5.证明圆与圆相切，或者圆与直线相切的命题

• III.16推论——由此容易推出，由圆的直径的端点作和它成直角的直线切于此圆。

• III.37——如果在圆外取一点，并且由这点向圆引两条直线，其中一条与圆相截，而另一条落在圆上。假如由截圆的这条线段的全部和这条直线上由定点与凸弧之间圆外一段构成的矩形等于落在圆上的线段上的正方形，则落在圆上的直线切于此圆。

6.证明面积相等的命题

• 公理1、公理2、公理3（略）

• I.34——在平行四边形面片中，对边相等，对角相等且对角线二等分其面片。

• I.35——在同底上且在相同两平行线之间的平行四边形彼此相等。

• I.36——在等底上且在相同二平行线之间的平行四边形彼此相等。

• I.37——在同底上且在相同二平行线之间的三角形彼此相等。

• I.38——在等底上且在相同二平行线之间的三角形是相等的。

• I.41——如果一个平行四边形和一个三角形既同底又在二平行线之间，则平行四边形是这个三角形的二倍。

• I.43——在任意平行四边形中，对角线两边的平行四边形的补形彼此相等。

• I.47——在直角三角形中，直角所对的边上的正方形等于夹直角两边上正方形的和。

• 第II卷

• III.35——如果在一个圆内有两条相交的弦，把其中一条分成两段使其构成的矩形等于另一条分成两段构成的矩形。

• III.36——如果在一个圆外取一点，且由它向圆作两条直线，其中一条与圆相截而另一条相切，则由圆截得的整个线段与圆外定点和凸弧之间一段构成的矩形，等于切线上的正方形。

• V.9——几个量与同一个量的比相同，则这些量彼此相等；且同一个量与几个量的比相同，则这些量相等。

• VI.15——在相等的两个三角形中，各有一对角相等，那么，夹等角的边成互反比例；又，这两个三角形各有一对角相等，且夹等角的边成互反比例，那么，它们就相等。（后半部分）

• VI.16——如果四条线段成比例，则两外项构成的矩形等于两内项构成的矩形；并且如果两外项构成的矩形等于两内项构成的矩形，则四条线段成比例。（前半部分）

• VI.17——如果三条线段成比例，则两外项构成的矩形等于中项上的正方形；又如果两外项构成的矩形等于中项上的正方形，则这三条线段成比例。（前半部分）

• VI.31——在直角三角形中，对直角的边上所作的图形等于夹直角边上所作与前图形相似且有相似位置的二图形的和。