公式及其演绎

鲍海飞 2016-11-25

学了很多公式，也记忆了很多公式，但是会运用这些公式吗？这看起来是个简单的问题，但实际上却是个很有奥妙的问题。一直以来，甚至从来都没有人告诉你该如何使用公式。那么公式能够用来做什么呢？

公式本质上是从物理中，从生产实践中摸索出来的物理量规律，表面上看，公式就是一些物理量之间的关系，其本身就是一个模型、规律或者操作运算方法，掌握了它，便能够开启一扇一扇科学之门，领悟和揭示物理背后的奥秘。

比如：公式y=2ⁿ让你想到了什么？我想到了细胞的分裂规律，一分为二，二分为四。细胞分裂原来就服从这么个简单的规律！公式给了你一把计算和量度的尺，由此可进行计算比较。

公式Y=e^x，又让人想到了什么？肯定要比2ⁿ复杂。的确如此。

自然界中大部分的物理规律都具有非线性的特征，但是人们可以通过变形，在一定范围内使之线性化。比如，对上式两边取对数，就得到了线性关系。为何要做线性化？就是使y=kx+b。做了线性化，人们就更容易理解、记忆和推理。更重要的是由此也知道了线性的背后隐藏着非线性的关系。

几乎无人不知的正弦波，Y=Asin(wt)。你知道它的奥秘吗？我们知道这是一个幅值为A，角频率为w的正弦波，描述了振动现象中振幅与时间的关系。但是经过对时间的一次微分，你便得到了dY/dt=Awcos(wt)，这是什么，显然这是个速度的关系，再进一步微分，你便得到了加速度。围绕着正弦波演绎着无穷的奥秘。比如，傅里叶变换中包含着正弦波。其中一个奥秘是它无限可微，正弦的导数是余弦，余弦的导数又回到了正弦，循环往复。而如果是x的平方，那么只需要两次微分便消亡了。

S=y/x。除法，你都明白吗？但是若叫做比例，是否会给人感觉不一样。对！所有的定义都这样给出了，无论是速度、密度，还是强度，还有熵，不过是微分形式罢了。

如果你看到这个公式，Y=1/x,你可能会想到这就是个倒数关系吗！但你是否还能发现这个公式中不同寻常的成分。那就看你是否慧眼了。对！当x=0或者趋近于0的时候，问题出现了。Y为无穷大！极限！极限就是一种量度。比如，材料的断裂强度。而这在数学上就是一个特别有趣的问题了---Delta函数。而这在物理上便成为一个独立的事件---脉冲，无穷多个这样的脉冲便构成了响应的连续谱！同样，该函数又衍生了该函数是否能积分的问题，即柯西积分。黑洞理论是否源于此？霍金的灵感是否也源于此？无限窄的时间内，无限窄的空间内，能量突然爆发释放了……

这就是一个非线性问题。万有引力公式中就包含了1/r，电学中的库伦定律也是1/r的关系，不过都有个平方。但是当两个点电荷无限接近时，于是这个公式便不再成立。我忽然想起了超导！电子只有一对一对携手并肩才能克服势垒，无阻尼前进！距离产生了美，距离产生了动力！

C=XY，表示为两个物理量相乘。这有什么奇妙！测不准原理，函数的相关，傅里叶变换等等都是两个物理量的相互作用。爱因斯坦的质能方程E=mc²，也是两个物理量的关系。

两个量相乘透露出许多重要关系。测不准原理隐含着测试的极限问题，傅里叶变换则揭示了隐藏的频率。电路系统中放大器的设计包含了灵敏度和带宽频率平方之积是一对相互制约的量，公式表示为C=sf²，即一个物理量的变大时，另一个物理量却要减小。此消彼长中，让人仿佛感觉到太极在起着作用。我们现在或许更多、更能理解的是二体的相互作用关系，至于三体就复杂了。

在原子物理中，除了最简单的氢原子模型，一个质子和一个电子的精确计算之外，其它的包括甚至三个粒子的相互作用都难以给出精确的计算，只能采用微扰等方法来进行计算。其中，隐含着相互作用在距离、力等的远与近，先与后作用的问题，才使得我们更加关注二体的相互作用。这实际上是从最简单的情况入手。当只有一个物理量与另一个物理量发生作用时，我们才会得到最简单和直观的结果。  

二体作用使我们能够看清相互作用的主要矛盾和次要矛盾，而对三体作用的描述之所以困难，是因为我们较难掌握其中变量相互作用和演化的关系。

早期半导体的研究，由于硅衬底材料的不纯，导致许多实验现象无法重复，这是因为其中有了三体或者四体、甚至五体在其中发挥着作用。而只有在纯度很高的半导体硅中进行掺杂时，比如分别掺杂硼或者磷，就会得到稳定的p型或者n型半导体。许多实验难以重复，其中的一个原因就是因为不知道有第三个量在其中起作用。中国道家理论有精辟论述：道生一，一生二，二生三，三生万物。其思想是，涉及到了三的状态就复杂极了。

   所有的物理都需要用数学公式来描述才完美，数学的美和有用是与物理紧密地联系起来。物理依托于数学的演绎便有了内涵，数学有了物理的实在便有了归属。于是，数学成为我们设计的有力工具，成为表征的手段。数学是构造出了一些解决问题的方法，从中获取了隐藏在物理、数学和自然背后的奥秘。比如，时域和频域的变换，揭示了某些特征频率的存在，两个函数的相关处理方法中也是这样。物理的所有苦恼最后都归结到了数学上。

之所以衍生出各类公式，是因为人们抓住了各领域的精华，于是符号以记之。之所以看一个公式和另一个公式的不同，是因为没有把它们收敛，没有看到它们的共性。因此，只看到了它们的不同，而没有看到它们的相同。

如何运用数学公式是需要方法与技巧的。

   最主要的是公式的运用，即理论与实际的结合，比如我们如何给一个小颗粒或者一个分子称重？普通的天平，甚至更高级的天平都已经用不上了。那么我们知道，悬臂梁的共振频率与悬臂梁的弹性系数和质量之比的平方根成正比，那么，当悬臂梁表面黏附一个小颗粒时，悬臂梁的共振频率将发生变化，那么由此可以通过共振频率的测试来确定其黏附小颗粒的质量，乃至于给分子称重。

公式应用贵在公式的外延。记得有一个故事，大师傅教几个学生学习距离、速度与时间的关系：S=Vt。老师给他们讲了距离等于速度与时间之积（匀速运动）。反过来问，速度如何求，结果有一个徒弟就是不知道反过来如何将乘法变成除法来求解。公式的变形是说不要用僵化的思想来处理问题。在我们学习的过程中，一些关键的公式要背诵下来。

万物之理在于人类的理解和阐释，公式之妙用在于借用！

我们能否透过现象看本质！就看我们能否抓住数学的和物理的东西。延伸需要眼神，眼神需要延伸，你才能看得更远，思想走得更远。

   数学实在是太美了。

数学的美是物理的美。

但到底是内在的美，还是外在的美？

从太空看星球，看太阳系，浩渺的银河，灿烂的旋转，年复一年，日复一日，亘古不变，似乎外在的更美，莫非我的观点也变了…….