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定理:Γ⊢SA⇔Γ⊨sA。
说明:S是系统K、D、T、B、S4、S5中的一个。Γ⊨sA,即在框架条件符合φ(S)的模型中(φ(S)表示S的模态公理对应的框架条件的合取),如果Γ在可能世界w中真,则A也在w中真。
也就是说,除了系统K,必须对框架进行限制,模态系统才具有可靠性和完全性。
Γ⊢SA ⇒Γ⊨SA是可靠性定理,前面已经证明了。
Γ⊨SA⇒Γ⊢SA是完全性定理,这里要证明的是这个。
即要证:如果并非Γ⊢SA,那么并非Γ⊨SA。
即要证:如果并非Γ⊢SA,那么存在一个框架F,Γ∪{﹁A}在这个框架上可满足,且这个框架满足条件φ(S)。
分三步证明。
1、并非Γ⊢SA,那么Γ∪{﹁A}是S一致集,即在S中无矛盾。
2、一致集是可满足的。即存在一个模型,使得这个一致集在这模型的某个可能世界上真。
这里的证明又分两步:
A、构造典范模型
B、一致集在典范模型上可满足
3、S的典范框架满足φ(S)。这里典范框架指典范模型所在的框架。
第一步,并非Γ⊢SA,那么Γ∪{﹁A}是S一致集。和经典命题逻辑的证明相同。
第二步,证明一致集是可满足的。
首先构造典范模型。
典范模型包括三要素:可能世界集,可能世界上的关系,赋值函数
S的典范模型的可能世界集就是所有S-极大一致集。构造极大一致集的方法和经典命题逻辑相同。
Rs wu,当且仅当,对任意的命题A,如果□A∈w则A∈u。
Vs(w,p)=1,当且仅当,p∈w。这里w是任意可能世界,p是任意原子命题。
我们有典范模型基本定理:Vs(w,A)=1,当且仅当,A∈w。这里A是任意命题。通过对命题的结构进行归纳,可证明这个定理。证明略。
现在要证明一致集在典范模型上可满足。
任何一致集都可扩充成极大一致集。任何极大一致集都是典范模型的某个可能世界。所以包含Γ∪{﹁A}的极大一致集是典范模型上的可能世界。根据典范模型基本定理,Γ∪{﹁A}在这个可能世界上的值为真。
所以Γ∪{﹁A}也是可满足的,所有的一致集也是可满足的。
第三步,S的典范框架满足φ(S)。
由于每个系统的模态公理不同,所对应框架条件也不同,所以这第三步需要对不同的系统分别证明。
由于公理K在任何框架下都成立。所以前面两步已经证明了系统K的完全性。
这里只对系统T进行证明。
即要证明系统T的典范框架符合条件φ(T)。系统T只有一条模态公理T,它对应自返性。
所以要证对任意的w,RTww。
T公理是□A→A,所以任何T极大一致集都包含□A→A。
对任意的极大一致集w,□A→A∈w⇔如果□A∈w则A∈w。证明略。
所以对任意的w,如果□A∈w则A∈w。
根据典范模型的定义,RTww。即T的典范框架符合条件φ(T)。
说明:这里的逻辑系统S,典范框架Fs都符合框架条件φ(S)。但有的逻辑系统不满足这一点,所以证明方法也会和这里不同。
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