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如何从地球飞向火星
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本文主要翻译自http://library.thinkquest.org/12145/orbits5.htm
对于探测火星这样一个航天任务而言，其中一个重要问题就是飞行轨道的选择问题，因为不同的飞行轨道对应了不同的飞行时间与燃料消耗，并最终直接关系到任务能否最终完成。
下面，我们来讨论这个问题。为了简化问题，在讨论当中我们假设火星和地球都在同一个平面上且两者的公转轨道都是圆轨道。
低地球停泊轨道
虽说把飞船送到低地球停泊轨道绝非一件简单的事情，但迄今为止进行过的大多数深空探测任务都在把飞船/航天器送入向目标天体的转移轨道之前先进入停泊轨道。这在理论上没有任何问题，只是需要利用火箭克服地球引力。
为了到达高度为r的地球轨道，需要的速度为
其中Me是地球质量，R是地球半径。
从地球停泊轨道到火星
在整个飞行任务中，从地球到火星的转移轨道是最重要的一部分，这段旅程将对推进系统提出严格要求。
从能量来考虑，如果不采用光压、引力加速等飞行技术，霍曼转移轨道将是最节省能量的。所谓霍曼转移轨道，即一条分别与地球和火星相切的半椭圆轨道。
如果采用霍曼转移轨道，飞船将利用上地球绕太阳的公转速度——30千米每秒。飞船只需在停泊轨道上进行一次点火，利用推进器给一个适宜的速度增量，随后在理论上飞船将主要在太阳的引力影响下驶向火星。
如下图所示，飞船相对太阳的转移角度为180°，注意：为了方便考虑问题，在转移轨道两端分别没有考虑地球引力和火星引力的影响，将转移轨道近似处理为只在太阳引力影响下的二体问题，由于地球和火星的引力范围要远远小于转移轨道的弧段所在范围，这样的处理是合理的。
为了将飞船从地球的绕日运行轨道转移到地球轨道以外的火星轨道上，我们需要额外的燃料来使飞船加速，因此，稍后我们将要来计算这种转移轨道所需要的速度增量。
让我们先来计算发射窗口。
我们知道，除了对飞行总时间和能量消耗等条件有要求之外，整个任务还对发射时的地球、火星在空间上的排列位置也有约束。对于霍曼转移轨道，要求在地球停泊轨道上点火加速后的转移轨道近日点在地球（离日心距离称为dEarth），远日点在火星轨道上（离日心距离称为dMars），并且当飞船抵达火星轨道时，火星恰好也运行到那个点上。
如果既不考虑地球与火星之间的轨道夹角，也不考虑它们各自在轨道偏心率，那么我们可以很容易计算出发射时（即在地球停泊轨道上点火加速切入转移轨道时）地球和火星与太阳连线的夹角（即上图的aMars-aEarth），当火星地球与日心连线夹角等于这个值时即为一次发射时机，即发射窗口开启。
为了计算这个夹角值，我们首先要计算从一条轨道转移到另外一条轨道所需要的速度增量，并进一步计算轨道转移所需时间Ttransfer，一旦转移时间知道了，我们就可以逆推出发射时刻火星所在的位置（从而使得经过Ttransfer时间后火星刚好与飞船同时到达），从而计算出发射时刻火星与地球的日心夹角。
（1） 计算进入转移轨道所需要的速度
从逻辑上来说，第一步需要确定从地球到火星的转移轨道在地球处的速度。
对于任何一条椭圆轨道，能量必须守恒，从而在轨道上的任何一点都有下式成立：
其中m是飞船的质量，G是引力常数，Ms是太阳的质量，a是转移轨道的半长径。这些常数值为：
Ms = 1.989E+30 kg
G = 6.67 E -11 N m2/kg2
dEarth = 149,600,000,000 m
dMars = 227,900,000,000 m
正如我们前面所提到的，霍曼转移轨道的起点和终点分别与地球、火星相切，是一条半椭圆轨道，从而有：
于是由(1)式可以推出：
(2)式给出的是在霍曼转移轨道上距离日心为r时的速度。
将dEarth代入（2）式可得从地球轨道进入转移轨道所需要的速度：
由于飞船是从地球上起飞的，因此可以利用地球轨道的速度来抵消一部分转移轨道速度。这样一来，我们实际上更关心地球处的转移轨道速度（即Vperihelion）与地球轨道速度的差值。
假设地球轨道为圆轨道，则利用(1)式可以得到地球轨道速度为：
从而推进系统所应产生的速度增量为：
代入数值后得：DeltaV = 2942 m/s 或者近似为3 km/s
（2） 转移轨道时间
一旦速度增量已经确定，接下来我们将要计算轨道转移时间，从而确定发射时刻火星与地球的相对位置，以方便进一步确定发射日期。
由万有引力定律可以推出行星的周期与半径的关系：
由于转移轨道是半椭圆，因此有：
将相应数据代入的转移时间为259天，或8.5个月。
（3） 求火星与地球发射时刻的日心夹角
一旦转移时间已经确定，那么两行星的初始位置即可以计算出来。
由于火星轨道、转移轨道、地球轨道的周期有以下关系：
火星轨道周期>转移轨道周期>地球轨道周期
因此发射时刻火星所在位置要比地球更“超前”，而飞船到达火星时地球比火星更“超前”，从而有：
计算得
=0.773弧度，或44°。
（4） 计算发射日期
为了计算发射日期，首先要制定一个参考日期。我们的第一个参考日期选择为1997年03月27日，此时地球要比火星“超前”5.586°（或0.0975弧度），正如下图所示。
现在，我们必须计算此时到
假设火星固定不动，地球以地球火星公转速度之差绕日运动，则有：
或
根据前面的计算结果：
Ainitial = 0.0975 弧度 (参考日期03/27/97)
Alaunch= 0.773 弧度
计算得Tlaunch=671天，即1997年3月27日之后671天（为1999年1月27日）是一次发射机会。
（5） 计算抵达火星时刻
这个容易计算，即
Tarrival = Tlaunch+Ttransfer
计算结果为：抵达火星的日期是1999年10月12日。
以上即为从地球飞到火星轨道设计的大体内容，但前提是做了许多简化，实际飞行任务的轨道设计要复杂得多，这里就不再讨论了，本文仅供对航天感兴趣的外行人员参考。
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