兴趣看原文，不感兴趣我大致说下思路。 末端分支的体积正比于内径的平方乘上分支长度，总体积就是不同层级m上各个分支体积之和，而基于自相似性，求和后的总体积正比于不同层内径比例的平方乘不同层长度比例，这就是伸展空间大小正比于A的平方乘B的来源。 那么底层分支长度跟高一层的分支长度的比例也就是A如何跟分支数产生联系呢？在分形结构末端，两层的分支总体积几乎相等，而每层分支体积可以看作分支长度为内径的球体体积乘个数，求比例可以发现分支长度比例的三次方（球体体积公式）等于节点的分支个数n，也就是A跟分支数n的1/3次方成正比。 同理，分形里底层分支截面积之和等于上一层截面积之和，求比例可发现分支内经比例的平方（圆面积公式）等于节点的分支个数n，也就是B跟分支数n的1/2次方成正比。 这样我们就得到了自然界中尺度效应里那个3/4。 从假设为球体或立方体到思考体内物质能量交换过程，对一个客观事实给出合理解释是不容易的。但今天讲这个并不是说后面那个是对的，其实最新的实验证据并不能很好的区别到底是2/3跟3/4，各有各的解释空间。但这个研究是很具有启发性的，有限空间内部的有序物质能量交换可以说是生物体的一个特性，当初研究尺度效应的研究人员现在把研究手段放到了另一种“有机体”——城市上面。社交网络、交通规划、管道流控…总有些自发形成的规则等待人们去探索。

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大自然的形状：分形

maximusd 2016-7-25 11:28

一、英国的海岸线有多长 这好像极其简单，因为长度依赖于测量单位。以 1km 为单位测量海岸线，得到的近似长度将短于 1km 的迂回曲折都忽略掉了；若以 1m 为单位测量，则能测出被忽略掉的迂回曲折，长度将变大，测量单位进一步变小，测得的长度将愈来愈大，这些愈来愈大的长度应该会趋近于一个确定值，这个 极限值 就是海岸线的长度。 真的会有这个极限值吗？ 美国科学家曼德勃罗发现：当测量单位变小时，所得的长度是无限增大的。他认为海岸线的长度是不确定的，或者说，在一定意义上海岸线是无限长的。为什么呢？答案也许在于海岸线的极不规则和极不光滑。 1967 年，曼德勃罗在美国《科学》杂志上发表了一篇划时代的的论文，《英国的海岸线有多长？统计自相似性与分数维数》，提出要定量地分析像海岸线这样的图形，必须引入分数维数的概念，随后在著作《分形 : 形状机遇和维数》中正式提出分形的概念。 二、分形，分形几何 分形是对没有特征长度但具有一定意义下的自相似图形和结构的总称。分形几何是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，是研究斑痕、麻点、破碎、扭曲、缠绕、纠结的几何学。 分形最大的特点就是自相似性，即从整体上看，处处不规则，没有特征尺度和标度，但是在不同尺度上的规则性又是相同的，即局部与局部、局部和整体在形态有自相似性。例如雪花，闪电等等。分形用分数维数来描述和研究。 三、大自然的自相似性与分形 分形的自相似性反映了自然界局部与局部、局部与整体在形态、功能、信息、时间与空间等方面的具有统计意义上的自相似性。可以这么说， 自然界是以分形的形式存在和演化的。 分形无时无处不在，应用非常广泛，例如地球科学领域中海岸线与河流的分形、地震分形、矿藏分布分形、降水量分形等；生命科学领域中核酸结构分形、蛋白质结构分形、肺泡结构分形、微血管结构分形等；社会学领域中经济系统分形、经济收入分配分维、金融市场价格的分维。 分形在大自然中的普适性被发现以后，在各个领域得以拓展，例如分形美学、分形艺术、分形建筑、分形音乐等等。圣达菲研究院的斯图亚特·考夫曼说：“宇宙何处不是家？”感官上的自相似性以及自然和艺术之间的差异给我们灵感，这种灵感更为形象生动。 敬请持续关注我们的微信公众号，将为您带来更多分形的信息，以及在生物医学中的应用。

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何以解道，道法自然。“非线性科学与医学沙龙”开篇寄语

maximusd 2016-4-5 16:50

一、道生一，一生二，二生三，三生万物,何谓道？ 大约135亿年前，经过所谓的“大爆炸”之后，宇宙物质、能量、时间、空间有了现在的样子。宇宙的这些基本特征，就成了“物理学”。 大约38亿年前，在这个叫做地球的行星上，有些分子结合起来，形成一种特别庞大而又精细的结构——有机体。有机体的故事，就成了“生物学”。 大约7万年前，一些属于“智人”这一物种的生物，开始创造出更复杂的架构，称为“文化”。 大约1.2万年前，“农业革命”让历史加速发展。 大约500年前，“科学革命”，人类开始取得前所未有的能力，整个地球形成单一历史场域（引自《人类简史》，赫拉利）。 在宇宙演变的历史长河中，生命是如何产生的？是通过什么机制实现了从单纯的物理世界到原始生命？是通过什么机制实现了从原核生物演化到复杂的多细胞生物？是通过什么机制实现了从原始动物性到身心合一的人性？ 二、一花一世界，一叶一如来，或能解道 佛陀不愧是一位超越科学的大师，神经细胞的微观生长和宇宙的宏观演化是如此的相似。托马斯在《细胞生命的礼赞》中提到，细胞内有线粒体、中心粒、基粒和“其他各司其职的更模糊的微小生灵”，它们都有各自的历史和演化过程。它们以不可思议的方式结合在一起，成为完全互相依存的统一体。我们细胞核里携带的大量DNA，也许是在细胞的祖先融合和原始生物在共生中联合起来的岁月里，不知什么时候来到我们这里的。我们的基因组是从大自然所有方面来的形形色色指令信息的集结，为应付各式各样的意外情况编码而成。 生命的进化遵循着从简单到复杂的法则，从核酸分子到细胞，从组织到器官，从单一的个体到众多的人群。面对复杂的世界，我们抽丝剥茧、层层深入，探究“花”和“叶”的简单法则，或能以小见大、见微知著、洞悉未来。 三、横看成岭侧成峰，换个角度看世界，或能解道 医学生的世界观是这样形成的，从细胞生物学到微生物学，从解剖学到组织胚胎学，从生理学到病理学，从诊断学到内外妇儿。专业越分越细，而联系着从物理学到化学、从生物学和人类学到社会科学的学科间的距离越行越远。有没有一根这样的链条，涵盖着物理和化学的基础原理，能够通过简单的法则将生命科学和医学中被肢解的模块重新串联在一起呢？ 站在不同的视角，我们能看到不一样的世界；换一种思维，我们会收获到另一个秋天。为了寻找和探索这样的法则或链条，我开通了这个博客，也建立了“非线性科学与医学沙龙”微信公众号，希望通过这样一个平台，汇聚物理、化学、生物学和医学等各类跨学科信息，展示非线性科学（混沌理论、分形理论、突变理论、协同论、自组织理论和复杂性科学理论等等）的相关理论以及在生物医学方面的应用。

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[转载]《自发进化》节选(70)

罗非 2016-3-20 10:27

分形——数学与后数学 因此，我们需要做的就是找出究竟是哪些数学被用来创造了宇宙，那么我们将能够了解我们是怎么来的，我们又将去往何方。因为我们正试图辨别环境的模式，特别是当它们涉及到生物圈时，我们需要发现自然用来将物理结构放入空间的数学。 这样的任务需要使用几何学，因为根据定义，这一数学分支专门关注空间中的结构的特性，量度和关系。几何学对于宇宙的组织而言具有如此的根本性，以至于在伽利略的觉悟之前很久，柏拉图就认为，“几何学在创世之前就已存在。” 直到 1975 年，普通公众仍然只熟悉欧几里德的几何学原理，它们总结在那 13 卷大约成书于公元前 300 年左右的古老希腊文本，《 欧几里德原理 》中。这就是我们大多数人在学校里学到的几何学，我们用它在绘图纸上画出各种结构，如立方体、球体、锥体等等。欧几里德几何使我们得以预测天体的运动，建造宏伟的建筑和园林，甚至建造各种飞船和尖端武器。 然而，欧几里德几何的数学公式并不能马上用于自然界中。比如说，使用标准欧几里德几何的完美形状，你能创造出一棵怎样的树呢？回想一下你在幼儿园画过的树，一个圆圈坐在一根细长的矩形顶上。毫无疑问，你的幼儿园老师承认它是树的某种表达，但是它无论如何也描述不出树到底是什么，就像用火柴棒摆出的小人描述不了真正的人一样。 在欧几里德几何和圆规的帮助下，你可以画出一个完美的圆。但你没法用欧几里德几何去画一棵完美的，或者至少是一棵真实的树。欧几里德几何也同样无法画出像甲虫、山、云、或者其他任何自然界中那些常见形体的结构。当需要描绘生命的结构时，欧几里德几何就相形见绌了。那么，我们到哪里去找柏拉图和伽利略所说的那种数学，那种可以描述自然界固有的设计原理的数学呢？ 大约 90 年前，一位年轻的法国数学家加斯顿·朱利叶发表了一篇论文，报告了他关于迭代函数的研究工作。这篇论文为我们提供了一个线索。他所用的是一个相对简单的公式，只使用乘法和加法，无限地重复下去。要实际地把他的数学公式所编码的图象可视化，朱利叶将不得不解出该公式上百万次的迭代结果，这个过程会花掉他几十年的时间。因此，尽管朱利叶在数学意义上已经构想出了一个分形，但他实际上从来也没有看到过。 只有到了 1975 年，当朱利叶的公式在计算机的帮助下求出结果之后，其深远的意义才得以显现。法裔美籍数学家波努瓦·芒德勃罗在 IBM 计算实验室中分析了混沌系统的模式，他第一个观察到了这种朱利叶只能想象的东西。面对着由分形公式所产生的具有惊人的美丽、充满生机、并且无限复杂的图像，芒德勃罗充满了敬畏。他第一个观察到，分形图像具有重复的自相似模式，无论在何种尺度下研究时均是如此。他越是放大图像，这些结构看起来就越相同。 内在于分形图像的混沌复杂性之中的，是不断重复、相互嵌套的模式。那种国际流行玩具，手绘俄罗斯嵌套娃娃，为分形的重复图像本质提供了一个粗略的观念。每个更小版本的娃娃都与它外边嵌套的那个较大的娃娃相似，但并不一定完全相同。芒德勃罗引入了 自相似 这一名词来描述他在这种新的数学当中所观察到的对象，他把这种数学称为 分形几何 。 图 11-2. 俄罗斯嵌套娃娃代表了分形的重复图像。 芒德勃罗在他分形图像的复杂性中，看到了各种类似于自然界中常见形状的生动模式，如昆虫，贝壳和树木。在历史上，科学多次记录了在自然界结构中的不同尺度上出现的自相似组织模式。然而，在芒德勃罗引入分形几何学之前，这些自相似的模式都被视为仅仅是奇妙的巧合。 分形几何学强调的是整体结构中的模式与其各部分中的模式之间的关系。回想一下前文所说的关于海岸线的例子和关于枝叶、树枝和树干的例子。自相似的模式在自然界中随处可见，特别多见于人体的结构中。例如，在人的肺脏中，气道沿大支气管分支的模式在小的支气管，甚至更小的细支气管的气道分支模式中不断地重复。循环系统中的动脉和静脉血管，以及人体的周围神经网络也都显示重复的，自相似的分支模式。 由于分形几何是真正的自然界设计原理，生物圈本身在其组织的每个层面都显示出相互嵌套的自相似模式。因此，当我们观察并发现了一个组织在较高或者较低水平上的结构模式时，我们就可以像使用地图一样地使用分形原理。分形可以帮助我们洞悉该组织在任何其他水平上的模式。在生物圈中，人类进化的分形模式可以内在地显示出某种与自然界的组织在其他水平上的结构所经历的进化自相似的模式。 恩斯特·海克尔是与达尔文同时代的著名胚胎学家， 1868 年，他在不经意间首次报道了进化过程中自相似分形模式的端倪。海克尔出版了一套现在已经闻名天下的显微图像，它们比较了若干物种和人类的胚胎发育阶段。他指出，所有脊椎动物胚胎，包括人类胚胎在内，都通过了一系列类似的结构阶段。海克尔提出，各种有机体在通过他们的早期发育阶段时，实际上重新追踪了它们的祖先进化的每一个阶段。 海克尔的理论，隐晦地定义为 个体发育重演系统发育 ，其字面意思是“发育是某种对祖先的重演。”不幸的是，这个狂热的海克尔在推广他的想法时，篡改了他的图片，使胚胎的早期阶段看上去比它们实际上更为相似。 尽管他的报告有瑕疵，但人类胚胎在最终获得人形之前的确发生了一系列形变。在这些转变当中，人类的胚胎采取了一系列有序的自相似结构模式，在其中它很像脊椎动物进化早期阶段的那些胚胎。 发育中的人类胚胎形状从一个酷似鱼类的胚胎变形为类似两栖动物的胚胎。然后它继续变形，采纳了爬行动物的胚胎外观，然后是哺乳动物的胚胎外观，最后才获得了人形。通过沿袭其生物圈祖先的胚胎阶段演变，人类胚胎为分形性自相似提供了一个动态实例。 Fractals—Math and Aftermath Consequently, all we need to do is findout which mathematics was used to create the Universe and we will be able tounderstand how we got here and where we are bound. Because we are trying todiscern environmental patterns, specifically as they relate to the biosphere,we need to discover the math Nature used to put physical structure into space. Such a mission invokes the use of geometry because, by definition, this branch of mathematicsis specifically concerned with the properties, measurement and relationships ofstructure in space. Geometry is so fundamental to the organization of the Universethat long before Galileo’s realization, Plato concluded, “Geometry existedbefore creation.” 4 Until 1975, the general public was onlyfamiliar with the principles of Euclidean geometry, summarized in thethirteen-volume ancient Greek text, The Elementsof Euclid, written around 300 b.c.e. This is the geometrymost of us learned in school to plot structures such ascubes and spheres and cones onto graph paper. Euclidian geometry has enabled us to projectthe movement of heavenly bodies, construct great edifices and gardens, and evenbuild spaceships and sophisticated weapons. However, the mathematical formulae of Euclidiangeometry are not readily applicable to Nature. For example, what kind of tree can you createusing the standardized perfect forms of Euclidean geometry? Think back to thetree you drew in kindergarten, a circle sitting atop an elongated rectangle.Your kindergarten teacher, no doubt, recognized it as a representation of atree, but in no way does it describe what a tree really is, no more than astick figure describes a human. WithEuclidean geometry and a compass, you can draw a perfect circle. But you cannotuse Euclidean geometry to draw a perfect or, at least, a realistic tree. Norcan Euclidian geometry describe the structure of a beetle, a mountain, a cloud,or any other familiar patterns found in Nature. Euclidean geometry falls shortwhen it comes to describing the structure of life. So where do we find the typeof mathematics referred to by Plato and Galileo, the math that describes thedesign principles inherent in Nature? We wereoffered a clue about 90 years ago when a young French mathematician namedGaston Julia published a paper on his work with iterated functions. His was a relatively simple equation that used only multiplicationand addition, repeated ad infinitum . To actually visualize the imageencoded in his mathematical formula, Julia would have had to solve millions ofiterations of the formula, a process that would have taken him decades. Therefore,even though he conceived of a fractal in mathematical terms, Julia neveractually saw one. Theprofound implications of Julia’s formula were only revealed when his equationwas solved with the aid of computers in 1975. Benoit Mandelbrot, a French–Americanmathematician who analyzed patterns in chaotic systems at an IBM computing lab,was the first person to observe what Julia could only imagine. Mandelbrot wasawestruck by the strikingly beautiful organic and infinitely complex imagesgenerated by fractal formulae. He was the first toobserve that fractal images possessed repeated self-similar patterns,regardless of the scale on which they were examined. The more he magnified theimages, the more the structure appeared to be the same. Inherent within the chaotic complexity offractal images is the presence of ever-repeating patterns, nested within oneanother. The internationally popular toy, hand-painted Russian nesting dolls,provides a rough idea of the nature of a fractal’s repetitive images. Eachsmaller version of the doll is similar to, but not necessarily an exact versionof, the larger doll in which it is nested. Mandelbrot introduced the term self-similar to describe such objects that heobserved in the new math, which he called fractalgeometry. Withinthe complexity of his fractal images, Mandelbrot observed vivid patterns that resembleshapes common in Nature, such as insects, seashells and trees. Historically,science had frequently documented the presence of self-similar organizationalpatterns at different scales of Nature’s structure. However, until Mandelbrotintroduced fractal geometry, these self-similar patterns were deemed to bemerely curious coincidences. Fractal geometry emphasizes therelationship between the patterns in a whole structure and the patterns seen inits parts. Recall the examples of the coastline and of the twigs, branches andtree trunks cited earlier. Self-similar patterns are found throughout Natureand especially within the structure of the human body. For example in the humanlung, the pattern of branching along the large bronchus air passages isrepeated in the branching structure of the smaller bronchi and even smallerbronchiole passages. Arterial and venous vessels of the circulatory system aswell as the body’s network of peripheral nerves also display repetitive,self-similar branching patterns. Because fractal geometry is truly thedesign principle of Nature, the biosphere inherently reveals nestedself-similar patterns at every level of its organization. Consequently, as weobserve and become aware of patterns at higher or lower levels of anorganization’s structure, we can use fractals in the same way we would usemaps. Fractals can help us gain insight into the organization at any otherlevel. In the biosphere, the fractal pattern of human evolution can inherentlydisplay a self-similar pattern of evolution experienced by structures at otherlevels of Nature’s organization. Ernst Haeckel, a famous embryologist andcontemporary of Darwin, inadvertently reported the first inkling of aself-similar fractal-like pattern in evolution in 1868. Haeckel published a nowfamous sequence of microscopic images that compares the stages of embryonicdevelopment of a number of species with that of the human. He noted that allvertebrate embryos, including the human embryo, pass through a series ofsimilar structural stages. Haeckel argued that, in transitioning through theirearly development, organisms actually re-trace every stage of theirevolutionary ancestry. Haeckel’s theory, cryptically defined as ontogeny recapitulates phylogeny, literallymeans “development is a replay of ancestry.” Unfortunately, when promoting hisideas, an overzealous Haeckel fudged his drawings to make the early stages ofembryos appear more alike than they actually are. Regardlessof his flawed presentation, human embryos do morph through a variety of shapesbefore acquiring human form. In these transitions, the human embryo assumes asequential series of self-similar structural patterns wherein it resembles embryos from earlier stages of vertebrate evolution. Thedeveloping human embryo shape-shifts from one that resembles a fish embryo toone that resembles an amphibian embryo. It continues morphing until it takes onthe appearance of a reptilian embryo and, later, that of a mammal beforefinally assuming a human shape. Evolving through the embryonic stages of its biosphericancestors, human embryos offer a dynamic example of fractal-likeself-similarity.

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非线性动力学词汇

Mech 2015-8-30 16:46

非线性动力学 2 李雅普诺夫稳定性 1 吸引性 平衡点的稳定性 双曲平衡点 平面系统的平衡点 线性系统的稳定性 劳斯 - 赫尔维茨判据 开尔文 - 泰特 - 切塔耶夫定理 运动稳定性 1 极限环 李雅普诺夫方法 2 轨道稳定性 输入 - 输出稳定性 受控系统的稳定性 镇定 极点配置 不变集 极限集 非游荡集 拉萨尔不变性原理 不变子空间 稳定子空间 不稳定子空间 中心子空间 不变流形 稳定流形 不稳定流形 中心流形 双曲平衡点的不变流形定理 吸引子 吸引盆 庞卡莱映射 混沌 1 初态敏感性 蝴蝶效应 洛伦兹方程 上田振子 埃侬映射 虫口模型 暂态混沌 李雅普诺夫指数 2 超混沌 度规熵 拓扑熵 拓扑混沌 符号动力学 斯梅尔马蹄 横截同宿点 斯梅尔 - 伯克霍夫同宿定理 梅利尼科夫方法 什尔尼科夫方法 KAM 定理 2 局部混沌 全局混沌 柯尔莫哥洛夫含混吸引子 阿诺德扩散 混沌控制 OGY 方法 混沌同步化 相空间重构 嵌入 延迟时间 嵌入维数 非线性动力学减噪 时空混沌 斑图 映射耦合格子 元胞自动机 惯性流形 结构稳定性 分岔 静态分岔 局部分岔 叉式分岔 鞍结分岔 跨临界分岔 有缺陷的分岔 有滞后的分岔 全局分岔 同宿分岔 异宿分岔 动态分岔 霍普夫分岔 闭轨线分岔 折叠分岔 内依马克 - 沙克分岔 倍周期分岔 费根鲍姆常数 进入混沌的路径 准周期环面破裂 阵发性 中心流形定理 李雅普诺夫 - 施密特约化 庞加莱 - 伯克霍夫范式 奇异性理论 余维数 开折 转迁集 突变 初等突变理论 托姆横截性定理 分形 康托集 科克曲线 曼德勃罗集 相似维数 豪斯道夫维数 信息维数 关联维数 奇怪吸引子 分形盆边界 终态敏感性 激变 胖分形 多重分形 孤立子 KdV 方程 散射反演方法 无穷维可积系统 无穷多守恒律 复杂性

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为何我们如此在意无标度性？

htsong1976 2015-7-1 22:27

大量个体的简单交互（无中心控制、非完全信息、局部相互作用），形成复杂的网络行为，并可在宏观上涌现出结构和功能，复杂网络的魅力可窥一斑 ，领域研究早已遍及自然与社会生活的各个领域 。“自从1999年Barabási和Albert在《科学》上提出无标度网络起，迄今为止，普遍认为无标度网络是指度分布有(或至少近似地有幂律形式),P(k) ~ k^(-γ)(这里记号~指渐近正比)。由于人们对这个幂律形式的认识和理解不同，以及网络度上有限与无限的巨大差异，关于无标度网络概念的讨论一直没有停止过。” 阎 春宁， 史定华等还就幂律问题在《复杂系统与复杂性科学》上发表了系列文章 ，文中将无标度网络细分为精确幂、拟幂律、幂律尾部、幂律行为、幂律关系几个从特殊到一般、 相互包含的子 类别。 无标度的直接解释通常是 P(ck) = (ck)^(- γ) = k^(- γ) = C k^(- γ) = C P(k), 可见标度改变时，函数曲线的形状和函数的指数都没有变，即具有标度不变性。 标度不变性的含义是在复杂网络上任选一局部，由于其自相似性，局部网络的形态、规律、功能均与原网络不会发生变化，即在尺度伸缩时具有对称性。上述解释很容易地联想到分形的概念，分形来源于几何，但如果仔细地将功能或者信息结构作映射，则分形——对形态的相似性的研究就很可以应用到此二领域；分形是严格的，但可以通过统计意义上的相似来放松约束，扩展其应用范围；分形是理想的，无限嵌套，可以通过增加标度区间来描述实际网络中自相似行为的适用域。 BA模型提出时的机理解释有两个要点，一是增长，二是择优，从而得到节点度具有标度不变性的网络。而变M模型和年龄模型，一般认为不具有严格的标度不变性，但作用机理 T 如果在不同层次是稳定的，是否也意味着存在着某个其他的宏观序参数是标度不变的呢？至少可以定义出一个 F 只跟 T 有关，从而 F（T)是标度不变的，这个函数如果可以区分 T，从而将复杂网络按照形成机理分类。 现在的无标度性是按度增长的规律来对复杂网络分类，这个意义上说，无标度性是一个用来对网络进行分类的方法，幂指数是此网络分类的宏观序参数。这种依靠无标度的分类方法之所以是重要的，因为增长和择优都是朴素的机制，体现了连接机会的均等，这成为现实中区分不同网络形成机理的分水岭。 1. 复杂网络研究——现状与前瞻，狄增加，北京师范大学， http://wenku.baidu.com/view/88f39eff910ef12d2af9e776.html ，2007 2. 复杂脑网络研究：现状与挑战，张方风，郑志刚， http://wenku.baidu.com/view/3bbb9629bcd126fff7050b3a.html?re=view ，2012 3. 无标度网络的争议，史定华，上海大学， http://wenku.baidu.com/view/6a48c427192e45361066f570.html ，2012 4. 幂律思考系列文章2——无标度网络的不同定义和包含关系， 阎 春宁， 史定华， http://www.doc88.com/p-9733390632710.html ，2014 5. 无标度网络及其系统科学意义.pdf 6. 复杂无标度网络的特性.ppt 7. 复杂网络的无标度特性.ppt 8. 增长及非增长无标度网络的成因解析.pdf 9. 无标度网络：基础理论和应用研究.pdf

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重修微积分7——测度

热度 21 xying 2015-5-8 08:11

计量是数学的肇始。无论是称重量，量尺寸，度面积，计体积，结果都是从 0 到无穷大的一个数。计算时多将整体划分成比较规范的部分，分别测量累加而成。不因测量的方法不同而异。所以计量必须具备几点：它是非负的数量，空无为 0 ，划分后计量之和等于总体，不因测量方法而变。在无限可分世界里任何的计量，就必须把这性质推广到无穷的集合。抽象集合中的 测度 m ，就是将集合的子集映射到 $ $ 区间的函数，空集对应着 0 ，测度有着可数可加性，即： $m(\phi )=0,\;\;\; m(\bigcup_{n=1}^\infty E_n)=\sum _{n=1}^{\infty} m(E_n),\;\; E_i \cap E_j =\phi\;\;\forall i\neq j $ 在不同坐标系下表示集合的点，测度值要保持对坐标变换的不变性。注意，无穷大这里也可以是个测度的量值，这让它适用于一些无穷的情况，比如说没有尽头的直线长度，无边无际的平面面积和无限空间的体积等等。例如，集合的势也是一个测度，满足 0 的对应和可数可加性，对于有限集，这测度是集合中元素的数量，对无穷集，这测度是无穷大。人们的计数其实是从这个测度开始的。 显然对于同一个集合，可以定义不同含义的测度。学习数学的抽象，这是要适应的思想方法。 这个系列介绍过收敛、拓扑、距离、范数、内积、测度等数学的概念，在集合的基础上定义它们的性质。在同一个基础集合上，往往有多种具体的结构和映射符合这些定义的性质，它们的抽象都属同一概念。这情形与物理等自然科学很不同，让有些学者觉得不习惯和不确定。在思想方法上，自然科学本质是归纳的，研究的都是具体一类的事物，从中抽象发现一些共有的性质，形成了概念。虽然有时用抽象的语言来定义，也因此逻辑推理，但隐在定义之后的具体一类事物，始终是最终的裁判，当推理的结论逸出接受的范围，就放弃原有的概念代之以新的解读。而数学的本质是演绎，虽然许多概念的形成来自归纳，但不同定义的概念在逻辑上必须是一致的，等价的，或是由论域的局限或推广。数学研究的是由这些共同性质定义下的概念，在演绎下的共同表现，不论概念所指的具体对象的类别有多大的不同，所得的结论从具体对象来看会如何不可思议。就抽象所聚焦的概念而言，它们都是一样的，拥有共同推理而得的性质。在数学最高的权威是逻辑而不是事实。所以要构造数学概念的直观图像，必须习惯用多种不同类别的具体对象（在数理逻辑上称之为模型）来想象抽象的概念，了解不同模型的局限，而不要被它所左右。自然科学关心物质世界里的真。数学关心的是思维世界里的真。只有确信思维中逻辑推理的结论是真实可靠的，才能利用数学概念作为工具，来了解、表达和推测物质世界里的真实。 让我们从测度的定义出发，看当逻辑与事实冲突时，数学家和自然科学家的不同处理。 实践经验告诉我们，将一个物体分割成几部分，分别测量它们的重量和体积，它们之和一定会等于整体。这已经成了无可置疑的真理。很不幸，经验不能代替逻辑，因为经验只涉及到有穷的世界，当我们把物体看成无穷可分时，无穷集合的任意分割，并非都能如此。在定义了一些集合测度后的空间里，并非所有的集合都可以参与保有这样性质的测度。 巴拿赫-塔斯基（Banach Tarski）举了一个例子。大致说来，他用分别沿X，Y两轴左转或右转某个特殊的角度（例如arccos(1/3)）的操作，形成包含4种旋转a,a -1 ,b,b -1 的运算序列。这些有限步运算序列生成了一个具有无穷个元素的群H。在序列中刨去相邻反向相消的旋转，可以证明每个序列与群H中的元素一一对应。这个群里的元素可以按生成时，第一个的旋转操作分别为a,a -1 ,b,b -1 而 分成不相交的4组及单位元e组。实心球中的质点，在这群每个元素对应的旋转操作序列作用下，形成一条旋转轨迹质点相连的链。利用选择公理，在每个链条都可以选出一个点来代表，这些点的集合记为M，球中所有的质点都在M中某点所在的轨迹链条中。这些轨迹链条依对应的4个群组也分成4组，将这些轨迹链条的第一个质点取出放在对应于群的e组，其余链条中的质点对应到起始旋转分别为a,a -1 ,b,b -1 的群组，它们是互不相交的5个组，可以看成球被分割成5堆。现在将对应a -1 组那堆整体做a 的旋转，经过这旋转后的这堆包含有对应着所有a -1 ,b,b -1 组 及部分e组的质点，对b -1 组那堆整体做b 的旋转，得到类似的结果，不难想象将它们与剩下的a ,b 和e组可以组装成没有缝隙与原来一样的两个球，详见【2】。 这个例子很有名，称为“分球悖论”或者“巴拿赫-塔斯基定理”，因为进行分类时，用了选择公理（AC）在无穷集合中挑选，上世纪二十年代，大家是用来反对AC的。经过多年争论后，人们发现这里的证明在逻辑上无懈可击，选择公理在数学基础上很重要，是必须保护的不可或缺。而在物质世界中球不可能由无限的质点组成，所以这模型并不与现实冲突。想要继续应用抽象的测度理论，那么只能归结为人们在无穷的世界里的直觉错了。 为什么是不可思议？因为人们觉得将一个球切碎分割成 5 堆，组成球的元素分成了 5 个集合，球的重量和体积是这 5 个集合的总和，一堆元素刚性旋转不会改变重量和体积，即使装配成的球没有缝隙，它们也不该有两个球的重量和体积。 重量和体积都是测度，与经验的冲突在于这种分割不满足可加性。但如果这种怪异分割而成的 5 个集合是不可测度的，那么就没有理由说什么可加性了。一个球和两个球之间就失去了这个有限测度量的联系。至于一个球和两个球的元素数量，因为它们都是无穷的集合，在有限的世界对岸，集合论早就告诉我们，无穷集合和两倍的集合，它们的元素是可以一一对应的。这例子告诉我们，测度有时只能定义在空间的一部分集合上，这些集合称为 可测集 ，它们包括空集，对可数个并，及补集运算封闭，称为 σ代数 。在这σ代数之外的集合，对测度没有定义，称为不可测集。 在实数空间，我们定义开区间（ a, b ）的测度为 |b-a| ，以开区间生成的σ代数称为 波雷尔（ Borel ）集 。在实数空间以开区间测度和定义延拓出来的测度称为长度。在 n 维欧几里德空间，可以同样地从定义矩形区间的面积延拓出 2 维的测度，以及 n 维的体积，这样定义的测度称为 勒贝格测度 。在不致混淆时，简称为测度，或长度、面积、体积。 波雷尔集包含着 $\mathbb{R}^n$ 空间通常拓扑下的所有空集、全体、开集、闭集、单点、以及它们的各种交和并。在理论上，不可测的集合虽然也有无穷多，你可以想象的却很难，因为它们不存在你的经验中，它必须用逻辑依赖选择公理来构造。 柯尔莫哥洛夫将公理化概率论定义在概率空间上，用样本的集合代表事件，它们构成空间里的σ代数，概率则是对集合取值在 0 到 1 之间的测度。 测度为 0 的集合叫做 零测集 ，它在应用中扮演了重要的角色，比如说你突然有个天才的发现，只是它适用的情况在参数中是零测集，如果参数值是随机分布的，那你几乎都没有用武之地。在积分里，如果引起麻烦的地方，比如说无界、间断处等等是零测集，那也可以忽略它们。 $\mathbb{R}^n$ 空间中的一个点的集合，可以包含在任意小的区间里，它的勒贝格测度小于任何正数，所以它只能为 0 。从测度的定义可知，可数个零测集的并集仍然是零测集，所以有理数集合是实数空间 $\mathbb{R}$ 上的零测集。 有个古老的疑问：“点没有长度，为什么它们组成线段却有了长度？”有人回答，因为这里的点有无穷多， 0 乘无穷大可以是非零的数。上面例子说明，这理由对可数多的无穷大不成立。是不是因为线段有不可数的点所致？下面例子说明，在直线上不可数点集的总长度也可能 是零 。 康托集 是这样构造的，记C 0 = ，将这区间三等分，取走中间一块（1/3，2/3），留下的部分C 1 = U ；分别在留下的区间 及 中，再次取走各区间中间1/3的那块，得到C 2 ；如此重覆得到C n ，n=0,1,2,…；它们的极限C称为康托集。C是不可数的，因为它的点必须选自无穷序列C n 中左边或右边部分，即2的可数幂。C n 测度是（2/3） n ,当n趋向无穷大时，它趋向0，所以C的勒贝格测度是0. 当一个区间无穷地缩小到一个点，区间的长度也无限地趋向 0 ，区间的长度和覆盖线段的区间数总在有限世界这一边，没有尺寸的点和无穷多个点是在实无穷的彼岸，我们不能指望用点和点数来解答线段长度的问题。不同维数空间中几何体的测量也是如此。看个例子。 英国人很早在测量海岸线长度时，发现所用的尺度越短，海岸线的长度越长，那么到底什么是曲线的长度？二维空间的曲线，显然不能用一维区间来覆盖，而二维的勒贝格测度（面积）是零。实践中用尺子丈量曲线，微积分里用折线来逼近曲线长度，都是用二维空间的园来覆盖曲线，然后计算这些覆盖直径的和。对于不同覆盖所计算的下确界，称为曲线的长度。测量所用的尺子越短，计算出来的长度越长，这反映了近似逼近的过程。这个单调递增的数列极限可能是有限的量，也可能是无穷大。 在 n 维欧几里德空间，任何集合 A 都可以被一族可数的开集覆盖，这族开覆盖测度和的下确界称为集合 A 的外测度，记为 m*(A) 。外测度对所有集合都有定义，保持有测度的非负性，对集合包含关系的单调性，和次可数可加性。当集合 A 是可测时，外测度等于它的测度。 $ m^*(A) \ge 0, \; m^*(\phi)=0,\;\;\; A\subset B \Rightarrow m^*(A)\le m^*(B), $ $ m^*( \bigcup _{n=1}^\infty E_n) \le \sum _{n=1}^\infty m^*(E_n),\;\; E_i\cap E_j = \phi\;\;\forall i\neq j $ 将开集的测度定义为集合中两点距离的上确界，我们就由此定义了曲线的长度。在有界的二维区域里的曲线长度有没有可能是无穷大？当然有。下面是一个分形曲线的例子。 Koch 曲线是这样构造的。对单位线段，中间1/3用等边三角形的两边来代替，得到四条边的曲线k=1，对这四条边做同样的替换，得到k=2曲线，如此无限重复这个替代过程，它趋向Koch曲线。（见图，图像抄自网络） 可以把这个k序列看作测量尺度变小的过程，计算不同k时计算的曲线长度L(K)=(4/3) K ，所以Koch曲线的长度是无穷大。 对于欧几里德空间 $\mathbb{R}^n$ 中的几何体，集合 A 的 Hausdorff 测度 H s (A) 定义如下： $H_d^s(A)=\inf \left\{\sum_{i=1}^\infty |O_i|^s \mid \bigcup_{i=1}^\infty O_i \supset A, \;\; |O_i| \le d\right \}$ ， $H^s(A)=\lim_{d\rightarrow 0}H_d^s(A)$ 式中的下确界inf是对所有可能的开覆盖O i 集合族来取的。其中集合的直径为集合中两点距离的上确界 $|O|=\sup \{\|x-y\| \mid x,y \in O \}$ ，同时规定 |O| 0 =1 。 H s (A) 定义在 $\mathbb{R}^n$ 的 Borel 集上，不难验证它满足可数可加性，所以是个带参数 s 的测度。当 s=n 时， H s (A) 是 $\mathbb{R}^n$ 的 n 维勒贝格测度（精确地说只差一个与 n 有关的倍因子，因为 Hausdorff 测量的尺子是球，勒贝格是方块）。 在 $\mathbb{R}^n$ 空间，将几何体 A 线性放大 k 倍，其集合记为 $kA =\{kx \; | \; x\in A\}$ ，则有 $H^s(kA)=k^sH^s(A)$ ，这与 k 维几何体的线性放大后，长度、面积和体积比例关系是一致的。注意到对于给定的集合 A ， Hausdorff 测度 H s (A) ，随着 s 从 n+1 开始减小，其数值从 0 ，到了一个临界点后，突然跳到无穷大，我们把这个 s 的临界值，称为几何体的 维数 ，或者 Hausdorff 维数 。当它是自然数时，这与我们日常中的经验是一致的，但有时它不是一个整数。 作为一个应用的例子，现在我们审视 $\mathbb{R}^n$ 空间里曲线的长度，凡是能够用积分算出有限值长度的，无论在平面或在三维空间，用 Hausdorff 测度可以证明都是一维的曲线。 Koch 曲线按照 s=1 来计算是无穷大，所以它可能是更高的维数。分形物体具有自相似结构，注意到如果将 Koch 曲线线性放大 3 倍，可以得到 4 份的原来曲线，根据上述 s 维几何体的线性放大与 Hausdorff 测度的倍数关系，可以算出 s=ln4/ln3=1.26186… ，即 Koch 曲线是 1.26186… 维。前面例子中的康托集，线性放大 3 倍可以得到 2 份原来的康托集，所以它的维数是 s=ln2/ln3=0.63093… ，是分数维的。只有在几何体所在的维度里的测度，才可能是一个正实数值。 如果你好奇， $\mathbb{R}^n$ 空间里一个点的维数是多少？建议你用Hausdorff测度公式验算一下，以加深理解。只有 s=0 时，单点的 Hausdorff 测度是 1 ， k 个点和可数无穷个点，测度是 k 和无穷大，而它们在 s0 时都是 零 测集。不可数的点集，在 s=1 时的测度，既可能为 0 ，如康托集；也可能是正数，如有界区间；也可能是无穷大，如整条直线；还可能没有定义，如不可测集。这也许能给予古老的点与线段长度关系问题，更多一点的认识。 （待续） 【扩展阅读】 维基百科，测度 http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%B5%8B%E5%BA%A6 Wikipedia ， Banach–Tarskiparadox http://en.wikipedia.org/wiki/Banach%E2%80%93Tarski_paradox Wikipedia ， Hausdorffmeasure http://en.wikipedia.org/wiki/Hausdorff_measure 维基百科，维塔利集合 http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%BB%B4%E5%A1%94%E5%88%A9%E9%9B%86%E5%90%88

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【请教】曼德博走错一步？

热度 9 lix 2014-10-20 22:42

在小邪 ： Mandelbrot ：美丽的分形 中，高度赞美了曼德博开拓分形学的贡献，同感。但是，小邪并没有回答为什么现在分形热已经过去，玩分形的人越来越少（见评论 6 ）。 有一种看法是，曼德博在追求数学界主流的认可的过程中，逐步放弃了他最初对自然图案的破碎性（ fractal 本义）这一本质的强调，而代之以自相似性（主要特点，但适用尺度有限），从而使分形学的研究进入误区 － 虽然搞动漫的赚了不少。 请教小邪或其他对分形学有研究的专家，对这种看法，有何评论。

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答网友问：历史与分形

热度 7 lix 2014-5-5 23:22

问：中国历史可不可以用分形来分析？ 答：应该可以。文明的传播，空间上受交通、交流（含暴力）的影响，时间上，受短尺度借鉴、与长尺度遗忘的影响；都呈现自然界微结构与自相似的特征。我太忙，没法深入。您有时间，可以想想，写点东西。

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分形历史学：谁“敢于”成功？

bigdataage 2014-4-21 15:35

分形历史学：谁“敢于”成功？ 同人于野 对于未来为什么不可预测，索罗斯和Raynor有非常不同的看法。 Raynor认为，任何一个试图预测未来的模型都存在边界，你只能把你认为可能重要的因素考虑进去，而其他因素必须忽略。 如果什么因素都考虑，那么你的模型就是宇宙本身了。 然而那些被模型忽略了的因素却往往也会起到重要作用，在这种情况下所谓科学预测完全不好使。 Raynor举了很多商业上的例子，比如索尼的Betamax为什么输给VHS; Minidisc为什么从未占领日本以外的市场，以及索尼为什么没有及时推出iPod这样的mp3播放器。当你站在现在的角度去评价索尼当年的战略，完全 可以说索尼没有好好预测未来，居然连网络音乐必然取代光盘都没想到。然而如果你设身处地的站在索尼当年的角度，很可能会发现索尼的战略完全是合理的。 比如说mp3音乐。mp3之所以能够大行其道，最初本质上开始于家庭网络带宽的增加。你可能会说网络带宽增加是必然趋势，我1990年就知道了。可你 1999年的时候知道短短两三年之内家庭带宽就能达到广泛流传mp3的程度么？事实上美国家庭接入带宽的大幅增加完全是一个偶然事件。当时Dish Network 和DirectTV这样的卫星电视突然兴起，提供数量远远超过有线电视的电视频道。有线电视公司为了应对竞争，不得不大幅度升级了其网络。这一升级发现除 了可以增加电视频道之外还有富裕的带宽，于是才提供宽带互联网接入。然后电话公司不得不跟进，也提高了DSL的带宽。也就是说美国网络带宽的增加并不是由 于用户需求。事实上2000年前后除了少数人在大学用宽带之外，普通家庭用户没有从网上下载音乐的习惯。再加上mp3音乐的版权问题没有解决， 那个时候像苹果那样投入大量资金搞iPod是一种冒险行为 。 通过大量的统计分析，Raynor认为，那些真正取得巨大成功的公司， 与其说是成功预测了未来，不如说是赌赢了 。如果你统计市场上的各个公司，会发现成功的公司和平庸的公司之间存在一个本质区别， 那就是对既定战略的坚持 。平庸的公司 总是想去适应市场，想adaptive，市场上什么好卖，他们就卖什么。 而成功的公司则是认准了一条就坚定不移的去做，因为也只有这样，他们所发展出来的 战略优势才是别的公司没法短期学到的，只有有了这样的优势才能真正通吃市场。 比如说苹果一向都是做独特的漂亮的计算机，一向都是自己做操作系统，iPod一直到iPhone都不愿意跟别人兼容，产品永远都是一个风格。现在大家都说苹果这么做很牛，这就是苹果成功的秘诀。但是不要忘 了1980年代，1990年代，苹果一直都是这个风格，可是那时候的苹果是不成功的。说Jobs牛，可当年Jobs是被赶出苹果的啊。正确的认识是苹果一 直都在坚持它的战略，而这个战略有时候好使，有时候不好使，取决于当时的市场。 Raynor生动的说，苹果的表一直都是指向上午9点，以前这个表不准，现 在准了，这只不过因为现在正好是上午9点。 一个类似的例子是丰田汽车在美国市场上的成功。当年丰田之所以能在美国突然取得成功， 根本原因是石油输出国组织突然提高油价，导致美国消费者开始寻找节油车。而丰田由于其本身出自于日本市场，本来就擅长节油，所以一下子在美国成功了。那么 美国汽车公司应该怎么办呢？也学丰田开发省油车？你怎么跟人学，人家做了一辈子了！所以美国企业继续自己的战略，还是搞SUV之类的大车，等到油价回落， 还是美国公司的市场。当然现在的丰田已经什么都能做羽翼丰满，但当时的成功完全是战略“正好”合适的偶然结果。 问题是很多时候你 坚持的战略是错误的，所以本质上成功是赌赢了。Raynor指出， 绝大多数研究公司的统计数据都忽略了失败的公司，因为失败的公司已经从市场上消失了 ，所 以绝大多数人只是在比较成功的公司和平庸的公司。事实上， 如果你比较成功的公司和失败离场的公司，你会发现两者之间存在非常大的相似之处： 对既定战略的全 力以赴的投入。 赌赢了你就特别成功，赌输了你就彻底失败。所以说成功的反义词不是失败，而是平庸。 这就是Raynor说的 战略悖论：如果你不坚持一个既定战略，你必然平庸；如果你坚持了，你或者特别成功，或者特别失败。 索尼预测不了mp3市场，别的公司也预测不了未来。选择一个什 么战略去坚持，这一点特别重要。在学会怎么选择之前，首先要明白你本质上不可能有绝对把握。 当CEO不是我的业余爱好。可是Raynor这本书所描写的案例我读起来感到触目惊心。他提出了一系列的措施来更好的应对风险，但跟本文关系不大，就不详细说了。 我认为Raynor对风险的态度基本上是被动的。扬帆曾经说过一段非常有意思的话，他说巴菲特是等待机会，索罗斯是寻找机会，本拉登是制造机会。索罗斯其实也知道怎么制造机会。 Raynor尽管认为精确预测未来不可能，但他仍然相信可以用预测天气的方法去尝试预测未来。索罗斯则认为，社会科学跟天气完全是两码事。 原文： http://www.geekonomics10000.com/157

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分形历史学：天下大势与成功

bigdataage 2014-4-21 15:26

分形历史学：天下大势与成功 同人于野 本文介绍过去两年以来两个美国人对于历史和社会发展的一些最新思想，并继续探索分形历史学。 很多人认为历史按照某种可以事先知道 的规律运行，比如说从奴隶社会到封建社会到资本主义。就算这个规律有时候不精确，历史的前进也一定有一个方向，比如说科技应该越来越进步。我所听说过关于 历史发展规律的最极端学说不是黄宗羲定律，更不是马克思的科学社会主义，甚至也不是邵康杰的《皇极经世》，而是一本物理书。 这本 书的名字我不记得了，应该是当年《第一推动》丛书中的一本。有人看到这里可能猜想我要说的是机械历史理论。在量子力学被发现以前，人们认为假设我们可以知 道宇宙中每一个粒子的位置和速度，那么我们就可以比如说通过一台超级计算机来计算未来，因为说到底一个人不就是一堆原子么。那么既然未来都是确定了的，我 们还有”真正的”自由么？首先这个问题非常矫情充满了小资味道，其次量子力学出来以后这个问题就已经不存在了。我看的这本物理书则说了一个更酷的历史理论。 物理学中有个特别妙的东西叫做作用量。比如说你预测一个抛出去的小球的运动，你可以用最直观的牛顿力学解方程 F=ma，但这是中学生的玩法。物理学家的做法是比如你要研究小球，或者一个光子，从A点到B点（A, B可以是时间）怎么样运动，你可以定义一个作用量，比如说把拉格朗日量乘以时间，或者广义动量乘以广义坐标，沿路径做积分。当你抛出一个小球，你不知道它 会走什么样的路径，但你可以把所有可能的路径都计算一个作用量。而物理定律这时候说话了：真实发生的路径，也就是说小球真实的运行情况，是作用量取极值的那条路径。这个也叫做”最小作用量原理”。也就是说本来我们可以设想一个光子打出去有无穷多种路线可以走，但是光子最后选择的路线一定是使得作用量最小的 那一条。 每个物理系的学生都知道作用量，所有物理书都讲作用量。 但这本书提到，有人认为也许历史的发展存在一个作用量。 身处任何 一个历史时刻，我们总是觉得未来会有无穷多种可能性。这就好比说当你抛射一个小球的时候总会感到这个小球说不定会去哪里，它有无穷多种可能的路径。可是在 无穷多种路径之中小球总是选择作用量最小的一个路径！如果历史也有作用量呢？如果历史也总是向着某个作用量最小的方向前进呢？ 当我读到历史作用量，我脑海浮现了两个字：天意。为什么这么怪异的事也能发生，为什么那么应该发生的事却没有发生，天意？历史作用量？ 我曾经猜测，也许历史作用量是人类的进化速度，历史事件也许总是向着能让人类更快进化的方向发展。 天意太玄。也许天下大势才是一个更好的概念。比如说《三国演义》认为中国分久必合合久必分就是天下大势。再比如说未来互联网的发展一定是宽带越来越宽，也是天下大势。 “天下大势学派”认为历史发展的必然性大于偶然性，历史是偶然中的必然。但这一学派最大的本事是事后诸葛亮。日本人侵华失败了，这叫侵略必然失败，正义 必然战胜邪恶。 可是历史上无数次野蛮战胜文明怎么说？ 枪炮取代刀马是不是天下大势？那么是不是应该哪个民族更容易接受枪炮哪个民族在战争中有优势？可是为 什么后金建奴居然战胜了热衷先进技术的大明军队？原来这回是另一条天下大势起了作用：土地兼并和腐败就要挨打？ 所以”天下大势学 派”的第一个困难是只能解释过去，而无法预测未来 ，因为不知道这个大势什么时候起作用。比如说两岸统一当然是天下大势，等到哪天台湾真回归了，历史学家们 肯定会说你看我早就知道台湾必然统一，统一是天下大势嘛。问题是你早干什么去了？谁敢说2010年统一还是2030年统一？比如说朝鲜金正日政权太专制 了，他的失败当然也是天下大势。可是请问金家政权什么时候失败？如果我是一个外交官，我关心的是朝鲜未来四五年之内的稳定。如果我是一个从事中朝边境贸易 的小商人，我关心的可能是未来几个月朝鲜的局势。那么你的天下大势对我来说有什么用呢？ “天下大势学派”的第二个困难，也是根本 上的困难，就是有时候历史的发展对于天下大势的背离，甚至不是微扰不是noise，而是绝对的相反。 在中国唐朝和西方古罗马统治的数百年历史中，两个文明都很善于修路。假设有一个当时的历史学家看到这些路，一定会说路越修越好，技术含量越来越高是天下大势，将来人类修的路一定比现在好得多。可事实是中国一直到明朝，境内最好的路还是唐朝修的。欧洲一直到古罗马灭亡好几百年以后，境内最好的路还是古罗马修的！历史总在进步么？如果你说唐朝和古罗马”早熟”， 不要忘了两者都有好几百年的历史。真站在唐朝谁会认为这一切都是早熟？这一切都是暂时的？又有谁敢保证300年以后地球上的公路一定比现在的好？ 我以前认为一定要把握天下大势，而且天下大势是可以把握的。但过去一段时间读到的两本书使我彻底改变了这个想法。 这两本书都认为未来本质上是不可预测 的。 大量的事实证明，天下大势学说从本质上不可能预测未来，而且甚至不可能很好的解释过去。哪怕仅仅是IT业界十年以前的过去，有那么多报道那么多数据的 情况下，天下大势学说都解释不了。 Michael E. Raynor 2007年的商业畅销书《The Strategy Paradox》认为， 就算你把握了天下大势，你也不一定成功，因为你根本就不知道你想的那个天下大势什么时候起作用，甚至你根本就不可能真正把握天下大 势 。这本书研究公司战略，一出来就立即被很多商学院选为MBA必读书。其实大多数MBA看这书可能一辈子也用不上，因为这本书专门研究CEO应该怎么干。 另外一本书，2006年出版的《The Age of Fallibility》，则认为根本就不存在什么什么天下大势，根本不存在什么科学社会主义，甚至社会科学就根本不是科学。这本书的作者很牛，乔治索罗斯（George Soros）。很多人认为索罗斯是个金融投机家，我查到他的boom-bust模型被很多经济学论文引用。但其实索罗斯是个思想家，他的理论和黑客帝国电影引用的哲 学思想一样，直接推动现代西方哲学的进步。 原文： http://www.geekonomics10000.com/155

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分形历史学

热度 1 bigdataage 2014-4-21 15:01

分形历史学 同人于野 本文试图探索用数学方法研究历史。 中国古代知识分子，包括现在的国产文人，喜欢用特别简单的结论来解释朝代兴亡。比如”得道多助， 失道寡助”说，”荒淫无道说”，”得人心者得天下”说。这些说法当然完全站不住脚。康熙好色，乾隆朝贪污腐败，国家没有亡；崇祯勤政而节俭，国家反而每况 愈下；建奴和蒙古人从来没得过人心，居然也得了天下。如果实在无法用君王品质解释，文人们干脆祭出”气数”说。 西方学者对君主个人品质和气数兴趣都不大， 更侧重于人口，自然环境，甚至气候变化对朝代兴亡的影响。 【参考文献：本人写的 《制度问题，素质问题，还是天气问题》 】。 其实如 果我们仔细考察历史，其实很多历史上的重大变化都不是由于一个或者几个简单原因导致，而是由一系列大小事件综合作用的结果。比如明朝灭亡，至少需要五个必要条件：1.小冰河气候，2.东林党争，3.皇太极有才，而且运气实在太好，4.一系列投降事件，5.北京城流行鼠疫。熟悉明史的人很可能还会再加上几 条。这里的要点是缺少其中任何一个条件，明朝都不至于被满清取代，这些事件必须共同起作用。英文有个新词叫做 “完美风暴”（perfect storm） ，说的就是这个意思。 也就是说每一个孤立事件都 不至于影响大局，然而碰巧这些事件都发生了，导致一个极小概率的大变化。 历史很可能是一系列的偶然事件的结果。一个例子是拿破仑滑铁卢战败。有个网上流传的说法： 滑铁卢一役，一代英豪拿破仑居然会输给能力平平的惠灵顿，确实让人感到不可思议。但其实拿破仑根本就没有亲临现场指挥这场战斗。拿破仑没有亲临现场是因 为他在自己的帐篷里休息，他在自己帐篷里休息的原因是他要吸食鸦片，他吸食鸦片的原因是他要止痛，他疼痛难忍 的原因是他痔疮恶化，他痔疮恶化的原因是他穿紧身裤，而他穿紧身裤的原因是当时整个巴黎都在流行穿紧身裤。 当然这个是笑话。在 真实历史中拿破仑直接指挥了滑铁卢战役，而且我看的书里也没说他患有痔疮。不过滑铁卢战败的确是拿破仑和其手下的一系列错误导致 的完美风暴：拿破仑不应该分兵，更不应该让庸才格鲁希指挥分出去的部队，格鲁希不应该在关键时刻犹豫不决，而且老天也不应该在那个时候下大雨，等等等等。 如果进一步考察为什么这些小事件能够发生，其中背后可能又有一系列的小小事件，也许会发现每一个小事件本身也是一场完美风暴。比如我们如果考问洪承畴为 什么投降，范文程为什么甘心当汉奸，再到东林党为什么就没有于谦这样的人物，其背后很可能有和明朝灭亡本身一样复杂的原因。 那么现在如果我们问明朝到底为什么会灭亡，这个问题还有什么意义么？如果答案仅仅是”复杂”这两个字，那么我还有第二个问题：明朝灭亡和宋朝灭亡和元朝灭亡，其原因 的”小事件集合”，是相似的么？这些事件集合是完全随机选取的么？ 一个和”明朝为什么灭亡”类似的问题是，当然你肯定猜到了，英国的海岸线有多长。海岸线是一个特别复杂的结构，它的长度取决于你用什么样的尺子去测量。 具体情形，分形的科普文章到处都是，我就不必多说【 http://en.wikipedia.org/wiki/How_Long_Is_the_Coast_of_Britain%3F_Statistical_Self-Similarity_and_Fractional_Dimension 】。 测量出来的海岸线长度L，和所用尺子的长度G，之间有一个简单数学关系：L(G)=MG^(1-D). 其中M是一个常数，而D称为海岸线这个分形结构的”维数”，它 的值在1和2之间。下面这张图来自 Mandelbrot 1976年发表在Science 上 的里程碑文章【 http://www.sciencemag.org/cgi/content/abstract/156/3775/636 】，他给出了 几个地区的海岸线的维数： 我需要特别强调的是这么几点： - 这个双对数图上面的海岸线测量变化曲线是几条吻合的相当好的直线，而这个简单数学关系绝对不是从直觉上就对的。如果你用不同的尺子去测量杂乱无章随便乱画 的曲线，再看看测出的结果，最大的可能性是两者之间根本没有这么整洁的数学关系。这种关系之所以能够存在，是因为海岸线的形状不是完全杂乱无章的。这种关 系说明海岸线具有自相似特性。也就是说你拿出一小段英国的海岸线，可能会发现它跟英国另外一小段海岸线的形状很相似。只有具备这种特性的海岸线才是分形， 才能计算维数。 - 不同国家的海岸线的维数并不相同，而这个维数跟海岸线的”长短”没什么关系。如果理解了分形表示自相似，那么这个结论就不会令人感到特别惊讶。 - 海岸线具有分形特征，这只是一个”经验主义 (empirical) “的数学性质，而绝非数学定理。 - 事实上并非所有国家的海岸线都能简单计算分形维数。这也很容易想明白：我们已经知道不同国家的海岸线维数不同，那么假设我们人为制造一条新的海岸线，其形 状是英国海岸线和澳大利亚海岸线的拼接，显然这个新的海岸线就没法算维数，因为英国和澳大利亚的维数不同。2002年有一篇论文，说一个叫做Nanji的 小岛的海岸线其实是由六种不同维数的海岸线拼接而成的。【 http://ieeexplore.ieee.org/Xplore/login.jsp?url=/iel5/7969/22041 /01027211.pdf?arnumber=1027211】 - 既然如此，那么为什么英国就那么凑巧，正好是一个单一维数的海岸线？。。。海岸线的分性特征根本就不是数学定理。 我认为历史事件也具有自相似，即分形特征。比如中国从汉朝以来大一统的两千多年历史，就有明显的轮回特性。每个朝代的开始和结束，从最大的视野去看，给人感觉差不多。甚至有人比较了汉朝初年和共和国初年的历史事件，也发现不少相似之处。 一个大的历史进程中的各个小事件也具有相似的特性。比如满清入关这个大事件的历史时期，投降和杀戮可能就是时代的主题。再比如说解放军打国民党，大局上是以弱胜强，而其中具体到每一个小战斗，也经常具有以弱胜强 的特征。 这种自相似特性其实还有一个可能的应用，这就是《梅花易数》。《梅花易数》一类 的书进行算卦的理论基础就是如果你正在经历什么自身相关的大事件，这个大事件可以用《易经》中的一个卦象来表示（注意这很有数学味道）。而这时候你 的一举手一投足，甚至抽中什么签，扔出去铜钱的排列组合，也都必然符合这同一个卦象。 既然历史事件具有自相似性，那么就应该可以 用分形办法来研究。现在我们可以回答前面提出的问题了。明朝灭亡和宋朝灭亡一样么？当然不一样。这就好比说英国 的海岸线和澳大利亚的海岸线维数不同一样。一个大事件，比如明朝灭亡，也很可能像诡异的Nanji岛一样，由不同维数的几个大事件拼接而成。 假设我们可以创造一个数学方法来量化计算历史事件的维数， 那么不同大小 的维数代表什么呢？我认为代表事件的复杂度。维数越高就越复杂 ，比如最简单的直线，维数是1. 这样一来分形历史学就找到一个应用：比如说可以用事件 的维数来给电影和电视剧分级。真正的商业片，比如《变形金刚》，维数都很低，主要让观众看完过瘾。而某些文艺片 的维数就很高，导致很多人没看懂。试想如果电影海报上有 “Rated R. 1.25D” 的标记，是不是能让观众多一点选择呢？比如一部PG-13的电影如果维数只有1.1，那么基本上就是要情节没情节要暴力没暴力，干脆不必看了。 分形历史学的最大难点很可能并不是怎么量化计算事件，而是怎么给事件清楚的分类，也就是说分形结构的形状。通过一点调查研究，我可以负责任的告诉大家，怎么给事件分类，比如说怎么给所有的笑话分类，是人类目前还做不到的事情。 原文： http://www.geekonomics10000.com/153

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请教徐晓老师：流形与分形

热度 15 lix 2014-4-20 19:48

徐晓 光速（ 4 ）：光行差（上） 扯到了《正气歌》： “天地有正气，杂然赋流形。下则为河岳，上则为日星”。 这里，“流形”二字何解？徐晓老师当然也“杂然”讲了一下，但是，比如说吧：从前有座山（五台），山上有座庙（南山寺），庙前有个照壁，中间刻了 48 个字： “当初以来，混元一气。天地回覆，日月光明。分形变化，大道虚空。。。。” 这里的“分形变化”和“杂然流形”，有没有传承关系？

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回答李老师的提问：分形的地理应用，及与遥感尺度的相关思考

热度 1 chenhuansheng 2013-12-12 14:07

我曾偶然间对分形概念作了一点思考，并把自己的不解写到博客里面（ http://bbs.sciencenet.cn/home.php?mod=spaceuid=573320do=blogid=742543）。 没想到李小文老师专门就此展开讨论（ http://bbs.sciencenet.cn/blog-2984-743175.html）。 并引来很多博友关注。 我曾设想，分形能否用于遥感研究的尺度转换呢？这两天恰好因为其他的问题涉及到了分形，顺便看了一点相关的中文文献。 有以下初步印象： 1、分形特征在地理现象中是普遍存在的；所以基于分形思维研究地理现象是可行的。 2、但是用于遥感的尺度扩展，看问题的角度不同，能否应用还不好说。 中文关于分形的地理学应用，北大的陈彦光做了大量的工作。通过相关文献了解到： 地理现象的分形特征，反映的是地理现象自身空间分布特征；或者说随空间位置改变变化而出现的逐渐变化趋势。 地理学中考虑和解释人文地理现象时，常常引用中心地理论。比如以城市中心点为核心点起算，则随着距离这个中心点越远，建筑密度、交通密度、经济水平通常逐渐下降。这种下降的趋势可以用分形的维数来刻画。 我们知道以某一点为圆心，距离为半径，随着距离增大，形成的圆面积越大。面积与距离（半径）的2次方正比。这时候，原面积的逐渐变化维数为2。 但是在远离城市中心点的过程中，城市建筑密度、交通密度不随圆面积同等强度地增大，所以他们的维数不是整数的2或者1。所以也称分维数或分维值。 分维值的求算，涉及到幂函数向对数函数转化、进一步向线性函数转化。在此不再赘述。 国外大城市建成面积随着距离中心点的变化维数呈现一个规律：趋近于1.7（陈彦光，2001）。但是不同城市在不同时期，这个值可能不同。比如巴黎在1960年为1.862。北京1981年达1.93。 就城市建成面积而言，分维值越大（越接近于2），则在远离城市中心的空间过程中，城市建设密度变化小，也就是城市外围与城市中心部位的建筑密度接近。这实际意味着城市发展存在见缝插针、摊大饼式的特征；相反，当这个值趋近于1时，则城市有市中心向城市边沿的空间过程中，建筑密度迅速下降。可能存在用地不经济、粗放型扩张的情形。 类似的研究也已经成功用于交通网络。 上述例子说明，分形关键在于刻画地理现象在空间中逐渐过渡的变化特征。如果不具备这种逐渐过渡，而是跳跃性的发展或者突变，则不具备分形特征。 换句话说，分形方法能否用得上，关键是地理现象自身是否具有分形特征；这种特征独立于数据的采集方式；这种特征也与研究对象自身特点有关。 有的城市建筑密度变化是有分形特征的，有的城市则没有。 接下来考虑遥感尺度转换的问题。 目前遥感还是一种监测手段。遥感在记录地面特征时，数据自身是否具有分形特征，还不知道。 可以考虑这样一个实验：给定一个足够大的、空间异质化程度较高的区域。用不同空间分辨率的遥感数据来记录或者提取地面的特征值，比如植被覆盖度。5米、10米、15、20米、25米、30米……等不同分辨率数据提取的空间各处的植被覆盖度，是否具有分形特征呢？ 如果有，分维值是多少？ 在别处的应用呢？ 这种分形特征是否具有普遍性？ 如果有普遍性，可以考虑作为一个尺度转换的方法；否则就不行。

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控制树状分形网络上的运输效率

Fudanzhangzz 2013-12-11 19:55

控制树状分形网络上的运输效率 吴斌 章忠志 摘要 ：陷阱问题是众多其它动力学过程中的一个基本机制，有效地控制陷阱过程（尤其是陷阱效率或运输效率）是复杂系统上陷阱问题研究的一个中心课题。因此，研究陷阱问题的控制方法具有重要的理论意义与实际价值。本文提出了一类有向分形网络，研究了该类网络上的陷阱问题，集中研究了陷阱点固定在中心节点这一特殊情形。所提出的有向分形网络可以从之前的无向分形网络按如下方式扩展得到：将原来无向网络的每边条看作具有不同边权的两条有向边，每条有向边的权值通过单个参数控制。根据该有向分形网络的自相似结构，利用重正化群技术，得到了与陷阱过程有关矩阵的所有特征值及其重数，其中特征值是通过一个精确的递推关系式给出的。通过所得的关于特征值的递推关系，计算了最小特征值和平均陷阱时间（ ATT ）的表达式。这里的 ATT 是指游走者首次到达陷阱点的期望时间，它是衡量陷阱效率的一个主要指标，近似等于最小特征值的倒数。结果表明： ATT 行为完全由权参数控制：通过调节边权参数， ATT 可以是系统规模的亚线性、线性、或超线性函数。本项研究为控制分形网络上的运输效率提供了一种的有效方法。 相关结果已在 The Journal of Chemical Physics 上正式发表。 文章发表的 PDF 版本： Controlling the efficiency of trapping in treelike fractals.pdf

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“自相似性”可否用于尺度推演？

热度 1 chenhuansheng 2013-11-20 20:42

遥感科学的科学问题是什么？李小文老师说，尺度问题就是一个当前的重点。 其实除了遥感，地理学很多学科分支都涉及到尺度问题。有些研究，虽然没有明确说明，但都是在一定默认的空间尺度上开展的。只是时间久了，这种“默认”变成了沉默，让我们这种新来的人可能不明就里。 前两天写一点关于分形的想法，其实我对于分形至今没有搞懂其含义，更不用说其涉及到的什么维数、非整数维数了。 但是“自相似特征”，我倒觉得遥感研究者们需要注意。如果存在”有限尺度范围内的自相似性”，那么遥感以及其他地理规律的有限尺度推衍、尺度转化应该是可以实现的。 具体表达如下： 1 、基于我抄书看来的分形的概念“ 在很宽的尺度范围内，无特征尺度却有自相似性和自放射性的一种现象”。 我想，自然界可能不太能够找到任意尺度（空间尺度）下都自相似的现象。但是不是可以找到有限尺度范围类自相似的现象呢？如果找到了，那么在存在自相似的这个空间尺度范围内，不同尺度下观测得到的规律和现象是可以在其他尺度上适用的。这，是不是有限地解决的尺度推衍的问题呢？ 2 、要确定上述的这个空间尺度范围，实际上是在于确定自相似性失效的界限。找到这些界限，对于尺度推演是很重要的。 3 、我是否可以大胆猜测：有限尺度范围内存在自相似性。那么自相似性随尺度的变化，是不是有点象分段函数，每一段为一个线性函数？ 4 、举个不恰当的例子：当建成区面积在 10km 2 ~50km 2 范围内时，发现城市建成区面积 S 与周长 L 存在特定的函数关系 L=f 1 (S) ；也就是说一群面积在 20km 2 左右的城市经过统计得出的 S 与 L 的互变规律，在其他大小的城市上普遍适用。我是否可以理解这就是 有限范围内的自相似性 ？ 而在现实世界中，是否存在一个分段函数，使得 50km 2 ~100km 2 ， 100km 2 ~500km 2 ， 500km 2 ~1000km 2 范围内，分别有不同的 S 与 L 的对应法则？ 5、我想起了以前看到过的一些文章，说利用跨遥感平台进行地表特征研究。这时候感觉背后发凉。遥感上常用的一种方式，就是用高空间分辨率的数据对低空间分辨率数据的处理结果进行检验、验证。在我们还没有解决尺度推演的问题的时候，这个方法已经成为遥感同行们默认的思路。这其中其实也涉及到尺度推演的问题，这种实际的推演，是依赖于人脑总结和概括，从小尺度向大尺度推演。是经验的干活。 但是这个是不是冒着什么风险呢？

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[转载]大自然分形之美

Fangjinqin 2013-10-7 09:38

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音乐美术中的分形艺术

热度 3 ChinaAbel 2013-8-5 19:13

以前接触到与关分形有关的最多的是分形图片，今天才知道分形在音乐中也有应用。特地查了一些资料，贴出来供大家欣赏。主要来自网络。 分形诞生在以多种概念和方法相互冲击和融合为特征的当代。分形混沌之旋风，横扫数学、理化、生物、大气、海洋以至社会学科，音乐美术等也产生了影响。 音乐部分 ： Daniel Levitin 教授是一位脑神经科学家，同时也是一个音乐家。他率领的研究团队最近发现，音乐的节奏中也存在着分形结构，且节奏中的分形模式，可以用来区分不同的音乐流派和作曲风格。 声音，纷繁多变。有时被称为乐音，有时被称为噪音，其区分标准一般在于，是否能够给收听者带来身心愉悦的感受，是否具有一定的艺术性。然而这样宽泛的概念，是不是也能用数学量化的标准予以清晰地呈现呢？ 来看看下面这些用图像来呈现音乐的尝试 ： 早已有研究表明，美妙的音乐篇章，尤其是古典音乐和交响乐中，蕴含着许多奇妙的分形艺术。首先，我们来介绍一下，白噪声、红噪声和粉红噪声，由此引出 “音乐中的分形” 这一概念。 乐音中的分形 白噪声 白噪声（white noise）是功率谱密度在整个频域内均匀分布的声音类型。就像光学中的白光，是由所有频率的可见光混合得到的一样。理想的白噪音，就是把人耳能接收到的所有频率的声音同时发出。最为我们所熟悉的白噪声，就是在收听广播时候，在有节目的频段上所听到的电波声，还有磁带空白处的声音。类似于，沙沙沙，沙沙沙。这样的声音听起来，前后基本一致，可预测性最强，随机性最弱。 红噪声 与之对应，另外一个极端的声音现象是布朗噪声（brown noise），也叫做 “红噪声”。与物理中布朗运动的概念类似，这种声音的前后音程差，是微小的、随机的、无规律的变化。可以设想，就像是第一次见到钢琴的小孩子，他用一个手指在琴键上乱弹一通。这种声音毫无规律可循，也没有美感可言，随机性最强，可预测性最弱。 （图 1）从左到右边分别为：白噪声、红噪声（布朗噪声）、粉红噪声（1/f 噪声）；上排表示声波分布，下排表示在频域的分布情况。 就像世界上的诸多事物一样，美好的东西总是寻求一个平衡（balance）。那么，在可预测性和随机性之间，是不是也存在一个平衡的界限，对应着美妙的乐音呢？答案是肯定的。这就是 “1/f 噪声”（1/f noise），又称为 “粉红噪声”（pink noise）。 粉红噪声 从时间域的波形来看，粉红噪声的声波图像具有分形的结构。从频域—能量的角度分析，其能量从低频向高频不断衰减，曲线为 1/f，通常为每 8 度下降 3 分贝。最初的科学研究中，常利用 “1/f 噪声” 模拟出瀑布、刮风或是下雨，这种自然界中浑然天成的声音。对大量乐谱的分析也早已证实，多数犹如天籁之音的世界名曲，均属于粉红噪声。 节奏中的分形 上面所考虑的分形都是对于 “音高”（pitch）而言。近日，PNAS 上刊发了一篇文章，Daniel Levitin 教授率领的研究团队，对于音乐的 “节奏”（rhythm）进行了研究。他们发现，在诸多乐曲的节奏中，也蕴含着类似的分形结构 。 作者在论文开头写道： “音乐中有拍子，并且拍子出现的规律会有一定的重复性。我们通常无法预测下一个旋律的转折点会怎样演绎，但却能够在静静聆听的过程中，感觉到音乐的转折点何时将要到来。” 于是，可以猜测，在看似无迹可寻的韵律中，或许也有类似的分形结构。 （图 2）对贝多芬四重奏的乐段节选进行节奏分析，A 为乐谱，B 为 1/f 分布，C 为 1/f 的指数化处理，得到类似于正态分布的结果。 如上面（图 2）中的乐谱，可以看到乐曲中各音符之间的间隔并无规律可循。但是，如果从频域的角度来考虑，就会得到不一样的结果。通过对进一个世纪以来的大量音乐作品进行分析，研究人员发现，音符和休止出现的频率和持续的时间（temporal / rhythmic），也遵循 “1/f 分布”（1/f distribution）。而在频域上的 “1/f 分布”，对应在时间域上即为分形曲线。 节奏中的分形结构听起来或许有些抽象，但它却可以用来区分不同的音乐流派和作曲风格。 研究人员称，他们分析了不同的音乐流派及不同作曲者的大量作品，得到各自的 “1/f 分布”，再将其做进一步的指数化处理，可以得到一个类似于正态分布，有对应的均值和方差。结果发现，不同的 “均值” 对应着不同的音乐风格。大的 “均值” 对应着较强的可预测性，而均值较小则表明乐曲节奏较为平稳。 这与直观上的听觉体验基本一致。例如，滑稽音和诙谐曲的均值，比交响乐和抒情曲要大，表明其曲风多变，无章可循，从而营造出始料未及的艺术效果。同样，贝多芬、海顿和莫扎特同为一个时期的作曲家，但他们乐谱的分形特征却各不相同；而间隔了几个世纪的作品，比如蒙特威尔第和乔普林的乐谱，则呈现出类似的节奏模式。 （图 3）上下两组图片分别表示不同作曲家和不同音乐流派所对应的 “均值”。主要看 E 这一列，纵轴代表流派，横轴代表均值大小。均值越大，音乐节奏的可预测性就越大，反之预测性就越小。可见，作曲家中，贝多芬的可预测性最强，而莫扎特则是随机性很强；在不同的音乐流派中，交响乐的可预测性最强，而拉格泰姆调（Ragtime）的随机性最强。 从（图 3）中可以看出，莫扎特和乔普林作品的 “均值” 都比较低，风格也就类似； 贝多芬和维瓦尔第的 “均值” 都较高，其作品节奏变化也较为接近。这一结果表明，音乐节奏的分形变化，可能是植根于人类大脑中的作曲能力的基本属性。研究人员称，不同作曲家独特的风格特征，很可能是他们各自让节奏的分形发生变化的尝试。 根据这一结果，我们可以进一步大胆设想，开发出一套自动编曲的软件，先通过 “1/f分布” 曲线创作出对应节奏，再随机填入音符，是否一定能得到曼妙的乐章呢？ 不过，该路数的创作结果，一定与之前仅考虑音高上的创作出的 “分形音乐” 截然不同。至于孰优孰劣，当然要由听众来做评判。 顺便说一句，这位 Daniel Levitin 教授，不仅是一位音乐家，还是著名的脑神经科学家。他在其著作 “This is Your Brain on Music” 一书的开篇，就表明了自己对音乐和科学的热爱，并解释了自己为何要研究音乐与科学之间的联系。或许正是拥有这般对自己的兴趣，孜孜以求的钻研精神，才有可能发现隐藏在美好事物背后的那些神秘的魅力。 参考资料: ​ Tatiana Plakhova, CHAOS AND STRUCTURE Daniel J. Levitin, Parag Chordia and Vinod Minon: Musical rhythm spectra from Bach to Joplin obey a 1/f power law 图片来源: Tatiana Plakhova, via behance.net 文章题图: vi.sualize.us 美术部分： 分形的基本特征 分形艺术作品具有以下基本特征： 　　 一、自相似性 如果一个几何对象的某个局部放大后，与其整体相似，这种性质就叫做自相似性。 二、无限精细 任意小尺度下依然有精细的结构。随着图像的放大，不但不会丢失细节，相反会看到越来越精细的细节。 三、极不规则 很多有分形特征的事物不能用简单的几何图形去描述。 网上资料很多，这里直接给出一些链接吧 分形艺术 的图片 分形艺术 网 分形艺术 小组 非常漂亮的 分形艺术 图片 意大利女艺术家Chiara的 分形艺术 作品 分形艺术 软件Apophysis教程 （视频） 分形艺术 基本知识及作品欣赏 分形几何与 分形艺术 分形艺术 软件【Ultimate Fractal】 分形艺术 （视频讲解） 相关链接： 数学艺术作品 分形理论视频1 http://v.ku6.com/show/O9rLuErkuKZhcAsz.html?lb=1 2 http://v.ku6.com/show/1SYGXk98U672qCL3NzRwbg...html

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一次电与光的交叠

热度 4 zhongwei2284 2013-8-1 15:43

电，是危险而神秘的家伙；光，是希望的象征。早在百年之前他俩就已经有过美丽的结合, 它们共同丰富了我们的世界，给予了人们无尽的想象的空间，并带来了无数未知！ 当然，这里所说到的电并没有高压的危险，也无闪电的华丽；这里的光并没有太阳的辉煌，也没有萤火虫屁股上那星点的 charming 。但，它们真实存在过。 这是从一个本来不太有聊的实验项目开始的，说是不太有聊因为原来是做静电除尘的，方案早就备好，据说已经做了好几届了，所以，照前几次的测测数据就好了。但，我一哥们改了一下仪器，后来邀我入伙，在一场黑暗中，在放掉剩余静电的一瞬间，图中所示的管内产生了微弱的蓝光，并带有轻轻的震荡式的噼啪声——哦，空气被击穿了？管内则产生了如图的花样。出于惊奇，我们又重复了几次，但后来，由于一头扎进了分形理论的初步学习以及其他各种事物的干扰，实验并未取得多大进步，它止步了很久了。在此也只能展示几张图片与大伙一起分享一二。 有时候总要做些苦中作乐的事情，乐在其中才好！！ 对其中机理的形成，似乎还没看到让我觉得满意的解释，至少我觉得它还没有被完全用物理说清楚！也许，正如分形精髓之一的自相似性一样，需要创造一个无限嵌套的理论去解释它，自己也很模糊呢！ Who knows ？ （光与影的交叠在哪里？想象一下实验或许就该感受到！哦， no ，竟然还得想象一下！哈哈 ~~ ）

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程代展：玄机妙语话混沌

hutongfuture 2013-7-30 17:12

玄机妙语话混沌——《蝴蝶效应之谜：走近分形与混沌》序 程代展 ​自从 Lorenz 20世纪60年代偶尔由数值计算发现混沌吸引子以来, 混沌理论在许多领域中得到迅猛的发展.混沌以其千姿百态的分形与吸引子，以及难以捉摸的蝴蝶效应，令人感到一种缥缈虚幻的玄妙和一丝扑朔迷离的诡异。 “混沌理论”最早起源于物理学家的研究，但却不是正统物理学的范围，它当然也不是正统数学理论,它可算是在许多领域都能应用的边缘学科.每个学科的人都以不同的方式来理解它。搞生物的人用它分析生物体的结构和生命的进化；搞经济的人用它探索金融股市的规律；作数学的则更多地将它与非线性及微分方程稳定性理论等联系起来。这本书是从物理的角度开始， 应用通俗易懂的语言和娴熟的数学技巧剖析混沌的本质, 然后推而广之, 述及混沌在其它各学科的应用。 　　要写好一本通俗读物，有两点是很重要的：一是对该学科的深刻理解，没有这种理解就会把通俗读物混同幻想小说；二是文笔的生动流畅，否则会写成简版的教科书。张天蓉博士既有很深的学术造诣，又有入木三分的文笔，使得这本书既保持了科学的严谨性，令读者开卷有益，收获真知； 又能深入浅出、趣味盎然、引人入胜。 　　张博士系文革中大学毕业生，是我当年第一届科学院研究生院的同学，后来在美国德克萨斯州奥斯汀大学获物理学博士，与我经历相似。细读该书，为之感动，故不揣孤陋，以为序。 《蝴蝶效应之谜：走近分形与混沌》： http://book.douban.com/subject/24844888/

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饶毅：《蝴蝶效应之谜:走近分形与混沌》序

热度 3 hutongfuture 2013-7-24 21:55

科学可以很有趣 饶毅 虽然科学进入中国已几百年，但恐怕还很难说中国是一个普遍理解科学的国度。 如果科学真深入了中国文化，就难以解释为什么即使是今天，中国民众也还经常误读科学、甚至在极端少数人推动下，可以出现反科学的思潮。 由真正懂科学的人以中文介绍科学，有长期的必要。而能将科学栩栩如生地介绍给公众的作者，在中文世界还是凤毛麟角，本书的作者 张天蓉 就是其中之一。她的文笔也许有助于改善中国很多人只注重科学的功用而不欣赏科学的趣味的问题。 张天蓉是我国留美的物理博士。她念物理的时代，是我国青年对物理学趋之若鹜的时代。本来也喜欢物理、后来却念了医学再转生物的我，对此深有体会。 我自己喜欢科学，也喜欢了解其他学科，十几年来也写科学介绍，所以对张天蓉的科普更是由衷的佩服。张博士的文章，不仅把科学讲的很透彻，而且丰富多彩，引人入胜，是科学普及的极佳材料。 我希望不仅青少年，而且爱好科学、崇尚智力、推崇理性的成年人都成为张博士的读者。 如果您时间不够不能全面阅读，也不妨将这本书放在自己的书架上，也许不经意可以影响亲朋好友，也在中文世界推广了科学和理性。 《蝴蝶效应之谜：走近分形与混沌》： http://book.douban.com/subject/24844888/

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教育中的分形

热度 4 lvnaiji 2013-7-10 14:44

教育中的分形 吕乃基 听刘敏老师上课讲到“分形”，并以此来解释各级教育之间的关系，感到颇受启发。分形略知一二，用分形来理解教育则是首次听闻。因时间关系，刘敏老师未及展开。以下系自由发挥，错误部分由博主负责。 图中由下而上，幼儿园和小学告诉小孩世界是什么模样，把人群区分为好人坏人，在儿童如一张白纸的心灵上（人之初性不定）抹上最初的一笔。初中说，世界或许还要再复杂些。待到高中，世界又增加了不少细节，例如《复活》中的聂赫留朵夫，既是天使又是魔鬼，以及辛亥革命前前后后的偶发事件。 到了大学，发现历史是如此复杂，充满曲折甚至倒退，不知是进一步退两步，还是进两步退一步。现实世界更是形形色色，林林总总。越是高层次的教育，分形越多。 关键是，在教育的逐级推进中，受教育者自己在不知不觉之中也成为其中一员。研究生期间在了解更多细节之时，实际上也更多的参与其间，并与其他人的分形彼此耦合（参见 个人的时间与群体的时间 —— 再论科学网的时间维 ）。人与人的相遇和交往，先前只考虑到各人分岔（ 分岔的交汇与别离－人生感悟之三 系列）之间的交叉相遇；结合分形，看来在彼此相遇之时还有如各自的齿轮形状和旋转速度之间是否契合，是“硬碰硬”，还是“无缝对接”。随着迭代的继续，会接近于可导的曲线。（真的是越老越圆滑！不过科学网上了岁数的博主，包括在下，大多未曾修炼到这一层） 在中国的教育中还有众多“得分点”和“标准答案”，直到高中、大学，依然把真实和复杂的社会描绘得简单抽象，选择题非此即彼，或是一厢情愿，或是若干“不准”。在从小学到大学的教育中，不知会把受教育者塑造成何种类型。当他们带着“一厢情愿”和“不准”走向社会，面对社会中真实存在的分形，是否会感到迷茫和不知所措……

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《蝴蝶效应之谜:走近分形与混沌》一书

热度 12 tianrong1945 2013-7-10 07:57

本人所著《 蝴蝶效应之谜 : 走近分形与混沌 》一书近日已由清华大学出版社出版发行。目前正在各网店预售中。 该书是基于我的系列科普博文《走近混沌》而完成。在此首先感谢各网友对本人博文的热情关注和大力支持。 希望能得到网友们的继续支持，如果您有豆瓣账号，请到： 豆瓣： http://book.douban.com/subject/24844888/ 点击“想读”，并做评价，不胜感激！ 详情请见： http://blog.sciencenet.cn/forum.php/blog-797010-706451.html 本书简介： “蝴蝶效应”一词最早起始于上世纪六十年代，源至研究非线性效应的美国气象学家洛伦茨，它的原意指的是气象预报对初始条件的敏感性。初始值上很小的偏差，能导致结果偏离十万八千里！ 例如， 1998 年，太平洋上出现“厄尔尼诺”现象，气象学家们便说：这是大气运动引起的“蝴蝶效应”。好比是美国纽约的一只蝴蝶扇了扇翅膀，就可能在大气中引发一系列的连锁事件， 从而导致之后的某一天，中国上海将出现一场暴风雨！ 也许如此比喻有些哗众取宠、言过其辞？但无论如何，它击中了结果对初始值可以无比敏感的这点要害和精髓，因此，如今，各行各业的人都喜欢使用它。 蝴蝶效应一词还引发了众多文人作家无比的想象力，多次被用于科幻小说和电影中。 在这个原始的科学术语中，究竟隐藏着一些什么样的科学奥秘呢？它所涉及的学科领域有哪些？这些科学领域的历史、现状、和未来如何？其中活跃着哪些人物？他们为何造就了这个奇怪的术语？这儿所涉及的科学思想和概念，与我们的日常生活真有关系吗？这些概念在当今突飞猛进发展的高科技中有何应用？如何应用？ 从这些一个接一个的疑问出发，本书作者用讲故事的方式，带你轻松愉快地走近科技世界中最美妙神奇的一个角落，向你展示蝴蝶效应之奥秘 -- 分形和混沌理论，数学物理百花园中这两朵美丽的奇芭！ 网站预售： 豆瓣： http://book.douban.com/subject/24844888/ 当当： http://product.dangdang.com/product.aspx?product_id=23287697#ddclick?act=clickpos=23287697_0_1_qcat=key=%BA%FB%B5%FB%D0%A7%D3%A6%D6%AE%C3%D5qinfo=1_1_48pinfo=minfo=ninfo=custid=permid=20130708213929610594769940850868883ref=rcount=type=t=1373290790000 京东网： http://item.jd.com/11273880.html 亚马逊： http://www.amazon.cn/s/ref=nb_sb_noss/475-5559938-8569552?__mk_zh_CN=%E4%BA%9A%E9%A9%AC%E9%80%8A%E7%BD%91%E7%AB%99url=search-alias%3Dstripbooksfield-keywords=%E8%9D%B4%E8%9D%B6%E6%95%88%E5%BA%94%E4%B9%8B%E8%B0%9C%3A%E8%B5%B0%E8%BF%91%E5%88%86%E5%BD%A2%E4%B8%8E%E6%B7%B7%E6%B2%8C

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蝴蝶效应之谜:走近分形与混沌

热度 4 hutongfuture 2013-7-8 22:32

饶毅 教授、 程代展 教授共同作序， 张天蓉 老师著的《蝴蝶效应之谜：走近分形与混沌》终于出版面世！ 北京一只蝴蝶 拍了下翅膀，能引起加勒比海飓风吗？ 分形天使和混沌魔鬼将揭示操纵这一切的“看不见的手”。 “为什么世界这么美丽，因为我眼睛看到的都是分形”有学者这么说。 从漫长蜿蜒的海岸线，到人体大脑的结构，分形无处不在！在美得像天使一样的分形中人类有什么样的惊人发现？ 一棵马蹄钉跌倒一个王子，一个王子输掉了一场战争，一场战争失掉了一个王国，同时也改变了整个世界， 差之毫厘，失之千里。看似“风马牛不相及”的事物之间到底蕴涵着什么样的规律？ 《蝴蝶效应之谜：走近分形与混沌》从美妙动人的分形到神秘莫测的混沌，探究科学规律的内在之美，发现无序中之有序。 有人将分形和混沌理论誉为继相对论和量子力学之后的20世纪物理学的第三次革命。本书首先描述了各种分形的基础知识和特性，包括线性迭代产生的分形如分形龙、科和曲线等，以及非线性迭代产生的曼德勃罗集、朱利亚集等。通过这些例子，介绍了自相似性及分数维的概念。然后，遵循混沌现象发展的历史，通过讲述庞加莱的三体问题、洛伦茨的蝴蝶效应等等故事和趣闻，将读者带进神奇混沌理论的天地中。再进一步通过对一个简单混沌系统 -- 逻辑斯蒂映射的探讨，详细介绍分岔理论、稳定性、及费根鲍姆普适常数等概念。 本书后半部分，介绍了分形和混沌在各个领域的应用及前景、分形和混沌的关系、以及与分形混沌密切相关而发展起来的非线性科学。 俗话说： “ 授人以鱼不如授人以渔 ” ，作为科普书，介绍知识固然重要，传授科学研究之方法更为重要，本书极力体现这个宗旨。作者不仅介绍科学，还煞费苦心地重点介绍科学家作出重大发现时的思路历程，带领读者一起思考，从前人的经验教训中得到深刻启示，从而激发读者的好奇心和创造力。 一本老少皆宜、文理兼容的科普读物。图文并茂，用轻松有趣的语言，加之通俗生动的图解，来讲述深奥难懂的科学理论。为广大读者剥开理论的坚果，使不同领域的人士，都能领悟到数学及物理学的无穷魅力。 详情请移步豆瓣： http://book.douban.com/subject/24844888/ 如果您有豆瓣账号，请不吝点“想读”，并做评价，不胜感激！ 京东网： http://item.jd.com/11273880.html 当当网、亚马逊均有销售。

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一年前在集智的报告：《计算机、大脑、自然，谁更聪明？》

热度 1 xiaoda99 2013-4-28 11:32

发上一年前在集智作的报告，以及之前和jake的一些讨论。回过头来看，一年来对智能的探索虽然由于各种原因进展缓慢，但自己还是一直在一步步前行，前路也由模糊不清变得依稀可辨。 能量流和有序结构、尺度无关和分形、临界态、层次， 虽然当时对这些问题的认识很肤浅，但拿它们作为切入点现在看来没有错，而且已经有了更深的认识，会陆续发上来。 ------------------------------------------------------ 尺度——当今复杂系统中的一个最大谜团 分形 尺度 人工智能 jake 2011-11-15 10:03:36　 缘起：上周末xiaoda在集智俱乐部作的有关计算神经科学的报告：http://www.swarma.org/bs/viewforum.asp?id=17409。我个人以为这是参加“探索脑跑题阶段”以来听得最好的一次讲座了，非常对我的口味。 我现在不清楚的是，层次在计算机科学中的进展如何了？因为前几年就有多分辨率分析算法，小波变换就是一种在图像处理中运用最多的一种多分辨率分析工具。当我从物理的角度切入复杂系统研究的时候，尽收眼底的关键词就是：Scale, Scaling，后来发现物理学家对这个概念的认识起步很早。大概在20世纪初期，对湍流的研究中，Kolmogrov就开始用多尺度的概念来研究流体。后来60、70年代，在相变临界现象中，就会呈现出多尺度效应，尺度不变性和长程关联。甚至物理学家发明了一整套称之为重正化的方法，参见：http://www.swarma.org/bs/membership/viewelite.asp?id=15652user=jake，有趣的是，重正化方程不再是关于时间、空间的方程，而是关于尺度的方程！只可惜，在此之后，我没有看到更多有关尺度的新进展，除了一个看起来不太靠谱的尺度相对论以外，还有吴剑锋给我推荐的还没来得及看的《共形场论》以外。进入到复杂系统后，到处能看到标度现象，从分形到股票市场比比皆是。但是这些现象仅仅是唯象分析的多，没有什么更深刻的见解。我一直猜想会有这样一种物理学研究：类似经典统计力学，通过最大化某种熵，得到分形是一种最可能的解。（其实物理学家早已经常是这种思路了，参见：Tsallis等人的非可延展统计力学（http://oldweb.ct.infn.it/~cactus/researches/nonext-stat-mechanics.htm），通过最大化Renyi熵得到长尾分布，以及关于最优输运网络的研究（http://www.swarma.org/thesis/detail.asp?id=206），空间嵌入的最优化输运网络自然具备分形特征。）但是，总觉得这些理论、模型还不够给力（说实在我也说不清楚什么叫做给力的模型）。 听了你的报告我才知道，实际上计算机科学家也开始思考关于尺度不变性的东西，并且发明了这个多层次计算模型，只不过这个多层次模型现在看起来还有点粗糙，而且不知道它的效果怎么样。我非常赞同你的观点：自然界是分形的，所以人类大脑必然体现出多尺度的特征，但是这种多尺度特征隐藏得很深，可能并不简单地存在于物理层，而是存在于信息处理的逻辑层。进而，我们应该如何构造一个多尺度的计算模型来更快速、有效地解决自然的分形问题（例如分形图像识别、多层次语音识别）等问题才是更加激动人心的研究主题。 xiaoda99 2011-11-15 23:08:25 承蒙jake表扬:) 其实我原来没怎么接触过统计物理、复杂系统，对多尺度、分形、层次的形成等这些东西也没什么概念。直到最近才慢慢感受到这些是很本质的东西，很可能是解开大脑之谜的钥匙。 通过这次讲座，又进一步理清了思路：物理世界中，时空局部性、层次、尺度不变等是怎样一步步涌现出现的，这一过程又是怎样在大脑的进化中重演的？ 讲座结束后突然有一个想法： 时空局部性、层次、尺度不变性三者中，前两个更为本质，后一个是结果。也就是说，只要假设层次的存在和每一层次上的时空局部性，就必然导致尺度不变。我之所以这样想，是因为猜测时空局部性和层次都可以和某些基本物理定律对应。例如空间局部性可以和相互作用的局部性对应（万有引力和微观粒子的相互作用都是距离越近，作用越强），时间局部性可以和惯性定律对应。层次的形成还不知道和什么基本物理定律对应。 据我了解，统计物理和复杂系统的概念和方法在计算神经科学和机器学习领域还没得到太多关注。我讲的两个东西都属于非主流。计算神经科学里，一个比较偏物理的学派涉及到Ising model、最大熵等， 例如William Bialek和Ga?per Tka?ik这两个人的研究。我比较喜欢，但没有涉及到层次。机器学习里现在deep belief network等deep learning算法现在倒是比较热，但只是通过实证知道hierarchical比非hierarchical好，至于为什么好，很少有人从我们感受到的物理世界怎样由层次形成的角度思考。 jake 2011-11-16 13:10:17 难点是物理里根本就没有说层次这回事,层次是一种信息的概念,而不是物理概念.物理中只有标度,以及粗粒化(这涉及到层次,但是一种近似方法,而不是基本的物理量). 我觉得从计算科学角度研究多层次标度的方向是沿着图像处理问题出发,看如何把物理中有关多标度的熵甚至量子力学引进来,这是一个有可能成功应用的方向. 　另外还想问的是,虽然说你讲的人工智能未来这本书中的模型虽然看起来很好,但是否有很好的实际应用呢?为什么很多人说这种研究是民科?如果要深入研究层次这个问题,必须从具体的模型切入,人工智能的未来中的模型是不是一个好的切入点呢? 公开活动.pdf 公开活动2.pdf

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股市大海找混沌

热度 9 tianrong1945 2013-4-8 08:20

今天，几个好朋友一块儿吃中饭，饭桌上又聊起了分形和混沌。李四说：“在我过去的印象中，分形之父曼德勃罗是个物理学家，可我前几天才知道，曼德勃罗首先不是从物理中发现分形，而是从研究股票市场的数据开始，从而激发灵感而创立分形几何的。” 听到股票市场，张三一脸的苦瓜相，叹口气道：“唉，这股票市场太扑朔迷离、太无规可循了。去年一个朋友买股票赚了一倍，弄得我心里痒痒的，所以，我也试图买了一点股票，现在过去一年了，可是股市一直下降，我的那点小钱被套在里面，也不知道如何是好啊！如果混沌理论能预测未来的股市，那就好了……” 王二嘻嘻笑：“那你就不要指望混沌理论能救你啦，洛伦茨的气象系统，不就是因为是混沌系统，才得出不可预测的结论吗？我看股票市场比混沌还混沌，不可能预测的！” 林童眨眨眼睛，脑中突然闪出一个想法，便说：“那也不一定啊，混沌理论虽然取名为‘混沌’，却并不意味着完全的随机无序呀，不是说那是一种决定性的、有可能能控制的混沌吗？” 王二也立即反应过来了，对林童说：“你说得对呀，也许这才是那些经济学家们，还有股市专家们也来凑热闹，想在经济和金融领域探索混沌的目的啊……”王二又掉过头去，笑对张三调侃了几句：“不过，你那点芝麻小钱恐怕是没希望了，等到混沌理论能用来预测股市的那一天，你的芝麻恐怕早就输得精精光了！上次我哥也想买股票，被我劝住没买，现在他可感谢我啦……哼，我可不干那玩意儿，人得有自知之明，财迷心窍、炒股被套，那不是活该吗……” 王二侃得高兴，比手划脚，忘乎所以。沮丧的张三被他气得暗暗地吹胡子瞪眼差点要发作，坐在王二旁边的林零注意到了，赶快插嘴来转移话题：“别扯远了，快听李四给我们报告一下他的研究心得吧！曼德勃罗是如何从股市研究发现分形的呢？” 李四说，曼德勃罗在 2010 年，他去世三个月之前，接受 TED 的采访时，回忆了这段历史 【 1 】 。 图（ 1 ）标准普尔 20 年增长曲线 由于分形是边沿学科，既不属于物理学，也非数学的主流。因此，人们经常问曼德勃罗：“这一切是怎么开始的？ 是什么让你做起了这个奇怪的行当？”。曼德勃罗在 TED 演讲中风趣地说：“的确很奇怪，我实际上是从研究股市价格开始的，我发现金融价格增量的曲线不符合标准理论啊！” 如图（ 1 ）所示，蓝色曲线是标准普尔从 1985 年到 2005 年 20 年间的增长曲线。横坐标是年代，纵坐标则是每一年的平均价格增量。如果你处理真实的、所有股票每天的日价格增量数据，从而企图得到所需要的平均值时，你就会发现：一年 365 天的所有股票中，其中的日价格增量不是很稳定的，对一些个别股票，有尖峰存在。这些尖峰不多，比如说， 10 个左右吧。于是，你顺理成章地把这 10 个数据去掉，因为你认为它们造成的不连续性是有害的，况且，它们无关紧要，成不了大器，放在那儿碍眼。 然后，你如此处理每年的数据，都把不连续性最大的 10 个股票值除去。你认为你除去的是发生概率很小的部分，应该无伤大雅。但其实不然，从图（ 1 ）中就可以看出来，红色曲线就是 10 个股票值除去后所得的标准普尔曲线，它和蓝色曲线差别是很大的。 因此，曼德勃罗认为，这几个不连续的尖峰是不应该被忽视的。也许，那才是精髓，是问题的所在。如果您掌握了这些，您可能才真正掌握了市场价格。如今看来，藏在这些不连续数据之中的，可能就是分形天使和混沌魔鬼的身影了！ 于是，早在 1963 年，曼德勃罗研究棉花价格时 【 2 】 ，就开始用这种分形的观点来描述股票市场，当然，这个研究又反过来帮助他建立了分形几何。从传统金融学的观点，股票市场遵循有效市场和随机游走的规律。这两个因素使得收益率的概率近似于钟形的正态分布。而曼德勃罗的研究结果，却发现收益曲线并不符合正态分布，而是更接近于某种所谓‘稳定帕累托分布’。稳定帕累托分布是一种不连续的分形分布，因为所谓‘稳定’，就意味着其时间变化曲线具有类似分形标度不变的某种自相似性。 图（ 2 ）：意大 利 经济学家和社会学家维弗雷多•帕累托 帕累托分布是以 意大 利 经济学家和社会学家维弗雷多•帕累托（ 1848 – 1923 ）命名的，用来描述财富 在个人之间 的分配情况。当初，帕累托观察意大利的财富分配情况，发现 20% 的人占有了 80% 的社会财富，而 80% 的人只占有剩余的 20% 。比如说，如果总财富值是 100 万元，分配到 100 个人，那么，最后分配的结果会是：排在前面的第一个人，分得 50 万元；前面 4 个人，共分得 64 万元；前面 20 个人，共分得 80 万元；而其余的 80 个人，总共才分 20 万元。 这个后来被约瑟夫·朱兰和其他人概括为帕累托法则（也称之为 80/20 ）的现象，使得帕雷托百思而不得其解：个人和团体的行为是如何导致这个 80/20 法则的？分配的规律为什么不是多劳多得呢？为什么社会分配的结果不是 50/50 ，而正好是 80/20 ？之后，曼德勃罗用稳定帕累托分布来解释股市的肥尾尖峰现象，并且发现，这个 80/20 规律与分形和混沌的概念同出一 辙，背后隐藏着深奥的数学原理：它们都来源于动力系统的非线性特点 。遗憾的是，帕累托还没来得及知道物理学家们所研究的混沌理论就辞世了。 混沌理论有助于解释 80/20 法则。从混沌理论的观点， 50/50 的分配是一种不稳定的状态，正如蝴蝶效应，微小的偏离将会很快被放大。只要稍稍离开平衡态，就会向一边倾斜。有钱的人会愈来愈有钱，不一定是在于他们的能力，而是因为财富会产生财富。类似的道理，同样条件下诞生的、开始时差不多大小的一对异卵双胞胎，有可能因为基因的差异，出生时两者体力方面具有了稍微不同的优势和劣势，之后在成长的过程中，这个差异日积月累而被放大，长大后的个头和体型有可能会完全不同。 刚才的例子要说明的是，在传统认识中以为是平衡稳定的状态也许并不稳定，微小的偏差将导致系统沿着一条意想不到的方式演化。而破坏这种状态稳定性的根源，是基于系统的非线性。 传统的经济学和金融学，都是使用线性模型，再加上无规行走、布朗运动等随机行为。按照传统金融学的观点，股票市场符合与赌场类似的规律，基本上是由参与者竞争谋利的随机行为决定的，因而得出其概率近似于期望值为零的正态分布的结论。这意味着，无论交易者觉得自己有多聪明，从长远来看，他只能赚市场的平均回报率，或许还要因为交易的费用而亏损。从理论上就不可能存在‘稳定获利’的机会。但这是与股市多年来的实际数据不符合的。 也就是说，正态分布所描述的是一种平衡状态，它是在忽略了某些极端事件情形下得出的近似，这种极端事件被认为是极其罕见的。 金融界学者对收益率的正态分布描述， 1959 年作出第一个统计检验的，是海军实验室的物理学家奥斯本 (Osborne) 【 11 】 。曼德勃罗 1963 年观察棉花价格时也发现了宽尾尖峰现象。市场价格随着时间变动图中，有相当多的突然急升急降的剧烈变化，这些变化不容忽视，它们使得总的分布曲线不同于正态钟形曲线，也正是这个相对于正态分布的“尖峰”和“胖尾”，使得分布情形符合 80/20 的帕累托分布原则。金融经济学家尤金•法玛 【 3 】 在 1970 年推广了曼德勃罗的发现，他观察到收益率曲线的尾部比正态分布预言的更宽，而峰部比正态分布预言的更高，表现“尖峰胖尾”。之后，人们在对道•琼斯和 S ＆ P 、国库券等价格变化的研究中，也发现了同样的现象。这些研究提供了足够的证据，说明美国的股票市场及其他市场的收益率不是正态分布的。 从此以后，股市收益率究竟服从正态分布还是非正态分布，就成了金融理论一个难解的谜。相信正态分布的学者提倡被动投资，就是买了股票就放着不动，例如指数基金，不指望赚大钱，但是也不大赔，稳赚市场的平均回报率。问题是，正态分布理论忽视金融危机的可能性。 低估了危机下的金融风险。美国 2008 年的金融危机，让保守的退休基金会的资产也大幅缩水。相反，相信非正态分布的经济学家，高估了市场的金融风险，也低估了金融机构的资本缓冲。市场的实际情形并非如此，在美国历史上，像大萧条和 2008 年的金融危机，历史上并不多见。这就像瞎子摸像。正态分布派说大象像柱子那样稳，非正态分布派说大象像扇子那样不停摆动。实际呢？大象有时站着不动，有时焦躁不安。股市也是这样。 从非线性动力学的观点，金融世界更像一个正在演化的有机体。它并不仅仅是个别部分的总和，而是整体的、非线性的，处于一个不平衡的状态，平衡仅是一种稍纵即逝的幻象。 1982 和 1983 年，美国经济学家德依（ Day ， R ）发表两篇论文，在理论上把混沌模型引入经济学理论，但是没有经验证据的支持 【4，5】 。之后，以 1987 年 “ 黑色星期一 ” 为契机，混沌经济学形成了一股不小的研究热潮，使混沌经济学开始步入主流经济学的领地。再后来， 1985 年开始，巴雷特 (Barnett) 【6】 、陈平 (P. Chen) 【7】 、索耶斯 (Sayers) 【8】 、等人也都在各种市场经济数据中找到了混沌吸引子，但是，对经济混沌的政策含义，经济学家中有很大的分歧。 图（ 3 ）：经济学家陈平和他的导师普利戈金 “我有个问题……”张三打断了正讲得起劲的李四，“我们原来听过的具有混沌吸引子的系统，都是可以用微分方程来描述的系统，然后，在一定的条件下，这微分方程才得到了混沌解，这时相空间的轨道表现为奇异吸引子。可是，这个股票市场，有微分方程吗？” “问得好啊！我也想到差不多的问题：经济和金融中的数学模型是怎样的啊？”这次王二赶快顶了张三一次，像是要为刚才对张三的刻薄取笑而道歉似的。 林童也说：“我想，经济和金融中肯定也有数学模型，比如原来的那种得出钟形正态分布的所谓‘传统理论’，不就是用的一种线性数学模型吗。那么，如果采用非线性的模型来替代线性模型，在一定的情况下，不就可以产生出混沌，画出奇异吸引子了吗？” 李四认为不那么简单，金融市场太复杂了，影响的因素太多，不那么容易用一个简单的数学模型来描述。当然，林童说的也有道理，经济学家德依（ Day ）在 1983 年，就曾经根据生态繁衍遵循的逻辑斯蒂方程，来建立经济模型。 德依的逻辑斯蒂方程数学模型，对金融市场来说太简化了，现实中并不存在。人们更热衷于利用金融股票市场中，多年以来海量的数据积累，企图通过对这些数据的分析，以实证的方法，大海捞针，捞出那么几个混沌魔鬼来。 后来，陈平从货币指数中首先发现经济混沌，并找到了描写经济混沌的方程，发现经济混沌与交通流和神经元的混沌有共通之处。生物混沌和经济混沌的本质都是大群粒子的集合运动，与布朗运动理论中把股市中的人看成一个单粒子有本质区别。 李四又讲到另一个金融市场混沌理论研究方面的权威人士，埃德加· E ·彼得斯 【 10 】 。 埃德加· E ·彼得斯是美国一家著名投资基金的研究部负责人，该基金管理着 150 亿美元的资产。彼得斯既有丰富的投资实践经验，也有浓厚的经济学理论基础。他根据混沌理论，对金融市场数据作了大量的研究，并相继出版了《资本市场的混沌与秩序》、《分形市场分析》、和《复杂性，风险与金融市场》三本大作。这套金融混沌三部曲，探讨了混沌理论在金融领域中的应用，呈现了金融世界的非线性动力学本质，为重新认识资本市场开辟了全新的思路。 李四又说，王二和林童的说得对，从金融股票市场的大量数据看起来，它们的确比混沌还要混沌。但混沌理论中的混沌实际上是有一定规律的，在紊乱现象的背后，却隐藏着一个确定的逻辑，一个可知的非线性关系。而混沌经济学家们，就是想要从更为混乱的经济数据中，找出这种‘决定性的混沌’来，这样的话，也就找出了这种可知的非线性关系。那时候，不就有一定的可能性，在一定程度上来预测和调节股票市场了吗？ 金融和经济学中的混沌，是来源于系统本身内在的随机性，因此，外在干预的效果表现得十分有限。研究者还发现，宏观经济的混沌运动，与洛伦茨系统及逻辑斯蒂系统的混沌有所不同，混沌中叠加了一个（或多个）类似于周期的波动，波动周期平均为4到5年，这使得金融经济系统的时间序列具有很强的自相关性，频谱则不再是对所有频率都一视同仁的水平线，而是包含了更多的与此周期相对应的频率。换句话说，洛伦茨系统及逻辑斯蒂系统的混沌可看作是具有均匀频谱的‘白混沌’，而金融和经济学中的混沌却表现为一种‘色混沌’ 【 9】 。 证实了经济混沌（色混沌）的存在，不一定就能大大改进经济预测的能力，但是却可以大大改善市场的调控。对股市的研究发现，无论股价是大幅还是小幅涨落，整个股市和宏观经济的指数变动频率相当稳定，美国百余年来的经济周期长度在 2-10 年左右。大萧条和 2008 年的金融危机都有一个共同点，危机前都有长达十年左右的扩张期。这启发我们想到奥地利经济学家熊彼特的经济周期理论。熊彼特认为经济周期不是什么随机过程，而是生物钟那样的新陈代谢。健康的经济，必须维持正常的波动周期，要是再遇上互联网泡沫或房地产泡沫，政府就要下决心捅破泡沫，进行结构调整。不能等到疯狂的股市突然崩溃再去救市，那样社会代价太大。换言之，主张布朗运动的经济学家，都是自由市场的信徒，无论是正态分布，还是非正态分布，投资者和监管者都只能放任自流，而根据经济的色混沌理论，则有可能对市场进行适当的调控。 【 1 】 Video ， BenoitMandelbrot: “ Fractals and the art of roughness ” http://www.ted.com/talks/benoit_mandelbrot_fractals_the_art_of_roughness.html 【 2 】 MandeibrolB. “ Thevariation of certain speculative prices ”， - J. Business 36:394-419,1963, 【 3 】 EugeneF. Fama ，“ Mandelbrotand the Stable Paretian Hypothesis ”， The Journal of Business, Vol. 36,No. 4 (Oct., 1963), pp. 420-429 【 4 】 Day R.Irregular Growth Cycles . Am. Econ. Rev ,1982 ， (72):406 - 414. 【 5 】 Day R.The Emergence of Chaos From Classical Economic ， Growth . The Quarterly Journal of Econ , 1983 (54) : 201 -213. 【 6 】 Barnett,William A., and Ping Chen (1986), Economic Theory as a Generator ofMeasurable Attractors, Mondes en Developpement 14: 209-24. 【 7 】 P . chen, origin of division of labor and stochastic mechanism ofdifferentiation , european journal of operational research , vol . 30 ,no . 3 , pp . 246 – 250 ， 1987. 【 8 】 W. A.Brock and C. Sayers, Is the Business Cycles Characterized byDeterministic Chaos? ， Journal of Monetary Economics, 22,71-80 (1988). 【 9 】 PingChen ，“ ARandom-Walk or Color-Chaos on the Stock Market?- Time-Frequency Analysis ofSP Indexes ”， Studies in Nonlinear Dynamics Econometrics, 1(2),87-103 (1996) 。 【 10 】 Peters,Edgar E. Fractal Market Analysis: Applying Chaos Theory to Investment andEconomics. John Wiley and Sons, 1994 。 【 11 】 Osborne, M. F. M.Brownian Motion in the Stock Market, Operations Research, 7(2), 145-173 (1959). 上一篇：混沌电路 系列科普目录 下一篇：三生混沌

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鲜活的“动物” 永恒的模样

yangguanping 2013-3-17 16:47

鲜活的“动物” 永恒的模样 动物形数集三维形象是很美妙的，但静态图像的呆滞和信息不完整，看后总觉得还展现不充分。新近生成了它的动态视频文件，让其做 360 度旋转表演。再看，这家伙鲜活了。 细想想，这个模样不是人为设计的，而是客观存在的。虽然新近才发现，但它超世脱俗不受光阴约束，不随时间变化，应该算作永恒的。是永恒的东西那就事大了，可以与最古老的元始先祖比先后啦。按“先者可能影响后者”来推理，或许它对后者有作用。不过，地球生命出现之前就有这样的动物形，也没见得有单个地球生物很像它。倒是，宇宙生命诞生之前它也存在，或许别的星球有生物随它相。但也未必，客观现象没有那么简单。

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“傻”博士的初恋-7-简单和复杂

热度 8 tianrong1945 2012-12-21 05:43

第七章﹕简单和复杂 2001 年 3 月 X 日 星期六 今天晴空万里，上午与原来 MIT 的几个朋友去 PALO ALTO 的一个公园爬山。公园虽然不是很大，但山路曲曲弯弯的，一会儿往上，一会儿往下，转一圈也走了四、五个小时。这一阵子，好几个周末都是雨多晴少，每天窝在房子里，坐在计算机旁，难得有像今天这样的运动。尽管挺累的，但也玩得很高兴。回来洗个澡之后，舒舒服服地睡了一个好觉。 下午接到萨沙的电话，说他快从中国回来了，回来后要来我这里继续我们的工作，开始写关于“ Fractal （分形） ”的部分。 “ 分形 是一个非常有趣的数学课题，看看我 EMAIL 的文件你就会知道了。并且你将有大量的计算机程序可以写，计算机显示的分形图形非常漂亮”，萨沙在电话中说。看了他 Email 中的前几页，我就对这种叫“ 分形 ”的东西着了迷，恨不得萨沙马上回来，开始我们的新课题。 2001 年 3 月 X 日 星期六 又回到我的小屋。想继续写‘ 分形 ’，电话铃声却响了起来， “喂，安妮，对不起，打电话打扰你。”是公司的朋友罗德的声音：“你那天说，要告诉我，你那个公寓管理办公室的地址，我想去那儿看看有没有空房子。” 哦，罗德正在找房子，是我忘了给他地址，我答应立刻给他 EMAIL 过去。 罗德对我很好，平时的中午，我们经常一块儿出去吃饭。有时侯，也有别的人参加，但大多数时候是我和他两个人。 有一次，记得就是情人节后的第二天，我们去到一个墨西哥餐馆。通常我们的谈话都是很自在的，那天不知道为什么，罗德结结巴巴地说起了他对我的感觉： “安……安妮，我有一句话……，想…想对你说。我也不知道为什么，从…从你到公司的第一天，我就喜欢上了你，你看看……你……” 我感到有点突然，不知道该说什么好。其实，也并不突然，我早觉察出他的意思。突然的是我从来没有这样的经验，没有准备好如何回答他。另外，是否应该告诉他：还有一个萨沙？ 不知道为什么，当时我有意无意地在心里将他和萨沙作了一个比较：罗德来自中国杭州，个子不高，但有江南人的眉清目秀。平时话不多，却很幽默，总能逗我笑。而且，很懂教养和礼貌。我和他也挺谈得来，和他在一起觉得很高兴。然而，我又觉得他太一般了：物理系的博士毕业之后就改了行，在公司作一个普通的电子技术工程师，工作作得也很好，但是，是那种在这硅谷一抓就有一大把的人。萨沙呢，却很特别，也许就是萨沙那种与众不同的性格吸引了我。不过，和萨沙也还只是刚开始，还用不着挑明。所以，我那天就只好糊里糊涂、不置可否地搪塞了几句。 …… 又想将思路收回来看书，却突然看见沙发旁边两个大大的毛茸茸的玩具熊，是那天萨沙送来的。勾我想起了萨沙走之前的情景。一幕一幕，像放电影似的，不知道怎么回事，满脑子都是萨沙。坐到计算机前，思想也总开小差。也不知道他回来了没有？应该是今天到吧。也许到下午，他就会不预先打招呼地突然冒了出来，像经常发生的那样。萨沙一般五点钟之后才来，如果来的话，也还有四个多小时呢。于是我赶快又打起精神，集中精力，研究 ‘分形’的维数 问题。 2001 年 3 月 X 日 星期天 昨天下午，萨沙果然突然来了。刚一见面时，俩个人似乎还有点不自在，因为都不约而同地想起了情人节后那个星期六，想起了那恍恍惚惚的、宛如做梦似的、神秘的初吻。后来，也记不清楚是怎么回事了，我们不由自主地又重复了一遍那一幕激动人心的情景。只是，这次的感觉比较真实。我们互相拥抱着，亲吻着，还傻呼呼地互相用牙齿在对方脸上轻轻咬了一下，以确定不是在做梦。然后，我们满足地互相对望着笑了起来。 不知过了多久，萨沙突然说，老这样抱着不行，我们还得继续工作。于是，我给他看了上面那些，我根据他的笔记整理后写的东西。然后，他又开始给我讲课。开始我怎么也集中不了注意力，只是看着他讲课时那种认真而又有些呆的样子，感到挺好笑。将近二十天未见，也许是旅途劳累，他显得有些疲惫。我又想到刚才亲热的情形，心里又涌起一阵莫名的激动。 不过，听着听着，便被起初看来非常简单，但实际上变化多端的“分形”深深吸引住了。我想，萨沙说得不错，如果编几个程序，利用不同的色彩，将分形所变幻出的图形，在计算机屏幕上显示出来一定很美丽。 正当我想得出神时，不知什么时候，萨沙已停止了他的讲课。 我回过头一看，他竟歪着头坐在那儿睡着了。我想他可能的确太累了，就叫他回家去睡觉。他迷迷糊糊地回答，“过五分钟就走”。趁他熟睡之机，我第一次仔细地端详着他。萨沙在男的里面，应该是长得算英俊的：皮肤晰白，乌黑的头发微微卷曲，宽额头，高鼻梁，剑眉，薄薄的嘴唇，嘴角微微上翘，让人觉得他似乎总在微笑。虽说他都近三十了，脸上总现出孩子般的稚气。过了五分钟，我又推了推他，他含糊不清地说着“马上，马上”。接着又补充一句：“过五分钟叫醒我，还有事……”，但随即又进入了梦乡。 我靠在他的肩头，他也用胳膊紧紧抱着我。我心里巴不得时间就永远像这样静止下去。不过，我知道他的公司有事，不能耽误了，便不停地在耳边提醒他：“五分钟早就过啰！”。 大约过了一个多小时，萨沙的手机响了，他从梦中惊醒，弹簧一样从沙发上蹦起来，看了一下手机，说：“糟了，我还要去和投资者碰面”，拿起外套，便像子弹一样的冲了出去。 2001 年 3 月 X 日 星期四 几天来，一下班我就投入紧张的“战斗”，写出了好几个有关 “分形”的程序 。自己认为特别满意的是 “曼德勃罗素图形（ MANDELBROT SET ）” 。多么漂亮的图案！还可以放大，放大，再放大，每次都有一个迥然不同的图景，给你一个又一个意外的惊喜。它们看起来既简单又复杂。像是有规律，又似乎完全没有规律。有时候你会在放大的图象中看见放大前见过的类似图案，但又绝对不是简单的重复。它们看起来像一幅幅五彩缤纷、变幻莫测的风景。 我不由得又想起了萨沙。他对我来说也好像是这样。我好像既了解他又不了解他。我想他脑瓜子里也跟分形一样沟沟洼洼、曲曲弯弯。才会和分形一样，既简单又复杂。有时侯，他的作为颇像一个单纯的孩子。日常生活上的很多事情他都不知道，一般待人接物的常识他也似乎都不懂。然而，有时他又显得很复杂，尤其在科技方面。就像一本百科全书，无所不知，无所不晓。当然，我总的来说是喜欢他的。既喜欢他生活中的木呐和不拘小节，也喜欢他业务上的聪颖和精益求精。他的深沉、博学、言谈、气质，都令我想象无穷，佩服不已。我觉得他像一个谜，能给我无穷无尽想象的空间，不断带我到一个个新的变化多端的迷人世界。和他在一起，觉得生活变得更美好和充实，感到更多的幸福和温馨。 画谜和答案： 上一篇：情人节 目录 系列科普目录 下一篇： 太浩湖之旅

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《走近混沌》-27-初级细胞自动机

热度 7 tianrong1945 2012-11-26 06:54

第二十七章﹕初级细胞自动机 西方有句谚语：“在木匠眼里，月亮也是木头做的。” 古希腊哲学家泰勒斯说：万物之本是水。他的学生毕达哥拉斯说：万物之本是数。再后来又有赫拉克利特说：万物之本是火。中国哲学家孟子以心为万物之本。近代的哲学家有了物理知识，则说：万物之本是原子、电子等基本粒子。看来，哲学家们和木匠异曲同工，都希望把复杂的世界追根朔源到某一种简单的、自己理解了的东西。 如今这个计算机时代，有人宣称说：万物之本是计算。 这个人就是上世纪 80 年代后期开发著名的《数学》 Mathematica 符号运算软件的美国计算机科学家，史蒂芬·沃尔弗拉姆 ( Stephen Wolfram ) 。 实际上，沃尔弗拉姆并不是提出“万物之本是计算”的第一人。 MIT 计算机实验室前主任弗雷德金，早在上世纪 80 年代初就提出：“终极的实在不是粒子或力，而是根据计算规则变化的数据比特。”著名物理学家费曼在 1981 的一篇论文里也表达过类似的观点。 不过，沃尔夫勒姆沿着这条路走得更远。从古至今困扰人们的三个基本哲学问题：生命是什么？意识是什么？宇宙如何运转？按照沃尔夫勒姆在他的砖头级巨著“新科学”里的“计算等价原理”，生命、意识都从计算产生，宇宙就是一台‘细胞自动机’。 被人们称为天才的沃尔弗拉姆一九五九年生于伦敦，十五岁发表他的第一篇科学论文，二十岁获得美国加州理工学院的物理博士学位。之后，又荣获麦克阿瑟基金会的“天才”奖。当时，他将此奖项所获得的十二万五千美元的奖金全部用于了他感兴趣的基本粒子物理及宇宙学等方面的研究。 八十年代初期，即将离开加州理工学院，前往普林斯顿高等研究院进行研究的沃尔弗拉姆在一次研讨会上，初识了“细胞自动机”的理论，颇有一见钟情、相见恨晚的样子，一头扎进细胞自动机的研究之中。 沃尔弗拉姆在八十年代后期，因为开发了著名的《数学》符号运算软件而声名大振，且获得了商业上的成功。进入九十年代后，他便躲进小楼成一统，继续他所痴迷的细胞自动机工作，潜心著作一部“曠世之作”。直到 2002 年，沃尔弗拉姆奋战 10 年，经过无数次的敲键盘、移鼠标，终于产生出作者狂妄地自我宣称是“与牛顿发现的万有引力相媲美的科学金字塔”的巨著，名为：《一种新科学》。 在这部 1200 页的重量级著作中，沃尔弗拉姆将他所偏爱的一维自动细胞机中的“规则 110 ”的精神光大发扬，贯穿始终。根据书中的观点，各种各样的复杂自然现象，从弹子球、纸牌游戏到湍流现象；从树叶、贝壳、等生物图案的形成，到股票的涨落，实际上都受某种运算法则的支配，都可等价于“规则 110 ” 的细胞自动机。沃尔弗拉姆认为“如果让计算机反复地计算极其简单的运算法则，那么就可以使之发展成为异常复杂的模型，并可以解释自然界中的所有现象”，沃尔弗拉姆甚至更进一步地认为宇宙就是一个庞大的细胞自动机，而“支配宇宙的原理无非就是区区几行程序代码”。 《一种新科学》的出版在当时引起轰动，初版五万册在一星期之内销售一空，但是，学术界大多数专家们对此书的评价却不高。对沃尔弗拉姆傲慢自大、忽视前人的工作、自比牛顿的做法，更是嗤之以鼻，认为这是使用商业手段，对不熟悉细胞自动机的广大读者的一种误导。事实上，沃尔弗拉姆并未创立什么“新科学”，由冯·诺依曼提出的细胞自动机的理论，已有五十多年的历史，这个理论，以及基于复杂源于简单的道理的‘复杂性科学’，一直都是科学界的研究课题。 沃尔弗拉姆虽然言过其实，但他对细胞自动机的钟爱，对科学的执着，仍然令人佩服。况且，沃尔弗拉姆也不仅仅是空口说白话，而是用计算机进行了大量的论证和研究。比如，他认定了宇宙是个庞大的细胞自动机，但是有很多种不同的细胞自动机啊，宇宙到底是根据哪种细胞自动机运转的呢？ 我们在上一章中介绍过的康维的 生命游戏，只是众多二维细胞自动机中的一种，如果变换生存定律，可以创造出一大堆不同的生命游戏来。此外，除了二维的细胞自动机，还可以有一维、三维、甚至更多维的细胞自动机。那么，宇宙遵循的是哪一种呢？ 沃尔弗拉姆想，首先应该从最简单的一维细胞自动机开始研究。 像生命游戏那种二维细胞自动机，是将平面分成一个一个的格子。因此，一维细胞自动机就应该是将一维直线分成一截一截的线段。不过，为了表示得更为直观一些，我们用一条无限长的格点带来表示某个时刻的一维细胞空间，如图（ 27.1a ）所示。用格子的白色或黑色来表示每个细胞的生死两种状态。并且，只考虑最相邻的两个细胞，也就是与其相接的“左”、“右”两个邻居的影响。如此所构成的最简单的细胞自动机被称为初级细胞自动机。 图（ 27.1 ）：初级细胞自动机有 256 种 到底有多少种初级细胞自动机呢？一个细胞加上它的左右两个邻居，这三个细胞的生死状态（输入），决定了该细胞下一代（输出）的状态。因为三个细胞的状态共有八种不同的组合，因此，如图（ 27.1b ）所描述的，初级细胞自动机的输入有八种可能性。对每一种可能的输入，下一代的中间那个细胞都有‘生’或‘死’两种状态可选择。所以，总共可以组合成 2 8 =256 种不同的生存定律。也就是说，有 256 种不同的初级细胞自动机。 和我们介绍生命游戏一样，图（ 27.1b ）中用二进制的 0 （空格）代表‘死’， 1 （黑色格子）代表‘生’。首先，将输入可能的八种情况按照 111 、 110 、 101 、 100 、 011 、 010 、 001 、 000 的顺序从左至右排列起来，然后，八种输入所规定的输出状态形成一个八位的二进制数。将此二进制数转换成十进制，这个小于 256 的正整数便可用作初级细胞自动机的编码。例如，图（ 27.1c ）所示的输出状态可以用二进制数 00011110 表示，将其转换成十进制数之后，得到 2 4 +2 3 +2 2 +2 1 = 30 。我们便把这个生存定律代表的初级细胞自动机，称为‘规则 30 ’。 图（ 27.2 ）：初级细胞自动机‘规则 30 ’的时间演化图 初始时刻只有中间一个细胞为‘生’ Java program http://mokslasplius.lt/rizikos-fizika/en/wolframs-elementary-automatons 为了显示一维细胞自动机中，细胞状态不同瞬时的演化情况，我们将每一个相继时刻对应的的格点带附在上一时刻对应的的格点带下面。如图（ 27.2 ）所示，在 t0 时刻的格点带，是一条只有中间一个格点为‘黑’，其余格点均为‘白’的左右延伸的长带子。图中，垂直向下的方向表示时间的流逝。因为加了一个时间轴，所以，虽然是一维细胞自动机，而计算机屏幕显示出来的却是一个二维格点图。图（ 27.2 ）显示了规则 30 的演化，图（ 27.3 ）给出了更多其它规则的初级细胞自动机的演化图形。 图（ 27.3 ）：初级细胞自动机的时间演化图 图像来自 Wolfram ： http://mathworld.wolfram.com/ElementaryCellularAutomaton.html 在沃尔弗拉姆发表的一系列论文中，对一维细胞自动机的代数、几何、统计性质作了系统深入的研究和分类。他还特别对其中初级细胞自动机的“规则 30 ”和“规则 110 ”的有趣性质情有独钟。图（ 27.4 ）给出这两种规则对于随机初始值的时间演化图。“规则 30 ”之所以特别是因为它的“混沌”行为，例如我们可以考查中心细胞的状态随时间演化所得到的二进制序列： 1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 0, 0, 0, 1, ... ，可以证明，这是一个无穷不循环的伪随机序列。“规则 110 ”则更为有趣：在随机的初始条件下，却产生出好些看起来在一定程度上“有序”、但是又永不重复的图案。“规则 110 ”似乎揭示了无序中的有序，混沌之中包含着的丰富的内部结构，隐藏着更深层次的规律。沃尔弗拉姆的一个年轻助手库克后来（ 1994 年）证明，“规则 110 ”是等效于通用图灵机的。 图（ 27.4 ）：规则 30 和规则 110 如何理解一个初级细胞自动机“等效于通用图灵机”呢？从生物学的角度看，细胞自动机的每一次迭代变化表现为细胞的生生死死，而从计算机科学的角度，每次演化却可看作是完成了一次‘计算’。 查查计算机的历史，曾经使用过一条长长的穿孔纸带作为输入输出，这听起来和我们这儿每个离散时刻的格子带有些类似。格点带上细胞的黑白生死分布，就对应于计算机纸带上的（ 0/1 ）“符号串”。可以想象，如果我们有适当的编码方法，就能将任何数学问题，包括它的初值和算法，变成一列符号串，写到初始的第一条格子带上。然后，根据细胞自动机内定的变换规则，可以得到下一时刻的符号串，也就是说，完成了一次“计算”。依此类推，时间不断地前进，“计算”便一步一步地进行，直到所需要的结果。这个过程，的确与计算机的计算过程类似。 但是，并非所有规则的细胞自动机，都能等同于真正的计算机，还得看看它的智商如何？上面说过，我们有 256 种不同规则的细胞自动机，它们的智商高低不同，各具有不同的“计算”能力，。 例如，让我们考查一下图（ 27.3 ）所显示的 256 个初级细胞自动机中的几个特例： 1. 首先，象“规则 255 ”这样的，完全谈不上什么计算能力，连“识别”能力都没有，因为无论对什么“数”，经它“计算”一次之后，全部一抹‘黑’，这点从它的规则定义也可看出来；“规则 0 ”也一样，全部一抹‘白’。 2. 接着，我们再来看象“规则 90 ”那一类的，时间演化图有点象帕斯卡三角形的那种。这种情况的结果太规矩了，一个呆脑瓜，肯定计算能力有限，第一条的数据再复杂，犹如“对牛弹琴”一样。 3. 另外，象“规则 30 ”那样的，似乎较好一些，但逻辑杂乱无章，是个胡作非为、不听指挥的家伙。 4. 最后，唯有像“规则 110 ”这样的，计算能力才达到标准，被证明与通用图灵机是计算等效的。 ………… 林童看完了有关‘初级细胞自动机’的介绍，闭着眼睛遐思冥想。王二没错！月亮的确不是木头做的，我们的世界也不能单靠计算而算出来。但是，分形、混沌、以及非线性科学中的这些数学模型，以及计算机迭代的方法，对理解大自然还是很有用处的。林童想，科学真是太有趣、太迷人了！科学就像一座美丽宏大的花园，从分形和混沌这几支科苑奇葩，他似乎看到了满园的绿草如茵、花果飘香。林童想着想着，不知不觉地进入了梦乡，梦中，他倘佯在百花丛中…… （全文完） 上一篇：《走近混沌》-26-生命游戏-2 回到系列科普目录

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《走近混沌》-10-简单之美

热度 3 tianrong1945 2012-9-3 05:26

第十章﹕简单之美 尽管几个简单的线性自相似的经典分形的历史，最早可追溯到十九世纪后期。但对于分形的深入研究，诸如曼德勃罗图等，却是近四十年的事。这是与计算机的飞速发展分不开的。因为，先进快速的计算技术使得大量的迭代运算可以在更短的时间内完成。图象显示技术的发展为我们提供了探索分形复杂性的方便环境。没有现代的计算机技术，人们不可能欣赏到如此美丽的曼德勃罗图和朱利亚图。 “从艺术的角度，非线性迭代生成的分形图案的确很美。”李四说：“那种美给我们以视觉的享受，分形音乐则给我们以听觉的享受。但是，科学家们所欣赏的应该是另一种美……” “对呀！是这个世界所遵循的科学规律的内在之美。”王二抢着补充了几句： “你们还记得吧，用计算机生成的树叶图和蕨类植物叶子是如此之相像，还有树枝、脑血管、人体……这段时间我一直在想，世界上这些看起来千变万化的一切，恐怕都是由几条简单的生成规则演化出来的哦，就像张三在计算机程序中用一个简单方程进行迭代一样，细胞分裂又分裂，迭代又迭代，一代又一代……最后就成了我们世界中的各种生物体。啊，不只是生物，还有云彩、闪电、海岸线……几条简单规律产生了大自然的一切……” 看着王二浮想联翩的神态，张三笑了：“别想象得太远了！想我们力所能及的。你刚才说到的树叶图和蕨类叶子相像这点，使我想起最近看到的一篇文章，谈到将分形用在计算机图像压缩技术方面的事情。” 计算机技术使得我们能探索分形的复杂性，分形数学又反过来造福于计算机技术。科学和技术总是相辅相成，互相推波助澜。科学始于探索，技术立足于应用。探索能发现自然之美，应用则创造人工之巧。美之事物必能找到应用的途径，而新颖的技术构思又总是能反射出理论的光辉。分形之美与电脑显示技术之新成果息息相关，相照辉映。 当年，分形的研究之所以能在众多的学科范围内引起轰动，其原因之一便是：如此复杂的结构却产生于几条简单的变换规则。复杂是一种美，简单也是一种美。科学的宗旨之一可以说就是要用简单的规律来描述复杂的大自然。复杂的形态背后可能隐藏着简单的法则。 从分形的这种‘简单表示复杂’的特性，人们很自然地想到了将分形用于作为计算机中储存、压缩图形资料的一种方式。比如象曼德勃罗集那样复杂的图形，只不过是用一个简单的方程（ z = z*z + c ）就能表示出来。今天，我们的的文明社会正在大阔步地迈进一个数字信息时代。数字化之后的信息需要通过媒介来记录、传送、储存。使用传统的方法储存声音和图像，数据量非常大。因此，我们才有了所谓的图像压缩技术，就是要在保证一定质量的条件下，将储存的信息量减少，减到越少越好。 那么，有哪些传统的图像储存和压缩方法呢？ 在数字世界中，信息量的多少用所需要的比特数（ 0 或 1 ）来衡量。表达信息时所需要的比特数目越小越好。也就是说，最好能将信息“压缩 ” 一下。也叫做给信息“编码 ” 。比如说吧，为了要储存下图中的只有黑白颜色的科赫曲线，我们可以采取如下右边的文字说明中所列举的三种方法编码： 图（ 10.1 ）：用不同方法压缩图象的说明 第一种是最原始的方法，是将图形分成许多小格子（象素）。例如，我们可以将图 （ 10.1 ） 分成 256*640 个小格子，也就是共 163840 个象素。然后，需要将这些象素所具有的信息储存起来。因为图 （ 10.1 ） 只是黑白图形，每一个象素的信息不是 ‘ 黑 ’, 就是 ‘ 白 ’, 正好对应于比特的 ‘0’ 或 ‘1’ 。这意味着，一个象素需要一个比特来表示。因此，要用这种编码方法储存整个图形，需要的比特数就等于 163840 。第二种方法是将图形看作诺干点和线。上面的图中共有 256 条直线，经由 256 个点逐次连成。所以，只要储存这 256 个点的位置就可以了。因为每个点在图中的位置需要两个整数表示，而每个整数都需要 32 个比特来表示。因此，这第二种编码方法需要的比特数是 256*2*32=16384 。显然，第二种方法比第一种方法更经济合算，因为它将信息压缩了 10 倍。 如果我们把这个图形用它的分形的初始值及迭代函数来编码的话，就是上图中的第三种方法。使用第三种方法，需要储存的信息只包括 4 次线性变换迭代以及 2 个初始点位置。将这些数值换算成比特数，只需要 928 个比特就可以了。比较原始的 163840 比特而言，就等于信息被压缩了 100 倍以上。 有关分形技术用于图像压缩，张三谈起了他自己的经验：在储存曼德勃罗集图形时，如果存为（ BMP ）文件的话，文件的大小为 430*8 千比特，这种方法就相当于上面所说的第一种方法。而如果将它存为（ GIF ）文件的话，文件的大小仅为 30*8 千比特。也就是说，在这种情形下， gif 格式相对于 bmp 格式，信息压缩了 14.3 倍。 张三说：“可是 gif 格式也太大了啊，我用程序生成这个图形，存的信息不过是一个简单方程，几个系数，就像刚才的科赫曲线，最多几个千比特，就足够了呀。” 王二又兴奋起来：“对啦，生物体一定是把某种类似的、最优化的编码存到基因， DNA 里面了……大自然往往做得比人工更为精致和巧妙……” 李四却很感兴趣分形图像压缩，说是曾经做过用傅立叶变换压缩声音信号的问题，先和两位一起复习复习。 张三附合：“对，我们先不管图像信号，声音信号的处理更基本和简单一些。” 其实 , 不论是声音还是图像信号，最原始的信息都可看作是强度关于时间（或空间）的函数。如我们上面说到的，一个固定的黑白图像可用在每一个像素位置的光强度（ 0 或 1 ）表示，一个原始的声音信息则用在一系列的时间点测量的声音强度来表示。所以，最原始的储存方法就是：把声音的强度按不同时间点列成一个表储存起来，比如说，转换成电信号保存到磁带上。以后便可以将磁带上的数值读出来，再转换成声音信号。 这种储存声音的原始方法类似于刚才谈到图像编码的第一种方法。可以说是完整的储存方法，但它并不总是最好的，也不是最有效的方法。 声音的信号除了随时间而变的强弱之外，还有一个很重要的特点，就是它的频率。频率也是声波中给我们大脑更深刻印象的东西。学唱歌时首先不就是学“多来米法硕”吗，那描述的就是声音中不同的主频率。 刚说到“多来米法硕”，正好林零和一伙音乐系的女学生在旁边走过，听见这句话便好奇地站下来继续听。 既然频率在声音中是如此重要，人们自然想到储存声音应该储存它的频率。对啦，作曲家们就很聪明，他们将所作的曲子用乐谱的形式记下来，那不就是记录的频率吗？傅立叶变换呢，则是科学家工程师们所使用的乐谱，是由法国数学家在 1822 年创立的。比之音乐中的乐谱，傅立叶频谱有过之而无不及，它把声音信息中包含的所有频率分量都找了出来。这个过程听起来有点繁琐，似乎画蛇添足！不过，傅立叶变换在数学、物理、工程各方面都得到广泛应用，是信息处理中使用得最多的变换，被誉为信息处理技术上一个重要的里程碑。 储存频谱的优点是储存的信息量少。当我们按下电子琴的中心 C 按键时，电子琴发出一个‘多’的声音。将这个声音用强度时间表来储存，每 1 毫秒存一个强度值， 1 分中就需要存 60000 个实数，需用 3840 千比特。如果存它的频谱，暂时不考虑泛音的话，只需要存这个频率的数值和强度， 2 个实数就可以了，这不就等于是把信息量“压缩”了几千倍吗？即使考虑还得存泛音的数据，也可以达到几百倍的压缩率吧。 一个女孩有些迷惑不解：“一个‘多’弹一分钟，这么长啊？” 大家笑了起来，笑得女孩有些不好意思。可李四说，这个疑问问到了点子上哦！傅立叶变换只记下了频率信号，完全没有时间的信息，是不行的。它就像是用一把频率固定、但时间无限长的尺子来量东西，这把尺太长了！所以，在实际上使用的是如图（ 10.2 ）所示的‘窗口傅立叶变换’，把尺子按时间分成一段一段的。 图（ 10.2 ）对三段不同频率的正弦函数组成的图形的窗口傅立叶变换结果 林零很有悟性，对王二说：“这个窗口傅立叶变换的道理和音乐上的曲谱很像啊。既有时间，也有频率……但是……这些和你们谈论的分形又有什么关系呢？” 王二向她解释了一下刚才谈到的分形用于图像压缩之事。 刚才说到的是对声音信息的傅立叶变换处理。回到图像编码领域，原理也是类似的，只不过需要将时间用二维空间来代替。 对信号的傅立叶变换压缩，利用的是信号的频率特征。用分形的原理进行图像压缩，则是利用图形的自相似性。 分形图象压缩的方法（也称迭代函数系统 IFS 方法）是美国佐治亚理工学院的巴恩斯利教授首创的。但分形图像压缩技术至今仍然不够成熟。尽管目前已有商品化的计算机软件，但仍有许多问题尚待解决。分形图像压缩的解码速度很快，但编码速度慢，比较适合一次写入、多次读出的文档。 正是：“路漫漫其修远兮，吾将上下而求索。” 上一篇：《走近混沌》-9-分形音乐 回到系列科普目录 下一篇：《走近混沌》- 11-拉普拉斯妖

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《走近混沌》-8-朱利亚的故事

热度 6 tianrong1945 2012-8-29 06:16

第八章﹕朱利亚的故事 王二将曼德勃罗集的各个区域放大来放大去，却一直没有找到最开始张三给他们看的那个类似林零围巾的图案。后来还是林零提醒了他：“好像那个图不叫曼德勃罗集，叫个什么‘朱利亚集’……” 什么是朱利亚集呢？这次李四代替张三作介绍。 图（ 8.1 ）：左侧图是曼德勃罗集， 右侧是对应于曼德勃罗图形中（ x=0.379,y=0.184 ）处的朱利亚集 李四用鼠标在屏幕左边的曼德勃罗图形上随便点了一下，右边立刻出现了一个美丽的图形。李四告诉大家，这是对应于鼠标那个点的朱利亚集。然后，他将鼠标点击另外一个位置，右边的图形立刻变换了。鼠标每改变一个位置，图形就变换一个…… 换句话说，曼德勃罗图形上的每一个不同的点，对应一个不同的朱利亚集，朱利亚集和曼德勃罗集是有密切关系的，它们互为‘亲戚’。 那么，曼德勃罗图形上的每一个点是什么呢？这点我们在上一章已经解释过了，它代表迭代公式（ 7.1 ）中不同的 C 值。因此，给定一个 C ，就能产生一个朱利亚集。的确，朱利亚集是用与曼德勃罗集同样的非线性迭代方法（ 7.1 ）产生的： Z n+1 = Z n 2 + C 。 不同的是，产生曼德勃罗集时， Z 的初值固定在原点，用 C 的不同颜色来标识轨道的不同发散性；而产生朱利亚集时，我们则将 C 值固定，用 Z 的初始值 Z0 的颜色，来标识轨道的不同发散性。 尽管朱利亚和曼德勃罗的名字总是连在一起，但他们却是不同时代的人。朱利亚是法国数学家（ 1893-1978 ），比曼德勃罗要早上三十年。曼德勃罗直到 2010 年才去世。 两个人都活到 85 岁的高龄， 曼德勃罗被誉为分形之父，成就广为人知。然而，早在曼德勃罗尚未出世之前，朱利亚就已经详细地研究了一般有理函数朱利亚集合的迭代性质。并且，朱利亚的一生喜忧参半，特别是在青年时代，可谓饱尝痛苦和艰辛。 􀁚 考察历史，朱利亚可归于神童才子一类。他出生于阿尔及利亚， 8 岁时第一次进小学就直接入读 5 年级，很快便成为班上最优秀的学生。后来， 18 岁的朱利亚获得奖学金到巴黎学习数学。但生活对这个年轻人来说不太顺畅，特别是后来，法国卷进了第一次世界大战， 21 岁的朱利亚参加到一次战斗中，脸部被子弹击中受了重伤，被炸掉了鼻子！ 图（ 8.2 ）：法国数学家朱利亚 多次痛苦的手术仍然未能修补好朱利亚的脸部，他因此而一直在脸上挂着一个皮套子。但后来他以顽强的毅力潜心研究数学，在医院病房里的几年间完成了他的博士论文。 1918 年是朱利亚灾难结束走好运的一年。这年，他 25 岁，在《纯粹数学与应用数学杂志》上发表了描述函数迭代、长达 199 页的杰作，因之而一举成名。此外，这年他与长期照顾他的护士 玛丽安·肖松结婚，他们婚后育有 6 个孩子。 虽然朱利亚对数学的很多领域都有贡献，在几何分析理论等方面为世人留下了近两百篇论文、 30 多本书，上世纪 20 年代更以其对朱利亚集合的研究引起数学界关注，名噪一时。但不幸的是，过了几年，这个有关迭代函数的工作似乎完全被人们遗忘了，一直到了上世 - 纪 70-80 年代，由曼德勃罗所奠基的分形几何及与其相关的混沌概念被广泛应用到各个领域之后，朱利亚的名字才随着曼德勃罗的名字传播开来。这类事情在数学及物理的发 - 展史上屡见不鲜，就如黎曼几何因为广义相对论而被大家熟悉一样。 从朱利亚集的生成过程可以看出：对应于曼德勃罗集中的每一个点，都有一个朱利亚集。比如说，点击曼德勃罗集上的零点（对应的 C 值为 0 ），这时候作上述迭代产生的朱利亚集是个单位园。 下面的图形显示出不同的朱利亚集（周围 8 个小图）。它们分别对应于曼德勃罗集（中间的大图）中不同的点。 图（ 8.3 ）：曼德勃罗集中不同的点对应的朱利亚集 综上所述，我们了解了美妙的曼德勃罗集和朱利亚集图形的产生过程。这种非线性迭代法产生的分形不仅仅以其神秘复杂，变化多姿受到艺术家们的宠爱，数学及计算机爱好者们的青睐，也激励了与此紧密相关的混沌理论及非线性动力学的发展。以至于人们将后者誉为二十世纪之内可与相对论，量子力学媲美的科学的第三次革命。上世纪九十年代，学术各界，包括科技、艺术、社会、人文、几乎每个领域都有涉及分形的研究：股市专家们在市场的庞大数据中寻找自相似性，音乐家们要听听，按照分形规则创造的旋律，是否更具神秘感。 正如一句西方谚语所说：“在木匠看来 , 月亮也是木头作的。 ” 。每个人都用自己的方式来理解世界。各种专业对分形的认识也许大相庭径，但对这种新型科学的热情却是一致的。 王二和林零两人争抢着用鼠标在曼德勃罗集的图上点来点去，变换出好些个漂亮的朱利亚图形，林零说要把这些图形存起来，寄给作服装设计的表姐看。坐一旁听李四讲朱利亚故事的张三若有所思，后来突然冒出一句毫不相干的话： “李四，我想起来了，你那个去了美国的女朋友的名字不是也叫朱利亚吗？” 听朋友提到这个，李四眉头皱了一下，不过很快又舒展开来，微笑着说： “那不同，这个朱利亚是姓。我原来女朋友的名字是叫朱珠，茱莉亚是她到美国后取的英文名。她出国后我们就分手了，这段感情已经成为过去。最近收到她一封长长的信，讲述她到美国后艰难奋斗的故事，我才逐渐理解了她……也可以说是，原谅了她吧……” 林 零 和王二都凑了过来，听李四讲述另一个茱莉亚的故事……不过，唉，那已经超出本文的内容！ 上一篇：《走近混沌》-7-曼德勃罗集 回到系列科普目录 下一篇：《走近混沌》-9 -分形音乐

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人类行为的分形特征初探

热度 4 supermac 2012-8-24 22:39

分形和自相似性是自然界中的普遍现象，近年来，一些学者先后在短信通信、股票交易和人体的生理活动上发现了人类行为的分形特征，我们尝试从时间序列和复杂网络的角度挖掘图书借阅行为中十分存在分形特征。文章前不久被Physica A接受，详见附件。 Fractal analysis on human dynamics of library loans Chao Fan, Jin-Li Guo, Yi-Long Zha Physica A Volume 391, Issue 24, 15 December 2012, Pages 6617–6625 Abstract In this paper, the fractal characteristic of human behaviors is investigated from the perspective of time series constructed with the amount of library loans. The values of the Hurst exponent and length of non-periodic cycle calculated through rescaled range analysis indicate that the time series of human behaviors and their sub-series are fractal with self-similarity and long-range dependence. Then the time series are converted into complex networks by the visibility algorithm. The topological properties of the networks such as scale-free property and small-world effect imply that there is a close relationship among the numbers of repetitious behaviors performed by people during certain periods of time. Our work implies that there is intrinsic regularity in the human collective repetitious behaviors. The conclusions may be helpful to develop some new approaches to investigate the fractal feature and mechanism of human dynamics, and provide some references for the management and forecast of human collective behaviors. Keywords Human dynamics; Time series analysis; Long-range dependence; Complex network; Visibility graph 文章PDF： PHYSA_13934_proof.pdf http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0378437112006231 我们采用的数据是两所图书馆的借阅量，以及借阅的间隔时间。用重标极差法计算了以借阅量为观测值构成的时间序列的Hurst指数和非周期循环长度，发现人类行为具有长期正相关性和持续性，记忆效应对借阅行为有强烈影响，并与时间标度有关。群体用户的分形特征表现较为明显，而个体用户的时间序列中则有一定的波动性；并且不同的用户群之间，以及同一个数据集中的不同用户之间表现出了显著的个体差异。 通过可视算法将人类行为的时间序列和复杂网络结合在一起，计算了由时间序列转化得到的复杂网络的拓扑参数，发现群体用户的网络具有无标度特征、小世界效应和等级结构，而个体用户的网络则只具有以上部分性质。可以认为，人类的重复性行为发生的时间序列中各个观测值之间存在潜在的密切联系，特别是对于日常生活中的某些重要时刻。我们还发现只有部分的个体行为网络具有分形结构和自相似的特征。此外，本文的分析也对于找寻时间序列和复杂网络之间的关系、网络属性之间的关系以及网络分形结构的起源具有一定的借鉴意义。 注：中文内容中部分结论是笔者硕士论文中的一部分，没有写进这篇英文版本中，也欢迎同行批评指正！ 《从图书借阅看人类群体和个体行为的动力学机制》，樊超，上海理工大学，2011年。

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《走近混沌》-5-大自然中的分形

热度 3 tianrong1945 2012-8-22 06:56

第五章﹕大自然中的分形 归纳以上所述 , 分形是具有如下几个特征的图形 : 1. 分形具有自相似性。从上面两个例子可以看出：分形自身可以看成是由许多与自己相似的，大小不一的部分组成。 2. 分形具有无穷多的层次。无论在分形的哪个层次，总能看到有更精细的，下一个层次存在。分形图形有无限细节，可以不断放大，永远都有结构。 3. 分形的维数可以是一个分数。 4. 分形通常可以由一个简单的，递归、迭代的方法产生出来。 图（ 5.1 ）： 计算机产生的 “ 树叶 ” 型分形图 因为分形可以由一个简单的迭代法产生出来，计算机的发展为分形的研究提供了最佳环境。比如说，如果给定了不同的 ” 初始图形 ” ，不同的 ” 生成元 ” ，即迭代方法，利用计算机进行多次变换，便能很方便地产生出各种二维的分形来。 ( 见图 5.1) “等一等！”这次是王二在叫。他打断了正在向他们解释分形程序的张三，从书包里翻出一张照片给两个朋友看，兴奋地说： “这是我去年暑假到峨眉山上拍的蕨类植物照片。你们看，右边图中的蕨类植物叶子，太像张三刚才用计算机迭代法画出来的分形了！” 三人比较了一下王二的照片（图（ 5.2 ））和张三生成的图形，的确很像。 图（ 5.2 ）：蕨类植物 “再等等！再等等！”王二又从书包里翻出更多的照片。说： “让你们看看更多大自然的鬼斧神工！其实，美丽的分形图案在自然界到处都存在。我从小就喜欢自然之美，经常在动物植物的构造中发现些令人惊叹的图形，过去几年拍了不少有趣的照片，原来只觉得大自然太神奇了，现在才知道这就是‘分形’……” 图（ 5.3 ）是王二的部分照片。其中有我们常见的花菜、天空上的闪电、贝壳的图案式结构，老树枯枝…… 图（ 5.3 ）：大自然的分形 王二很高兴今天在三人聚会中唱了主角，更高兴把分形的概念与他的生物专业联系起来了。他告诉朋友们：这几天，他研究这些照片和学到的分形知识后发现：比较传统的欧几里德几何中所描述的平滑的曲线，曲面而言，分形几何更能反映大自然中存在的许多景象的复杂性。现在，当我们了解了分形几何后，看待周围一切的眼光都和过去不一样了。当我们仔细观察周围世界时，会发现许许多多类似分形的事物。大如蜒起伏连绵不断的群山，天空中忽聚忽散的白云，小至各种植物的结构及形态，遍布人体全身纵横交错的血管，它们都或多或少表现出分形的特征。比如，“山 ” 在我们眼中，不再只是锥形； “ 云 ” 在我们眼中，不再只是简单的椭球形状；在它们貌似简单的外表下，有着复杂的、自相似的层次结构。如果说，欧氏几何是用抽象的数学模型对大自然作了一个最粗略的近似，而分形几何则对自然作了更精细的描述。分形是大自然的基本存在形式。无处不在，随时可见。 “我有一个问题”张三插嘴说：“不是说自相似性是分形的特点吗？我这儿几个计算机产生出来的图形的确是严格‘自相似’的。还有你们看科赫曲线、谢尔宾斯基三角形、这些简单分形，显然都符合自相似的条件。但是，这些……王二给我们看的这些‘大自然的杰作’，自相似性就不是那么严格了，这是怎么回事呢……” 李四笑了：“唉，张三不愧是学机械工程的，思考问题总是追求‘严格’，可是，大自然并不是谁造出来的机器啊，其中的偶然因素太多了……” “你们听过分形的老祖宗曼德勃罗的故事吧……”李四指着王二照片中有海岸线的那张，说起了更多有关分形的历史。 尽管早在十九世纪，许多经典数学家已对按逐次迭代产生的图形（如科赫曲线等）颇感兴趣，也有所研究。但有关分形几何概念的创立及发展，却是近二 , 三十年以内的事。 1973 年，美国 IBM 公司的科学家曼德勃罗（ B.B.Mandelbrot ）在法兰西学院讲课时，首次提出了分形几何的构想，并继而创造分形（ Fractal ）一词。当时，曼德勃罗就是用海岸线作例子，提出一个听起来好象没有什么意思的问题：英国的海岸线有多长？ 海岸线到底有多长呢？人们可能会不加思索地回答：只要测量得足够精确 , 总是能得到一个数值吧。答案当然取决于测量的方法及用这些方法测量的结果。但问题在于，如果用不同大小的度量标准来测量，每次会得出完全不同的结果。度量标准的尺度越小，测量出来的海岸线的长度会越长！这显然不是一般光滑曲线应有的特性，倒是有些象我们在第二、三章中所画的科赫曲线。你们来测量一下科赫曲线的长度吧！看看图（ 2.1 ），如果把图 (a) 中曲线的长度定为 1 的话，图 (b) 、图 (c) 、图 (d) 中曲线的长度分别为： 4/3 、 16/9 、和 64/27 ……，长度越来越大，以至于无穷。这与用不同的标准来测量海岸线的情况类似。也就是说，用以测量海岸线的尺越小，测量出的长度就会越大，并不会趋向收敛于一个有限固定的结果。 张三也表示明白了：“啊，原来海岸线的长度随着测量尺度的减小而趋于无穷！” 李四接着说，“张三刚才说的也没错，海岸线的确不同于我们上面所举的线性分形……” 不过事实上，海岸线与科赫曲线很相似的。科学家们应用我们叙述过的估算“分形维数 ” 的方法，以及逐次测量英国的海岸线所得的结果，居然算出了英国海岸线的“分形维数 ” 大约等于 (1.25) 。这个数字与科赫曲线的“分形维数 ” 很接近。因此，英国海岸线是一个分形，任何一段的长度都是无穷。这真是一个令人吃惊的答案。 再一次的聚会中，李四又更深入地解释了张三那天提出的问题。他说，我们在前面几章中所讨论的分形例子，都是由线性迭代产生的。它们所具有的自相似性叫做线性自相似性。也就是说，将原来的图形，经过缩小、旋转、反射等这类线性变换之后，能再组合成原来的图形。除了这种由简单的线性迭代法生成的分形之外，还有另外两种重要的生成分形的方法：一种是与随机过程有关，是线性迭代与随机过程相结合，第二种是用非线性的迭代法。 图（ 5.4 ） 扩散置限凝聚图 自然界中常见的分形，诸如海岸线、山峰、云彩、等等，更接近于由随机过程生成的分形。有一种很重要的，与随机过程有关的分形，也就是如图 （ 5.4 ） 所示的分形，叫做“扩散置限凝聚 ”(diffusion- limited aggregation) 。这种分形模型常用来解释人们常见的闪电的形成，石头上的裂纹形态等现象。 要估算随机过程生成分形的维数，或者是非线性迭代分形的维数，就不是像计算线性分形维数那么简单了。 上一篇：《走近混沌》-4-再回到分形龙 回到系列科普目录 下一篇：《走近混沌》-6- 分形之父的启示

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最近很火的微博传播图及水军的简单判别

supermac 2012-8-3 10:35

得益于沈浩老师漂亮的杜蕾斯微博传播分形图，这个话题最近几个月大热，知微为新浪微博提供了一个分析平台，可以得出传播影响值、传播深度、感情倾向、性别比例、真实用户or水军用户辨别等等结果，传播图支持无级放大，非常有趣。随意抓了三条微博，可见其传播图有明显不同。 随意在热门博文中选一条明星博文，传播图是圆形 韩国潮流服饰的传播图，有扇形特征 昨晚决出的乒乓球男单金牌，传播深度达到5 可以看出所有的传播图都有分形自相似的特征~~ 另外可以通过传播图简单判断是否存在水军 此图的微博地址： http://weibo.com/1642051034/yuOKriOVJ 知微入口： http://www.weiboreach.com/index.jsp

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企业分形安全组织结构的构建方法

热度 1 After50 2012-4-29 21:26

企业分形安全组织结构的构建方法 企业安全组织结构是一个企业组织结构中的重要组成部分，它是安全管理的组织意义和安全机构赖以生存的基础，是安全组织的构成形式，即安全的目标、协调、人员、职位、相互关系、信息等组织要素的有效排列组合方式。 这种自相似性不仅体现在结构上，还体现在创造价值的方式方法、目标的形成和实现等方面。安全组织结构的自相似性强调自主，即能自我形成符合和有利于企业安全管理总目标的战略与战术，可以改变自身形成新的分形单元，灵活应对安全突发事件，发挥企业安全职能部门的最大功效。 借助分形企业的相关理论，可以优化企业安全组织结构，形成动态的“分形安全组织结构”。企业分形安全组织结构的管理和控制是灵活的，能及时迅速地检查其运行状态是否满足目标要求，并进行有效的修正。企业分形安全组织结构除了自相似性外，还可以通过以下三个性质来优化企业的安全管理工作。 1 ）自优化性质的运用。分形单元中组织结构的自我优化始终与安全管理的总体目标保持一致。企业安全管理中出现的问题通常在现场进行决策和处理，企业班组中的成员实行自我规划、自我决策和自我管理。分形单元的自我优化逐步带动企业安全组织结构整体实现自我优化。 2 ）动态特性的运用。动态特性使得企业安全组织结构具有从变化的环境中迅速做出反应的能力，能够合理、有效地整合资源，提高工作效率。 3 ）信息高效传递的运用。分形结构的内部、它们之间以及与外部环境之间都要求可靠的信息传递，信息的高效传递是企业安全机构应对突发事件做出及时、准确的安全决策的前提条件。在企业安全组织结构中，结构层次是影响信息的传递时效性和准确性重要因素之一。 通过以上的分析研究，可以总结出企业分形安全组织结构的构建方法和模型优化的一般步骤： 1 ）将企业分形安全组织结构视图抽象成能反映组织结构层数和分形单元数的树状图； 2 ）计算该分形体的相似维数； 3 ）根据相似维数重新确定企业分形安全组织结构的层数与分形单元数的取值范围； 4 ）明确影响安全绩效的因素，建立方案集与属性集； 5 ）利用多属性决策法进行排序并择优； 6 ）通过最佳方案重构企业分形安全组织结构视图。 通过优化重构的企业分形安全组织结构是在限定因素下能体现最佳安全绩效的组织结构模式，根据企业安全战略的调整可以重新设定影响因素，从而得到符合当前安全战略的企业分形安全组织结构模式。

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自由意志系列10：有限范围、无限状态的mind set

热度 2 jingpeng 2012-4-25 19:26

李超勇博友在《 想象力是有限的，人脑可能根本不能认识mind！ 》中回复： 尝试一下：用可列无穷多个点，看能不能填满一个线段？ 很受启发，我原来认为脑的状态是有限的，实际上是用现在的计算机来类比，把脑的状态离散化了。按照彭罗斯的说法，现实的物体很多是不可计算的，不能把脑用现在的计算机来类比或者仿真。在有限范围的相空间中，实际的脑的状态可能是无限的。这里提到了有限中的无限，需要仔细解释一下。在一个有限空间范围内，比如一个圆内部，面积是有限的，但里面的点，可以有的坐标位置是无限的。 在宇宙天体学（cosmology）里，普遍地认为我们所处的空间是有限无界的，而且目前空间仍然在不断膨胀扩大，各个星系间互相远离。通常用一个气球来解释，用气球表面表示现有的三维空间，气球二维表面积是有限的，现有的三维空间也是有限的。各个星球是气球上的点。把气球吹大，表面不断膨胀，表面积是不断增大的，上面的点之间的距离也自然不断增大。而整个气球表面是没有明确的边界的，这就是有限无界。宇宙空间就是这样的，小时候经常想太阳的外面、银河的外面，外面的外面又是什么，用有限无界就可以解释了。mind状态所处的相空间，也可以看做是有限无界的，所以整个空间还是有限的，人的想象力虽然可能有无限的状态，但所能想象之“物”，触角所能延伸的范围仍然可能是有限的。所以，思想没多远。 另外，还有个有趣的东西，分形（Fractal），也是有限中蕴含无限。最开始是测量英国海岸线长度发现的，用不同尺子去量，得到的长度是不一样的！尺子无限小，长度就会无限大！而英国是在地球上的，范围是有限的。另外，分形描述了自然界的一些复杂物体，可能只遵循简单的规律，就可以演化出来。典型的就是Mandelbrot set，在一定的面积下，可以有无限复杂的形态。你可以无限放大，里面总是有特异性的结构！ Mandelbrot set，是我用Qt的例子程序生成的。 -------------------- 今天的Nature出了一篇文章，和我的看法不谋而合！认为人的认知能力是有限的，那些我们不知道不知道的东西，才是最急迫需要开拓的。我们应该focus到寻找问题上。下面这段话太经典了： “There are known knowns; there are things we know we know. We also know there are known unknowns; that is to say, we know there are some things we do not know. But there are also unknown unknowns, the ones we don't know we don't know,” Shermer, Michael. “Philosophy: What We Don’t Know.” Nature 484, no. 7395 (April 25, 2012): 446–447. ------------------------ 参考资料： 1. Stephen Hawking,The Grand Design,Bantam, 2011 2. Barry Masters, Physics and Biology: Fractals and the Human Retinal Blood Vessels, oral presentation, 2012 3.罗杰 彭罗斯 （许明贤 吴忠超 ），皇帝新脑，湖南科学技术出版社，2010（第二版） 4. BBC系列：神秘的混沌理论 这个视频给了很多例子，试图揭示分形的深层次含义，暗示了，光怪陆离、形态各异的花姿世界，包括人等形形色色的生命，可能都只遵循简单的规则，就可以演化出来了。

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大发现！A4纸张可折叠2^N个同样大小的四面体，并有多种造型

热度 3 inventor 2011-11-9 09:44

世界首创！ 发现白银比的纸张（A，B系列）可无剪裁折叠2^N个同样大小的四面体，并有多种不同的折叠模型。 这种四面体就是我去年博文提到的世界最美的三棱锥！ 2011。5 上海国际科学与艺术展展出 http://www.boosj.com/item/110613094039001672.html 2011.7 日本折纸学会发表 http://www.origami.gr.jp/OSME/1107.html 20多年前的一个智力玩具发明（CN 87202939）用到正五边型，制作过其内接等腰三角形的模型。在研究其三角平面，以及拼接的 三维空间造型的时候 , 发现这种四面均为此等腰三角形的三棱锥居然可近似的折叠出等边长三棱柱 , 等边长四棱柱 . 甚至具有分形性质 , 就是说同样大小的八个三棱锥就可以折叠出一个同样形状的 , 棱长为 2 倍 , 体积为 8 倍的大三棱锥 . 为了使得造型更具有美感与现实感 ,经过计算， 我就用学生常用的三角尺来做实际的表现 , 大家知道就是成对的直角三角尺 , 一种为等腰直角三角 , 另一种直角三角的斜边为最短直角边的 2 倍 . 等腰直角三角尺的斜边长度等于另一种直角三角的最长直角边 . 后来也完成了数学的证明 . 如果只是为了完成数学证明 , 那很有可能就不会去用三角尺来表现了 . 三棱锥也被称为四面体 . 正四面体被研究得很透切了 . 帕拉图的学生亚里斯多德声称找到了一种 ” 正则 ” 四面体 , 可以填充三维空间 , 可是后来一直没有这种四面体的记载 . 以下的四面体均指这种可填充三维空间的“世界最美的三棱锥”。 A4 的打印白纸实在是太普通了 , 一点都不起眼 . 不用纸以外的笔 , 颜料 ,剪刀，还 能作些什么呢 ? 用一张 A4 白纸不必裁减 , 没有多余以及缺失部分 , 可折叠世界最美的四面体 . 这个偶然的发现与其尺寸的巧合使得我觉得很兴奋 , 饶有兴趣 . 使得我继续研究下去 . 我对折纸不是很有研究，但是看过一些折纸的书籍，自己没有用折纸折叠“世界最美的四面体”的记忆。因为折纸是正四方形的。后来发现不必裁减 , 没有多余以及缺失部分 , 可用一张 A4 纸折叠出 2 个同样大小 , 同样形状的世界最美的四面体 . 而且没有一块纸面是多余的 , 也没有一块是缺失的 . 正好覆盖 2 个同样四面体的 8 个表面 . 我接着想一张纸还能折叠出 2 个四面体的其它不同的构造呢 ? 结果发现可以折叠出 4 种双四面体 . 其中两种在拓扑学的意义上是一样的 , 只是接缝的形状不一样 , 接缝有 I 形 ,T 形 ,L 形等 . 我根据形状特点命名这三种双四面体为金字塔 , 沙漏 , 三棱柱 . 分析后发现分别属于三种性质 , 分为短边相接（三棱柱） , 长边相接（沙漏） , 面相接 （金字塔 ） . 在接着我想能不能在一张 A4 纸上折叠出 4 个四面体呢 ? 后来发现是可以折叠的 , 发现了 5 种 ( 一张纸上拼出 4 个相同大小的四面体 ). 再命名折叠类型 , 只能拼出一个四面体的就是 1/1, 只能拼出两个大小相同四面体的是 1/2, 只能拼出四个大小相同四面体的是 1/4, 只能拼出八个大小相同四面体的是 1/8, 依次类推。我发现 5 种 1/4 四面体折叠类型分别继承 1/2 四面体的三种性质。也具有数学的分形的性质。比如说四个 1/4 的“金字塔“继承”面相接的性质， 16 个面中 8 个面相接内藏了，整体就成为八面体。其中的一种 1/4 结构很有趣，有两个凹处，正好可以分别镶嵌进去两个同样大小的 1/4 四面体。命名为"空沙漏"。见附图。 1/4 的金字塔 , 沙漏 , 三棱柱三种继承以外的另一个造型的命名为"测不准". 会不会还能折叠出 1/8 四面体呢？试验了很多次，都没能折叠出 1/8 四面体。差不多绝望的时候，发现可折叠出“二代“同堂 , 就是一张纸可以折叠二种不同大小的四面体。有两种， 1/2\2*(1/4), 2*(1/4)\4*(1/8) ，是继承关系。 还可以折叠出“三代同堂“ , 就是一张纸可以折叠三种不同大小的四面体。 一种， 1/2\1/4\2*(1/8), 折叠出 1/8 四面体以后，虽然不是全部的 8 个，但是增强了寻找 1/8 折叠法的信心，终于折叠出了一种 1/8 结构。这是到此为止最难的一种折叠法，因为过去的折叠法都有长或短中边对称的结构，而发现的这种 1/8 结构的形状是非对称的。中间有一凹处，可镶嵌进去一个同样大小的 1/8 四面体。两面的展开图见附图，黑线部分为分别为两个面的折叠的“谷“，相对于另一面就是”峰“。 一张 A4 的白纸就有了那么多的名堂，很有趣。特别是在造型方面。短短几天时间，已经发现了 13 中不同结构的”世界最美的四面体“组合造型家族。请问读者，到此为止是否能同意我把这种美妙的三棱锥称为”世界最美的三棱锥“呢？ 到此为止，就有以下问题提出： 1． 1/2 的共有多少种折叠法？ 2． 1/4 的共有多少种折叠法？ 3． 1/8 的共有多少种折叠法？ 4． 1/16 的共有多少种折叠法？ 5. 发现了有一种 1/2^N的平铺折叠法， 是否存在 1/N(N=32) 的其它的折叠法？ 若存在的话共有几种造型？ 5． 除了平铺折叠法， N 是否是无限大？（直觉来说 N 是有限的）。 N 的最大值是多少？ 靠一个人，靠人力就很难解决以上的数学问题了，只能借助于计算机。希望有兴趣的朋友们一起来研究吧。

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树状分形上随机游走主方程的完全谱

热度 4 Fudanzhangzz 2011-9-26 15:04

研究了一类树状规则分形上带有单个陷阱点的随机游走问题，其中陷阱固定在中心节点上。得到了这类分形上陷阱问题对应的随机主方程的全部特征值及其重数，其中特征值通过一个显示的递推关系式给出。此外，给出了最小特征值的近似解，并指出它的倒数与平均陷阱时间近似相等。所提出的计算网络特征值及其重数的方法还适用于其它树状规则分形。 相关结果已经被《 EPL (Europhysics Letters) 》正式录用，拟于近期发表。 国际专家的评论： I read with much interest the submitted manuscript, whose authors succeeded in determining exactly the spectra of an important family of tree-like fractals. This is a very significant achievement........ The work is written in a very clear and concise manner and should be readily understood by specialists and non-specialists alike. I hence recommend publication of the manuscript inEPL. 文章发表的 PDF 版本： Complete spectrum of stochastic master equation for random walks on treelike fractals.pdf

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一个扩展的汉诺塔问题，您会解吗？

热度 1 Fudanzhangzz 2011-5-26 12:36

汉诺塔问题是一个古老的“游戏”，在每本计算机程序设计教课书里，几乎都把求解汉诺塔问题作为递归算法的范例。经典的汉诺塔问题可以描述如下：有三根柱子与 n 个大小不一的盘子，初始时，这 n 个盘子从大到小叠放在第一根柱子上，并且小盘子位于大盘子上面。问题是如何把这 n 个盘子从第一个柱子全部移动到第三个柱子上，移动时满足这样的规则：每一次只能移动一个盘子，并且满足小盘子只能在大盘子上面。就这一问题本身而言，无论是最佳的移动方法还是最少的移动步数，都已成功解决。 从经典的汉诺塔问题可以拓展出许多其它的版本。例如，我们最近提出了一个扩展的汉诺塔问题，即在上述移动规则下，并不按照最优的方法移动盘子，而是对其进行随机移动。我们的问题是：从初始状态（所有盘子都在第一个柱子上）出发，按照移动规则，随机地移动盘子，请问：所有盘子恰好首次均在第三个柱子上时，期望移动盘子的次数是多少？这一问题当初由我本人提出来，让来自台湾参加大陆 ACM 总决赛的同学思考，问题的答案最终由我的硕士生伍顺琪在我与陈关荣老师的共同指导下得到了圆满解决。我们将所提出的问题归结为求解对偶 Sierpinski 分形上随机游走的平均首达时间，相关结果已经被《 The European Physical Journal B 》正式录用，以下是论文的中文摘要。 摘要： 本文研究了 d 维对偶 Sierpinski 分形（ Dual Sierpinski gaskets, DSGs ）上的随机游走问题。根据电阻距离与随机游走平均首达时间的关系，首先计算了 d 维 DSGs 上两个特殊点之间的平均首达时间，然后利用 DSGs 拉普拉斯矩阵的谱，计算了 DSGs 中所有节点对之间的平均首达时间。通过递归的方法，得到了上述两个问题的精确解，并给出了它们与网络规模大小的变化关系。最后，给出了 d=2 时所得 DSGs 上随机游走的研究结果与扩展的汉诺塔问题的对应关系。 发表的论文PDF版本: Random walks on dual Sierpinski gaskets.pdf

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数学之美：人体万花尺 (扩充版)

热度 4 jiangxun 2011-5-19 08:44

作者：蒋迅 看到一篇“ 数学之美：人肉万花尺 ”，托尼·奥里克 ( Tony Orrico ) 用身体创作出的分形艺术而感叹。 http://www.youtube.com/watch?v=MO5cFCxSog4 http://www.tudou.com/programs/view/UIz-cL-rS_w/ 托尼·奥里克（Tony Orrico）可说是一位艺术家、舞者，或者是，一台人肉万花尺。他拿出学者般的专注和跑马拉松的忍耐力，创作了一系列惊人的大型仿数学绘画。四小时不停地用身体作画，他让自己的身体转化成一副优雅而精致的仪器。 http://www.youtube.com/watch?v=BWqH1oIWJJY http://www.tudou.com/programs/view/WiI3eVclbD8/ http://www.youtube.com/watch?v=cD6i9l2GNiE http://www.tudou.com/programs/view/cgvDgBZvm0Y/ http://www.youtube.com/watch?v=-3DZUXjJ06Q http://www.tudou.com/programs/view/KaCiCWP0Z34/ http://www.youtube.com/watch?v=2UeuL5BUgBM

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yan国的分形观念

热度 1 sunphase 2011-4-7 15:49

我做了一个梦，梦见春秋时代一个国家 yan 国，我要就 yan 国写一篇文章，可这 yan 字不会写，我看书上 yan 是这么写的：撬。看起来是撬棍的撬。可再仔细看，发现撬字中的每个“毛”仍然由三个小的“毛”组成，用放大镜看，这个小“毛”由更小的“毛”组成，以此类推，以至无穷。旁边还有一个画外音说道：这是一个典型的分形结构，这个字本质上无法书写。 三个小毛如何组成一个大毛，着实令人费解。在梦境里，这一切都是合理的。梦幻世界必有一套自己的逻辑。那么，存在一个没有悖论的世界吗？要想消除悖论，得用一种什么样的逻辑呢？

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在维与维之间 —— 分形图形（包含小数的维）

热度 1 readnet 2011-2-22 00:32

以前所谈到的维度都是用“0”或大于“0”的整数（0,1,2,3，…）来按顺序下定义。 其实，也可以 按照小数点以下的分数来顺序定义维 ，而且的确也有这样定义的维。 以立方体为例， 把立方体增大至原来的2倍， 那就是每个 边长变为原来的2（2^1）倍， 表面积变为原来的4（2^2）倍， 体积变为原来的8（2^3）倍。 可以看出，这里的指数同维度数是一致的。 利用这个性质， 德国数学家菲勒克斯·豪斯多夫（1868-1942） 提出了一种新的定义维的方法 ， 其基本意思是： “ 把图形放大到原来的x倍， 如果某个量因此而变为原来的x^n倍， 那么就确定这个量是n维 ”。 按照这个定义所确定的维度有一个专门名称，叫做“ 豪斯多夫维 ”。 按照豪斯多夫维，通常的直线或曲线是一维，通常的平面图形是二维，维数仍然是整数。 但是， 有一类被称为“ 分形 ”的特殊图形，它们的豪斯多夫维就 不是整数 。 所谓分形，也可以说是具有“自相似性”的图形 ， 将 其无论怎样放大，所得到的图形 在整体上都与原来的图形具有相同的结构 。 海岸线、山脉、云朵等都是自然界中分形的实例。 最经典的分形例子叫“谢宾斯基三角形”。 Sierpinski(谢宾斯基)三角形，其中蕴含涉及 数列 等非常有趣的、多方面知识。在附图中的三角形，可称作谢宾斯基。 在图示5个三角形中，黑色三角形的个数依次构成一个数列的前5项。在以上5个三角形中，黑色三角形的个数依次为1，3，9，27，81。 该数列的前四项都是3的指数幂，且指数为序号减去1。因此，该数列的通项公式可表示为： An=3^(n-1) 　　　　　　　　　　　这个图形的豪斯多夫维是大约1.58维 将这个图形放大至原来的2倍，结果得到的是原来3个图形拼合起来的图形。 这就是说，图形放大到原来的2倍，面积增加到原来的3倍。 我们知道，2^(1.58)≈3，因此这个图形的豪斯多夫维是大约1.58维。 在维和维之间还存在着分形图形 分形 ( Fractal ) 一词的创始人，美国数学家 Mandelbrot 1967 年在 Science 上发表了著名的文章《英国海岸线有多长》（ how Long Is The Coast Of Britain ），从此使“分形”的概念变得十分流行。 什么是分形呢？简单地说，就是说自然中存在的线、面、体，并不像古希腊人和欧氏几何期望的那样是光滑平整的，而是“坑坑洼洼”的 。 Mandelbrot 有一句名言：“ 云彩不是球体，山岭不是锥体，海岸线不是圆周，树皮并不光滑，闪电更不是沿着直线传播的 。 扩展阅读： 蒋迅的博客 　 蒋迅的个人博客 › TA的所有博文 › 查看博文 大自然创作的分形艺术 数学上的 分形 ( Fractal ) 是指“一个粗糙或零碎的几何形状，可以分成数个部分，且每一部分都（至少会大略）是整体缩小尺寸的形状”。数学家们已经创作出许多美丽的分形图案，有一个网站 Fractal Animation ，专门收集分形的视屏。我国还分形频道： http://www.fractal.cn/net/ 。 在自然界里也有许多分形的事物。 连线 给出了一组大自然创作的分形艺术，转到这里。如果你喜欢的话，一定要看 连线 的原文，那里有更多的图片，还有讲解。 绿菜花 (Romanesco Broccoli) Source: Flickr/ Tin.G 盐硷地 (Salt Flats) Source:Flickr/ Tolka Rover 鹦鹉螺化石 (Ammonite Sutures) Source: Flickr/ cobalt123 群山 (Mountains) Source: NASA/GSFC/JPL, MISR Team. 蕨类植物 (Ferns) Source: Flickr/ cobalt123 云彩 (Clouds) Source: Jeff Schmaltz/ MODIS Land Rapid Response Team/NASA 叶子 (Leaves) Source: Flickr/ CatDancing 峡谷 (Canyons) Source: GeoEye/Space Imaging 闪电 (Lightning) Source: Flickr/ thefost 孔雀羽毛 (Peacock Feathers) Source: Flickr/ Digimist 雪花 (Snowflakes) Source: Flickr/ mommamia 瀑布 (Waterfall) Source: Flickr/ catdancing 三角洲 (River Delta) Source: NASA ～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～～ 1 分形学：可以无穷放大的 Mandelbrot Set (曼德布洛特集) VC 源代码 转自我的博客： http://hi.baidu.com/yangw80/blog/item/287321115efb8c70cb80c41d.html 基于上篇文章 Mandelbrot Set (曼德布洛特集) 的源代码： http://hi.baidu.com/yangw80/blog/item/eeecc6fb2c4d7f186c22eb23.html 我修改了几个地方： 1. 修改了颜色，使用黑-蓝-白-棕-黑这样的渐变颜色方案（当然，大家可以修改 InitColor() 函数改变配色方案） 2. 增加了放大鼠标选中区域的功能。按鼠标中键可以恢复原尺寸。 3. 将迭代次数提了出来，定义了常量。如果需要绘制更精细的图，请加大常量 ITERATIONS。不过越大绘制的越慢。精细程度开始看不出来，放大次数多了就明显了。 4. 理论上是可以无穷放大，但实际受 double 类型精度的影响，放大到一定程度就会是马赛克了。 先看看逐步放大的效果吧： 另一个位置的逐步放大效果： 代码如下： // 需要安装 EasyX 库，Visual C++ 6.0 编译通过 #include graphics.h #include conio.h // 定义常量 #define ITERATIONS 1000 // 迭代次数，越高，图像越精细 #define MAXCOLOR 64 // 颜色数 ///////////////////////////////////////////////// // 定义复数及乘、加运算 ///////////////////////////////////////////////// // 定义复数 struct COMPLEX { double re; double im; }; // 定义复数“乘”运算 COMPLEX operator * (COMPLEX a, COMPLEX b) { COMPLEX c; c.re = a.re * b.re - a.im * b.im; c.im = a.im * b.re + a.re * b.im; return c; } // 定义复数“加”运算 COMPLEX operator + (COMPLEX a, COMPLEX b) { COMPLEX c; c.re = a.re + b.re; c.im = a.im + b.im; return c; } ///////////////////////////////////////////////// // 定义颜色及初始化颜色 ///////////////////////////////////////////////// // 定义颜色 int Color ; // 初始化颜色 void InitColor() { // 使用 HSL 颜色模式产生角度 h1 到 h2 的渐变色 int h1 = 240, h2 = 30; for(int i=0; iMAXCOLOR/2; i++) { Color = HSLtoRGB((float)h1, 1.0f, i * 2.0f / MAXCOLOR); Color = HSLtoRGB((float)h2, 1.0f, i * 2.0f / MAXCOLOR); } 2 分形学：可以无穷放大的 Mandelbrot Set (曼德布洛特集) VC 源代码 } ///////////////////////////////////////////////// // 绘制 Mandelbrot Set (曼德布洛特集) ///////////////////////////////////////////////// void Draw(double fromx, double fromy, double tox, double toy) { COMPLEX z, c; for(int x=0; x640; x++) { c.re = fromx + (tox - fromx) * (x / 640.0); for(int y=0; y480; y++) { c.im = fromy + (toy - fromy) * (y / 480.0); z.re = z.im = 0; for(int k=0; kITERATIONS; k++) { if ( z.re*z.re + z.im*z.im 4.0 ) break; z = z * z + c; } putpixel(x, y, (k = ITERATIONS) ? 0 : Color ); } } } ///////////////////////////////////////////////// // 主函数 ///////////////////////////////////////////////// void main() { // 初始化绘图窗口及颜色 initgraph(640, 480); InitColor(); // 初始化 Mandelbrot Set(曼德布洛特集)坐标系 double fromx, fromy, tox, toy; fromx = -2.1; tox = 1.1; fromy = -1.2; toy = 1.2; Draw(fromx, fromy, tox, toy); // 捕获鼠标操作，实现放大鼠标选中区域 MOUSEMSG m; bool isLDown = false; int selfx, selfy, seltx, selty; // 定义选区 while(!kbhit()) { m = GetMouseMsg(); // 获取一条鼠标消息 switch(m.uMsg) { // 按鼠标中键恢复原图形坐标系 case WM_MBUTTONUP: fromx = -2.1; tox = 1.1; 3 分形学：可以无穷放大的 Mandelbrot Set (曼德布洛特集) VC 源代码 fromy = -1.2; toy = 1.2; Draw(fromx, fromy, tox, toy); break; // 按鼠标左键并拖动，选择区域 case WM_MOUSEMOVE: if (isLDown) { rectangle(selfx, selfy, seltx, selty); seltx = m.x; selty = m.y; rectangle(selfx, selfy, seltx, selty); } break; // 按鼠标左键并拖动，选择区域 case WM_LBUTTONDOWN: setcolor(WHITE); setwritemode(R2_XORPEN); isLDown = true; selfx = seltx = m.x; selfy = selty = m.y; rectangle(selfx, selfy, seltx, selty); break; // 按鼠标左键并拖动，选择区域 case WM_LBUTTONUP: rectangle(selfx, selfy, seltx, selty); setwritemode(R2_COPYPEN); 4 分形学：可以无穷放大的 Mandelbrot Set (曼德布洛特集) VC 源代码 isLDown = false; seltx = m.x; selty = m.y; if (selfx == seltx || selfy == selty) break; // 修正选区为 4:3 int tmp; if (selfx seltx) {tmp = selfx; selfx = seltx; seltx = tmp;} if (selfy selty) {tmp = selfy; selfy = selty; selty = tmp;} if ( (seltx - selfx) * 0.75 (selty - selfy) ) { selty += (3 - (selty - selfy) % 3); selfx -= (selty - selfy) / 3 * 4 / 2 - (seltx - selfx) / 2; seltx = selfx + (selty - selfy) / 3 * 4; } else { seltx += (4 - (seltx - selfx) % 4); selfy -= (seltx - selfx) * 3 / 4 / 2 - (selty - selfy ) / 2; selty = selfy + (seltx - selfx ) * 3 / 4; } // 更新坐标系 double f, t; f = fromx + (tox - fromx) * selfx / 640; t = fromx + (tox - fromx) * seltx / 640; fromx = f; tox = t; f = fromy + (toy - fromy) * selfy / 480; t = fromy + (toy - fromy) * selty / 480; fromy = f; toy = t; // 画图形 Draw(fromx, fromy, tox, toy); break; } } getch(); closegraph(); } 扩展阅读： 　 有关美国哈佛大学丽莎•兰道尔背景资料 ＝＝　 ★ 　＝＝ 　 超弦论的研究进展（Developments in Superstring Theory） http://bbs.sciencenet.cn/home.php?mod=spaceuid=289142do=blogid=412977

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分形艺术

热度 1 tarimriver 2011-1-11 23:03

分形就是局部与整体的相似性

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本年度我们的几项人类动力学实证工作

热度 1 supermac 2010-12-30 13:39

年末了，把我们小组在2010年做的关于人类动力学的几项实证工作做个小结，很多想法只是尝试，还请各位老师不吝赐教！ 樊超 , 郭进利 , 纪雅莉 , 等 . 基于图书借阅的人类行为标度律分析 . 图书情报工 作 , 2010, 54(15): 35-39. 我们研究了两所大学图书馆数据库中的真实借阅资料，从群体和个体两个层面分析一次借阅过程中图书的借阅时间和用户连续两次借阅或还回图书的时间间隔等借阅行为的基本统计特征。 实证结果表明，对于图书借阅时间，群体行为服从指数分布，而个体行为服从幂律分布。对于借还书的间隔时间，群体和个体行为都服从幂律分布，但幂指数有所不同，大致分布在 1 至 3 的范围内；而在群体行为和个体行为上表现出了明显的区别，即前者的幂指数要大于后者。同时发现个体用户的幂指数与借阅量成正比关系。所有的统计量都表现出了明显的偏离泊松分布的统计特征。本章的研究证实了人类行为中存在多重标度规律，在群体层面和个体层面可能表现为不同的特征，即一种均匀性和非均匀性的交织。 Wang Qing, Guo Jin-Li. Human dynamics scaling characteristics for aerial inbound logistics operation. Physica A , 2010, 389:2127-2133. 我们以某物流企业的进境物流运作流程为研究对象，详细统计了完成整个运输过程中各个流程以及进出境供应链的关键三方主体相关业务行为的间隔时间和等待时间的分布规律，发现它们都表现出一种特殊的单峰形态特征：左半部分具有较小波峰且含有极大值，右半部分具有明显的重尾特征并可用幂律函数近似拟合，幂指数在 1.2 到 2.6 之间。这样分段形式的分布兼有泊松和幂律的特征，说明人类的工作行为不能由单一的规律刻画。这是因为人们的工作效率是有一定限度的，当任务的到达率不超过人们的能力范围时，人们可以轻松自如的处理任务，长时间的等待时间几乎不存在；而一旦超负荷工作，则必然会有一部分任务被长时间搁置而得不到处理。 Gao Lei, Guo Jin-Li, Fan Chao, et al. Individual and Group Dynamics in Purchasing Activity. ArXiv: 1010.3815v2. 在目前的人类动力学研究中，大多数是关于基于群体或者个体的研究，涉及到团体层面的组织行为比较少，上面的文献 2 是关于企业物流运作的一项研究，随后我们对某 国际 500 强企业的采购订单的研究中又发现，若从个体角度考察该企业对一家供应商下发的订单，则间隔时间服从幂律分布；而从群体角度考察所有数千家供应商的全部订单时，间隔时间分布的密度函数表现为一种兼具指数和幂律特征的函数形式 。这说明人类行为的时间规律满足幂律特征可能具有一定的局限性，当在个体层面可以忽略的微小偏差在群体层面得到叠加的时候，群体性行为必然会表现出偏离幂律的特征。 Zhang Li-Jiang, Guo Jin-Li, Wang Qing. Empirical analysis on human dynamics of hospital treatment. Physica A , unpublished. 我们分析了两家专科医院（ A 和 B ）患者就诊的时间间隔分布，在该分布中观察到了明显的峰值或拐点，拐点右侧均可由幂律很好的拟合，而左侧服从指数分布（ A ）或者单峰分布（ B ），峰值对应间隔时间的最大概率值。另外我们还分析了就诊量的波动规律，挖掘就诊量与节假日、天象的关系。 Fan Chao, Guo Jin-Li Zha Yi-Long. Fractal Analysis on Human Behaviors Dynamics. ArXiv: 1012.4088v1. 沿用文献 1 的数据尝试从分形的角度探索人类行为中隐藏的规律。以人们日常生活和工作中发生的大量的重复性行为为研究对象，运用分形的原理和方法对图书借阅量构成的时间序列进行分析，用重标极差法计算了时间序列的 Hurst 指数和非周期循环长度；然后根据可视算法，将时间序列转化为复杂网络，计算了网络的拓扑参数；最后用盒计数法对网络进行分形和自相似分析。 我们以月、天、小时为时间单位分别构造了时间序列，从两个角度证明了人类行为具有分形特征：一，使用重标极差法进行时间序列分析，计算了借阅量序列和间隔时间序列的 Hurst 指数和非周期循环长度，发现所有的序列都有 ，因此人类行为发生的次数是正相关的分形时间序列；二，借助可视算法将时间序列转化为复杂网络，通过分析网络的拓扑性质发现网络具有无标度特征、小世界效应和等级结构，因此原序列是分形的，并且数据点、特别是极大值点之间存在紧密的内在联系。由此认为，人类行为发生的次数不服从随机游走，而是有着内在的规律性，记忆效应使得行为发生的未来趋势在一定程度倾向于和过去相同。

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分形与守恒

yanghualei 2010-12-29 19:57

黑洞专家惠勒说过 ：今后谁不熟悉分形，谁就不能被称为科学上的文化人，那今在这就分析和形容一下 。 分形，毫无疑问是个图形，但其满足维数为分数，同时部分与整体以某种形式存在相似，即物体存在形式上的有序层次化的自相似特征， 分形几何学是一门几何，以前几何是欧式几何的延续，维数是整数，其只能能描述突变而无法描述渐变 ，即处于简单光滑曲线和类似皮亚诺曲线间的一大类曲线无法在维数为整数的空间中用几何语言去度量和描述，而中间状态的曲线在自然、社会以及思维领域中是不可数的，故就需要引入分数维来研究上述的一群曲线和图形。 分形是一个爱数学但不喜欢用逻辑和抽象，却喜欢把数学形象和具体化的人创立的， 同时其崇尚自由的学术环境，但反对术业有专攻的观念，其搞学问像打游击战，新招不断遍地开花，同时其又对计算机痴迷，行为比较随便。 从山脉到海岸线，从雪花到皮蛋纹，从股市到闪电，其以前的数学家相信现实世界的这些几何形状都过于复杂即碎、乱、杂，但如今立足在四维度（迭代）上的分形几何却能描述这种看似不规则的现实图案， 真所谓不是不成立，而是条件不强烈；不是不能描述，而是工具不够先进。 其启迪人以一新的方式看问题，即整体特征包含在局部之中，同时整体又和局部在某些性状上相似，如你对一片云在更小的范围内不断的重复，即使你把它无限的碎分下去，其依然在某种程度上与初始形状相似， 实际上分形就是建立在守恒和全息理论基础上的对称性的反映，即微观和宏观关于法则的轴对称。

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空间网络

热度 2 Fudanzhangzz 2010-12-21 10:51

刚才注意到Marc Barthlemy关于空间网络的综述在《Physics Reports》上在线发表了。里面引用了不少国人的科研成果，如北京师范大学狄增如教授与华中师范大学蔡勖教授等课题组的成果均受到关注。我也很高兴地发现，自己的两篇文章（即文中文献 与 ）也被引用。文献 是我们2008年发在《Physical Review E》上关于Apollonian网络平均距离精确解的文章，里面纠正了2005年《Physical Review Letters》上关于Apollonian网络平均距离的错误。文献 是2009年发表在《New Journal of Physics (NJP)》上文章，主要由我、同济大学的关佶红教授、复旦的周水庚教授、以及复旦的两位本科生（目前分别在康奈尔大学与加州大学洛杉矶分校攻读博士学位）一起合作完成。文章的主要目的是探讨节点的空间位置对网络结构的影响。这里趁兴介绍一下这篇NJP文章。在正式介绍之前，我先简要谈谈（为什么要研究）空间网络。 目前的多数复杂网络模型都假设节点存在于抽象的空间中，节点的位置没有特殊的意义。对于某些网络（如蛋白质相互作用网络、电影演员合作网络等），这种考虑是合理的。而对于其它一些现实网络，节点的位置非常重要，如果忽略节点的地理（或空间）位置、而将其纳入抽象的空间，会损失许多重要的有用信息，甚至所建立的网络与实际网络相距甚远。高速公路网、因特网等地理位置相关网络（也叫空间网络）就是典型的例子，在这两个网络中，被表示成节点的城市和路由器有其固定的地理位置，节点间的连边对应于现实中的物理实体：公路和光纤。其它的空间网络包括电力网、航空网、地铁网络、神经网络，等等。 在地理位置相关网络中，节点之间存在连接与否取决于多种限制，如节点间的实际距离、地理事件、构造网络可获得的资源、区域限制，等等。这些限制条件不但影响网络的演化过程，而且对网络的动力学过程也有本质的影响。例如，空间结构能促进囚徒困境博弈的合作行为，却抑制雪堆博弈的合作；另外，空间网络的抗毁性及网络上的疾病传播也与抽象的网络有本质的区别。 空间网络结构与动力学行为的特殊性主要源于其节点的空间位置及网络形成的诸多空间限制条件。在目前的空间网络的演化模型中，只考虑了节点间的实际距离对网络演化的影响，而且将网络演化机制表示成节点空间距离的显性函数。在实际的空间网络中，节点空间距离的作用可能是隐性的，其对网络演化的影响并不一定能直接表示成明确的数学式子。另外，现有的空间网络模型基本上都忽略了其它限制因素对网络演化的影响。实际上，地理事件、区域限制等因素对网络演化的影响是不容忽视的。如空间位置相近的节点（如城市）可能因为区域（例如分属于不同的省份）限制，它们之间的连接可能少于属于同一区域但空间位置较远的节点。 我们的NJP文章将空间填充问题（这些填充问题与空间地理位置有关，如Apollonian类型的填充等多种填充问题）映射成复杂网络（模型），在掌握模型内在规律的基础上，研究了空间填充网络模型的性质，通过与现实世界中的空间网络进行比较发现，该模型与现实空间网络模型有着相同的拓扑性质。我们还挖掘了所构造模型与现实网络系统之间的内在联系，把现实世界中令人困惑的复杂现象转化为间接的简单模型，从侧面反映、掌握真实世界的主要性质，从而为研究实际的空间网络提供借鉴和参考。特别地， 该项研究表明，节点的空间位置对网络的结构性质有着不可忽视的影响。 PRE文章 NJP文章 Barthlemy综述网址： http://www.sciencedirect.com/science?_ob=ArticleURL_udi=B6TVP-51J3665-1_user=1508387_coverDate=11%2F23%2F2010_rdoc=5_fmt=high_orig=browse_origin=browse_zone=rslt_list_item_srch=doc-info(%23toc%235540%239999%23999999999%2399999%23FLA%23display%23Articles)_cdi=5540_sort=d_docanchor=_ct=9_acct=C000053195_version=1_urlVersion=0_userid=1508387md5=fb6ca4eed5454e10f0bf36ce059cda2csearchtype=a

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复杂网络的盒计数法

热度 1 supermac 2010-12-13 21:09

上一篇笔记后就开始忙毕业论文，之后又把做好的结论整理了一篇英文小论文，对网络分形的研究中断了，万分感谢周老师和章老师回复邮件答疑解惑！现在把后来的一些笔记整理一下。 首先给出判断复杂网络分形与自相似的标准： 结论 *在复杂网络研究中分形性和自相似性并不总是互相包含，一般而言，分形网络总是自相似的，但是自相似网络并不总是分形的。 * NB与lB之间满足幂律关系的 网络就是分形的，该式既可用来判断网络是否分形，还可以求分形维数。 *用不同尺寸的盒子覆盖网络，以及在连续的重整化过程中网络都具有标度不变性，则称网络是自相似的。 还有一点没有明确支撑，但是我认为应该是这样的，即标度不变性未必是幂律分布，度分布如果是指数分布且保持一致，也应该是自相似的。实际上复杂网络中讨论的大多是统计自相似，而不是科赫曲线、康托尘埃那样的几何自相似。也就是说这样的自相似网络中，部分和部分、整体和部分只是统计规律上表现出相同、相似的形态，从中取部分网络未必和其它部分或者网络整体看起来一致。 盒覆盖法 盒覆盖法本是用于传统分形几何的算法，可以求出在欧几里得空间中图形的分形维数， Song 等人将其推广到了复杂网络中。二者的区别在于复杂网络没有传统几何意义上的度量，节点的相对位置是任意的而不是固定的，节点之间的距离是用所经过的边的最少数量衡量的，而不是厘米、英寸等长度单位，这一点类似于路由算法中以跳数作为优化策略。 首先介绍 Song 等人的盒覆盖法。 图中每列表示用不同尺寸的盒子覆盖网络。规则是用最少的盒子数覆盖整个网络，盒子中节点之间的最大距离不能超过 lB ，即 lB=2 时节点之间的距离都是 1 ， lB=4 时节点之间的距离最大为 3 。每行表示用不变的盒子尺寸连续覆盖网络，即网络的连续重整化。将每个盒子整合为一个节点，盒子之间若原本有节点连接的话则在整合后的节点之间建立一条边。重复该过程直到网络最终化为一个节点。该方法的关键在于找到覆盖网络的最少的盒子数 NB ，而这个最少是有相当难度的。 Song 等人用的是穷举法，这样的话需要相当长的计算时间，对于我等草民靠 P8400 跑程序算数据的人来说简直是梦魇 。 2007 年，文献 的作者设计了 另外一种盒覆盖法 ， 该方法规则为：首先将所有节点置为未标记，每次随机选择一个节点作为种子，然后从该节点出发，以 lB 为路径长度对网络进行搜索（深度优先或者广度优先），找到的未标记节点就放入一个盒子中，重复该过程直到所有节点都放进盒子里。 如图 a ， lB=1 ，随机选择节点 1 ，则从点 1 一步可达的节点放入红圈盒子中；第二步随机选择节点 2 ，在从点 2 一步可达的 4 个节点中只有节点 3 还不属于旧的盒子，所以新的粉色盒子中只包含节点 3 ；第三步随机选择节点 3 ，同理，点 2 和点 4 以被标记，所以新的绿色盒子只包含点 3 左侧的三个节点；最后一步，随机选择点 4 ，把最后的一个节点划入新的蓝色盒子中。需要注意的是，盒子中的节点不一定要相互连接，如绿色盒子。 图 b 表示图 a 的最小支撑树，是为了证明文献 的结论，显然二者的划分不同但是盒子数相同。 据文献 ， RS 方法随机选择盒子的中心节点，因此盒子之间可以重叠。这种情况下，预先分配的盒子中的节点不会包含在新盒子中，因此每个盒子中的节点不一定是彼此连接的，而是可以通过其它盒子中的节点相互连接。当然了，这样的情况要算做一个盒子。这样的计数规则在分形网络中是必要的，如果不允许这种不连接的盒子，则观察不到无标度的分形行为。实证结果显示， RS 法可以获得与传统盒计数法相同的分形维数。 在这三篇文献中，作者反复强调该方法找到的盒子数不是最少的盒子数，但 中又说 In this study, for simplicity, we choose the smallest number of boxes among all the trials. 只是为找到这样的最少数需要大约 O(10) 次 Monte Carlo 试验。如此来看到底要不要找这个最少数呢？如果不需要的话，算法会简单很多，一次运算后就可以得到所要的盒子数。只是暂时不知道每次找到的盒子数波动会不会很大。 6. PhysRevLett_96_018701_2006--Skeleton and fractal scaling in complex networks. 11. CHAOS-17-2007-026116--box-covering algorithm for fractal scaling in scale-free networks. 12. PhysRevE_75_016110_2007--Fractality in complex networks Critical and supercritical skeletons. 13. NJP-9-2007-177--Fractality and self-similarity in scale-free networks.

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复杂网络的分形与自相似

热度 3 supermac 2010-11-5 20:13

复杂网络的分形与自相似 用模块生成的等级网络具有一个明显的特征就是自相似性，是分形的一个基本特征。讨论复杂网络中的自相似问题有如下几篇重要文献： 显然， Song 、 Havlin 和 Makse 的两篇文章享有最高的引用率。 在文献 中，作者先提出了一个疑问，即现实世界中的很多网络具有小世界特征，意味着网络的平均路径长度随网络规模对数增长，L(N)~logN ，等价表达式为 ，自相似则要求二者之间是幂律关系。但是，跟多具有小世界特征的网络，如 WWW 、社会网、 PIN 、细胞网等在某种长度标度下具有自相似性。那么该如何协调这个矛盾呢？作者将 20 世纪 30 年代就已经开始在整形空间中使用的盒计数法推广到了复杂网络中，定义盒子尺寸lB 为盒子中任意两点之间的距离都小于lB ，然后节点不重叠地覆盖整个网络，并保证所用盒子数NB 最少。如果有 ，则网络是自相似的，dB 为分形维数，也称为自相似指数。然后作者对网络进行了重整化，证明在整个粗粒化过程中，网络都具有无标度性和自相似性，即度分布在重整化下的标度不变性。作者还介绍了一种簇增长法并与盒覆盖法进行了对比，研究了多个标度指数之间的关系，这里暂不讨论。这篇文章的最大价值应该在于找到了判断复杂网络是否自相似的途径，就是用盒覆盖法对网络进行重整化，若这个过程中度分布的标度不变，则网络是自相似的。 随后，他们三人又写了另一篇文章 来讨论复杂网络上分形结构的起源。开头提到分形的概念 the structures of which look the same on all length scales 显然是一种各个标度上的相似。文章通篇以具有拓扑分形的 WWW 、 PIN 、新陈代谢网和不具有拓扑分形的 Internet 为例来介绍展开讨论。作者认为分形网络一般具有小世界特征和无标度特征以及等级结构，随机连接和优先连接都不能解释分形现象。作者发现无标度网络模型不具有分形特征。分形结构源自一种相关的自相似模块方式增长，而不是优先连接模型的不相关式的增长。自相似的分形网络的出现是由于所有长度标度上 hub 节点的强烈相互排斥引起的。换句话说， hub 节点倾向于连接具有较少连接的节点而不是其它的 hub 节点，这种效应可看作有效的 hub 排斥。在这样的模式下，尽管还有穷人，但富人更富。换句话说， hub 节点通过优先连接那些连接较少的节点来增长，以生成鲁棒性更强的分形拓扑。相比之下，较弱的反相关或不相关增长则导致非分形的拓扑结构，如 Internet ，这样的结构是自相似也有小世界特征，但非分形， hub 节点相互连接使得网络容易遭受蓄意攻击。这种自相似的组织方式也可以产生等级结构。 这两篇文章中，作者并不严格区分分形和自相似的概念，基本是等同的，只是表达的侧重点不同。自相似偏重于描述标度不变性，整体与部分，部分与部分相似；而分形则侧重于描述整体的拓扑结构和鲁棒性。 不久后， Gallos 又与 Song 和 Makse 合作写了一篇关于网络分形和自相似的小综述。文中澄清或阐明了这么几个问题： 1.fractality 指的就是不同标度上的自相似。 2. 分形与小世界的矛盾点在于网络中甚至不存在不同的长度标度，因此这两个特征在同一个网络中无法共存。这句是原文翻译，我没大看懂，大概是因为这句话原本就是讲不通的，分形和小世界可以和平共处。 3. 判断网络分形的方法就是盒覆盖法，然后看是否满足 。分形网络具有有限的维数，而非分形网络的维数趋于无穷大 。 4. 尽管传统的分形理论并不严格区分分形和自相似，但是在复杂网络的研究领域中这两个性质是截然不同的。分形网络指那些维数取有限值的情况，而自相似网络指在重整化过程中具有标度不变性的网络。 5. 所有的分形网络都属于无标度网络类。 6. 分形结构对网络的影响在于鲁棒性、网络流和模块化。 文献 研究的也是无标度网络中分形的起源，用的工具是最小支撑树。文章引言部分先对几个重要概念下了定义，小世界和无标度无须赘述，作者将NB 和lB 之间的幂律关系 定义为分形标度 (fractal scaling) ，而自相似性指度分布的标度不变性 (scale invariance) 。作者证明了网络的分形拓扑源自于低层的支撑树结构。作者验证网络是自相似的方法是用盒覆盖法对网络进行粗粒化，如果用不同尺寸的盒子覆盖网络，以及在连续的重整化过程中网络都具有标度不变性，则称网络是自相似的。 类似的，文献 将幂律关系 定义为分形行为 (fractal behavior) ，那么于是产生疑问是否可以理解为，判断是否分形的标准是 而判断自相似的标准是标度不变性？是否需要同时满足标度不变性在用不同尺寸的盒子覆盖网络和连续的重整化过程中都成立才能称为自相似？若满足关系 的网络就是分形的，如果又发现标度不变性不存在，则网络就不具有自相似性了？分形但不自相似这岂不与分形的概念相左？文献 还提到在等级网络中，除了小世界和无标度特征，存在聚类系数和节点度之间的幂律关系 ，是否意味着等级网络必然是小世界和无标度的？ 网络拓扑性质之间的相互关系 1. 无标度与小世界：二者是复杂网络的两个重要特征，没有必然联系，小世界网络的度分布可以服从幂律，也可以服从指数分布，如 WS 小世界模型。 2. 无标度与等级结构：无标度网络中必然有少量节点拥有大量连边，即 hub 节点，其它节点只需要连在 hub 节点上就可以连入网络，因此不需要太大的度，也不需要相互连接。因此 hub 节点的聚类系数必然小，也就是度与聚类系数的反比关系，这样就有可能出现等级结构要求的幂律关系 。当然了 hub 节点之间的连接方式对网络结构也有重要影响，如前文所述的 hub 吸引与 hub 排斥。 3. 小世界与分形：完全的 hub 吸引（ hub 节点只和其它 hub 节点连接）使网络任意两点间存在捷径的可能性大大增大，最短路径长度缩短，即小世界，但此时是没有分形结构的；而完全的 hub 排斥会产生分形结构但与此同时会破坏小世界效应。但实际上网络的形成机制不可能这么单一，必然是两种方式的结合，因此网络既可以是小世界的，同时又是分形的。 4. 无标度与分形：目前的无标度网络模型如 BA 模型等都不能产生分形结构，但是实际中存在分形无标度网络，二者并不矛盾。 5. 分形与自相似：很多现实网络无论是否分形都具有长度标度不变性，即自相似网络未必都有分形结构。 6. 分形与等级结构：分形 / 自相似网络经常是具有等级结构的，描述了系统的模块性。 关于上面提到的几点疑问，哪位老师能不吝赐教，小生不胜感激！ 参考文献： 1. 苗东升，系统科学大学讲稿，中国人民大学出版社， 2007 ，第 24 讲，分形理论。 2. 汪小帆等，复杂网络理论及其应用，清华大学出版社， 2006 ，第 2.8 节，复杂网络的自相似。 3. NATURE_433_2005_392--Self-similarity of complex networks. 4. Nature Physics_2_2006_275-281--Origins of fractality in the growth of complex networks. 5. Physica A-386-2007-686-691--A review of fractality and self-similarity in complex networks. 6. PhysRevLett_96_018701_2006--Skeleton and fractal scaling in complex networks. 7. PhysRevE_77_045101_2009--Self-affine fractals embedded in spectra of complex networks. 8. Physica A-375-2007-741-752--Exploring self-similarity of complex cellular networks. 9. Physica A-388-2009-2227-2233--Modeling complex networks with self-similar outerplanar unclustered graphs.

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关于分形与自相似的一些笔记

热度 3 supermac 2010-11-4 13:16

最近在研究复杂网络的分形和自相似问题时遇到了很多困惑，在这里把思路整理一下。 基本理论 分形理论首先是一门数学，但由于可作为描述系统科学中很多问题的强有力工具因而被视为一种重要的系统理论。传统的几何学只研究规则齐整的形状，即整形。但是现实世界中存在大量不规则、不整齐的琐碎形状，因而简单性科学是无法描述他们的，这样的复杂几何现象引起了人们的注意并由此诞生了分形几何学，分形理论逐步发展成熟。 大自然中存在着大量的分形现象，我们称之为自然分形。一个典型问题即为 Mandelbrot 提出的英国海岸线有多长？由于海岸线是由大大小小的曲折嵌套而成的，所以不同的测度单位会带来计算结果的巨大差异。同样，山川河流也都具有分形特征，主脉分出支脉，大支脉嵌套小支脉（或支流）。山的表面既不是平面也非光滑曲面，同样，水的表面也不是绝对平面。 数学家用数学的方法造出的分形则称为数学分形，比如对某个规则整形按照一定的规则进行变换，以产生更多更深层次的细节，使得图形越来越纷繁、琐碎、复杂。典型的例子有康托尘埃、科赫曲线、谢尔宾斯基垫子、谢尔宾斯基海绵等等。这样的生成规则也不一定是完全确定的，可以加入一定的随机因子，按照概率使用某些规则，可以生成更复杂同时更接近自然分形的图案来。 分形与自相似 分形至今没有一个严格的定义，常用通俗的描述来解释分形。一般认为，分形具有不规整性、层次嵌套性和自相似性。 按照 Mandelbrot 的定义， fractal is a rough or fragmented geometric shape that can be split into parts, each of which is (at least approximately) a reduced-size copy of the whole (Mandelbrot, B.B. 1982) 。这样的定义就默认了分形特征是一种 a property called self-similarity ，也就是说分形中包括了自相似。 所谓自相似，是一种尺度变换下的不变性 (scale-invariance) ，即在不同尺度下观察分形可以看到近似相同的形象，若把整个对象的局部放大，再把局部的局部放大，都可以看到相似的结构特征。但是这种自相似并不像整形的相似那么严格，允许相似中的不相似，不需要也不可能完全相同。比如，科赫曲线，整体是闭合的，但任一部分都不是封闭曲线。分形自相似意味着部分与整体有一样的复杂性：一样曲折、琐碎、纷乱、不规整、不光滑。并且，分形的部分与部分之间也是相似的。山重水复疑无路就是从审美的角度对山水分形中的自相似的描述，以至于让外人只看到相同之处而难以了解细微的差别，便生出迷路的疑惑。 整数维与分数维 我们都知道传统几何中点、线、面、体分别是 0 、 1 、 2 、 3 维的，这里的维数都是非负整数，故称为整数维或者拓扑维。但是分形几何对象的独特属性是不能用整数维来描述的，特别是其不规则性和复杂性，如科赫曲线在性质上不同于一维曲线但也远非二维的面。因此， Mandelbrot 引入分数维来刻画分形对象的不规则程度和复杂性程度。设 为b几何对象， a为单位线段，令 D 为分数维，定义 ，则 D=logb/loga 。 分形时间序列 查到的关于分形时间序列的文献大多是金融时间序列，这是已被公认为分形布朗运动的一种时间序列。分形布朗运动是统计自相似的，具有长期记忆性的，也就是说有一种记忆效应使得未来的变化趋势与现在相同。这种长期相关性可由相关指数 Hurst 指数表征，当H=0.5 时，序列是完全随机的；当H0.5 时，序列具有长期相关性，未来的发展趋势倾向于和过去相同；而当H0.5 时，序列是反相关的，未来的发展趋势倾向于与过去相反。分形维数可由 Hurst 指数求出，定义： 时间尺度分形维：Df=2-H. 概率空间分形维：Dp=1/H.

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Mandelbrot：美丽的分形

热度 1 songshuhui 2010-10-27 12:39

科学松鼠会 发表于 2010-10-25 18:52 文/黄秀清 谨以此文悼念分形之父（Mandelbrot）曼德勃罗先生！ 著名数学家，被誉为分形之父的Mandelbrot先生，美国时间10月15日在马萨诸塞州剑桥辞世，享年85岁。他用美丽改变了我们的世界观，他被认为是20世纪后半叶少有的影响深远而且广泛的科学伟人之一，1993年他获得沃尔夫物理学奖，他是美国科学院院士，生前还被选为美国物理学会、美国统计学会、IEEE、计量经济学会、数理统计学会等学会的会士。 大概是拥有犹太人血统，他是一位非常另类的科学家，特立独行，喜欢提出新问题和新猜想，他的论文涉及数学、信息论、经济学、金融学、语言学、生理学等几十个学科。曼德勃罗前半生的学术生涯可以用坎坷两字来形容，过着打一枪换一个地方的学术流浪者的生活，孤独地一个人行走，没有同道，论文几乎都被主流学术界无情地枪毙，被退回的手稿堆积如山。坚强的他选择了创立新的学科，自己开拓一片天地，奇迹终于出现了，1975年他独自创立了分形（Fractal）学，出版了一系列奠定分形学说的著作，赢得了世界性的声誉和学术地位。 分形（Fractal）一词，是曼德勃罗创造出来的，其原意是不规则、支离破碎的意思，所以分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。按照分形几何学的观点,一切复杂对象虽然看似杂乱无章,但他们具有相似性，简单地说，就是把复杂对象的某个局部进行放大，其形态和复杂程度与整体相似。在分形世界中，每个人都可以在身边熟悉的事物中找到戏剧性的新发现，比如中国的海岸线有多长？分形学认为这是一个不确定的答案，海岸线的长度取决于你用什么样刻度的尺子进行测量，刻度越细，所测量的海岸线长度就会更长，乃至无限。如今分形学的研究成果已经广泛地应用于物理、化学、生物、地质、农业、金融、艺术等诸多领域，其不规则图形设计理念甚至影响流行文化。 如果我没有记错的话，最早把分形引进中国的是中科院沈阳金属所的龙期威研究员，他首先把分形理论应用于金属断裂的研究，龙期威先生还为在中国推广分形学的研究做出了贡献，这其中最大的受益者当属四川大学校长谢和平院士。我至今仍清楚地记得，1989年在金属所举办的全国分形学研讨会，恰好在金属所学习的我经常去旁听，那次研讨会留给我最深印象的不是那些做报告的专家，而是坐在我身边的一位壮汉，他特喜欢提问题，那浓重的湖南音总能引起全场一片善意的笑声，他就是谢和平先生，谁也没有料到日后他会成为一名院士和著名大学的校长，他学术上最大的贡献就是把分形方法引入到裂隙岩体的研究，形成了裂隙岩体非连续行为分形研究的新方向，不夸张地说是曼德勃罗先生的美丽分形成就了谢和平先生。 有学者这样说过：为什么世界这么美丽，因为我眼睛看到的都是分形，大到海岸线、山川形状、天空的云朵，小到一片树叶、一片雪花、皮蛋里的花纹，分形无处不在，无处不有。 function copyCode(id){ var testCode=document.getElementById(id).value; if(copy2Clipboard(testCode)!=false){ alert("生成的代码已经复制到粘贴板，你可以使用Ctrl+V 贴到需要的地方去了哦！ "); } } copy2Clipboard=function(txt){ if(window.clipboardData){ window.clipboardData.clearData(); window.clipboardData.setData("Text",txt); } else if(navigator.userAgent.indexOf("Opera")!=-1){ window.location=txt; } else if(window.netscape){ try{ netscape.security.PrivilegeManager.enablePrivilege("UniversalXPConnect"); } catch(e){ alert("您的firefox安全限制限制您进行剪贴板操作，请打开'about:config'将signed.applets.codebase_principal_support'设置为true'之后重试，相对路径为firefox根目录/greprefs/all.js"); return false; } var clip=Components.classes .createInstance(Components.interfaces.nsIClipboard); if(!clip)return; var trans=Components.classes .createInstance(Components.interfaces.nsITransferable); if(!trans)return; trans.addDataFlavor('text/unicode'); var str=new Object(); var len=new Object(); var str=Components.classes .createInstance(Components.interfaces.nsISupportsString); var copytext=txt;str.data=copytext; trans.setTransferData("text/unicode",str,copytext.length*2); var clipid=Components.interfaces.nsIClipboard; if(!clip)return false; clip.setData(trans,null,clipid.kGlobalClipboard); } }

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[转载]分形在非晶合金里的应用

wrc218 2010-10-21 17:37

无序合金中的分形纪念分形之父：Mandelbrot 分形（ Fractal)普遍存在于自然界中。详细介绍见黄秀清的博文- Mandelbrot ：美丽的分形 本文将简要介绍下最近在非晶态合金中发现的一些有关分形的工作。谨以此文亦悼念分形之父（ Mandelbrot）曼德勃罗先生！ 非晶态合金是在一定条件下（比如急冷）高温合金液体来不及晶化，而过冷到玻璃态转变温度发生凝固而形成的合金。这种材料在外观上与传统合金并无显著差异，见图 1。由于具有过冷液相区的超塑性，因此可以成型成各种形状，甚至可在纳米尺度成型。 但是，非晶态合金在微观上原子排列不具有长程序，而只是存在一定程度的短程或者中程序。典型的原子构型高分辨TEM以及对应的选区衍射图见图2。 Bernal 在1960年提出了描述非晶合金原子构型的硬球密排无规堆积模型（Nature 1960）。但是这种模型在描述多组分非晶合金时，遇到了困难。最近，越来越多的工作表明（Nat Mater 2004；Nature 2006），非晶合金的基本微观单元是一些准等同的以溶质原子为中心的原子团簇，见图3。这些原子团簇的排列仍然遵循密堆原则，中间存在一些间隙原子或者自由体积。 去年，美国橡树岭国家实验室的X.-L. Wang研究组基于大量非晶合金的中子和X射线衍射数据分析（Nat Mater 2009），发现这些基本原子团簇的堆积至少在中程序尺度上满足一种自相似的分形行为：最近邻峰与原子平均体积遵循某种幂率关系（图4），其幂率指数为0.433左右，而通常晶态合金的指数为0.333。他们进一步分析发现，非晶合金中原子团簇分形堆积的分维是2.31. 最近，中科院物理所汪卫华研究组对非晶态合金在压缩过程中在应力-应变曲线上出现的锯齿状流动现象（见图5）进行了系统的研究 。 他们发现，对于韧性体系的非晶合金，锯齿状流动载荷跌落的幅值与其数目也存在某种幂率关系，见图6，这实际上也是一种分形行为。 在传统的脆性材料（比如，单晶硅、钠钙玻璃、 PMMA和Homalite-100）的动态断裂过程中，裂纹扩展往往出现路径不稳定和分叉不稳定两种类型的不稳定行为。伴随着这两种不稳定的依次出现，断裂面形貌沿着裂纹扩展方向从初始的光滑镜区（mirror）过渡到雾区（mist），最终演化为粗糙的羽毛区（hackle），其背后的能量耗散机制主要是新表面的形成。最近几年，通过对一些脆性非晶态合金体系（比如Mg基、Fe基等）动态断裂面镜区的高分辨观测（PRL 2005; APL 2006），惊奇地发现这些在微米尺度看似无结构的光滑镜区并非真正没有结构，而是存在自组装的周期条痕（图7），其间距通常小于100纳米，且垂直于裂纹扩展方向。 综合考虑其形成区域以及材料结构特征，非晶态合金中的纳米尺度周期条痕（ Nanoscale periodic corrugation, NPC）不大可能是裂纹前缘波或瓦纳线，也不同于在一些脆性单晶材料动态断裂过程中出现的与裂纹扩展方向平行的纳米条痕（可能起源于解理系统的各向异性）。这种崭新的断裂斑图很有可能是一种新的动态断裂不稳定现象，为人们揭示非晶态合金材料在断裂过程中独特的能量耗散机制提供了重要线索，因此引起了国内外学者广泛的关注。 作者的前期工作表明 (Philos Mag 2008; APL 2008; Scr Mater 2009)，这种纳米周期条痕甚至可以出现在相对韧性的非晶态合金体系（比如锆基）的动态断裂过程中，实际上是一种准解理的断裂特征，具有解理和孔洞聚集的耦合机制。进一步，提出了一种新的原子团簇运动模式－拉伸转变区（tension transformation zone, TTZ）作为准解理断裂的元过程。金属玻璃断裂过程中能量耗散取决于两个竞争的元过程，即经典的剪切转变区（STZ） 和拟想的拉伸转变区（TTZ），其中STZ主要以粘性耗散为主，而TTZ主要以形成新表面来耗散能量。两种原子团簇运动模式的示意见图8。纳米周期条痕的形成是由于在裂尖前端STZ背景下，TTZ的周期性激活。 就在最近，作者采用AFM对NPC的三维形貌进行了细致的扫描（三维形貌见图9），并对其进行了非趋势波动分析（Detrended fluctuation analysis, DFA）。发现NPC沿着裂纹扩展方向是长程关联的，存在显著的特征尺度，即间距；沿着Peak方向也是长程关联的，也存在特征尺度，但是显示出微弱的分形行为；但是沿着Valley方向表现出长程无关性和强烈的分形特征，其分维为1.48。 这一结果进一步证实了我们前期提出的金属玻璃能量机制。 相关工作发表在最近一期的【Intermetallics 2010；18:2468】 希望在这种原子长程无序的特殊合金中，能够发现越来越多的分形行为。这也许将有助于人们对于玻璃态结构、玻璃态转变现象的理解。上述这些工作也充分体现了分形的生命力，可告慰Mandelbrot的在天之灵！ 本文引用地址： http://www.sciencenet.cn/m/user_content.aspx?id=375252

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分形墙纸（分享）

毛宁波 2010-10-20 22:54

分形之父 Mandelbrot辞世之际贴上 部分分形墙纸，和大家分享！

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分形之父Mandelbrot所得荣誉和奖励

毛宁波 2010-10-20 22:45

分形之父Mandelbrot所得部分奖励和荣誉 A partial list of awards received by Mandelbrot 2004 Best Business Book of the Year Award AMS Einstein Lectureship Barnard Medal Caltech Service Casimir Funk Natural Sciences Award Charles Proteus Steinmetz Medal Franklin Medal Harvey Prize Honda Prize Humboldt Preis Fellow, American Geophysical Union IBM Fellowship Japan Prize John Scott Award Lewis Fry Richardson Medal Medaglia della Presidenza della Repubblica Italiana Mdaille de Vermeil de la Ville de Paris Nevada Prize Science for Art Sven Berggren-Priset W?adys?aw Orlicz Prize Wolf Foundation Prize for Physics

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法裔美国数学家Mandelbrot 85岁在美国马塞诸塞州辞世

毛宁波 2010-10-20 21:53

据美国新闻媒体报道，美国东部时间10月14日法裔美国数学家Benoit Mandelbrot 85岁（20 November 1924 14 October 2010）在马塞诸塞州剑桥市临终医院因胰腺癌辞世。Mandelbrot是分形之父， 1982年他出版了著名的自然的分形几何著作，标志着分形几何的诞生。他在分形方面的工作成为混沌理论的基础，也是计算机数据压缩和医学图像纹理以及模拟 湍流对飞机机翼造型设计的关键。Benoit Mandelbrot 出生于波兰(父母是犹太人)，孩童时代移居法国，他大部分时间在美国生活和工作，他具有法国和美国双重国籍。 1958-1987年 Mandelbrot 一直在IBM工作，1987-2005在耶鲁大学工作，2005年退休后一直生活在麻州的剑桥市。 　　 Benoit Mandelbrot, a mathematics pioneer and the father of the principle of fractal geometry, has died in the US at the age of 85. The fractal principle uses mathematical fromulas to attempt to understand complexity of natural world In his seminal 1982 work The Fractal Geometry of Nature, Mandelbrot argued that seemingly random patterns could in fact be the same infinitely repeated shape. He once used a cauliflower to describe the mathematical principle, pointing out that the shape of the vegetable was repeated over and over The mathematical principle has been used to measure shapes previously thought unmeasurable, including coastlines and mountains. Mandelbrot also applied the concept to economics, but he was critical of the global financial system, believing it to be too complex to properly function. Fractal geometry can be depicted in intricate and colourful computer designs which have become popular as artworks in their own right. One fractal variation was even named after Mandelbrot. The Mandelbrot Set has had a huge influence on mathematics and culture - examples have even been known to appear as crop formations. Mandelbrot的早年生活　Early years Mandelbrot was born in Warsaw into a Jewish family from Lithuania .He was born into a family with a strong academic traditionhis mother was a medical doctor and he was introduced to mathematics by two uncles, one of whom, Szolem Mandelbrojt , was a Parisian mathematician. However, his father made his living trading clothing. Anticipating the threat posed by Nazi Germany , the family fled from Poland to France in 1936 when he was 11. Mandelbrot attended the Lyce Rolin in Paris until the start of World War II , when his family moved to Tulle . He was helped by Rabbi David Feuerwerker , the Rabbi of Brive-la-Gaillarde , to continue his studies. In 1944 he returned to Paris. He studied at the Lyce du Parc in Lyon and in 1945-47 attended the cole Polytechnique , where he studied under Gaston Julia and Paul Lvy . From 1947 to 1949 he studied at California Institute of Technology , where he earned a master's degree in aeronautics .Returning to France, he obtained a PhD in Mathematical Sciences at the University of Paris in 1952.　From 1949 to 1958 Mandelbrot was a staff member at the Centre National de la Recherche Scientifique . During this time he spent a year at the Institute for Advanced Study in Princeton, New Jersey , where he was sponsored by John von Neumann . In 1955 he married Aliette Kagan and moved to Geneva, Switzerland , and later to the Universit Lille Nord de France . In 1958 the couple moved to the United States where Mandelbrot joined the research staff at the IBM Thomas J. Watson Research Center in Yorktown Heights, New York . He remained at IBM for thirty-two years, becoming an IBM Fellow , and later Fellow Emeritus . 学术生涯　Academic career From 1951 onward, Mandelbrot worked on problems and published papers not only in mathematics but in applied fields such as information theory , economics , and fluid dynamics . He became convinced that two key themes, fat tails and self-similar structure, ran through a multitude of problems encountered in those fields. Mandelbrot found that price changes in financial markets did not follow a Gaussian distribution , but rather Lvy stable distributions having theoretically infinite variance . He found, for example, that cotton prices followed a Lvy stable distribution with parameter equal to 1.7 rather than 2 as in a Gaussian distribution. Stable distributions have the property that the sum of many instances of a random variable follows the same distribution but with a larger scale parameter . Mandelbrot also put his ideas to work in cosmology . He offered in 1974 a new explanation of Olbers' paradox (the dark night sky riddle), demonstrating the consequences of fractal theory as a sufficient, but not necessary, resolution of the paradox. He postulated that if the stars in the universe were fractally distributed (for example, like Cantor dust ), it would not be necessary to rely on the Big Bang theory to explain the paradox. His model would not rule out a Big Bang, but would allow for a dark sky even if the Big Bang had not occurred. In 1975, Mandelbrot coined the term fractal to describe these structures, and published his ideas in Les objets fractals, forme, hasard et dimension (1975; an English translation Fractals: Form, Chance and Dimension was published in 1977). Mandelbrot developed here ideas from the article Deux types fondamentaux de distribution statistique (1938; an English translation Two Basic Types of Statistical Distribution ) of Czech geographer , demographer and statistician Jaromr Kor?k . While on secondment as Visiting Professor of Mathematics at Harvard University in 1979, Mandelbrot began to study fractals called Julia sets that were invariant under certain transformations of the complex plane . Building on previous work by Gaston Julia and Pierre Fatou , Mandelbrot used a computer to plot images of the Julia sets of the formula z ² . While investigating how the topology of these Julia sets depended on the complex parameter he studied the Mandelbrot set fractal that is now named after him. (Note that the Mandelbrot set is now usually defined in terms of the formula z ² + c , so Mandelbrot's early plots in terms of the earlier parameter are leftright mirror images of more recent plots in terms of the parameter c .) In 1982, Mandelbrot expanded and updated his ideas in The Fractal Geometry of Nature . This influential work brought fractals into the mainstream of professional and popular mathematics, as well as silencing critics, who had dismissed fractals as program artifacts . Mandelbrot left IBM in 1987, after 35 years and 12 days, when IBM decided to end pure research in his division. He joined the Department of Mathematics at Yale , and obtained his first tenured post in 1999, at the age of 75. At the time of his retirement in 2005, he was Sterling Professor of Mathematical Sciences. His awards include the Wolf Prize for Physics in 1993, the Lewis Fry Richardson Prize of the European Geophysical Society in 2000, the Japan Prize in 2003, and the Einstein Lectureship of the American Mathematical Society in 2006. The small asteroid 27500 Mandelbrot was named in his honor. In November 1990, he was made a Knight in the French Legion of Honour . In December 2005, Mandelbrot was appointed to the position of Battelle Fellow at the Pacific Northwest National Laboratory . Mandelbrot was promoted to Officer of the Legion of Honour in January 2006. An honorary degree from Johns Hopkins University was bestowed on Mandelbrot in the May 2010 commencement exercises. 分形Fractals and regular roughness Although Mandelbrot coined the term fractal , some of the mathematical objects he presented in The Fractal Geometry of Nature had been described by other mathematicians. Before Mandelbrot, they had been regarded as isolated curiosities with unnatural and non-intuitive properties. Mandelbrot brought these objects together for the first time and turned them into essential tools for the long-stalled effort to extend the scope of science to non-smooth objects in the real world. He highlighted their common properties, such as self-similarity (linear, non-linear, or statistical), scale invariance , and a (usually) non-integer Hausdorff dimension . He also emphasized the use of fractals as realistic and useful models of many rough phenomena in the real world. Natural fractals include the shapes of mountains , coastlines and river basins ; the structures of plants, blood vessels and lungs ; the clustering of galaxies ; and Brownian motion . Fractals are found in human pursuits, such as music , painting , architecture , and stock market prices. Mandelbrot believed that fractals, far from being unnatural, were in many ways more intuitive and natural than the artificially smooth objects of traditional Euclidean geometry : Clouds are not spheres, mountains are not cones, coastlines are not circles, and bark is not smooth, nor does lightning travel in a straight line. Mandelbrot, in his introduction to The Fractal Geometry of Nature Mandelbrot has been called a visionary and a maverick. His informal and passionate style of writing and his emphasis on visual and geometric intuition (supported by the inclusion of numerous illustrations) made The Fractal Geometry of Nature accessible to non-specialists. The book sparked widespread popular interest in fractals and contributed to chaos theory and other fields of science and mathematics. When visiting the Museu de la Cincia de Barcelona in 1988, he told its director that the painting The Face of War had given him the intuition about the transcendence of the fractal geometry when making intelligible the omnipresent similitude in the forms of nature. He also said that, fractally, Gaud was superior to Van der Rohe . Death Mandelbrot died in a hospice in Cambridge, Massachusetts , on 14 October 2010 from pancreatic cancer , at the age of 85. Reacting to news of his death, mathematician Heinz-Otto Peitgen said if we talk about impact inside mathematics, and applications in the sciences, he is one of the most important figures of the last 50 years. Chris Anderson described Mandelbrot as an icon who changed how we see the world. French President Nicolas Sarkozy said Mandelbrot had a powerful, original mind that never shied away from innovating and shattering preconceived notions. Sarkozy also added, His work, developed entirely outside mainstream research, led to modern information theory.

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[转载]美丽的分形

wrc218 2010-10-20 20:04

Mandelbrot：美丽的分形 谨以此文悼念分形之父（Mandelbrot）曼德勃罗先生！ 著名数学家，被誉为分形之父的Mandelbrot先生，美国时间10月15日在马萨诸塞州剑桥辞世，享年85岁。他用美丽改变了我们的世界观，他被认为是20世纪后半叶少有的影响深远而且广泛的科学伟人之一，1993年他获得沃尔夫物理学奖，他是美国科学院院士，生前还被选为美国物理学会、美国统计学会、IEEE、计量经济学会、数理统计学会等学会的会士。 大概是拥有犹太人血统，他是一位非常另类的科学家，特立独行，喜欢提出新问题和新猜想，他的论文涉及数学、信息论、经济学、金融学、语言学、生理学等几十个学科。曼德勃罗前半生的学术生涯可以用坎坷两字来形容，过着打一枪换一个地方的学术流浪者的生活，孤独地一个人行走，没有同道，论文几乎都被主流学术界无情地枪毙，被退回的手稿堆积如山。坚强的他选择了创立新的学科，自己开拓一片天地，奇迹终于出现了，1975年他独自创立了分形（Fractal）学，出版了一系列奠定分形学说的著作，赢得了世界性的声誉和学术地位。 分形（Fractal）一词，是曼德勃罗创造出来的，其原意是不规则、支离破碎的意思，所以分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。按照分形几何学的观点,一切复杂对象虽然看似杂乱无章,但他们具有相似性，简单地说，就是把复杂对象的某个局部进行放大，其形态和复杂程度与整体相似。在分形世界中，每个人都可以在身边熟悉的事物中找到戏剧性的新发现，比如中国的海岸线有多长？分形学认为这是一个不确定的答案，海岸线的长度取决于你用什么样刻度的尺子进行测量，刻度越细，所测量的海岸线长度就会更长，乃至无限。如今分形学的研究成果已经广泛地应用于物理、化学、生物、地质、农业、金融、艺术等诸多领域，其不规则图形设计理念甚至影响流行文化。 如果我没有记错的话，最早把分形引进中国的是中科院沈阳金属所的龙期威研究员，他首先把分形理论应用于金属断裂的研究，龙期威先生还为在中国推广分形学的研究做出了贡献，这其中最大的受益者当属四川大学校长谢和平院士。我至今仍清楚地记得，1989年在金属所举办的全国分形学研讨会，恰好在金属所学习的我经常去旁听，那次研讨会留给我最深印象的不是那些做报告的专家，而是坐在我身边的一位壮汉，他特喜欢提问题，那浓重的湖南音总能引起全场一片善意的笑声，他就是谢和平先生，谁也没有料到日后他会成为一名院士和著名大学的校长，他学术上最大的贡献就是把分形方法引入到裂隙岩体的研究，形成了裂隙岩体非连续行为分形研究的新方向，不夸张地说是曼德勃罗先生的美丽分形成就了谢和平先生。 有学者这样说过：为什么世界这么美丽，因为我眼睛看到的都是分形，大到海岸线、山川形状、天空的云朵，小到一片树叶、一片雪花、皮蛋里的花纹，分形无处不在，无处不有。 本文引用地址： http://www.sciencenet.cn/m/user_content.aspx?id=375041 * 本文仅代表博主个人观点，与科学网无关。

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纪念大师芒德勃罗（B.B.Mandelbrot）

热度 1 antiscience 2010-10-20 18:07

当代最富有创新精神的科学家芒德勃罗（Benoît B. Mandelbrot ，1924 .11.20–2010.10.14）最近去世，1998年我曾为他写过小传“ 芒德勃罗：沿着博物学传统走来 ”（印刷版见 《科学巨星》第10辑，陕西人民教育出版社1998年 ），在网上此长文被转贴过无数次，当然也被删减得乱七八糟、许多符号都成了乱码，参考文献经常被删除。此文较全的版本见： http://www.sciencenet.cn/m/user_content.aspx?id=280191 。 现在无时间再写纪念文章，仍以那篇小传怀念这样一位巨人吧。传说中，先生很牛，爱与人争吵，不过我与他打过几次交道，先生给我的印象非常好。从IBM寄来的邮包，都是他亲自写地址、邮寄的。先生的探索之路，可能对研究生有启示意义。 有一阵儿，偶对他创造的分形概念极感兴趣，曾出版过一本书 《分形艺术》（湖南科技出版社1998年） 。 〖LM〗［方正排版“另起一页”的意义。下文中空白处有一些无法显示的方正排版符号］ 〖BT1〗芒德勃罗：沿着博物学传统走来? 刘华杰 1994年冬天的一个下午，北京中关村五所大楼高等科学科技研究中心报告厅内，一位年逾70 的大科学家正在作一场关于分形(fractal)的报告。此人戴着一双宽大的眼镜，圆滚的“将 军肚儿”微微向前挺起，颇像复平面上那个经过渲染的宝葫芦(指?M?集)。他拖着浓重的 法国口音，用英语自信地讲述着分形几何学的最新进展，这门学科起初几乎是他一人独自开 创的。他不时打量一下前排就坐的他的妻子和来自中国科学院理论物理所与北京大学的众多 非线性科学专家，当然还有数量更多的年轻研究生们，这些人没准会成为他的门徒。主讲人 时而觉得太冷，急忙穿上外套,时而觉得太热，又脱掉外套，在半个小时内竟这样重复了三 四次之多。这多少有些奇怪的举止惹得学生小声议论起来，而负责报告厅空调设备的工作人 员则局促不安地随着报告人的每次穿脱外套，走向室内两个高大立式空调前扭动几下旋扭。 ? 此人便是长期在IBM沃森中心供职、赫赫有名的芒德勃罗(Benoit B.Mandelbrot,1924- )教 授，那位在多种学科“流浪”了20余年才得到学界广泛承认的分形之父，那位近些年来不断 得到各种荣誉和奖励但也到处与同行发生争执的人物。? 他只是个性有些特别，对中国以及中国人并无恶意。1996年8月他再次来访中国参加李政道 主持的题为“简单与复杂”的国际学术研讨会。对于中国文化和文字他还有几分向往，他称 中国文字个个是图形，这正合他的几何学思维方式，只可惜一个也不认识。据说，经他从中 斡旋，他的名著《大自然的分形几何学》(?The Fractal Geometry of Nature?,1982)中 译本在中国首次印行可以免收版税。但遗憾的是，时过多年，译本还未面世。大约9年前就 听说译本不久行将出版。〖ZW(〗上海远东出版社1999年已经出版此书中译本。〖ZW)〗? 〖BT2〗家庭背景与成长经历〖HT〗? 波努瓦·芒德勃罗1924年11月20日生于波兰华沙，祖籍是立陶宛犹太人。据一位语言学家讲 ，在立陶宛语中“Man”读作“芒”，所以这里不译作“曼”。波努瓦的父亲是成衣商，母 亲是牙科医生。? 出于对地缘政治现实的警觉，1936年在他11周岁时举家迁往巴黎。这也部分是受其叔父佐列 姆·芒德勃罗伊(Szolem ?Mandelbrojt,?1899-1983)的吸引，当时佐列姆是法国的一位数 学家。佐列姆通过阅读庞加莱(Jules?Henri Poincar?e??，1854-1912)和阿达马(Jacqu es?Salomon Hadamard,1865-1963)的著作学会法语，他到法国是因为法国是经典分析的摇 篮。? 芒德勃罗的父亲很骄傲已经将佐列姆扶养大，佐列姆是父亲最小的弟弟，比他小16岁之多。 父亲是位很重学问的人，祖上几代人也都是学者。“事实上家庭里每个人都像一位学者或 者期望成为一位学者，至少部分时间是这样。”??［４］?不幸的是，许多学者都忍饥挨 饿。? 芒德勃罗的父亲是很实际的人，他发现最好能拥有一个固定职业。他的工作是做衣服并卖衣 服，他并不喜欢这个职业，然而他认为：一个学者的独立性和幸福最好建筑在一份具有不同 来源的稳定收入基础之上，特别是这种收入对于世界性大灾难不能过分敏感。成衣商这种职 业当然是一个好的选择，因为无论什么时候人们都得穿衣服!? 中学时，波努瓦的数学与科学成绩在班上相当出色。高中毕业后，由于家庭生活拮据，加上 他不喜欢大城市，于是在家里待了一段时间，没有接着读高等院校。芒德勃罗解释说，这段 时间里他“拎着一些破旧而过时的书籍，以他自己的方式学习着，自我猜测着许多事情，做 任何事均不采取理性或者半理性的方式，但这样却培养了自己极大的独立性和自信心”。? 当问及一生中何人、何事对他影响最大时，芒德勃罗说，“对我影响最大的是我的一个叔叔 ［佐列姆］。作为一个杰出的数学家，这位叔叔以矛盾的方式影响着我。对我影响最大的事 件则是本世纪的［战争］灾难，它们不断影响着我接受正规的学校教育。我所受到的教育基 本上是浑沌的。”??［４］?? “1929年，当时我5岁，我叔叔佐列姆·芒德勃罗伊成为克莱蒙特?弗兰特(Clermont?Ferr and)大学的教授。当我13岁时他升任阿达马的继承人位置，成为巴黎法兰西学院勒贝格(Hen ri L?e??on Lebesgue,1875-1941)的同事。因此，我总是能够分享父辈们生活中以及创 建新数学过程中遇到的许多事情。阿达马、勒贝格、蒙泰尔(Paul Montel,1876-1975)及 当儒瓦(Arnaud Denjoy,1884-1974)都是关系不太远的叔伯。当我还是一个小孩子时，就曾 学着拼写高斯的名字，为我叔叔写的一本书寻找印刷错误。”??［４］?? 第二次世界大战爆发了，在纳粹到来之前，全家不得不扔掉一切，只拎了几只箱子，加入难 民潮，一起从巴黎向南涌到逃难的马路上。最后到了土湟(Tulle)镇。芒德勃罗的经历与另 一位浑沌探索者利比查伯(Albert Libchaber，法国实验物理学家，用小盒中的氦对流实验 验证了周期倍化分岔)相仿。利比查伯是波兰犹太人的儿子，战争中也采取了与芒德勃罗相 似的办法得以幸存。??［３］?? 1944年，芒德勃罗以班级第一名的身分通过了法国著名的“两校”入学考试,被高等师范学 校录取。“我20岁时，尽管完全缺乏正式准备，在盛大的法国考试中却表现极佳。我叔叔想 当然地认为我这个有天赋的侄儿准走他的道路，将来搞数学研究。”??［4］?这两校指 “高等师范学校”(Ecole Normale Sup?e??rieure)和“综合工科学校”(Ecole Polytec hnique)，名字在今天听起来，远比不上我们熟知的一堆大学，但却是法国最好的大学，也 属于世界上最有名气的大学。当时这两校每年招生人数极少，考试也出了名地艰难,考试持 续一个月之久。芒德勃罗回忆说，当时他的代数与分析基础并不好，但几何直觉不错，考试 时他总是设法将代数与分析问题化成几何问题，巧妙地将它们解决，他称此为合法性“作弊 ”(cheating)。芒氏虽然考得不错，但他对法国教育中的处处考试、处处打分的习惯表示不 满，他曾嘲笑道：“如果法国想取得国际象棋世界冠军，最好的办法也许是在综合工科学校 里讲授国际象棋”。? 芒德勃罗与其叔叔佐列姆对数学有完全不同的口味。叔叔佐列姆是一位非常经典的分析学家 ，而波努瓦·芒德勃罗更倾向于几何，他称自己为几何学家。叔叔佐列姆认为几何是已死掉 的学科，只对小孩子学数学还有一些意义，人们只有超越它才能取得天才的学术贡献。但是 芒德勃罗不相信这种观念，也不喜欢分析学派的那种“高雅”风格。? 佐列姆的愿望终于落空了。他始终搞不明白小芒德勃罗究竟出了什么问题，于是对他做什么 不再感兴趣了。不过，他们还是朋友。叔叔佐列姆对芒德勃罗的工作和生活有很大负面影响 。? 早在1914-1918年的时候，芒德勃罗的父亲希望聪明的弟弟佐列姆主修他向往的领域——化 学工程(约翰·冯·诺伊曼的父亲也希望儿子学习化工)。1939-1945年风波过后，父亲担心 弟弟的成功只是侥幸，这次让儿子波努瓦·芒德勃罗将来作一名工程师。“因为我对所谓的 ‘几何学之死’不以为然，又因为我不喜欢以理科作替代，于是接受了父亲的建议，我特别 让自己离数学越远越好。”? 由于不喜欢布尔巴基学派(解释见后文)的数学，芒德勃罗在高等师范学校念了没几天，就转 到了综合工科学校。1947年芒德勃罗从法国综合工科学校毕业。1948年获美国加州理工大学 硕士学位；1952年获巴黎大学博士学位。随后几年他不断在几个学科中游荡，先后“闯入” 过物理学、经济学、生理学、语言学和其他一些似乎毫不相关的学科。他喜欢用“intellec tual wanderer”(有知识的流浪汉)、“wandering around”(游荡)等字眼描写自己的学术 生涯和人生经历。? 芒德勃罗的博士学位论文显示了其从事交叉学科研究的才能。论文分两部分，第一部分采用 数学理论研究词汇中字母的分布规律；第二部分研究热力学。将不同学科中的理论有机地组 织一起，用于研究某一个特定问题，这代表着芒德勃罗科学研究工作的特色。? 到美国后，他最先是作为麻省理工学院的一名研究助理(research associate),1958成为约 克郡高地沃森研究中心(T.J.Waston Research Center，IBM的一个研究基地)物理部研究人 员(staff member)。? 芒德勃罗曾在日内瓦大学(1955-1957)，法国里尔(Lille)大学及综合工科学校(1957-1958) 任数学讲师。曾任耶鲁大学罗宾逊(Abraham Robinson)数学科学副教授，麻省理工学院经济 学讲师和访问教授及应用数学访问教授，哈佛大学经济学、应用数学与数学访问教授，耶鲁 大学工学访问教授，爱因斯坦医学院生理学访问教授，巴黎沙特(Paris?Sud)大学数学访问 教授。1987年成为耶鲁大学数学教授。? 芒德勃罗因创造了原来根本不存在的分形学科而一举成名。1975年以法文出版《分形对象： 形、机遇与维数》(?Les Objets Fractals:Forme,Hasard et Dimension?)，1977年以英 文出版《分形：形、机遇与维数》(?Fractals:Form,Chance and Dimension?)，1982年出 版《大自然的分形几何学》。最后一部影响最大，它是分形学科的宣言书，包罗万象，显示 了将分形用于自然现象描述的重要性。到目前为止他一共写过这三部书，后面每一部都是对 前一部的修订和增补，其中相当部分是重写的。他对自己的专著的描述用词是：“普及性的 ”、“随笔”(Essay)、“宣言书”、“从头到尾都是序言”。最后一句是仿达西·汤普森 (D?Arcy Thompson,1860-1948)，汤普森曾写过一部巨著《论生长与形式》，但汤氏称该书 从头到尾都是序言。? 据初步统计，到1989年底他已经发表了123篇论文，内容极其庞杂，涉及语言学、概率论、 通讯工程、水利学、经济理论、金融分析、布朗运动、湍流、复迭代、宇宙学、临界现象与 相变等等。? 芒德勃罗不是传统意义上的数学家、科学家，他的经历和学术生涯史无前例。1973年以前， 他一直不被各领域的科学家所认同，“分形理论”诞生后他的“政治”地位(他自己愿意用 这样的词汇)剧变，成为世界上最有名气的科学家之一。通过因特网(Internet)，可以很好 地检验一个人的知名度：用万维网(WWW)浏览器打开Yahoo!检索引擎，输入“Mandelbrot” 或者“fractal”，几秒种内便可查到上万条信息。仅从这一点来看，当今世界还没有哪位 科学家如此赫赫有名，即使将他与影视名星放在一起，其知名度也不逊色。? 科学界曾两次为他举行国际范围的祝寿活动，并相应出版了祝寿科学论文集。一次是1989年 在其65岁生日时，纪念文集以《物理学D》(?Physica? D，专门刊登非线性科学方面的论 文)杂志专号出版(1989年第38卷)，刊登了他的大幅照片及详细学术经历。另一次是1994年 他70大寿(会议拖到1995年举行)，纪念文集由新加坡的《分形》(?Fractals?，1991年创 办的一份关于“大自然复杂几何的跨学科”学术杂志)杂志专号出版(1995年第3卷第3期)。 对一位科学工作者而言，这是很不容易享受到的荣誉。? 芒德勃罗现为美国艺术与科学院院士，美国国家科学院外籍院士，欧洲艺术、科学与人文学 院院士。他曾荣获巴纳奖章(F.Barnard Medal,1985)、富兰克林奖章(Franklin Medal,1986 )和物理学沃尔夫奖(Wolf Prize,1991)，还有其他若干奖励。? 芒德勃罗开创的分形理论近年来十分红火，据阿哈罗尼?(Amnon? Aharony)和费德(Jens F eder)1989年对INSPEC数据库统计，公开发表的分形论文累计数量符合指数规律exp?｛(t-1 974)/1.74｝，其中t?代表年份，这表明每年论文数量以1.8的因子增加。? 〖BT2〗博学成就了事业〖HT〗? 进入20世纪，各门科学早已扬弃了博物学的传统，林耐(Carl von Linn?e??,1707-1778) 、莱伊尔(Charles Lyell,1797-1875)和达尔文(Charles Robert Darwin,1809-1882)的时代 一去不复返了，现在很难找到某人因采用博物学方法而取得重大成功，但芒德勃罗是个极大 的例外，他是现代科学界最大的博物学家(naturalist)。他十分推崇《论生长与形式》(? On Growth and Form)?的作者达西·汤普森，这也间接表明他的博物学倾向。? 他的思维方式很特别，喜欢几何是一个特征，此外他更关心数学史和物理学史(杨振宁、李 政道等大科学家也都十分重视科学史)。多数研究人员总是找最新的学术期刊来阅读，以便 能跟上科学技术日新月异的形势。而他专门找一些破旧的、没人翻看的期刊，并且时常注意 一些不起眼的非核心刊物。这是一个成才策略问题。? 芒氏特别重视那些当时非主流的思想，尤其是那些被称作“病态的”、“反直觉的”的东西 。“医生和律师用各种‘病例集’和‘案例集’来称呼有一个共同题目的实际病例和案例的 汇编。而科学上尚无相应的专门名词，因此我建议也应用‘范例集’这个名词。重要的范例 需倍加注意，而稍次的也应给予评述：通常可利用先例而缩短讨论。”??［２］?因此诸 如现在人们熟悉的康托尔(Georg Ferdinand Philip Cantor,1845-1918)三分集、外尔斯特 拉斯(Karl Theodor Wilhelm Weierstrass,1815-1897)不可微曲线、可充满正方形区域的皮 亚诺(Giuseppe Peano,1859-1932)曲线、谢尔宾斯基(Waclaw Sierpinski,1882-1969)地毯 与海绵、柯赫(H.von Koch,1870-1924)雪花曲线等等，都被他视为珍宝。而这些一直被正统 科学视为少数的反例，只是在教学过程中作为一种逻辑可能性偶而提到。在分形如此流行的 今天，本文没有必要一个一个地仔细讲述这些“怪物”(芒氏视其为“宝贝”)的具体性质， 从任何一本关于分形的书中都可以容易找到一些例子。? 芒氏把世人的想法正好颠倒过来，他认为别人视为怪物的东西恰恰是最普通的类型；别人视 为想当然的无比美好的点、线、面、体却是例外。长期的观察、收集与总结，使芒德勃罗获 得这样一个印象：除了光滑的欧氏几何(广义的，泛指分形几何以外的标准几何)以外，应该 还有一种不光滑的几何，这种几何更适于描写大自然的本来面目。? 在其代表著《大自然的分形几何学》中，芒德勃罗如是说：“为什么几何学常常被说成是‘ 冷酷无情’和‘枯燥乏味’的?原因之一在于它无力描写云彩、山岭、海岸线或树木的形状 。云彩不是球体，山岭不是锥体，海岸线不是圆周，树皮并不光滑，闪电更不是沿着直线传 播的。更为一般地，我要指出，自然界的许多图样是如此地不规则和支离破碎，以致与欧几 里得(几何)——本书中用这个术语来称呼所有标准的几何学——相比，自然界不只具有较高 程度的复杂性，而且拥有完全不同层次上的复杂度。自然界图样的长度，在不同标度下的数 目，在所有实际情况下都是无限的。这些图样的存在，激励着我们去探索那些被欧几里得搁 置在一边，被认为是‘无形状可言的’形状，去研究“无定形”的形态学。然而数学家蔑视 这种挑战，他们想出种种与我们看得见或感觉到的任何东西都无关的理论，却回避从大自然 提出的问题。”??［２］?? 芒氏认为，分形几何学并非20世纪数学的直接“应用”。它是数学危机的一个晚产的新领域 ，这个危机从雷蒙德(duBois Reymond)1875首次报告外尔斯特拉斯构造的处处连续而不可微 函数就已开始了。这次危机大约延续到1925年，主要的演员是康托尔、皮亚诺、勒贝格和 豪斯多夫(Flix Hausdorff,1868-1942)。这些天才们的工作的影响，远远超出了原定的范围 。他们及其几代后继者都不知道，在他们那些十分返朴归真的创造后面，有着一个趣味盎然 的世界。? 〖BT2〗海岸线：最容易说明的分形〖HT〗? 巴塞罗斯(Anthony Barcellos)采访芒德勃罗时问他：“分形实例中你最喜欢哪一个?”芒氏 脱口而出：“当然是海岸线例子”。??［４］?随即他又补充说还有“血管分形结构”以 及“自平方龙”(复迭代中的一个例子)等例子。他风趣地讲，实际上他不知道最喜欢哪一个 ，所有那些分形模型都好比他的孩子，他都喜欢，作为父亲因为所有孩子而骄傲，所有孩子 都为这个分形之家添了光彩。“一个人可以因为不同的理由爱不同的孩子，但他不可能有真 正绝对的偏爱。”? 不管怎么说，海岸线例子还是最容易说清楚的分形实例，芒氏到处演讲，也总是提起它，在 两部专著中也把海岸线问题放在前头讲述。? 1967年芒氏在美国的《科学》杂志上发表长度为两页多一点的报告《英国海岸线有多长?统 计自相似与分数维》，??［２３］?列出分维公式?D=-?log?N/?log?r(N)，说明海 岸线是一种无标度对象，用不同刻度的“尺子”去测量此类现象，可以得到完全不同的长度 结果。实际上可以说海岸线有任意长度、无穷长度(当然从物理上看，无标度区间总有一个 下限，在原子层次就不能再谈“海岸线”问题了)。?这时候“长度”就不是一个特别合适 的物理量了，它显得有点不“客观”，而分维?D?则是一个很好的特征量。? 实际上关于海岸线长度测量悖论，在芒氏之前英国著名气象学家里查逊(Lewis Fry Richard son,1881-1953)、波兰著名数学家斯坦因豪斯(H.Steinhaus,1887-1972)和法国著名实验物 理学家、诺贝尔奖获得者佩兰(Jean?Baptiste Perrin,1870-1942)等都有过精彩论述。芒 氏当时似乎只注意到前两人，后来才发现后者有一长串精辟阐述(在1977年、1982年的专著 中芒氏大段引述了佩兰的话)。在《科学》杂志上的这篇文章中，芒氏根据里查逊的数据绘 制了6条海岸线的“双对数图”，展示了存在6条直线(只有一条略弯曲)，这些直线的斜率就 代表海岸线的分维值。? 这篇文章的第二张图示意了如何用几种“生成元”导出不可求长的(nonrectifiable)的自相 似曲线。后来芒氏用柯赫曲线来说明海岸线问题。80年代后，生成元与L系统理论和计算机 图形学结合起来，引起不小的热潮。? 从这个实例可以看出，分形几何非常直观、简单，比现在任何一种数学都简单几百倍，似乎 没什么了不起。但第一个吃螃蟹的人不容易，第二、第三个吃者也不简单。对于分形几何学 中相当多内容，即使芒氏也不是第一个吃螃蟹的人，但他使吃螃蟹成为了时尚。他做的许多 贡献都是这种性质的，他最终将毫无头绪的“杂多”综合在一起，创立了分形科学。? 〖BT2〗贯穿始终的一条线索〖HT〗? 除了创立分形几何学这样一个总的题目，芒氏的主要科学成就具体说来主要包括什么?如果 去掉“主要”两字，罗列一长串也就齐了，但是限制列出几项，考虑起来可不容易。有些现 在看起来重要，可能不久后随着科学的发展又不算什么了，有的现在一般般，但也许以后会 变得重要。无论怎样，作者还是根据自己的粗浅理解初步列出几项：? 1)发现莱维(Paul L?e??vy,1886-1971)稳定分布的重要性，并应用于经济学、布朗运动 、星系分布等领域；? 2)用自相似观点研究噪声与湍流的阵发过程；? 3)［重新］发现?M?集合，推动了复迭代的复兴和计算机图形学的发展；? 4)在前人基础上扩展了维数概念，并使各领域科学家广泛理解；? 5)提出“分形”概念和“多分形”(multifractal，也译作“多重分形”、“多标度分形”) 思想，为不规则现象、临界现象研究树立了一面新的旗帜；? 6)促进了科学的统一和数学的普及，有力推动了科学与艺术的结合。? 在一般人看来，芒德勃罗的最主要贡献是发明了一种新的几何学。但是仔细研究他曲折的学 术生涯会发现，他首先进入的并不是基础数理科学，而是“工程技术”(做广义的理解)。他 在工程技术中(或者用中国话来说，在生产实践中)发现问题，总结出带有规律性的东西，进 而将它们上升为一般理论，最终创立“分形几何学”。这与当前物理学家、数学家改行的顺 序似乎正好相反，现在通常是由基础数理科学转向经济学、社会学和哲学等。? 直到最近人们对芒氏的理解还局限于确定论范式，90年代以后才有一些人注意到芒氏那里还 有随机论范式，并且在芒氏那里两者本来是有机地结合在一起的。? 芒氏本人曾明确说过，如果将来写关于分形方面的专著或者教科书，倒是可以直接从随机变 量、随机函数讲起，而他之所以没有这么做，主要是考虑：首次进入能够极大地吸引读者的 话题，应让读者立即产生几何直觉。无论是研究词频分布、通讯系统的噪声、价格变化，还 是布朗运动、湍流、星系结构，芒氏都用了“自相似”这一貌似简单的思想。他的思路这这 样的：?? 〖GK2!〗〖HTF〗 自相似性≡尺度变换下的一种对称性→双曲分布→非高斯稳定分布→巧妙利用了方差为无穷 的“病态”性质→莱维飞行→各种应用(海岸线、皮亚诺曲线、门格尔/谢尔宾斯基海绵等) →分维测度→分形几何→自相似性→……〖HK〗〖HT〗?? 芒德勃罗曾说：“与分形关系最紧密的是双曲概率分布”(见《大自然的分形几何学》第38 章)。他最早接触的词频分布与收入分布研究，都涉及这一主题。在我们分析的上述方案中 ，特别突出了目前一般分形著作不太重视的“非高斯稳定随机过程”。? 芒德勃罗从事的第一个科研实践(实际上仍然理论气十足)是研究通讯中的噪声和词频的分布 ，后来是河水的涨落以及经济学中的收入分布规律。这几项似乎一点不搭边，但它们都指向 一个不变的东西，这个线索如此重要，以至不理解它就无法理解芒德勃罗一生工作的统一性 。这个线索沟通了自然科学中长期存在的确定论描述体系与随机论描述体系，这个线索帮助 人们理解宣言书《大自然的分形几何学》中各个部分之间的内在联系。这个线索的潜在价值 远未开发完毕，它正在成为众多新学科的生长点：如最近对分数布朗运动(FBM)的兴趣，对 莱维飞行(L?e??vy flights)的重新关注，对非高斯稳定随机过程的新认识等等。? 那么这个线索是什么呢?就是从他的老师莱维那里学来的“莱维稳定分布”(L?e??vy?s stable distributions)。莱维是概率论少有的几位著名的奠基人之一，虽然现在的学生几 乎不知道这个伟大人物了。当年在法国综合工科学校，莱维教过芒德勃罗，芒氏师从莱维学 习基本的数学分析。后来有人问芒氏是否是莱维的学生。芒氏的回答很有趣：“不，许多人 后来都声称是莱维的学生，但莱维特别否认他有什么学生”。芒氏讲的“学生”(student) 换成“弟子”(disciple)大概更恰当些。 ? 芒德勃罗大约在1960年左右真正意识到非高斯型稳定分布的意义，从此他坚定信念，不为外 界各种反对、批评所动，连续将这种思想应用于经济学、流体力学以及天文学。? 在概率论基础奠定之前，钟型误差分布定律就已广为人知，这种分布具有各种想象得出的好 性质，所以被冠以“正态分布”，也称高斯正态分布。言外之意，不满足这些性质的分布都 不是标准的——也许多少有些“变态”。特别是本世纪初对布朗运动的大量研究，更加深了 人们对这种完美分布的向往。维纳(Norbert Wiener,1894-1964)成功地发展了一套关于布朗 运动的漂亮数学理论。如今人们称布朗运动往往有两种含义，一种指物理上实在的微粒运动 导致的宏观过程，另一种则指维纳的那些纯粹数学。实际上维纳在研究布朗运动随机过程时 所用到的分布只是高斯正态分布。? 数理科学中个别案例使用正态分布导致了空前成功，直接诱导人们将它推广到一切物理现象 ，最终必然影响到社会科学界。在相当长时间里(甚至到现在仍然如此)，数理统计工作者言 必称正态分布，在相当程度上正态分布是唯一有用、方便的工具。然而芒德勃罗发现这种流 行观念是错误的。? 〖BT2〗经济学中的“稳定分布”〖HT〗? 现在查到芒德勃罗一共发表18篇经济学论文(也许会有几篇的出入)，主要涉及《经济学季刊 》、《政治经济学杂志》、《计量经济学》、《商业杂志》、《国际经济评论》、《交叉科 学评论》、《运筹学研究》、《经济学与统计学评论》、《经济与社会测度年刊》、《应用 经济学》等，发表时间集中在1959年至1973年。综观芒氏的论文和专著，他只关心一个核心 的经济问题——收入分布以及与之有关的价格问题。据他人本讲，他对经济学中的帕累托(V ilfredo Pareto,1848-1923)分布的研究从1957年在哥伦比亚大学和康奈尔大学的时期就开 始了，然后在法国里尔大学和综合工科学校继续了这项工作。1973年以后他义无返顾地离开 了经济学，专心发展“分形几何学”。与在其他学科一样，经济学界并没有轻易接受他的非 正统观点，但芒德勃罗已经得到自己想得到的东西，他并不在乎经济学界当时能否承认他。 ? 米罗夫基(Philip Mirowski)1995年评论说，芒德勃罗的经济学研究在经济学团体内引起过 两次巨大风波，一次是在60年代末，一次是在80年代末。第一次是因为芒氏的观点攻击了当 时占支配地位的计量经济学和资产定价理论，第二次是因为芒氏在非线性动力学运动中出尽 风头，经济学家受“浑沌”(chaos)的影响,间接评论了芒氏的早期研究工作。两次反响的主 流都是怀疑芒氏的理论和方法，既使有一些人受芒氏论文的激励，转而注意自己未曾考虑的 方面，也不相信芒氏的理论。? 芒德勃罗最早关注经济学问题是从关于收入分配的帕累托定律(Pareto?s law)开始的，这 个定律的形式颇像他在语言学词频分布中注意到的齐普夫定律( George Kingsley Zipf?s law)。意大利经济学家帕累托曾专门分析过收入分布数据，他发现收入分布具有如下特点： ? ??N=N?0x??-b?，?? ? 其中?N?0是总人口数，x是收呻水平，N是收入不低于x的人口数，b为参数。芒德勃罗后 来将指数b解释为分维数D?。这个公式的含义是，收入水平越高，则收入高于这一水平的人 口越少。现在甚至不清楚帕累托是否用最小二乘法或者别的统计程序实际导出过这个公式， 他当时认定收入分布对于人为干预是不变的。用概率的观点表示，此定律的形式为：? ?? 1-F(u)=?Pr?(U(t)＞u)～(u/u?*)??-α?～Cu??-α?,??? 其中?α?称帕累托指数，一般介于(1，2)之间，有时也可以达到(4，5)之间。此式与上面 的公式是等价的。芒德勃罗也称?P(u)=?Pr?(U＞u)=Fu??-D??类型的分布为双曲分布 (hyperbolic distributions)。? 直到芒德勃罗1960年左右开始将帕累托分布重新用于经济学，此分布在经济学界几乎没什么 影响。他的论文《帕累托?莱维定律与收入分布》、《稳定帕累托随机函数与收入的乘差分 》、《某些推断价格的差分》、《帕累托分布与收入最大化》、《统计经济学的新方法》等 发表后，经济学界不以为然。正统经济学家认为数据拟合得并不佳，并且认为芒氏的理论需 要微观证据。? 芒德勃罗看重的不是数据拟合到何种程度，而是收入分布的长时尾(fat tails)现象在尺度 变换下具有不变性，即个人收入分布、厂商尺度的收入分布和城市尺度的收入分布都具有这 样的“尾巴”。“长时尾”现象暗示存在一种非高斯意义上的稳定分布。芒德勃罗熟悉他老 师莱维的工作，立即将它与莱维的“稳定分布”联系起来。? 简单说来，稳定分布的含义是，多个独立同分布随机变量序列经过适当的线性总和(linear aggregation)后，其分布仍然保持不变。稳定分布是无穷可分的，对应于稳定分布的随机过 程是稳定过程。稳定分布是比正态分布更广泛的一类分布，其中包含了正态分布。标准正态 分布与正态分布都是稳定分布，柯西分布也是一种稳定分布，除此之外还有没有别的重要的 稳定分布呢?这正是芒德勃罗急于思考的。实际上他的老师们已经解决了这个问题，莱维和 弗雷歇(Maurice?Ren?e?? Fr?e??chet,1878-1973)细致地研究过类似问题，指出负 幂律分布就是一种重要的稳定分布(其中指数满足关系?0＜b＜2?)。芒氏1961年的文章《 稳定帕累托随机函数与收入的乘差分》就是献给综合工科学校的莱维教授的，而1962年的文 章《帕累托分布与收入最大化》则是献给巴黎大学(Sorbonne)的弗雷歇教授的。在芒氏的文 章中，帕累托分布也称帕累托?莱维分布。? 芒德勃罗的经济模型中具有尺度变换下的“不变性”，他认为这十分关键，仅仅凭这一点就 值得认真研究。他认为负幂律分布是除了高斯正态稳定分布外最简单、最值得考虑的一种稳 定分布。它就像玻意耳(Boyle)的气体模型一样，可能与实际有些差别，但它是一种重要类 型，一种简单的理想情况，只有研究清楚了这种理想情况，才能推而广之从而考虑更复杂的 情形。正如我们不能说理想气体(perfect gas)模型没有价值一样，也不能说帕累托?莱维 分布过于理想化而没有实用价值一样。从这种意义上看，经济学界对他的反驳其实均不构成 威胁。芒德勃罗是从逻辑分类的角度、从数学可能性的角度思考问题的，其模型撇开经验事 实仍然具有理论价值。实际上1963年洛仑兹(Edward Lorenz,1917- )的《确定性非周期流》 一文(在非线性科学史上具有重要地位)也具有此性质，洛仑兹方程只是大气运动的一种极度 的理论抽象和简化，它甚至可以与实际的大气运动无关，但仍然具有重要理论意义和间接的 实际意义。也正因为如此，芒德勃罗与洛仑兹的理想模型的应用也就不限于什么经济学或者 气象学，而具有普遍性，可以扩展到相当多的学科。芒德勃罗实际上也是这样做的，他不久 后就将莱维稳定过程用于湍流研究，特别强调了“莱维飞行”，现在看来他的确是先行者， 历史将公正地记录下他的先驱性工作。? 以棉花价格波动为例来讲，芒德勃罗的理论的特点在于，它不是考虑在某一个特定层次产生 价格变动的规律，而是跨越层次，寻求尺度变换下的不变性。棉花价格是一种理想的数据源 ，经济学家对其变动的传统看法是，短期变化与长期变化没有关联，由快涨落导致的瞬间价 格变化是随机的，而长期的价格波动是由于显然的宏观经济形势和战争之类重要事件决定的 。因此传统经济学处理此问题的办法是，在确定性的过程中加上随机的噪声。芒德勃罗却把 不同层次统一起来，发现日变化曲线与月变化曲线的一致性。对于股票价格，他也作了类似 的分析。这未必是最好的理论方法，但至少是一种可能的理论方法，而以前人们确实忽视了 它。但经济学界由于长期习惯于自己那一套思路，对芒氏的做法自然有反感，攻击他的最好 办法就是指出其曲线拟合不理想。? 在研究股票价格变化时，芒氏极力反对“价格连续变化”的模型，认为这种照搬牛顿力学于 经济学不济于事。在经济系统中，小的连续变化可以引起突然的不连续变化。基于这种考虑 他否定了滤波预测方案和各种人为凑出高斯分布的办法。在经济学研究中他提出了标度原理 (scaling principle)。? 设?X(t)为价格，?log?X(t)是独立增量过程，即?log?X(t+d)-?log?X(t)具有独立于 d的分布，其中只需引入一个标度因子。芒氏立即想用此模型得出一些有意义的结果，但首 先要面对的是这种模型的奇怪性质(实际上这竟是他所期望的)。芒氏大胆地假设?log?X(t +d)-?log?X(t)具有“无穷方差”!他第一次用符号V表示方差。以前人们想当然地假设方 差是有限量，发散的情况根本不予考虑，也不应该考虑。用芒氏语言讲，人们似乎患了“无 穷方差综合症”。具有反叛色彩的芒氏假定V=∞自有他的考虑：“不用说，假定V=∞的成功 后果是，我就很容易使曲线具有无穷长度、曲面具有无穷面积。”(第37章)于是后来提到的 “英国海岸线长度”、皮亚诺曲线填充、柯赫雪花曲线长度等问题都有了理论基础，当然其 他思想渊源也曾帮助他得到了那些结果。但作者认为，海岸线问题是后来的事。那时他已经 有了基本结论，他不断翻阅数学“故纸堆”，也不断发现一些阐述得更佳的论述，但这些新 发现的材料当初对于他形成基本的分形思想并未产生影响。在撰写专著时，他当然要重新规 划，以一种更直接、更通俗、更符合逻辑顺序(发现过程并不符合通常的逻辑)的方式叙述出 来，甚至更多的是考虑读者的反应。?? 到了80年代经济学界受非线性动力学的影响不得不对芒氏的早期研究作出评价，在此之前 克拉克(P.Clark)的博士论文以及后来的自回归条件异方差(ARCH)、广义自回归条件异方差( GARCH)模型回避了芒德勃罗开创的路线，仍然假设噪声服从于一种基本的高斯分布，但有一 个变化的二阶矩。他们的文章引用了芒氏的假设，但设法避免那类假设。但这种处理方法仍 然没有逃出分数阶自回归滑动平均(ARIMA)的套路。到后来，许多经济学家更多地采用GP关 联积分算法(Grassberger?Procaccia两人提出的)求时间序列的分维数，用BDS统计(Brock ?Dechert?Scheinkman三人在关联积分的基础上发明的)检查经济系统中是否存在非线性结 构。但是正如米诺夫基指出的，经济学界的这些人物并没有认真吸收芒德勃罗的思想，而是 应付、回避矛盾，他们既排斥莱维稳定分布也排斥浑沌。芒德勃罗早已摒弃了“不是决定论 就是随机论”的两极化选择，他认为经济现象比较复杂，应当用更精致的随机过程或者浑沌 动力学描述，应当放弃牛顿经典力学的套路，由原子运动推出一切。本质上在经济学问题上 芒德勃罗采用的是一种类似统计物理/热力学的现象学的方法，这一性质还未被经济学界深 入理解。? 当芒德勃罗离开经济学时，他得到了什么?他似乎高兴地带走了价格变动的自相似观点、标 度律的观点，以及一种似乎无人注意但有着各种潜在应用价值的“莱维稳定分布”。 〖BT2〗布朗运动与莱维飞行〖HT〗? 1785年荷兰医生英根豪茨(Jan Ingenhausz，1730-1799)首次报告了布朗运动，他发现花粉 颗粒在酒精溶液表面运动。但这种现象被冠以布朗(Robert Brown,1773-1858)这个名字。布 朗1828年发表了他的更细致的观察和研究。这种现象直到1905年，才由伟大的爱因斯坦(Alb ert Einstein,1879-1955)用分子运动论一举阐述清楚，布朗运动是由于流体分子热运动不 断撞击微小颗粒造成的宏观现象。? 实际上1900年在法国，庞加莱的一个名叫巴歇列(Louis Bachelier,1870-1946)的学生， 在其论文中就已经发展了一种布朗运动理论，只因为他的论文是关于股票市场涨落问题的， 未引起物理学家的注意。巴歇利引入了今日称作查普曼?柯尔莫哥洛夫链的方程，并导出了 随机过程的扩散方程，指出概率可以像热一样扩散。由于巴歇利的论文不为数理学界所知， 它对后来布朗运动的物理学没有产生直接影响。巴歇利研究的经济问题中没有摩擦、没有斯 托克斯定律，也没有阿弗伽德罗(Amedeo Avogadro,1776-1856)常数。芒德勃罗在1977年出 版的专著《分形：形、机遇与维数》中，特别以很多的篇幅描述了巴歇利的简历和研究成就 ，虽说芒德勃罗极擅长从旧纸堆中挖掘一些没有注意的“古怪”东西，但用如此长的篇幅还 不多见。? 爱因斯坦的著名论文《热的分子运动论所要求的静液体中悬浮粒子的运动》1905年发表在《 物理学杂志》。??［３１］?爱因斯坦预测，布朗粒子随机行走(random walk)均方位移( mean squared displacement)随时间线性增长，乘以一个与阿佛加得罗常数有关的因子:? λ?x= 2Dt ，用现在的符号表示则有〈x?2(t)〉=2Dt?。1908年这一结果立即被 佩兰用来测定阿佛加德罗常数，进而为“原子”的存在性提供了重要证据。佩兰1926年荣获 诺贝尔物理学奖。从那时起，布朗运动成为重要的研究对象。? 但是问题并没有彻底解决，或者说研究才刚刚开始。从数学上看，布朗运动涉及许多艰深的 内容。对于离散布朗轨迹，可以在固定步长的格子上研究简单的随机行走，但对于连续情形 却遇到了严重的困难：布朗粒子运动路径处处不可微，粒子的速度无法定义。这时已有了勒 贝格的测度理论，而又恰好出现了一个伟大的人物——维纳，他抓住这个时机(大约于1921 年)，利用测度理论，发展了一整套漂亮的随机过程理论，后来称之为维纳过程或者布朗运 动。芒德勃罗早就把布朗运动视为分形的一个典型，并将布朗运动轨迹视为二维分形。? 维纳开创的布朗运动数学，已成为概率论的一个经典范式(paradigm)。后来柯尔莫哥洛夫 (A.N.Kolmogorov,1903-1987)于1931年奠定了概率论的基础，日本学者伊藤清(It?o??) 又发展了维纳的理论，提出随机积分等概念。? 1968年芒氏与尼斯(J.W.van Ness)合作发表了一篇重要论文《分数布朗运动、分数噪声及应 用》，1969年与瓦利斯(J.R.Wallis)合作发表论文《带有分数高斯噪声的计算机实验》，19 71年发表论文《一种快速的分数高斯噪声发生器》等。实际上芒氏所使用的若干新工具、新 方法，早在这之前他就十分熟悉了，已经在通讯工程和经济学领域部分尝试过。? 芒氏1968年的文章通过引入了“记忆”推广了布朗运动，分形布朗运动的概率分布为? ?? p(x,t)= 1 2πσ?2(t) ?exp? -x?2 ??? 其中?σ?2(t)=t??2H?，H的取值范围一般限制在(1，1/2)之间。当H=1/2时，正好对应 于布朗运动。这一推广意味着随机行走的均方位移随t??2H?而增加。当H较小时扩散较慢 ，当H较大时扩散较快。在湍流中H可以取非常大的值。? 如果随机行走发生在分形体上(如逾渗(?percolation?)格子)，则运动行为不同于一般的 布朗运动，运动由于空间背景的不同可以时快时慢，表现出不均匀跳跃。H的取值可以分成 两类，当H小于1/2时，均方根位移慢于线性增长，当H大于1/2时，均方根位移快于线性增长 。其中后者非常有趣，涉及著名的“莱维飞行”。?? 布朗运动的基本思想是随机行走，所使用的基本数学是高斯正态分布，随机行走者?t时间 后的位置分布是高斯型的，方差正比于时间。对于一维的N步随机行走，每一步的步长x是一 随机变量，其概率分布为p(x)，具有0均值。法国数学家莱维提出这样的问题：什么时候N 步的总和的分布仍然具有与单步相似的(乘以一个标度因子)分布?这等于问，整体与部分何 时有相似性，因而很自然与分形有关。对此问题通常的想当然的回答是高斯过程，因为N步 高斯分布加起来仍然是高斯分布。但是莱维一般地证明了，此问题还有其他解。?? 早在1853年柯西(Augustin?Louis Cauchy,1789-1857)就认识到对于?N?步可加(也叫稳定 )随机过程，除了高斯分布作为其显然解外，还存在其他可能的解。当把?x?实空间变换为 傅里叶(Jean?Baptiste?Joseph Fourier,1768-1830)?k?空间时，可加过程的可能概率 分布为??［１８］?? ?? ?N(k)=?exp?(-N｜k｜?β).??? 当?β等于1时，便得到柯西分布，β等于2时对应于高斯分布。如今上式称为莱维概率分布 。? 应当说明的是，广义的莱维稳定过程(s?D?1+s?D?2=s?D，s?1X?1+s?2X?2=sX+常 数)，仅对三种极特殊的情况，可以解析地求出稳定概率分布。当x的绝对值很大时，返回到 实x空间，p(x)可以用｜x｜??-1-β?来近似。当β小于2时，显然p(x)?的二阶矩无穷大 。这意味着除了在高斯情形中，随机行走(飞行)没有特征尺度。正是这一性质决定此类随机 行走是标度不变的分形。这种随机行走好的性质在于自相似；坏的性质在于具有无穷矩(inf inite moments)，于是均方位移发散。? 矩发散长期以来被认为是一个致命缺点，物理学家不愿意看到发散性。只是由于芒德勃罗的 大力鼓吹，莱维的思想才一点一点被物理学界所理解，90年代中期“莱维飞行”成了时髦的 研究课题。在早些时候，在鼓吹、传播莱维不变分布方面，芒德勃罗当然是唯一的代表人物 ，这一点应特别提及。? 莱维飞行的轨线是典型的分形，虽然不是处处不可微，但跳跃的步长可以变化。经过一番处 理，均方位移的发散性可以回避掉。特别地，一个随机变量?X?具有无穷方差，并不能否 定?X?以概率1取有限值。例如柯西密度?1/［π(1+x?2)］?变量几乎总是有限的，但它 具有无穷方差和无穷期望。莱维飞行的宏观轨迹是一系列折线或者孤立的康托尔尘埃点集。 一般情况下不考虑粒子在两个端点之间飞行的中间过程，如果考虑两次跳跃之间具有某种速 度，这种过程又叫作莱维行走(L?e??vy walk)。人们可以问在不同的飞行片段中，在时 间?t?粒子的飞行速度是多少，这一定是某个与时间有关的有限值。但是平均飞跃状况是 发散的。 ? 从1977年的《分形》一书可以看出，芒德勃罗已经自如地将“莱维飞行”运用于各种场合， 包括布朗运动、分形集团和星际物质分布，并且给出占7页篇幅的图形说明。遗憾的是，科 学界直到90年代才认识到这部分工作的重要性。? 〖BT2〗阵发湍流〖HT〗? 芒德勃罗关于流体湍流问题的研究始于对经济学的研究之后，1963年秋季他在哈佛大学听了 斯图尔特(Robert Stewart)的一次讲座，了解到流体力学研究中讨论阵发(间歇)(intermitt ency)现象,同时知道了苏联学派关于湍流研究的一些最新结果，如柯尔莫哥洛夫1941年与19 61-1962年两个阶段的创造性工作。芒德勃罗立即有一种冲动：试图转向湍流研究。他觉得 这些观念对于自己并不算新鲜事，大约10年前自己在研究通讯噪声时，就碰到过类似的现象 。他认为湍流中的许多问题与分形有关(当时还没有“分形”这个概念)。他迫不急待地想把 自己在其他领域做的工作“翻译”成流体力学的语言。? 众所周知，湍流是困扰科学家百年之久的老大难问题。流体运动显然满足纳维叶?斯托克斯 (Navier?Stokes)方程，但这无济于事，这个方程根本无法求解。多少年来人们从解析的角 度做了各种努力，均未获重大进展。芒德勃罗则是从几何形状入手的，他声称自己不断观察 关于湍流的绘画、照片，考察湍流的速度记录，甚至倾听湍流(将数据转化成音频信号)，还 用功率谱等手段测量湍流，以获得基本的几何直觉。利用自己对其他奇异性问题研究的经验 ，他形成了一些猜想，但并不能证明它们。直到1967年他才发表关于湍流的文章《偶发湍流 》(Sporadic turbulence)，1968年发表《论阵发自由湍流》(On intermittent free turbu lence)，1972年发表《有关阵发湍流能量耗散的对数正则假设的可能细化》,1974年发表《 自相似级联阵发湍流、高阶矩的发散性与载体的维数》，1975年发表《论各向同性湍流》， 1976年发表《阵发湍流与分维》，1977年发表《分形与湍流：吸引子与弥散》等。? 芒德勃罗对湍流的研究不是从基本方程入手进行严格数学分析，而是从宏观上、从几何角度 观察，先获得几何直觉，构造核心概念，再一层一层作定性分析。这一思路是“将自相似技 术应用于湍流的几何学”。芒氏明显地受柯尔莫哥洛夫1941年文章风格的影响，他说：“方 程(指欧拉方程和纳维叶?斯托克斯方程)并没有帮助我们理解柯尔莫哥洛夫，同时柯尔莫哥 洛夫也没有帮助我们解方程。”? 芒氏首先从湍流级联(cascade,也译级串)中的自相似出发，在这方面著名气象学家里查逊 仍然走在前面。1926年里查逊就引入了与级联有关的旋涡等级层次(hierarchy of eddies) 的概念。1941年哥尔莫哥洛夫、奥布科夫(A.M.Obukhov)、翁萨格(Onsager)和魏扎克(von W eiz?a??cker)沿此路线作出重大贡献，不过一般情况下这一组研究只冠以柯尔莫哥洛夫 的名字。? 芒氏作出“湍流运动的奇异性本质上是分形”的重要猜想。从其它方程导出的已知的奇异性 不足够以解释直观上我们看到的湍流的特征，于是他猜测：基本方程的湍流解，一定牵涉到 新的类型的奇异性，并且可能就是分形。特别地，他说：“纳维叶?斯托克斯方程的解如果 存在，就是事实上的极限分形。”他进而猜想，欧拉方程解的奇异性，也是实际上的分形。 这样一来他发展的分维概念就有了用武之地。直观上看，纳维?斯托克斯方程的解要比欧拉 方程的解光滑些、少些奇异性，于是可以猜测欧拉方程的解的维数比较大一些。芒氏承认， 证明这些猜想，都远远超出了他的解析能力。实际上对于微分方程也是如此，以前人们只知 道不动点、极限环和极限环面(torus)，经过浑沌的洗礼，才知道还有另一种非周期定态运 动。当时芒德勃罗直觉上猜测流体方程应当具有新的奇异性，的确是一个创见。? 在研究湍流阵发现象时，他贯彻了“自相似教义”，提出了一个有趣的新概念“乳凝”(cur dling)，与它对应的一个词是“乳清”(whey)。“乳凝”和“乳清”随机地混合在一起，构 成复杂的结构，类似于康托尔集合、谢尔宾斯基海绵。芒氏特别强调，对“乳凝”这个词不 要作字面上的理解，但是考虑到“乳凝”外面的空间包围着“乳清”，倒是有助于理解问题 。芒氏形成这样的概念，大概受到诺维克夫(E.A.Novikov)和斯图尔特(R.W.Stewart)1964年 论文《湍流的阵发性与能量耗散涨落的谱》(原文为俄文)的影响，也受到霍伊耳(F.Hoyle)1 953年和1975年关于星系团等级层次模型的影响。? 芒氏解释说，诺维克夫与斯图尔特合写的文章的核心假设是，阵发性是由级联导致的，在每 一阶段能量都从一个旋涡(eddy)“集中”或者“乳凝”(作动词用)到?N?个次级子旋涡(su beddies)，旋涡的比例为?r，于是有如下分维公式D=?log?N/?log?(1/r)?。对于宇宙 学D一般小于2，但对于流体湍流D大于2。在1977年的专著《分形》中，芒氏用四页插图表现 “随机乳凝”(random curdling)结构，用以形象地说明流体湍流耗散的一般过程。? 经过?m次级联耗散后，能量均匀分布在第m层次的γ??mD?个子涡旋上。在三维空间上 一共有γ??3m??个子涡旋。当级联无限进行下去时，耗散的极限分布均匀地散布在一个 维数小于3的分形“乳凝”(作名词用)上。芒德勃罗将这种湍流称为“分形各向同性湍流”( fractally homogeneous turbulence)。? 利用这种思想芒氏于1976年将柯尔莫哥洛夫的5/3指数改写为?5/3+B，其中B=(3-D)/3?。 ? 芒氏特别研究了乳凝与乳清的结构关系,这时他用到了物理学中非常重要的概念——逾渗和 逾渗壶(percolator)。逾渗壶就是一组自相似的集团(cluster)，而集团是由联通的乳凝组 成的。芒氏1974年将简单的乳凝(?1/r和N?都取整数的情况)分解过程称为正则乳凝(canon ical curdling)，后来又考虑令?N可以随机变化，对应于每一层次有一个随机数U，再规定 一个概率阈值p，当U大于p时子旋涡湮灭成为乳清，当U小于p时子旋涡存活为乳凝。当p小于 1/r?3时，所有过程都死掉，于是D为0，对于其他情况有非零概率，过程收敛到一个维数为 D=3-?log?p/?log?r的分形上。此模型的好处在于D?可以在0和3之间变化。? 法国尼斯天文台的弗里茨(Uriel Frisch)教授1995年在专著《湍流：柯尔莫哥洛夫的遗产》 中高度评价了芒德勃罗关于阵发湍流的思想，实际上弗氏是较早就认识到芒氏思想重要性的 少数人之一。1974年克莱茨南(R.H.Kraichnan)纠正了随机级联模型的一个概念错误，用速 度增量和能量流这些惯性物理量代替了耗散量，使得诺维克夫?斯图尔特模型发展为?β? 模型。弗里茨在?β?模型中讲述了芒氏的自相似级联思想。结合柯尔莫哥洛夫1941年的论 文，可以导出速度关系? ??v?l～v?0 l/l?0 ?? 1 - 3-D ?.??? 芒德勃罗、弗里茨、帕里西(Giorgio Parisi，罗马大学)等提出的“多［重］分形”概念对 于阵发湍流研究具有重要意义，但是多分形模型的现象学表示有两个缺点：第一，它假定存 在奇异性，第二，它没有区分正负速度增量。弗里茨从概率的观点重构了多分形模型，克服 了这两个缺点。概率意义上的多分形标度性，并不要求在个体层次上实现任何分形结构。从 这个意义上看，湍流的分形或者多分形描述更多地体现着概率含义，离精细尺度的几何特征 则越来越远，虽然起初是从几何入手的。不过，进入90年代中期，达·芬奇(Leonardo da V inci,1452-1519)式的湍流又成为研究的焦点，科学家们开始考虑极细小尺度上(到了柯尔莫 哥洛夫尺度的量级)的非平庸的几何结构，特别关注涡丝(vortex filaments)的形成以及对 于流体动力学和统计特征的影响。? 〖BT2〗对布尔巴基学派的态度〖HT〗? 芒德勃罗一生做了各种各样的研究，涉猎语言学、通讯工程、热力学、经济学、湍流、布朗 运动、复迭代等等，在他的工作中数学与其他学科是自然结合在一起的。如果说他是什么什 么家的话，他首先是“科学博物学家”，因为他善于从科学史中发现有价值的东西，将一些 孤立的、只言片语的深刻洞见联系起来。他的几乎每一样贡献都很容易找到一系列前身，对 此人们有两种不同的看法，一种观点认为芒德勃罗没什么了不起，只不过自己造了“分形” 这个词而已；另一种观点截然相反，认为他的创造是伟大的综合，是任何人所无法替代的， “分形”体现的并不只是一个普通名词，它统摄了科学界各学科呼唤已久的内在声音。无疑 本文作者持后一种见解。? 芒德勃罗以几何方式思考问题，这句话有两方面的含义，一种是他以数学上的几何学方式思 考，另一种则带有若干贬义：以直观的、从形状出发的、不严格的方式思考。对于芒氏，应 该说两方面的含义都有，他本人也不讳言。他常常津津乐道地讲自己以图形的方式思考问题 的好处，当年考巴黎高等师范学校时以几何方式“做弊”就是一例。另外芒氏不止一次公开 反对布尔巴基学派的数学风格。? 布尔巴基(Nicolas Bourbaki)是一群主要来自法国高等师范学校的数学家的笔名。关于这个 名字的来历有多种说法，总之是人为编造出来的。这个学派作为一个集体在20世纪的数学界 可谓影响甚大。此学派的先驱人物主要有三位：康托尔、希尔伯特(David Hilbert,1862-19 43)和诺特(Emmy Noether,1882-1935)。第一位为他们提供了集合论，第二位提供了公理化 方法，第三位则提供了抽象代数。1934年冬天高等师范学校的一伙毕业生商定第二年7月在 一家饭店召开布尔巴基成立大会。成立初期活跃人物主要有:维尔(Andr?e?? Weil，1906 -)、迪多内(Jean Alexandre Dieudonn?e??,1906-),迪尔萨特(Jean Delsarte,1903-)、 卡当(Henri Cartan,1904-)、切瓦利(Claude Chevalley,1909-)等。可以看出他们年纪相差 不多。这些年青人经常聚会，在一起讨论纯粹数学。30年代他们计划撰写一部纯数学专著， 从基本原理出发，按严格逻辑发展进行形式构造。1939年以“布尔巴基”为名的第一部《数 学原理》(?Elements de Mathematique?)出版，一直出版到1980年，产生了很大影响。有 关布尔巴基的详情可以参阅胡作玄编著的《布尔巴基学派的兴衰：现代数学发展的一条主线 》。??［33］? ? 公正地评价，此学派为数学的严格化、体系化、结构化发展作出了重要贡献，该学派中有三 人施瓦兹(Laurent Schwartz,1915- ，是上文提到的概率论大师保罗·莱维的女婿)、谢利( Jean?Pierre Serre,1926- )和格罗申迪克(Abxander Grothendieck,1928- )曾获菲尔兹奖 ，还有两人维尔和卡当荣获沃尔夫奖，这说明其数学成就是举世公认的。? 既使如此，布尔巴基也不是没有缺陷。从当前趋势看，这个学派已光荣地完成了其历史使命 ，已走向衰落。这个学派过分强调逻辑而贬低几何直觉，一直受到一些人士的反对，年青的 芒德勃罗受不了他们那一套，离他们远远的。1985年有人问芒勃罗：“你提到你不喜欢布尔 巴基对待数学的那种反几何的方法。你认为布尔巴基的影响对于接受你的分形方法是否设置 了重要障碍?”芒氏回答说：“1945年当我离开高师的时候的确是这样，另一次是1958年我 离开法国时。在这之后就没有了。他们不能阻止我做我自己的事情。多少年来我的许多听众 深受他的影响，但并不知道他们的存在。”? 芒氏认为布尔巴基试图为数学大厦打下一个基础，但它像浪漫王子梦中的城堡一样，从未完 工，他们的宏篇巨著也远未实现他们声称的目标，并没有成为数学的普适标准。所谓30年河 东30年河西一点不假。在数学界摆锤开始从一个极端摆回到一个更合理的位置。芒氏说：“ 如果我再早一点推出我们分形几何，布尔巴基也许会成为一个重大障碍。但是现在他们最多 能在巴黎开一个研讨会。某种意义上，我或许能从批驳他们的傲慢中获得好处。”? 当分形几何学流行起来时，形势也变得突然，芒德勃罗骄傲地指出：“布尔巴基现任领导人 之一的道阿迪(Adrien Douady，1935- )用了最后的几年时间发展了我所开创的复迭代思想 ，欢迎他总是件好事情。”在80年代初，道阿迪确实“帮”了芒德勃罗一个大忙：他就芒德 勃罗提出的?M?集合的连通性与自己从前的两个学生合作，作了严格的数学分析，得到了 一批深刻的数学结果，直接促进了复迭代深入发展。? 但是这个问题还可以从另一个角度去看。布尔巴基学派起初都来源于朱丽亚(Gaston Julia ，1893-1978,在战争中他的鼻子受伤，从照片上可以看到他鼻部带着一个特制的面具)在高 师办的讨论班，无疑朱丽亚可算作布尔巴基的祖师爷，而复迭代基本上是由朱丽亚开创的。 芒德勃罗只是在70年代末才重新碰到这个问题，大张旗鼓地研究起迭代来，并将它与分形联 系在一起。因些也可以说芒德勃罗皈依了布尔巴基传统。客观的看法也许是，数学的各个分 支是内在联系的，发展总有个先后，物极必返，一种方法、一个问题的流行均有一定的时代 规律性。芒氏与道阿迪两个对立学派都来研究复迭代，说明几何方法与分析方法没有本质的 不同(代数、几何与分析历来是数学的相互统一的三大块)，在计算机的帮助下可以走到一起 来，这是本世纪80年代以来出现的盛事。? 在对道阿迪进行表扬的同时，芒德勃罗严厉批评了大数学家迪多内：“布尔巴基的奠基人之 一迪多内，关于数学的意义发表了大量极端错误的言论……。比如他认为皮亚诺曲线是反直 觉的，只有用逻辑才能理解它，用直觉是不可能理解其性质的。这完全错了。今天皮亚诺曲 线被视为完全直观的，因为我的工作使得它如此。我有这样一种感觉，迪多内并没有敌意， 只是有趣。”? 对于布尔巴基的全面评价涉及数学的建设以及数学教育的开展，是个很严肃的话题。最后引 马季芳为《今日数学：随笔十二篇》所写的译后记中的一段话：“美国自50年代末到70年代 初，花了20年功夫大搞‘新数学运动’……不幸，改革的指导思想全部采用布尔巴基学派的 主张，过分强调抽象理论的重要性，排斥一切实际应用，全部新教材中竟没有一道应用题。 结果事与愿违，学生的数学成绩普遍降低。……美国数学界受此打击，痛定思痛……补救之 道，在于数学家不应孤芳自赏，必须面向群众，用生动活泼的语言，讲述本学科的性质、发 展，及其在自然科学和社会科学各方面的广泛应用，借以增进世人对数学的了解和兴趣。” ? 〖BT2〗自我推销〖HT〗? 芒德勃罗始终生活、工作在逆境中，在70年代中期以前，世界上没有几个人知道他，更谈不 上真正理解他了。他几乎是打一枪换一个地方，在不同学科中窜来窜去，哪一个学科似乎也 没有特别注意他。维纳在《人有人的用途》中两次提到他算是个例外，维纳那时搞的“控制 论”(Cybernetics)也是新鲜事物，理解的人也不多。? 芒德勃罗发表了许多论文，但他回忆说，当初发表每一篇都十分艰难。他不断投稿，审稿人 对文章的批评毫不留情面(那时他没有名气)，稿件被一次次退回。关于星系结构的论文始终 难以发表，“我关于星系的工作在别人知道它之前是不可接受的，而在它成为可接受的之前 ，人们又不知道它。”发表出来的也做了一些修改，特别是编辑命令他删除“可疑的哲学” (dubious philosophy)部分。? 在写作风格上，芒氏后来坦率地承认，他不得不装成某个领域的内行的样子，在论文中故意 加进一大堆数学公式和推演细节。虽然也不是特别成功，因为他始终带有极强的“异国口音 ”(foreign accent),“但是这种办法对于把我的论文发表在一些好的学术杂志是必要的和 充分的”。? 芒德勃罗把科学界对他的学说的态度分成四个阶段：在第一阶段，人们总是问：你是谁?你 为什么对我们的领域感兴趣?第二阶段则是：这与我们所做的有什么联系?你为什么不用我们 所知道知识来作解释呢?第三个阶段是：你能保证这是标准的数学吗?我们怎么不知道?第四 阶段是：这些领域的数学家怎样评价你的工作?芒氏对后两个问题的回答是：“我能保证这 是标准的数学。只是人们很少知道。他们无所谓，因为我的工作并没有增加什么数学。”? 1964年他参加了在耶路撒冷举行的“逻辑学与科学哲学大会”，在会上作了“尝试性的分形 宣言”(tentative fractal manifesto)的报告，可惜没有正式发表出来。到了70年代初芒 德勃罗手边已经积累了不少发表的和退回的稿子，据说已经堆成了堆(90年代时他不断地抽 出一些略加修改就发表了)。? 芒德勃罗一直在思考着，当今学科分化严重，学科壁垒森严，像他这样东一榔头西一扫帚， 在不同学科进进出出的，很难站稳脚根，别人不会承认自己。如果要生存下去，就不能与正 统对着干。短期策略是，要取得别人的信任，尽量隐藏自己的真正意图，争取多发表一些论 文，审稿人和编辑希望怎样修改，自己就怎样修改。而长期战略是，要学会自我推销，最终 建立自己是“教皇”(Pope)的一块阵地：即创立一个属于自己的新学科。? 1973年芒德勃罗终于找到了一个绝好的机会。这一年他到巴黎去休假，此时他叔叔佐列姆已 经退休，正好可以邀请他在法兰西学院(Coll?e??ge de France)作一场重要的报告。这 对于自己发表一篇一般性宣言以及解释清楚自己多种不同兴趣的内在统一性，是一个黄金时 机。他作了精心准备，在准备过程中他发现自己的整套工作比以前自己所知道的更完备、 更协调了。讲座在1973年1月进行，极其成功，一个朋友告诉他，这是他听到过的最具自传 色彩的科学讲演。芒氏回忆说：“我受到好多赞扬，会上根本没有敌意，这使我认识到我多 年的荒野生涯行将结束了。为了概括我的统一方法，不久我就造了“分形”(fractal)这个 词，并把这次的巴黎演讲的内容扩充为一本法文书，这部书1975年出版，不久后又稍作修改 出了第二版。”? 直到1973-1975年，他才改变了自己的“政治”地位，此前在所有领域他都是局外人，他的 地位和声音都不容许宣布自己的哲学和他的交叉科学方法。1977年的“这本法文书标志着我 从零敲碎打方法到现在的统一方法的转变，不久分形几何学就变得很有组织了。我的生活方 式也深深地发生了变化。你们可以说，我已变成了我的创造物的奴隶。”? 这之后芒德勃罗变得似乎有些狂妄。他写文章和书充满了第一人称，他常用“我宣布”、“ 我认为”、“我发现了”、“我运用了”、“我认定”、“我证明”、“我命名”、“在我 漫游我自己新开创的、新开发的学术领地里，我时常行使对新领域中的路标进行命名的权力 ”。著名科学史家柯恩(I.Bernard Cohen)在《科学革命史》一书中指出，他与自己的学生 以及同事进行了长达15年的调研，发现用“革命”词句描述自己成就的科学家并不多，一共 只发现10多位，他在书中列出了16位，其中芒德勃罗就是第16位。? 无疑，许多人不欣赏他这种文风，所以在他成名后许多人公开反对他也就不奇怪了。? 对于纯粹数学家来说，芒德勃罗并非数学家。在他的成就达到最高峰时，他甚至遭到一些同 事的辱骂。有人认为芒德勃罗关于自己在科学史上的地位的说法简单是神经病，他们说芒德 勃罗向别人述说的贡献，纯系吓唬人，耸人听闻。? 这也难怪，芒氏经过曲折的道路，终于取得社会的承认，他急于让世人欣赏他的成就，急不 可待地希望别人都知道他第一个发现了什么、第一个采用什么方法得到了什么结果。格莱克 (James Gleick)说：“他甚至会写信给一些写了分形方面论文的作者，责问人家为什么不引 用他的文章与他所写的书!”芒氏的一位朋友里希特(P.H.Richter)替他辩解道：“他一生坎 坷，与别的数学家很难相处，为了生存下去，他必须采用这种战略，不断鼓吹他的自我。如 果他不这样做，如果他不这样自信，他就永远不会这样成功。”? 看芒德勃罗的论文和专著，会注意到他大量引用前人的工作，他自己声称善于在数学垃圾筒 和故纸堆中找金子。但一些人并没有因此而表扬他，反而说他经常引用一些名不见经传、多 半已经“安全地”死去了的人物，为的是突出他自己，以使他自己成为学术领域的中心人物 。有人甚至怀着嘲笑的语气说，他只会从一个领域拿来一些东西，当成他自己的，然后贩卖 到另一个领域。有人一面吸收着芒德勃罗的思想，一面尽力避免使用“分形”与“分维”这 样的词汇，故意用“豪斯多夫?贝塞克维奇维数”(Hausdoff?Besicovitch dimension)等 等。当然大多数科学家还是能够充分理解芒德勃罗的，他们考虑芒氏曾克服的重重困难，便 原谅了他的强烈个性。毕竟科学就是科学，看的是科学内容而不是当事人的人品和个性。由 于不喜欢一个人的个性而不喜欢他的实实在在的有价值的科学工作，是不明智的，到头来也 证明是个性偏执的。? 对于芒德勃罗的风格，数学界还有一个反感。纯数学家认为他只是到处宣布一些猜测，而不 是下力气去严格证明它们。发现周期倍分岔普适常数的费根鲍姆(Mitchell Feigenbaum,194 5- )也遇到过这种情况，有位数学家指责他是讲数字呢还是讲严格证明。这是数学家与物 理学家之间的一个老矛盾了，不过现在由于计算机大量用于科学研究，此问题显得更加突出 。如果某人宣布某一事情也许为真，而另一位严格证明它为真，试问哪一位对科学的贡献更 大，谁的工作才算更正的科学发现?这个问题很复杂，不可一概而论。胡适(1891-1962)的格 言也许用得上：“大胆假设，小心求证。”? 〖BT2〗公开争论〖HT〗? 80年代芒德勃罗卷入多种争论，其中影响较大的公开争论有两场。一次是1986年在《今日物 理学》杂志上，一次是1989年在《数学信使》杂志上。每一次都连续刊发了系列评论或信函 。现在重温这些争论对于理解分形、理解芒德勃罗、理解整个现代科学的运行都有价值。? 1986年二月在世界范围享有盛誉的《今日物理学》开办了“参照系”(Reference Frame)这 样一个栏目，首期请芝加哥大学凝聚态物理学家、麦克阿瑟(John D.MacArthur)物理教授卡 丹诺夫(Leo Kadanoff)著文。卡丹诺夫是相变理论、临界现象、非线性系统浑沌行为方面的 专家。他写了一个带有挑战味道的题目《分形：其物理学在哪里?》，开头便写道：“为什 么分形这么多事?《物理评论快报》(?Physical Review Letters?)报怨，每三篇投稿中就 有一篇以某种方式与分形扯到一起。一些大公司的实验室(像施乐和IBM)将其基础研究预算 中相当可观的一部分用于研究分形系统。在过去的一年里，大约有半打学术会议是关于这个 主题的。为什么?”??［２０］?? 看得出来，卡丹诺夫来者不善。他接着说：“但首要的是，什么是分形?不同人以不同的方 式使用‘分形’这个词，但都同意分形对象像中国套箱或者俄罗斯套娃娃，包含层层嵌套的 结构。”文章主体部分回顾了扩散置限凝聚(DLA)模型以及分维的计算，接着又开始了发问 。? 他说，不幸的是分维测度并不能有效区分不同的对象，虽然也有人给出分维以外的其他指 标，“但这一领域的未来发展有赖于建立更本质的理论基础，在这个基础上应该能够导出现 象层次的几何形式。如果缺少这样一个基础，就不可能准确地确定什么样问题有可能具有有 趣的答案。人们可以希望，甚至期待，最终要发展出类似威尔逊(Kenneth Wilson，曾获物 理学诺贝尔奖)重正化方法一样的理论基础，来使这一主题漂浮的船舶稳固下来。”“没有 那样的基础，许多分形工作似乎显得肤浅，甚至有些乏味。在各种各样模型的基础上实施计 算机模拟，然后将结果与真实世界的情况对比，这不难，简直太容易了。但是，缺少组织原 则，这一领域就会堕落为有趣物种和简易分类的动物园。尽管这一领域所基于的现象观察十 分美丽和精致，但分形的物理学，无论如何是有待诞生的学科。”??［２０］?? 《今日物理学》4月份在“研究与发现”栏目中又刊出记者列维(Barbara G.Levi)写的一篇 报道《新的整体分形形式化(formalism)描述了通向湍流的道路》,??［２１］?主要讲了 费根鲍姆发现周期倍化分岔普适常数以及许多人的实验验证，特别提到分形的新的形式化描 述，写下了公式? p?i=l??α?i(l)??，其中l是小的距离，p?i是概率，α?i是标度指数。标度指数取 值有一定的范围，其分布构成奇异性谱，用函数f(α)表示。可以粗略地把f设想为熵。这说 的是多［标度］分形。接下去文章用大量篇幅讲述各种具体研究，以及以α为横坐标、f(α )为纵坐标做出来的曲线图。有关思想来源只在一处简单地提到芒德勃罗的名字。? 芒德勃罗看了这两篇文章大为不悦，给编辑部去了一封信，刊于《今日物理学》9月号，题 目是《多分形与分形》。??［２２］?他首先针对卡丹诺夫的提问作了回答：“卡丹诺夫 问‘分形为什么这么多事’，我们看到现在答案部分在于他本人以及他的亲近同伙的工作都 与‘多分形’有关。”芒德勃罗在这封信中特别补充了自己早期关于多分形的贡献。“1968 年我在关于发达湍流的工作中第一个提到了多［重］分形，70年代我发表了有关此问题的大 量论述。”他一口气提到他独立撰写与合作完成的十余种文献，目的只有一个，强调他最先 提出了多［重］分形的思想。全文最刺激的话是：“无论怎样，来自芝加哥的关于(多)分形 的最新研究，令我感受到作为一位父亲的骄傲，也许不久就要当祖父了。”? 不过应当指出“多［重］分形”一词是弗里茨和帕里西命名的，当然他受到了芒德勃罗的影 响(如1974年的文章)，后来弗氏又对多分形形式化进行了改进。芒德勃罗也承认这一点。? 芒氏又讲道：“尽管我70年代的论文既难写更难读，但它们包含一些至今没有超越或者没有 重新发现的思想。特别地，我发表在《统计模型与湍流》一书中的论文(1972年，题目为《 阵发湍流中与能量耗散分布有关的对数正则假设的可能细化》)包含多分形测度的有用描述 。”他还让人们注意1980年在哈佛大学时与一伙同事们(如杰芬(Y.Gefan)和阿哈罗尼等)合 作发表的多篇论文。这些同事完全站在芒氏一边，其中阿哈罗尼是芒氏的重要追随者，1989 年10月他与费德在法国专门举办了一次研讨会为芒氏65岁生日祝寿，并组织出版了纪念文集 (见1989年出版的《物理学38D》杂志)。? 在这封信的结尾芒氏写道：“扩散置限凝聚(DLA)及其各个变种确实只是被发现和描述，还 没有完全解释清楚。描述先于理论是科学发展的通常模式。但是，看看在短短不到6年的时 间里已变得彻底可理解的所有硬科学!看看关于逾渗网瀑涨的知识，以及分形形状对物理学 所产生的奇妙的、多样性的影响和修正吧!” 〖BT2〗优先权问题〖HT〗? 芒德勃罗卷入的第二个争论远胜过第一个。这次发难者是早年毕业于圣克鲁兹加州大学、现 任圣路伊斯州华盛顿大学的数学家克兰茨(Steven G.Krantz)，他的研究方向是函数论和复 分析的几何方法。此人爱好广泛，后来(1990年)还在同一刊物上发表一篇《数学秩事》，专 门讲述了柏格曼(Stefan Bergman,1898-1977)、贝塞克维奇(Abram S.Besicovitch,1891-19 70)、哥德尔(Kurt G?o??del,1906-1978)、莱弗席兹(Solomon Lefschetz,1884-1972)和 维纳的一些令人发笑的故事。? 好在那些数学家早就去世了，讲述的故事真假死无对证，不过这一次(1989年)他却惹了麻烦 。1988年秋克兰茨想对两本书《分形图象科学》和《分形之美》作一评论，先征得了美国数 学会会刊书评编辑的同意。编辑斯托特(Edgar Lee Stout)很快收到稿子并同意发表。校样 1989年1月中旬出来后克兰茨故意复印了一些让人们传看，特别送给芒德勃罗一份。芒德勃 罗阅毕表示强烈反对，并写了一篇反驳文章。后来数学会怕惹事，建议克兰茨撤回书评稿另 投他处。克兰茨也非常生气，堂堂美国数学会怎么能出尔反尔。最后书评连同芒德勃罗的反 驳一同刊登在很有名的《数学信使》(?The Mathematical Intelligencer?)杂志1989年第 4期上。??［１４］?? 克兰茨的书评写得很长，只是稍带评论一下提到的那两部当时影响极大的书，文章的中心是 冲芒德勃罗和分形几何学来的。开篇温和地从公众理解数学谈起，不久就到了关键：“但是 ，目前数学中有一项进展由于其潜在的易理解性，可能使其他数学宣传相形见绌，这就是分 形理论。尽管现在称作分形集合的东西已早被研究了(如在调和分析、几何测度论和奇异性 理论中)，但芒德勃罗起了‘分形’这个词，并使之流行起来。”? 接着引用了《分形之美》中芒德勃罗一段得意的、极容易引起反感的话，然后评论说，有人 竟认为分形是自微积分以来最伟大的数学思想。但他认为根本不是这么回事。“像微积分的 创立者们一样，分形几何的奠基人也造就了一批有志于此事业的中坚队伍。他们不会因为缺 乏严格性而受阻，因为他们分享着最近300年来辛勤积累的智慧，即使到目前还没有普遍接 受的‘分形’定义。情况似乎是，他们不证明定理(显然分形几何学家们不证明定理)时，是 不需要定义的。分形几何与微积分的显著差别是，分形几何没有解决任何问题。我不清楚它 是否创造了任何新的东西。”可以看出火药味是颇浓的，而这里见到的还是修改后、语气有 所缓和的稿子。? 克兰茨还特别提到要把目前不适当归于“分形”标题或者大伞之下的真正数学拿走，至少是 划清界线，他认为分形几何学只是一个空架子。他认为像“轮廓使人想起一只狗的头，上部 像尼斯湖的妖怪。在自然界中其分维数?D比欧氏空间维数E?要大0.2到0.3的形状似乎特别 多。典型的海岸线的分维大约是1.2，地形约为2.2，而云彩约为3.3”这类描述根本不像是 科学。“当人们翻开这两本书时，似乎分形几何是一门科学，显然指数学。但是我在两本书 中任何一处看不到一个定理，也几乎没有定义。如前面指出的，对‘分形’一词没有明确的 定义。作为一个数学家，我觉得这不是一个好兆头。”“我不认为芒德勃罗证明了任何定理 作为他的研究结果，不过这也并非他所声称要做的事。用他自己的话，他是一位科学哲学家 。”“芒德勃罗建议分形几何学家也利用计算机作图来提出假设和猜想。但作分形研究的人 提出的假设和猜想是就事论事的，他们产生图形是为了得到更多的图形，而不是为了得到更 深刻的思想。即使这些图形偶然会使熟练的数学家证明出好的定理，这似乎是碰碰运气而已 。”? 克兰茨的书评特别评论了关于复迭代的研究，他故意抬一个贬一个，认为道阿迪和哈伯德(J .H.Hubbard，道阿迪以前的学生)的工作继承了朱丽亚和法图(Pierre Fatou,1978-1979)的 传统，是真正出色的数学。“‘芒德勃罗集(简称?M?集)’并不是由芒德勃罗发明的，很 清楚在“芒德勃罗集”这个词被制造几年之前，文献中就清楚地出现过(指布鲁克斯(Robert Brooks)等人1978年的会议论文，1981年出版)。事实上法图和朱丽亚早就研究了迭代函数 ?z→z?2+c?，如今芒德勃罗至少是由于与这此有关，而得到不少荣誉。”克兰茨还就“ 外尔斯特拉斯?芒德勃罗函数”的命名提出疑问，不过这算不了什么，芒氏也巧妙地作了回 答:实际上作这样称呼的是著名科学家伯瑞(Michael Berry),WM函数具有自仿射性质，而W函 数不具有。? 克兰茨认为虽然道阿迪等对动力系统、迭代函数作了出色研究，“但是这些数学家们不研究 分形，他们证明漂亮的定理。分形几何之所以得到数学界如此高的赞扬，实际上是间接称颂 道阿迪、哈伯德、沙斯顿(Willian Thurston)和其他人的工作。”“我发现麻烦的是，公众 对于当今数学家们正在从事的工作的理解大部分是由于读了关于分形的书，读了格莱克的《 浑沌》(?Chaos?)一书，读了那些包含长期间的猜测和不正确的证明的书籍，来获得的。 ……这两部书造成了可怕的误导。分形理论和浑沌理论还处于襁褓中。现在就讲述它们是否 能篷勃发育为成熟的学科为时尚早。”??［１４］?? 克兰茨的文章还挑起了另一个敏感问题：“对分形理论的过分宣传导致了对数学发展的有害 的官方政策。在一些圈子中，得到购买产生分形图形的硬件的经费，比支持研究代数几何来 得容易。代数几何是经得住时间考验的，而分形几何还没有，人们一定会奇怪，是怎样的考 虑导致这样的经费资助决策。我个人的看法是，官僚机构比较容易认同对硬件的投资而不是 对思想的投资。无论怎样，对这种政策造成的长期效果的预测令人沮丧。”。最后的结论是 ：“关于它们形成一门新的学科，或者形成自然界中一种新的分析语言这一断言，我想说， 分形理论在这方面所作出的贡献是非本质的。总之，皇帝没有着穿衣。”? 克兰茨的批评十分坦率，有不少也的确击中要害，但总体上似乎过火了，多少有些“红眼病 ”之嫌。我们还是看看芒德勃罗的反应吧。? 他先作了一个有趣的开场白：“看看数学的历史，数学界回到了具有灵活性和多元论的时代 ，每个人都有权力表明他的心情。”之后着重就“芒德勃罗集”的优先权作出了反应，这对 他来说的确很重要，公众(特别是能够上微机作图的人)主要是由芒德勃罗集而知道分形的。 自然扯到布鲁克斯与马蒂尔斯基(J.Peter Matelski)1978年写成1981年发表出来的文章(刊 于一部论文集中)。准确说，虽然芒德勃罗于1979-1980年也研究了二次复迭代，大概也独立 发现了?M?集，但布鲁克斯发现得更早些。论文写成时间一个是1978年，一个是1980年(或 者再早些算1979年)；但发表时间正好倒过来了，一个是1981年，一个是1980年。论文集显 然比杂志论文刊出周期长。芒氏不愿承认发现的先后，但又不好正面反驳，于是找到另外几 个理由：1)指出布鲁克斯只给出了?M?集的粗糙版本；2)是芒德勃罗本人大力宣传了?M? 集；3)正是芒德勃罗吃饭的时候花大量时间向道阿迪讲述?M?集，促使道阿迪与其学生哈 伯德暂时放下手头的工作而专心研究?M?集的性质。芒德勃罗指出，他在沙利文(Dennis S ullivan,也是道阿迪以前的学生)的CUNY讨论班上向米尔诺(J.Milnor)和沙斯顿讲述?M?集 时，?M?集还不曾归于任何人的名下。??［14］?? ?M?集合究竟是怎样开始冠以芒德勃罗的名字，现在还不清楚。但这并不是什么了不起的 事情，数学史上张冠李戴的事多着呢。比如：1)计算机辅助几何设计中，利用伯恩斯坦(Ber nstein)多项式可得出工程设计中非常有实用价值的比泽尔(Pierre E.B?e??zier,1910- )曲线，这种算法雪铁龙汽车公司工程师卡斯特乔(de Casteljau)也独立地做了同样的工作 ，只是没有宣传。??［39,40］?2)利用复函数去计算实积分的值，欧拉(L?e??onhard Euler,1707-1783)和拉普拉斯(Pierre?Simmon Laplace,1749-1827)都有优先权。3)在常 微分方程研究中，关于富克斯(Immanuel Lazarus Fuchs，1833-1902)型函数和克莱因(Chri stian Felix Klein，1849-1925)型函数也存在一些争议。庞加莱将克莱因研究过而富克斯 没有研过的那种函数命名为富克斯型函数，遭到克莱因的抗议，于是庞加莱马上将自己新发 现的一种函数命名为克莱因函数，然而克莱因本人从来没有考虑过这种函数!??［41］? ? 芒德勃罗在为自己争优先权时不小心又伤了布鲁克斯，后者1990年在第1期《数学信使》中 反驳了芒氏。布鲁克斯在给编辑的信中说：“至于谁发明了现在称作芒德勃罗集的东西，我 认为应当牢记：大约在20年代法图的头脑中对此就有一幅完整的图象。毫无疑问，如果法图 有机会接触现代计算机的话，他就可能并且已经绘制出马蒂尔斯基、芒德勃罗和我60年后画 出来的完整图形。这么多年来，工作在这一领域的其他许多人也一定能够做到。坦率地说， 生活在计算机革命的时代，我很难自作主张拥有某种荣誉。”? 芒德勃罗曾说：马蒂尔斯基和布鲁克斯只是接近于那种将被证明是特殊的东西，但他们对于 这幅图形并没有理解。布鲁克斯反问道：“我不知道他对我们理解什么或者没有理解什么， 怎样那么有把握!我们特别不喜欢发表带有哲学思辨性质或者半生不熟的方案。要害在于句 子的前半部分。在所有这些大吵大嚷之后，如果芒德勃罗真的相信这个集合有些特殊，那么 他一定言不由衷。正如英国海岸线没什么不同于世界上所有其他海岸线一样，芒德勃罗集也 只是整个奇妙的数学宇宙中的一个(当然既不是第一个也不是最后一个)，它反射出自然界与 思维世界中各种类型的美与精巧。”? 在1990年第1期《数学信使》中还刊发了卡丹诺夫对上述讨论的回应，不过他只字未提孰是 孰非，而是补充评论了一下先前提到的两部书，这为它们很有价值，其中的一部他还推荐给 自己的学生阅读。? 另外芒德勃罗还就克兰茨说他是“科学哲学家”进行了辩白，说那只是克兰茨的论断。芒氏 称自己是“实干家”(doer)，写的文章也都发表在实实在在的数学、科学和艺术杂志上。很 清楚，在他们的争论中，双方都认定“科学哲学家”只是一些善于夸夸其谈、只知道评论别 人工作的一伙人。实际上呢?大家心里都清楚。? 克兰茨并不服输，1989年第4期《数学信使》还为他留了一小块再反驳的空间，他讲了这样 一段再次让芒氏难受的话：“布鲁克斯和马蒂尔斯基的思想是在1978年的一次会议上提出的 ，至于芒德勃罗的早期贡献可能在1979年到1980年之间。《今日物理学》的编辑列维在1986 年4月的文章中介绍了卡丹诺夫的工作，这工作用的是统计力学方法而不是分形几何方法。 列维描述这一深刻的科学研究工作时用了分形的语言，芒德勃罗表示默认，这正好提供一个 例子，说明分形几何学家借用其他学科的出色成果来装点自己的倾向。”? 抛开情感因素，克兰茨对分形几何的批评是有意义的，分形几何的确存在他所指出的若干不 成熟性、不严格性，但是这不应该归罪于一个人，特别不能归罪于为这一新学科做出重大贡 献的创始人芒德勃罗。责任应该由科学共同体集体承担，其中他自己也有份。当然由于涉及 一些个人利益，芒德勃罗过分敏感，作为领袖他主动应战。实际上芒德勃罗并没有争回什么 (?M?集的命名已成事实，谁也改变不了)，反而影响了自己的公众形象，使人觉得他是一 个过分计较的人。芒德勃罗大概没有研究过大众传播学，他应该知道，人不出名时，公开的 争论对自己有利，而当自己出名时，公开争论只能给自己抹黑。? 有人曾说芒德勃罗这个人有才无德，他与几乎所有同事都争执，甚至把别人指责他的把戏转 手用于攻击别人，例如他曾攻击非线性科学同一阵地的费根鲍姆，指出他的周倍化普适性过 程并不新鲜，一个叫米尔堡(P.J.Myrberg)的人早在1962年就发现了云云。这种说法有些过 火，其实芒氏与多数同事都相处得很好，如与汉德尔曼(S.W.Handelman)、沃斯(Richard F. Voss)、拉夫(Mark R.Laff)、诺顿(V.Alan Norton)及迈肯娜(Douglas M.McKenna)等。? 〖BT2〗值得思索的问题〖HT〗? 这篇短短的评传，只写了与芒德勃罗有关的几个典型问题。一方面是材料有限，比如关于个 人生活方面的资料十分少，多亏芒氏本寄来一部分；另一方面是材料太多，比如分形科学方 面的文献，汗牛充栋，仅芒氏本人就有一大堆读起来颇费气力的论文和专著。到目前为止， 也还未见现成的芒氏传记可资参考，芒氏的三个大部头也均未译出。此外芒氏还健在，分形 理论还在发展，一切离“阖棺定论”还遥远。? 在有限的篇幅里，还用相当多篇幅讲芒氏如何与别人激烈争论，似乎作者并不欣赏传记的主 人公，对芒氏怀有敌意，其实正好相反，作者相当崇拜芒德勃罗。好像有人说过，为某人 立传最忌讳作者不喜欢书中的主人公。? 那么为何专捡一些对芒氏不利的方面来描述呢?这是由芒德勃罗这个人物特点决定的，只有 这样才能展示他如何与传统与现实不相容。尽管如此，他还是空前成功了，这更值得思索。 我们敢肯定，他是少有的天才，虽不像爱因斯坦那么纯正、圣洁，但仍然是个性独特、创造 力极强的天才。? 几个曾引起作者思考、多少扯得远些的话题罗列如下：? 1.芒德勃罗是靠强调几何取胜的，“分形”也是这样宣传起来的，但代数、几何、分析同等 重要，不同时代、不同学派各有所侧重是正常的，但用一种去排斥另一种就显得不自然(如 布尔巴基故意避开几何图形)。几何重形象，有助于对问题的理解，但过分依赖形象是不够 的、不严格的。经典的倍立方、三等分任意角、画正七边形及“化圆为方”等几何问题，单 纯靠初等几何是不行的，只有借助于“有理数域”以及超越数(如证明圆周率?π?的越越 性)等概念，才能彻底证明“圆规+直尺”不能作出上述四种图形。??［３４］?拓扑学是 一门几何学，但代数拓扑离几何形象已经较远了。计算机数值计算与绘图技术有助于数学家 获得几何直观、提出数学猜想，但这与严格的数学证明还是两回事，数值计算永远不能代替 数学逻辑证明。? 2.当今大科学的运行模式是最好的吗?特别地，自然科学严重分化、数学日渐抽象化、基础 科学家为了发表论文而发表论文、大科学时代如何对待科学家的个人兴趣等等问题，显然已 经十分严重了。然而悲哀的是，短期内竟看不出有什么好的解决办法。再出来几个芒德勃罗 式的人物肯定有好处，但很难，也扭转不了大局。SCI和EI论文统计有一定意义，但它与科 研水平、特别与科学创新关系不大，科学史上的重大突破常常只靠一两篇论文。自然科学基 金通常资助已经取得成就的人员，但是已经取得了成就还用再资助吗?反过来，不取得成就 怎么判断应该资助他呢?显然基金应当只资助那些能取得但尚未取得成就的人，但很少做到 。? 3.科学家队伍不断膨胀，但科学精神并没有因此而发扬光大，没有推向社会而成为公众文化 的重要组成部分，相反在科学家内部，由于工匠式人物和纯技术性工作日渐增多，科学精神 还有被弱化、淡忘甚至曲解的趋势。在科学界以外，反科学情绪逐渐在积累。作为科学精神 一部分的理性怀疑与宽容精神确有大力提倡的必要。? 对待分形几何这样的新事物，既要有所怀疑又要宽容。这个学科处于草创阶段，问题多如牛 毛。问题多是好现象，没有问题该学科不是无意义的学科就是已经死掉了的学科。还要看这 “牛毛”里是否有突出的问题以及这些问题是否有解决的希望。? 对于科学问题要实事求是，不能把一种东西吹过头。芒氏在多种场合吹嘘过自己的新几何学 ，但他也讲过这样的话：“最应强调的是，我并未把分形观点看成是万灵妙方，每个范例研 究都应根据它所在领域内的准则来加以检验，也就是，多半是基于它的组织、说明和预测方 面的威力，而不是作为数学结构的一个例子。因为每一个范例研究都必须化简以使它成为纯 粹技术性的问题，读者若要了解详情，可查阅其他文献。结果(如像汤普森1917那样)，本书 从头至尾都是序言性的。任何有更多期望的专家都将感到失望。”? 4.芒氏的奋斗史对国人从事科学研究有什么启示呢?看到坚定信念、大胆创新只是一个方面 ，练好基本功、脚踏实地也是重要的。要注意芒氏这样的人才是很少的，不可否认他的确天 资聪颖，他的基本数理功底也是相当不错的。他虽然不善于证明一串串的数学定理，但他的 数学与物理直觉很好。他从未为了创新而放弃理性，从未在自己生疏的领域留下伪科学的笑 柄。如果不打好基本功，以芒氏为榜样以期取得重大科学突破，大概是不可能的。? 举例来说，芒氏如果数学分析基础不好，他也不会注意那些古怪的案例，只有对课本正统内 容有深刻领悟，才能发现别人不容易发现的问题。同样他的概率论学得也是相当有深度的， 他对莱维的非高斯稳定分布有强烈印象，后来才尝试把它用到各个领域，而在当时，甚至现 在，绝大多数人也不理解甚至不知道还有莱维分布。? 还有一个方面可以说明芒氏数理基础扎实。通常人们是由理工科跳到经济、社会科学，反向 跳几乎不可能，这种不可逆性是显然的，但芒氏研究了经济后，还能研究湍流，到了80年代 又开始了复迭代函数的研究，并且取得了成就。? 5.人物评价的复杂性。我们看到即使像芒德勃罗这样一个与政治无关的人物评价起来也不容 易做到客观公正。这主要牵涉当世人的利益关系和个人情感、好恶。吾辈小人物任凭如何评 论，关系不大，但作为有影响的人物出面参与评论，情况就大不一样。比如芝加哥大学卡丹 诺夫教授卷入与芒氏的争论，其影响就非同小可。所以科学界的大人物作评论要慎重，但常 常不是这样。? 在评价一个科学工作者时，更多是要看他的科研成果，而不是别的什么东西。至于他同性恋 、性格古怪或者有什么作风问题，都是次要的，只要他不触犯法律。用纳税人的钱养活一群 人缘好、“道德高尚”但不出成果的“科学家”，毫无意义。伽利略、牛顿、莱布尼兹都有 若干不光彩的一面，据说爱因斯坦也不例外，但这并不妨碍他们是人类的最杰出代表，他们 追求真理的科学理性精神是人类最宝贵的财富。? 6.基础研究不可急功近利。愿为科研、教育投资的政府和老板，都有一个小算盘：今天投入 100元，别天就得收回200元。如果实现了，便说科技的确是生产力，甚至第一生产力；如果 没有得出结果，或者仅仅是暂时没有出成果，内心就觉得科技无用，但不会说出来，而实际 上对增加科教投入已无兴趣，所以出现“雷声大雨点小”的情况。? 芒德勃罗在IBM任职20余年后，才算混出一点名堂，但他始终得到格莫瑞(Ralph E.Gomory, 曾任IBM公司经理、部门主任、研究部主任和副总裁)的信任和大力支持，对此芒氏念念不忘 。??［４］?在IBM供职期间，公司还为他创造了各种机会，允许他到全美以及世界各地 作短期访问和兼职。当然，IBM下属研究所的许多研究是纯粹科学探索性质的，不要求有任 何商业考虑。从长远看，这是“欲擒故纵”。分形研究以及研制“深蓝”与卡斯帕罗夫(G.K asparov)下棋，虽耗资巨大，但最终使IBM声誉大增，间接促进了其商业行为，善于讲兵法 的中国人怎么只会在口头上高谈阔论?? 〖BT2〗注释与参考文献〖HT〗? ［1］B.B.Mandelbrot,?Fractals:Form,Chance,and Dimension?, W.H.Freeman and Company,San Francisco,1977? ［2］B.B.Mandelbrot,?The Fractal Geometry of Nature?,W.H.Freeman and Company,New York,1982, Updated and Augmented.参阅了上海交通大学陈守吉的中译文初稿。 ? ［3］J.Gleick,?Chaos:Making a New Science?, Viking Penguin Inc.,1987,pp.81-118,213-240.中译本：卢侃、孙建华编译，《浑沌学传奇》，上海翻译出版公司1991年，第103-147,250-280页。此书另外还有两个中译本? ［4］D.J.Albers G.L.Alexanderson,?Mathematical People：Profiles and Interviews?, Benoit Mandelbrot, Interviewed by Anthony Barcellos,Birkh?a??user, Boston,1985,pp.205-226.感谢芒德勃罗1997年5月惠寄本文复印件? ［5］B.B.Mandelbrot,Fractals. In ?Chaos:The New Science?, Nobel Conference XXVI,Edited by John Holte.本文是根据1990年4月芒氏在纽约古根海姆博物馆(Guggenheim Museum)的讲演以及1991年在林肯中心艾丽丝·图利报告厅(Alice Tully Hall of Lincoln Center)的演讲简化而成的，发表时间大约在1992年以后。感谢芒德勃罗1997年5月惠寄本文复印件? ［6］B.B.Mandelbrot,Fractal geometry:what is it,and what does it do? ?Proc.R.Soc.Lond.?, A423,3-16(1989)? ［7］B.B.Mandelbrot, Stable Paretian random functions and the multiplicative variation of income, ?Econometrica?,Vol.29,No.4，October 1961，pp.517-543? ［8］B.B.Mandelbrot,Paretian distributions and income maximization, ?Quarterly Journal of Economics?, Harvard University,Vol.LXXXVI,Feb.,1962,No.1,pp.57-85 ? ［9］B.B.Mandelbrot,New methods in statistical economics, ?The Journal of Political Economy?, Vol.LXXI, October 1963, No.5,pp.421-440? ［10］S.M.Brucker,CS400 Biography:Beniot Mandelbrot. From http://www.kzoo.edu/~a 24,1995? ［11］John Franks(西北大学数学系教授，斯美尔的学生),Review on book ?Chaos:Makbrady/CS400/bioW96/brucker.html,January Making a New Science? by James Gleick, ?The Mathematical Intelligencer?, Vol.11,No.1,1989,pp.65-69;70-71. James Gleick的回答见同期第69-70页? ［12］B.B.Mandelbrot, Chaos,Bourbaki,and Poincar?e??， ?The Mathematical Intelligencer?, Vol.11,No.3,1989,pp.10-12. John Franks关于格莱克《浑沌；开创新科学》一书书评的总答复见同期第12-13页。? ［13］David Crystal, ?The Cambridge Biographical Encyclopedia?, Internet Version, Cambridge University Press,1994? ［14］Steven G. Frantz(华盛顿大学数学系),Fractal geometry, ?The Mathematical Intelligencer?, Vol.11,No.4,1989,pp.65-69;70-71.此文严厉批评了“分形几何学”领域的一些言过其实的现象，其中有相当多言辞与芒德勃罗有关。芒德勃罗的“反驳”文章见同期第17-19页，题目是“Some ‘facts’ that evaporate upon examination”。之后Frantz又写了几句评论，见第19页。事后《数学信使》杂志编辑又征求当事人Robert Brooks(洛杉矶加州大学数学系教授)和Leo P. Kadanoff(芝加哥大学研究院教授)的意见，他们俩分别就“The Mandelbrot Set”和“Fractals”写来短信，刊登于该刊1990年第12卷第1期第3-4页。Frantz与Mandelbrot的争论文章中译文刊于《数学译林》1992年第4期，《分形理论的哲学发轫》一书也收录了这两篇译文? ［15］Vita and publications of Benoit B. Mandelbrot, ?Physica? 38〖WTHZ〗D〖WTBZ〗(1989)385-395? ［16］A. Aharony, Measuring multifractals, ?Physica? 38〖WTHZ〗D〖WTBZ〗(1989)1-4? ［17］P.Mirowski,Mandelbrot?s economics after a quarter century, ?Fractals?, Vol.3,No.3(1995)581-600? ［18］J.Klafter et al.,Beyond Brownian motion, ?Physics Today?,Feb.,1996,pp.33-39? ［19］U.Frisch,Tubulence:The Legacy of A.N.Kolmogorov，Cambridge University Press,1995? ［20］L.P.Kadanoff,Fractals:where?s the physics? ?Physics Today?，Feb.,1986,pp.6-7? ［21］B.G.Levi,New global formalism describes paths to turbulence, ?Physics Today?，April 1986,pp.17-18? ［22］B.B.Mandelbrot,Multifractal and fractal,?Physics Today?,Sept.,1986,pp.11-12? ［23］B.B.Mandelbrot,How long is coast of Britain? ?Science?，Vol.156,1967,pp636-638? ［24］H.?O.Peitgen et al., The Beauty of Fractal, Springer?Verlag,1986.中译本：井竹君、章祥荪译，《分形——美的科学》，科学出版社1994年? ［25］H.?O.Peitgen ?et al?., The Science of Fractal Images, Springer?Verlag,1988 ［26］黄登仕、李后强，《非线性经济学的理论和方法》，四川大学出版社1993年? ［27］程光钺编，《分形理论及其应用》，全国分形理论及其应用学术讨论会文集，四川大学出版社1989年? ［28］李后强等，《分形理论的哲学发轫》，四川大学出版社1993年。? ［29］冯长根等，《非线性科学的理论、方法和应用》，科学出版社1997年。? ［30］赵凯华等，《非线性物理导论》(初稿)，北京大学非线性科学中心1992年8月? ［31］范岱年等编，《爱因斯坦文集》第二卷，商务印书馆1977年，第72-82页? ［32］马季芳译，《今日数学：随笔十二篇》，Lynn Arthur Steen编辑，上海科技出版社1982年? ［33］胡作玄，《布尔巴基学派的兴衰》，知识出版社1984年? ［34］柯朗、罗宾著，左平、张饴慈译，《数学是什么?》，科学出版社1985年? ［35］斯图尔特著，潘涛译，《上帝掷骰子吗?》，上海远东出版社1995年，第232页? ［36］科恩著，杨爱华等译，《科学革命史》，军事科学出版社1992年，第46页? ［37］邓东皋、孙小礼、张祖贵，《数学与文化》，北京大学出版社1990年? ［38］汪富泉、李后强，《分形》，山东教育出版社社1996年? ［39］常庚哲，《曲面的数学》，湖南教育出版社1995年，第33页? ［40］齐东旭，《分形及其计算机生成》，科学出版社1994年? ［41］克莱因，《古今数学思想》第三册，上海科学技术出版社，第121页? ［42］刘华杰，浑沌研究，见《跨学科研究引论》第8章，金吾伦主编，中央编译出版社1997年，第179-251页? ［43］刘华杰，《浑沌：科学与文化》，山东教育出版社1996年? ［44］刘华杰，《分形艺术》，湖南科学技术出版社1997年?? 〖GK14!2〗〖HT5”F〗 收入《科学巨星》第10辑，陕西人民教育出版社1998年 〖HK〗〖HT〗

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Mandelbrot：美丽的分形

热度 3 xqhuang 2010-10-20 06:53

谨以此文悼念分形之父（Mandelbrot）曼德勃罗先生！ 著名数学家，被誉为分形之父的Mandelbrot先生，美国时间10月15日在马萨诸塞州剑桥辞世，享年85岁。他用美丽改变了我们的世界观，他被认为是20世纪后半叶少有的影响深远而且广泛的科学伟人之一，1993年他获得沃尔夫物理学奖，他是美国科学院院士，生前还被选为美国物理学会、美国统计学会、IEEE、计量经济学会、数理统计学会等学会的会士。 大概是拥有犹太人血统，他是一位非常另类的科学家，特立独行，喜欢提出新问题和新猜想，他的论文涉及数学、信息论、经济学、金融学、语言学、生理学等几十个学科。曼德勃罗前半生的学术生涯可以用坎坷两字来形容，过着打一枪换一个地方的学术流浪者的生活，孤独地一个人行走，没有同道，论文几乎都被主流学术界无情地枪毙，被退回的手稿堆积如山。坚强的他选择了创立新的学科，自己开拓一片天地，奇迹终于出现了，1975年他独自创立了分形（Fractal）学，出版了一系列奠定分形学说的著作，赢得了世界性的声誉和学术地位。 分形（Fractal）一词，是曼德勃罗创造出来的，其原意是不规则、支离破碎的意思，所以分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。按照分形几何学的观点,一切复杂对象虽然看似杂乱无章,但他们具有相似性，简单地说，就是把复杂对象的某个局部进行放大，其形态和复杂程度与整体相似。在分形世界中，每个人都可以在身边熟悉的事物中找到戏剧性的新发现，比如中国的海岸线有多长？分形学认为这是一个不确定的答案，海岸线的长度取决于你用什么样刻度的尺子进行测量，刻度越细，所测量的海岸线长度就会更长，乃至无限。如今分形学的研究成果已经广泛地应用于物理、化学、生物、地质、农业、金融、艺术等诸多领域，其不规则图形设计理念甚至影响流行文化。 如果我没有记错的话，最早把分形引进中国的是中科院沈阳金属所的龙期威研究员，他首先把分形理论应用于金属断裂的研究，龙期威先生还为在中国推广分形学的研究做出了贡献，这其中最大的受益者当属四川大学校长谢和平院士。我至今仍清楚地记得，1989年在金属所举办的全国分形学研讨会，恰好在金属所学习的我经常去旁听，那次研讨会留给我最深印象的不是那些做报告的专家，而是坐在我身边的一位壮汉，他特喜欢提问题，那浓重的湖南音总能引起全场一片善意的笑声，他就是谢和平先生，谁也没有料到日后他会成为一名院士和著名大学的校长，他学术上最大的贡献就是把分形方法引入到裂隙岩体的研究，形成了裂隙岩体非连续行为分形研究的新方向，不夸张地说是曼德勃罗先生的美丽分形成就了谢和平先生。 有学者这样说过：为什么世界这么美丽，因为我眼睛看到的都是分形，大到海岸线、山川形状、天空的云朵，小到一片树叶、一片雪花、皮蛋里的花纹，分形无处不在，无处不有。

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揭示复杂性：从经典分形到复杂网络

Fudanzhangzz 2010-9-25 11:21

复杂网络是当前学术界广泛关注的一个热点。人们研究复杂网络 ， 目的是通过利用复杂网络这一有力工具来研究探索复杂性问题。复杂性问题的研究方法总结起来主要有 ： 分子动力学、混沌、分形、复杂网络等。那么，这些复杂性科学的研究方法之间有什么联系呢 ？ 最近，我和一位大三的本科生高曙阳同学，及其他合作者在《 Journal of Physics A 》 发表了一篇文章。论文以 Koch 雪花分形为例，系统地研究了如何从分形得到复杂网络，并详细计算了该网络几乎所有的结构性质。接下来的一段是所发表文章的中文摘要，供同行参考，并欢迎大家多提宝贵意见。 摘要 ： Koch 系列分形是最有趣的分形之一，而复杂网络的研究则是当今学术界关注的一个核心课题。受 Koch 分形的启发，本文提出了一种映射技术，把 Koch 分形映射成一个类网络，称之为 Koch 网络。这类网络整合了大部分现实网络系统的一些关键属性：度分布指数在 2 到 3 之间、簇系数高、网络直径和平均路径长度小、具有度有相关性，等等。此外，文章还精确计算出了该类网络的生成树，生成森林和生成的连通子图的精确数目。所有这些特性都是根据我们所提出的 Koch 网络的生成算法而得到的。 Koch 网络的表示方法可以用于研究一些相关现实世界系统的复杂性。全文见附件一。 Koch 分形只是众多著名规则分形的一种，关于复杂网络与其它经典分形 （ 如阿波罗分形垫、谢尔宾斯基分形垫 ） 的关系 ， 我们组也做过大量的工作，详见我们发表在《复杂系统与复杂性科学》上的综述性文章， 全文见附件二。 我们的工作不但 说明了如何由经典的分形产生小世界无标度网络， 揭示了分形与复杂网络的关系； 反过来 ， 由经典分形产生的复杂网络也能促进对分形的深入研究。 Koch 网络 确定性网络综述

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钢中夹杂物颗粒到底怎样的运动方式

guoluofang 2010-9-22 12:01

钢中夹杂物颗粒到底是怎样的运动方式 对钢中夹杂物颗粒行为的研究屡见不鲜，但对钢中夹杂物的动态运动方式到底是怎样的过程至今还未成定论，对此问题也是仁者见仁，智者见智。撇开夹杂物的热力学研究不谈，光从夹杂物行为的研究来看，对夹杂物的数值模拟部分已成气候，但对他们的研究看来，自认为存在不少问题：1、对夹杂物受力分析方面，夹杂物颗粒的受力种类是否全面？，对微小夹杂物的布朗扩散力是否有必要考虑在内？2、从数值模拟的控制方程来看，大部分是先做出了流场模拟，然后对夹杂物运动方程与流场进行耦合而得到夹杂物的运动轨迹，这样势必增加了钢液对夹杂物颗粒的曳带作用，也就是说增加了钢液对夹杂物颗粒的刚度；3、夹杂物颗粒是否有自由凝聚的作用，又是怎样的自由凝聚过程？4、夹杂物颗粒的碰撞问题到底是怎样的过程，碰撞的结果又该如何定论？5、分形理论的DLA模拟能否会胜任来研究夹杂物颗粒的自由凝聚过程，钢液的界面力和物性参数又该如何在此模型中体现？ 钢中夹杂物颗粒到底是怎样的运动方式？值得去思考和琢磨。

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课题组本科生第一篇发表在PRE上的第一作者文章

Fudanzhangzz 2010-9-19 11:16

　 刚收到 Physical Review E （ PRE ） 编辑部发来的一个好消息：由我们组林苑、吴斌两位本科同学和我一起合作的文章《 Determining mean first-passage time on a class of treelike regular fractals 》已在 PRE 上 正式发表，这是我们组以本科生为第一作者发表在 PRE 上的第一篇论文。 这个工作针对一类树状网络，研究了将陷阱置于某一特殊节点的随机游走时间与全局随机游走时间问题。针对这两个问题，我们分别提出了新的计算方法，该方法计算简单、便捷。为了说明所提出方法的计算过程，我们提出了一类确定性 T 形树，并针对这类树状网络，给出我们所提出方法的计算细节，得到了精确的结果。文章还通过多个例子，说明了所给出的新方法具有普适性。 为了获得计算平均首达时间的简捷方法，林苑和吴斌两位同学付出了大量的时间与精力，他们对这两个问题进行了反复讨论、计算与验算，最终攻克了这些难题。这篇文章的工作量非常大，共有 12 个 PRE 版面（全文见附件）。如今文章在 PRE 上正式发表，这是对两位同学辛勤付出的肯定与鼓励。 本科生以第一作者身份在国际著名期刊上发表文章，说明了在适当的引导与培养之下，本科生是可以做出很出色的工作的。希望我们课题组的本科生同学再接再厉，争取今后做出更加优秀的研究成果。 文章发表的PDF版本

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大自然创作的分形艺术

jiangxun 2010-9-16 08:30

作者：蒋迅 数学上的 分形 ( Fractal ) 是指“一个粗糙或零碎的几何形状，可以分成数个部分，且每一部分都（至少会大略）是整体缩小尺寸的形状”。数学家们已经创作出许多美丽的分形图案，有一个网站 Fractal Animation ，专门收集分形的视屏。我国还分形频道： http://www.fractal.cn/net/ 。 在自然界里也有许多分形的事物。 连线 给出了一组大自然创作的分形艺术，转到这里。如果你喜欢的话，一定要看 连线 的原文，那里有更多的图片，还有讲解。 绿菜花 (Romanesco Broccoli) Source: Flickr/ Tin.G 盐硷地 (Salt Flats) Source:Flickr/ Tolka Rover 鹦鹉螺化石 (Ammonite Sutures) Source: Flickr/ cobalt123 群山 (Mountains) Source: NASA/GSFC/JPL, MISR Team. 蕨类植物 (Ferns) Source: Flickr/ cobalt123 云彩 (Clouds) Source: Jeff Schmaltz/ MODIS Land Rapid Response Team/NASA 叶子 (Leaves) Source: Flickr/ CatDancing 峡谷 (Canyons) Source: GeoEye/Space Imaging 闪电 (Lightning) Source: Flickr/ thefost 孔雀羽毛 (Peacock Feathers) Source: Flickr/ Digimist 雪花 (Snowflakes) Source: Flickr/ mommamia 瀑布 (Waterfall) Source: Flickr/ catdancing 三角洲 (River Delta) Source: NASA

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“第六届全国网络科学论坛与第二届全国混沌应用研讨会”报告PPT

Fudanzhangzz 2010-8-2 16:49

2010年7月26-31日，第六届全国网络科学论坛与第二届全国混沌应用研讨会在（北京）中国高等科学技术中心召开，我和吴斌、林苑两位大二、大三的本科生同学参加了会议，会议开得很成功。 我们(我、林苑、以及吴斌)先后在会上介绍了我们组在网络上随机游走方面的主要工作。为了便于交流，附上我报告的PPT，欢迎各位同行多提宝贵意见！也欢迎大家加入随机游走领域的研究。 以后争取多带些本科同学参加学术会议。 第六届全国网络科学论坛与第二届全国混沌应用研讨会报告PPT

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重新燃起对自然生命系统的好奇!

zjie 2010-3-5 00:04

作为我第一篇在科学网的博客，一直难以落笔。 作为一名70后，这是我第35个春秋的开始…… 小学时代开始接触娃娃电脑，中学时代对物理、数学、模型制作十分的狂热，参加了一些竞赛，本科读了计算机，之后去了电信行业。2000年前后揣着满腔热情开始创业，起起伏伏若干年至今。经历了很多，体验了很多。不知何时，突然重新撩起了对科学研究的兴趣和好奇心，突然震撼于冬日里树木枝杈的形状、震撼于嫩芽突破泥土的一刹那、震撼于没有外界的干扰下一个鸡蛋化学汤发育成小鸡并激活、震撼于自己手指关节在意识驱动下自如的活动…… 仿佛回到中学时，那时不知为什么买了那本《混沌学传奇》，还自己动手用BISIC语言编程实现了其中的一组方程，当参数变化，那种分崩、混乱的现象出现时，激动莫明！那是一种隐晦的直觉和神奇，里面的奥秘无以形容！ 去年重新翻书柜，庆幸那本泛黄的《复杂》之书还在，再一次细细研读。10年前还感觉晦涩的内容，如今确突然让自己获得无法言语的共鸣！于是重新开始自己的第二次读书历程，继续少年时的好奇，遨游于生命、系统、大自然的美妙中…… 熵、混沌、分形、幂律、自相似、复杂、正反馈、太极阴阳…..仿佛有无形的手将他们串在一起…… 引述张嗣瀛院士的文章《复杂性科学，整体规律与定性研究》（2005）中结尾所写： 大千世界间何其相似乃尔！从一叶看宇宙！

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[小红猪]到N维去

songshuhui 2010-1-25 11:45

小红猪小分队 发表于 2010-01-20 10:00 原文 ，译者：五月香樟；校对：CS；特殊感谢Shea提出宝贵意见。 我们处理三维问题十分自如，必要时对付四维问题也凑合。我们不费吹灰之力就能接受有实体和无限空间的三维世界。加上第四维时间后情况就有点复杂了。但当我们开始研究包括再多或再少维数的世界时，情况才变得真正复杂起来。 虽然这些奇妙的世界让人有点头疼，可它们的确很重要。比如，弦理论作为我们最有希望的万有理论候选者，在低于10维的时空中根本没有意义。再比如，固体的一些奇异但有用的特性，如超导性，需要利用二维、一维、甚至零维的理论才可以解释。好，请准备好，现在我们就从最艰深的部分开始解释维度：维度是什么？为什么如此定义？它有什么应用？在此过程中，你可别抓狂，也别走神。 维度是什么？ 如此基本的问题，你可能认为我们早有一个简单的答案，可惜并非如此。事实证明，仅仅对维度下个定义就是一个很棘手的问题。 对维数最直观、也是最古老的描述是：一个系统所拥有的维数是物体能够移动的独立方向的数目。上和下仅当作一个维度是因为上和下是一个硬币的两面，向上走就是远离下方。左和右，前和后也是这样，但上和右、下和后等之间就没有这种关系。所以古希腊几何学家说：我们生活在三维世界中。 现在一切还很简单，但马上事情就要开始失控了。我们同时需要空间和时间来定义我们在宇宙中的位置。早在18世纪末，法国人达朗贝尔和拉格朗日就发现用于描述时间的数学语言和用于描述空间的非常相似。所以，当时的数学家很快得出结论：时间就是第四维度。 这样就打开了思想的闸门，将时间看作为第四维度，这种新的理解远超出其原始定义，大大地扩充了维的概念。从那时候开始，维不再仅仅是描述物理的空间坐标，它被当作通用术语来描述决定任何物体状态的独立坐标或变量数。 这一手实在高明，从此数学家可以运用几何分析这一利器去处理他们想研究的几乎任何事情。例如，现在一个经济学家可能将整个经济活动看作一个巨大的多维度客体。馒头或大酱的价格升降可以被描述为价格坐标在多维空间中的运动，与我们在前后或上下方向上的运动完全类似，当然，这仅是描述经济状态的数百万维度中的两个 理解维度 请您先把此句末尾的句号涂成实心的，然后盯着它看。恭喜，你已经目睹了零维空间。现在用你的手指沿着纸边移动，然后把本页当成一面纸看。这就分别是一维和二维空间，也挺容易吧？ 但现在，尝试想象超过三维的空间。 头疼吧？别担心，很多人跟你一样。我个人无法想像超过三维的空间，伦敦帝国学院的弦论学者Michael Duff说道，他的工作时常需要处理十维或十一维的对象。被这坦诚的答案雷到了吧，那么，理论物理学家们为何还能对他们的理论充满信心呢？ 17世纪的法国数学家笛卡儿替他们解了围，他把真实的几何空间转换成抽象的代数方程。例如，给定一条长度一定的线段，一端固定，另一端在二维空间里旋转，那么你可以写一个方程，描述线段旋转时x坐标和y坐标满足的关系，这就是一个圆的代数表达。 这种想法实在强大，从此仅通过引入更多的坐标就能够维所欲维地增加维数。比如，通过引入新坐标z，我们可以采用刚才用x、y坐标满足方程来描述二维圆的方法，来描述三维的球。 那么，为什么不从此就开始写下四维、五维或六维超球体的方程呢？终于，在1854年，德国数学家黎曼成了第一个吃螃蟹的人，将三维几何推广到任意维数上。这多维的方程式也没什么大不了的。普林斯顿高级研究学院的弦论学家威顿说：结果处理起来不算困难。 从数学上看的确如此，但我们总不免好奇，那些高维数的物体实际上看起来是什么样的？纽约大学物理学家Gia Dvali认为这个实际上无关紧要，只要你脑子里能够想出一些管用的图像就行了。他说：方程的本质通过图像和动画可以非常容易地记在脑子里。对他而言，牛顿引力定律的图像是：一个有质量的物体产生的引力场的力线沿所有方向延伸到无限远处。不管你想象的空间有多少维，这幅图像同样有效。Dvali承认：这种物理图像虽然与实际的额外维空间无关，但是它让我们可以很容易地把定律推广到高维空间。 零维 － 在点上 零维的东西，呃，比如皇帝的那件新衣存在吗？实际上，这种说法就很自相矛盾。因为没有维就没有容纳任何东西的空间，因此零维一定意味着没有任何东西。一定吗？ 不一定。物理学中一些最热门的对象是被称为量子点的零维半导体结构。它可以是从纳米到微米级别的任何物体，虽然其物理尺度不为零，但电子在其内部填充得如此致密，以至于它们没有自由的维度。 荷兰Delft大学的Leo Kouwenhoven说：对于电荷而言它是零维陷阱。被这样束缚住的电子的运行方式非常特殊，由此带来一些极为有用的特性。 首先，因为被束缚在量子点中的电子寸步难移，所以输入到量子点的任何能量都不能用来扰动其中的电子，而只能以光的形式释放，这就使量子点有望被制造成高效低功率的光源。因为它们如此之小，所以这些量子点同时也可以作为荧光标志来标识抗体之类的生物分子，用来追踪它们在活的生物体中的生化过程。 Kouwenhoven承认量子点的应用仍然遥远。他说，首先我们得用无毒材料来制作量子点。他自己的研究集中在另一个潜在的应用热点领域。因为每个套牢在量子点上的受激电子精确地产生一个光子，因而信息能够在光子和电子之间可靠地来回传递，这使得量子点成为能够用在第一代量子计算机上控制和储存数据的合适介质。量子计算机的功能惊人地强大，如果我们能建造一台足够大的量子计算机，这肯定会改变我们处理信息的方式。 Kouwenhoven说：可能几年后我们会有采用量子点工作原理的样机，至于商业应用可能在十年左右。是不是有点欢欣鼓舞了？看来，无中生有也并非完全不可能啊。 一维 沿着直线走 一维的物理学开始看起来有点熟悉了。一维仅仅是一条直线，是牛顿运动定律这样的经典物理规律起作用的理想环境。 然而却是在量子物理中，古老的一维世界才开始焕发生机。瑞士日内瓦大学的一维材料专家Thierry Giamarchi说：在一维世界，你能得到在其它任何维数中都没有的新奇效应。 比如电子的行为，正常情况下它们竭尽全力避开同类，但当困在只能来回移动的一维通道时，它们开始相互作用，整体像一个电子般移动。在适当条件下电子的特性有所改变：一个困住的电子能够表现得像两个粒子，一个具有它的电荷，另一个具有它的自旋。Giamarchi说：这类现象在一维世界中屡见不鲜。 电子的这些特性不止具有理论上的意义。当电子元件越来越小，一维物理学效应就越来越重要。我们可以按照需要将一维的碳纳米管制造成导体或者半导体，这将是未来数代计算机芯片制造工业的热门领域。 1½ 维 分形景观 我们生活在三维世界中，其边界是二维表面，而二维面的边界是一维的线。这是一个舒适的、容易理解的、整数维的世界。 果真如此吗？数学家芒德布罗在他1982年出版的《自然的分形几何》中指出：云不是球状的，山峰也不是圆锥状的，海岸线也不是圆的。真实世界的维数实际上并非干净整齐的整数维。 假如你想你想把雪花美轮美奂的外周线描下来，你越放大，就越会发现自己面对着一个复杂的形状，而描绘得越接近，画的线就越长。你画的仍然是一条线，但它比直线多了很多皱褶。一条线，不管它弯曲得多厉害，都还是个一维的物体，难道不是吗？ 呃，并非如此。欢迎来到分形维度：介于我们熟悉的一维、二维和三维世界之间的不规则维度。分形维与我们平时熟悉的左右、前后和上下这些维度不同，它们之间有着紧密的联系：当你以更微小的尺度观察和测量一个复杂物体的细节时，它们描述了这个物体额外占据了多少空间。（见图表） 不仅雪花，很多自然物体的形状都是分形的：河网、分支闪电、云团、花椰菜。你甚至可以声称自己生活在分形景观中，这多少取决于你在世界上所处的地点。例如，依据测量时采用的是精确度是码尺还是卡尺级别的，英国那崎岖不平的海岸线的长度呈现剧烈的变化，据计算其分形维数是1.25左右。而光滑的南非仅仅比直线粗糙一点，其分形维数为1.02。 二维 平面国的景观 英国曼彻斯特大学的Andre Geim说：二维大大地好。一维太简单，难以令人满足，而三维则太复杂和杂乱。二维的平面国则刚刚好，它的空间刚好能让有趣和有用的东西出现。Geim说：作为物理学家，你会希望生活在这个维度。 他当然会这么说了。Geim的团队在2004年制造出第一个二维材料石墨烯，这种厚度仅为一个碳原子的二维碳片可以让电子几乎无阻碍地透射，该材料也因此有巨大的应用前景。如果未来计算机的导线用一维纳米管制造，那么石墨烯将是制造电路板的理想材料。 二维世界的好处还不仅如此。再比如说高温超导体，我们早就知道在130K左右存在超导体，但是对其物理机制一直不甚了解，经过20年艰苦的研究后，现在只知道超导现象可能源于电荷相互作用所形成的二维 条纹。对深藏于超导现象之后的二维世界的了解，将有助于我们开展常温超导体方面的研究。 二维平面既是现实的，又是深奥的。当电子被强磁场约束在温度低于0.33K的二维层状半导体材料中时，长期被认为基本不可分的电子似乎分裂成了具有分数电荷的粒子，这个现象叫做分数量子霍尔效应，产生的粒子叫做任意子。 任意子不但促使我们重新思考电子的本质，跟零维的量子点一样，它给了我们建造一种超级量子计算机的希望。这种机器能够忠实地模拟量子系统的行为，如果能大规模投入使用，信息处理过程势必又迎来一次革命。总而言之，在二维平原之上，铺展着条条通向从新药研发到并行宇宙的几乎一切事物的未来之路。 三维 我在故我在？ 二维平原和多维超空间已成为想象力神游的美好娱乐场，而我们的身体却似只能滞留于三维空间之中。我们为什么不是生活在在二维、四维、五维或者更多空间里呢？最近，当物理学家尝试融合万有引力和量子理论来解释时空的本质的时候，这一古老问题也将被重新提起。 作为通往量子引力的一种路径，弦理论却给出了一个不令人满意的模糊答案：从0维到10维的空间都是可能的。这促使理论物理学家诉求于人择原理：各种维度的宇宙都是可能存在的，至于我们看到的世界是三维的原因，则是因为假如它不是，那么人类就不可能存在其中并得到这一观测结果。 （注：『人择原理』被观测的宇宙的环境，必须允许观测者的存在。） 2005年西雅图华盛顿大学的Andreas Karch和哈佛大学的Lisa Randall为了阐明这一问题而提出了一个更依靠于物理原理的解释。他们建立了一个理论模型，该模型的时空是弦论中最普遍接受的十维时空，在这个随着时间膨胀的超空间中漂浮着各种不同维数的宇宙，它们在碰撞时湮灭。计算表明，三维和七维的宇宙最有可能从这种碰撞中幸存下来。 如果你接受了这个模型，那么就几乎回答了我们为何对三维空间情有独钟这一问题。除了最后一个疑问，为什么不是更宽敞的七维而非得是拥挤的三维呢？ 这个问题也许可以从一个欧洲研究小组最近完成的工作得到解释。他们认为，时空并非是一个均匀的整体，而是由许多极小的片段构成的微元。为此他们把时空分割成一些简单的单形，这些单形以不同的方式粘和在一起，构成整个完全时空。单形 （也称单纯形）是空间中最简单的多面体，是平面几何中三角形这一概念在高维中的自然推广。量子理论告诉我们宇宙的真实形状应该是所有这些不同的粘和方式的概率叠加，通过要求在这个宇宙模型中因果关系要得到严格满足，该研究组计算出宇宙的时间是一维的，而空间是精确的三维。 根据这项研究，可以推论对于时空的维度而言，存在这样一个尺度转折点：在极小的尺度下，空间的维度将发生改变，三维中的一维消失而仅留下二维（注：文中时空在极低的尺度下将变成2维，这是4维时空变成2维，而并非作者所理解的三维消失变成2维，原文见《NewScientist》, 2009-8-29, pp.34）。也许，如果你观察得足够精细，能看到极小的尺度，那么你将发现我们仍生活在2维世界中。 四维 时间，大骗子 空间是由三维组成的，而时间也是一个维度，那么它为什么如此与众不同？ 答案：它没有不同。物理学家彭罗斯在他的书《引力》中写道：空间和时间不是相互独立的概念。在爱因斯坦的狭义相对论中，时间和空间融合成一个整体。对一个观察者来说仅仅空间坐标不同的两个物体，在另一个观察者看来，其时间坐标和空间坐标可能都是不同的；同样地，在一个观察者看来在同一地点上先后发生的两个事件，在另一个观察者看来可能其时间坐标和空间坐标都不同。 这与我们日常的经验大相径庭，原因在于我们不够快。两名观察者观察结果的差异只有当他们的相对速度接近光速这个宇宙的速度上限时，才会变得明显。 爱因斯坦的物理理论揭示了一个深刻的真相：时间和空间是紧密交织联系在一起、不可分割的，如同组成一件织物的经纬线。但两者之间也有明显的区别：原则上我们能够沿着三维空间的任意方向旅行，但沿着时间我们只能有单向的苦旅：从过去到未来。如何理解这一差异性呢？ 纽约Clarkson大学的物理学家Lawrence Schulman解释说：这同样是由于宇宙速度有上限。考虑这样一个假想实验：在一个充满阳光的早晨，7点钟，拉开窗帘。假设太阳已经在6点55分爆炸了，但是我们感受不到这一点，在我们的周围仍然充满阳光，因为光从太阳传到地球，需要八分半钟。 见下图（为简化起见只画出了一维时间和二维空间），在这个例子中，宇宙中任何事件，比如正在爆炸的太阳，站在窗边的我们，等等都可以表示为时间―空间图中的一个点。由该点发出两条光线构成的光锥，其中一个代表光从事件点出发原理事件点在时空中运动，另一个表示光朝着事件点运动。如果我们在窗边就能在太阳爆炸时看到其爆炸行为，则需要信息的传播要超过我们所处的光锥，移动速度大于光速，而宇宙不允许这样。 Schulman说道：正是宇宙的速度上限使得宇宙的部分时空是不可及的。它打破了时间和空间的对称性，从而使我们所获取的信息只能是从过去流向未来的，这就是时间的单向性。 五维 进入不可见区域 宇宙究竟有多少维数？这个问题可能没有唯一答案。 将时间看作成第四维，这是爱因斯坦理论的精髓。德国数学家卡卢察做了更宏伟的设计。在1919年，他发给爱因斯坦一篇文章，在文中他主张，通过给时空加入第五维，可以将电磁力和万有引力统一描述为一种力的两个不同方面。 几年后，瑞典数学家克莱因在卡卢察的想法上更进了一步。显然日常生活中我们只看到四维时空，对此克莱因的解释是：第五维的空间尺度很小，可能高度卷曲地存在于四维时空的每一点。由此他开辟了物理学在超空间的隐藏额外维中寻找力的统一性这一思路，这一思想一直延续到在今天的弦理论中。 然而也许第五维并不像克莱因想象的那么微小。1999年哈佛大学物理学家Lisa Randall和位于马里兰巴尔的摩的约翰霍普金斯大学的Raman Sundrum利用弦理论分析了高维空间的性质，他们发现，通过引入巨大的第五个维度，可能可以解决一个一直困扰物理界的难题：为什么万有引力比其它的力都要弱？他们的模型认为，我们所熟悉的四维时空漂浮在一个无穷大的负曲率五维时空之中。电磁力和核力被限制在四维空间内部，而万有引力却可以渗透到第五维，因此在我们看来，引力比电磁力和核力要弱得多。 与此同时，加拿大安大略湖滑铁卢大学的Paul Wesson则认为，五维时空是存在的，其中四维是我们生活于斯的时空，而第五维对这个四维时空的作用是产生许多有质量的额外维粒子。这一方案可能解释了长期困扰粒子物理学界的一个难题：质量是如何产生的，它认为粒子的质量有一个几何起源。同时，该理论也解决了大爆炸的奇点问题：大爆炸开始时，宇宙处于无限高的温度和密度状态（注：这一论断并非公认结果），在这里基本物理学定律都失效了。而从5维宇宙的观点来看，大爆炸只是一个幻觉，所以也就根本没有这个问题。 五维空间的存在带来了一些更为精妙的结果。1997年理论物理学家Juan Maldacena提出一个猜想，某些有五个展开维而且包含引力的弦理论等价于四维无引力量子场论，后者可以看成是前者的全息投影，这使得我们的日常世界如同来自宇宙的边界的投影一般缥缈。 听起来神秘吧，但在很多领域，这种高-低维理论的等价性已经成功地应用到对困难问题的计算上，比如在高温超导物理。在Maldacena的图像中，四维理论并不比五维理论更真实地描述世界。这样说来，宇宙究竟有多少维数这个问题根本没有唯一的答案。 六维 两个时间 当物理学家提出涉及更多维数的宇宙理论时，他们通常只是指空间是高维的，并不涉及多维时间。 这也很好理解：如果时间是多维的，那么物体就满可以在高维时间坐标中沿环路运动，就是说，高维时间使得物体可以随意穿梭于我们所处的一维时间上的任意两点，这样就违背了光速上限，并且使我们可以进行时间旅行，而这与我们目前对宇宙观测是不相符的。 然而，到了1995年，洛杉矶的南加州大学的Itzhak Bars通过M理论巧妙地构造出了一种存在高维时间的理论框架，该理论允许第二时间维存在，且不违反光速不变且不存在时间旅行，这种模型能够解决粒子物理学标准模型所无法解决的一些问题。（注：M理论是弦理论的推广。该理论的目标是成为万有理论，一个能解释所有的相互作用的物理理论。它试图把四种基本相互作用电磁力、引力、强力和弱力统一起来。它还试图结合当前所有五种超弦理论和11维的超引力理论。为了充分了解它，爱德华威滕认为需要发明新的数学工具。M理论的M包含有许多意思，例如魔术（magic）、神秘（mystery）、膜（membrane）或矩阵（matrix）等等） 但这里有个陷阱：这个高维时间理论若要成立，必须同时存在一个额外维度的空间，因此在Bars构造的模型中，宇宙共有6个维度（4＋2），这个宇宙中的事物和我们熟悉的4维宇宙中的事物非常相像，唯一的区别是：在6维世界中，描述物质的构成和相互作用的理论是6维标准模型，而当这个高维模型投射到四维时，将产生很多不同的4维版本，而其中的每一种都描述一个不同的四维宇宙。 八维 冲浪者的天堂 八维是八元数能够自然存在的空间。八元数是一种非常奇怪的数学结构，正如加利福利亚大学Riverside分校的数学家John Baze所说：它是那个人们永远要锁在阁楼上的疯叔叔。 八元数是仅有的可以进行除法运算的四种数制（注：实数、复数、4元数、8元数）之一，能够允许所有的代数运算，但八元数的运算方式复杂异常，不像我们熟悉的传统数制中的任何一个，见下图： 为什么物理学中要引入八元数呢？这是因为在某些物理学问题中它是极为有用的工具。由八元数组成的矩阵可以构成一种叫做E8特殊李群的复杂的数学结构，这种数学结构是某些弦理论的核心内容。 2007年时，E8群成为热门话题，物理学家Garrett Lisi没有采用弦理论就构造出了统一引力和其它三种相互作用力的统一理论，他的理论正是基于E8群结构的。Lisi本人没有大学职位，他花了相当多的时间在夏威夷冲浪。对他工作的报道触怒了一些人，比如伦敦帝国大学的Miachael Duff。他说道：弦理论家自从上个世纪七十年代末就开始研究E8，我们不需要冲浪好手来告诉我们这是有趣的。（注：Lisi本人的数序基础不错，但是物理学很差，其理论在物理上完全占不住脚，只是一个计算得比较正确的数学练习而已。） Duff本人对八元数的价值持不可知的态度，他指出所有由此提出的理论都还未经过实验的检验。他说道：任何人都还不知道到底八元数是否与真实世界有关。 十维 弦论的世界 也许物理学家从更高维数带回的最石破天惊的想法就是所有可能的宇宙都存在 十维，我们最后到踏上了弦理论的神话国土。罔顾所有针对弦理论的刻薄话，弦理论仍是目前尝试统一量子力学和广义相对论的最热门理论，也是万有理论的最热门候选人。该理论认为构成物质的粒子和传递相互作用力的粒子都是由弦构成的，弦的不同振动模式对应于不同的粒子。弦是1维的，它却在由1维时间9维空间构成的10维时空中振动。 为什么是10维呢？一句话，因为该理论在较少维数时行不通。如同物理学家Michael Green和John Schwarz于1984年指出的那样，在更少的维度中，在小到10^-35米的普朗克尺度上，数学上的反常会导致时空存在剧烈的量子涨落，这种量子效应会破坏理论的对称性，从而使理论不再自洽。 这些并不意味着10是就是个魔力数字。实际上弦理论的一种过时的早期形式具有26维。目前存在5种完备自洽的10维弦理论，它们都能解释我们宇宙的存在，没有哪一种理论比其它理论更正确，这些不同的理论可以被统一成一个更宏大的理论――11维的M理论，这5种弦理论只是M理论在某些情况下的特例。 M理论认为：这些额外维度是很小并且高度卷曲的，它的尺度如此之小，以至以现有的手段无法观测到。而这些高维空间卷曲存在的形式是特定的。关键是，它们可能的存在形式有无限种，如何找出产生我们宇宙的那种高维空间的存在形式，仍是一个问题。伦敦帝国学院的Michael Duff说道：这将理论物理学家分成了两派。那些认为我们最后将解决这个问题的人面临着逐渐增多的支持多宇宙论的反对派。因为，既然M理论允许存在无限多种可能的宇宙，又没有一个物理学原理来解释到底为什么我们生存在我们的宇宙中，那么，我们是否要接受人择原理，承认我们之所以观察到今天的宇宙，只是因为我们正好生活在这样一个宇宙中呢？ 也许，所有的可能的存在的宇宙，实际上都是存在的，这才是物理学家对高维空间进行探索之后，所得到的最令人震惊的结论。

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微震时间序列研究的Hurst指数

edward3 2009-12-30 11:02

微震监测时间序列研究源于天然地震监测的时间序列研究。 微震监测时间序列研究，分形、Hurst指数等起了重要作用。 南非微震时间序列研究中基本参数是微震次数、微震体变势、beta值、分形维数D、Hurst指数等。 其中利用R/S分析法，计算Hurst指数目的是为了分析时间序列的统计特性。Hurst指数可衡量一个时间序列的统计相关性。当H=0.5时，时间序列就是标准的随机游走，可以认为现在的信息对未来不会产生影响。当0.5≤H<1时，存在状态持续性，时间序列是一个持久性的或趋势增强的序列，遵循一个有偏的随机过程，偏倚的程序有赖于H比0.5大多少，在这种状态下，如果序列前一期是向上走的，下一期也多半是向上走的。当0

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偶然发现乱转载：芒德勃罗B.B.Mandelbrot

热度 1 antiscience 2009-12-21 08:37

　　多年前写过B.B.Mandelbrot的一份小传《芒德勃罗：沿着博物学传统走来》，为此专门采访过他，也读了一些材料。不知怎么着，小文如今在网上被乱转载，参考文献被删除，下面是其一： http://www.pep.com.cn/gzsx/jszx/kwyd/sxj/200407/t20040722_108188.htm 　　以沿着博物学传统走来在google上搜了一下，有691条。沿着博物学传统走来这一组合是俺造的。我很佩服Mandelbrot这个人，虽然科学界许多人不喜欢他。 　　Mandelbrot的成长经历对在读的理工科研究生，也许还有启示意义。 下面提供的是当年我提交给出版社的方正版带排版注解的小样(正式的纸质版修订过，肯定与此有所不同，请以纸质版为准)，那时候在ＤＯＳ下玩方正排版玩得很熟。有些方正注解字符在此界面下无法正常显示，格式看起来挺别扭，抱歉。 －－－－－ 〖LM〗［方正排版另起一页的意义］ 〖BT1〗芒德勃罗：沿着博物学传统走来? 1994年冬天的一个下午，北京中关村五所大楼高等科学科技研究中心报告厅内，一位年逾70 的大科学家正在作一场关于分形(fractal)的报告。此人戴着一双宽大的眼镜，圆滚的将 军肚儿微微向前挺起，颇像复平面上那个经过渲染的宝葫芦(指?M?集)。他拖着浓重的 法国口音，用英语自信地讲述着分形几何学的最新进展，这门学科起初几乎是他一人独自开 创的。他不时打量一下前排就坐的他的妻子和来自中国科学院理论物理所与北京大学的众多 非线性科学专家，当然还有数量更多的年轻研究生们，这些人没准会成为他的门徒。主讲人 时而觉得太冷，急忙穿上外套,时而觉得太热，又脱掉外套，在半个小时内竟这样重复了三 四次之多。这多少有些奇怪的举止惹得学生小声议论起来，而负责报告厅空调设备的工作人 员则局促不安地随着报告人的每次穿脱外套，走向室内两个高大立式空调前扭动几下旋扭。 ? 此人便是长期在IBM沃森中心供职、赫赫有名的芒德勃罗(Benoit B.Mandelbrot,1924- )教 授，那位在多种学科流浪了20余年才得到学界广泛承认的分形之父，那位近些年来不断 得到各种荣誉和奖励但也到处与同行发生争执的人物。? 他只是个性有些特别，对中国以及中国人并无恶意。1996年8月他再次来访中国参加李政道 主持的题为简单与复杂的国际学术研讨会。对于中国文化和文字他还有几分向往，他称 中国文字个个是图形，这正合他的几何学思维方式，只可惜一个也不认识。据说，经他从中 斡旋，他的名著《大自然的分形几何学》(?The Fractal Geometry of Nature?,1982)中 译本在中国首次印行可以免收版税。但遗憾的是，时过多年，译本还未面世。大约9年前就 听说译本不久行将出版。〖ZW(〗上海远东出版社1999年已经出版此书中译本。〖ZW)〗? 〖BT2〗家庭背景与成长经历〖HT〗? 波努瓦芒德勃罗1924年11月20日生于波兰华沙，祖籍是立陶宛犹太人。据一位语言学家讲 ，在立陶宛语中Man读作芒，所以这里不译作曼。波努瓦的父亲是成衣商，母 亲是牙科医生。? 出于对地缘政治现实的警觉，1936年在他11周岁时举家迁往巴黎。这也部分是受其叔父佐列 姆芒德勃罗伊(Szolem ?Mandelbrojt,?1899-1983)的吸引，当时佐列姆是法国的一位数 学家。佐列姆通过阅读庞加莱(Jules?Henri Poincar?e??，1854-1912)和阿达马(Jacqu es?Salomon Hadamard,1865-1963)的著作学会法语，他到法国是因为法国是经典分析的摇 篮。? 芒德勃罗的父亲很骄傲已经将佐列姆扶养大，佐列姆是父亲最小的弟弟，比他小16岁之多。 父亲是位很重学问的人，祖上几代人也都是学者。事实上家庭里每个人都像一位学者或 者期望成为一位学者，至少部分时间是这样。??［４］?不幸的是，许多学者都忍饥挨 饿。? 芒德勃罗的父亲是很实际的人，他发现最好能拥有一个固定职业。他的工作是做衣服并卖衣 服，他并不喜欢这个职业，然而他认为：一个学者的独立性和幸福最好建筑在一份具有不同 来源的稳定收入基础之上，特别是这种收入对于世界性大灾难不能过分敏感。成衣商这种职 业当然是一个好的选择，因为无论什么时候人们都得穿衣服!? 中学时，波努瓦的数学与科学成绩在班上相当出色。高中毕业后，由于家庭生活拮据，加上 他不喜欢大城市，于是在家里待了一段时间，没有接着读高等院校。芒德勃罗解释说，这段 时间里他拎着一些破旧而过时的书籍，以他自己的方式学习着，自我猜测着许多事情，做 任何事均不采取理性或者半理性的方式，但这样却培养了自己极大的独立性和自信心。? 当问及一生中何人、何事对他影响最大时，芒德勃罗说，对我影响最大的是我的一个叔叔 ［佐列姆］。作为一个杰出的数学家，这位叔叔以矛盾的方式影响着我。对我影响最大的事 件则是本世纪的［战争］灾难，它们不断影响着我接受正规的学校教育。我所受到的教育基 本上是浑沌的。??［４］?? 1929年，当时我5岁，我叔叔佐列姆芒德勃罗伊成为克莱蒙特?弗兰特(Clermont?Ferr and)大学的教授。当我13岁时他升任阿达马的继承人位置，成为巴黎法兰西学院勒贝格(Hen ri L?e??on Lebesgue,1875-1941)的同事。因此，我总是能够分享父辈们生活中以及创 建新数学过程中遇到的许多事情。阿达马、勒贝格、蒙泰尔(Paul Montel,1876-1975)及 当儒瓦(Arnaud Denjoy,1884-1974)都是关系不太远的叔伯。当我还是一个小孩子时，就曾 学着拼写高斯的名字，为我叔叔写的一本书寻找印刷错误。??［４］?? 第二次世界大战爆发了，在纳粹到来之前，全家不得不扔掉一切，只拎了几只箱子，加入难 民潮，一起从巴黎向南涌到逃难的马路上。最后到了土湟(Tulle)镇。芒德勃罗的经历与另 一位浑沌探索者利比查伯(Albert Libchaber，法国实验物理学家，用小盒中的氦对流实验 验证了周期倍化分岔)相仿。利比查伯是波兰犹太人的儿子，战争中也采取了与芒德勃罗相 似的办法得以幸存。??［３］?? 1944年，芒德勃罗以班级第一名的身分通过了法国著名的两校入学考试,被高等师范学 校录取。我20岁时，尽管完全缺乏正式准备，在盛大的法国考试中却表现极佳。我叔叔想 当然地认为我这个有天赋的侄儿准走他的道路，将来搞数学研究。??［4］?这两校指 高等师范学校(Ecole Normale Sup?e??rieure)和综合工科学校(Ecole Polytec hnique)，名字在今天听起来，远比不上我们熟知的一堆大学，但却是法国最好的大学，也 属于世界上最有名气的大学。当时这两校每年招生人数极少，考试也出了名地艰难,考试持 续一个月之久。芒德勃罗回忆说，当时他的代数与分析基础并不好，但几何直觉不错，考试 时他总是设法将代数与分析问题化成几何问题，巧妙地将它们解决，他称此为合法性作弊 (cheating)。芒氏虽然考得不错，但他对法国教育中的处处考试、处处打分的习惯表示不 满，他曾嘲笑道：如果法国想取得国际象棋世界冠军，最好的办法也许是在综合工科学校 里讲授国际象棋。? 芒德勃罗与其叔叔佐列姆对数学有完全不同的口味。叔叔佐列姆是一位非常经典的分析学家 ，而波努瓦芒德勃罗更倾向于几何，他称自己为几何学家。叔叔佐列姆认为几何是已死掉 的学科，只对小孩子学数学还有一些意义，人们只有超越它才能取得天才的学术贡献。但是 芒德勃罗不相信这种观念，也不喜欢分析学派的那种高雅风格。? 佐列姆的愿望终于落空了。他始终搞不明白小芒德勃罗究竟出了什么问题，于是对他做什么 不再感兴趣了。不过，他们还是朋友。叔叔佐列姆对芒德勃罗的工作和生活有很大负面影响 。? 早在1914-1918年的时候，芒德勃罗的父亲希望聪明的弟弟佐列姆主修他向往的领域化 学工程(约翰冯诺伊曼的父亲也希望儿子学习化工)。1939-1945年风波过后，父亲担心 弟弟的成功只是侥幸，这次让儿子波努瓦芒德勃罗将来作一名工程师。因为我对所谓的 几何学之死不以为然，又因为我不喜欢以理科作替代，于是接受了父亲的建议，我特别 让自己离数学越远越好。? 由于不喜欢布尔巴基学派(解释见后文)的数学，芒德勃罗在高等师范学校念了没几天，就转 到了综合工科学校。1947年芒德勃罗从法国综合工科学校毕业。1948年获美国加州理工大学 硕士学位；1952年获巴黎大学博士学位。随后几年他不断在几个学科中游荡，先后闯入 过物理学、经济学、生理学、语言学和其他一些似乎毫不相关的学科。他喜欢用intellec tual wanderer(有知识的流浪汉)、wandering around(游荡)等字眼描写自己的学术 生涯和人生经历。? 芒德勃罗的博士学位论文显示了其从事交叉学科研究的才能。论文分两部分，第一部分采用 数学理论研究词汇中字母的分布规律；第二部分研究热力学。将不同学科中的理论有机地组 织一起，用于研究某一个特定问题，这代表着芒德勃罗科学研究工作的特色。? 到美国后，他最先是作为麻省理工学院的一名研究助理(research associate),1958成为约 克郡高地沃森研究中心(T.J.Waston Research Center，IBM的一个研究基地)物理部研究人 员(staff member)。? 芒德勃罗曾在日内瓦大学(1955-1957)，法国里尔(Lille)大学及综合工科学校(1957-1958) 任数学讲师。曾任耶鲁大学罗宾逊(Abraham Robinson)数学科学副教授，麻省理工学院经济 学讲师和访问教授及应用数学访问教授，哈佛大学经济学、应用数学与数学访问教授，耶鲁 大学工学访问教授，爱因斯坦医学院生理学访问教授，巴黎沙特(Paris?Sud)大学数学访问 教授。1987年成为耶鲁大学数学教授。? 芒德勃罗因创造了原来根本不存在的分形学科而一举成名。1975年以法文出版《分形对象： 形、机遇与维数》(?Les Objets Fractals:Forme,Hasard et Dimension?)，1977年以英 文出版《分形：形、机遇与维数》(?Fractals:Form,Chance and Dimension?)，1982年出 版《大自然的分形几何学》。最后一部影响最大，它是分形学科的宣言书，包罗万象，显示 了将分形用于自然现象描述的重要性。到目前为止他一共写过这三部书，后面每一部都是对 前一部的修订和增补，其中相当部分是重写的。他对自己的专著的描述用词是：普及性的 、随笔(Essay)、宣言书、从头到尾都是序言。最后一句是仿达西汤普森 (D?Arcy Thompson,1860-1948)，汤普森曾写过一部巨著《论生长与形式》，但汤氏称该书 从头到尾都是序言。? 据初步统计，到1989年底他已经发表了123篇论文，内容极其庞杂，涉及语言学、概率论、 通讯工程、水利学、经济理论、金融分析、布朗运动、湍流、复迭代、宇宙学、临界现象与 相变等等。? 芒德勃罗不是传统意义上的数学家、科学家，他的经历和学术生涯史无前例。1973年以前， 他一直不被各领域的科学家所认同，分形理论诞生后他的政治地位(他自己愿意用 这样的词汇)剧变，成为世界上最有名气的科学家之一。通过因特网(Internet)，可以很好 地检验一个人的知名度：用万维网(WWW)浏览器打开Yahoo!检索引擎，输入Mandelbrot 或者fractal，几秒种内便可查到上万条信息。仅从这一点来看，当今世界还没有哪位 科学家如此赫赫有名，即使将他与影视名星放在一起，其知名度也不逊色。? 科学界曾两次为他举行国际范围的祝寿活动，并相应出版了祝寿科学论文集。一次是1989年 在其65岁生日时，纪念文集以《物理学D》(?Physica? D，专门刊登非线性科学方面的论 文)杂志专号出版(1989年第38卷)，刊登了他的大幅照片及详细学术经历。另一次是1994年 他70大寿(会议拖到1995年举行)，纪念文集由新加坡的《分形》(?Fractals?，1991年创 办的一份关于大自然复杂几何的跨学科学术杂志)杂志专号出版(1995年第3卷第3期)。 对一位科学工作者而言，这是很不容易享受到的荣誉。? 芒德勃罗现为美国艺术与科学院院士，美国国家科学院外籍院士，欧洲艺术、科学与人文学 院院士。他曾荣获巴纳奖章(F.Barnard Medal,1985)、富兰克林奖章(Franklin Medal,1986 )和物理学沃尔夫奖(Wolf Prize,1991)，还有其他若干奖励。? 芒德勃罗开创的分形理论近年来十分红火，据阿哈罗尼?(Amnon? Aharony)和费德(Jens F eder)1989年对INSPEC数据库统计，公开发表的分形论文累计数量符合指数规律exp?｛(t-1 974)/1.74｝，其中t?代表年份，这表明每年论文数量以1.8的因子增加。? 〖BT2〗博学成就了事业〖HT〗? 进入20世纪，各门科学早已扬弃了博物学的传统，林耐(Carl von Linn?e??,1707-1778) 、莱伊尔(Charles Lyell,1797-1875)和达尔文(Charles Robert Darwin,1809-1882)的时代 一去不复返了，现在很难找到某人因采用博物学方法而取得重大成功，但芒德勃罗是个极大 的例外，他是现代科学界最大的博物学家(naturalist)。他十分推崇《论生长与形式》(? On Growth and Form)?的作者达西汤普森，这也间接表明他的博物学倾向。? 他的思维方式很特别，喜欢几何是一个特征，此外他更关心数学史和物理学史(杨振宁、李 政道等大科学家也都十分重视科学史)。多数研究人员总是找最新的学术期刊来阅读，以便 能跟上科学技术日新月异的形势。而他专门找一些破旧的、没人翻看的期刊，并且时常注意 一些不起眼的非核心刊物。这是一个成才策略问题。? 芒氏特别重视那些当时非主流的思想，尤其是那些被称作病态的、反直觉的的东西 。医生和律师用各种病例集和案例集来称呼有一个共同题目的实际病例和案例的 汇编。而科学上尚无相应的专门名词，因此我建议也应用范例集这个名词。重要的范例 需倍加注意，而稍次的也应给予评述：通常可利用先例而缩短讨论。??［２］?因此诸 如现在人们熟悉的康托尔(Georg Ferdinand Philip Cantor,1845-1918)三分集、外尔斯特 拉斯(Karl Theodor Wilhelm Weierstrass,1815-1897)不可微曲线、可充满正方形区域的皮 亚诺(Giuseppe Peano,1859-1932)曲线、谢尔宾斯基(Waclaw Sierpinski,1882-1969)地毯 与海绵、柯赫(H.von Koch,1870-1924)雪花曲线等等，都被他视为珍宝。而这些一直被正统 科学视为少数的反例，只是在教学过程中作为一种逻辑可能性偶而提到。在分形如此流行的 今天，本文没有必要一个一个地仔细讲述这些怪物(芒氏视其为宝贝)的具体性质， 从任何一本关于分形的书中都可以容易找到一些例子。? 芒氏把世人的想法正好颠倒过来，他认为别人视为怪物的东西恰恰是最普通的类型；别人视 为想当然的无比美好的点、线、面、体却是例外。长期的观察、收集与总结，使芒德勃罗获 得这样一个印象：除了光滑的欧氏几何(广义的，泛指分形几何以外的标准几何)以外，应该 还有一种不光滑的几何，这种几何更适于描写大自然的本来面目。? 在其代表著《大自然的分形几何学》中，芒德勃罗如是说：为什么几何学常常被说成是 冷酷无情和枯燥乏味的?原因之一在于它无力描写云彩、山岭、海岸线或树木的形状 。云彩不是球体，山岭不是锥体，海岸线不是圆周，树皮并不光滑，闪电更不是沿着直线传 播的。更为一般地，我要指出，自然界的许多图样是如此地不规则和支离破碎，以致与欧几 里得(几何)本书中用这个术语来称呼所有标准的几何学相比，自然界不只具有较高 程度的复杂性，而且拥有完全不同层次上的复杂度。自然界图样的长度，在不同标度下的数 目，在所有实际情况下都是无限的。这些图样的存在，激励着我们去探索那些被欧几里得搁 置在一边，被认为是无形状可言的形状，去研究无定形的形态学。然而数学家蔑视 这种挑战，他们想出种种与我们看得见或感觉到的任何东西都无关的理论，却回避从大自然 提出的问题。??［２］?? 芒氏认为，分形几何学并非20世纪数学的直接应用。它是数学危机的一个晚产的新领域 ，这个危机从雷蒙德(duBois Reymond)1875首次报告外尔斯特拉斯构造的处处连续而不可微 函数就已开始了。这次危机大约延续到1925年，主要的演员是康托尔、皮亚诺、勒贝格和 豪斯多夫(Flix Hausdorff,1868-1942)。这些天才们的工作的影响，远远超出了原定的范围 。他们及其几代后继者都不知道，在他们那些十分返朴归真的创造后面，有着一个趣味盎然 的世界。? 〖BT2〗海岸线：最容易说明的分形〖HT〗? 巴塞罗斯(Anthony Barcellos)采访芒德勃罗时问他：分形实例中你最喜欢哪一个?芒氏 脱口而出：当然是海岸线例子。??［４］?随即他又补充说还有血管分形结构以 及自平方龙(复迭代中的一个例子)等例子。他风趣地讲，实际上他不知道最喜欢哪一个 ，所有那些分形模型都好比他的孩子，他都喜欢，作为父亲因为所有孩子而骄傲，所有孩子 都为这个分形之家添了光彩。一个人可以因为不同的理由爱不同的孩子，但他不可能有真 正绝对的偏爱。? 不管怎么说，海岸线例子还是最容易说清楚的分形实例，芒氏到处演讲，也总是提起它，在 两部专著中也把海岸线问题放在前头讲述。? 1967年芒氏在美国的《科学》杂志上发表长度为两页多一点的报告《英国海岸线有多长?统 计自相似与分数维》，??［２３］?列出分维公式?D=-?log?N/?log?r(N)，说明海 岸线是一种无标度对象，用不同刻度的尺子去测量此类现象，可以得到完全不同的长度 结果。实际上可以说海岸线有任意长度、无穷长度(当然从物理上看，无标度区间总有一个 下限，在原子层次就不能再谈海岸线问题了)。?这时候长度就不是一个特别合适 的物理量了，它显得有点不客观，而分维?D?则是一个很好的特征量。? 实际上关于海岸线长度测量悖论，在芒氏之前英国著名气象学家里查逊(Lewis Fry Richard son,1881-1953)、波兰著名数学家斯坦因豪斯(H.Steinhaus,1887-1972)和法国著名实验物 理学家、诺贝尔奖获得者佩兰(Jean?Baptiste Perrin,1870-1942)等都有过精彩论述。芒 氏当时似乎只注意到前两人，后来才发现后者有一长串精辟阐述(在1977年、1982年的专著 中芒氏大段引述了佩兰的话)。在《科学》杂志上的这篇文章中，芒氏根据里查逊的数据绘 制了6条海岸线的双对数图，展示了存在6条直线(只有一条略弯曲)，这些直线的斜率就 代表海岸线的分维值。? 这篇文章的第二张图示意了如何用几种生成元导出不可求长的(nonrectifiable)的自相 似曲线。后来芒氏用柯赫曲线来说明海岸线问题。80年代后，生成元与L系统理论和计算机 图形学结合起来，引起不小的热潮。? 从这个实例可以看出，分形几何非常直观、简单，比现在任何一种数学都简单几百倍，似乎 没什么了不起。但第一个吃螃蟹的人不容易，第二、第三个吃者也不简单。对于分形几何学 中相当多内容，即使芒氏也不是第一个吃螃蟹的人，但他使吃螃蟹成为了时尚。他做的许多 贡献都是这种性质的，他最终将毫无头绪的杂多综合在一起，创立了分形科学。? 〖BT2〗贯穿始终的一条线索〖HT〗? 除了创立分形几何学这样一个总的题目，芒氏的主要科学成就具体说来主要包括什么?如果 去掉主要两字，罗列一长串也就齐了，但是限制列出几项，考虑起来可不容易。有些现 在看起来重要，可能不久后随着科学的发展又不算什么了，有的现在一般般，但也许以后会 变得重要。无论怎样，作者还是根据自己的粗浅理解初步列出几项：? 1)发现莱维(Paul L?e??vy,1886-1971)稳定分布的重要性，并应用于经济学、布朗运动 、星系分布等领域；? 2)用自相似观点研究噪声与湍流的阵发过程；? 3)［重新］发现?M?集合，推动了复迭代的复兴和计算机图形学的发展；? 4)在前人基础上扩展了维数概念，并使各领域科学家广泛理解；? 5)提出分形概念和多分形(multifractal，也译作多重分形、多标度分形) 思想，为不规则现象、临界现象研究树立了一面新的旗帜；? 6)促进了科学的统一和数学的普及，有力推动了科学与艺术的结合。? 在一般人看来，芒德勃罗的最主要贡献是发明了一种新的几何学。但是仔细研究他曲折的学 术生涯会发现，他首先进入的并不是基础数理科学，而是工程技术(做广义的理解)。他 在工程技术中(或者用中国话来说，在生产实践中)发现问题，总结出带有规律性的东西，进 而将它们上升为一般理论，最终创立分形几何学。这与当前物理学家、数学家改行的顺 序似乎正好相反，现在通常是由基础数理科学转向经济学、社会学和哲学等。? 直到最近人们对芒氏的理解还局限于确定论范式，90年代以后才有一些人注意到芒氏那里还 有随机论范式，并且在芒氏那里两者本来是有机地结合在一起的。? 芒氏本人曾明确说过，如果将来写关于分形方面的专著或者教科书，倒是可以直接从随机变 量、随机函数讲起，而他之所以没有这么做，主要是考虑：首次进入能够极大地吸引读者的 话题，应让读者立即产生几何直觉。无论是研究词频分布、通讯系统的噪声、价格变化，还 是布朗运动、湍流、星系结构，芒氏都用了自相似这一貌似简单的思想。他的思路这这 样的：?? 〖GK2!〗〖HTF〗 自相似性尺度变换下的一种对称性双曲分布非高斯稳定分布巧妙利用了方差为无穷 的病态性质莱维飞行各种应用(海岸线、皮亚诺曲线、门格尔/谢尔宾斯基海绵等) 分维测度分形几何自相似性〖HK〗〖HT〗?? 芒德勃罗曾说：与分形关系最紧密的是双曲概率分布(见《大自然的分形几何学》第38 章)。他最早接触的词频分布与收入分布研究，都涉及这一主题。在我们分析的上述方案中 ，特别突出了目前一般分形著作不太重视的非高斯稳定随机过程。? 芒德勃罗从事的第一个科研实践(实际上仍然理论气十足)是研究通讯中的噪声和词频的分布 ，后来是河水的涨落以及经济学中的收入分布规律。这几项似乎一点不搭边，但它们都指向 一个不变的东西，这个线索如此重要，以至不理解它就无法理解芒德勃罗一生工作的统一性 。这个线索沟通了自然科学中长期存在的确定论描述体系与随机论描述体系，这个线索帮助 人们理解宣言书《大自然的分形几何学》中各个部分之间的内在联系。这个线索的潜在价值 远未开发完毕，它正在成为众多新学科的生长点：如最近对分数布朗运动(FBM)的兴趣，对 莱维飞行(L?e??vy flights)的重新关注，对非高斯稳定随机过程的新认识等等。? 那么这个线索是什么呢?就是从他的老师莱维那里学来的莱维稳定分布(L?e??vy?s stable distributions)。莱维是概率论少有的几位著名的奠基人之一，虽然现在的学生几 乎不知道这个伟大人物了。当年在法国综合工科学校，莱维教过芒德勃罗，芒氏师从莱维学 习基本的数学分析。后来有人问芒氏是否是莱维的学生。芒氏的回答很有趣：不，许多人 后来都声称是莱维的学生，但莱维特别否认他有什么学生。芒氏讲的学生(student) 换成弟子(disciple)大概更恰当些。 ? 芒德勃罗大约在1960年左右真正意识到非高斯型稳定分布的意义，从此他坚定信念，不为外 界各种反对、批评所动，连续将这种思想应用于经济学、流体力学以及天文学。? 在概率论基础奠定之前，钟型误差分布定律就已广为人知，这种分布具有各种想象得出的好 性质，所以被冠以正态分布，也称高斯正态分布。言外之意，不满足这些性质的分布都 不是标准的也许多少有些变态。特别是本世纪初对布朗运动的大量研究，更加深了 人们对这种完美分布的向往。维纳(Norbert Wiener,1894-1964)成功地发展了一套关于布朗 运动的漂亮数学理论。如今人们称布朗运动往往有两种含义，一种指物理上实在的微粒运动 导致的宏观过程，另一种则指维纳的那些纯粹数学。实际上维纳在研究布朗运动随机过程时 所用到的分布只是高斯正态分布。? 数理科学中个别案例使用正态分布导致了空前成功，直接诱导人们将它推广到一切物理现象 ，最终必然影响到社会科学界。在相当长时间里(甚至到现在仍然如此)，数理统计工作者言 必称正态分布，在相当程度上正态分布是唯一有用、方便的工具。然而芒德勃罗发现这种流 行观念是错误的。? 〖BT2〗经济学中的稳定分布〖HT〗? 现在查到芒德勃罗一共发表18篇经济学论文(也许会有几篇的出入)，主要涉及《经济学季刊 》、《政治经济学杂志》、《计量经济学》、《商业杂志》、《国际经济评论》、《交叉科 学评论》、《运筹学研究》、《经济学与统计学评论》、《经济与社会测度年刊》、《应用 经济学》等，发表时间集中在1959年至1973年。综观芒氏的论文和专著，他只关心一个核心 的经济问题收入分布以及与之有关的价格问题。据他人本讲，他对经济学中的帕累托(V ilfredo Pareto,1848-1923)分布的研究从1957年在哥伦比亚大学和康奈尔大学的时期就开 始了，然后在法国里尔大学和综合工科学校继续了这项工作。1973年以后他义无返顾地离开 了经济学，专心发展分形几何学。与在其他学科一样，经济学界并没有轻易接受他的非 正统观点，但芒德勃罗已经得到自己想得到的东西，他并不在乎经济学界当时能否承认他。 ? 米罗夫基(Philip Mirowski)1995年评论说，芒德勃罗的经济学研究在经济学团体内引起过 两次巨大风波，一次是在60年代末，一次是在80年代末。第一次是因为芒氏的观点攻击了当 时占支配地位的计量经济学和资产定价理论，第二次是因为芒氏在非线性动力学运动中出尽 风头，经济学家受浑沌(chaos)的影响,间接评论了芒氏的早期研究工作。两次反响的主 流都是怀疑芒氏的理论和方法，既使有一些人受芒氏论文的激励，转而注意自己未曾考虑的 方面，也不相信芒氏的理论。? 芒德勃罗最早关注经济学问题是从关于收入分配的帕累托定律(Pareto?s law)开始的，这 个定律的形式颇像他在语言学词频分布中注意到的齐普夫定律( George Kingsley Zipf?s law)。意大利经济学家帕累托曾专门分析过收入分布数据，他发现收入分布具有如下特点： ? ??N=N?0x??-b?，?? ? 其中?N?0是总人口数，x是收呻水平，N是收入不低于x的人口数，b为参数。芒德勃罗后 来将指数b解释为分维数D?。这个公式的含义是，收入水平越高，则收入高于这一水平的人 口越少。现在甚至不清楚帕累托是否用最小二乘法或者别的统计程序实际导出过这个公式， 他当时认定收入分布对于人为干预是不变的。用概率的观点表示，此定律的形式为：? ?? 1-F(u)=?Pr?(U(t)＞u)～(u/u?*)??-?～Cu??-?,??? 其中??称帕累托指数，一般介于(1，2)之间，有时也可以达到(4，5)之间。此式与上面 的公式是等价的。芒德勃罗也称?P(u)=?Pr?(U＞u)=Fu??-D??类型的分布为双曲分布 (hyperbolic distributions)。? 直到芒德勃罗1960年左右开始将帕累托分布重新用于经济学，此分布在经济学界几乎没什么 影响。他的论文《帕累托?莱维定律与收入分布》、《稳定帕累托随机函数与收入的乘差分 》、《某些推断价格的差分》、《帕累托分布与收入最大化》、《统计经济学的新方法》等 发表后，经济学界不以为然。正统经济学家认为数据拟合得并不佳，并且认为芒氏的理论需 要微观证据。? 芒德勃罗看重的不是数据拟合到何种程度，而是收入分布的长时尾(fat tails)现象在尺度 变换下具有不变性，即个人收入分布、厂商尺度的收入分布和城市尺度的收入分布都具有这 样的尾巴。长时尾现象暗示存在一种非高斯意义上的稳定分布。芒德勃罗熟悉他老 师莱维的工作，立即将它与莱维的稳定分布联系起来。? 简单说来，稳定分布的含义是，多个独立同分布随机变量序列经过适当的线性总和(linear aggregation)后，其分布仍然保持不变。稳定分布是无穷可分的，对应于稳定分布的随机过 程是稳定过程。稳定分布是比正态分布更广泛的一类分布，其中包含了正态分布。标准正态 分布与正态分布都是稳定分布，柯西分布也是一种稳定分布，除此之外还有没有别的重要的 稳定分布呢?这正是芒德勃罗急于思考的。实际上他的老师们已经解决了这个问题，莱维和 弗雷歇(Maurice?Ren?e?? Fr?e??chet,1878-1973)细致地研究过类似问题，指出负 幂律分布就是一种重要的稳定分布(其中指数满足关系?0＜b＜2?)。芒氏1961年的文章《 稳定帕累托随机函数与收入的乘差分》就是献给综合工科学校的莱维教授的，而1962年的文 章《帕累托分布与收入最大化》则是献给巴黎大学(Sorbonne)的弗雷歇教授的。在芒氏的文 章中，帕累托分布也称帕累托?莱维分布。? 芒德勃罗的经济模型中具有尺度变换下的不变性，他认为这十分关键，仅仅凭这一点就 值得认真研究。他认为负幂律分布是除了高斯正态稳定分布外最简单、最值得考虑的一种稳 定分布。它就像玻意耳(Boyle)的气体模型一样，可能与实际有些差别，但它是一种重要类 型，一种简单的理想情况，只有研究清楚了这种理想情况，才能推而广之从而考虑更复杂的 情形。正如我们不能说理想气体(perfect gas)模型没有价值一样，也不能说帕累托?莱维 分布过于理想化而没有实用价值一样。从这种意义上看，经济学界对他的反驳其实均不构成 威胁。芒德勃罗是从逻辑分类的角度、从数学可能性的角度思考问题的，其模型撇开经验事 实仍然具有理论价值。实际上1963年洛仑兹(Edward Lorenz,1917- )的《确定性非周期流》 一文(在非线性科学史上具有重要地位)也具有此性质，洛仑兹方程只是大气运动的一种极度 的理论抽象和简化，它甚至可以与实际的大气运动无关，但仍然具有重要理论意义和间接的 实际意义。也正因为如此，芒德勃罗与洛仑兹的理想模型的应用也就不限于什么经济学或者 气象学，而具有普遍性，可以扩展到相当多的学科。芒德勃罗实际上也是这样做的，他不久 后就将莱维稳定过程用于湍流研究，特别强调了莱维飞行，现在看来他的确是先行者， 历史将公正地记录下他的先驱性工作。? 以棉花价格波动为例来讲，芒德勃罗的理论的特点在于，它不是考虑在某一个特定层次产生 价格变动的规律，而是跨越层次，寻求尺度变换下的不变性。棉花价格是一种理想的数据源 ，经济学家对其变动的传统看法是，短期变化与长期变化没有关联，由快涨落导致的瞬间价 格变化是随机的，而长期的价格波动是由于显然的宏观经济形势和战争之类重要事件决定的 。因此传统经济学处理此问题的办法是，在确定性的过程中加上随机的噪声。芒德勃罗却把 不同层次统一起来，发现日变化曲线与月变化曲线的一致性。对于股票价格，他也作了类似 的分析。这未必是最好的理论方法，但至少是一种可能的理论方法，而以前人们确实忽视了 它。但经济学界由于长期习惯于自己那一套思路，对芒氏的做法自然有反感，攻击他的最好 办法就是指出其曲线拟合不理想。? 在研究股票价格变化时，芒氏极力反对价格连续变化的模型，认为这种照搬牛顿力学于 经济学不济于事。在经济系统中，小的连续变化可以引起突然的不连续变化。基于这种考虑 他否定了滤波预测方案和各种人为凑出高斯分布的办法。在经济学研究中他提出了标度原理 (scaling principle)。? 设?X(t)为价格，?log?X(t)是独立增量过程，即?log?X(t+d)-?log?X(t)具有独立于 d的分布，其中只需引入一个标度因子。芒氏立即想用此模型得出一些有意义的结果，但首 先要面对的是这种模型的奇怪性质(实际上这竟是他所期望的)。芒氏大胆地假设?log?X(t +d)-?log?X(t)具有无穷方差!他第一次用符号V表示方差。以前人们想当然地假设方 差是有限量，发散的情况根本不予考虑，也不应该考虑。用芒氏语言讲，人们似乎患了无 穷方差综合症。具有反叛色彩的芒氏假定V=自有他的考虑：不用说，假定V=的成功 后果是，我就很容易使曲线具有无穷长度、曲面具有无穷面积。(第37章)于是后来提到的 英国海岸线长度、皮亚诺曲线填充、柯赫雪花曲线长度等问题都有了理论基础，当然其 他思想渊源也曾帮助他得到了那些结果。但作者认为，海岸线问题是后来的事。那时他已经 有了基本结论，他不断翻阅数学故纸堆，也不断发现一些阐述得更佳的论述，但这些新 发现的材料当初对于他形成基本的分形思想并未产生影响。在撰写专著时，他当然要重新规 划，以一种更直接、更通俗、更符合逻辑顺序(发现过程并不符合通常的逻辑)的方式叙述出 来，甚至更多的是考虑读者的反应。?? 到了80年代经济学界受非线性动力学的影响不得不对芒氏的早期研究作出评价，在此之前 克拉克(P.Clark)的博士论文以及后来的自回归条件异方差(ARCH)、广义自回归条件异方差( GARCH)模型回避了芒德勃罗开创的路线，仍然假设噪声服从于一种基本的高斯分布，但有一 个变化的二阶矩。他们的文章引用了芒氏的假设，但设法避免那类假设。但这种处理方法仍 然没有逃出分数阶自回归滑动平均(ARIMA)的套路。到后来，许多经济学家更多地采用GP关 联积分算法(Grassberger?Procaccia两人提出的)求时间序列的分维数，用BDS统计(Brock ?Dechert?Scheinkman三人在关联积分的基础上发明的)检查经济系统中是否存在非线性结 构。但是正如米诺夫基指出的，经济学界的这些人物并没有认真吸收芒德勃罗的思想，而是 应付、回避矛盾，他们既排斥莱维稳定分布也排斥浑沌。芒德勃罗早已摒弃了不是决定论 就是随机论的两极化选择，他认为经济现象比较复杂，应当用更精致的随机过程或者浑沌 动力学描述，应当放弃牛顿经典力学的套路，由原子运动推出一切。本质上在经济学问题上 芒德勃罗采用的是一种类似统计物理/热力学的现象学的方法，这一性质还未被经济学界深 入理解。? 当芒德勃罗离开经济学时，他得到了什么?他似乎高兴地带走了价格变动的自相似观点、标 度律的观点，以及一种似乎无人注意但有着各种潜在应用价值的莱维稳定分布。 〖BT2〗布朗运动与莱维飞行〖HT〗? 1785年荷兰医生英根豪茨(Jan Ingenhausz，1730-1799)首次报告了布朗运动，他发现花粉 颗粒在酒精溶液表面运动。但这种现象被冠以布朗(Robert Brown,1773-1858)这个名字。布 朗1828年发表了他的更细致的观察和研究。这种现象直到1905年，才由伟大的爱因斯坦(Alb ert Einstein,1879-1955)用分子运动论一举阐述清楚，布朗运动是由于流体分子热运动不 断撞击微小颗粒造成的宏观现象。? 实际上1900年在法国，庞加莱的一个名叫巴歇列(Louis Bachelier,1870-1946)的学生， 在其论文中就已经发展了一种布朗运动理论，只因为他的论文是关于股票市场涨落问题的， 未引起物理学家的注意。巴歇利引入了今日称作查普曼?柯尔莫哥洛夫链的方程，并导出了 随机过程的扩散方程，指出概率可以像热一样扩散。由于巴歇利的论文不为数理学界所知， 它对后来布朗运动的物理学没有产生直接影响。巴歇利研究的经济问题中没有摩擦、没有斯 托克斯定律，也没有阿弗伽德罗(Amedeo Avogadro,1776-1856)常数。芒德勃罗在1977年出 版的专著《分形：形、机遇与维数》中，特别以很多的篇幅描述了巴歇利的简历和研究成就 ，虽说芒德勃罗极擅长从旧纸堆中挖掘一些没有注意的古怪东西，但用如此长的篇幅还 不多见。? 爱因斯坦的著名论文《热的分子运动论所要求的静液体中悬浮粒子的运动》1905年发表在《 物理学杂志》。??［３１］?爱因斯坦预测，布朗粒子随机行走(random walk)均方位移( mean squared displacement)随时间线性增长，乘以一个与阿佛加得罗常数有关的因子:? ?x= 2Dt ，用现在的符号表示则有〈x?2(t)〉=2Dt?。1908年这一结果立即被 佩兰用来测定阿佛加德罗常数，进而为原子的存在性提供了重要证据。佩兰1926年荣获 诺贝尔物理学奖。从那时起，布朗运动成为重要的研究对象。? 但是问题并没有彻底解决，或者说研究才刚刚开始。从数学上看，布朗运动涉及许多艰深的 内容。对于离散布朗轨迹，可以在固定步长的格子上研究简单的随机行走，但对于连续情形 却遇到了严重的困难：布朗粒子运动路径处处不可微，粒子的速度无法定义。这时已有了勒 贝格的测度理论，而又恰好出现了一个伟大的人物维纳，他抓住这个时机(大约于1921 年)，利用测度理论，发展了一整套漂亮的随机过程理论，后来称之为维纳过程或者布朗运 动。芒德勃罗早就把布朗运动视为分形的一个典型，并将布朗运动轨迹视为二维分形。? 维纳开创的布朗运动数学，已成为概率论的一个经典范式(paradigm)。后来柯尔莫哥洛夫 (A.N.Kolmogorov,1903-1987)于1931年奠定了概率论的基础，日本学者伊藤清(It?o??) 又发展了维纳的理论，提出随机积分等概念。? 1968年芒氏与尼斯(J.W.van Ness)合作发表了一篇重要论文《分数布朗运动、分数噪声及应 用》，1969年与瓦利斯(J.R.Wallis)合作发表论文《带有分数高斯噪声的计算机实验》，19 71年发表论文《一种快速的分数高斯噪声发生器》等。实际上芒氏所使用的若干新工具、新 方法，早在这之前他就十分熟悉了，已经在通讯工程和经济学领域部分尝试过。? 芒氏1968年的文章通过引入了记忆推广了布朗运动，分形布朗运动的概率分布为? ?? p(x,t)= 1 2?2(t) ?exp? -x?2 ??? 其中??2(t)=t??2H?，H的取值范围一般限制在(1，1/2)之间。当H=1/2时，正好对应 于布朗运动。这一推广意味着随机行走的均方位移随t??2H?而增加。当H较小时扩散较慢 ，当H较大时扩散较快。在湍流中H可以取非常大的值。? 如果随机行走发生在分形体上(如逾渗(?percolation?)格子)，则运动行为不同于一般的 布朗运动，运动由于空间背景的不同可以时快时慢，表现出不均匀跳跃。H的取值可以分成 两类，当H小于1/2时，均方根位移慢于线性增长，当H大于1/2时，均方根位移快于线性增长 。其中后者非常有趣，涉及著名的莱维飞行。?? 布朗运动的基本思想是随机行走，所使用的基本数学是高斯正态分布，随机行走者?t时间 后的位置分布是高斯型的，方差正比于时间。对于一维的N步随机行走，每一步的步长x是一 随机变量，其概率分布为p(x)，具有0均值。法国数学家莱维提出这样的问题：什么时候N 步的总和的分布仍然具有与单步相似的(乘以一个标度因子)分布?这等于问，整体与部分何 时有相似性，因而很自然与分形有关。对此问题通常的想当然的回答是高斯过程，因为N步 高斯分布加起来仍然是高斯分布。但是莱维一般地证明了，此问题还有其他解。?? 早在1853年柯西(Augustin?Louis Cauchy,1789-1857)就认识到对于?N?步可加(也叫稳定 )随机过程，除了高斯分布作为其显然解外，还存在其他可能的解。当把?x?实空间变换为 傅里叶(Jean?Baptiste?Joseph Fourier,1768-1830)?k?空间时，可加过程的可能概率 分布为??［１８］?? ?? ?N(k)=?exp?(-N｜k｜?).??? 当?等于1时，便得到柯西分布，等于2时对应于高斯分布。如今上式称为莱维概率分布 。? 应当说明的是，广义的莱维稳定过程(s?D?1+s?D?2=s?D，s?1X?1+s?2X?2=sX+常 数)，仅对三种极特殊的情况，可以解析地求出稳定概率分布。当x的绝对值很大时，返回到 实x空间，p(x)可以用｜x｜??-1-?来近似。当小于2时，显然p(x)?的二阶矩无穷大 。这意味着除了在高斯情形中，随机行走(飞行)没有特征尺度。正是这一性质决定此类随机 行走是标度不变的分形。这种随机行走好的性质在于自相似；坏的性质在于具有无穷矩(inf inite moments)，于是均方位移发散。? 矩发散长期以来被认为是一个致命缺点，物理学家不愿意看到发散性。只是由于芒德勃罗的 大力鼓吹，莱维的思想才一点一点被物理学界所理解，90年代中期莱维飞行成了时髦的 研究课题。在早些时候，在鼓吹、传播莱维不变分布方面，芒德勃罗当然是唯一的代表人物 ，这一点应特别提及。? 莱维飞行的轨线是典型的分形，虽然不是处处不可微，但跳跃的步长可以变化。经过一番处 理，均方位移的发散性可以回避掉。特别地，一个随机变量?X?具有无穷方差，并不能否 定?X?以概率1取有限值。例如柯西密度?1/［(1+x?2)］?变量几乎总是有限的，但它 具有无穷方差和无穷期望。莱维飞行的宏观轨迹是一系列折线或者孤立的康托尔尘埃点集。 一般情况下不考虑粒子在两个端点之间飞行的中间过程，如果考虑两次跳跃之间具有某种速 度，这种过程又叫作莱维行走(L?e??vy walk)。人们可以问在不同的飞行片段中，在时 间?t?粒子的飞行速度是多少，这一定是某个与时间有关的有限值。但是平均飞跃状况是 发散的。 ? 从1977年的《分形》一书可以看出，芒德勃罗已经自如地将莱维飞行运用于各种场合， 包括布朗运动、分形集团和星际物质分布，并且给出占7页篇幅的图形说明。遗憾的是，科 学界直到90年代才认识到这部分工作的重要性。? 〖BT2〗阵发湍流〖HT〗? 芒德勃罗关于流体湍流问题的研究始于对经济学的研究之后，1963年秋季他在哈佛大学听了 斯图尔特(Robert Stewart)的一次讲座，了解到流体力学研究中讨论阵发(间歇)(intermitt ency)现象,同时知道了苏联学派关于湍流研究的一些最新结果，如柯尔莫哥洛夫1941年与19 61-1962年两个阶段的创造性工作。芒德勃罗立即有一种冲动：试图转向湍流研究。他觉得 这些观念对于自己并不算新鲜事，大约10年前自己在研究通讯噪声时，就碰到过类似的现象 。他认为湍流中的许多问题与分形有关(当时还没有分形这个概念)。他迫不急待地想把 自己在其他领域做的工作翻译成流体力学的语言。? 众所周知，湍流是困扰科学家百年之久的老大难问题。流体运动显然满足纳维叶?斯托克斯 (Navier?Stokes)方程，但这无济于事，这个方程根本无法求解。多少年来人们从解析的角 度做了各种努力，均未获重大进展。芒德勃罗则是从几何形状入手的，他声称自己不断观察 关于湍流的绘画、照片，考察湍流的速度记录，甚至倾听湍流(将数据转化成音频信号)，还 用功率谱等手段测量湍流，以获得基本的几何直觉。利用自己对其他奇异性问题研究的经验 ，他形成了一些猜想，但并不能证明它们。直到1967年他才发表关于湍流的文章《偶发湍流 》(Sporadic turbulence)，1968年发表《论阵发自由湍流》(On intermittent free turbu lence)，1972年发表《有关阵发湍流能量耗散的对数正则假设的可能细化》,1974年发表《 自相似级联阵发湍流、高阶矩的发散性与载体的维数》，1975年发表《论各向同性湍流》， 1976年发表《阵发湍流与分维》，1977年发表《分形与湍流：吸引子与弥散》等。? 芒德勃罗对湍流的研究不是从基本方程入手进行严格数学分析，而是从宏观上、从几何角度 观察，先获得几何直觉，构造核心概念，再一层一层作定性分析。这一思路是将自相似技 术应用于湍流的几何学。芒氏明显地受柯尔莫哥洛夫1941年文章风格的影响，他说：方 程(指欧拉方程和纳维叶?斯托克斯方程)并没有帮助我们理解柯尔莫哥洛夫，同时柯尔莫哥 洛夫也没有帮助我们解方程。? 芒氏首先从湍流级联(cascade,也译级串)中的自相似出发，在这方面著名气象学家里查逊 仍然走在前面。1926年里查逊就引入了与级联有关的旋涡等级层次(hierarchy of eddies) 的概念。1941年哥尔莫哥洛夫、奥布科夫(A.M.Obukhov)、翁萨格(Onsager)和魏扎克(von W eiz?a??cker)沿此路线作出重大贡献，不过一般情况下这一组研究只冠以柯尔莫哥洛夫 的名字。? 芒氏作出湍流运动的奇异性本质上是分形的重要猜想。从其它方程导出的已知的奇异性 不足够以解释直观上我们看到的湍流的特征，于是他猜测：基本方程的湍流解，一定牵涉到 新的类型的奇异性，并且可能就是分形。特别地，他说：纳维叶?斯托克斯方程的解如果 存在，就是事实上的极限分形。他进而猜想，欧拉方程解的奇异性，也是实际上的分形。 这样一来他发展的分维概念就有了用武之地。直观上看，纳维?斯托克斯方程的解要比欧拉 方程的解光滑些、少些奇异性，于是可以猜测欧拉方程的解的维数比较大一些。芒氏承认， 证明这些猜想，都远远超出了他的解析能力。实际上对于微分方程也是如此，以前人们只知 道不动点、极限环和极限环面(torus)，经过浑沌的洗礼，才知道还有另一种非周期定态运 动。当时芒德勃罗直觉上猜测流体方程应当具有新的奇异性，的确是一个创见。? 在研究湍流阵发现象时，他贯彻了自相似教义，提出了一个有趣的新概念乳凝(cur dling)，与它对应的一个词是乳清(whey)。乳凝和乳清随机地混合在一起，构 成复杂的结构，类似于康托尔集合、谢尔宾斯基海绵。芒氏特别强调，对乳凝这个词不 要作字面上的理解，但是考虑到乳凝外面的空间包围着乳清，倒是有助于理解问题 。芒氏形成这样的概念，大概受到诺维克夫(E.A.Novikov)和斯图尔特(R.W.Stewart)1964年 论文《湍流的阵发性与能量耗散涨落的谱》(原文为俄文)的影响，也受到霍伊耳(F.Hoyle)1 953年和1975年关于星系团等级层次模型的影响。? 芒氏解释说，诺维克夫与斯图尔特合写的文章的核心假设是，阵发性是由级联导致的，在每 一阶段能量都从一个旋涡(eddy)集中或者乳凝(作动词用)到?N?个次级子旋涡(su beddies)，旋涡的比例为?r，于是有如下分维公式D=?log?N/?log?(1/r)?。对于宇宙 学D一般小于2，但对于流体湍流D大于2。在1977年的专著《分形》中，芒氏用四页插图表现 随机乳凝(random curdling)结构，用以形象地说明流体湍流耗散的一般过程。? 经过?m次级联耗散后，能量均匀分布在第m层次的??mD?个子涡旋上。在三维空间上 一共有??3m??个子涡旋。当级联无限进行下去时，耗散的极限分布均匀地散布在一个 维数小于3的分形乳凝(作名词用)上。芒德勃罗将这种湍流称为分形各向同性湍流( fractally homogeneous turbulence)。? 利用这种思想芒氏于1976年将柯尔莫哥洛夫的5/3指数改写为?5/3+B，其中B=(3-D)/3?。 ? 芒氏特别研究了乳凝与乳清的结构关系,这时他用到了物理学中非常重要的概念逾渗和 逾渗壶(percolator)。逾渗壶就是一组自相似的集团(cluster)，而集团是由联通的乳凝组 成的。芒氏1974年将简单的乳凝(?1/r和N?都取整数的情况)分解过程称为正则乳凝(canon ical curdling)，后来又考虑令?N可以随机变化，对应于每一层次有一个随机数U，再规定 一个概率阈值p，当U大于p时子旋涡湮灭成为乳清，当U小于p时子旋涡存活为乳凝。当p小于 1/r?3时，所有过程都死掉，于是D为0，对于其他情况有非零概率，过程收敛到一个维数为 D=3-?log?p/?log?r的分形上。此模型的好处在于D?可以在0和3之间变化。? 法国尼斯天文台的弗里茨(Uriel Frisch)教授1995年在专著《湍流：柯尔莫哥洛夫的遗产》 中高度评价了芒德勃罗关于阵发湍流的思想，实际上弗氏是较早就认识到芒氏思想重要性的 少数人之一。1974年克莱茨南(R.H.Kraichnan)纠正了随机级联模型的一个概念错误，用速 度增量和能量流这些惯性物理量代替了耗散量，使得诺维克夫?斯图尔特模型发展为?? 模型。弗里茨在??模型中讲述了芒氏的自相似级联思想。结合柯尔莫哥洛夫1941年的论 文，可以导出速度关系? ??v?l～v?0 l/l?0 ?? 1 - 3-D ?.??? 芒德勃罗、弗里茨、帕里西(Giorgio Parisi，罗马大学)等提出的多［重］分形概念对 于阵发湍流研究具有重要意义，但是多分形模型的现象学表示有两个缺点：第一，它假定存 在奇异性，第二，它没有区分正负速度增量。弗里茨从概率的观点重构了多分形模型，克服 了这两个缺点。概率意义上的多分形标度性，并不要求在个体层次上实现任何分形结构。从 这个意义上看，湍流的分形或者多分形描述更多地体现着概率含义，离精细尺度的几何特征 则越来越远，虽然起初是从几何入手的。不过，进入90年代中期，达芬奇(Leonardo da V inci,1452-1519)式的湍流又成为研究的焦点，科学家们开始考虑极细小尺度上(到了柯尔莫 哥洛夫尺度的量级)的非平庸的几何结构，特别关注涡丝(vortex filaments)的形成以及对 于流体动力学和统计特征的影响。? 〖BT2〗对布尔巴基学派的态度〖HT〗? 芒德勃罗一生做了各种各样的研究，涉猎语言学、通讯工程、热力学、经济学、湍流、布朗 运动、复迭代等等，在他的工作中数学与其他学科是自然结合在一起的。如果说他是什么什 么家的话，他首先是科学博物学家，因为他善于从科学史中发现有价值的东西，将一些 孤立的、只言片语的深刻洞见联系起来。他的几乎每一样贡献都很容易找到一系列前身，对 此人们有两种不同的看法，一种观点认为芒德勃罗没什么了不起，只不过自己造了分形 这个词而已；另一种观点截然相反，认为他的创造是伟大的综合，是任何人所无法替代的， 分形体现的并不只是一个普通名词，它统摄了科学界各学科呼唤已久的内在声音。无疑 本文作者持后一种见解。? 芒德勃罗以几何方式思考问题，这句话有两方面的含义，一种是他以数学上的几何学方式思 考，另一种则带有若干贬义：以直观的、从形状出发的、不严格的方式思考。对于芒氏，应 该说两方面的含义都有，他本人也不讳言。他常常津津乐道地讲自己以图形的方式思考问题 的好处，当年考巴黎高等师范学校时以几何方式做弊就是一例。另外芒氏不止一次公开 反对布尔巴基学派的数学风格。? 布尔巴基(Nicolas Bourbaki)是一群主要来自法国高等师范学校的数学家的笔名。关于这个 名字的来历有多种说法，总之是人为编造出来的。这个学派作为一个集体在20世纪的数学界 可谓影响甚大。此学派的先驱人物主要有三位：康托尔、希尔伯特(David Hilbert,1862-19 43)和诺特(Emmy Noether,1882-1935)。第一位为他们提供了集合论，第二位提供了公理化 方法，第三位则提供了抽象代数。1934年冬天高等师范学校的一伙毕业生商定第二年7月在 一家饭店召开布尔巴基成立大会。成立初期活跃人物主要有:维尔(Andr?e?? Weil，1906 -)、迪多内(Jean Alexandre Dieudonn?e??,1906-),迪尔萨特(Jean Delsarte,1903-)、 卡当(Henri Cartan,1904-)、切瓦利(Claude Chevalley,1909-)等。可以看出他们年纪相差 不多。这些年青人经常聚会，在一起讨论纯粹数学。30年代他们计划撰写一部纯数学专著， 从基本原理出发，按严格逻辑发展进行形式构造。1939年以布尔巴基为名的第一部《数 学原理》(?Elements de Mathematique?)出版，一直出版到1980年，产生了很大影响。有 关布尔巴基的详情可以参阅胡作玄编著的《布尔巴基学派的兴衰：现代数学发展的一条主线 》。??［33］? ? 公正地评价，此学派为数学的严格化、体系化、结构化发展作出了重要贡献，该学派中有三 人施瓦兹(Laurent Schwartz,1915- ，是上文提到的概率论大师保罗莱维的女婿)、谢利( Jean?Pierre Serre,1926- )和格罗申迪克(Abxander Grothendieck,1928- )曾获菲尔兹奖 ，还有两人维尔和卡当荣获沃尔夫奖，这说明其数学成就是举世公认的。? 既使如此，布尔巴基也不是没有缺陷。从当前趋势看，这个学派已光荣地完成了其历史使命 ，已走向衰落。这个学派过分强调逻辑而贬低几何直觉，一直受到一些人士的反对，年青的 芒德勃罗受不了他们那一套，离他们远远的。1985年有人问芒勃罗：你提到你不喜欢布尔 巴基对待数学的那种反几何的方法。你认为布尔巴基的影响对于接受你的分形方法是否设置 了重要障碍?芒氏回答说：1945年当我离开高师的时候的确是这样，另一次是1958年我 离开法国时。在这之后就没有了。他们不能阻止我做我自己的事情。多少年来我的许多听众 深受他的影响，但并不知道他们的存在。? 芒氏认为布尔巴基试图为数学大厦打下一个基础，但它像浪漫王子梦中的城堡一样，从未完 工，他们的宏篇巨著也远未实现他们声称的目标，并没有成为数学的普适标准。所谓30年河 东30年河西一点不假。在数学界摆锤开始从一个极端摆回到一个更合理的位置。芒氏说： 如果我再早一点推出我们分形几何，布尔巴基也许会成为一个重大障碍。但是现在他们最多 能在巴黎开一个研讨会。某种意义上，我或许能从批驳他们的傲慢中获得好处。? 当分形几何学流行起来时，形势也变得突然，芒德勃罗骄傲地指出：布尔巴基现任领导人 之一的道阿迪(Adrien Douady，1935- )用了最后的几年时间发展了我所开创的复迭代思想 ，欢迎他总是件好事情。在80年代初，道阿迪确实帮了芒德勃罗一个大忙：他就芒德 勃罗提出的?M?集合的连通性与自己从前的两个学生合作，作了严格的数学分析，得到了 一批深刻的数学结果，直接促进了复迭代深入发展。? 但是这个问题还可以从另一个角度去看。布尔巴基学派起初都来源于朱丽亚(Gaston Julia ，1893-1978,在战争中他的鼻子受伤，从照片上可以看到他鼻部带着一个特制的面具)在高 师办的讨论班，无疑朱丽亚可算作布尔巴基的祖师爷，而复迭代基本上是由朱丽亚开创的。 芒德勃罗只是在70年代末才重新碰到这个问题，大张旗鼓地研究起迭代来，并将它与分形联 系在一起。因些也可以说芒德勃罗皈依了布尔巴基传统。客观的看法也许是，数学的各个分 支是内在联系的，发展总有个先后，物极必返，一种方法、一个问题的流行均有一定的时代 规律性。芒氏与道阿迪两个对立学派都来研究复迭代，说明几何方法与分析方法没有本质的 不同(代数、几何与分析历来是数学的相互统一的三大块)，在计算机的帮助下可以走到一起 来，这是本世纪80年代以来出现的盛事。? 在对道阿迪进行表扬的同时，芒德勃罗严厉批评了大数学家迪多内：布尔巴基的奠基人之 一迪多内，关于数学的意义发表了大量极端错误的言论。比如他认为皮亚诺曲线是反直 觉的，只有用逻辑才能理解它，用直觉是不可能理解其性质的。这完全错了。今天皮亚诺曲 线被视为完全直观的，因为我的工作使得它如此。我有这样一种感觉，迪多内并没有敌意， 只是有趣。? 对于布尔巴基的全面评价涉及数学的建设以及数学教育的开展，是个很严肃的话题。最后引 马季芳为《今日数学：随笔十二篇》所写的译后记中的一段话：美国自50年代末到70年代 初，花了20年功夫大搞新数学运动不幸，改革的指导思想全部采用布尔巴基学派的 主张，过分强调抽象理论的重要性，排斥一切实际应用，全部新教材中竟没有一道应用题。 结果事与愿违，学生的数学成绩普遍降低。美国数学界受此打击，痛定思痛补救之 道，在于数学家不应孤芳自赏，必须面向群众，用生动活泼的语言，讲述本学科的性质、发 展，及其在自然科学和社会科学各方面的广泛应用，借以增进世人对数学的了解和兴趣。 ? 〖BT2〗自我推销〖HT〗? 芒德勃罗始终生活、工作在逆境中，在70年代中期以前，世界上没有几个人知道他，更谈不 上真正理解他了。他几乎是打一枪换一个地方，在不同学科中窜来窜去，哪一个学科似乎也 没有特别注意他。维纳在《人有人的用途》中两次提到他算是个例外，维纳那时搞的控制 论(Cybernetics)也是新鲜事物，理解的人也不多。? 芒德勃罗发表了许多论文，但他回忆说，当初发表每一篇都十分艰难。他不断投稿，审稿人 对文章的批评毫不留情面(那时他没有名气)，稿件被一次次退回。关于星系结构的论文始终 难以发表，我关于星系的工作在别人知道它之前是不可接受的，而在它成为可接受的之前 ，人们又不知道它。发表出来的也做了一些修改，特别是编辑命令他删除可疑的哲学 (dubious philosophy)部分。? 在写作风格上，芒氏后来坦率地承认，他不得不装成某个领域的内行的样子，在论文中故意 加进一大堆数学公式和推演细节。虽然也不是特别成功，因为他始终带有极强的异国口音 (foreign accent),但是这种办法对于把我的论文发表在一些好的学术杂志是必要的和 充分的。? 芒德勃罗把科学界对他的学说的态度分成四个阶段：在第一阶段，人们总是问：你是谁?你 为什么对我们的领域感兴趣?第二阶段则是：这与我们所做的有什么联系?你为什么不用我们 所知道知识来作解释呢?第三个阶段是：你能保证这是标准的数学吗?我们怎么不知道?第四 阶段是：这些领域的数学家怎样评价你的工作?芒氏对后两个问题的回答是：我能保证这 是标准的数学。只是人们很少知道。他们无所谓，因为我的工作并没有增加什么数学。? 1964年他参加了在耶路撒冷举行的逻辑学与科学哲学大会，在会上作了尝试性的分形 宣言(tentative fractal manifesto)的报告，可惜没有正式发表出来。到了70年代初芒 德勃罗手边已经积累了不少发表的和退回的稿子，据说已经堆成了堆(90年代时他不断地抽 出一些略加修改就发表了)。? 芒德勃罗一直在思考着，当今学科分化严重，学科壁垒森严，像他这样东一榔头西一扫帚， 在不同学科进进出出的，很难站稳脚根，别人不会承认自己。如果要生存下去，就不能与正 统对着干。短期策略是，要取得别人的信任，尽量隐藏自己的真正意图，争取多发表一些论 文，审稿人和编辑希望怎样修改，自己就怎样修改。而长期战略是，要学会自我推销，最终 建立自己是教皇(Pope)的一块阵地：即创立一个属于自己的新学科。? 1973年芒德勃罗终于找到了一个绝好的机会。这一年他到巴黎去休假，此时他叔叔佐列姆已 经退休，正好可以邀请他在法兰西学院(Coll?e??ge de France)作一场重要的报告。这 对于自己发表一篇一般性宣言以及解释清楚自己多种不同兴趣的内在统一性，是一个黄金时 机。他作了精心准备，在准备过程中他发现自己的整套工作比以前自己所知道的更完备、 更协调了。讲座在1973年1月进行，极其成功，一个朋友告诉他，这是他听到过的最具自传 色彩的科学讲演。芒氏回忆说：我受到好多赞扬，会上根本没有敌意，这使我认识到我多 年的荒野生涯行将结束了。为了概括我的统一方法，不久我就造了分形(fractal)这个 词，并把这次的巴黎演讲的内容扩充为一本法文书，这部书1975年出版，不久后又稍作修改 出了第二版。? 直到1973-1975年，他才改变了自己的政治地位，此前在所有领域他都是局外人，他的 地位和声音都不容许宣布自己的哲学和他的交叉科学方法。1977年的这本法文书标志着我 从零敲碎打方法到现在的统一方法的转变，不久分形几何学就变得很有组织了。我的生活方 式也深深地发生了变化。你们可以说，我已变成了我的创造物的奴隶。? 这之后芒德勃罗变得似乎有些狂妄。他写文章和书充满了第一人称，他常用我宣布、 我认为、我发现了、我运用了、我认定、我证明、我命名、在我 漫游我自己新开创的、新开发的学术领地里，我时常行使对新领域中的路标进行命名的权力 。著名科学史家柯恩(I.Bernard Cohen)在《科学革命史》一书中指出，他与自己的学生 以及同事进行了长达15年的调研，发现用革命词句描述自己成就的科学家并不多，一共 只发现10多位，他在书中列出了16位，其中芒德勃罗就是第16位。? 无疑，许多人不欣赏他这种文风，所以在他成名后许多人公开反对他也就不奇怪了。? 对于纯粹数学家来说，芒德勃罗并非数学家。在他的成就达到最高峰时，他甚至遭到一些同 事的辱骂。有人认为芒德勃罗关于自己在科学史上的地位的说法简单是神经病，他们说芒德 勃罗向别人述说的贡献，纯系吓唬人，耸人听闻。? 这也难怪，芒氏经过曲折的道路，终于取得社会的承认，他急于让世人欣赏他的成就，急不 可待地希望别人都知道他第一个发现了什么、第一个采用什么方法得到了什么结果。格莱克 (James Gleick)说：他甚至会写信给一些写了分形方面论文的作者，责问人家为什么不引 用他的文章与他所写的书!芒氏的一位朋友里希特(P.H.Richter)替他辩解道：他一生坎 坷，与别的数学家很难相处，为了生存下去，他必须采用这种战略，不断鼓吹他的自我。如 果他不这样做，如果他不这样自信，他就永远不会这样成功。? 看芒德勃罗的论文和专著，会注意到他大量引用前人的工作，他自己声称善于在数学垃圾筒 和故纸堆中找金子。但一些人并没有因此而表扬他，反而说他经常引用一些名不见经传、多 半已经安全地死去了的人物，为的是突出他自己，以使他自己成为学术领域的中心人物 。有人甚至怀着嘲笑的语气说，他只会从一个领域拿来一些东西，当成他自己的，然后贩卖 到另一个领域。有人一面吸收着芒德勃罗的思想，一面尽力避免使用分形与分维这 样的词汇，故意用豪斯多夫?贝塞克维奇维数(Hausdoff?Besicovitch dimension)等 等。当然大多数科学家还是能够充分理解芒德勃罗的，他们考虑芒氏曾克服的重重困难，便 原谅了他的强烈个性。毕竟科学就是科学，看的是科学内容而不是当事人的人品和个性。由 于不喜欢一个人的个性而不喜欢他的实实在在的有价值的科学工作，是不明智的，到头来也 证明是个性偏执的。? 对于芒德勃罗的风格，数学界还有一个反感。纯数学家认为他只是到处宣布一些猜测，而不 是下力气去严格证明它们。发现周期倍分岔普适常数的费根鲍姆(Mitchell Feigenbaum,194 5- )也遇到过这种情况，有位数学家指责他是讲数字呢还是讲严格证明。这是数学家与物 理学家之间的一个老矛盾了，不过现在由于计算机大量用于科学研究，此问题显得更加突出 。如果某人宣布某一事情也许为真，而另一位严格证明它为真，试问哪一位对科学的贡献更 大，谁的工作才算更正的科学发现?这个问题很复杂，不可一概而论。胡适(1891-1962)的格 言也许用得上：大胆假设，小心求证。? 〖BT2〗公开争论〖HT〗? 80年代芒德勃罗卷入多种争论，其中影响较大的公开争论有两场。一次是1986年在《今日物 理学》杂志上，一次是1989年在《数学信使》杂志上。每一次都连续刊发了系列评论或信函 。现在重温这些争论对于理解分形、理解芒德勃罗、理解整个现代科学的运行都有价值。? 1986年二月在世界范围享有盛誉的《今日物理学》开办了参照系(Reference Frame)这 样一个栏目，首期请芝加哥大学凝聚态物理学家、麦克阿瑟(John D.MacArthur)物理教授卡 丹诺夫(Leo Kadanoff)著文。卡丹诺夫是相变理论、临界现象、非线性系统浑沌行为方面的 专家。他写了一个带有挑战味道的题目《分形：其物理学在哪里?》，开头便写道：为什 么分形这么多事?《物理评论快报》(?Physical Review Letters?)报怨，每三篇投稿中就 有一篇以某种方式与分形扯到一起。一些大公司的实验室(像施乐和IBM)将其基础研究预算 中相当可观的一部分用于研究分形系统。在过去的一年里，大约有半打学术会议是关于这个 主题的。为什么???［２０］?? 看得出来，卡丹诺夫来者不善。他接着说：但首要的是，什么是分形?不同人以不同的方 式使用分形这个词，但都同意分形对象像中国套箱或者俄罗斯套娃娃，包含层层嵌套的 结构。文章主体部分回顾了扩散置限凝聚(DLA)模型以及分维的计算，接着又开始了发问 。? 他说，不幸的是分维测度并不能有效区分不同的对象，虽然也有人给出分维以外的其他指 标，但这一领域的未来发展有赖于建立更本质的理论基础，在这个基础上应该能够导出现 象层次的几何形式。如果缺少这样一个基础，就不可能准确地确定什么样问题有可能具有有 趣的答案。人们可以希望，甚至期待，最终要发展出类似威尔逊(Kenneth Wilson，曾获物 理学诺贝尔奖)重正化方法一样的理论基础，来使这一主题漂浮的船舶稳固下来。没有 那样的基础，许多分形工作似乎显得肤浅，甚至有些乏味。在各种各样模型的基础上实施计 算机模拟，然后将结果与真实世界的情况对比，这不难，简直太容易了。但是，缺少组织原 则，这一领域就会堕落为有趣物种和简易分类的动物园。尽管这一领域所基于的现象观察十 分美丽和精致，但分形的物理学，无论如何是有待诞生的学科。??［２０］?? 《今日物理学》4月份在研究与发现栏目中又刊出记者列维(Barbara G.Levi)写的一篇 报道《新的整体分形形式化(formalism)描述了通向湍流的道路》,??［２１］?主要讲了 费根鲍姆发现周期倍化分岔普适常数以及许多人的实验验证，特别提到分形的新的形式化描 述，写下了公式? p?i=l???i(l)??，其中l是小的距离，p?i是概率，?i是标度指数。标度指数取 值有一定的范围，其分布构成奇异性谱，用函数f()表示。可以粗略地把f设想为熵。这说 的是多［标度］分形。接下去文章用大量篇幅讲述各种具体研究，以及以为横坐标、f( )为纵坐标做出来的曲线图。有关思想来源只在一处简单地提到芒德勃罗的名字。? 芒德勃罗看了这两篇文章大为不悦，给编辑部去了一封信，刊于《今日物理学》9月号，题 目是《多分形与分形》。??［２２］?他首先针对卡丹诺夫的提问作了回答：卡丹诺夫 问分形为什么这么多事，我们看到现在答案部分在于他本人以及他的亲近同伙的工作都 与多分形有关。芒德勃罗在这封信中特别补充了自己早期关于多分形的贡献。1968 年我在关于发达湍流的工作中第一个提到了多［重］分形，70年代我发表了有关此问题的大 量论述。他一口气提到他独立撰写与合作完成的十余种文献，目的只有一个，强调他最先 提出了多［重］分形的思想。全文最刺激的话是：无论怎样，来自芝加哥的关于(多)分形 的最新研究，令我感受到作为一位父亲的骄傲，也许不久就要当祖父了。? 不过应当指出多［重］分形一词是弗里茨和帕里西命名的，当然他受到了芒德勃罗的影 响(如1974年的文章)，后来弗氏又对多分形形式化进行了改进。芒德勃罗也承认这一点。? 芒氏又讲道：尽管我70年代的论文既难写更难读，但它们包含一些至今没有超越或者没有 重新发现的思想。特别地，我发表在《统计模型与湍流》一书中的论文(1972年，题目为《 阵发湍流中与能量耗散分布有关的对数正则假设的可能细化》)包含多分形测度的有用描述 。他还让人们注意1980年在哈佛大学时与一伙同事们(如杰芬(Y.Gefan)和阿哈罗尼等)合 作发表的多篇论文。这些同事完全站在芒氏一边，其中阿哈罗尼是芒氏的重要追随者，1989 年10月他与费德在法国专门举办了一次研讨会为芒氏65岁生日祝寿，并组织出版了纪念文集 (见1989年出版的《物理学38D》杂志)。? 在这封信的结尾芒氏写道：扩散置限凝聚(DLA)及其各个变种确实只是被发现和描述，还 没有完全解释清楚。描述先于理论是科学发展的通常模式。但是，看看在短短不到6年的时 间里已变得彻底可理解的所有硬科学!看看关于逾渗网瀑涨的知识，以及分形形状对物理学 所产生的奇妙的、多样性的影响和修正吧! 〖BT2〗优先权问题〖HT〗? 芒德勃罗卷入的第二个争论远胜过第一个。这次发难者是早年毕业于圣克鲁兹加州大学、现 任圣路伊斯州华盛顿大学的数学家克兰茨(Steven G.Krantz)，他的研究方向是函数论和复 分析的几何方法。此人爱好广泛，后来(1990年)还在同一刊物上发表一篇《数学秩事》，专 门讲述了柏格曼(Stefan Bergman,1898-1977)、贝塞克维奇(Abram S.Besicovitch,1891-19 70)、哥德尔(Kurt G?o??del,1906-1978)、莱弗席兹(Solomon Lefschetz,1884-1972)和 维纳的一些令人发笑的故事。? 好在那些数学家早就去世了，讲述的故事真假死无对证，不过这一次(1989年)他却惹了麻烦 。1988年秋克兰茨想对两本书《分形图象科学》和《分形之美》作一评论，先征得了美国数 学会会刊书评编辑的同意。编辑斯托特(Edgar Lee Stout)很快收到稿子并同意发表。校样 1989年1月中旬出来后克兰茨故意复印了一些让人们传看，特别送给芒德勃罗一份。芒德勃 罗阅毕表示强烈反对，并写了一篇反驳文章。后来数学会怕惹事，建议克兰茨撤回书评稿另 投他处。克兰茨也非常生气，堂堂美国数学会怎么能出尔反尔。最后书评连同芒德勃罗的反 驳一同刊登在很有名的《数学信使》(?The Mathematical Intelligencer?)杂志1989年第 4期上。??［１４］?? 克兰茨的书评写得很长，只是稍带评论一下提到的那两部当时影响极大的书，文章的中心是 冲芒德勃罗和分形几何学来的。开篇温和地从公众理解数学谈起，不久就到了关键：但是 ，目前数学中有一项进展由于其潜在的易理解性，可能使其他数学宣传相形见绌，这就是分 形理论。尽管现在称作分形集合的东西已早被研究了(如在调和分析、几何测度论和奇异性 理论中)，但芒德勃罗起了分形这个词，并使之流行起来。? 接着引用了《分形之美》中芒德勃罗一段得意的、极容易引起反感的话，然后评论说，有人 竟认为分形是自微积分以来最伟大的数学思想。但他认为根本不是这么回事。像微积分的 创立者们一样，分形几何的奠基人也造就了一批有志于此事业的中坚队伍。他们不会因为缺 乏严格性而受阻，因为他们分享着最近300年来辛勤积累的智慧，即使到目前还没有普遍接 受的分形定义。情况似乎是，他们不证明定理(显然分形几何学家们不证明定理)时，是 不需要定义的。分形几何与微积分的显著差别是，分形几何没有解决任何问题。我不清楚它 是否创造了任何新的东西。可以看出火药味是颇浓的，而这里见到的还是修改后、语气有 所缓和的稿子。? 克兰茨还特别提到要把目前不适当归于分形标题或者大伞之下的真正数学拿走，至少是 划清界线，他认为分形几何学只是一个空架子。他认为像轮廓使人想起一只狗的头，上部 像尼斯湖的妖怪。在自然界中其分维数?D比欧氏空间维数E?要大0.2到0.3的形状似乎特别 多。典型的海岸线的分维大约是1.2，地形约为2.2，而云彩约为3.3这类描述根本不像是 科学。当人们翻开这两本书时，似乎分形几何是一门科学，显然指数学。但是我在两本书 中任何一处看不到一个定理，也几乎没有定义。如前面指出的，对分形一词没有明确的 定义。作为一个数学家，我觉得这不是一个好兆头。我不认为芒德勃罗证明了任何定理 作为他的研究结果，不过这也并非他所声称要做的事。用他自己的话，他是一位科学哲学家 。芒德勃罗建议分形几何学家也利用计算机作图来提出假设和猜想。但作分形研究的人 提出的假设和猜想是就事论事的，他们产生图形是为了得到更多的图形，而不是为了得到更 深刻的思想。即使这些图形偶然会使熟练的数学家证明出好的定理，这似乎是碰碰运气而已 。? 克兰茨的书评特别评论了关于复迭代的研究，他故意抬一个贬一个，认为道阿迪和哈伯德(J .H.Hubbard，道阿迪以前的学生)的工作继承了朱丽亚和法图(Pierre Fatou,1978-1979)的 传统，是真正出色的数学。芒德勃罗集(简称?M?集)并不是由芒德勃罗发明的，很 清楚在芒德勃罗集这个词被制造几年之前，文献中就清楚地出现过(指布鲁克斯(Robert Brooks)等人1978年的会议论文，1981年出版)。事实上法图和朱丽亚早就研究了迭代函数 ?zz?2+c?，如今芒德勃罗至少是由于与这此有关，而得到不少荣誉。克兰茨还就 外尔斯特拉斯?芒德勃罗函数的命名提出疑问，不过这算不了什么，芒氏也巧妙地作了回 答:实际上作这样称呼的是著名科学家伯瑞(Michael Berry),WM函数具有自仿射性质，而W函 数不具有。? 克兰茨认为虽然道阿迪等对动力系统、迭代函数作了出色研究，但是这些数学家们不研究 分形，他们证明漂亮的定理。分形几何之所以得到数学界如此高的赞扬，实际上是间接称颂 道阿迪、哈伯德、沙斯顿(Willian Thurston)和其他人的工作。我发现麻烦的是，公众 对于当今数学家们正在从事的工作的理解大部分是由于读了关于分形的书，读了格莱克的《 浑沌》(?Chaos?)一书，读了那些包含长期间的猜测和不正确的证明的书籍，来获得的。 这两部书造成了可怕的误导。分形理论和浑沌理论还处于襁褓中。现在就讲述它们是否 能篷勃发育为成熟的学科为时尚早。??［１４］?? 克兰茨的文章还挑起了另一个敏感问题：对分形理论的过分宣传导致了对数学发展的有害 的官方政策。在一些圈子中，得到购买产生分形图形的硬件的经费，比支持研究代数几何来 得容易。代数几何是经得住时间考验的，而分形几何还没有，人们一定会奇怪，是怎样的考 虑导致这样的经费资助决策。我个人的看法是，官僚机构比较容易认同对硬件的投资而不是 对思想的投资。无论怎样，对这种政策造成的长期效果的预测令人沮丧。。最后的结论是 ：关于它们形成一门新的学科，或者形成自然界中一种新的分析语言这一断言，我想说， 分形理论在这方面所作出的贡献是非本质的。总之，皇帝没有着穿衣。? 克兰茨的批评十分坦率，有不少也的确击中要害，但总体上似乎过火了，多少有些红眼病 之嫌。我们还是看看芒德勃罗的反应吧。? 他先作了一个有趣的开场白：看看数学的历史，数学界回到了具有灵活性和多元论的时代 ，每个人都有权力表明他的心情。之后着重就芒德勃罗集的优先权作出了反应，这对 他来说的确很重要，公众(特别是能够上微机作图的人)主要是由芒德勃罗集而知道分形的。 自然扯到布鲁克斯与马蒂尔斯基(J.Peter Matelski)1978年写成1981年发表出来的文章(刊 于一部论文集中)。准确说，虽然芒德勃罗于1979-1980年也研究了二次复迭代，大概也独立 发现了?M?集，但布鲁克斯发现得更早些。论文写成时间一个是1978年，一个是1980年(或 者再早些算1979年)；但发表时间正好倒过来了，一个是1981年，一个是1980年。论文集显 然比杂志论文刊出周期长。芒氏不愿承认发现的先后，但又不好正面反驳，于是找到另外几 个理由：1)指出布鲁克斯只给出了?M?集的粗糙版本；2)是芒德勃罗本人大力宣传了?M? 集；3)正是芒德勃罗吃饭的时候花大量时间向道阿迪讲述?M?集，促使道阿迪与其学生哈 伯德暂时放下手头的工作而专心研究?M?集的性质。芒德勃罗指出，他在沙利文(Dennis S ullivan,也是道阿迪以前的学生)的CUNY讨论班上向米尔诺(J.Milnor)和沙斯顿讲述?M?集 时，?M?集还不曾归于任何人的名下。??［14］?? ?M?集合究竟是怎样开始冠以芒德勃罗的名字，现在还不清楚。但这并不是什么了不起的 事情，数学史上张冠李戴的事多着呢。比如：1)计算机辅助几何设计中，利用伯恩斯坦(Ber nstein)多项式可得出工程设计中非常有实用价值的比泽尔(Pierre E.B?e??zier,1910- )曲线，这种算法雪铁龙汽车公司工程师卡斯特乔(de Casteljau)也独立地做了同样的工作 ，只是没有宣传。??［39,40］?2)利用复函数去计算实积分的值，欧拉(L?e??onhard Euler,1707-1783)和拉普拉斯(Pierre?Simmon Laplace,1749-1827)都有优先权。3)在常 微分方程研究中，关于富克斯(Immanuel Lazarus Fuchs，1833-1902)型函数和克莱因(Chri stian Felix Klein，1849-1925)型函数也存在一些争议。庞加莱将克莱因研究过而富克斯 没有研过的那种函数命名为富克斯型函数，遭到克莱因的抗议，于是庞加莱马上将自己新发 现的一种函数命名为克莱因函数，然而克莱因本人从来没有考虑过这种函数!??［41］? ? 芒德勃罗在为自己争优先权时不小心又伤了布鲁克斯，后者1990年在第1期《数学信使》中 反驳了芒氏。布鲁克斯在给编辑的信中说：至于谁发明了现在称作芒德勃罗集的东西，我 认为应当牢记：大约在20年代法图的头脑中对此就有一幅完整的图象。毫无疑问，如果法图 有机会接触现代计算机的话，他就可能并且已经绘制出马蒂尔斯基、芒德勃罗和我60年后画 出来的完整图形。这么多年来，工作在这一领域的其他许多人也一定能够做到。坦率地说， 生活在计算机革命的时代，我很难自作主张拥有某种荣誉。? 芒德勃罗曾说：马蒂尔斯基和布鲁克斯只是接近于那种将被证明是特殊的东西，但他们对于 这幅图形并没有理解。布鲁克斯反问道：我不知道他对我们理解什么或者没有理解什么， 怎样那么有把握!我们特别不喜欢发表带有哲学思辨性质或者半生不熟的方案。要害在于句 子的前半部分。在所有这些大吵大嚷之后，如果芒德勃罗真的相信这个集合有些特殊，那么 他一定言不由衷。正如英国海岸线没什么不同于世界上所有其他海岸线一样，芒德勃罗集也 只是整个奇妙的数学宇宙中的一个(当然既不是第一个也不是最后一个)，它反射出自然界与 思维世界中各种类型的美与精巧。? 在1990年第1期《数学信使》中还刊发了卡丹诺夫对上述讨论的回应，不过他只字未提孰是 孰非，而是补充评论了一下先前提到的两部书，这为它们很有价值，其中的一部他还推荐给 自己的学生阅读。? 另外芒德勃罗还就克兰茨说他是科学哲学家进行了辩白，说那只是克兰茨的论断。芒氏 称自己是实干家(doer)，写的文章也都发表在实实在在的数学、科学和艺术杂志上。很 清楚，在他们的争论中，双方都认定科学哲学家只是一些善于夸夸其谈、只知道评论别 人工作的一伙人。实际上呢?大家心里都清楚。? 克兰茨并不服输，1989年第4期《数学信使》还为他留了一小块再反驳的空间，他讲了这样 一段再次让芒氏难受的话：布鲁克斯和马蒂尔斯基的思想是在1978年的一次会议上提出的 ，至于芒德勃罗的早期贡献可能在1979年到1980年之间。《今日物理学》的编辑列维在1986 年4月的文章中介绍了卡丹诺夫的工作，这工作用的是统计力学方法而不是分形几何方法。 列维描述这一深刻的科学研究工作时用了分形的语言，芒德勃罗表示默认，这正好提供一个 例子，说明分形几何学家借用其他学科的出色成果来装点自己的倾向。? 抛开情感因素，克兰茨对分形几何的批评是有意义的，分形几何的确存在他所指出的若干不 成熟性、不严格性，但是这不应该归罪于一个人，特别不能归罪于为这一新学科做出重大贡 献的创始人芒德勃罗。责任应该由科学共同体集体承担，其中他自己也有份。当然由于涉及 一些个人利益，芒德勃罗过分敏感，作为领袖他主动应战。实际上芒德勃罗并没有争回什么 (?M?集的命名已成事实，谁也改变不了)，反而影响了自己的公众形象，使人觉得他是一 个过分计较的人。芒德勃罗大概没有研究过大众传播学，他应该知道，人不出名时，公开的 争论对自己有利，而当自己出名时，公开争论只能给自己抹黑。? 有人曾说芒德勃罗这个人有才无德，他与几乎所有同事都争执，甚至把别人指责他的把戏转 手用于攻击别人，例如他曾攻击非线性科学同一阵地的费根鲍姆，指出他的周倍化普适性过 程并不新鲜，一个叫米尔堡(P.J.Myrberg)的人早在1962年就发现了云云。这种说法有些过 火，其实芒氏与多数同事都相处得很好，如与汉德尔曼(S.W.Handelman)、沃斯(Richard F. Voss)、拉夫(Mark R.Laff)、诺顿(V.Alan Norton)及迈肯娜(Douglas M.McKenna)等。? 〖BT2〗值得思索的问题〖HT〗? 这篇短短的评传，只写了与芒德勃罗有关的几个典型问题。一方面是材料有限，比如关于个 人生活方面的资料十分少，多亏芒氏本寄来一部分；另一方面是材料太多，比如分形科学方 面的文献，汗牛充栋，仅芒氏本人就有一大堆读起来颇费气力的论文和专著。到目前为止， 也还未见现成的芒氏传记可资参考，芒氏的三个大部头也均未译出。此外芒氏还健在，分形 理论还在发展，一切离阖棺定论还遥远。? 在有限的篇幅里，还用相当多篇幅讲芒氏如何与别人激烈争论，似乎作者并不欣赏传记的主 人公，对芒氏怀有敌意，其实正好相反，作者相当崇拜芒德勃罗。好像有人说过，为某人 立传最忌讳作者不喜欢书中的主人公。? 那么为何专捡一些对芒氏不利的方面来描述呢?这是由芒德勃罗这个人物特点决定的，只有 这样才能展示他如何与传统与现实不相容。尽管如此，他还是空前成功了，这更值得思索。 我们敢肯定，他是少有的天才，虽不像爱因斯坦那么纯正、圣洁，但仍然是个性独特、创造 力极强的天才。? 几个曾引起作者思考、多少扯得远些的话题罗列如下：? 1.芒德勃罗是靠强调几何取胜的，分形也是这样宣传起来的，但代数、几何、分析同等 重要，不同时代、不同学派各有所侧重是正常的，但用一种去排斥另一种就显得不自然(如 布尔巴基故意避开几何图形)。几何重形象，有助于对问题的理解，但过分依赖形象是不够 的、不严格的。经典的倍立方、三等分任意角、画正七边形及化圆为方等几何问题，单 纯靠初等几何是不行的，只有借助于有理数域以及超越数(如证明圆周率??的越越 性)等概念，才能彻底证明圆规+直尺不能作出上述四种图形。??［３４］?拓扑学是 一门几何学，但代数拓扑离几何形象已经较远了。计算机数值计算与绘图技术有助于数学家 获得几何直观、提出数学猜想，但这与严格的数学证明还是两回事，数值计算永远不能代替 数学逻辑证明。? 2.当今大科学的运行模式是最好的吗?特别地，自然科学严重分化、数学日渐抽象化、基础 科学家为了发表论文而发表论文、大科学时代如何对待科学家的个人兴趣等等问题，显然已 经十分严重了。然而悲哀的是，短期内竟看不出有什么好的解决办法。再出来几个芒德勃罗 式的人物肯定有好处，但很难，也扭转不了大局。SCI和EI论文统计有一定意义，但它与科 研水平、特别与科学创新关系不大，科学史上的重大突破常常只靠一两篇论文。自然科学基 金通常资助已经取得成就的人员，但是已经取得了成就还用再资助吗?反过来，不取得成就 怎么判断应该资助他呢?显然基金应当只资助那些能取得但尚未取得成就的人，但很少做到 。? 3.科学家队伍不断膨胀，但科学精神并没有因此而发扬光大，没有推向社会而成为公众文化 的重要组成部分，相反在科学家内部，由于工匠式人物和纯技术性工作日渐增多，科学精神 还有被弱化、淡忘甚至曲解的趋势。在科学界以外，反科学情绪逐渐在积累。作为科学精神 一部分的理性怀疑与宽容精神确有大力提倡的必要。? 对待分形几何这样的新事物，既要有所怀疑又要宽容。这个学科处于草创阶段，问题多如牛 毛。问题多是好现象，没有问题该学科不是无意义的学科就是已经死掉了的学科。还要看这 牛毛里是否有突出的问题以及这些问题是否有解决的希望。? 对于科学问题要实事求是，不能把一种东西吹过头。芒氏在多种场合吹嘘过自己的新几何学 ，但他也讲过这样的话：最应强调的是，我并未把分形观点看成是万灵妙方，每个范例研 究都应根据它所在领域内的准则来加以检验，也就是，多半是基于它的组织、说明和预测方 面的威力，而不是作为数学结构的一个例子。因为每一个范例研究都必须化简以使它成为纯 粹技术性的问题，读者若要了解详情，可查阅其他文献。结果(如像汤普森1917那样)，本书 从头至尾都是序言性的。任何有更多期望的专家都将感到失望。? 4.芒氏的奋斗史对国人从事科学研究有什么启示呢?看到坚定信念、大胆创新只是一个方面 ，练好基本功、脚踏实地也是重要的。要注意芒氏这样的人才是很少的，不可否认他的确天 资聪颖，他的基本数理功底也是相当不错的。他虽然不善于证明一串串的数学定理，但他的 数学与物理直觉很好。他从未为了创新而放弃理性，从未在自己生疏的领域留下伪科学的笑 柄。如果不打好基本功，以芒氏为榜样以期取得重大科学突破，大概是不可能的。? 举例来说，芒氏如果数学分析基础不好，他也不会注意那些古怪的案例，只有对课本正统内 容有深刻领悟，才能发现别人不容易发现的问题。同样他的概率论学得也是相当有深度的， 他对莱维的非高斯稳定分布有强烈印象，后来才尝试把它用到各个领域，而在当时，甚至现 在，绝大多数人也不理解甚至不知道还有莱维分布。? 还有一个方面可以说明芒氏数理基础扎实。通常人们是由理工科跳到经济、社会科学，反向 跳几乎不可能，这种不可逆性是显然的，但芒氏研究了经济后，还能研究湍流，到了80年代 又开始了复迭代函数的研究，并且取得了成就。? 5.人物评价的复杂性。我们看到即使像芒德勃罗这样一个与政治无关的人物评价起来也不容 易做到客观公正。这主要牵涉当世人的利益关系和个人情感、好恶。吾辈小人物任凭如何评 论，关系不大，但作为有影响的人物出面参与评论，情况就大不一样。比如芝加哥大学卡丹 诺夫教授卷入与芒氏的争论，其影响就非同小可。所以科学界的大人物作评论要慎重，但常 常不是这样。? 在评价一个科学工作者时，更多是要看他的科研成果，而不是别的什么东西。至于他同性恋 、性格古怪或者有什么作风问题，都是次要的，只要他不触犯法律。用纳税人的钱养活一群 人缘好、道德高尚但不出成果的科学家，毫无意义。伽利略、牛顿、莱布尼兹都有 若干不光彩的一面，据说爱因斯坦也不例外，但这并不妨碍他们是人类的最杰出代表，他们 追求真理的科学理性精神是人类最宝贵的财富。? 6.基础研究不可急功近利。愿为科研、教育投资的政府和老板，都有一个小算盘：今天投入 100元，别天就得收回200元。如果实现了，便说科技的确是生产力，甚至第一生产力；如果 没有得出结果，或者仅仅是暂时没有出成果，内心就觉得科技无用，但不会说出来，而实际 上对增加科教投入已无兴趣，所以出现雷声大雨点小的情况。? 芒德勃罗在IBM任职20余年后，才算混出一点名堂，但他始终得到格莫瑞(Ralph E.Gomory, 曾任IBM公司经理、部门主任、研究部主任和副总裁)的信任和大力支持，对此芒氏念念不忘 。??［４］?在IBM供职期间，公司还为他创造了各种机会，允许他到全美以及世界各地 作短期访问和兼职。当然，IBM下属研究所的许多研究是纯粹科学探索性质的，不要求有任 何商业考虑。从长远看，这是欲擒故纵。分形研究以及研制深蓝与卡斯帕罗夫(G.K asparov)下棋，虽耗资巨大，但最终使IBM声誉大增，间接促进了其商业行为，善于讲兵法 的中国人怎么只会在口头上高谈阔论?? 〖BT2〗注释与参考文献〖HT〗? ［1］B.B.Mandelbrot,?Fractals:Form,Chance,and Dimension?, W.H.Freeman and Company,San Francisco,1977? ［2］B.B.Mandelbrot,?The Fractal Geometry of Nature?,W.H.Freeman and Company,New York,1982, Updated and Augmented.参阅了上海交通大学陈守吉的中译文初稿。 ? ［3］J.Gleick,?Chaos:Making a New Science?, Viking Penguin Inc.,1987,pp.81-118,213-240.中译本：卢侃、孙建华编译，《浑沌学传奇》，上海翻译出版公司1991年，第103-147,250-280页。此书另外还有两个中译本? ［4］D.J.Albers G.L.Alexanderson,?Mathematical People：Profiles and Interviews?, Benoit Mandelbrot, Interviewed by Anthony Barcellos,Birkh?a??user, Boston,1985,pp.205-226.感谢芒德勃罗1997年5月惠寄本文复印件? ［5］B.B.Mandelbrot,Fractals. In ?Chaos:The New Science?, Nobel Conference XXVI,Edited by John Holte.本文是根据1990年4月芒氏在纽约古根海姆博物馆(Guggenheim Museum)的讲演以及1991年在林肯中心艾丽丝图利报告厅(Alice Tully Hall of Lincoln Center)的演讲简化而成的，发表时间大约在1992年以后。感谢芒德勃罗1997年5月惠寄本文复印件? ［6］B.B.Mandelbrot,Fractal geometry:what is it,and what does it do? ?Proc.R.Soc.Lond.?, A423,3-16(1989)? ［7］B.B.Mandelbrot, Stable Paretian random functions and the multiplicative variation of income, ?Econometrica?,Vol.29,No.4，October 1961，pp.517-543? ［8］B.B.Mandelbrot,Paretian distributions and income maximization, ?Quarterly Journal of Economics?, Harvard University,Vol.LXXXVI,Feb.,1962,No.1,pp.57-85 ? ［9］B.B.Mandelbrot,New methods in statistical economics, ?The Journal of Political Economy?, Vol.LXXI, October 1963, No.5,pp.421-440? ［10］S.M.Brucker,CS400 Biography:Beniot Mandelbrot. From http://www.kzoo.edu/~a 24,1995? ［11］John Franks(西北大学数学系教授，斯美尔的学生),Review on book ?Chaos:Makbrady/CS400/bioW96/brucker.html,January Making a New Science? by James Gleick, ?The Mathematical Intelligencer?, Vol.11,No.1,1989,pp.65-69;70-71. James Gleick的回答见同期第69-70页? ［12］B.B.Mandelbrot, Chaos,Bourbaki,and Poincar?e??， ?The Mathematical Intelligencer?, Vol.11,No.3,1989,pp.10-12. John Franks关于格莱克《浑沌；开创新科学》一书书评的总答复见同期第12-13页。? ［13］David Crystal, ?The Cambridge Biographical Encyclopedia?, Internet Version, Cambridge University Press,1994? ［14］Steven G. Frantz(华盛顿大学数学系),Fractal geometry, ?The Mathematical Intelligencer?, Vol.11,No.4,1989,pp.65-69;70-71.此文严厉批评了分形几何学领域的一些言过其实的现象，其中有相当多言辞与芒德勃罗有关。芒德勃罗的反驳文章见同期第17-19页，题目是Some facts that evaporate upon examination。之后Frantz又写了几句评论，见第19页。事后《数学信使》杂志编辑又征求当事人Robert Brooks(洛杉矶加州大学数学系教授)和Leo P. Kadanoff(芝加哥大学研究院教授)的意见，他们俩分别就The Mandelbrot Set和Fractals写来短信，刊登于该刊1990年第12卷第1期第3-4页。Frantz与Mandelbrot的争论文章中译文刊于《数学译林》1992年第4期，《分形理论的哲学发轫》一书也收录了这两篇译文? ［15］Vita and publications of Benoit B. Mandelbrot, ?Physica? 38〖WTHZ〗D〖WTBZ〗(1989)385-395? ［16］A. Aharony, Measuring multifractals, ?Physica? 38〖WTHZ〗D〖WTBZ〗(1989)1-4? ［17］P.Mirowski,Mandelbrot?s economics after a quarter century, ?Fractals?, Vol.3,No.3(1995)581-600? ［18］J.Klafter et al.,Beyond Brownian motion, ?Physics Today?,Feb.,1996,pp.33-39? ［19］U.Frisch,Tubulence:The Legacy of A.N.Kolmogorov，Cambridge University Press,1995? ［20］L.P.Kadanoff,Fractals:where?s the physics? ?Physics Today?，Feb.,1986,pp.6-7? ［21］B.G.Levi,New global formalism describes paths to turbulence, ?Physics Today?，April 1986,pp.17-18? ［22］B.B.Mandelbrot,Multifractal and fractal,?Physics Today?,Sept.,1986,pp.11-12? ［23］B.B.Mandelbrot,How long is coast of Britain? ?Science?，Vol.156,1967,pp636-638? ［24］H.?O.Peitgen et al., The Beauty of Fractal, Springer?Verlag,1986.中译本：井竹君、章祥荪译，《分形美的科学》，科学出版社1994年? ［25］H.?O.Peitgen ?et al?., The Science of Fractal Images, Springer?Verlag,1988 ［26］黄登仕、李后强，《非线性经济学的理论和方法》，四川大学出版社1993年? ［27］程光钺编，《分形理论及其应用》，全国分形理论及其应用学术讨论会文集，四川大学出版社1989年? ［28］李后强等，《分形理论的哲学发轫》，四川大学出版社1993年。? ［29］冯长根等，《非线性科学的理论、方法和应用》，科学出版社1997年。? ［30］赵凯华等，《非线性物理导论》(初稿)，北京大学非线性科学中心1992年8月? ［31］范岱年等编，《爱因斯坦文集》第二卷，商务印书馆1977年，第72-82页? ［32］马季芳译，《今日数学：随笔十二篇》，Lynn Arthur Steen编辑，上海科技出版社1982年? ［33］胡作玄，《布尔巴基学派的兴衰》，知识出版社1984年? ［34］柯朗、罗宾著，左平、张饴慈译，《数学是什么?》，科学出版社1985年? ［35］斯图尔特著，潘涛译，《上帝掷骰子吗?》，上海远东出版社1995年，第232页? ［36］科恩著，杨爱华等译，《科学革命史》，军事科学出版社1992年，第46页? ［37］邓东皋、孙小礼、张祖贵，《数学与文化》，北京大学出版社1990年? ［38］汪富泉、李后强，《分形》，山东教育出版社社1996年? ［39］常庚哲，《曲面的数学》，湖南教育出版社1995年，第33页? ［40］齐东旭，《分形及其计算机生成》，科学出版社1994年? ［41］克莱因，《古今数学思想》第三册，上海科学技术出版社，第121页? ［42］刘华杰，浑沌研究，见《跨学科研究引论》第8章，金吾伦主编，中央编译出版社1997年，第179-251页? ［43］刘华杰，《浑沌：科学与文化》，山东教育出版社1996年? ［44］刘华杰，《分形艺术》，湖南科学技术出版社1997年?? 〖GK14!2〗〖HT5F〗 收入《科学巨星》第10辑，陕西人民教育出版社1998年 〖HK〗〖HT〗

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多项式的根之美

songshuhui 2009-12-11 16:31

木遥 发表于 2009-12-10 11:20 木遥按：这是美国数学家 John Baez 今年 11 月 14 日在他的网页上贴出来的一篇文章（ 原文 ），很快引起了许多人的兴趣。标题中的根是指数学中一个多项式的解。如果你还没有忘光你的高中数学课，就应该知道下面这两个事实：任何一个多项式在复数域中必有根，并且每个复数都可以在复平面上对应于一个点。这样，给定一系列多项式，我们就可以把它们的根都画在复平面上，从而形成一些特定的图案。请放心，即使你对多项式毫不了解，也不会妨碍你欣赏这些图案之美的。也许你曾经听说过经典的 曼德布洛特集合 （Mandelbrot set），那你很容易就能在这里看到某些相似之处。所不同的是，人们对这些新的图案还所知甚少。 下面所有括号中的文字都是我所添加，以帮助不熟悉复平面的朋友了解所说那些的点的位置。每幅图都可以点击放大。 我的朋友 Dan Christensen 发现了一幅令人赞叹的图画（见题图）。它是由所有系数为 -4 到 4 之间的整数的 5 次以下多项式的根在复平面上的对应点构成的。 点击图片可以看大图。二次多项式的根是灰色的，三次多项式的根是青蓝色的，四次多项式的根是红色的，五次多项式的根是黑色的。横轴是实轴，纵轴是虚轴，中间的大洞的中心是原点。两侧小一点的洞的中心是 1，在 i 处和 1 的所有六个虚根出也各有一个小洞（即中间那个大洞上下不远处对称的那些小洞）。 你可以在这里看到许多迷人的图案，给人的感觉是这些整系数多项式的根在竭力避开那些整点和单位根似的，──除非这些整点和单位根本身就是多项式的根。如果你把图案放大，可以看到更多细节： 在这里你可以看到，在 1 这个点所在的空白区域周围环绕着一些美丽的羽毛，在 exp(i/3) 这个点周围有一个六瓣的星形（即左上角那个梅花形状的洞），还有一条奇特的红色连线把这两个点连接起来，还有很多其他的点周围的星形的洞，诸如此类。 人们应该开始研究这些东西才对！让我们把所有系数为 -n 到 n 之间的整数的 d 次以下多项式的全体根构成的集合称为 Christensen 集 C d,n ，很显然当 d 和 n 越大， C d,n 这个集合就越大，并且当 n 趋于无穷大时这个集合趋于布满全复平面。如果固定 d, 令 n 趋向于无穷大，那么我们就能得到全体有理复数；如果令 d 和 n 同时趋于无穷大，那么我们就能得到全体代数复数。于是一个有趣的问题就是，如果我们固定 n，令 d 趋于无穷大，会得到什么呢？ 在上面这些图片的鼓舞下，Sam Derbyshire 决定绘制一些分辨率更高的多项式根的图片。试验了几次之后，他觉得他最喜欢的是系数为 1 的多项式。他把所有 24 次以下的这样的的多项式的根绘制成一副高清晰度的图片，这些多项式一共有 2 24 个，其根大约共有 24 2 24 个，也就是大约四亿个。他用 mathematica （一个数学软件）花了大概四天时间才计算出所有这些根，得到了大约 5G 的数据。然后他用 Java 语言生成了这幅美妙的图案： 颜色表示根的密度，从黑色到暗红色到黄色再到白色。上图是低分辨率版本， 这里 有一个 90M 的文件可供下载。我们可以放大一点看到更多细节： 请注意单位根周围的那些小洞，还有圆弧内部的那些羽毛。为了更清楚地观察，我们把下面这些标记出来的区域放大： 这里是 1 这个点处的那个洞。（即上面最右边那个标记出来的区域。） 中间那条白线是实轴。这是因为有非常多的多项式根都是实数。 然后这里是 i 这个点处的洞。（即最上面那个标记区域。） 这是 exp(i/4) 这个点周围。（差不多位于 1 和 i 正中央。） 请注意，根的密度在接近这个点的时候会变大，然后又突然变小。可以看到这些密度所形成的微妙的图案。 但是更漂亮的是当我们来到单位圆内部时的那些羽毛状图案！这里是实轴附近的样子，这个图的中心位于 4/5 点处。（右边数第二个标记区域。） 在 (4/5)i 点处的样子就截然不同了。（从上数第二个标记区域。） 但是我觉得最漂亮的还要说是 (1/2) exp(i / 5) 这个点周围的区域。（剩下的那个标记区域。）这幅图生动的展示出，在我们的数学研究中，规律性是如何从一团混沌中逐渐成型的，就像从薄雾中隐约显现出来一样。 这里有太多东西需要解释了，每幅图片都至少需要一两个定理来描述。如果想看到更多的这类结果，可以参见： Loki Jrgenson， 限定系数多项式的根 以及 相关图片 。 Dan Christensen， 整系数多项式的根的图案 。

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漂亮的分形

sobolev 2009-6-14 12:54

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《非线性动力学》序言

Mech 2009-3-2 13:17

随着科学技术的发展，工程中的非线性问题日益突出。为此有必要在工程专业开设非线性动力学课程。这门课程要求工程专业研究生掌握非线性动力学的基本理论和分析、计算方法，并能初步应用理论分析和解决工程中的各种非线性动力学问题，同时也为深入研究非线性动力学提供必要的基础。 本书主要讨论混沌和分岔问题，但也涉及动力学中的分形问题。全书除绪论外共分八章。第一章为非线性动力学的数学基础。第二章为混沌的概念、非线性动力学研究的数值方法概述和混沌的动力学数值特征。第三章为分岔的基本概念以及与混沌的关系。第四章为分形的基本知识、混沌吸引子的几何数值特征和动力学系统吸引盆的分析边界。第五章为非线性动力学实验研究的基本方法，包括从实验数据中重构相空间。第六章讨论混沌的解析预测问题。第七章叙述分岔的基本理论。第八章简述非线性动力学中若干专题内容，包括Hamilton系统中混沌、时空混沌、分岔问题的数值方法、随机系统的混沌和分岔以及混沌和分岔的控制。各章附有文献注释，以便于读者就感兴趣的课题深入研究，也可以作为教师布置课外作业和学期论文的参考。由于非线性动力学的文献浩如烟海，本书参考文献中主要列出相关教材、专著和综述评论性文章。全书正文可分为三个模块，第一章为非线性动力学的数学基础，随后四章为非线性动力学基本内容，后三章为非线性动力学专题内容。 在本书中，作者力求贯彻以下意图： 1. 在基本内容和方法方面体现非线性动力学全貌，为今后应用和深入研究奠定基础。 2. 在某些专题性内容方面反映非线性动力学研究的新进展，也包括作者的一些工作。 3. 易于为工程专业学生接受，避免要求过多数学准备知识，只要具备工程专业常微分方程和振动力学的基本知识便可以掌握本书前五章主要内容和后三章的基本思路。 4. 关于数值计算问题，着重介绍各种算法的基本原理。利用电子计算机的解题训练可自编计算程序或应用已有的计算软件。 本书为工程专业尤其是工程力学专业的研究生教学需要而编写，也可供其它对非线性动力学问题感兴趣的研究人员参考。除全书适用于一般非线性动力学课程外，本书前五章可适用于学时较少的非线性动力学课程。为便于读者阅读参考，本书各章逻辑关系如右图(从略)所示。为不同教学目的，可以选用相应内容。例如，第二、六两章和第一、三、四、五、八章部分内容适用于混沌动力学的课程，第七章和第一、三、五、八章部分内容适用于分岔理论的简明课程，而第四章和第一、五章部分内容适用于分形的导引性课程。 本书的编写和出版得到了上海市研究生教育基金和中国建设银行湖北省分行尊师重教联合会研究生教育基金资助。与本书相关的研究工作得到国家自然科学基金、教育部博士学科点科研专项基金、中国博士后科学基金和上海市科技发展基金的资助。编写工作得到各方面的支持和鼓励，并且汲取了已出版的国内外非线性动力学著述的许多宝贵经验。北京大学力学与工程科学系朱照宣教授对本书科技译名进行认真审定。作者谨表示衷心感谢。初稿部分内容曾在上海交通大学工程力学系研究生和上海大学上海市应用数学和力学研究所博士生中试用。限于水平，书中的错误和不足之处恳请读者指正。 1999年6月

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自相似性结构着的嵌套之三：Logistic映射

whitewood 2009-2-7 14:30

自相似性结构着的嵌套之三： Logistic 映射 X n+1 ＝aX n （1－X n ） 风铺展的微澜 诱人而冰冷 天空在金色的鸟翅上 颤动 群山筋脉 醉如仙境 透明的日光 身体柔软 波纹流动 波浪的形态 玻璃灵魂 分形的裂变 风帆如音乐的大海 度过 钻石心脏 闪过至高者的面容 引力的媾变 宇宙雪片 穿过海的嘴 天空的帆 不断迭代的蚂蚁 神明的智慧 从密约的隧道 抵达星辰的源头 更深的水底 燃烧着太阳 在天地之间 只见田地 自相似性结构着的嵌套 核心无穷 指月的手指上 笛下魔韵阵阵

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分形简介（Introduction to fractal）

sanshiphy 2009-1-16 22:49

为什么要谈分形？分形几何的创始人 Mandelbrot 在他的名著《大自然的分形几何学》中曾说过：为什么几何学常常被说成是冷酷无情和枯燥无味的？原因之一在于它无力描写云彩﹑山岭﹑海岸线或树木的形状。云彩不是球体﹑山岭不是锥体﹑海岸线不是圆周﹑树皮并不光滑﹑闪电更不是沿着直线传播。（Mandelbrot著，陈守吉 凌复华译，《大自然的分形几何学》，上海远东出版社，1998年）传统的几何学不能够描述大自然的复杂性和多样性，从而也就不能够帮助我们了解这些复杂性和多样性背后的机制，而分形几何学在描述和理解大自然的复杂性和多样性方面都是有帮助的。 Mandelbrot不是第一个发现分形现象的人，早在他之前，数学家们就开始在数学邻域研究这一现象了。然而，Mandelbrot是第一个意识到分形不仅仅存在于数学家的模型中，在我们的自然界中，处处存在分形。说到这里，不得不提起一个人，正是他的研究直接激发了Mandelbrot的发现，这个人就是前面曾提到过的Richardson（参看《K41理论之功率谱》）。他发现两个相邻的国家发布的同一边界线长度存在明显的差别（参看《大自然的分形几何学》），并且与我们往常的经验不同，尺子的精度越小，测量到的海岸线长度越大，而非趋近于某一个特定的值。Mandelbrot深入研究了这个问题，指出海岸线随尺子精度的变化类似于数学中研究的一类具有自相似特征几何体。海岸线正是由于具有自相似的特征，其长度才会随着尺子精度的变短而不趋近于稳定值。因此，在谈论海岸线的长度时必须同时给出测量仪器的精度，否则单独的谈论海岸线长度是没有意义的。如果我们一定要问海岸线真正的长度是多少？答案是无穷长（B.B. Mandelbrot, How Long Is the Coast of Britain?, Science, 156,3775）。像海岸线这类具有自相似特征的几何体就是分形。 Richardson是博主非常敬仰的一个牛人，这是因为他并没有把自己束缚在某一特定的领域来做研究，他是一个真正意义上的自然学家。例如：他是世界上第一个做数值天气预报的人，他的湍流级窜的思想启发了K41理论的建立，而这个思想仍然是目前关于湍流机理图像最深刻的认识。另外，他也曾用数学知识来理性地分析国家之间冲突的根源。像这样的牛人还有一个，那就是大名鼎鼎的Feynman，他曾经说过一段很有意思的话：有一位诗人曾经说过：整个宇宙就存在于一杯葡萄酒中。我们大概永远不可能知道他是在什么含义上这样说的，因为诗人的写作并不是为了被理解。但是真实的情况是，当我们十分接近地观察一杯葡萄酒时，我们可以见到整个宇宙。这里出现了一些物理学的现象：弯弯的液面，它的蒸发取决于天气和风；玻璃上的反射；而在我们的想象中又添加了原子。玻璃是地球上的岩石的净化产物，在它的成分中我们可以发现地球的年龄和星体演化的秘密。葡萄酒中所包含的种种化学制品的奇特排列是怎样的？它们是怎样产生的？这里有酵素、酶、基质以及它们的生成物。于是在葡萄酒中就发现了伟人的概括：整个生命就是发酵。任何研究葡萄酒的化学的人也必然会像巴斯德（L.Pasteur）所做过的那样发现许多疾病的原因。红葡萄酒是多么的鲜艳！让它深深地留在人们美好的记忆中去吧！如果我们微不足道的有限智力为了某种方便将这杯葡萄酒这个宇宙分为几个部分：物理学、生物学、地质学、天文学、心理学等等，那么要记住大自然是并不知道这一切的。所以让我们把所有这些仍旧归并在一起，并且不要忘记这杯酒最终是为了什么。让它最后再给我们一次快乐吧！喝掉它，然后把它完全忘掉！（理查德费曼　著，《费曼物理学讲义》，上海科学技术出版社，1989年第1版，第一卷第三章） 博主请出Richardson和Feynman这两位老前辈，只是想说明：牛人们涉足百家的做法我们固难效仿，但是平时多关注一下其它学科的发展，以一种理性和包容的心态看待他人的研究，这点我想还是我辈菜鸟能做到的吧。 本帖的附件写于2005年11月份的样子，当时王老师想看看能否将非线性和复杂性科学的方法和概念引入到高能物理中，要我写一些介绍分形基本知识的报告，然而此事最终无果，报告也就写了一篇，就是本帖的附件，内容有： 题目：分形 一、为什么要谈分形 二、分形的特征从一个简单的数学模型Koch曲线谈起 三、一维布朗运动模型 一个应用广泛的随机分形的例子 笔记中如有任何疏漏、错误，请不吝指教，博主对此表示万分地感谢。另外如果您觉得哪一部分有参考价值而引用到您的文章中，请指明引用的来源：http://sanshiphy.blogspot.com 或者 http://www.sciencenet.cn/u/sanshiphy ，博主不胜感激。 附件：分形的特征

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碳分形树

guo909 2008-10-30 22:32

碳分形树 就在我们为郝雅娟的纳米线不是氟氧化镧而感到失望的时候，小刘的工作却出现了转机。 小刘在国防科技大学念的本科，毕业后到我们所工作，时间可能比我晚几年。他在所里工作了几年后，职称提不上，大点儿的房子也分不到。这才醒悟过来，不弄个博士学位看来不行。凭他考大学的功底和水平，很顺利地通过了我们所的博士生入学考试，几年后同样顺利地 戴上了 博士帽。然而世易时易，此 时的 博士帽已经没有几年前那么吃香了，再加上一些别的原因，仍然没有得到希望中的提升。好在联系上了韩国的一个教授， 韩国 教 授给了他一个博士后位置，研究碳纳米管的合成。从韩国回来后，他自己原来所在的研究组已经解散。正好，有一次我在等待理发的时候碰见了他。那时，他刚从韩 国回来。我们组当时也正缺人，跟他聊了聊知道他以前也做过碳化硅，就想动员他到我们组来。不过，晚了一步，他已经到别的组报到了，我觉得很遗憾。没想到过 了一两个月，他又过来找我了，说对那个组的课题兴趣不大。我赶紧抓住机会，把他请到我们组来。 他 在韩国做碳纳米管，自然对纳米管兴趣昂然。可我觉得已经有那么多的人在从事碳纳米管的合成工作，其中自然不乏聪明绝伦之辈。我们如果想不出与别人不同的合 成路线，仅仅靠改变反应条件，恐怕很难做出比人家高明的工作。但是，小刘却不这样看。他有从事纳米管研究的经验，认为虽然研究者众多，但能高产率地合成单 壁碳纳米管的并不多。而且，他似乎对合成单壁碳纳米管已经有一定的把握。另外，他现在已经申请了洪堡奖学金。能否申请成功，明年三月就知道了。如果拿到洪 堡奖学金的话，就只能在我们组工作半年多的时间。这么短的时间，开展一个新工作很难取得什么像样的结果。当然，最重要的还是我们组现有的气氛炉等设备不用 改动就可用来做碳纳米管。因此，我就决定让他继续他以前的工作，即用化学气相沉积法制备碳纳米管。 他 十月份正式到我们组工作。他一到我们组，我就指定了一套装置专门供他用。按理说，他用这种方法做碳纳米管，是轻车熟路，不管产率高低、单壁或多壁，应该很 快就能得到纳米管。可是，世界上的事儿总是不如意的时候多。他，也不能例外。开始的时候，把硝酸铁的乙醇溶液和甲苯混在一块儿，用氩气带进加热的石英管 中，反应一段时间后，管壁上什么东西也没有。改变催化剂，把硝酸铁换成二茂铁，石英管温度由 600 ℃ 升高到 800 ℃ ，仍然什么也得不到。一直到温度升高到 1000 ℃，管壁上终于有一层黑色的沉积物。他很有信心地说，那就是纳米管。可是，拿到扫描电子显微镜下一看，只是一些直径从几百纳米到几微米的碳微球（图中标尺为 1 微米）。他觉得有些奇怪，也免不了有些失望。我看到那些大小还算均一的碳球，觉得用这些碳微球做模板制备空心的碳化硅微球应该不错，只不过这种模板可能有些昂贵。 这时候， 一个做甲烷部分氧化反应的研究生，孙卫中却在失活的镍催化剂上观察到大量的碳纳米管，而他的反应温度只有 600 ℃ 。小 刘看了他的电镜照片后笑着说，你比许多专门做纳米管的人做出来的纳米管还好。小刘把石英管的温度继续升高到 1150 ℃ ， 管壁上的沉积物明显增加了，而且看上去象是一些蓬松的絮状物。因为许多用化学气相沉积法制备碳纳米管的反应温度都是在这个温度，所以我们都认为这回可能真 的是纳米管。由于产率仍然太低，小刘觉得可能是带进去的催化剂太少了。于是他做了些改进，把二茂铁催化剂放在一个瓷舟中，直接放在石英管中。这样石英管温 度升高后，催化剂也会随之气化，并在氩气流的带动下进入高温区。经过这样一个小小的改进后，谁也没料到反应结果竟然会大为改观。 最 为明显的结果是沉积物中出现了大量的碳丝状物。这些细丝长度可达几个厘米，比头发丝还细，大约只有头发的十分之一。用普通数码相机拍出来的照片，也能看出 是一些丝状物。虽然不会有这么粗的纳米管，但它总是一个一维的全部由碳组成的东西。碳纳米管也是一种一维碳，也许它们之间有些联系，说不定这些碳丝就是由 纳米管组成的呢。因此，我们都有些兴奋，毕竟我们朝着碳纳米管的方向前进了一步。在生成碳丝的反应中，氩气流速为每分钟 600 毫升。这时，小刘想起在韩国做实验时，后面还有一个泵专门抽氩气，目的就是让气流更快地把产物带出高温区。于是，他就把氩气流速提高到每分钟 1000 毫升以上，看看是不是能得到更多的碳丝状沉积物。 实验过程还和以前相同，在氩气流中先把石英管加热到约 800 ℃ ，然后把装有二茂铁催化剂的瓷舟快速放进石英管中氩气流入的一端。然后，让氩气流通过甲苯进入石英管，同时以每分钟 5 ℃ 的速度升温到 1150 ℃ ，并保持在该温度，直到催化剂挥发完。也就是说，其它条件完全相同，只是 氩气流量增加了。他本来是期望得到等多的碳丝状沉积物，但结果却恰恰相反。反应一结束，就发现管壁上的沉积物明显变少了。等到炉子彻底冷下来后，拿出热偶管，才发现热偶管头上还粘着一个羽毛状的东西，有将近 10 厘 米长，在空气流中翩翩起舞呢。我们觉得挺新鲜，就用数码相机拍下了它的照片。为了标明它的高度，我们还特意在它旁边放了一把尺子。照片经过简单处理（水平 方向拉伸，垂直方向压缩）后，就变成了右图的样子。我喜欢摄影，以前在国外的时候拍了很多照片，但令我特别满意的屈指可数，一张埃菲尔铁塔的，一张勃兰登 堡门的，还有一张在波茨坦拍的。对这幅照片我很满意，觉得它也许是我这个业余摄影爱好者的又一幅得意之作呢。 欣 赏过照片之后，我不得不把思绪再回到目前的工作中来。反应炉中为什么会长出羽毛状的东西来呢？依稀中，我觉得最近看见过一篇综述文章，题目好像就叫气流 中的羽毛状图案。我已经下载了这篇文章，但没有仔细读。于是，赶紧检查最近下载过的文章，很快就找到了。那篇文章是几个意大利人写的，发表在 2003 年 8 月份的新物理学杂志（ New Journal of Physics ）上。粗粗地浏览了一下，文中有许多复杂的数学公式，还有几张计算机模拟出来的彩色流场图，没有什么羽毛状图案（ Plume patterns ）的照片。因此，我也就没兴趣去抠那些我看不懂的数学方程。我打印了一份给小刘，没过多久他就告诉我：看不懂。我想，他大概也和我一样，对那篇文章不感兴趣。 眼看着 2003 年就过去了。今年的农历春节又特别早，在 1 月 22 号。所以，一过元旦，所里好多部门都不愿意再工作了。我们想用电镜仔细看看我们的碳羽毛，但一个星期都找不到所里做电镜的人，只好去太钢做。 1 月 12 号，也就是离春节满打满算只有一个礼拜多了，小刘和郝雅娟去太钢做实验。我心里由衷地感谢他们这种对待科研工作的精神。 第二天一上班，他们就叫我看照片。肉眼看到像羽毛一样的东西，在电镜下看时就像密密麻麻的树林。再继续放大，树干、树枝以及树枝上的分叉都看得清清楚楚。更加有意思的是，可以看到许多像糖葫芦似的树枝。这些糖葫芦状树枝是由直径在 3 到 5 微 米的碳微球形成的。再看看我们用数码相机拍的那张照片，我觉得它更像一株挺立在冽冽寒风中的白杨树。这时，我的脑海中飞快地闪现出一幅幅由计算机产生出来 的树状图案。由于我在十年前就开始研究起分形了，所以各种各样的分形图案早就深深地刻在脑海中了。眼前电镜照片显示的不断分叉的结构，表明它具有分形特 征，也就是说我们现在得到的是一棵具有分形结构的全部由碳组成的微观树。 分形在科学上还算是一个新概念。它是一个叫芒德布罗（ Benoit B Mandelbrot ） 的美籍法国人在上世纪七十年代提出来的，用来表示那些不能用欧几里德几何描述、但却具有一定自相似或自仿射结构的对象。自相似或自仿射表示一个对象的局部 放大后的图象和对象整体具有某种相似性。比如，弯弯曲曲的海岸线、坑坑洼洼的表面，你不能把它们简单地看作一维或二维的，因为它们并不符合一维或二维图形 的特征。 那么，一维和二维图形有什么特征呢？我们知道，一条一维的线段有一个长度，不管你用 1 厘米还是 1 米或者 1 千米的尺子去量，这个长度是不变的。变化的只是你的工作量， 1 千米的线段用 1 千米的尺子量 1 次就行了，用 1 米的尺子就得量 1000 次。要是你只有 1 厘米的尺子，你就不得不量 100000 次，这可不是一件轻松的工作。因此，做一件事之前，最好先检查检查自己的工具，工欲善其事，必先利其器嘛。对于一个 1 平方千米的二维平面，我们也可以分别用 1 平方千米、 1 平方米或者 1 平方厘米的二维尺子去测量它的面积，当然付出的劳动会成几何级数增加。如果用 d 表示尺子长度，用 N 表示测量次数，我们就会发现存在一个关系式： N d - d 在上面式子中， d 表示测量对象的几何维数，如 1 维、 2 维、 3 维等。这个简单的式子可以让测量者事先对自己的工作量有一个大致的估计。 对 于弯曲的海岸线或凹凸的表面来说，因为大尺度的尺子不能测量较小的弯曲部分，所以用不同的尺子测量不仅付出的劳动量不同，而且测量出来的结果也不相 同。显然，越小的尺子测出的结果越大。虽然付出的劳动多了，但收获也相应增加了。多劳多得，这可能也是大自然给我们定下的分配原则吧。那么，测量者还能不 能像上面那样，根据尺子的大小估计一下自己的劳动量呢？答案是肯定的。只不过式子要稍微改一下，把上面式子中的 d 改为 d f ： N d - df 这个 d f 是一个分数，它表示我们测量的不是一个理想的欧几里德对象，而是一个具有自相似或自仿射结构的对象。芒德布罗给这种对象起了一个名字分形，相应地也把 d f 称为分维数，就是分数维数的意思。 简单地介绍完分形概念后，再回到我们眼前的碳树上来。这样一棵具有奇特结构的碳树，在我们的实验条件下是怎样形成的呢？在各种各样的分形生长模型中，有一个非常著名的扩散限制凝聚（ Diffusion-Limited Aggregation ，简称 DLA ）模型。这个模型是由两个美国科学家 Sander 和 Write 在 1983 年提出来的，发表在著名的物理学评论快报（ Physics Review Letters ） 上。简单地说，这个模型就是先在正方形网格中央放一个种粒子（简称种子），然后从离种子较远的地方释放和种子完全相同的粒子。这个新释放的粒子可以在网格 中随机行走，直到它遇到种子后停止，也成为一个种粒子。前一个粒子停止后，再释放另一个粒子。重复这个过程，就得到一个非常疏松的大颗粒，即 DLA 团簇，它是一个典型的分形，分维数大约为 1.7 。这种团簇和卧室衣柜上面落的灰尘以及烟筒里的煤灰非常相似，于是受到广泛重视。后来，还有不少人对这种模型进行改进，比方说只从一个固定的方向上释放粒子，这样就得到了与 DLA 团簇稍有区别的树状团簇。 看着那些密密麻麻的森林和糖葫芦状的树枝，我马上就想到这种碳树结构的形成可能和 DLA 团簇类似。 （郭向云2008年7月2日发表于科学网个人博客）

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自相似——大自然的艺术

eloa 2008-10-29 12:19

andrewsun 发表于2008-10-29 星期三 0:00 Why is geometry often described as cold and dry? One reason lies in its inability to describe the shape of a cloud, a mountain, a coastline or a tree. Clouds are not spheres, mountains are not cones, coastlines are not circles, and bark is not smooth, nor does lightning travel in a straight line. 为什么几何学常被认为是冷酷、枯燥？其中一个原因就是它无法描述云彩、山峦、海岸、树木我们美丽的大自然。云朵不是一些球形，山峦不是一些圆锥，岛屿不是一些圆形，树皮是不光滑的，闪电也不沿一条直线。 B. Mandelbrot Koch曲线 自相似性是指每一任意小的局部的形状都与整体相同，例如，Koch曲线就是一个自相似性的图形。 在自然界中，许多自发生长的结构都具有自相似性。以下是一些自然界的自相似结构： 树叶 青苔 蜂蜜的结晶 树冠 这些自相似的形状，在数学上叫做分形。 分形行走于维度之间 回到文章第一段提到的Koch曲线，它是怎样画出来的呢？首先画一段长度为1的线段，然后擦掉中间的一部分，改成一个等边三角形，其边长和它两边擦剩下的线段长度相等，得到四条线段。然后再对这四条线段做同样的事情，无止境地做下去这就是Koch曲线。 Koch曲线的长度是多少呢？数学家量曲线长度的办法是逼近法，如下图所示： 我们先用逼近法量一个半径为1圆的周长。最粗略的近似是它的内接三角形的周长，然后是内接四边形、内接五边形内接N边形。把这些N边形的周长画在坐标图中，可见当N增大时，N边形的周长越来越逼近一个确定值。当N无穷大时，这个N边形的面积就等于圆的周长：2。 现在采用逼近法量一下Koch曲线的长度： 我们重走一次画Koch曲线的过程来逼近最后Koch曲线的长度。还记得Koch曲线怎么画吗？第一次画的是长度为1的线段，显然，Koch的长度 是大于1的。第二次画的折线，长度是多少呢？中间的等边三角形边长是1/3，因此折线的总长是4/3。显然，Koch的长度比4/3要大。第三次，画的折 线长度是16/9，即(4/3) 2 ，读者可以自己算一下。这仍然小于Koch的长度。第四次，(4/3) 3 =64/27，还是不够长第N次，长度是(4/3) N 。 很显然，不管我们画的折线有多少折，Koch曲线总是比折线长度要大的。我们希望，当N为无穷大时，折线的长度能至少能逼近一个确定的值，而它就是 Koch的长度。我们把折线长度随N不断增大的趋势画在坐标图上看看很不幸，随着N不断增大，折线的长度不是逼近一个确定值，而是趋于无穷大。例如， 当我们画到第128折线时（N=128），它的长度已经是(4/3) 128 1光年！而Koch曲线肯定要比这条折线大。由于Koch曲线是无限自相似下去的，因此它的长度是无穷大的。 您有本事在距离为1的两点间画一条无穷长的曲线吗？只准用有限面积的纸！ 也许您说：可以！我就把这张纸涂满！ 是啊，如果一条曲线绕弯绕得厉害，它最后是能占个面积的。我们不是常说，点动成线，线动成面，面动成体吗？如果你把一张有限面积的纸图满，您画的线所占的面积就是这张纸的面积。就让我们从1维上升到2维试试，看看Koch曲线占多大的面积。 我们还是采用逼近法，第一次，先画这个Koch曲线的外接三角形。它的底是1，高是就是第一次折线画的等边三角形的高，为根号3除以6，因此面积是 根号3除以12（记为A）。Koch曲线占的面积显然比这它的外接三角形要小。于是我们做第一次逼近，把Koch分成四个相似的部分，画四个外接三角形。 它们的边长是是原来大三角形的1/3，所以面积是(1/9)A，四个加起来就是(4/9)A，Koch曲线占的面积还要比这个小。第二次逼近，画了16个 三角形，它们的面积是原来大三角形的1/81，所以总的面积是(16/81)A，或(4/9) 2 A第N次画的所有三角形的面积就应该是(4/9) N A，但是Koch曲线占的面积还要比这个小。我们把第N次画的三角形总面积列在坐标图上，看看随着N的增大，面积会不会逼近于一个最小正值很不幸，随着N的增大，面积刷的一下就跌到零了。第100次画的三角形面积只有原来的610 -36 ！由于Koch曲线是无限自相似下去的，因此它所占的面积为零。 如果请您用1段长度为无穷的线来涂满一块面积为0的形状，您能做到吗？ 于是我们发现，Koch曲线是一个很奇怪的形状：当它是线，长度无穷；当它是面，面积为零。作为一维物体，Koch曲线太密了，作为二维对 象，Koch曲线又太疏了。事实上，Koch曲线是高于1维，低于2维的。它的维数在1与2之间，是一个非整数！非整数维度，是分形的一个重要特点。 幂律隐藏的异次元 Koch曲线的维度到底是多少呢？要说清楚这个问题，我们必须重新定义一下维度的概念。先来看看我们所熟悉的整数维的世界。 在一维世界里有一条线段，它的长度为1，我们用一个边长为1的正方形把它盖起来。如果用边长为0.5的正方形，要把这条线段盖起来就需要两个。如果 用边长为1/3的正方形，就得用3个。依此类推，如果要用边长为r的正方形，就要用N个，才能把长度为1的线段盖住。很显然N=1/r，或者写成N=r -1 。 还算简单吧，现在我们看2维世界，一个边长为1的正方形，要用多少个边长为r的正方形来覆盖呢？答案是r -2 。对于正方体，是r -3 。 粗略地说，如果一个几何图形总是可以用N=r -d 个边长为r的正方形（体）来覆盖，那这个几何图形就是d维的。N=r -d 是一个幂函数。因此，这一规律叫做幂律（power law） 如果盖不严，或者有多余的空间怎么办？我们来看如何覆盖一个三角形，发现有的小正方形就要盖住一些多余的空间了。看一下一个边长为1的三角形要用多少个边长为r的正方形来覆盖： N(1) = 1 N(1/2) = 3 = 1 + 2 N(1/4) = 10 = 1 + 2 + 3 + 4 N(1/8) = 36 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 N((1/2) n ) = 1 + 2 + 3 + + 2 n 可见，N=(1+r^(-n))*r^(-n)/2。我们把lgN与lg(1/r)的关系作图，发现，随着r的减小，图形趋于一条与y=2x平行的 直线，斜率是2。因此，虽然在一开始，d=-lgN/lgr不是一个定值，但是当r也就是小正方形的边长非常小的时候，d就等于2。在数学上的表 达就是极限lim r-0 (-lgN/lgr)存在且等于2。 为什么当正方形边长较大的时候有所偏离呢？原因就是有些正方形覆盖了多余的面积。当正方形边长减小的时候，这部分多覆盖了的面积也就小了。可以想象，如果正方形的边长无穷小，这部分多覆盖的面积就没了，所有正方形正好覆盖了那个大三角形。 所以，准确的维度定议应该是，当r非常小时，如果需要N=r -d 个边长为r的正方形覆盖一个几何图案，那这个几何图案就是d维的。在数学上，我们可以用极限来定义，图形的维数d=lim r-0 (-lgN/lgr)。这就是计盒维数（box counting dimension），又叫做Minkowski-Bouligand维数。 现在我们可以拿正方形来覆盖一下Koch曲线，它是多少维的（d=?）。 可见，N=3*4^n。d=lim r-0 (-lgN/lgr)，所以我们拿lgN对lg(1/r)作图，得到的是一条直线，它的斜率是lg4/lg3，这个数大约等于1.26。因此Koch曲线是1.26维的。 下图是一个Gasket另一个著名的分形。它的维数是lg3/lg2，约等于1.58。因此Gasket是1.58维的。 随机分形偶然性背后的必然 这堆乱七八糟的正方形图案是不是自相似的？ 如果试图在里面找到什么局部能跟整体相似，那必然是徒劳无功的。然而，如果我们换一个角度，统计一下不同大小的正方形数量，我们会发现： 一个边长为1/2的正方形（红） 3个边长为1/4的正方形（绿） 9个边长为1/8的正方形（深蓝） 27个边长为16/1的正方形（浅蓝） 可见，边长为r的正方形个数N之间呈幂律关系N=lg3*r -(lg3/lg2) 。同时，我们可以看到，取左下角四分之一的 区域，正方形个数呈相同的统计规律，再取左下角八分之一的区域，相面的统计规律仍然成立。这就是说，这堆乍看起来乱七八糟的正方形图案，在统计分布上是自 相似的，它是一个随机分形。它的任一局部的某项统计分布性质都与整体相似。它的维数是lg3/lg2，约等于1.58。 自然界中的很多看似无序的随机过程都属于随机分形。 细菌繁殖图案（养料稀少下） 人基因序列分布 揉皱的纸团中所含的空隙大小分布是自相似的 斑马的条纹的面积分布 聚合物分形的专家 聚合物是由很多结构单元首尾相接而形成的长链分子。没有高分子，自然界不会存在生命。因为蛋白质是聚合物、遗传物质DNA和RNA是聚合物、植物的 纤维素是聚合物。在我们的生活中，所有塑料、橡胶和纺织品都是聚合物，纸和木材来源于植物的纤维素，因此也是聚合物。其实聚合物分子本身就存在着很多随机 分形的行为。 无规线团 生活中，很少见到一条很长很软的东西自己处于伸直的状态，它们总是以这样或那样的形式弯曲起来。准确地说，一根长线恰好呈伸直的样子，不是不可能， 只是机率非常地低。不信，你可以拿一根毛线（要长一点的），让从一定高度自由地落到地上。不断重复，看看重复几次这根线团掉地上之后是直的。如果不考虑重 力和摩擦力，一根软的长线呈伸直状态的机率就更小了，基本可以说如果你不去拉它的话，它几乎不可能是伸直的。聚合物分子都是长链分子，跟它的直径相比，它 的长度可达几十到几百万倍。因此，聚合物分子链总是呈无规卷曲的状态，科学家形象地把它称作无规线团。 怎么描述无规线团呢？最常用的办法是把规线团看作盲人行走的轨迹。一个盲人自由地行走，每一步的方向都是随机选择，没有目的性的。但是他为了不走回 头路，每一走一步都在地上做了个记号。此后凡遇到了记号，他就再随机换个方向。当然了，这样做记号他还是会走回头方向的，只是起码他不会踩在他之前踩过的 地方罢了。他做的记号，实际上就成为了他行走的轨迹。不过，为了与聚合物分子链的真实情况相对应，这个盲人是在三维空间里自由飞行！ 我们看一下盲人行走的轨迹，就会发现他总不会无限度的往远处走，走远了总会兜回来一点儿。我们关心盲人在一定步数之后能比原来走多远。由于盲人每次 走的路线都不一样，所以我们等盲人每走一定的步数之后就把它纠回到原点重走，折腾他个上千次。把每次走出的轨迹的首末距离取个平均数，我们就会发现，这个 平均距离R与盲人所走的步数n之间呈幂律关系R=k*n 0.6 。在每条轨迹中任取一段相同步数的局部，来计算平均首末距离平均数与所取步数间的关系都是一样的，这说明，盲人行走的轨计在统计上具有自相似性。聚合物分子链的无规线团就是盲人行走的轨迹，它是一个随机分形。 扩散置限 现在我们为盲人设立一个固定目标，盲人在空间里自由行走时，只要碰到了那个目标，就可以原地不动了，否则就必须无止境地寻寻觅觅。现在，我们再找来 好多盲人，一起放到空间里去乱跑，谁找到目标就站着不动，如果找不到目标，如果能找到已经站着不懂的盲人，那也可以就近站立了。这样的话，以目标为中心就 会向外排着好多站着不懂的盲人。这些盲人排成的图案是怎样的呢？科学家们把这样形成的图案叫做扩散置限聚集（diffusion limited aggregation）。 对于这堆盲人排成的图案，我们关心人数的空间分布。在这个图案中随便划一个半径为r的区域，人数N与所划区域的半径r呈幂律关系N=k*r 2.5 ，无论在哪里划多大的区域，都有这样的规律，因此，扩散置限聚集的图案是自相似的。聚合物薄膜的结晶形貌就是一个扩散置限聚集图案。 渝渗从蛋花汤到蒸水蛋 聚合物的第三个分形好戏是聚合物凝胶。聚合物凝胶在生活中到处可见煮熟的鸡蛋白就是一个最好的例子。鸡蛋有很多种做法，除了把鸡蛋整个煮熟之外，还可以打散，加点水，蒸个葱花水蛋。水加多了，这水蛋就会变得稀稀拉拉的了，水太多的话甚于成不了形，最终变成蛋花汤了。 聚合物凝胶化基本上可以理解为蒸水蛋的过程，经过研究发现，在聚合物从溶液形成凝胶的过程中，聚合物先是局部形成聚集体（cluster）（图中红 色部分），处于聚集体溶液（cluster sol）的状态，就好像一锅蛋花汤；这样的聚集体不断生长、合并；最终，当最大的聚集体接触到了容器的各个边界之后（图中绿色部分），体系就失去流动 性，形成了凝胶，变成一碗蒸水蛋了。这时，体系里还有其他较小的聚集体存在，它们继续增长，陆续与最大的取集体合并，直到最后所有能反应的聚合物都耗 尽为止。如果聚合物浓度太稀，聚集体还没充分生长，可反应的聚合物就耗尽了，那就没机会形成跨越反应器的统一网络了，反应就只停留在了聚集体溶液也就 是蛋花汤的水平。因此，形成凝胶的关键是点是最大的聚集体增大到能连接容器边界的那一点，称为临界点。 这一蛋花汤-蒸水蛋的比方，科学上称为渝渗（percolation）模型。在渝渗模型里，我们关心的是聚集体的尺寸分布。如果我们按尺寸大小给聚集体分组，然后数一下每组的聚集体个数，就会发现尺寸为s的聚体集个数N的关系在临界点的时候呈幂律关系N=k*s 2.2 。 这说明，在蛋花汤变成蒸水蛋的临界点时，汤里蛋花尺寸的分布是自相似的，属于随机分形。为什么只有在临界点的时候才是分形呢？离开了临界点，蛋花 尺寸的分布就偏离幂律了：在临界点之前，小蛋花数量太多了，而在临界点之后，大蛋团的数量太多了，因此恰好在临界点时，大大小小的蛋花分布刚好符合幂律关系。 转载原创文章请注明，转载自： 科学松鼠会 本文链接: http://songshuhui.net/archives/3331.html

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