虚拟现实的数学

鲍海飞 2023-6-28
         每天都在接触数学，无论是导航还是购物，你轻轻的一个点击，就开启了计算之旅。你想过数学吗？你想过数学的奇妙之处吗？
         数学的玄妙之处在于它引入了未知数和变量，将不同变量关联在一起，缔造了方程，导致了因果关系，也就构造了输入与输出响应，由此就可以进行设计和预测。比如，力与速度和质量的关系，功与力和位移的关系等。力的大小等于速度的变化与质量的乘积，而功等于力与位移的乘积。这属于直接定义和引申的过程。我们本来不知道什么是力和功，而只看到表观的物体的速度，以及走过的位移等物理量。但通过这种构造，我们引入了对物体特性的一种量度方式，进而也揭示了物理量之间的对应关系，事件发生的因果关系和数量关系。

 我们往往会认为某些数学大家就是创造出了什么新的数学理论或者方法之类的人，其实不然。真正的数学大家并不是简单的数学家，搞几个公式，推导几个结果，而是他们解决了人类对宇宙和自然的认知问题。比如高斯和拉普拉斯等。他们不仅是数学大家，更是天体物理学家。他们通过对天体的研究，从而确定和发现了新的行星和其运行规律。

用人类的尺度，用人类的计数方式，丈量出天地的纬度，发现了物体之间相互作用的内在运行规律和原理，这才是数学的大用。这也是牛顿万有引力的作用和意义，在已知物体之间的距离、已知质量的前提下，物体之间的相互作用力就确定下来了。海王星的发现经历了许多曲折，因为人们发现天王星运行的轨道总是与预测相偏离，后来经过许多人的努力，得到了证实，天王星之外还有海王星，这说明了万有引力在其中所起的作用。

数学的意义更在于它与物理和其它学科的结合，这种结合就体现在相互作用和规律的模型化和定量化上。如物体之间的万有引力与万有引力常数，电荷之间的相互作用与库伦数、麦克斯韦的电磁相互作用与光速等。这些所谓的物理规律和意义就由那些符号和数字确定下来了。

        数学的第二个特点是其变换以及逆推关系。这些变换得到了许多让人意想不到的结果。比如，傅里叶变换。我们只知道某个物理量一个时域特性，但通过傅里叶变换，我们发现了其隐藏的另一个特性参数，从长长的看似无规则的时序中发现了更本质的物理量---频率。比如，弦的振动。这无疑透过现象揭示了时空世界的本质和本源的问题。

 空间关系也存在着类似的规律。固体物理中，有倒格矢量、倒易空间的概念。x射线衍射就揭示了固体、尤其是晶体的周期性排列。

       无线电、数据压缩、信息编码领域中，都是对数据或信息进行加密与解密等过程，用于信息的传递。变换起到了对数据操控的作用，数据就隐藏在复杂的波形之中。若恢复原始数据，就需要通过逆变换过程进行。本质上都是数学变换和逆变换的过程。

        傅立叶变换、拉氏变换、Z变换、小波变换等，成为现代科学必不可少的工具，即有趣又精彩。级数展开是另一种变换。比如一个方波是由无穷多个三角波构成。模数转换也是一种变换。这些变换让我们看到一个丰富的物理和数学世界。

         多样性的数学处理方式是它的第三个特点。世界缤纷多彩，岂能只有一种方式来阐述。理论上，大部分的模型包含了理想的、简单的、完美的构架，比如摆的运动，具有标准的微分方程和解析解。然而，我们对自然的认知是近似的、片面的、离散的和统计性质的。因此，许多方程给出的解也是近似的。牛顿力学给出了经典宏观的分析方法。薛定谔方程展示出一条分析和认知微观尺度粒子之间的相互作用的方法。其间的差异和结果让我们看到了确定性与不确定性的问题。量子力学中的随机性和几率性成为显著的特点。不同尺度下的物质相互作用，将由不同的物理规律来描写。

实际上，我们总要面对复杂的结构体和更多的变量，简单的方程、甚至矩阵难以描述，这就需要新的工具和技术来解析。

伴随着计算机的兴起与应用，人类的计算能力得到极大的提升。不仅包含了加减乘除的算术运算，还包含了与、或、非等逻辑运算，以及大于、小于、等于的关系运算。有限元和差分的分析方法至今依然是一种主要的算法。但更精彩的在人工智能领域，人工神经网络算法、决策树、还有深度学习等等算法更始让人看到了算法的力度。围棋界，阿尔法狗战胜了人类，如今鼎盛的ChapGPT，又在许多方面，如设计、文学、翻译等方面优于人类。这些都表明了人工智能领域，机器在诸多领域方面展示了卓越的性能，人类甚至难以与其匹敌。计算机和人工智能的背后，我们看到的是大数据、指令、算法、程序、逻辑判断、自动分析和路径选择。

从事数学研究就是一场智力游戏。人类始终面对着的是确定性和不确定性的问题，然而，其中又非简单的左与右、上与下、优与劣、是与非等问题，亦非简单的有界与无界、发散与收敛、线性与非线性、极大与极小等问题。最终是人类与数据的博弈，人类与机器的博弈，根本上是人类与数学的博弈，认知的博弈。

‘上帝是否投掷骰子’，这样的问题，机器的回答将会是什么？快速和准确是我们期望的答案，机器的答案或许更加让人意想不到和不同凡响。

 数学是什么？数学是人类创造的一门学科，是一把人类制造的工具和尺度，和物理学以及其它学科一起构成了认知世界的途径。数学和物理学为我们提供了内在机制、关联、模型和量化。

 是否思考过，数学最大的作用和功能又是什么？数学最玄妙的作用和功能是它的虚拟现实的作用和功能。它缔造了一条又一条美丽的曲线，它给出了一条又一条星球运行的轨道，它构造了人类难以抵达的时空和路径。这是数学的梦啊！这是数学的本质和内涵。我们每一个模型、试验和仿真不是按照这条路线走呢？

人工智能的未来，不仅在硬件上，更在软件上，软件的底层便是数学。数学在引导我们的思维，数学在引导我们走向未知。