李超勇博友在《 想象力是有限的，人脑可能根本不能认识mind！ 》中回复： 尝试一下：用可列无穷多个点，看能不能填满一个线段？ 很受启发，我原来认为脑的状态是有限的，实际上是用现在的计算机来类比，把脑的状态离散化了。按照彭罗斯的说法，现实的物体很多是不可计算的，不能把脑用现在的计算机来类比或者仿真。在有限范围的相空间中，实际的脑的状态可能是无限的。这里提到了有限中的无限，需要仔细解释一下。在一个有限空间范围内，比如一个圆内部，面积是有限的，但里面的点，可以有的坐标位置是无限的。 在宇宙天体学（cosmology）里，普遍地认为我们所处的空间是有限无界的，而且目前空间仍然在不断膨胀扩大，各个星系间互相远离。通常用一个气球来解释，用气球表面表示现有的三维空间，气球二维表面积是有限的，现有的三维空间也是有限的。各个星球是气球上的点。把气球吹大，表面不断膨胀，表面积是不断增大的，上面的点之间的距离也自然不断增大。而整个气球表面是没有明确的边界的，这就是有限无界。宇宙空间就是这样的，小时候经常想太阳的外面、银河的外面，外面的外面又是什么，用有限无界就可以解释了。mind状态所处的相空间，也可以看做是有限无界的，所以整个空间还是有限的，人的想象力虽然可能有无限的状态，但所能想象之“物”，触角所能延伸的范围仍然可能是有限的。所以，思想没多远。 另外，还有个有趣的东西，分形（Fractal），也是有限中蕴含无限。最开始是测量英国海岸线长度发现的，用不同尺子去量，得到的长度是不一样的！尺子无限小，长度就会无限大！而英国是在地球上的，范围是有限的。另外，分形描述了自然界的一些复杂物体，可能只遵循简单的规律，就可以演化出来。典型的就是Mandelbrot set，在一定的面积下，可以有无限复杂的形态。你可以无限放大，里面总是有特异性的结构！ Mandelbrot set，是我用Qt的例子程序生成的。 -------------------- 今天的Nature出了一篇文章，和我的看法不谋而合！认为人的认知能力是有限的，那些我们不知道不知道的东西，才是最急迫需要开拓的。我们应该focus到寻找问题上。下面这段话太经典了： “There are known knowns; there are things we know we know. We also know there are known unknowns; that is to say, we know there are some things we do not know. But there are also unknown unknowns, the ones we don't know we don't know,” Shermer, Michael. “Philosophy: What We Don’t Know.” Nature 484, no. 7395 (April 25, 2012): 446–447. ------------------------ 参考资料： 1. Stephen Hawking,The Grand Design,Bantam, 2011 2. Barry Masters, Physics and Biology: Fractals and the Human Retinal Blood Vessels, oral presentation, 2012 3.罗杰 彭罗斯 （许明贤 吴忠超 ），皇帝新脑，湖南科学技术出版社，2010（第二版） 4. BBC系列：神秘的混沌理论 这个视频给了很多例子，试图揭示分形的深层次含义，暗示了，光怪陆离、形态各异的花姿世界，包括人等形形色色的生命，可能都只遵循简单的规则，就可以演化出来了。
研究了一类树状规则分形上带有单个陷阱点的随机游走问题，其中陷阱固定在中心节点上。得到了这类分形上陷阱问题对应的随机主方程的全部特征值及其重数，其中特征值通过一个显示的递推关系式给出。此外，给出了最小特征值的近似解，并指出它的倒数与平均陷阱时间近似相等。所提出的计算网络特征值及其重数的方法还适用于其它树状规则分形。 相关结果已经被《 EPL (Europhysics Letters) 》正式录用，拟于近期发表。 国际专家的评论： I read with much interest the submitted manuscript, whose authors succeeded in determining exactly the spectra of an important family of tree-like fractals. This is a very significant achievement........ The work is written in a very clear and concise manner and should be readily understood by specialists and non-specialists alike. I hence recommend publication of the manuscript inEPL. 文章发表的 PDF 版本： Complete spectrum of stochastic master equation for random walks on treelike fractals.pdf
汉诺塔问题是一个古老的“游戏”，在每本计算机程序设计教课书里，几乎都把求解汉诺塔问题作为递归算法的范例。经典的汉诺塔问题可以描述如下：有三根柱子与 n 个大小不一的盘子，初始时，这 n 个盘子从大到小叠放在第一根柱子上，并且小盘子位于大盘子上面。问题是如何把这 n 个盘子从第一个柱子全部移动到第三个柱子上，移动时满足这样的规则：每一次只能移动一个盘子，并且满足小盘子只能在大盘子上面。就这一问题本身而言，无论是最佳的移动方法还是最少的移动步数，都已成功解决。 从经典的汉诺塔问题可以拓展出许多其它的版本。例如，我们最近提出了一个扩展的汉诺塔问题，即在上述移动规则下，并不按照最优的方法移动盘子，而是对其进行随机移动。我们的问题是：从初始状态（所有盘子都在第一个柱子上）出发，按照移动规则，随机地移动盘子，请问：所有盘子恰好首次均在第三个柱子上时，期望移动盘子的次数是多少？这一问题当初由我本人提出来，让来自台湾参加大陆 ACM 总决赛的同学思考，问题的答案最终由我的硕士生伍顺琪在我与陈关荣老师的共同指导下得到了圆满解决。我们将所提出的问题归结为求解对偶 Sierpinski 分形上随机游走的平均首达时间，相关结果已经被《 The European Physical Journal B 》正式录用，以下是论文的中文摘要。 摘要： 本文研究了 d 维对偶 Sierpinski 分形（ Dual Sierpinski gaskets, DSGs ）上的随机游走问题。根据电阻距离与随机游走平均首达时间的关系，首先计算了 d 维 DSGs 上两个特殊点之间的平均首达时间，然后利用 DSGs 拉普拉斯矩阵的谱，计算了 DSGs 中所有节点对之间的平均首达时间。通过递归的方法，得到了上述两个问题的精确解，并给出了它们与网络规模大小的变化关系。最后，给出了 d=2 时所得 DSGs 上随机游走的研究结果与扩展的汉诺塔问题的对应关系。 发表的论文PDF版本: Random walks on dual Sierpinski gaskets.pdf
我做了一个梦，梦见春秋时代一个国家 yan 国，我要就 yan 国写一篇文章，可这 yan 字不会写，我看书上 yan 是这么写的：撬。看起来是撬棍的撬。可再仔细看，发现撬字中的每个“毛”仍然由三个小的“毛”组成，用放大镜看，这个小“毛”由更小的“毛”组成，以此类推，以至无穷。旁边还有一个画外音说道：这是一个典型的分形结构，这个字本质上无法书写。 三个小毛如何组成一个大毛，着实令人费解。在梦境里，这一切都是合理的。梦幻世界必有一套自己的逻辑。那么，存在一个没有悖论的世界吗？要想消除悖论，得用一种什么样的逻辑呢？
最近在研究复杂网络的分形和自相似问题时遇到了很多困惑，在这里把思路整理一下。 基本理论 分形理论首先是一门数学，但由于可作为描述系统科学中很多问题的强有力工具因而被视为一种重要的系统理论。传统的几何学只研究规则齐整的形状，即整形。但是现实世界中存在大量不规则、不整齐的琐碎形状，因而简单性科学是无法描述他们的，这样的复杂几何现象引起了人们的注意并由此诞生了分形几何学，分形理论逐步发展成熟。 大自然中存在着大量的分形现象，我们称之为自然分形。一个典型问题即为 Mandelbrot 提出的英国海岸线有多长？由于海岸线是由大大小小的曲折嵌套而成的，所以不同的测度单位会带来计算结果的巨大差异。同样，山川河流也都具有分形特征，主脉分出支脉，大支脉嵌套小支脉（或支流）。山的表面既不是平面也非光滑曲面，同样，水的表面也不是绝对平面。 数学家用数学的方法造出的分形则称为数学分形，比如对某个规则整形按照一定的规则进行变换，以产生更多更深层次的细节，使得图形越来越纷繁、琐碎、复杂。典型的例子有康托尘埃、科赫曲线、谢尔宾斯基垫子、谢尔宾斯基海绵等等。这样的生成规则也不一定是完全确定的，可以加入一定的随机因子，按照概率使用某些规则，可以生成更复杂同时更接近自然分形的图案来。 分形与自相似 分形至今没有一个严格的定义，常用通俗的描述来解释分形。一般认为，分形具有不规整性、层次嵌套性和自相似性。 按照 Mandelbrot 的定义， fractal is a rough or fragmented geometric shape that can be split into parts, each of which is (at least approximately) a reduced-size copy of the whole (Mandelbrot, B.B. 1982) 。这样的定义就默认了分形特征是一种 a property called self-similarity ，也就是说分形中包括了自相似。 所谓自相似，是一种尺度变换下的不变性 (scale-invariance) ，即在不同尺度下观察分形可以看到近似相同的形象，若把整个对象的局部放大，再把局部的局部放大，都可以看到相似的结构特征。但是这种自相似并不像整形的相似那么严格，允许相似中的不相似，不需要也不可能完全相同。比如，科赫曲线，整体是闭合的，但任一部分都不是封闭曲线。分形自相似意味着部分与整体有一样的复杂性：一样曲折、琐碎、纷乱、不规整、不光滑。并且，分形的部分与部分之间也是相似的。山重水复疑无路就是从审美的角度对山水分形中的自相似的描述，以至于让外人只看到相同之处而难以了解细微的差别，便生出迷路的疑惑。 整数维与分数维 我们都知道传统几何中点、线、面、体分别是 0 、 1 、 2 、 3 维的，这里的维数都是非负整数，故称为整数维或者拓扑维。但是分形几何对象的独特属性是不能用整数维来描述的，特别是其不规则性和复杂性，如科赫曲线在性质上不同于一维曲线但也远非二维的面。因此， Mandelbrot 引入分数维来刻画分形对象的不规则程度和复杂性程度。设 为b几何对象， a为单位线段，令 D 为分数维，定义 ，则 D=logb/loga 。 分形时间序列 查到的关于分形时间序列的文献大多是金融时间序列，这是已被公认为分形布朗运动的一种时间序列。分形布朗运动是统计自相似的，具有长期记忆性的，也就是说有一种记忆效应使得未来的变化趋势与现在相同。这种长期相关性可由相关指数 Hurst 指数表征，当H=0.5 时，序列是完全随机的；当H0.5 时，序列具有长期相关性，未来的发展趋势倾向于和过去相同；而当H0.5 时，序列是反相关的，未来的发展趋势倾向于与过去相反。分形维数可由 Hurst 指数求出，定义： 时间尺度分形维：Df=2-H. 概率空间分形维：Dp=1/H.
分形之父Mandelbrot所得部分奖励和荣誉 A partial list of awards received by Mandelbrot 2004 Best Business Book of the Year Award AMS Einstein Lectureship Barnard Medal Caltech Service Casimir Funk Natural Sciences Award Charles Proteus Steinmetz Medal Franklin Medal Harvey Prize Honda Prize Humboldt Preis Fellow, American Geophysical Union IBM Fellowship Japan Prize John Scott Award Lewis Fry Richardson Medal Medaglia della Presidenza della Repubblica Italiana Mdaille de Vermeil de la Ville de Paris Nevada Prize Science for Art Sven Berggren-Priset W?adys?aw Orlicz Prize Wolf Foundation Prize for Physics
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