经典电磁场理论的完备性问题

黄志洵l

（中国传媒大学信息工程学院，北京100024）

摘要：经典电磁场理论的核心是Maxwell电磁场方程组。它的每个公式都有实验事实的支持，数学逻辑严密自洽，在应用方面经受了长期考验；因此，其正确性无可怀疑。……但是，Maxwell方程组是由多个矢量化偏微分方程组成的，其严格求解不仅复杂而且困难，甚至难倒了数学家。此外，该方程组可能不够全面和完善，本文对此作了详细分析。

对于Proca电磁场方程组，我们持肯定的态度，认为它是对Maxwell方程组的补充和改善。文中推导了Proca波方程(PWE)，结果是对称的。不知道Proca本人为何未作推导，本文弥补了这一缺陷。

对中国科学家最近提出的“扩展的Maxwell方程组”，本文认为应当重视并展开讨论。

关键词：Maxwell方程组；Maxwell波方程；Hansen函数；Proca方程组；Proca波方程；扩展的Maxwell方程组

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作者简介：黄志洵（1936-），中国传媒大学教授、博士生导师，中国科学院电子学研究所客座研究员。

E-mail: huangzhixun75@163.com

1  引言

19世纪中叶诞生了以J.Maxwell命名的经典电磁场理论系统，是人类认识史上的一大飞跃。人们由此意识到有一种物质表象形式叫做“场”（field），这一概念后来推广到多个领域。Maxwell方程组完整地表达了源与场；电与磁的内在联系，给出了电磁现象遵循的规律。由Maxwell方程组出发，得益于位移电流（displacement current）思想的运用，电磁波的概念在理论上树立起来；由此又认识到光原来是电磁波的一种。正是由于这些理论认识的进步，在19世纪末H.Hertz用实验发现了电磁波，导致20世纪的无线电通讯、雷达、导航等信息技术的大发展，人类进入了信息社会的时代。因此，Maxwell电磁理论的成型是科学史上的大事。它的出现不是偶然的，而是以下三个方面综合作用的结果——首先是数学的发展，主要指偏微分方程论及矢量代数；到20世纪时这方面发展为对Hansen函数和并矢Green函数的使用，以及电磁场算子理论的建立。其次是经典的电学理论和经典的磁学理论的进步，再次是电学实验和磁学实验的经验积累。三个基础性进展造成的环境使Maxwell成为集大成者，一举完成经典电磁场理论的成功建立。

Maxwell方程组是长盛不衰的，这是由于其每个方程都有实验事实的支撑；它的数学逻辑严密而自洽。在20世纪及其以后，已有许多电子计算机软件程序用来扩展它的应用，人们确实也解决了许多工程技术问题。……但是，对待Maxwell方程组不能绝对化，由于它是一种建立在经典物理和古典数学基础上的唯象理论，其不足之处也渐为人们认识。专家指出，其理论欠严格；与现代数学、现代物理学脱节；忽略粒子性；对场的完备性问题难以解决；这些问题在今天已突出起来。人们在问，传统的Maxwell方程求解方法是否存在不能求解的问题? 是否有更加完善的方程组? 等等。

笔者不是电磁场理论与电动力学专家，过去只是在学习基础上做过一些研究。本文的写作是由于近期消息的推动，这些消息说中国科学家已有了“扩展Maxwell方程组”方面的成果。故写出本文，以供参考。

2  Maxwell电磁理论的基础性和深刻性

英国物理学家J.Maxwell（1831-1879）在电磁理论方面的贡献可与I.Newton在经典力学方面的贡献相比拟。Newton建立了人类历史上第一个自然科学理论体系，Maxwell则精辟地概括了19世纪电磁学的精华并作了创新。他们两人都是伟大的，人类工业文明和信息社会的建成得益于他们。当然，Maxwell并不是孤立的研究者——前有M.Faraday，后有H.Hertz；正是由于他们三人的努力才有可能建立Maxwell方程组；这是经典电磁学的最重要的理论，收集、提炼和浓缩了电磁实验现象的基本规律。

众所周知，Faraday的科学思想突出表现在“力线”的概念上，它包含电力线、磁力线。Maxwell先仔细研读了Faraday的著作《电学实验研究》，然后力图用数学表达Faraday的思

存在，但迄今没有实验证明。……方程（2）所确定的电磁场、磁通、磁力线关系，也称为磁的Gauss定理。

——磁感强度的旋度等于全电流（传导电流与位移电流之和）密度：

这说明在所给空间内矢量函数空间可唯一地分解为两个完备且不相交的子空间，即场

4  矢量电磁场方程组和矢量电磁波方程的求解问题

现在许多人认为自己已用Maxwell电磁场理论处理(解决)了许多工程技术问题。这并不为错，但目前的作法可能并不严格；因为我们面对的是矢量偏微方程组和矢量波方程，要严格求解并不容易。

前面所述矢量函数M、N(以及L)其实就是Hansen函数，那么其意义何在? 正如大家所知，经典电磁理论只在处理标量偏微分方程组时才呈现出严格性，但Maxwell方程组是矢量偏微分方程组，人们一直缺少解决方法。当由矢量波方程在单色波条件下转为矢量Helmholtz方程，就会发现在一般曲线坐标系时只能得到分量的耦合方程，不能进行分离变数。1935-1937年，W. Hansen^[4]在一组研究天线辐射问题的文章中提出了直接求解矢量波方程的建议；他针对矢量波方程构造出独立矢量函数解M、N，因而矢量波函数又被称为Hansen函数；他实际上是用标量Helmholtz方程的本征函数作原基，进一步构造成新的正交基，使之直接满足矢量Helmholtz方程和相应的边界条件；这样的泛函M、N直接满足矢量波方程，使直接求解的工作有了开端。1941年，J.Stratton^[5]介绍了Hansen的思路，给出解法，讨论了解的形式，补充引入了矢量函数解L；当时及以后，人们不认为L函数与N、M在性质上有重要的区别。

1964年，P. Dirac在纽约的一次演讲中曾指出，关于Maxwell方程组不精确成立的可能性是存在的。当人们进入到离电荷(它们产生了场)非常近的区域时，经典场论恐怕就要修改，因为在这里需要一种非线性电动力学。实际上Born-Infeld的电动力学正是基于一个不同的作用量积分对Maxwell理论作了修正——该积分在弱场时与Maxwell作用量一致，在强场情况下就不相同。Born-Infeld的理论属于量子场论(或叫量子电动力学)，而在1964年时Dirac认为量子场论的成功还“非常有限、不断陷入困难”。人们必定要考虑电磁场和波的量子化问题。在经典理论中，电磁场矢量的运动方程是Maxwell方程；在量子理论中，场矢量是作为算子来对待并受Maxwell方程支配。物理系统的状况由状态矢量代表。量子化系统描述中，Heisenberg图象是把本征矢量看作描述不随时间变化的状态矢量时形成的基底矢量。Schrödinger图象视状态矢量为时间函数，其运动方程则由Schrödinger方程规定。……虽然电磁波的量子化已不是新问题，量子电动力学也早已确立。但完全的量子化处理在理论上太复杂，故常用半经典法。

电子学家们发现，现在常把Schrödinger方程介入到宏观电磁问题(金属壁波导、介质波导、光纤等)中来。工程技术人员对这个方程不太熟悉，但正是它使经典电磁理论(以Maxwell方程组为基础)的弱点得到很大程度上的克服和解决。

即使就当前电子学家在处理工程技术问题时的理论工具而言，单纯依靠Maxwell方程组的时代也已经过去。人们还依靠Schrödinger方程、Klein - Gordon方程、Dirac方程等去处理复杂电磁系统。又如，对于微波回旋电子器件，动力学理论是靠Maxwell方程组和Vlasov方程，二者互相联系并构成自洽场问题。

5  传统电磁理论的深刻化和现代化

19世纪末人们发现了电磁波，它在空间的传播呈现出能量和动量，H. Poincarè在1900年的论文中曾作推导和阐述。在同一时期(1897年)发现了电子，1924年de broglie根据电子提出了物质波概念。但是，这种物质波仅为几率波，与电磁波很不一样。“光是电磁波的一种”是在1865年由J.Maxwell提出的，而1905年A. Einstein提出了光量子假说，“光既是波又是粒子”看起来顺理成章。然而，20世纪20年代出现的量子力学(QM)表明，电磁波其实也是光子的几率波，宏观数量的光子把几率波实现为随时间变化的能量、动量分布。这是与电子的情况不同的——光子是玻色子(Boson)，在某个电磁波模式上有大量的光子存在；但电子是费米子(Fermion)，要服从Pauli不相容原理，在一个量子态只能有一个电子。……诸如此类的复杂情况都反映在对波粒二象性的讨论中。

波科学的发展是否只能走QM的道路? 例如在宏观层面的电磁波，是否可以通过对Maxwell方程组的深刻化和进一步引用现代数学方法，而实现理论上的提高甚至跃进? 这是科学家们在思考的问题。

2003年宋文淼^[10]在《电磁波基本方程组》一书中指出：当年Maxwell推出的方程组(以及后来由Hertz整理的简化形式)实际上无法求解，只能对标量波方程求出某些特殊解。为了把数学基础从古典数学转为现代数学，使用矢量函数空间和矢量偏微分算子理论可从Maxwell方程组导出用两个标量函数表示的电磁波基本方程组；实际上是纯旋量场(电磁波的场)的方程组。这两个标量函数称为态函数，是反映电磁波群体特性的函数，不是单个光量子的态函数。方程组形式为(在域内)：

可以证明这方程组的解与旋量场算子方程在旋量场空间中的解等价。

其实，波理论即使在宏观的情况下也是不完善的；那种没有轨迹、没有加速度、在不断增大的体积中连续分布的物质运动图景，直到现在并不为人们所理解；但是它又是物质运动中确实存在的事实。波理论的核心就是波函数空间的理论，这是一种与Newton的时空概念不完全相同的概念。在连续函数空间的数学模型中，只有在这一空间中建立“元素”(波函数或基函数)的过程中，才直接与Euclid空间的元素的坐标发生关系。此后的所有运算不是在Euclid空间的元素(坐标点)上而是在波函数空间的元素(基函数系)上，不是按照Euclid空间的运算规则进行的。虽然Newton的经典数学理论中也解决了连续的概念问题，但是在Euclid空间中不仅允许函数及其导数存在不连续，或者说在一般情况下，Euclid空间中的运算常会出现各种不连续所造成了奇性，而波函数空间中不可能有任何奇性出现，因为在波函数空间中Euclid空间中的点不再是一个有直接意义的量，所以对于空间点奇性也变得没有意义。

6  光子静质量不为零时的电砖场方程组

在大学里，一般无人怀疑Maxwell电磁理论的正确性和应用的广泛性。然而正是因为Maxwell理论解释不了光电效应，Einstein才提出光子假说并取得成功。但是人们对光子的理解又不能脱离Maxwell理论——这就形成了一种逻辑循环或悖论。光子场(自由电磁场)是用Maxwell波方程描写的，而光子学说的出现则是由于Maxwell理论在光电效应面前一败涂地。

另一个例子是，在自然界中的波动(如田野里的麦浪、水面上的波浪)只是一种物质运动的表象，而不是物质本身。对电磁波来说，它是不是一种物质？如果说“不是”，那么与电磁波对应的光子是不是物质？1923年A.Compton的粒子碰撞实验，证明光子和电子一样都是物质实体，具有正实数的动质量。又证明在微观粒子的单个碰撞事件中动量守恒和能量守恒保持正确。用波粒二象性描述方式，电子对应的波动是“物质波”或“几率波”；那么光子对应什么波？通常认为是经典电磁波，但这个波不是几率波。那么可否对光子摒弃几率波概念？可是在双光子纠缠分析中还用得到这一概念。诸如此类的矛盾和问题困扰着物理学家；他们把目光从经典物理移开，投向了量子物理学，其实是很自然的。

1926年出现的量子力学波方程 (Schrödinger方程，SE) 给我们很大的启示：

另一种观点是需要考虑的，是认为SR的第二公设(光速不变原理)决定了不会有光子的静止系，故光子静质量m0=0。这个观点如成立，那么说“SR不需要光子静质量为零的假设”，就不合适了。……总之，现有的物理理论充满矛盾，是不争的事实。

Proca方程组并非仅有形式上的不同，它带来了物理思想的变化。例如，我们知道，电磁场方程组在规范变换下的不变性称为规范不变性，这种变换形成局部规范群U(1)，意思是代表变换的矩阵是一维的，即在U(1)下场方程的不变性。在Maxwell场方程的Lagrange理论中，用电磁场的Lagrange密度这样的量，对场变量变分即得到Maxwell方程。如放弃∪(1)规范不变性，Lagrange量需要修改——增加一个与有关的项，由此进行推导就得到Proca方程组。这时，矢势和标量直接出现在方程组中，规范变换失去了意义，规范不变性受破坏。

可以证明，在使用Proca方程组的情况下，电磁波的相速、群速为

故有

定的E和B完全确定A和，故H.Lorentz曾引入下述关系式

尽管与2很接近，静电场的Coulomb定律需要修改。

Proca理论的处境，有人排斥、有人赞同。1999年V. Majernik^[14]讨论了经典电磁场的复四元数代数分析方法，其中不仅考虑了Proca方程，而且考虑了T.Ohmara 1956年提出的方程，并在理论中计入了如果磁单极子(magnetic monopoles)存在对理论产生的影响。又如，2001年S.Kruglov^[15]论述了广义Maxwell方程组(generalized Maxwell equations)及其求解方法，所推导的广义Maxwell方程组包括了Proea方程组。2004年S.Kruglov^[16]讨论了Proca方程的平方根，从而得到自旋3/2的场方程；文章涉及了超光速、负能量、超引力等问题。这些工作不但回答了“Maxwell方程组是否存在不精确性”这样的问题，而且扩展了我们对光子的认识。

表1给出了两大理论体系的比较；其中的“本质性评价”为笔者的个人观点，仅供参考。

7  Proca电磁波方程的推导

怎样认识光子与电磁波的关系? 这问题看来简单，实际上并不容易回答。笔者的审慎态度是这样表述的——通常认为光子对应的波动为电磁波；但如认定光子是微观粒子的一种，则它应当有几率波性质。然而现时并没有光子的几率波方程；也就难于为光子定义波函数。

那么该如何看待光子的波函数(wave function)和波方程(wave equation)? 笔者的回答是——有一种看法认为自由态光子的波函数就是平面电磁波的波函数。与此相应，Maxwell电磁波方程就是自由态光子的波方程。……但这仅为一种简单化的看法，并未提供呈现光子物理形象的动力学。光子波方程的问题仍需研究。

我们还认为“光子无静质量假说”造成了理论自洽性的缺失。对有质(量)光子，可用1936年提出的Proca方程组取代Maxwell方程组。我们推导了新的电磁波和光子的波方程，称为Proca波方程(PWE)。在PWE中有包含粒子质量参数()的项，这与Schrödinger波方程、Dirac波方程一致。这就使理论关系改善，而有质(量)光子与点粒子划清了界限。

笔者的上述认识来自三方面；首先，前已述及，SR关于光子无静质量的观点并不能自圆其说。其次，接受光子有静质量观点的科学家越来越多，并非仅有中国物理学家罗俊院士持这种看法。举例来说，美国物理学家R.Lakes^[17]一直对光子静质量问题作理论和实验研究，他曾肯定地说“the photon is massive!”最后，科学理论总是要追求严格和完善；如果你有一个光子有静质量条件下适用的理论，而你又想知道“如果光子无静质量会怎样”，那你只需对严格方程取=0就立即得到想要的结果。

为了方便，我们称Maxwell波方程为MWE，Proca波方程为PWE。正如从Maxwell方程组出发很容易导出MWE一样，从Proca方程组出发也很容易导出PWE。但不知何故，Proca没有做这个工作。2019年黄志洵^[18]推导了PWE，弥补了这个缺陷；但当时由于粗心发生了一处错误，造成结果的不对称。王令隽教授指出了这一点，我们遂在2021年出版的书中纠正了这一错误^[19]。以下的推导，当然按照正确的叙事。

前面已给出由公式(35)、(36)、(37)、(38)组成的方程组；对式(38)两边取旋度：

必须指出，PWE的应用是一个重要而有趣的课题，限于篇幅本文不再讨论。

8  关于“扩展的Maxwell方程组”

Maxwell电磁场方程组(Maxwell’s electromagnetic fields equations)和Maxwell电磁波方程(Maxwell’s electromagnetic waves equation)是科学史上里程碑式的伟大成就，这一点毫无疑问。但这也不是一个人的功绩，而是J.Maxwell、M.Faraday、H.Hertz三人的共同贡献。由于百多年来这个理论体系已证明其巨大的应用价值。所以，如有人说这些工作可以推翻，笔者绝不同意。那么它是否可以补充和扩展呢? 这就不能禁止(也禁止不了)；最近就出现了这样一个典型事例。

有报道说^[20]：“2022年1月13日，中国科学院北京纳米能源与系统研究所召开重大科研进展新闻发布会，由研究所所长、首席科学家王中林院士面向全球公布近期取得的重大科研成果：将Maxwell方程组基于静态电磁场理论推广到运动介质情形，成功拓展Maxwell方程组的运用范围，奠定了运动介质电动力学的理论基础。消息一经发出，引发物理学界热议，出现了很多质疑声音。”……

笔者不清楚这个新闻发布会是如何定调宣传的（例如是否用过“向全球发布”的词语）。但可以肯定，相关研究单位和王中林本人，认为这是一个重大的科学成果。现在根据王中林、陈鹏飞^[21]合写文章，了解一下研究者的本意。

“在Maxwell方程组中，有一个电位移矢量，而=+，代表极化场密度，代表真空介电常数。必须指出的是，公式(1-4)成立的条件是介质的体积、表面及空间分布是不随时间变化的固定量。

一般来说，当存在电场时，介质将被极化，对于各向同性的电介质，表示为=()，这是电场诱导介质极化的结果。如果=0，消失,则=，这意味着如果没有电场，则没有位移电流，或者如果没有外部电场，则没有极化。这是电磁波的一般情况，之前所有的理论和应用都是针对这种情况开发的。而纳米发电机是由在表面产生应变感应静电荷的电介质、具有自由电荷分布的电极和跨外部负载的互连导线制成，该导线承载自由流动的电流()。一且机械扰动作用在介质上(例如，TENG)，其静电荷的分布和或配置以及介质形状将随时间变化，从而引起介质极化场的变化。因此，必须在位移矢量中引入额外的极化项，以便来解释这种介质极化电荷。”(需要说明的是，文中的缩写词TENG代表triboelectric nanogenerator.)然后我们根据王中林的英文论文查到以下表述：

虽然我们给新提出的方程组编了公式号，却不作评论，因为既然已经引起专业人员的热议，我们都需要时间来思考新成果的正确性和意义。

9  深入研究经典电磁理论的哲学意义

中国古代哲学家老子说：“道可道，非常道；名可名，非常名。”（“被表达的原则不可能是绝对的原则；被命名的名字不可能是永恒的名字。”对于经典电磁理论来说，研究的的核心是针对Maxwell方程组；可以看出，它一方面来自古希腊哲学家奠定的形式逻辑体系（这体现在Euclid几何学中)，另一方面又来自在欧洲文艺复兴时期提出的“通过系统性实验发现事物的因果关系”这一卓越思想。经典电磁理论体系的发展，其基础是由微积分、微分方程论、矢量代数等构成的古典数学；到20世纪末叶，即在经典电磁理论遇到求解困难之后，科学家又提出解决Maxwell方程组的自洽解的方法^[22]——在Euclid空间中加一个中间性公理，即矢量偏微分算子空间的数学方法。另一个基础是由Kepler、Galilei构建的自然科学实验研究框架，由此使经典电磁理论获得了如同Newton力学体系一样的牢固地位。……不过，笔者认为还有第三个方面，即在重视场与波这种物质运动形式时，要加入粒子性的考虑。例如对光子静质量的研究以及Proca理论系统重新获得重视。在这种情形下，可以说充分彰显了整个经典电磁理论的哲学意义。最近中国科学家的新工作(如王中林院士所述的发现)，进一步证明经典电磁理论的丰富。

作为哲学思维方法之一的辩证法教导我们，必须重视自然界的不同现象之间的内在联系。Maxwell波方程导致对光的本质有了深刻认识——光就是电磁波的一种；这个发现迅速拉近了电磁学与光学之间的距离。然而真空中光速，这个关系式又赋与真空一种电磁特性。当然真空还有其他特性(极化、相变等)，这促使人们惊讶地认识到，真空可以看成一种媒质，它是很复杂的，不使用量子理论就说不清楚^[23]。总之，人类思维能力在不断提高，要深刻地透视自己面前的大千世界。

重读郭奕玲^[24]的《物理学史》一书，笔者颇为书中所述Maxwell对学科间应当相互借鉴的思想所激动。Maxwell说：“应当了解物理相似性的存在，即某个学科之间在定律上的局部类似。”因此他用不可压缩流体的流线类比于Faraday力线。在他看来，电磁学中的和相当于流体中的力，和相当于流体的流量。

与此类似，当代空气动力学家竟然建立了以声速代替光速的相对论公式。2006年杨新铁^[25]指出，科学家们用流体力学推导电磁场方程，期望对电磁场方程的改进提供更物质化的推导。可以证明，流体同样有与Maxwell方程组类似的表达形式，他称为“连续介质力学方程组”，在其中也会有表示物质运动的比值=/在起作用，但在这里不是光速而是声速。确实，空气动力学的进步已克服了=1的奇点所带来的激波（shock waves）的影响^[26]，于1947年实现了使飞机以超声速飞行。因此，在理论上造成相对论的超光速变换也是可能的。据此，杨新铁提出了在高能物理加速器上寻找超光速粒子的建议；后来又努力争取加速器专家的支持^[27]。

因此，从一个经典电磁场理论的完备性课题出发，会引出许多不同学科的复杂问题，绝非一篇文章所能尽述。……我们都知道自然界是非对称的，原因之一是真空的对称性有自发破缺。人们相信有一种标量场叫Higgs场，这种场的势能比较特别，有两个能量最低态。……这样的内容又会引出对场的多样性的讨论，例如把作为矢量场的电磁场与引力场、Higgs场比较。但这已是超出本文范围的论题了！

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