用量子算符函数有序规律丰富与发展经典特殊函数论

范洪义

   一般认为，量子力学是物理范畴的，可逐渐被应用于现实生活，例如智能手机。实际上，即便就纯粹数学而言，量子力学对其发展也有用武之地，这是纯数学家没有注意到的。例如，著名的牛顿二项式定理，如果其中的l-次幂级数改成l-阶厄密多项式，那么公式本身如何更新呢？又如何找到相应的负二项式定理呢？又例如，量子谐振子的本征态的波函数由厄密多项式描述，是一种特殊函数。特殊函数之谓是它们有其特殊的递推规律、并容易被记忆。厄密多项式H_{m}(x)的集合组成了完备正交的函数空间，在数学物理领域也有一定的地位。我将厄密多项式的x宗量（x是实数）以量子力学的算符（坐标算符X）来代替，称H_{m}(X)为算符Hermite多项式，由于量子力学的算符一般是不对易的，算符特殊函数本身的编序问题是一个全新的数理问题。我结合有序算符内的积分技术，较系统地研究它的各种性质，发现H_{m}(X)在算符排序好了以后有新特点，就像外星人的眼睛看出来的东西与地球人不同，在此基础上可以导出若干新的算符恒等式。它们在讨论构建量子光学态矢量方面有重要的应用。当进一步将有关H_{m}(X)的排序规则过渡到经典情形，又可以得到有关Hermite多项式H_{m}(x)的广义二项式定理和若干新母函数公式，它们值得载入《数学手册》供世人翻阅。

 用量子算符有序规律可以极大地丰富与发展特殊函数，包括：
   1.借助算符特殊函数的新公式可找出沟通各种特殊函数之间的新关系。
   2.比较算符特殊函数各种编序形式及量子表象完备性可以导出许多有用的新积分公式（而并不需要真正地做积分）。
   3.可用算符特殊函数恒等式丰富量子论的表象论与变换论。
   4.更深刻地建立经典函数的量子对应，有助于量子相空间理论的进展。
   5.发现若干特殊函数的新的级数展开及其倒易关系。
   6.方便而直接地计算各种物理量，如矩函数，累积函数等。
   人们对于物理的理解会随着数学能力的提高而深化。从物理要求出发架构有序的算符特殊函数算符并深入推导，并注意在数学公式中把握物理，体现数学和物理水乳交融，这是物理学家自己发明新数学展示自己独到思维方式的一条途径。