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[数学与物理] 一元二次方程、圆锥曲线、正态分布

   数学是数学，物理是物理。差别还是很大的。
   陈省身先生说：“我不久即看到爱因斯坦所遭遇的问题之极度困难与数学及物理学的不同。”^[1]

   下面是三个小例子：
            

一、一元二次方程，有没有解？

   实系数的一元二次方程，就是初中、高中时期学习的方程，在“根的判别式 < 0”时，有没有解？
   初中生：无解。
   高中生：有解。
   换言之：实数域里无解；复数域里有解。
   困惑：到底有没有解？
           
二、直角坐标系和极坐标系，圆锥曲线
   在直角坐标系里，椭圆、双曲线的常见简单形式是两个不同形式的方程，根据二次型的惯性定理，不能通过初等变换相互转化。
   但是，在极坐标系里，只用一个圆锥曲线公式里只需要改变离心率这个数值（量变），就可以实现圆、椭圆、抛物线、双曲线的性质变化。
   “自然现象……的实际演变所遵循的基本规律”，能弱化为“基本规律的数学表达式”吗？
         
三、直角坐标系和极坐标系，正态分布
   正态分布概率密度函数的定积分，积分区间从负无穷到正无穷。在直角坐标系不能用初等函数表示积分，在极坐标系可以。
   

   爱因斯坦说^[2]：“如果K'是相当于K做匀速运动并且没有旋转的坐标系，那么自然现象相对于K'的实际演变所遵循的基本规律与其相对于K所遵循的基本规律是完全相同的。这就是所谓的狭义相对性原理。”
   伟大的偶像爱因斯坦，到底说了什么？“基本规律是完全相同的”到底是什么意思？
   爱因斯坦“自然现象……实际演变所遵循的……基本规律是完全相同的”，是指物理实质？还是描述物理运动的数学方程形式？这些数学方程是在直角坐标系，还是在极坐标系？或者别的形式的坐标系？

   悲哀的是，现有数学的能力，会不会无法充分表达爱因斯坦的原意或本意？正如陈省身所言“爱因斯坦所遭遇的问题之极度困难”？

                  
参考资料：
[1] 陈之藩. 时空之海 看云听雨[M]. 安徽省合肥市：黄山书社，2009. 第 103 页。
[2] 阿尔伯特·爱因斯坦著. 相对论[M]. 北京：台海出版社 , 2017. 第 014-015 页。
[3] 杨东屏. 哥德尔不完全性定理剖析[J]. 曲阜师范大学学报(自然科学版), 1993, 19(1): 31-37.
http://hfffxaa7a0cc611944276h6fn0wqfcuxw66kw0.ffhh.eds.tju.edu.cn/Qikan/Article/Detail?id=1140345

相关链接：
[1] 2011-08-21，《中国“科学网大学”逻辑基础研讨中心》活动之三：俗解Chaitin定理
http://blog.sciencenet.cn/blog-107667-478066.html

[2] 2010-03-09，逻辑方法的局限性：G&ouml;del incompleteness theorem和Chaitin theorem
http://blog.sciencenet.cn/blog-107667-301287.html

[3] 2010-03-10，逻辑方法的局限性：元知识、乌龟塔与盲人摸象
http://blog.sciencenet.cn/blog-107667-301534.html

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