经常在论坛上看到黄克智的《张量分析》。本人看完这本书以后就发现，被gauss称为绝妙定理 当成一个数学工具！我相信看完这本书几乎没有人完全找不到或者根本没有意识到---内蕴--这种美妙的感觉，好端端的东西被糟蹋了。所以，我想说，张量分析是微分几何发展史的分支，为啥我们学习张量或者《张量分析》这本书，而不从他的源头--微分几何开始？割裂他们的血缘关系！

1. 连续介质力学研究的基本工具

黄克智院士的《张量分析》中引用了佛留盖的一句话: 有了张量分析，连续介质力学就能如鱼得水。本小节主要介绍张量的基本概念及内在结构，张量函数表示理论和一些“新”的方法。

2.1 张量的定义和内在结构

在郑泉水的张量分析讲稿里给出张量的三种等价的方式，它们分别从不同侧重面来定义张量。它们分别是: (i) 张量的分量变换古典定义;(ii) 作为多重线性函数的张量现代定义；和(iii) 有更强的物理直观意义的矢量空间线性作用和线性映射定义。

这些定义可以在张量分析书上面查到，但是本人对郑泉水给出的定义并没有明确的指出张量的内在结构表示遗憾。如果清晰的理解张量的内在结构，非常有助于对张量函数的表示理论的理解。下面我将引用周法哲的163博客上给出的张量定义。

引子：对于研究对象上的一个物质点在两套不同坐标系下的坐标变换规则，与该物质点在上面所提到两套不同坐标系下的梯度变换规则是互逆的。这个直接导致协变张量，逆变张量和混变张量(两点张量是它的特例)。如何从张量的定义揭示它的内在结构？

张量定义：给定空间V和它的对偶空间，两个空间的元素的笛卡尔积到它们的共同域上的映射。对偶空间的元素全部是给定空间V里的线性函数。多重线性函数。

该映射的阶数=空间V参与笛卡尔积元素个数+空间参与笛卡尔积元素个数。例如，在仅有空间V的2元素参与映射，那么该映射是2阶协变张量。该映射含V只有一个元素，而也只有一个元素，则该函数是混变的，也可以称他为两点张量。

2.2 张量函数的表示理论

自然界中描述物理状态的各张量之间的关系, 常常是张量函数的形式, 即以一个或若干个张量为自变量, 值域为张量空间的映射关系。典型的例子有: 材料的弹性体现为应力应变(二阶张量)的二阶张量值函数; 虎克定律由特殊的张量函数, 即应力为应变的线性二阶张量值函数描述,等等。由于张量通常含有大量的独立变量, 因此张量函数一般具有复杂的形式。然而, Neumann原理指出材料的物理性质的对称性必然包含材料本身的对称性, 这个所谓材料对称性限制常常可以给代表物理特性的张量函数事先带来很大的化简。研究这种化简的理论,称作为张量函数表示理论。

Neumann原理指出，任何晶体结构的物理性质所具有的对称性不低于晶体点群的对称性。我们也可以更一般的说(居里原理—空间对称性约束)，居里原理是关于原因和结果双方在对称和缺失对称这两个方面的联系的基本原理。其主要内容是“如果一定的原因导出一定的结果，则隶属于原因的对称要素应当出现在由原因引起的效果之一中，如果任何效果显示出对称缺失，则同一缺失对称应当出现在导致该效果的原因之中”

附件是郑泉水的张量分析讲义和Berkeley的讲义，希望没有侵犯他们的知识产权。

张量分析讲义-郑泉水.pdf

http://www.me.berkeley.edu/ME281/

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