哪只兔子先到地？

 鲍海飞 2009-12-04

这是幼儿大班“艺术语言与逻辑思维”观察课上的一道题。三只小兔子在玩滑梯，若他们同时下滑，哪只兔子最先到达地面呢？见下图1。由图中可以发现，三只兔子是分别从不同高度处同时下滑，看谁先到达。这道题，粗看起来很有趣，似乎应该能够从直觉判断中得出答案，然而似乎没有那么简单。

图1 三只兔子在滑梯上的照片图 (摄影：小王)

我于是拿格尺分别测量了滑梯的高度、与水平的角度和滑梯的长度，从比例上看，图中从左到右第一个和第三个滑梯长度基本相等，第二个由于带有弯曲结构，略微短一点。

直觉一下子很难判断哪个会快些。还是先对兔子进行受力分析吧。兔子在滑落过程中，要受到重力mg,正压力N，摩擦力f的作用，斜面与水平的夹角为A,斜面长度为s。当重力大于摩擦力时，兔子加速下滑,见图2。

图2  兔子在斜面上的受力分析模拟示意图

受力分析公式表述为：

  (1)

  (2)

  (3)

其中，a是加速度，t是时间, 是摩擦系数。于是，由(1)(2)(3)联合,得到下滑时间为：

　(4)

上式中左边第一项为常数，为了避免复杂计算，可以不考虑。同时，公式(4)中，分母要大于0,这一般能够满足。实际上，上述公式主要有两个变量。一是斜面长度s和斜面倾斜角度A。为了计算的方便，先假定所有滑梯的斜面长度s都相同，并且斜面是平直的,斜面与底面的交角是可以变化的。假定斜面长度为s=1.5m,同时假定摩擦系数等于0.2,斜面的角度分别为条件(1)A=30度，条件(2)A=45度,和条件(3)A=60度。

分别计算可以得到：

条件(1) A=30度： t=2.13s

条件(2) A=45度： t=1.63s

条件(3)A=60度：  t=1.40s

这样看来，如果滑梯斜面长度都相同，那么坐在最高滑梯上的兔子滑落到地面的时间最少，因此，最先到达地面。而最矮滑梯上的兔子最后落到地面上。

但是，如果第二个滑梯的长度再短一些，比如s=1.1m,那么此时， t=1.40s。

就是说这第二个兔子将和第一个兔子同时到达地面，因此这里有一个斜面长度的比例1.5/1.1=1.36,若小于此数值，则第二个兔子将先到达地面。从图中测量看来，第二个滑梯没有短那么多。因此，坐在最高滑梯上的兔子最先到达地面。

如果假定摩擦力等于零，那么结果似乎一下子就可以得到。随角度增加，正弦值增加，则时间变少。简单说，随着斜面角度增加，作用在斜面上的压力变小，而加速度变大，因此，在同样长度的滑梯上，角度大的速度也快，那么自然坐在最高滑梯上的兔子最先到达地面。

那么是哪些因素影响了直觉判断呢？

有两个因素影响这个判断。一个是我们熟知的平抛运动。当一个物体从同一高度，以不同的初速度向前运动时，不管初始速度如何，忽略空气阻力，物体将以同样的时间到达地面，但速度大的飞行的远(由公式３)。另外一个是自由落体运动，当物体从不同高度落下时，位置越高则需要的时间越长。因此，这两个因素影响直观直觉判断。

看来，如果直觉判断不好的话，要得到正确的答案，这道幼儿智力题得需要借助牛顿力学才能解决。