6.8第6章第4节2,降水统计力学—气象统计学私探（33）

张学文，2020 10 28 基于1985-2006-10-28的文稿，

 (2) 几场降水合计值的分布

在上节从理论和资料都论证了—个雨量点(测雨站)收集到每一场降水的雨量值是遵守指数分布律的。这一节中又论证了有n个独立的遵守同一的指数分布律的变量的合计值x_n应当遵守Γ分布：这样，假如某地的几场降水之间是彼此独立的(这意味着我们无法从前一场降水去预告下一场降水!)那么这几场降水的合计值的概率密度应当遵守我们推导出来的Γ分布。实际情况是否如此?!

这里我们仍选用新疆昭苏站的资料做为实例计算一下．我们已经知道它的4 8小时雨量可以看作是—个独立的降水过程形成的雨量。而所谓两场雨就是指两个独立降水过程的合计雨量而不问它们之间相隔的无雨时间有多长。在1 9 5 4--I 9 7 5年间(有中断)的6、7、8三个月中，共统计了3 5 4个两场雨的合计雨量值．统计是以8毫米为间隔进行的，而每场雨的平均值也是8毫米。这样在3 5 4个数据中我们就可以进而统计出有多少次的两场降水合计值出现于0.2到8.0之间，或者在8.l-16．0，16．1-24．0，……之间。这些结果都列于表(6．4)中。

另外，根据我们的思路也推导出了n个指数分布的变量的合计值x_n的概率分布公式。这就是(6.48)式．把n=2(两场降水)代入，则公式简化成：

    （6.54）

表6.4 新疆昭苏夏季两场降水的合计值的实际出现次数与理论出现次料对比

式中我们已经用8代替了一次降水的平均值x，利用上式可以算出，例如合计雨量小于8，l 6，2 4…毫米的事件的出现概率F。从中不难进而求出两场雨的合计雨量出现于0.2-8.0，8.1-16，16.1-24.0…毫米范围内的概率。这个概率值就可以与前面的实测数据(出现于不同范围的次数)作对比了。在表(6.4)中实际上把这种数据都列在一起了。在表中我们还列出了理论出现次数。它是理论算得的概率与总次数（354）相乘而得到的。表中的实际频数则是实测次除以354而得到的。

从表中清楚地看到实际次数与理论次数相当吻合（实际频数与理论概率相当吻合）。它们在第一组都不算很多。而降水合计值出现于8.1-16.0毫米的第二组无论实际和理论上都是出现次数（概率）最大的。

图6.9

图（6.9）中我们把实际频数的理论概率绘在一张直方图上。从中清楚地看到两者十分相近。这就证明了我们的这一理论是符合实际的。

n=2的两场降水理论与实际一致。那么对于多场降水的合计值是否也很好的符合?！我们仍用昭苏的资料对4场降水合计值也作了如上计算。这时理论公式变成了

    （6.55）

在图6·l 0中我们给出了4场降水合计值的理论出现概率和实际的出现频数。对比表中它们吻合的仍是比较好的．概率最大的合计值属于第四个雨量组。实际的最大频数也出现在第4组，不过数值上大了7％。

图6·l 0 昭苏站四场降水量合计值的理论分布与实际分布

人们对这么大的差别可能有怀疑。为回答这一问题我们对这种分歧的显著性作了χ²检验。其步骤是先求每一组数值的差异值的平方的相对大小，然后再求其合计值(请读者参阅有关统计检验书籍)。结果这个合计值(即χ²值)为5.69，它比自由度为8时置信概率为0.99要否定原假设所要求的χ²值20.09远为小。这说明不能否定这个实测资料是来服从(6.55)式分布这个母体的假设。换言之，经过统计检验是可以接受实况与公式相一致这一认识的。

以上检验分布状况的作法是较为仔细的办法．如欲初步检验它们是否一致也可利用理论上求得的合计值的标准差与单变量的平均值的关系，即(6.52)式来进行。这个式子说明n=l时，标准差与平均值相等。n加大时标准差与n的平方根成正比。在表(6.5)中给出了昭苏站的两场和四场降水的合计值的实际标准差值和依Γ分布算得的理论标准差值。这个表表明理论值与实际值相当吻合。这是这一理论适用于降水过程的又一证据。

表6·5 昭苏站雨量合计值的标准差对比(单位：毫米)

以上这些对比说明了实际降水与上述理论是相当一致的。这种一致说明了什么问题呢?！从整个推论过程可以看出这里涉及到两点，只要这两点成立，那么上述的一致性就是必然的结局．这两点是：  

一次降水过程的雨量遵守负指数分布；

各次降水过程的雨量是彼此独立无关的。

一次降水过程的雨量分布为负指数分布已在上一节作了证明(不是半次、l/4次，也不是两次，恰为一次降水！)。对于各次降水是彼此独立无关这也可以认为是个假设。不过实际资料证实这是个可接受也应该接受的假设。当然这个结论对于其他地区、其他季节的适用程度有待进一步验证。我们估计这一结论的应用范围相当广。