1759年，哈雷预言的那颗彗星回来了。这颗后来以哈雷命名的彗星的回归，有力地支持了牛顿的万有引力理论。

按照哈雷的计算，这颗彗星的轨道周期大概是76年。它最近的一次回归是在1986年，下次回归将在2061年。各位可以算算，自己是否还有机会见到它。

哈雷彗星的回归周期跟人类的平均寿命相当，所以为数不少的人都见证过它的回归。

不过，另外一个回归，可能就没人见过了。这就是庞加莱的回归。

1890年，法国大数学家庞加莱在研究三体运动时，发现了一个数学定理。这个数学定理背后的物理机制是这样的。庞加莱研究的以引力相互作用的多体系统是个哈密顿系统，对任何哈密顿系统，更早的法国数学家刘维尔发现了一个简单而又惊人的事实，即其在相空间的运动是保体积的。具体而言，如果我们在相空间取任意一个区域，在哈密顿流场的引导下，这个区域尽管会移动并且一般会变形，但是其体积保持不变。

现在，如果系统的相空间体积有限（或者说可能到达的相空间的体积有限），那么很显然，初始区域经演化后在0，T，2T，3T等时刻所占据的区域，一定会有交叠。假设mT和nT（m<n）时刻的区域有交叠，那么将之逆时间演化mT，我们知道（n-m）T时刻的区域与初始区域有交叠。

这便意味着有回归。

这大概是庞加莱最初的想法。做细致了，并且以现代测度论的语言表述，相关定理是说，如果一个总测度（体积）有限的动力系统是保测度的，那么对任意测度非零的区域，那些只有限次回（归）到该区域的初态的测度为零。也即，对一个一般的初态，系统会无限次以任意精度回到初态。

在庞加莱发现他的定理后不久，即在1896年，德国数学家Zermelo（策梅洛）利用这个定理对奥地利物理学家Boltzmann建立的热的力学理论发起了一次几乎致命的攻击。

本来自1872年Boltzmann发表他的包含H定理的理论以来，他的理论一直受到人们质疑，这其中包括不少大家，如Mach和Ostwald（后来得过化学奖）。不过，Mach和Ostwald的指责更多在哲学层面上，他们直接否定原子的存在，也就是从一开始就否定你整个游戏的基础。但是这次Zermelo不同，他没有否定原子的存在，他先接受你的基本假设，即气体由原子构成，并且它们的运动由牛顿力学决定，然后在你的理论框架内找出矛盾。

Boltzmann的H定理是他的理论的一个关键结果。在1872的论文中，他定义了一个H函数，其中H作为气体中原子速度分布的函数。基于一定假设，他证明H是随时间单调减的，所以H其实就是负的熵。

但是现在Zermelo站出来说，你的H定理跟庞加莱的回归定理直接矛盾！按照庞加莱的回归定理，对一个一般的初态，在一定时间之后，系统会回到初态附近，这样H的值也将回到其初值附近。但是按照你的理论，H是单调降的，不会回到初值附近。庞加莱的定理不需要任何假设，一定是对的，所以错的一定是你的需要一些假设的理论。Zermelo甚至还重新证明了庞加莱定理，其证明比庞加莱的原始证明更优美，这大大加强了他的信心。

Boltzmann不得不认真迎战。在他的反驳中，他首先表示Zermelo的论文至少表明他的工作在德国获得了关注，为此他表示高兴。接下来，他反复强调的是，回归虽然是一定会发生的，但是回归所需要等待的时间长到无法观测，对此他有个粗略的估计。但是Zermelo没有被说服，他们接下来又论战了一个回合。

1906年，Boltzmann自杀。他的学生Ehrenfest于1907年写文章再次论述回归时间之长。这次他（其实是和他兄弟一起）设计了一个模型，即后来李政道所谓的跳蚤模型。

量子力学出现后，庞加莱的回归定理有了新的发展。考虑一个有限能级系统，其演化在其本征态表象下很简单，各本征态前系数作e指数变化而已。在这一情形下庞加莱回归对应的情况是，所有的相位差同时接近2pi的整数倍。所以2014年，在马普所，博主曾向同事们悬赏寻找一个数：

本来以为这个数非常大，用笨办法不可能获得，结果一个印度博士后写个小程序用穷举的方式找到了这样一个数，即10458943416*2*pi。这个数相当大，虽然比我当初期待的小。

后来在一个数学论坛上得知，其实这个问题与数学上的求解若干无理数的同时丢番图逼近直接相关。对此，有个著名的LLL算法，mathematica和maple等都有现成命令。利用相关命令，我们很容易找到f函数的任意精度的回归。比如，如果把上面的10的-6次方改成10的-20次方，我们找到的数为

17970285723473848433634226*2*pi。

这真是天文数字。这里我们的系统其实很小，只有4个cos函数。真实物理系统的能级数何止4万万，一次哪怕精确到0.1的回归，所需等待的时间也超过宇宙的寿命。

注1：Zermelo一生参与了不止一次著名的论战。他本来是学数学的，他参与到统计力学基本问题的讨论 ，是因为他曾经是Planck的助手。1906年Boltzmann死后，他完全离开了物理学，研究重心重新回到数学，那里他又参与了一次著名论战。这个希望做数学的朋友能够写写。

注2：在Zermelo之前，Boltzmann的同门师兄弟Loschmidt在1976年也对他的理论有一次要命的攻击。Loschmidt说，你的系统是时间反演不变的，所以如果你有一条H随时间单调降的曲线，我就找得到一条H随时间单调升的曲线，所以H单调减少不可能是一个一般的定理，而与初态有关。

注3：姬扬有个非常有启发性的分析。基于他的分析，他发现上面给的第二个数据是错的，应该修正为627027290800337642295570942832*2*pi，差了6个数量级。